§ 3.3 闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理二、介值定理一、最大值和最小值定理定理 1(最大值和最小值定理 ) 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值
b x
y
o
)( xfy?
a x1x2
至少存在一个最高点 (x1,f(x1))和最低点 (x2,f(x2)),
使得?x?[a,b]
有 f(x1)≥ f(x)
f(x2)≤ f(x)
1,若区间不是闭区间,定理不一定成立
2,若区间内有间断点,定理不一定成立注意,
x
y
o
)( xfy?
21
1
x
y
o 2?
)( xfy?
,但它既存在最大值,也存在最小值推论 (有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界


0,1
0,0
0,1
s g n)(
x
x
x
xxf
例如,符号函数不是连续函数应注意条件与结论之间的逻辑关系二、介值定理定理 2(介值定理 ) 若函数 f(x)在闭区间
[a,b]上连续,且 f(a)?f(b),?为介于 f(a)与
f(b)之间的任意一个数,即 f(a)<?<f(b)或
f(a)>?>f(b),则至少存在一个内点(a,
b),使得 f(?)=?
a
x
y
o
)( xfy?
b?1?2?3
连续曲线弧 y=f(x)
与水平直线 y=?至少有一个交点推论 (根的存在定理 ) 若函数 f(x)在闭区间 [a,b]上连续,且 f(a)与 f(b)异号,则至少存在一个内点(a,b),使得 f(?)=0
a b3?2?1? x
y
o
)( xfy?连续曲线弧 y=f(x)的两个端点位于 x轴的两侧,则曲线弧与 x
轴 至少有一个交点若方程 f(x)=0左端的函数 f(x)在闭区间 [a,b]两个端点处的函数值异号,则该方程在开区间 (a,b)内至少存在一个根?
表明,
例 1 证明方程 x3?4x2+1=0在区间 (0,1)内至少有一根
[证 ] 令 f(x)=x3?4x2+1
则 f(x)在区间 [0,1]上连续又 f(0)=1
f(1)=?2
由根的存在定理,
(a,b),使 f(?)=0
即?3?4?2+1=0
故,方程 x3?4x2+1=0在区间 (0,1)内至少有一根?
>0
<0
例 2 设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,且
f(a)<a,f(b)>b,证明(a,b),使 f(?)=?
[证 ] 令 F(x)=f(x)?x
则 F(x)在 [a,b]上连续而 F(a)=f(a)?a <0
F(b)=f(b)?b >0
由根的存在定理,
(a,b),使 F(?)=f(?)=0
即 f(?)=?