§ 2 计算定积分的一般方法
—— 微积分基本定理
§ 2.1 微积分基本定理一、积分上限函数二、牛顿 — 莱布尼茨公式所定义的函数?(x)称为 积分下限函数所定义的函数?(x)称为积分上限函数一、积分上限函数设 f(x)在 [a,b]上可积,x?[a,b],由积分
dttfx x
a?
)()(
同理,由积分
dttfx b
x?
)()(
(x)和?(x)通称为 积分变限函数,
都是 [a,b]上的连续函数在 [a,b]上可导,且
(x)=f(x)
y
o xa b
定理 1 (微积分基本定理 )
若函数 f(x)在 [a,b]上连续,则积分上限函数
dttfx x
a?
)()(
可见,?(x)是 f(x)在 [a,b]上的一个原函数
[证 ]=?(x+?x)(x)
dttfdttf x
a
xx
a
)()( x x+?x
(x)
dttfdttfdttf x
a
xx
x
x
a
)()()(
dttfxx
x?
)(
由积分中值定理,得
[x,x+?x]=f(?)?x
)(?fx )(l i ml i m
00
fx
xx

又?x?0x ∴(x)=f(x)
y
o xa bx x+?x
(x)
dttfdttf x
a
xx
a
)()(
微积分基本定理的重要意义,
(1)肯定了连续函数的原函数是存在的
(2)揭示了定积分与微分之间的联系若 f(x)连续,a(x)和 b(x)可导,则
dttfxF xb
xa?
)(
)(
)()(
补充,
的导数 F?(x)为,
F?(x)=f [b(x)]b?(x)?f [a(x)]a?(x)
dttfdttfxF xb
xa
)(
0
0
)(
)()()(?
dttfdttf xaxb )(
0
)(
0
)()(
例 1 求
2
1
c o s
0
2
l i m
x
dte
x
t
x

0
0
解,
)( 1
c o s
2 dte
x
t )( c o s
1
2 dtex t
)( c o s2c o s xe x
xex 2c o ss i n
原式 =
x
ex x
x 2
s i nlim 2c o s
0
e2
1?
二、牛顿 — 莱布尼茨公式定理 2(牛顿?莱布尼茨公式 )
若 F(x)是连续函数 f(x)在 [a,b]上的一个原函数,则
)()()( aFbFdxxfb
a

[证 ] ∵ F(x)是 f(x)的一个原函数
dttfx
a?
)(
又 ∵ 也 是 f(x)的一个原函数
∴ F(x)(x)=C x?[a,b]
b
axF )]([?
令 x=a?F(a)(a)=C
dttfa a
a?
)()(?
=0?F(a)=C
)()()( aFxFdttfx
a

∵?(x)=F(x)?C
令 x=b )()()( aFbFdttfb
a

∴ F(x)(x)=C x?[a,b]
牛顿 — 莱布尼茨公式表明,
一个连续函数在 [a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在 [a,b]上的增量求定积分问题转化为求原函数的问题例 2 求解,
dxxx2
0
)1s i nco s2(
原式 = 2
0]c o ss i n2[
xxx
23

例 3 设,求解,


21,5
10,2
)(
x
xx
xf dxxf?
2
0
)(
dxxf? 2
0
)(
dxxfdxxf 2
1
1
0
)()(
dxdxx 2
1
1
0
52
=6
y
o x1 2
例 4 求解,
dxxx?
2
2
2 },m a x {
2 o 1 2 x
yy=x2 y=xf(x)=max{x,x2}



21,
10,
02,
2
2
xx
xx
xx
原式 =
dxxdxxdxx
2
1
21
0
0
2
2
2
11?