§ 3.1~3.2 静电场的保守性 电势差和电势
§ 3.3 电势叠加原理 电势的计算
§ 3.7 静电场的能量
§ 3.4~3.5 电势梯度 电荷在外电场中的静电势能（自学）
第 3章 电 势
ldEqldFdA 0dlEq?c o s0?
Ed rq0? drrqq 2
0
0
4
baab dAA barr rdrqq 2
0
0
4
ba rr
qq 11
4 0
0
思考与路径无关，只与始末位置 有关。abAba rr,
如果场电荷不是点电荷 q，而是一个点电荷系，
结果如何呢？
b
q
a
0q
ar br
ld?drF?
r drr?
§ 3.1~3.2 静电场的保守性 电势差和电势如果场源电荷不是点电荷 q，而是一个点电荷系，则：
baab ldEqA0
n
i
b
a i ldEq1 0
n
i biai
i
rr
qq
1 0
0 11
4
仍与路径无关。abA
结论实验电荷在任何静电场中移动时，
电场力所做的功，仅与实验电荷量及其始、末位置有关。即静电场力是保守力。
011
41 0
0
n
i biai rr
qqldEqA
0 ldE
可见，静电场强沿任一闭合环路的线积分恒等于零。
它反映了电场 能 方面的性质。
由于 是一个只与电场有关而与实验电荷无关的
0q
FE
量。所以它反映电场的 力 方面的性质。与此类似，
0q
Wab
也与 无关。完全由电场 a,b两点的性质决定。显然0q
定义,a,b两点的电势差为
00 q
AldE
q
WU abb
a
ab
ab
（ 1）电场中 a,b两点的电势差在数值上等于将单位正电荷从 a移到 b电场力所做的功。
（ 2） 沿电力线方向电势降低,逆电力线方向电势升高 。
说明
(1)定义,电场中某点电势的高低，是相对参考点而言的。一旦参考点（零电势点）选定，则任一
参考点PP ldEU（ 2）电势与电势差：
bababaab UUldEldEldEU 参考点参考点
显然，电场中某点的电势高低，由零电势点的选择 而定。但任意两点间的电势差 却与零势点的选择无关。abU
（ 3）电场力作功与电势：
babaab UUqldEqA 00
点 P的电势为
（ 1）零电势点允许有一定的任意性。但要保证电势的表达式有意义。
（ 2）一般选无限远处的电势为零，或者选大地电势为零。
r
qldEU
PP4
显然,.0,0;0,0 PP UqUq
（ 2）连续带电体的电势,
r
qdU
P4
对于线分布、面分布、体分布的带电体，通常分别取：
dVqddsqddlqd,,
（ 这种取法与用电场强度叠加原理求场强时相同。）
§ 3.3 电势叠加原理 电势的计算
1q 2q
3q iq
nq
P（ 1）点电荷系的电势：
n
i i
in
i
i r
qU
11 4
P ni iPP ldEldEU 1 ni P i ldE1
即，一个点电荷系的电场中某点的电势，等于各个点电荷单独存在时在该点所产生电势的代数和。
电势的计算有两种方法：
（ 2）由电势叠加原理计算。
以求得）。再由 求出； PP ldEU
（ 1）先求出场强分布（多种情况下由高斯定理可例 1,两个异号的点电荷 ne和 -e（ n>1）。相距为 a,1.求空间任一点的电势 ; 2.证明电势为零的面为一个球面。
:解
e?
ne
O
Z
Y
X
)2,0,0( a
)2,0,0( a?
),,( zyxP1r
2r
（ 1）选取如图所示的坐标，
则 点的电势为,),,( zyxP
即 2010
44 r
ne
r
eU
P
2220 24 azyx
neU
p
2220 2
1
4 azyx
e
（ 2）令 有0?U
044
2010
rnere n
r
r?
1
2
即
nazyx
azyx
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
222
112
1?
n
na
n
nazyx
显然上式为一个球面方程。
:解
O P
XR
x
dl
22 xRr
整个带电环在 P点的电势则 dl
R
qdldq
2
22284 xRR
q d l
r
dqdU
22
2
0 222 48 xR
q
xRR
q d ldUU R
显然在 时有Rx
x
qU
4?
建立如图所示坐标系，取 dl
计算均匀带电圆环轴线上任一点 P的电势。设这圆环放在电容率为 的无限大均匀电介质中，环的半径为
R，电量为 q。
例：
例 3 三个同心带电导体球壳，半径分别为,求电势分布。 321,,RRR
:解
1R
2R
3R 1
23
4
1q
2q
3q由高斯定理得
11 0 RrE
212
0
1
2 4 RrRr
qE
322
0
21
3 4 RrRr
qqE
32
0
321
4 4 Rrr
qqqE
则 4
3
3
2
2
1
1
43211
R
R
R
R
R
R
R
rr drEdrEdrEdrEldEU
30
3
20
2
10
1
444 R
q
R
q
R
q
3322 4322 RRRRrr drEdrEdrEldEU
30
3
20
2
0
1
444 R
q
R
q
r
q
30
3
0
21
433 443
3
R
q
r
qqdrEdrEldEU
R
R
rr
r
qqqdrEldEU
rr
0
321
44 4
（ 1）区域 1，均处于球 1、球 2、球 3之内
30
3
20
2
10
1
1 444 R
q
R
q
R
qU
（ 2）区域 1，处于球 1之外，球 2、球 3之内
30
3
20
2
0
1
2 444 R
q
R
q
r
qU
同理可得
43,UU
RrE
Rr
r
q
E
qR
0
4
1
.,,,,,:
2
2
21
解求电势分布外部介质內部介质电量半径均匀带电球壳例
R
q
1?
2?
积分分段场要分区关键球內电势球外电势
,:
)(
44
1
0
44
1
2
2
2
2
2
2
Rr
R
q
r
q
dr
dlEU
Rr
r
q
r
q
dlEU
R
R
r
P
P
rP
p
U
r
R
,
)0(,
,,,,2:
电场力作功为多少的过程中点移到点沿路径的点电荷从则把和和点电荷分别放有为半径的半圆弧以为中心是以距离为例
OD C ODQQqq
BAlBO C DlAB
l
q
l
q
l
q
U
U
D
6
4)3(4
0
0
解
l
Qq
WWWA
l
Qq
QUWWQ
DDOD C O
DDO
6
)(
6
,0
量的负值电场力作功为电势能增的电势能则
+q A B -q
C
D
l2
O
电场中电势相等的点所构成的曲面。
以点电荷 q的电场为例有：
r
qU
04
nEldEU PP 2
1
n
U
n
UE
n?
0
l im
结论等势面密集处，
场强数值大，电场线也密集。
性质：
（ 1）等势面与电场线处处正交。
（ 2）电场线总是由高电位等势面指向低电位等势面。
（ 3）等势面密集处场强大，等势面稀疏处场强小。
0co s00E d lqldEqdA
ldE 即20c o s
§ 3.7 静电场的能量把一个带电体系带电 Q的过程设想为不断地把 dq从无穷远处搬移到带电体上的过程，则 U dqdA?
WUdqdAA Q 0
对于平板电容器 dq
C
qdqUdA
ab
C
Qdq
C
qdAA Q 2
0 2
1
UQCUCQW 212121 2
2
故将平行板电容器公式变形：
VEdEdSCUW 2222 212121
提出电场能量密度概念 (单位体积中的电场能量 )
DEEdVdWw 2121 2
一般地,推广到任意电场 (非均匀,交变场 ).
VV dVEw d VW 221,?整个空间中的电场能量
dVEw d VdWdV 221,体积中的电场能量为
E?
2
2
1 Ew
e
V ee dVwW
计算某一空间体积内电场能量的方法
（ 1）用高斯定理求 分布 ;
（ 2）写出,取体积元 dV ;
（ 3）积分
§ 3.3 电势叠加原理 电势的计算
§ 3.7 静电场的能量
§ 3.4~3.5 电势梯度 电荷在外电场中的静电势能（自学）
第 3章 电 势
ldEqldFdA 0dlEq?c o s0?
Ed rq0? drrqq 2
0
0
4
baab dAA barr rdrqq 2
0
0
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ba rr
qq 11
4 0
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思考与路径无关，只与始末位置 有关。abAba rr,
如果场电荷不是点电荷 q，而是一个点电荷系，
结果如何呢？
b
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§ 3.1~3.2 静电场的保守性 电势差和电势如果场源电荷不是点电荷 q，而是一个点电荷系，则：
baab ldEqA0
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n
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仍与路径无关。abA
结论实验电荷在任何静电场中移动时，
电场力所做的功，仅与实验电荷量及其始、末位置有关。即静电场力是保守力。
011
41 0
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0 ldE
可见，静电场强沿任一闭合环路的线积分恒等于零。
它反映了电场 能 方面的性质。
由于 是一个只与电场有关而与实验电荷无关的
0q
FE
量。所以它反映电场的 力 方面的性质。与此类似，
0q
Wab
也与 无关。完全由电场 a,b两点的性质决定。显然0q
定义,a,b两点的电势差为
00 q
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（ 1）电场中 a,b两点的电势差在数值上等于将单位正电荷从 a移到 b电场力所做的功。
（ 2） 沿电力线方向电势降低,逆电力线方向电势升高 。
说明
(1)定义,电场中某点电势的高低，是相对参考点而言的。一旦参考点（零电势点）选定，则任一
参考点PP ldEU（ 2）电势与电势差：
bababaab UUldEldEldEU 参考点参考点
显然，电场中某点的电势高低，由零电势点的选择 而定。但任意两点间的电势差 却与零势点的选择无关。abU
（ 3）电场力作功与电势：
babaab UUqldEqA 00
点 P的电势为
（ 1）零电势点允许有一定的任意性。但要保证电势的表达式有意义。
（ 2）一般选无限远处的电势为零，或者选大地电势为零。
r
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PP4
显然,.0,0;0,0 PP UqUq
（ 2）连续带电体的电势,
r
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对于线分布、面分布、体分布的带电体，通常分别取：
dVqddsqddlqd,,
（ 这种取法与用电场强度叠加原理求场强时相同。）
§ 3.3 电势叠加原理 电势的计算
1q 2q
3q iq
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P（ 1）点电荷系的电势：
n
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11 4
P ni iPP ldEldEU 1 ni P i ldE1
即，一个点电荷系的电场中某点的电势，等于各个点电荷单独存在时在该点所产生电势的代数和。
电势的计算有两种方法：
（ 2）由电势叠加原理计算。
以求得）。再由 求出； PP ldEU
（ 1）先求出场强分布（多种情况下由高斯定理可例 1,两个异号的点电荷 ne和 -e（ n>1）。相距为 a,1.求空间任一点的电势 ; 2.证明电势为零的面为一个球面。
:解
e?
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O
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（ 1）选取如图所示的坐标，
则 点的电势为,),,( zyxP
即 2010
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显然上式为一个球面方程。
:解
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建立如图所示坐标系，取 dl
计算均匀带电圆环轴线上任一点 P的电势。设这圆环放在电容率为 的无限大均匀电介质中，环的半径为
R，电量为 q。
例：
例 3 三个同心带电导体球壳，半径分别为,求电势分布。 321,,RRR
:解
1R
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3R 1
23
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3q由高斯定理得
11 0 RrE
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21
解求电势分布外部介质內部介质电量半径均匀带电球壳例
R
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电场力作功为多少的过程中点移到点沿路径的点电荷从则把和和点电荷分别放有为半径的半圆弧以为中心是以距离为例
OD C ODQQqq
BAlBO C DlAB
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解
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量的负值电场力作功为电势能增的电势能则
+q A B -q
C
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O
电场中电势相等的点所构成的曲面。
以点电荷 q的电场为例有：
r
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04
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结论等势面密集处，
场强数值大，电场线也密集。
性质：
（ 1）等势面与电场线处处正交。
（ 2）电场线总是由高电位等势面指向低电位等势面。
（ 3）等势面密集处场强大，等势面稀疏处场强小。
0co s00E d lqldEqdA
ldE 即20c o s
§ 3.7 静电场的能量把一个带电体系带电 Q的过程设想为不断地把 dq从无穷远处搬移到带电体上的过程，则 U dqdA?
WUdqdAA Q 0
对于平板电容器 dq
C
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1
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2
故将平行板电容器公式变形：
VEdEdSCUW 2222 212121
提出电场能量密度概念 (单位体积中的电场能量 )
DEEdVdWw 2121 2
一般地,推广到任意电场 (非均匀,交变场 ).
VV dVEw d VW 221,?整个空间中的电场能量
dVEw d VdWdV 221,体积中的电场能量为
E?
2
2
1 Ew
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计算某一空间体积内电场能量的方法
（ 1）用高斯定理求 分布 ;
（ 2）写出,取体积元 dV ;
（ 3）积分
