第 1章 静止电荷的电场
§ 1.1~1.2 电荷 库仑定律与叠加原理
§ 1.3~1.4 电场和电场强度静止点电荷的电场及其叠加
§ 1.6 高斯定律
§ 1.5 电场线和电通量
§ 1.7 利用高斯定律求静电场的分布
§ 1.1~1.2 电荷 库仑定律与叠加原理
Ce 19106.1
∈
1q 2q
2q1q
12r?
12r?
21r?
21r?
12F?
12F?
21F?
21F?
同号为斥力21,)( qqa
异号为吸力21,)( qqb
单位矢电荷指向受力点电荷的为由施力点真空中,rr
r
qqF*?
4
1
2
21
0
为真空中的电容率其中 0?
两个点电荷 1q 2q与 之间的相互作用力的大小和 21,qq 的乘积成正比，和它们之间的距离 r的平方成反比；作用力的方向沿着它们的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。
rrr
qqF
02 21?4
1 其中介质中,
rrr
qqF
02
21?
4
1 其中介质中,
.,
),(
,.,
:
的作用力从而减弱了带电体之间的电荷量了带电体其宏观效果相当于减少束缚电荷极化而出现极化电荷电介质会发生时当带电体处于电介质中不导电电介质就是绝缘体介质中
_
_
__
_ _ +_
+ +
+++
介质中真空中且用名：相对介电常数）电介质相对电容率（曾
：真空介电常数）：真空电容率（曾用名介质介电常数）介质电容率（曾用名：
1
1
:
:
0
r
r
r
0q
FE
.,,,.2
).1
质量动量具有能量电场是物质的一种形式）
否无关。
它电荷存在与其周围就有电场，与其只要空间有电荷存在，
0
0
0
q
F
E
q
F
Fq
场强度为本身的性质，则定义电关的量，它反映了电场是一个与实验电荷无，比值力为在电场中某一点所受的实验电荷
§ 1.3~1.4 电场和电场强度静止点电荷的电场及其叠加
rrQqFE
4 1 2
0
的正负决定）与其方向由 Qr(
rr QqFq4 1 200受力
Q 0qr
rr
r?
F?
r
E
q>0
q<0
1Q 2Q
3Q i
Q
nQ
0q
ir?
000
2
0
1
0 q
F
q
F
q
F
q
F
q
F ni
n
i
i
i
in
i
ini rr
QEEEEEE
1 21
21?4
1
即：
ni FFFFF
21
实验表明，电场力满足迭加原理空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点产生场强的矢量和
l?
q? q? lqP
电矩
22
22
)2/(
2/
2c o s2
)2/(4
1
)
lr
l
EEE
E
lr
q
E
r
的场强点（求轴线的中垂线上任一
32/322 4))2/((4
1
r
P
lr
qlE
)(4 3 lrrPE
l?
q? q?
E
E
E?
r
在均匀电场中
0F?
EPMq?
q?lM?
E?
l?q? q?
r
EE?O
一点的场强上求电偶极子轴线延长线
2)2/(4 lr
qE
2)2/(4 lr
qE
3224
22
4
2
)2/1()2/1(4
2
)2/()2/(4
1
r
P
rlrlr
q r l
lr
q
lr
q
EEE
)(
4
2
3 lrr
PE
0q
r?dq
rrdqEd4 1 2
qq rrdqEdE
4 1 2
q
体电荷密度）体分布面电荷密度）面分布线电荷密度线分布
:3
:2
,)1
dvdq
dsdq
dldq
式，步骤如下：具体计算时应采用分量**
方向。并画出表达式，，写出取微元）取合适的坐标系，再（
Ed
Eddq1
zyx dEdEdE,，）写出分量：（ 2
zzyyxx dEEdEEdEE,，积分求出：)4(
kEjEiEE zyx
)5(
(3)对称性分析可简化计算，能使我们立即判断电场强度的某些分量为零
，棒外，总电荷量为点的场强。设棒长为计算均匀带电细棒外一 QL
点的场强。求
，和间夹角分别为和棒两端的连线与棒之，离开棒的垂直距离为一点
P
PaP 21
P
Y
o X
a
1? 2
Ed?
xdE
ydE:解
dll
，）选如图坐标系（ XoY1,dldlLQdq取
24 r
dldE
,其方向如图。点的场强为它在 EdP?
c o s4c o s)2( 2rdldEdE x
：三个变量，统一变量有上式有?,,lr
22222
2
c s c
c s c
c t g)
2
(tg
alar
dadl
aal
:1例
)c o s( c o s4);s in( s in4)3( 2112 2
1
2
1
adEEadEE yyxx
jiaE )c o s( c o s)s i n( s i n4)4( 2112
jajEE y2电细棒讨论：一无限长均匀带
dadEdE y s in4s in
c o s4c o s)2( 2rdldEdE x
22222
2
c s c
c s c
alar
dadl
daa dardldE x c o s4c o sc s c4 c s cc o s4 22
2
2
o
R
X
:解任一点的场强。
）的轴线上，带电量为径为计算均匀带电圆环（半 QR
24 r
dldE
r
R
r
dldEdE
24si n
;24 2322
2
0 3
2
0 xR
xR
r
d l xdEE RR
xx
x Ed?
r?
dl
P
（方向如图）
r
x
r
dldEdE
x 24c o s
（对称性分析）0E
:2例所以，由对称性 =E⊥ 0
a
,y
z
x
Ed当 dq 位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。
qd
Ed
ixR
xRiEE
x
23222?
2322
2
0 2
2
0 24 xR
xR
r
d l xdEE RR
xx
x
E
2
R
相当于点电荷时，当
24
1
x
Q
ERx x
.
00,
有一极大值时的关系如图与
E
ExxE
2/322 )(4
1
Rx
Qx
o
P
x
R
r
dr
2/322 )(4
1
rx
QxE
x
2/322 )(4
1
rx
x d qdE
x r d rdsdq 2
RoRox rx r d rxrx r d rxdEE 2/3222/322 )(2)( 24 1
求均匀带电圆盘的电场例,
)1(2
22 Rx
x
处的电场强度圆心的圆弧上，求，圆心角为均匀分布在半径为设电荷例
O
aq 0,?
a 0?
dq
O
Ed?
EdEd
dqada qdldq
00
解：
Ed
da qadqdE
0
22 4
1
4
1
x
y
处的电场强度方向向下根据对称性,O
（方向向下）)2/s i n (
2
c o s
4
1
c o s
0
0
2
0
2
2
2
0
0
a
q
d
a
q
dEE
dEdE
yy
y
+ +
+ +
+
一带电细棒被弯成半圆型，上半部均匀带 +Q电荷，下半部均匀带 -Q电荷，半径为 R,求圆心 O处的电场强度大小
y
R
++
+
+
-
-
- -
xO
E
E
E
分析：先分别求 +Q,-Q产生的电场强度，再矢量迭加
)(
4
c o s2
4
s i n
2)2/(
22
2
轴负向沿总场
y
R
Q
EE
R
Q
EE
结果，再求解。本例可以利用例 2*
:解
o P
x
选取如图所示坐标轴，
化，密度沿园盘半径线性变的带电圆盘，其面电荷半径为 R
处的场强。为中心。求在圆盘轴线上距盘为 xORr 10
Ed?
把园盘分成许多扇形,再把每一个扇形分为许多弧状带。
drrddsdq:其带电量为方向。则的场强沿相对园盘对称，故点由于点 xPP
2
0 0 2222
0
0
22
0
.
1
4
1co s
4
1 R
xP r d r drx
x
rx
R
r
rx
dsdEE
x xRRRxdr
rx
Rrrdx R 22
0
02
0 0 2322
0
0 ln1
2
1
4?
X
d
rdr
，，扇形角为状带，带宽为?ddr
的弧相距有一与 ro
:3例
）表示电场强弱。的疏密（电场线密度
，用电场线线的切向表示电场方向电场线的意义：用电场
dS
dN
§ 1.5 电场线和电通量地方中断。。但不会在没有电荷的荷（或伸向无穷远处） 于负电或来自无穷远处），止）电场线起于正电荷（（ 1
电荷上去。全部电场都线集中到负荷出发的电荷一样多，则由正电）若带电体系中正、负（ 2
定的方向。一点的场强只有一个确电场中每电场线不会相交，因为）在没有电荷处，两条（ 3
形成闭合线。）静电场中的电场线不（ 4
图几种常见电场的电场线
）点电荷的电场线（ a
荷的平行板电场线
）一对带等量异号电（ b
的电场线
）两个同号点电荷（ b
的电场线
）两个异号点电荷（ b
等于该点的电场强度量电场中某点的电位移矢 D?
的乘积。与该点处介质的电容率矢量?E?
ED
移矢量均为：大均匀电介质中的电位点电荷在真空中或无限
rrqD4 2
特点：与介质（束缚电荷）无关。
位移矢量均为：限大均匀电介质中的电点电荷系在真空中或无
n
i i
i r
r
qD
4 2?
电场线：
始于正电荷（自由电荷与束缚电荷），
止于负电荷（自由电荷与束缚电荷），
在电介质表面不连续。
电位移线：
始于正自由电荷，止于负自由电荷，
在电介质表面连续。
面的电场线总数，在电场中穿过任一给定通量）称为通过该面的电通量 Ee?(?
1.均匀场强，平面 S
E,通过垂直于场强方向单位面积电场线根数
S
E
n
ESe
的方向同方向与平面法线且 nE
夹角为 的方向与 均匀场强n E,,2
SEES
S
e
c o s
c o s投影面积
n
E
S
cosS
S
dSESdEd e?c o s
SdEdSES ssec o s,
se SdE
表示为：通过封闭曲面的电通量通量的表达式如下：同理，我们得到电位移
sD
sD
SdD
SdD
ds
n? E?
2
0
2
0
2
0
3.非均匀场强，曲面电通量为：
可视为平面）取一小面元,(dS
的选取有关正负与法线不闭合曲面，电通量的 n?
向外规定法线 n?
S
E?
S
(电场强度通量 )电通量 e? 通过某一面的电场线数
ESe
ss
e E d ssdE c o s
co sESSEe
s s
e dsEsdE c o s
S
E?
n?
E?
S
E?ds
nn?ds?
的封闭球面：对于包围自由点电荷 q
q
rEE d s
E d ssdEd
r
r
q
E
s
e
e
2
2
4
4
1
面，其电通量为取一同心球面作为高斯
源电荷之间的关系：上式反映了电通量与场
。以所包围的自由电荷量除等于该闭合曲面通过封闭球面的电通量
e?
§ 1.6 高斯定律
內內即除以电荷的代数和围的自由等于这个闭合曲面所包的电通量称为高斯面通过任一闭合曲面在静电场中
S
i
s
e
S
i
e
qSdE
q
S
1
:,
,
高斯定律
1,高斯定律内容与数学表达式（电位移矢量表述）
内容,在任何静电场中，通过任一闭合曲面（高斯面）的电位移通量，等于这个闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。
iseisD qsdEqsdD?1 或：即：
2.几点说明
.00,00)1( DiDi qq 时，时，说明静电场是有源场，
电位移线始于自由正电荷，终于自由负电荷。
（ 2）通过封闭曲面的电通量，由封闭曲面所包围的自由电荷的多少决定，与曲面外的电荷无关。
（ 3）曲面内、曲面上任一点的场强是由曲面内外的电荷共同激发的，与曲面外的电荷及分布有关
qSq 的电通量为的任意同心球面包围点电荷)1(
q
sdEsdE
q
S
ss
e
的电通量均为面通过包围点荷的任意曲)2(
q S
E
S?
q
rEE d s
E d ssdEd
r
q
E
s
e
e
2
2
4
4
1
球面高斯面
（ 3）通过不包含电荷的任意闭合曲面 S电通量恒为零电力线不会在没有电荷的地方中断,穿入 S电力线必定从其它地方穿出去
S
E?
(4)连续分布电荷的高斯定理面所在处介质电容率高斯面上面外在面內在其中个点电荷设共有內
S
q
qqq
sdEsdEsdEsdE
sdEEEEEsdE
o u tEEinEEE
SqqqSqqqkn
S
i
n
s
kn
s
n
s
n
s
knnn
sS
knnn
knnnn
:
00
)(
)()(
.,,,,
)(
21
11
121
11
21,2,1
(4)点电荷系的高斯定理
dqsdEs?1
024?
q
、例 1 如图，一点电荷 q位于立方体的 A角上，则通过 abcd面的 E通量 e? 是多少。
:解
a
b
c
d A
先假设点电荷 q位于立方体中心，则通过每一侧面的通量都为总通量
。的 61
0?
q
e 作 7个体积相同的立方体，
使 A点位于一个大立方体的正中。
所以通过 abcd的通量为
§ 1.7 利用高斯定律求静电场的分布
Ro
、例 2 求均匀带电球体的电场强度。球的半径为 R，所带的电量为 q，球体电容率为 1?,球外介质的电容率为 2? 。
:解
1P
2P
1S
1r
2S
2r
111 111 SSS dSDdSDSdD
3
3
1
2
11
3
43
44
R
qrrD
RrrRqD 1131 4?
RrrRqE 113
1
1 4
）球内（ 1
）球外（ 2
qrDdSDSdD SS 22222 4)2(
22
RrrqD 22
2
2 4?
RrrqE 22
22
2 4
E
r
D
r
(b)电位移 与 r的关系
（设 > ）1?
(a)场强与 r的关系
2?
13
1
1 4 rR
qE
球内：
、例 3 计算无限长均匀带电圆柱面的电场。?R
S P
r
P
俯视图
SSD dSDSdD?c o s
:解
上底侧面 dSDdSD c o sc o s
iqdSD下底?c o s
rDdSD 2c o s侧面
0c o sc o s 下底上底 dSDdSD
其中
r
RDRrD 22
RrErRE 22 或
R
E
r？思考：圆柱面内的场强圆柱面外
E
r
高斯面
l
E
高斯面
lr
例 4,计算无限大均匀带电平面的电场。
S
E?
E?
（ a） 电场线的分布 （ b） 高斯面的取法
:解
iS qdSDdSDdSDdSD 21 c o sc o sc o sc o s 底面底面侧面
其中
0c o sc o s 21 SDdSDdSD 底面底面
20c o s侧面 dSD
所以 SSD2
2
D
2?E
S?
例 5,计算无限大均匀带电平板（厚度为 d）的电场。
x
S?
d
:解 平板内)1(
后前下 dSDdSDdSD c o sc o sc o s
右左 dSDdSD c osc os
其中 下上 dSDdSD c o sc o s
20c o sc o s 后前 dSDdSD
SxSD 22 1
2||
0
1 dx
xExD
时沿负向。正向，时沿方向,00 xxx
0
2 22?
dEdD
上 dSDdSDS c osc os
SdSD22平板外)2(
分析：尽管电荷不是均匀分布，
小相等，方向为矢径方向。
使得场强也具有对称分布，即但由于电荷分布对于 O点对称，
以 O点为球心的球面上处处的场强大
11
11 0
2
40
22
1111 444
rr
iSS drrR
qrdrrqrDdSDSdD?
例 6、
:解
O R1r
1S
2r
2S
4
4
1211 4
R
qrrD即 21
1 4 R
qrD
RrRqrE 14
2
1
1 4
qdrrqrDdSDSdD RiSS 0 222222 44
22
2
2
2 4 r
qD
RrrqE 22
20
2 4
一半径为 R的带电球体，其电荷体密度分布为
Rr
Rr
R
qr
0
4
（ q为一正常数），计算其内外的场强分布。
球体内)1(
球体外)2(
O
'O
例 7、
:解一半径为 的球体均匀带正电，体电荷密度为,球内有1R
一半径为 的小球形空腔，空腔中心 点与球心 O点相距为 a。如图所示。求空腔内任一点 P的场强 并画出腔内电力线分布图。
2R
'O
E?
分析：整个空腔带电体可以看
）的场叠加。
（密度为 ）的实心球体及半径成半径为 的均匀带正电荷为 的均匀带负电荷（密度为
1R
2R
令
aOOrPOrOP
则 arr
（ 1）对于实心球体,1R
0
3
1
34
r
SdE
rE
0
1 3?
（ 2）对于实心球体,2R rE
0
2 3?
同理有
arrEEE
00
21 33?
即空腔内为均匀电场，大小为,方向沿矢量 方向。a
03?
a?
r?
ra?
P方法说明本题主要用了“挖补法”，同时借助数学中的“矢量”，从而巧妙解答问题。
§ 1.1~1.2 电荷 库仑定律与叠加原理
§ 1.3~1.4 电场和电场强度静止点电荷的电场及其叠加
§ 1.6 高斯定律
§ 1.5 电场线和电通量
§ 1.7 利用高斯定律求静电场的分布
§ 1.1~1.2 电荷 库仑定律与叠加原理
Ce 19106.1
∈
1q 2q
2q1q
12r?
12r?
21r?
21r?
12F?
12F?
21F?
21F?
同号为斥力21,)( qqa
异号为吸力21,)( qqb
单位矢电荷指向受力点电荷的为由施力点真空中,rr
r
qqF*?
4
1
2
21
0
为真空中的电容率其中 0?
两个点电荷 1q 2q与 之间的相互作用力的大小和 21,qq 的乘积成正比，和它们之间的距离 r的平方成反比；作用力的方向沿着它们的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。
rrr
qqF
02 21?4
1 其中介质中,
rrr
qqF
02
21?
4
1 其中介质中,
.,
),(
,.,
:
的作用力从而减弱了带电体之间的电荷量了带电体其宏观效果相当于减少束缚电荷极化而出现极化电荷电介质会发生时当带电体处于电介质中不导电电介质就是绝缘体介质中
_
_
__
_ _ +_
+ +
+++
介质中真空中且用名：相对介电常数）电介质相对电容率（曾
：真空介电常数）：真空电容率（曾用名介质介电常数）介质电容率（曾用名：
1
1
:
:
0
r
r
r
0q
FE
.,,,.2
).1
质量动量具有能量电场是物质的一种形式）
否无关。
它电荷存在与其周围就有电场，与其只要空间有电荷存在，
0
0
0
q
F
E
q
F
Fq
场强度为本身的性质，则定义电关的量，它反映了电场是一个与实验电荷无，比值力为在电场中某一点所受的实验电荷
§ 1.3~1.4 电场和电场强度静止点电荷的电场及其叠加
rrQqFE
4 1 2
0
的正负决定）与其方向由 Qr(
rr QqFq4 1 200受力
Q 0qr
rr
r?
F?
r
E
q>0
q<0
1Q 2Q
3Q i
Q
nQ
0q
ir?
000
2
0
1
0 q
F
q
F
q
F
q
F
q
F ni
n
i
i
i
in
i
ini rr
QEEEEEE
1 21
21?4
1
即：
ni FFFFF
21
实验表明，电场力满足迭加原理空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点产生场强的矢量和
l?
q? q? lqP
电矩
22
22
)2/(
2/
2c o s2
)2/(4
1
)
lr
l
EEE
E
lr
q
E
r
的场强点（求轴线的中垂线上任一
32/322 4))2/((4
1
r
P
lr
qlE
)(4 3 lrrPE
l?
q? q?
E
E
E?
r
在均匀电场中
0F?
EPMq?
q?lM?
E?
l?q? q?
r
EE?O
一点的场强上求电偶极子轴线延长线
2)2/(4 lr
qE
2)2/(4 lr
qE
3224
22
4
2
)2/1()2/1(4
2
)2/()2/(4
1
r
P
rlrlr
q r l
lr
q
lr
q
EEE
)(
4
2
3 lrr
PE
0q
r?dq
rrdqEd4 1 2
qq rrdqEdE
4 1 2
q
体电荷密度）体分布面电荷密度）面分布线电荷密度线分布
:3
:2
,)1
dvdq
dsdq
dldq
式，步骤如下：具体计算时应采用分量**
方向。并画出表达式，，写出取微元）取合适的坐标系，再（
Ed
Eddq1
zyx dEdEdE,，）写出分量：（ 2
zzyyxx dEEdEEdEE,，积分求出：)4(
kEjEiEE zyx
)5(
(3)对称性分析可简化计算，能使我们立即判断电场强度的某些分量为零
，棒外，总电荷量为点的场强。设棒长为计算均匀带电细棒外一 QL
点的场强。求
，和间夹角分别为和棒两端的连线与棒之，离开棒的垂直距离为一点
P
PaP 21
P
Y
o X
a
1? 2
Ed?
xdE
ydE:解
dll
，）选如图坐标系（ XoY1,dldlLQdq取
24 r
dldE
,其方向如图。点的场强为它在 EdP?
c o s4c o s)2( 2rdldEdE x
：三个变量，统一变量有上式有?,,lr
22222
2
c s c
c s c
c t g)
2
(tg
alar
dadl
aal
:1例
)c o s( c o s4);s in( s in4)3( 2112 2
1
2
1
adEEadEE yyxx
jiaE )c o s( c o s)s i n( s i n4)4( 2112
jajEE y2电细棒讨论：一无限长均匀带
dadEdE y s in4s in
c o s4c o s)2( 2rdldEdE x
22222
2
c s c
c s c
alar
dadl
daa dardldE x c o s4c o sc s c4 c s cc o s4 22
2
2
o
R
X
:解任一点的场强。
）的轴线上，带电量为径为计算均匀带电圆环（半 QR
24 r
dldE
r
R
r
dldEdE
24si n
;24 2322
2
0 3
2
0 xR
xR
r
d l xdEE RR
xx
x Ed?
r?
dl
P
（方向如图）
r
x
r
dldEdE
x 24c o s
（对称性分析）0E
:2例所以，由对称性 =E⊥ 0
a
,y
z
x
Ed当 dq 位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。
qd
Ed
ixR
xRiEE
x
23222?
2322
2
0 2
2
0 24 xR
xR
r
d l xdEE RR
xx
x
E
2
R
相当于点电荷时，当
24
1
x
Q
ERx x
.
00,
有一极大值时的关系如图与
E
ExxE
2/322 )(4
1
Rx
Qx
o
P
x
R
r
dr
2/322 )(4
1
rx
QxE
x
2/322 )(4
1
rx
x d qdE
x r d rdsdq 2
RoRox rx r d rxrx r d rxdEE 2/3222/322 )(2)( 24 1
求均匀带电圆盘的电场例,
)1(2
22 Rx
x
处的电场强度圆心的圆弧上，求，圆心角为均匀分布在半径为设电荷例
O
aq 0,?
a 0?
dq
O
Ed?
EdEd
dqada qdldq
00
解：
Ed
da qadqdE
0
22 4
1
4
1
x
y
处的电场强度方向向下根据对称性,O
（方向向下）)2/s i n (
2
c o s
4
1
c o s
0
0
2
0
2
2
2
0
0
a
q
d
a
q
dEE
dEdE
yy
y
+ +
+ +
+
一带电细棒被弯成半圆型，上半部均匀带 +Q电荷，下半部均匀带 -Q电荷，半径为 R,求圆心 O处的电场强度大小
y
R
++
+
+
-
-
- -
xO
E
E
E
分析：先分别求 +Q,-Q产生的电场强度，再矢量迭加
)(
4
c o s2
4
s i n
2)2/(
22
2
轴负向沿总场
y
R
Q
EE
R
Q
EE
结果，再求解。本例可以利用例 2*
:解
o P
x
选取如图所示坐标轴，
化，密度沿园盘半径线性变的带电圆盘，其面电荷半径为 R
处的场强。为中心。求在圆盘轴线上距盘为 xORr 10
Ed?
把园盘分成许多扇形,再把每一个扇形分为许多弧状带。
drrddsdq:其带电量为方向。则的场强沿相对园盘对称，故点由于点 xPP
2
0 0 2222
0
0
22
0
.
1
4
1co s
4
1 R
xP r d r drx
x
rx
R
r
rx
dsdEE
x xRRRxdr
rx
Rrrdx R 22
0
02
0 0 2322
0
0 ln1
2
1
4?
X
d
rdr
，，扇形角为状带，带宽为?ddr
的弧相距有一与 ro
:3例
）表示电场强弱。的疏密（电场线密度
，用电场线线的切向表示电场方向电场线的意义：用电场
dS
dN
§ 1.5 电场线和电通量地方中断。。但不会在没有电荷的荷（或伸向无穷远处） 于负电或来自无穷远处），止）电场线起于正电荷（（ 1
电荷上去。全部电场都线集中到负荷出发的电荷一样多，则由正电）若带电体系中正、负（ 2
定的方向。一点的场强只有一个确电场中每电场线不会相交，因为）在没有电荷处，两条（ 3
形成闭合线。）静电场中的电场线不（ 4
图几种常见电场的电场线
）点电荷的电场线（ a
荷的平行板电场线
）一对带等量异号电（ b
的电场线
）两个同号点电荷（ b
的电场线
）两个异号点电荷（ b
等于该点的电场强度量电场中某点的电位移矢 D?
的乘积。与该点处介质的电容率矢量?E?
ED
移矢量均为：大均匀电介质中的电位点电荷在真空中或无限
rrqD4 2
特点：与介质（束缚电荷）无关。
位移矢量均为：限大均匀电介质中的电点电荷系在真空中或无
n
i i
i r
r
qD
4 2?
电场线：
始于正电荷（自由电荷与束缚电荷），
止于负电荷（自由电荷与束缚电荷），
在电介质表面不连续。
电位移线：
始于正自由电荷，止于负自由电荷，
在电介质表面连续。
面的电场线总数，在电场中穿过任一给定通量）称为通过该面的电通量 Ee?(?
1.均匀场强，平面 S
E,通过垂直于场强方向单位面积电场线根数
S
E
n
ESe
的方向同方向与平面法线且 nE
夹角为 的方向与 均匀场强n E,,2
SEES
S
e
c o s
c o s投影面积
n
E
S
cosS
S
dSESdEd e?c o s
SdEdSES ssec o s,
se SdE
表示为：通过封闭曲面的电通量通量的表达式如下：同理，我们得到电位移
sD
sD
SdD
SdD
ds
n? E?
2
0
2
0
2
0
3.非均匀场强，曲面电通量为：
可视为平面）取一小面元,(dS
的选取有关正负与法线不闭合曲面，电通量的 n?
向外规定法线 n?
S
E?
S
(电场强度通量 )电通量 e? 通过某一面的电场线数
ESe
ss
e E d ssdE c o s
co sESSEe
s s
e dsEsdE c o s
S
E?
n?
E?
S
E?ds
nn?ds?
的封闭球面：对于包围自由点电荷 q
q
rEE d s
E d ssdEd
r
r
q
E
s
e
e
2
2
4
4
1
面，其电通量为取一同心球面作为高斯
源电荷之间的关系：上式反映了电通量与场
。以所包围的自由电荷量除等于该闭合曲面通过封闭球面的电通量
e?
§ 1.6 高斯定律
內內即除以电荷的代数和围的自由等于这个闭合曲面所包的电通量称为高斯面通过任一闭合曲面在静电场中
S
i
s
e
S
i
e
qSdE
q
S
1
:,
,
高斯定律
1,高斯定律内容与数学表达式（电位移矢量表述）
内容,在任何静电场中，通过任一闭合曲面（高斯面）的电位移通量，等于这个闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。
iseisD qsdEqsdD?1 或：即：
2.几点说明
.00,00)1( DiDi qq 时，时，说明静电场是有源场，
电位移线始于自由正电荷，终于自由负电荷。
（ 2）通过封闭曲面的电通量，由封闭曲面所包围的自由电荷的多少决定，与曲面外的电荷无关。
（ 3）曲面内、曲面上任一点的场强是由曲面内外的电荷共同激发的，与曲面外的电荷及分布有关
qSq 的电通量为的任意同心球面包围点电荷)1(
q
sdEsdE
q
S
ss
e
的电通量均为面通过包围点荷的任意曲)2(
q S
E
S?
q
rEE d s
E d ssdEd
r
q
E
s
e
e
2
2
4
4
1
球面高斯面
（ 3）通过不包含电荷的任意闭合曲面 S电通量恒为零电力线不会在没有电荷的地方中断,穿入 S电力线必定从其它地方穿出去
S
E?
(4)连续分布电荷的高斯定理面所在处介质电容率高斯面上面外在面內在其中个点电荷设共有內
S
q
qqq
sdEsdEsdEsdE
sdEEEEEsdE
o u tEEinEEE
SqqqSqqqkn
S
i
n
s
kn
s
n
s
n
s
knnn
sS
knnn
knnnn
:
00
)(
)()(
.,,,,
)(
21
11
121
11
21,2,1
(4)点电荷系的高斯定理
dqsdEs?1
024?
q
、例 1 如图，一点电荷 q位于立方体的 A角上，则通过 abcd面的 E通量 e? 是多少。
:解
a
b
c
d A
先假设点电荷 q位于立方体中心，则通过每一侧面的通量都为总通量
。的 61
0?
q
e 作 7个体积相同的立方体，
使 A点位于一个大立方体的正中。
所以通过 abcd的通量为
§ 1.7 利用高斯定律求静电场的分布
Ro
、例 2 求均匀带电球体的电场强度。球的半径为 R，所带的电量为 q，球体电容率为 1?,球外介质的电容率为 2? 。
:解
1P
2P
1S
1r
2S
2r
111 111 SSS dSDdSDSdD
3
3
1
2
11
3
43
44
R
qrrD
RrrRqD 1131 4?
RrrRqE 113
1
1 4
）球内（ 1
）球外（ 2
qrDdSDSdD SS 22222 4)2(
22
RrrqD 22
2
2 4?
RrrqE 22
22
2 4
E
r
D
r
(b)电位移 与 r的关系
（设 > ）1?
(a)场强与 r的关系
2?
13
1
1 4 rR
qE
球内：
、例 3 计算无限长均匀带电圆柱面的电场。?R
S P
r
P
俯视图
SSD dSDSdD?c o s
:解
上底侧面 dSDdSD c o sc o s
iqdSD下底?c o s
rDdSD 2c o s侧面
0c o sc o s 下底上底 dSDdSD
其中
r
RDRrD 22
RrErRE 22 或
R
E
r？思考：圆柱面内的场强圆柱面外
E
r
高斯面
l
E
高斯面
lr
例 4,计算无限大均匀带电平面的电场。
S
E?
E?
（ a） 电场线的分布 （ b） 高斯面的取法
:解
iS qdSDdSDdSDdSD 21 c o sc o sc o sc o s 底面底面侧面
其中
0c o sc o s 21 SDdSDdSD 底面底面
20c o s侧面 dSD
所以 SSD2
2
D
2?E
S?
例 5,计算无限大均匀带电平板（厚度为 d）的电场。
x
S?
d
:解 平板内)1(
后前下 dSDdSDdSD c o sc o sc o s
右左 dSDdSD c osc os
其中 下上 dSDdSD c o sc o s
20c o sc o s 后前 dSDdSD
SxSD 22 1
2||
0
1 dx
xExD
时沿负向。正向，时沿方向,00 xxx
0
2 22?
dEdD
上 dSDdSDS c osc os
SdSD22平板外)2(
分析：尽管电荷不是均匀分布，
小相等，方向为矢径方向。
使得场强也具有对称分布，即但由于电荷分布对于 O点对称，
以 O点为球心的球面上处处的场强大
11
11 0
2
40
22
1111 444
rr
iSS drrR
qrdrrqrDdSDSdD?
例 6、
:解
O R1r
1S
2r
2S
4
4
1211 4
R
qrrD即 21
1 4 R
qrD
RrRqrE 14
2
1
1 4
qdrrqrDdSDSdD RiSS 0 222222 44
22
2
2
2 4 r
qD
RrrqE 22
20
2 4
一半径为 R的带电球体，其电荷体密度分布为
Rr
Rr
R
qr
0
4
（ q为一正常数），计算其内外的场强分布。
球体内)1(
球体外)2(
O
'O
例 7、
:解一半径为 的球体均匀带正电，体电荷密度为,球内有1R
一半径为 的小球形空腔，空腔中心 点与球心 O点相距为 a。如图所示。求空腔内任一点 P的场强 并画出腔内电力线分布图。
2R
'O
E?
分析：整个空腔带电体可以看
）的场叠加。
（密度为 ）的实心球体及半径成半径为 的均匀带正电荷为 的均匀带负电荷（密度为
1R
2R
令
aOOrPOrOP
则 arr
（ 1）对于实心球体,1R
0
3
1
34
r
SdE
rE
0
1 3?
（ 2）对于实心球体,2R rE
0
2 3?
同理有
arrEEE
00
21 33?
即空腔内为均匀电场，大小为,方向沿矢量 方向。a
03?
a?
r?
ra?
P方法说明本题主要用了“挖补法”，同时借助数学中的“矢量”，从而巧妙解答问题。
