第 10章 电磁感应
§ 10.4~10.5 自感 互感（与教材顺序交换）
§ 10.2 动生电动势
§ 10.3 感生电动势和感生电场
§ 10.1 法拉第电磁感应定律
§ 10.6 磁场的能量结论当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中就会产生感应电流。
请点击此处看插图
§ 10.1 法拉第电磁感应定律两者相对运动
？
回路所在处磁场发生变化
？
结论
：
回路所在处磁通量发生变化
。
回路中要有稳恒电流，除了静电场外，还必须有非静电力，电源就是提供非静电力的装置。
q
FE K
K
ldEqA K
电源内
ldEq
A
K
电源内?
ldEqA K
则定义 为描述非静电力作功本领的物理量?
或楞次定律,感应电流的方向总是企图使感应电流本身所产生的通过回路面积的磁通量，去补偿或反抗引起感应电流的磁通量的改变。
分析以下几个图：
i?
增加）?(a
i?
增加）?(b
i?
减少）?(c
i?
减少）?(d
楞次定律的实质是能量转化与守恒定律在电磁感应现象中的具体体现参见插图法拉第电磁感应定律,回路中的感应电动势与通过回路的磁通量对时间的变化率成正比。即 dtdk
取合适的单位制，则有
dt
d
“—”的意义：
（ 1）,—”即为楞次定律的数学表示；
（ 2）用,—”号表示电动势的方向是相对而言的，即先应确定一个绕行方向（对应一个法向 ）为正方向；
（ 3）确定了正方向 之后，由 与 的关系，才能确定的正负，从而确定 的正负，最终明确 的正负。
n?
n?B
dt
dn
..
0,,0,.4
0,,0,
2;0,
2
0.3
).(
.2
.1
:
1212
与回路方向相反则说明与回路方向相同说明如果计算出且求出夹角与右手定则所围曲面正法线确定回路的方向任意标定作下面的规定的方向（正负）问题，关于
i
iiii
i
dt
d
ttdtd
nB
nL
L
L
n
外内B
i?
增加,0)( a
n
绕行方向
i?
增加,0)( b
n
绕行方向
i?
减少,0)( c
n
绕行方向
i?
减少,0)( d
n
绕行方向试用电磁感应定律分析下面四图中的 方向 。
对于多匝线圈有
dt
d
dt
d
dt
d 2121?
21若dtdN
而回路中的感应电流还与回路的电阻有关：
dt
d
RRI
i
i
1?
则通过回路中某一截面的电荷量为：
末初末初
RdRdtIq tt i 112
1
此即磁通量计原理引起回路磁通量变化的原因有三种，由此可将感应电动势进行如下分类：
（ 1）动生电动势：
一定，由于回路面积变化B?
如：
B?
F? F?
如：
tII s in0?
（ 3）感应电动势：（ 1） +（ 2）
如,teII
0
v
（ 2）感生电动势：
回路不动,变化B?
BveF洛 BveFE K
洛
v B lldBvldE baba Kab
即动生电动势是由洛伦兹力作用所产生的。
iI v
洛F?
电F?
a
bc
d
对应的非静电场 BvE
K
上产生的电势为ld?
vldBldBvd
可见：整个导线 L上的动生电动势 等于整个导线在单位时间内所切割的磁力线数目。
L?
（ 1）由 计算 ldBv
注意,1,只有首先取定 的方向,的正负才有方向意义,表示 的方向与所取 （由整个回路的绕行方向定）一致。反之则反。显然 的方向有两种取法。
ld
0 ld?
ld?
2,计算中，要明确两个夹角：一是 与 的夹角。由速度与磁场而定；二是 与 的夹角，它与速度、磁场方向及 方向均有关。
v? B?
Bv ld?
ld?
（ 2）由 计算
a),对于一回路，由运动情况求出
b),对于一段不闭合导线 ab，无磁通量概念，如图所示，
B?
a
b
v
c
S SdBdtddtd
t
再由 求出 。dtd
则假想用另一段导线 acb与 ab组成回路，使之成为闭合回路。
:解?90与 为 夹角，
方向如图。
v? B?
Bv
取 a b方向为 方向，则ld?
baab ldBv
a
b
I
d
L v?
Bv
ld?
例 1 如图求 。ab?
式中
dl
IB
2
0
d
dLIvdl
dl
Iv L
ab
ln2
1
2
0
0
0
负号表示 方向与 方向相反。即 b a方向。
a极是,+”极,b极是,—”极。
ab? ld?
与 夹角为?180ldBv
例 2 如图求 。ab?
:解 取 方向如图。ld?
同时注意，不同点的方向相同。
Bv
v? B90与 为 夹角，
与 夹角为,ldBv 90
Bv指出 方向。
RdvBdlvB
v B d lldBvd
s ins in
90c o s
ld?
a bd
v?
Bv
I
R
d
RdIv
Rrd
Iv
RRd
RRddIv
d
RRd
RIv
d
x
IvR
d
2
ln
2
c o sln
2
c o s
c o s
2
c o s
s i n
2
s i n
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
方向为 b a。与 ab直导线同,为什么？
RdvBd s in
ld?
a bd
v?
Bv
I
R
ld?
a bd
v?
Bv
I
R
ba
aobboaa c b
boaa c bi
UUab
d
adIv
aoba c b
即方向总感应电动势构成一闭合回路与直线半圆
,
2
ln
2
0
0
推广掌握
I
v
dl
Bv?
dlvBldBvd i s i n
例 3,在垂直于均匀恒定磁场 B的平面内有一长为 L的直导线绕其延长线上的 O点以匀角速度 转动，转轴与 B平行,（如图 a），求 ab上的动生电动势
。ab? 1
LOa?
（ 1）由 计算 baab ldBv
如图 a所示,ab上任一线元 （ 的方向取 a点至线元的矢径方向），其速度 与磁场 垂直，且 与同向，故其上产生的动生电动势
ld? ld?
v? B? Bv ld?
B d llvB d lldBvd
2121211
1
LLLBB l d ld LLLbaab
:解其方向用右手定则判断，可得知由 a b。这时
ab相当于一个处于开路状态的电源，电源内部电动势方向由负 正，即 a为负极,b为正极。
图 a
解法二
（ a）
cd
a?
b?
d
a
b
1L
L
O
（ b）
图 a,ab上任一线元
（ 的方向取 a点至线元的矢径方向），其速度与磁场 垂直，且 与同向,
ld?
ld?
v?
B? Bv
ld?
设导线 ab与假想线框 adcb
构成闭合回路，并设 ab在
dt时间内转过了 角?d
a
b
v?
1L
L
O
ld?
l
（ 2）用法拉第定律求解。
由法拉第定律得设导线 ab与假想线框 adcb构成闭合回路，并设 ab在 dt时间内转过了 角（图 b），则它扫过的面积为?d
dLLL 212121
此面积的磁通
dLLLBSdBd 212121
21212121 2121 LLLBdtdLLLBdtd
b图与（ 1）求得的结果相同。动生电动势的方向也可用楞次定律判断。当导线 ab运动至 位置时，回路面积减小，故由 楞次定律判断得出，这时导线上所产生的动生电动势方向由 a b。结果与上面一致
ba
O
d?
ld?
Bv
B? X
（ a）
:解 a
b c
例 4,稳恒的均匀磁场垂直于纸面向里，导线 abc的形状是半径为 R的 圆。导线沿 的分角线方向以速度
V水平向右运动，如图所示。求导线上的动生电动势。
43 aOc?
v?
（ 1）用 求解
a b cac ldBv
所以导线上的动生电动势在导线 abc上任取一线元 。在 处 方向竖直向上。设 与 的夹角为,由几何关系可知
ldBvld?
Bv ld
,4 RdRddl
R vBvB R dvB d labcac 2co sco s 47 4
由自由电子的堆积得知动生电动势方向由 c a，
则 c为负极,a为正极。由于 就是 ac的长度，故等效于长为 的直导线 ac在磁场中运动时所产生的动生电动势。
0?ac?
R2
Rv Bac 2 R2
故在导线 ac上产生的动生电动势当闭合回路 abca 整体以速度 v 向右运动时，由于穿过回路的磁通量不变，所以 0?abca?
而 caa b ca b c a 故 accaabc
直导线 ac 在磁场中作切割磁感线运动，产生的动生电动势 可用法拉第定律计算。ac?
R vB d tSdBd 2
R v Bdtdac 2
所以 R vBaca b c 2
用右手定则或楞次定律的方法同样可判的 c为负极,a为正极。结果与（ 1）相同。
ac在 dt内所切割的磁感线数假设用一直导线 ac与导线 abc构成一闭合回路。
（ 2）用法拉第定律求解。
连结该导线端的直导线 ac，以同一速度运动所产生的动生电动势相同，即 。
由此，对计算任意形状的一段导线在稳恒均匀磁场中运动所产生的电动势，你得到了什么启示？
aca b c
在垂直于稳恒磁场 B的平面内，一段任意形状的导线 abc，以某一速度运动所产生的动生电动势，与
v?
a
b
c
B?
（ b）
.,
s i n
,s i n
0
0
随时间变化空间均匀则设密绕长直螺线管内部
tnIB
tII
nIB
kE
a b
逆时针方向沿圆周切线则非静电场强往里增长如电动势在其中产生感应导体回路或一闭合发现放一导体
,
,0,.
,
K
E
dt
dB
dt
dB
ab
§ 10.3 感生电动势和感生电场
dt
Bd?
dt
Bd?
满足左手螺旋关系的方向的方向与非静电场强 KE
dt
Bd?
而麦克斯韦假说,变化的磁场在其周围会激发一种电场
——感生场 （有旋场） 对导体中电荷施加力的作用（非静电力）。 ldE
感感?
L SdBdtddtdldE 感所以有 SdtBldE?
感感?
形成左手螺旋关系。
在方向上与且。上式表明,感感感
t
B
EE
t
B
感E?
tB
L
（ 1）静电场是有源场，感生电场是无源场。
静电场由电荷激发，
电场线由 +Q指向 -Q。
电场线是闭合曲线。
（ 2）静电场是保守场，感生电场是非保守场。
qSdD 库
0 SdD 感
0L ldE 库
SdtBldE?
感 感生电场由变化的磁场激发，作功与路径有关。
作功与路径无关。
由于,所以管内有感生电场产生。按对称性，
截面内与中心相距为 r的圆柱 上各点的感生电场场强大小相等、方向与回路相切，且因为感生电场与 的方向成左手螺旋关系，所以电场线取图示方向。感生电场 沿半径为 r
的圆周 积分，有例 1,在半径为 R的长直螺线管中通有变化的电流（如图所示）,使管内磁场均匀增强，求螺线管内、外感生电场的场强分布。
I
I
R B
:解感E?
感E?
感E?
感E?
B? r
RO
1L
0?dtdB
1L
tB
1L
感E
感感 ErldEL21
I（ 1）螺线管内横截面的磁场，如图所示。
据感生电场与变化磁场的关系，有对比上述两式，可得到在螺线管内距中心为 r处的感生电场的场强大小为
dt
dBr
dt
dldE
L
2
1
感
RrdtdBrE 2感
（ 2）在螺线管外，当 r>R时，感生电场的场强沿半径为 r的圆周 积分得2L
感感 ErldEL22
由于 r>R，积分环路 内只有 面积中有磁通变化，所以
2L 2R?
dt
dBR
dt
dldE
L
2
2
感感E?
感E?
感E?
感E?
B? r
RO
1LI
对比上述两式，可得在螺线管外距中心为 r处的感生电场的场强大小为
RrdtdBrRE 2
2
感方向如图中箭头所示。感E?
dt
dBR
2
rR
感E?
。螺线管内、外时，，当时，可见，当 感感 rERrrERr 1
的变化规律如图所示。随的 感 rE?
:解 计算。用
dt
d
i
例 2,在半径为 R的圆柱体内，充满磁感强度为的均匀磁场，有一长为 L的金属棒放在磁场中，如图所示。设,且为已知，求棒两端的感生电动势。 0?dtdB
B?
L
b
O
a
假想一回路 oabo，则
dt
dBL
R
L
dt
dB
h
L
dt
dB
S
dt
d
oabooabo
42
2
2
2
boaboao a b o而
0 ldEbooa 感但
badtdBLRLo a b oab 方向42
2
2
h
感E
ld?B?
计算用 感 ldEi
baab dlEldE co s感感
r
h
dt
dBrEc o s
2 感而
b
O
a h?
ld?
B?
感E
abdtdBhdldtdBhdlrhdtdBr b
a
b
aab 222
badtdBLRL 方向 42
2
2
:解例 3,如图所示，长直导线 AB中的 I沿导线向上，并且以的变化率均匀增长，导线附近放一个与之共面的直角三角形线框，其一边与导线平行，尺寸如图所示。求感应电动势的大小和方向。
)SA(2?dtdI
o cmb 10?cm5
cm20
X
Y
A
B取如图所示的坐标，
线框斜边方程为,2.02 xy
1.0
0
00
05.0
2.02
205.02 dxx
xI
x
I y d xb
a?
则三角形中的磁通量为 (回路顺时针方向 ）
WbIIb 800 1059.205.0 05.01.0ln15.0
VdtdIdtd 88 1018.51059.2 方向为逆时针方向。
dx
05.02
0
x
IB
方向为逆时针方向。
Vdx
x
x
y d x
dt
dI
x
Sd
t
B
80
0
1018.5
05.0
2.02
05.02
StBSdtB?
* 注意：切不可认为
o cmb 10?cm5
cm20
X
Y
A
B
:解例 4,如图所示，真空中一长直导线通有电流
（式中,为常量,t为时间），有一带滑动边的矩形导线框与长直导线共面，两者相距为 a，矩形导线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为 b，且以匀速 v（方向平行与长导线）滑动。若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻 t在矩形导线框内的感应电动势 。
teItI 0
0I?
i?
（ 1）由于线框中既有动生电动势（设其为 ），
又有感生电动势（设其为 ），故回路中总的感应电动势 是动生电动势与感生电动势的叠加，即
1?
2?
i?
Sd
t
B
ldBv
i
21
v?
a
b X
y
dy
)(txY
o
设顺时针为回路正向
veI
a
ba
a
baIv
dy
y
I
vv B d yldBv
t
ba
a
ba
a
ba
a
0
00
0
1
ln
2
ln
2
2
teI
a
baxx dy
dt
tdI
ySdt
B
0
00
2 ln22
vtx? 按题意
tveIa ba t002 ln2 故
1ln2 0021 tveIa ba ti所以
（ 2）此题亦可直接用法拉第定律的通量法则来求解，即
Si SdBdt
d
dt
td
如图：取 向下，则 的方向为向里。
a batxtIdytxy tISdBt baaS ln22 00
1ln
2
ln
2
0
0
0
tveI
a
ba
dt
tdx
Ix
dt
tdI
a
ba
dt
td
t
i
所以与（ 1）的计算结果相同。
时，顺时针。时，逆时针；的方向：当 11 tti
注意：（ 1）利用 计算总电动势过程中，在计算 时需要选定一个方向,在计算 时，需要选定一个方向,必须保证两个方向是自洽的，即应使 的方向与 的方向之间构成右手关系。 ld?
ld? Sd?
感动
动? 感?ld?
ld?
Sd? Sd?
lII 等式如图有
I的变化 感应电动势的变化? 自感现象
LIN l IN ΦΨN 匝有对于
I
ΨNlL 自感系数
L是由回路形状、大小、匝数、周围介质情况决定的。
与 I无关（可同电容 C比较）。
L定义 1：回路中电流为一个单位时，通过回路自身的磁通量。
L单位：韦伯 /安培
10.4~10.5 自感 互感
dtdILLIdtddtd ΦL
负号表示：自感应的作用是反抗原来回路电流的变化。
“电磁惯性”大。
电路流起稳定作用。我们称电流的变化，对回路电自感电流反抗原大，自感电流大。由于大，则动势在回路中产生的感应电化率为一个单位时，：自感是回路中电流变定义
L
L
L
2
1S
2S
K
L
R
1I
2I
K
S
L
实验 1 实验 2
亮得迟比闭合 21,SSK
.,
.
,.
,,
,
1221
有可能被烧坏备是一个电器设如果后再熄灭将很亮一下再断开较暗且假设与分别为回路的电流与通过闭合
S
SKS
IIII
LSK
:解设螺线管通有电流 I，管内磁感应强度通过每匝线圈的磁通量通过整个螺线管的磁链所以螺线管的自感系数
nIB
n I SSB
l I SnnlN 2
VnlSnIL 22
例 1,有一长度为 l的长直螺线管，单位长度的匝数为 n，
截面积为 S，其中充满磁导率为 的磁介质。试求该螺线管的自感系数。
例 2,有一同轴电缆，内、外圆筒截面半径分别为,,两圆筒间磁介质的磁导率为,如图所示，试计算该电缆单位长度的自感系数。
1R 2R
1R
2R
A B
D C
I 单位长1
:解 设电缆传输的电流为 I，且电流由内筒流入，外筒流出。据安培环路定理，电缆两导体圆筒间磁感应强度表达式为通过单位长度一段的磁通量，即为通过图中截面 ABCD
的磁通量
r
IB
2?
1
2ln
221
2
1
2
1 R
RI
r
drIdrBSdB R
R
R
R?
因此，该电缆单位长度的自感系数
1
2ln
2 R
R
IL?
可见 L的计算方法是：
1,设回路电流为 I，写出 B的表达式（一般由安培环路定理）
2,计算
3,
N Φ,ΨSdBΦ
IΨL?
1I
2I
112121121 MIIMI 即
221212212 MIIMI 即 2
12
1
21
IIM
的磁通量引起的通过线圈由 2,121 I?
的磁通量引起的通过线圈由 1,212 I?
dt
dIM
dt
d 121
21
则
dt
dIM
dt
d 212
12
定义 1：两线圈的互感系数为其中一个线圈中电流为 1个单位时，通过另一个线圈的磁通量。
21
211 2,2,
感应电动势中产生导致线圈发生变化的磁通量通过线圈变?I
定义 2：两线圈的互感系数为其中一个线圈中电流变化率为
1个单位时，在另一个线圈中产生的感应电动势。
2
12
1
21
IIM
:解
1N
2N
1C
2C
l
例 1,两个长度与横截面都相同的共轴螺线管（设长度截面 S的线度），匝数分别为,,如图所示。
管内介质的磁导率为 。求：（ 1）二线圈的互感系数；
（ 2）二线圈的自感系数及其与互感系数的关系。
1N 2Nl?
，中通有电流设线圈 11 )1( IC
的磁链引起的穿过线圈 21 CI
1
12
1221 Il
SNNSBN
l
SNN
IM
21
1
21
l
INB 11
1则链时，穿过线圈自身的磁通有电流当线圈 )2( 11 IC
l
SINSBN 121
111 l
SN
IL
2
1
1
1
1
2 的自感系数同理，线圈 Cl
SNL 22
2
21212 LLMLLM
必须指出，只有在两螺线管各自产生的磁通完全通过对方线圈时（即为完全耦合时），才有上述关系。在一般情况下，
K称耦合系数，其值视两线圈相对位置而定。
1021 KLLKM
x
dxbIb d x
x
IB d SSdBd
22
00
d
dabI
x
dxbIda
d
ln
22
00
d
dab
IM
ln
2
0
*电容 C，自感 L，互感 M的计算原理基本一样。
例 2,如图，计算无限长直导线与一矩形线圈之间的互感系数。
I
d a
bx
dx
:解 I为令无限长导线上的电流
x
IB
2
0?则
L
ba
K
i dtdA L
dt
diL
L
L id idA
2
0 2
1 LIL i d idAA I
作元功势时间内，电源反抗电动对外作功功率为电流为线圈中自感电动势为任意时刻
L
LL
L
dt
i
it
,,,
由于电源作功过程中电流,0 I?
该能量以磁场的形式储存于线圈之中长直螺线管：
所以磁场能量：
l
NInIB
2
22
2
2
1
2
1
l
N
B
l
SN
LIW m
V
BSlB
22
2
1
2
1
l
SNL 2
l
N
B
I
2
2
2
1
2
1
2
1 HBHB
V
Ww m
m磁场能量密度：
则非均匀空间磁场总能量：
B H d VdVwdw mm 21
Vmm B H d VdwW 21
例 1,用求磁场能量的方法，求同轴电缆单位长度的自感系数。
:解
l
I
2R
1R
rdr
由于同轴电缆内、外圆筒通以的电流，大小相等，
方向相反，因此在内圆筒以内及外圆筒以外的空间中，
磁场强度都为零。在内、外两圆筒之间的空间内，离开轴线的距离为 r处的磁场强度为,rIH?2?
取长 l、厚度 dr薄圆柱壳层体积元 dV，则 r l d rdV?2?
1
2
22
ln44 2
1 R
RlI
r
drlIW R
Rm?
与磁场能量公式 相比较，可得 2
2
1 LIW
m? 1
2ln
2 R
RlL
该处的磁场能量体密度磁场的总能量
22
2
2
82
1
r
IHw
m?
dVrIdVwW mm 22
2 1
8?
1
2
1 ln2 R
R
l
LL
故单位长度的自感系数为：
磁场能量计算步骤：
（ 1）写 B（ H） 的表达式（一般用环路定理）
* 求磁场能量的步骤与静电场能量的计算步骤也是相对称的。
（ 2）写,取 dV，写出mw B H d VdVwdw mm 21
（ 3）积分 mm dwW
dVEdVwW
Ew
CUW
V
V
ee
e
e
2
2
2
2
1
2
1
2
1
电场能量密度电容器储能电场
：电场与磁场的公式比较
dV
B
dVwW
B
w
LIW
V
V
mm
m
m
2
2
2
2
1
2
1
2
1
磁场能量密度自感线圈储能磁场
1
DH
EBIUCL
对应关系：
§ 10.4~10.5 自感 互感（与教材顺序交换）
§ 10.2 动生电动势
§ 10.3 感生电动势和感生电场
§ 10.1 法拉第电磁感应定律
§ 10.6 磁场的能量结论当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中就会产生感应电流。
请点击此处看插图
§ 10.1 法拉第电磁感应定律两者相对运动
？
回路所在处磁场发生变化
？
结论
：
回路所在处磁通量发生变化
。
回路中要有稳恒电流，除了静电场外，还必须有非静电力，电源就是提供非静电力的装置。
q
FE K
K
ldEqA K
电源内
ldEq
A
K
电源内?
ldEqA K
则定义 为描述非静电力作功本领的物理量?
或楞次定律,感应电流的方向总是企图使感应电流本身所产生的通过回路面积的磁通量，去补偿或反抗引起感应电流的磁通量的改变。
分析以下几个图：
i?
增加）?(a
i?
增加）?(b
i?
减少）?(c
i?
减少）?(d
楞次定律的实质是能量转化与守恒定律在电磁感应现象中的具体体现参见插图法拉第电磁感应定律,回路中的感应电动势与通过回路的磁通量对时间的变化率成正比。即 dtdk
取合适的单位制，则有
dt
d
“—”的意义：
（ 1）,—”即为楞次定律的数学表示；
（ 2）用,—”号表示电动势的方向是相对而言的，即先应确定一个绕行方向（对应一个法向 ）为正方向；
（ 3）确定了正方向 之后，由 与 的关系，才能确定的正负，从而确定 的正负，最终明确 的正负。
n?
n?B
dt
dn
..
0,,0,.4
0,,0,
2;0,
2
0.3
).(
.2
.1
:
1212
与回路方向相反则说明与回路方向相同说明如果计算出且求出夹角与右手定则所围曲面正法线确定回路的方向任意标定作下面的规定的方向（正负）问题，关于
i
iiii
i
dt
d
ttdtd
nB
nL
L
L
n
外内B
i?
增加,0)( a
n
绕行方向
i?
增加,0)( b
n
绕行方向
i?
减少,0)( c
n
绕行方向
i?
减少,0)( d
n
绕行方向试用电磁感应定律分析下面四图中的 方向 。
对于多匝线圈有
dt
d
dt
d
dt
d 2121?
21若dtdN
而回路中的感应电流还与回路的电阻有关：
dt
d
RRI
i
i
1?
则通过回路中某一截面的电荷量为：
末初末初
RdRdtIq tt i 112
1
此即磁通量计原理引起回路磁通量变化的原因有三种，由此可将感应电动势进行如下分类：
（ 1）动生电动势：
一定，由于回路面积变化B?
如：
B?
F? F?
如：
tII s in0?
（ 3）感应电动势：（ 1） +（ 2）
如,teII
0
v
（ 2）感生电动势：
回路不动,变化B?
BveF洛 BveFE K
洛
v B lldBvldE baba Kab
即动生电动势是由洛伦兹力作用所产生的。
iI v
洛F?
电F?
a
bc
d
对应的非静电场 BvE
K
上产生的电势为ld?
vldBldBvd
可见：整个导线 L上的动生电动势 等于整个导线在单位时间内所切割的磁力线数目。
L?
（ 1）由 计算 ldBv
注意,1,只有首先取定 的方向,的正负才有方向意义,表示 的方向与所取 （由整个回路的绕行方向定）一致。反之则反。显然 的方向有两种取法。
ld
0 ld?
ld?
2,计算中，要明确两个夹角：一是 与 的夹角。由速度与磁场而定；二是 与 的夹角，它与速度、磁场方向及 方向均有关。
v? B?
Bv ld?
ld?
（ 2）由 计算
a),对于一回路，由运动情况求出
b),对于一段不闭合导线 ab，无磁通量概念，如图所示，
B?
a
b
v
c
S SdBdtddtd
t
再由 求出 。dtd
则假想用另一段导线 acb与 ab组成回路，使之成为闭合回路。
:解?90与 为 夹角，
方向如图。
v? B?
Bv
取 a b方向为 方向，则ld?
baab ldBv
a
b
I
d
L v?
Bv
ld?
例 1 如图求 。ab?
式中
dl
IB
2
0
d
dLIvdl
dl
Iv L
ab
ln2
1
2
0
0
0
负号表示 方向与 方向相反。即 b a方向。
a极是,+”极,b极是,—”极。
ab? ld?
与 夹角为?180ldBv
例 2 如图求 。ab?
:解 取 方向如图。ld?
同时注意，不同点的方向相同。
Bv
v? B90与 为 夹角，
与 夹角为,ldBv 90
Bv指出 方向。
RdvBdlvB
v B d lldBvd
s ins in
90c o s
ld?
a bd
v?
Bv
I
R
d
RdIv
Rrd
Iv
RRd
RRddIv
d
RRd
RIv
d
x
IvR
d
2
ln
2
c o sln
2
c o s
c o s
2
c o s
s i n
2
s i n
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
方向为 b a。与 ab直导线同,为什么？
RdvBd s in
ld?
a bd
v?
Bv
I
R
ld?
a bd
v?
Bv
I
R
ba
aobboaa c b
boaa c bi
UUab
d
adIv
aoba c b
即方向总感应电动势构成一闭合回路与直线半圆
,
2
ln
2
0
0
推广掌握
I
v
dl
Bv?
dlvBldBvd i s i n
例 3,在垂直于均匀恒定磁场 B的平面内有一长为 L的直导线绕其延长线上的 O点以匀角速度 转动，转轴与 B平行,（如图 a），求 ab上的动生电动势
。ab? 1
LOa?
（ 1）由 计算 baab ldBv
如图 a所示,ab上任一线元 （ 的方向取 a点至线元的矢径方向），其速度 与磁场 垂直，且 与同向，故其上产生的动生电动势
ld? ld?
v? B? Bv ld?
B d llvB d lldBvd
2121211
1
LLLBB l d ld LLLbaab
:解其方向用右手定则判断，可得知由 a b。这时
ab相当于一个处于开路状态的电源，电源内部电动势方向由负 正，即 a为负极,b为正极。
图 a
解法二
（ a）
cd
a?
b?
d
a
b
1L
L
O
（ b）
图 a,ab上任一线元
（ 的方向取 a点至线元的矢径方向），其速度与磁场 垂直，且 与同向,
ld?
ld?
v?
B? Bv
ld?
设导线 ab与假想线框 adcb
构成闭合回路，并设 ab在
dt时间内转过了 角?d
a
b
v?
1L
L
O
ld?
l
（ 2）用法拉第定律求解。
由法拉第定律得设导线 ab与假想线框 adcb构成闭合回路，并设 ab在 dt时间内转过了 角（图 b），则它扫过的面积为?d
dLLL 212121
此面积的磁通
dLLLBSdBd 212121
21212121 2121 LLLBdtdLLLBdtd
b图与（ 1）求得的结果相同。动生电动势的方向也可用楞次定律判断。当导线 ab运动至 位置时，回路面积减小，故由 楞次定律判断得出，这时导线上所产生的动生电动势方向由 a b。结果与上面一致
ba
O
d?
ld?
Bv
B? X
（ a）
:解 a
b c
例 4,稳恒的均匀磁场垂直于纸面向里，导线 abc的形状是半径为 R的 圆。导线沿 的分角线方向以速度
V水平向右运动，如图所示。求导线上的动生电动势。
43 aOc?
v?
（ 1）用 求解
a b cac ldBv
所以导线上的动生电动势在导线 abc上任取一线元 。在 处 方向竖直向上。设 与 的夹角为,由几何关系可知
ldBvld?
Bv ld
,4 RdRddl
R vBvB R dvB d labcac 2co sco s 47 4
由自由电子的堆积得知动生电动势方向由 c a，
则 c为负极,a为正极。由于 就是 ac的长度，故等效于长为 的直导线 ac在磁场中运动时所产生的动生电动势。
0?ac?
R2
Rv Bac 2 R2
故在导线 ac上产生的动生电动势当闭合回路 abca 整体以速度 v 向右运动时，由于穿过回路的磁通量不变，所以 0?abca?
而 caa b ca b c a 故 accaabc
直导线 ac 在磁场中作切割磁感线运动，产生的动生电动势 可用法拉第定律计算。ac?
R vB d tSdBd 2
R v Bdtdac 2
所以 R vBaca b c 2
用右手定则或楞次定律的方法同样可判的 c为负极,a为正极。结果与（ 1）相同。
ac在 dt内所切割的磁感线数假设用一直导线 ac与导线 abc构成一闭合回路。
（ 2）用法拉第定律求解。
连结该导线端的直导线 ac，以同一速度运动所产生的动生电动势相同，即 。
由此，对计算任意形状的一段导线在稳恒均匀磁场中运动所产生的电动势，你得到了什么启示？
aca b c
在垂直于稳恒磁场 B的平面内，一段任意形状的导线 abc，以某一速度运动所产生的动生电动势，与
v?
a
b
c
B?
（ b）
.,
s i n
,s i n
0
0
随时间变化空间均匀则设密绕长直螺线管内部
tnIB
tII
nIB
kE
a b
逆时针方向沿圆周切线则非静电场强往里增长如电动势在其中产生感应导体回路或一闭合发现放一导体
,
,0,.
,
K
E
dt
dB
dt
dB
ab
§ 10.3 感生电动势和感生电场
dt
Bd?
dt
Bd?
满足左手螺旋关系的方向的方向与非静电场强 KE
dt
Bd?
而麦克斯韦假说,变化的磁场在其周围会激发一种电场
——感生场 （有旋场） 对导体中电荷施加力的作用（非静电力）。 ldE
感感?
L SdBdtddtdldE 感所以有 SdtBldE?
感感?
形成左手螺旋关系。
在方向上与且。上式表明,感感感
t
B
EE
t
B
感E?
tB
L
（ 1）静电场是有源场，感生电场是无源场。
静电场由电荷激发，
电场线由 +Q指向 -Q。
电场线是闭合曲线。
（ 2）静电场是保守场，感生电场是非保守场。
qSdD 库
0 SdD 感
0L ldE 库
SdtBldE?
感 感生电场由变化的磁场激发，作功与路径有关。
作功与路径无关。
由于,所以管内有感生电场产生。按对称性，
截面内与中心相距为 r的圆柱 上各点的感生电场场强大小相等、方向与回路相切，且因为感生电场与 的方向成左手螺旋关系，所以电场线取图示方向。感生电场 沿半径为 r
的圆周 积分，有例 1,在半径为 R的长直螺线管中通有变化的电流（如图所示）,使管内磁场均匀增强，求螺线管内、外感生电场的场强分布。
I
I
R B
:解感E?
感E?
感E?
感E?
B? r
RO
1L
0?dtdB
1L
tB
1L
感E
感感 ErldEL21
I（ 1）螺线管内横截面的磁场，如图所示。
据感生电场与变化磁场的关系，有对比上述两式，可得到在螺线管内距中心为 r处的感生电场的场强大小为
dt
dBr
dt
dldE
L
2
1
感
RrdtdBrE 2感
（ 2）在螺线管外，当 r>R时，感生电场的场强沿半径为 r的圆周 积分得2L
感感 ErldEL22
由于 r>R，积分环路 内只有 面积中有磁通变化，所以
2L 2R?
dt
dBR
dt
dldE
L
2
2
感感E?
感E?
感E?
感E?
B? r
RO
1LI
对比上述两式，可得在螺线管外距中心为 r处的感生电场的场强大小为
RrdtdBrRE 2
2
感方向如图中箭头所示。感E?
dt
dBR
2
rR
感E?
。螺线管内、外时，，当时，可见，当 感感 rERrrERr 1
的变化规律如图所示。随的 感 rE?
:解 计算。用
dt
d
i
例 2,在半径为 R的圆柱体内，充满磁感强度为的均匀磁场，有一长为 L的金属棒放在磁场中，如图所示。设,且为已知，求棒两端的感生电动势。 0?dtdB
B?
L
b
O
a
假想一回路 oabo，则
dt
dBL
R
L
dt
dB
h
L
dt
dB
S
dt
d
oabooabo
42
2
2
2
boaboao a b o而
0 ldEbooa 感但
badtdBLRLo a b oab 方向42
2
2
h
感E
ld?B?
计算用 感 ldEi
baab dlEldE co s感感
r
h
dt
dBrEc o s
2 感而
b
O
a h?
ld?
B?
感E
abdtdBhdldtdBhdlrhdtdBr b
a
b
aab 222
badtdBLRL 方向 42
2
2
:解例 3,如图所示，长直导线 AB中的 I沿导线向上，并且以的变化率均匀增长，导线附近放一个与之共面的直角三角形线框，其一边与导线平行，尺寸如图所示。求感应电动势的大小和方向。
)SA(2?dtdI
o cmb 10?cm5
cm20
X
Y
A
B取如图所示的坐标，
线框斜边方程为,2.02 xy
1.0
0
00
05.0
2.02
205.02 dxx
xI
x
I y d xb
a?
则三角形中的磁通量为 (回路顺时针方向 ）
WbIIb 800 1059.205.0 05.01.0ln15.0
VdtdIdtd 88 1018.51059.2 方向为逆时针方向。
dx
05.02
0
x
IB
方向为逆时针方向。
Vdx
x
x
y d x
dt
dI
x
Sd
t
B
80
0
1018.5
05.0
2.02
05.02
StBSdtB?
* 注意：切不可认为
o cmb 10?cm5
cm20
X
Y
A
B
:解例 4,如图所示，真空中一长直导线通有电流
（式中,为常量,t为时间），有一带滑动边的矩形导线框与长直导线共面，两者相距为 a，矩形导线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为 b，且以匀速 v（方向平行与长导线）滑动。若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻 t在矩形导线框内的感应电动势 。
teItI 0
0I?
i?
（ 1）由于线框中既有动生电动势（设其为 ），
又有感生电动势（设其为 ），故回路中总的感应电动势 是动生电动势与感生电动势的叠加，即
1?
2?
i?
Sd
t
B
ldBv
i
21
v?
a
b X
y
dy
)(txY
o
设顺时针为回路正向
veI
a
ba
a
baIv
dy
y
I
vv B d yldBv
t
ba
a
ba
a
ba
a
0
00
0
1
ln
2
ln
2
2
teI
a
baxx dy
dt
tdI
ySdt
B
0
00
2 ln22
vtx? 按题意
tveIa ba t002 ln2 故
1ln2 0021 tveIa ba ti所以
（ 2）此题亦可直接用法拉第定律的通量法则来求解，即
Si SdBdt
d
dt
td
如图：取 向下，则 的方向为向里。
a batxtIdytxy tISdBt baaS ln22 00
1ln
2
ln
2
0
0
0
tveI
a
ba
dt
tdx
Ix
dt
tdI
a
ba
dt
td
t
i
所以与（ 1）的计算结果相同。
时，顺时针。时，逆时针；的方向：当 11 tti
注意：（ 1）利用 计算总电动势过程中，在计算 时需要选定一个方向,在计算 时，需要选定一个方向,必须保证两个方向是自洽的，即应使 的方向与 的方向之间构成右手关系。 ld?
ld? Sd?
感动
动? 感?ld?
ld?
Sd? Sd?
lII 等式如图有
I的变化 感应电动势的变化? 自感现象
LIN l IN ΦΨN 匝有对于
I
ΨNlL 自感系数
L是由回路形状、大小、匝数、周围介质情况决定的。
与 I无关（可同电容 C比较）。
L定义 1：回路中电流为一个单位时，通过回路自身的磁通量。
L单位：韦伯 /安培
10.4~10.5 自感 互感
dtdILLIdtddtd ΦL
负号表示：自感应的作用是反抗原来回路电流的变化。
“电磁惯性”大。
电路流起稳定作用。我们称电流的变化，对回路电自感电流反抗原大，自感电流大。由于大，则动势在回路中产生的感应电化率为一个单位时，：自感是回路中电流变定义
L
L
L
2
1S
2S
K
L
R
1I
2I
K
S
L
实验 1 实验 2
亮得迟比闭合 21,SSK
.,
.
,.
,,
,
1221
有可能被烧坏备是一个电器设如果后再熄灭将很亮一下再断开较暗且假设与分别为回路的电流与通过闭合
S
SKS
IIII
LSK
:解设螺线管通有电流 I，管内磁感应强度通过每匝线圈的磁通量通过整个螺线管的磁链所以螺线管的自感系数
nIB
n I SSB
l I SnnlN 2
VnlSnIL 22
例 1,有一长度为 l的长直螺线管，单位长度的匝数为 n，
截面积为 S，其中充满磁导率为 的磁介质。试求该螺线管的自感系数。
例 2,有一同轴电缆，内、外圆筒截面半径分别为,,两圆筒间磁介质的磁导率为,如图所示，试计算该电缆单位长度的自感系数。
1R 2R
1R
2R
A B
D C
I 单位长1
:解 设电缆传输的电流为 I，且电流由内筒流入，外筒流出。据安培环路定理，电缆两导体圆筒间磁感应强度表达式为通过单位长度一段的磁通量，即为通过图中截面 ABCD
的磁通量
r
IB
2?
1
2ln
221
2
1
2
1 R
RI
r
drIdrBSdB R
R
R
R?
因此，该电缆单位长度的自感系数
1
2ln
2 R
R
IL?
可见 L的计算方法是：
1,设回路电流为 I，写出 B的表达式（一般由安培环路定理）
2,计算
3,
N Φ,ΨSdBΦ
IΨL?
1I
2I
112121121 MIIMI 即
221212212 MIIMI 即 2
12
1
21
IIM
的磁通量引起的通过线圈由 2,121 I?
的磁通量引起的通过线圈由 1,212 I?
dt
dIM
dt
d 121
21
则
dt
dIM
dt
d 212
12
定义 1：两线圈的互感系数为其中一个线圈中电流为 1个单位时，通过另一个线圈的磁通量。
21
211 2,2,
感应电动势中产生导致线圈发生变化的磁通量通过线圈变?I
定义 2：两线圈的互感系数为其中一个线圈中电流变化率为
1个单位时，在另一个线圈中产生的感应电动势。
2
12
1
21
IIM
:解
1N
2N
1C
2C
l
例 1,两个长度与横截面都相同的共轴螺线管（设长度截面 S的线度），匝数分别为,,如图所示。
管内介质的磁导率为 。求：（ 1）二线圈的互感系数；
（ 2）二线圈的自感系数及其与互感系数的关系。
1N 2Nl?
，中通有电流设线圈 11 )1( IC
的磁链引起的穿过线圈 21 CI
1
12
1221 Il
SNNSBN
l
SNN
IM
21
1
21
l
INB 11
1则链时，穿过线圈自身的磁通有电流当线圈 )2( 11 IC
l
SINSBN 121
111 l
SN
IL
2
1
1
1
1
2 的自感系数同理，线圈 Cl
SNL 22
2
21212 LLMLLM
必须指出，只有在两螺线管各自产生的磁通完全通过对方线圈时（即为完全耦合时），才有上述关系。在一般情况下，
K称耦合系数，其值视两线圈相对位置而定。
1021 KLLKM
x
dxbIb d x
x
IB d SSdBd
22
00
d
dabI
x
dxbIda
d
ln
22
00
d
dab
IM
ln
2
0
*电容 C，自感 L，互感 M的计算原理基本一样。
例 2,如图，计算无限长直导线与一矩形线圈之间的互感系数。
I
d a
bx
dx
:解 I为令无限长导线上的电流
x
IB
2
0?则
L
ba
K
i dtdA L
dt
diL
L
L id idA
2
0 2
1 LIL i d idAA I
作元功势时间内，电源反抗电动对外作功功率为电流为线圈中自感电动势为任意时刻
L
LL
L
dt
i
it
,,,
由于电源作功过程中电流,0 I?
该能量以磁场的形式储存于线圈之中长直螺线管：
所以磁场能量：
l
NInIB
2
22
2
2
1
2
1
l
N
B
l
SN
LIW m
V
BSlB
22
2
1
2
1
l
SNL 2
l
N
B
I
2
2
2
1
2
1
2
1 HBHB
V
Ww m
m磁场能量密度：
则非均匀空间磁场总能量：
B H d VdVwdw mm 21
Vmm B H d VdwW 21
例 1,用求磁场能量的方法，求同轴电缆单位长度的自感系数。
:解
l
I
2R
1R
rdr
由于同轴电缆内、外圆筒通以的电流，大小相等，
方向相反，因此在内圆筒以内及外圆筒以外的空间中，
磁场强度都为零。在内、外两圆筒之间的空间内，离开轴线的距离为 r处的磁场强度为,rIH?2?
取长 l、厚度 dr薄圆柱壳层体积元 dV，则 r l d rdV?2?
1
2
22
ln44 2
1 R
RlI
r
drlIW R
Rm?
与磁场能量公式 相比较，可得 2
2
1 LIW
m? 1
2ln
2 R
RlL
该处的磁场能量体密度磁场的总能量
22
2
2
82
1
r
IHw
m?
dVrIdVwW mm 22
2 1
8?
1
2
1 ln2 R
R
l
LL
故单位长度的自感系数为：
磁场能量计算步骤：
（ 1）写 B（ H） 的表达式（一般用环路定理）
* 求磁场能量的步骤与静电场能量的计算步骤也是相对称的。
（ 2）写,取 dV，写出mw B H d VdVwdw mm 21
（ 3）积分 mm dwW
dVEdVwW
Ew
CUW
V
V
ee
e
e
2
2
2
2
1
2
1
2
1
电场能量密度电容器储能电场
：电场与磁场的公式比较
dV
B
dVwW
B
w
LIW
V
V
mm
m
m
2
2
2
2
1
2
1
2
1
磁场能量密度自感线圈储能磁场
1
DH
EBIUCL
对应关系：
