光波 波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度 2AI?
微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多,NI?
* 2w
‘波函数’是什么？
物质波波动：电子波的强度 2I
W?微粒,NI? （电子数） （单个电子在该处出现的几率）
（波函数模的平方）
波函数又称为几率波
13-6 波函数 薛定谔方程
2? 与粒子 (某时刻、在空间某处 )出现的几率成正比一 波函数物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是 几率波！
对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的。
波函数所反映的只是微观粒运动的统计规律。
物质波是什么呢？
结论几率波 是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的单次过程,
宏观物体,讨论它的 位置 在哪里微观粒子,研究它在那里出现的 几率 有多大区别波函数的性质粒子在整个空间出现的几率, dwW
1）波函数具有归一性
1 2 dV
V
2）单值性：
3）连续性
4）有限性波函数的标准化条件波函数的统计解释（波恩诠释）
波函数?本身并无物理意义，而波函数的模的平方（波的强度）代表时刻 t、在空间
r点处，微观粒子出现的几率，
（玻恩把,颗粒性,与,可叠加性,统一起来） 1954年 玻恩获诺贝尔物理奖
(r,t)…… 称为,几率振幅,或,状态,
(r,t)? 2…… 称为,几率密度,或,几率,
(r,t)? 2 =?(r,t)*?(r,t)
若体系具有一系列不同的可能状态,1,?2···?，
则它们的线性组合?=C1?1,+C2?2+··· 也是该体系的一个可能的状态。其中 C1,C2 ···为任意复常数。
5）状态叠加原理：
理解：波函数和微粒的波粒二象性
弱电子流衍射实验
电子双缝衍射实验电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）
开始时底片上的点子,无规,分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。
衍射图样说明每个电子到达屏上各点有一定几率，
衍射图样是大量电子出现几率的 统计结果。
衍 射 图 象实 验 原 理
1） 1949年，前苏联物理学家 费格尔曼 做了一个非常精确的 弱电子流衍射实验,
2）电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致了在叠加态下观测结果的 不确定性（ 进一步理解波函数） 。
2211 CC
1P
A
2P
B
S? D
1
2
P
当双缝同时打开时，
一个电子同时处在
1态和?2态。双缝同时诱导的状 态 是它们的线性组合态。
单缝 1使通过它的电子处于?1态；单缝 2
使其处于?2态。
处于两态的几率分别为：
222 ||?C211 ||?C
只开缝 1---强度分布为 I1 (状态为?1,几率分布为1?2 )
只开缝 2---强度分布为 I2 (状态为?2,几率分布为2?2 )
电子枪 1
2
I2I1+ 分布 双缝干涉 分布电子有粒子性，一个电子只能从一个缝通过；
电子有波动性，其状态服从叠加原理,
状态为?1 +?2,几率分布为1 +?2?2
同时开缝 1,2---分布不是 I1+ I2,而是双缝干涉分布。
2211 CC
因为状态叠加
2W
)(
)(
**
****
12212121
12212122
2
211
2
1
CCWW
CCCCW
第三项称为相干项。
量子力学中 态的叠加原理 导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图样。
它是由微观粒子波粒二象性所决定的。
,|| 2111?CW? 2222 ||?CW?处于两态的几率分别为：
双缝同时打开时，电子的几率分布为：
态叠加原理：统计规律中的几率幅相加律,
（而不是几率的相加律）
1926年，奥地利物理学家薛定格 （ Schrodinger 1887-1961）
得出的方程称为薛定格方程。
贡献,量子力学找到微观粒子在不同条件下的波函数的方法，归结为求各种条件下薛定格方程的解。
1933年薛定格获诺贝尔物理奖 。
二 薛定谔方程
),()],(2[),( 2
2
trtrUmtrti
2
22
2 xmti?
)pxEt(ie)t,x(
0
2
2
2
2
p
x
Ei
t
对于非相对论粒子 mpE 22?
2
22
2 xmti?
一维自由粒子的波函数
（ 1）一维自由粒子的薛定谔方程
（ 2）粒子处在外场中的薛定谔方程在外力场中粒子的总能量为,),(
2
1 2 trUp
mE
Uxmti 2
22
2
薛定谔方程
2
2
2
2
p
x
Ei
t
拉普拉斯算符 哈密顿量算符势场中的薛定谔方程 ),(?),( trHtr
ti
),(2 1 2 trUpmE
),()],(2[),( 2
2
trtrUmtrti
2
2
2
2
2
22
zyx?
),(
2
22 trU
mH
)()(),( tfrtr
如果势能函数不是时间的函数代入薛定谔方程得：
)()()(
2)(
11 22 rrUr
mrt
f
f
i
用分离变量法将波函数写为：
)(2? 2
2
rUmH
只是空间坐标的函数只是时间的函数
(3) 定态薛定谔方程 ),(?),( trHtr
ti
Etffi1?令 Et
i
Aetf)(
ErUm )(2 2
2
Etiertr )(),(?
粒子在空间出现的几率密度 222 )(),( Etiertr 2)(r
几率密度与时间无关，波函数描述的是 定态定态薛定谔方程定态波函数
02 22
2
)x()VE(m)x(dxd粒子在一维势场中
A 是待定复常数,E 有能量量纲,以后可知是粒子的总能量定态微观粒子的势能函数 U 与时间 t无关的稳定的势场问题，例如
自由运动粒子 ………… U = 0
氢原子中的电子 ……
r
eU 2
04
1
这时波函数?（ r,t） 可以用 分离变量法 分离为一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。
EtiAetf)( ErU
m
)(
2
2
2
自由粒子的定态薛定格方程为
02 22
2
Em
dx
d
二阶常系数常微分方程最简单的例子,介绍量子力学处理问题的最基本方法，并得出一些重要的结论。
晶体 衍射屏自由运动区
U = 0
电子枪
K
A
求一维自由运动微观粒子的波函数。
ErUm )(2 22
22 pmE?令
02
2
2
2
p
dx
d得
02 22
2
Emdxd?
xpie
1?
xpie
2?
两个特解,
所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解,
)(
11 )()(),(
xktitixki
t
E
i
x
p
i
eAeeA
eeAtfxtx
沿 + x 方向的平面单色波沿 - x 方向的平面单色波 )(22
)()(),(
xktitixki
t
E
i
x
p
i
eAeeA
eeAtfxtx
13-7 一维无限深方势阱一,一维无限深势阱中粒子的波函数与能量金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范称为 束缚态。
作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运动，即它的势能函数为,
axx
axxU
,0
00)(
区 区 区分析,这种势场表示粒子可以在势阱中运动，但不能越出势阱，
因为 x? 0,x? a 区域的势能为无穷大。
（这是一个理想化的模型）
0)(2 22
2
UEmdxd?
0)(0)0(
0)(0)(
a
xx
ⅢⅠ
0)(2 )( 222 xmExd xd
2
2 2
mEk?令由于在 I,III 两区的 U(x)＝?，为保证波函数有限的物理条件，显然在区域中解：
axx,0
在 II区域 中,U(x)＝ 0,粒子的定态 薛定谔方程为,0 ax
其通解为,kxBkxAx c o ss in)(
（定态问题）
区 区 区
022
2
kdxd
kxBkxAx c oss i n)(
式中 A,B,k可用 边界条件,归一化条件 确定根据边界条件
0)0(
)2(0)co s ()s i n( kaBkaA
由（ 1）可得,0?B kxAx s in)(
0)s in(?kaA
nka
由（ 2）可得：
)1(0)0co s ()0s i n( BA
0)(?a?
)1,2,3,(n ank?
mEk 2?
0?A
0sin?ka
! 0?n
这样的波函数不满足归一化条件 !
若,0?k 0)(?x?注意：,0?n
‘ k ’是什么？
—— 能量本征值
2
2 2
mEk?
ank
),2,1( 22 222222 nmanmkE n?
)1,2,3,(n ank?
kxAx s in)(
mEk 2?已知：
xanAx s in)(? )1,2,3,(n
式中的 A 可由归一化条件确定,1)( 2
dxx?
而方程的解为：
1)(s in 2
0
2 dxx
a
nAa 1
2
2 aA
a
A 2?
即,0?B
薛定谔方程的解：
)(xn?
0
)s i n (2 xana? ax0
axx,0
势阱中粒子的波函数：
)s i n (2)( xanax —— 本征函数
),2,1( 22 222222 nmanmkE n?
—— 能量本征值
),2,1( 2 2222 nmanE n?
（ 1）能量是量子化的相邻两能级的间隔：
2
22
2)12( manE
Ea
En
,
,
当势阱 宽度 a小 到原子的尺度,?E 很大，能量的 量子化显著当势阱 宽度 a大 到宏观的尺度,?E很小，能量 量子化不显著，
可把能量看成连续,回到了经典 理论
2,一维无限深方势阱中粒子运动特点：
这是解薛定谔方程得到的必然结果，不是玻尔理论中的人为假设。
量子数每一能量值对应一个能级
3,2,1
)
8
(1 22
4
2
0
n
h
me
n
E n
对不同的 n可得粒子的能级图
2
22
2)12( manE
En?,
2 12 nnEEn
),2,1( 2 2222 nmanE n?
212 nn 0?
n当 时在高能级上可看成能级连续分布经典量子 等价玻尔的对应原理势阱内的粒子只能处于这些能量本征态或这些态的线性叠加态一维无限深势阱中各处出现的几率
)s i n (2)( xanaxn
（ 2）粒子只能处于能量本征态
)(s in2 22 xanaxn
xaax s i n2)(1?
xaax 2s i n2)(2?
xaax 3s i n2)(3?
xaax 4s i n2)(4?
)s in (2)( xanaxn
)(xn?
o Xa
n+1个 节点
3E
1E
4E
2E
3?n
4?n
2?n
1?n
稳定的驻波能级！n
E
2a
4a 43a
6a 2a 65a
8a 83a 85a 87a
2xn?
Xa
)(s in2 22 xanaxn
（ 2） 束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，半波数越多 (驻波波长越短 )，对应粒子的能级越高。
（ 3） 第 n 个能级,波函数在总区间内有 n+1个节点,节点处找到粒子的几率为零,
例,n=8 0 a
（ 1） 粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态，从物理意义上理解束缚定态方程 的解，是一些 驻波 。这些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒 子在 0 < x < a 范围内哪些地方出现粒子的 几率 最大、最小。
（ 4） 当 n,粒子在各处出现的几率相同
—— 量子化消失 （ 能级连成一片） nn EE
(3) 要注意的几个问题
48个 Fe原子形成,量子围栏,,围栏中的电子形成驻波,
（ 2）隧道效应
（ 3）扫描隧道显微镜 (STM)
图象放大,108倍分辨本领,10-10m
ax
axx
UxU 0
,0
,
,0)(
0
13-8 氢原子的量子力学处理
1.氢原子的薛定谔方程氢原子核外电子在核电荷的势场中运动，
reU 0
2
4
（ U是 r的函数，不随时间变化，是定态问题，但不是一维问题 ）
按 一般的定态薛定谔方程,
势能函数具有球对称性，故用球坐标表示：
0)()(2)( 22 rUEmr
0)14(2s i n1)( s i ns i n1)(1
0
2
22
2
22222
reEmrrrrrr?
)()()(),,( rRr?其波函数,
设 U? =0,则 r 处：
RRreEmrdrdRrdrd
o
)4(2)( 22 22?
22s in)( s ins in mddd d分离变量可得：
解氢原子方程,可得电子的 波函数 及氢原子的一些 量子化特征：
（ 1）能量量子化：
222
0
4 1
8 nh
meE
n 主量子数:
,2,1
n
n
玻尔理论与量子力学结果一致。
（ 2）角动量量子化：
微观粒子具有动量，此动量对坐标原点（核）就有角动量
)1( llL ) n( 12,1,0 个值共 nl
角量子数:l
[玻尔理论中角动量量子化的表式,] ),2,1( nnL
玻尔理论与量子理论在此问题上的异同：
相同处：
对应着轨道 无轨道可言
L的取值与 En的取值都由主量子数 n决定
L的取值与 En的取值分别由角量子数 l 和主量子数 n决定
m vrL?
n 取值不限 n一定时
m a x
1m in l
)1(m a x
0m i n
n
可取 n个值
222
0
4 1
8 nh
meE
n 主量子数:
,2,1
n
n )1( llL 12,1,0 nl
角量子数:l
不同之处：
电子运动的能量、角动量是量子化的。
)1( llL
（ 3）角动量的空间量子化（轨道平面取向的量子化）
玻尔和量子理论都认为：氢原子中角动量 L在空间的取向不是任意的，只能取一些特定的方向（空间量子化），
B
L
L
L
L
Lz
Lz
L L
这个特征是以角动量在空间某一特定方向（例如 外磁场方向） Z 轴上的投影来表示的。
Z
mL Z? lm2,1,0
轨道磁量子数，决定 L z 的大小。m ) ( lm或对确定的,m 有 个值。l 12?l
2 氢原子的定态 （用一组量子数来描述）
a,n主量子数：氢原子能量状态主要取决于 n 。
222
0
4 1
8 nh
meE
n
)1( llL
c,m（ 轨道）磁量子数：决定 角动量空间量子化
mL Z?
nn?3,2,1?
1,2,1,0 nl?
lm 2,1,0?
n个值
（ 2）无外场时，电子的状态用 n,l 表示。
5,4,3,2,1,0?l
hgfdps,,,,,
n 个值
b,角量子数（副量子数）,角动量的量子化 由 决定l l
2 +1个值l
称为 电子在无外场时，氢原子内电子的状态有：
l
n
5 4 3 2 1 0
hfdps g
6
5
4
3
2
1
s1
ps 2 2
dps 3 3 3
fdps 4 4 4 4
gfdps 5 5 5 5 5
hgfdps 6 6 6 6 6 6
例题 画出 时电子轨道运动空间量子化情形 2,4 ln
2,1,0m
1
2
1?
2?
0
ZL
6 )12(2L
0?m
1?m
2?m
1m
2m
mL Z?
6?L
解,n=4,可取 0,1,2,3 四个值，l 依题意 = 2l
注意,量子力学中虽没有轨道的概念，但有电子的空间 几率 分布的概念。
13-9 电子自旋 四个量子数原子光谱的双线结构问题,一条谱线分裂成两条！
1,斯特恩 — 盖拉赫实验：
Q
1S 2S
S
N
L
s
O
实验现象,屏上几条清晰可辨的 上下两条谱线结论,原子磁矩只能取几个特定方向，
即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。
2,电子自旋
1925年,乌伦贝克,高斯密特提出‘电子自旋’的半经典假设,
（ 1）电子是带电小球,除绕原子核旋转有 轨道角动量 以外，还绕自身的轴旋转有 自旋角动量 和 自旋磁矩 。
（ 2）自旋角动量 S的取值是量子化的
sm
ssS
ZS
)1(
43?S
自旋角动量－－ 自旋量子数 s
自旋角动量在外磁场方向投影－－ 自旋磁量子数 ms
sm
个取值12?s
2
1?
2个值
2
1?s
2
1
sm
（ 3）自旋角动量取向量子化的表示：
2
1
Sm
ms 共 2S+1 个值，实际 2 个值自旋磁量子数
sZ mS?
B?
sL
21?sm
21sm
0
21
21?
S
sZ mS
sS
sm
ssS
ZS
)1(
总结前面的讨论，原子中电子的状态应由四个量子数来 决定：
222
0
4 1
8 nh
meE
n
)1( llL
lZ mL?
n
l
lm
sm?smS Z?
13-10 原子的中电子壳层结构
1,原子的电子壳层结构：
1916年,Kossel提出了 电子壳层分布模型,n相同的电子处于同一壳层,n大则距离原子核越远，能量越高；
同一壳层内,l不同分为不同支壳层,l越大，相应支壳层能量越高。
原子核外电子的运动状态由四个量子数描述：
sl mmln
副量子数 l = 0,1,2,3,4,5
支壳层符号 s p d f g h
主量子数 n = 1,2,3,4,5,6
壳层符号 K L M N O P
2
8
18
32
1?n
2?n
3?n
4?n
21 0 sl?
22 0 sl?
2 1 6pl?
23 0 sl?
63 1 pl?
103 2 dl?
24 0 sl?
64 1 pl?
104 2 dl?
144 3 fl?
21s
62 2 2 ps
1062 3 3 3 dps
141062 4 4 4 4 fdps
K
L
M
电子组态
N
核外电子数在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的状态（量子态）－ (不可能有相同的四个量子数 n,l,ml,ms)
0 m 1个值
1
0
1? 3个值
2
1
0
1?
2?
5个值
0?l
1?l
2?l
1 nl
1?n?
0?
)1( n
(2l+1)
个值
n 给定时 原子中 n 相同的电子数目最多为
1
0
)12(2 n
ln
lN
1?n ]
2
)12(1[2 nn
n=1 的电子，最多 2 个
n=2 的电子，最多 8 个
n=3 的电子，最多 18 个
m
m
m
22n?
2,泡利不相容原理,
是否‘ P 房间’ 有 6 个状态相同的电子？否！1?l
相当于,一个房间、三张床、上下铺”
6 个电子状态是不同的
mlP 1
{ 1
{ 0
{ 1
21sm
21sm
21sm其他以此类推
{ 00 mlS 21sm
mld 2
2
1
0
1
2
21{sm
21{sm
21{sm
21{sm
21{sm
6个 P 电子
2个 S 电子
10个 d 电子
3,能量最小原理原子系统处于稳定状态时每个电子趋向占有可能的最低能级,
（ 1）主量子数 n越 低,离核越近的壳层首先被电子 填满,
（ 2）能级也与副量子数有关,有时 n较 小 的壳层 未满,n 较 大 的壳层上却 有电子填入,
能级高低由半经验公式决定 n+0.7 l
例,4S 和 3d 状态
s4
d3
先填 4S 态
)70( ln 4
)2703( 44?
课程结束！
能够在这一生中，
确实认清自己，
为自己找到一个正确的目标，
走出一条路充分发挥了自己天赋的，
就可以算是一个成功的人了。
1927年索尔维会议爱因斯坦郎之万洛仑兹居里夫人普朗克小布喇格埃伦法斯特康普顿薛定格德布洛意玻尔泡利斯特恩 — 盖拉赫实验证实了原子的磁矩在外场中取向是量子化的。
即角动量在空间的取向是量子化的。
1、电子的轨道磁矩电子磁矩大小 IA
I
d
ze?
r
e
v?
回路包围的面积电流强度
A
I
T
eI? 周期电子电量 Te
扫过的面积时间内电子矢径 rdtdr 2
2
1
I
d
ze?
r
e
v?
绕行一周扫过的面积
T dtdtdrdrA 0 220 2 2121
dt
dmr?2电子的角动量 T dt
m
LA
0 2
电子在有心力场中运动，角动量守恒
TmLA 2?
LmeIA 2 Lme 2
是角量子数l,)l(lL 1
角动量在外磁场方向（取为 z轴正向）的投影是磁量子数llz m,mL
磁矩在 z轴的投影
Bllzz mmm
eL
m
e
22
15124 1079510279
2
TeV.TJ.
m
e
B
玻尔磁子载流线圈在外磁场中受力矩作用 BM
c o sBds i nBMdW
22
BBc o sBU z
力矩作功相互作用势能（磁矩垂直磁场方向时为势能零点）
z
B
z
Uf
zz?
磁场在 z方向不均匀，载流线圈在 z方向受力结论,原子射线束通过不均匀磁场，
原子磁矩在磁力作用下偏转。
1921年，斯特恩 （ O.Stern） 和盖拉赫
（ W.Gerlach） 发现一些处于 S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。
z
Q
1S 2S
S
N
L
s
O
v
Lt?
z
z )
v
L(
z
B
MtM
fats?222
2
1
2
1
2
1
向上偏转0?z? 向下偏转0?z?
实验现象,屏上几条清晰可辨的黑斑结论,原子磁矩只能取几个特定方向，
即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。
斑纹条纹数 =2l+1
从斑纹条纹数可确定角量子数 l
发现,Li,Na,K,Cu,Ag,Au等基态原子的斑纹数为 2
2
1?l
2
1
2
1 或
zL
矛盾？与?,,,l 210?
微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多,NI?
* 2w
‘波函数’是什么？
物质波波动：电子波的强度 2I
W?微粒,NI? （电子数） （单个电子在该处出现的几率）
（波函数模的平方）
波函数又称为几率波
13-6 波函数 薛定谔方程
2? 与粒子 (某时刻、在空间某处 )出现的几率成正比一 波函数物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是 几率波！
对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的。
波函数所反映的只是微观粒运动的统计规律。
物质波是什么呢？
结论几率波 是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的单次过程,
宏观物体,讨论它的 位置 在哪里微观粒子,研究它在那里出现的 几率 有多大区别波函数的性质粒子在整个空间出现的几率, dwW
1）波函数具有归一性
1 2 dV
V
2）单值性：
3）连续性
4）有限性波函数的标准化条件波函数的统计解释（波恩诠释）
波函数?本身并无物理意义，而波函数的模的平方（波的强度）代表时刻 t、在空间
r点处，微观粒子出现的几率，
（玻恩把,颗粒性,与,可叠加性,统一起来） 1954年 玻恩获诺贝尔物理奖
(r,t)…… 称为,几率振幅,或,状态,
(r,t)? 2…… 称为,几率密度,或,几率,
(r,t)? 2 =?(r,t)*?(r,t)
若体系具有一系列不同的可能状态,1,?2···?，
则它们的线性组合?=C1?1,+C2?2+··· 也是该体系的一个可能的状态。其中 C1,C2 ···为任意复常数。
5）状态叠加原理：
理解：波函数和微粒的波粒二象性
弱电子流衍射实验
电子双缝衍射实验电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）
开始时底片上的点子,无规,分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。
衍射图样说明每个电子到达屏上各点有一定几率，
衍射图样是大量电子出现几率的 统计结果。
衍 射 图 象实 验 原 理
1） 1949年，前苏联物理学家 费格尔曼 做了一个非常精确的 弱电子流衍射实验,
2）电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致了在叠加态下观测结果的 不确定性（ 进一步理解波函数） 。
2211 CC
1P
A
2P
B
S? D
1
2
P
当双缝同时打开时，
一个电子同时处在
1态和?2态。双缝同时诱导的状 态 是它们的线性组合态。
单缝 1使通过它的电子处于?1态；单缝 2
使其处于?2态。
处于两态的几率分别为：
222 ||?C211 ||?C
只开缝 1---强度分布为 I1 (状态为?1,几率分布为1?2 )
只开缝 2---强度分布为 I2 (状态为?2,几率分布为2?2 )
电子枪 1
2
I2I1+ 分布 双缝干涉 分布电子有粒子性，一个电子只能从一个缝通过；
电子有波动性，其状态服从叠加原理,
状态为?1 +?2,几率分布为1 +?2?2
同时开缝 1,2---分布不是 I1+ I2,而是双缝干涉分布。
2211 CC
因为状态叠加
2W
)(
)(
**
****
12212121
12212122
2
211
2
1
CCWW
CCCCW
第三项称为相干项。
量子力学中 态的叠加原理 导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图样。
它是由微观粒子波粒二象性所决定的。
,|| 2111?CW? 2222 ||?CW?处于两态的几率分别为：
双缝同时打开时，电子的几率分布为：
态叠加原理：统计规律中的几率幅相加律,
（而不是几率的相加律）
1926年，奥地利物理学家薛定格 （ Schrodinger 1887-1961）
得出的方程称为薛定格方程。
贡献,量子力学找到微观粒子在不同条件下的波函数的方法，归结为求各种条件下薛定格方程的解。
1933年薛定格获诺贝尔物理奖 。
二 薛定谔方程
),()],(2[),( 2
2
trtrUmtrti
2
22
2 xmti?
)pxEt(ie)t,x(
0
2
2
2
2
p
x
Ei
t
对于非相对论粒子 mpE 22?
2
22
2 xmti?
一维自由粒子的波函数
（ 1）一维自由粒子的薛定谔方程
（ 2）粒子处在外场中的薛定谔方程在外力场中粒子的总能量为,),(
2
1 2 trUp
mE
Uxmti 2
22
2
薛定谔方程
2
2
2
2
p
x
Ei
t
拉普拉斯算符 哈密顿量算符势场中的薛定谔方程 ),(?),( trHtr
ti
),(2 1 2 trUpmE
),()],(2[),( 2
2
trtrUmtrti
2
2
2
2
2
22
zyx?
),(
2
22 trU
mH
)()(),( tfrtr
如果势能函数不是时间的函数代入薛定谔方程得：
)()()(
2)(
11 22 rrUr
mrt
f
f
i
用分离变量法将波函数写为：
)(2? 2
2
rUmH
只是空间坐标的函数只是时间的函数
(3) 定态薛定谔方程 ),(?),( trHtr
ti
Etffi1?令 Et
i
Aetf)(
ErUm )(2 2
2
Etiertr )(),(?
粒子在空间出现的几率密度 222 )(),( Etiertr 2)(r
几率密度与时间无关，波函数描述的是 定态定态薛定谔方程定态波函数
02 22
2
)x()VE(m)x(dxd粒子在一维势场中
A 是待定复常数,E 有能量量纲,以后可知是粒子的总能量定态微观粒子的势能函数 U 与时间 t无关的稳定的势场问题，例如
自由运动粒子 ………… U = 0
氢原子中的电子 ……
r
eU 2
04
1
这时波函数?（ r,t） 可以用 分离变量法 分离为一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。
EtiAetf)( ErU
m
)(
2
2
2
自由粒子的定态薛定格方程为
02 22
2
Em
dx
d
二阶常系数常微分方程最简单的例子,介绍量子力学处理问题的最基本方法，并得出一些重要的结论。
晶体 衍射屏自由运动区
U = 0
电子枪
K
A
求一维自由运动微观粒子的波函数。
ErUm )(2 22
22 pmE?令
02
2
2
2
p
dx
d得
02 22
2
Emdxd?
xpie
1?
xpie
2?
两个特解,
所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解,
)(
11 )()(),(
xktitixki
t
E
i
x
p
i
eAeeA
eeAtfxtx
沿 + x 方向的平面单色波沿 - x 方向的平面单色波 )(22
)()(),(
xktitixki
t
E
i
x
p
i
eAeeA
eeAtfxtx
13-7 一维无限深方势阱一,一维无限深势阱中粒子的波函数与能量金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范称为 束缚态。
作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运动，即它的势能函数为,
axx
axxU
,0
00)(
区 区 区分析,这种势场表示粒子可以在势阱中运动，但不能越出势阱，
因为 x? 0,x? a 区域的势能为无穷大。
（这是一个理想化的模型）
0)(2 22
2
UEmdxd?
0)(0)0(
0)(0)(
a
xx
ⅢⅠ
0)(2 )( 222 xmExd xd
2
2 2
mEk?令由于在 I,III 两区的 U(x)＝?，为保证波函数有限的物理条件，显然在区域中解：
axx,0
在 II区域 中,U(x)＝ 0,粒子的定态 薛定谔方程为,0 ax
其通解为,kxBkxAx c o ss in)(
（定态问题）
区 区 区
022
2
kdxd
kxBkxAx c oss i n)(
式中 A,B,k可用 边界条件,归一化条件 确定根据边界条件
0)0(
)2(0)co s ()s i n( kaBkaA
由（ 1）可得,0?B kxAx s in)(
0)s in(?kaA
nka
由（ 2）可得：
)1(0)0co s ()0s i n( BA
0)(?a?
)1,2,3,(n ank?
mEk 2?
0?A
0sin?ka
! 0?n
这样的波函数不满足归一化条件 !
若,0?k 0)(?x?注意：,0?n
‘ k ’是什么？
—— 能量本征值
2
2 2
mEk?
ank
),2,1( 22 222222 nmanmkE n?
)1,2,3,(n ank?
kxAx s in)(
mEk 2?已知：
xanAx s in)(? )1,2,3,(n
式中的 A 可由归一化条件确定,1)( 2
dxx?
而方程的解为：
1)(s in 2
0
2 dxx
a
nAa 1
2
2 aA
a
A 2?
即,0?B
薛定谔方程的解：
)(xn?
0
)s i n (2 xana? ax0
axx,0
势阱中粒子的波函数：
)s i n (2)( xanax —— 本征函数
),2,1( 22 222222 nmanmkE n?
—— 能量本征值
),2,1( 2 2222 nmanE n?
（ 1）能量是量子化的相邻两能级的间隔：
2
22
2)12( manE
Ea
En
,
,
当势阱 宽度 a小 到原子的尺度,?E 很大，能量的 量子化显著当势阱 宽度 a大 到宏观的尺度,?E很小，能量 量子化不显著，
可把能量看成连续,回到了经典 理论
2,一维无限深方势阱中粒子运动特点：
这是解薛定谔方程得到的必然结果，不是玻尔理论中的人为假设。
量子数每一能量值对应一个能级
3,2,1
)
8
(1 22
4
2
0
n
h
me
n
E n
对不同的 n可得粒子的能级图
2
22
2)12( manE
En?,
2 12 nnEEn
),2,1( 2 2222 nmanE n?
212 nn 0?
n当 时在高能级上可看成能级连续分布经典量子 等价玻尔的对应原理势阱内的粒子只能处于这些能量本征态或这些态的线性叠加态一维无限深势阱中各处出现的几率
)s i n (2)( xanaxn
（ 2）粒子只能处于能量本征态
)(s in2 22 xanaxn
xaax s i n2)(1?
xaax 2s i n2)(2?
xaax 3s i n2)(3?
xaax 4s i n2)(4?
)s in (2)( xanaxn
)(xn?
o Xa
n+1个 节点
3E
1E
4E
2E
3?n
4?n
2?n
1?n
稳定的驻波能级！n
E
2a
4a 43a
6a 2a 65a
8a 83a 85a 87a
2xn?
Xa
)(s in2 22 xanaxn
（ 2） 束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，半波数越多 (驻波波长越短 )，对应粒子的能级越高。
（ 3） 第 n 个能级,波函数在总区间内有 n+1个节点,节点处找到粒子的几率为零,
例,n=8 0 a
（ 1） 粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态，从物理意义上理解束缚定态方程 的解，是一些 驻波 。这些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒 子在 0 < x < a 范围内哪些地方出现粒子的 几率 最大、最小。
（ 4） 当 n,粒子在各处出现的几率相同
—— 量子化消失 （ 能级连成一片） nn EE
(3) 要注意的几个问题
48个 Fe原子形成,量子围栏,,围栏中的电子形成驻波,
（ 2）隧道效应
（ 3）扫描隧道显微镜 (STM)
图象放大,108倍分辨本领,10-10m
ax
axx
UxU 0
,0
,
,0)(
0
13-8 氢原子的量子力学处理
1.氢原子的薛定谔方程氢原子核外电子在核电荷的势场中运动，
reU 0
2
4
（ U是 r的函数，不随时间变化，是定态问题，但不是一维问题 ）
按 一般的定态薛定谔方程,
势能函数具有球对称性，故用球坐标表示：
0)()(2)( 22 rUEmr
0)14(2s i n1)( s i ns i n1)(1
0
2
22
2
22222
reEmrrrrrr?
)()()(),,( rRr?其波函数,
设 U? =0,则 r 处：
RRreEmrdrdRrdrd
o
)4(2)( 22 22?
22s in)( s ins in mddd d分离变量可得：
解氢原子方程,可得电子的 波函数 及氢原子的一些 量子化特征：
（ 1）能量量子化：
222
0
4 1
8 nh
meE
n 主量子数:
,2,1
n
n
玻尔理论与量子力学结果一致。
（ 2）角动量量子化：
微观粒子具有动量，此动量对坐标原点（核）就有角动量
)1( llL ) n( 12,1,0 个值共 nl
角量子数:l
[玻尔理论中角动量量子化的表式,] ),2,1( nnL
玻尔理论与量子理论在此问题上的异同：
相同处：
对应着轨道 无轨道可言
L的取值与 En的取值都由主量子数 n决定
L的取值与 En的取值分别由角量子数 l 和主量子数 n决定
m vrL?
n 取值不限 n一定时
m a x
1m in l
)1(m a x
0m i n
n
可取 n个值
222
0
4 1
8 nh
meE
n 主量子数:
,2,1
n
n )1( llL 12,1,0 nl
角量子数:l
不同之处：
电子运动的能量、角动量是量子化的。
)1( llL
（ 3）角动量的空间量子化（轨道平面取向的量子化）
玻尔和量子理论都认为：氢原子中角动量 L在空间的取向不是任意的，只能取一些特定的方向（空间量子化），
B
L
L
L
L
Lz
Lz
L L
这个特征是以角动量在空间某一特定方向（例如 外磁场方向） Z 轴上的投影来表示的。
Z
mL Z? lm2,1,0
轨道磁量子数，决定 L z 的大小。m ) ( lm或对确定的,m 有 个值。l 12?l
2 氢原子的定态 （用一组量子数来描述）
a,n主量子数：氢原子能量状态主要取决于 n 。
222
0
4 1
8 nh
meE
n
)1( llL
c,m（ 轨道）磁量子数：决定 角动量空间量子化
mL Z?
nn?3,2,1?
1,2,1,0 nl?
lm 2,1,0?
n个值
（ 2）无外场时，电子的状态用 n,l 表示。
5,4,3,2,1,0?l
hgfdps,,,,,
n 个值
b,角量子数（副量子数）,角动量的量子化 由 决定l l
2 +1个值l
称为 电子在无外场时，氢原子内电子的状态有：
l
n
5 4 3 2 1 0
hfdps g
6
5
4
3
2
1
s1
ps 2 2
dps 3 3 3
fdps 4 4 4 4
gfdps 5 5 5 5 5
hgfdps 6 6 6 6 6 6
例题 画出 时电子轨道运动空间量子化情形 2,4 ln
2,1,0m
1
2
1?
2?
0
ZL
6 )12(2L
0?m
1?m
2?m
1m
2m
mL Z?
6?L
解,n=4,可取 0,1,2,3 四个值，l 依题意 = 2l
注意,量子力学中虽没有轨道的概念，但有电子的空间 几率 分布的概念。
13-9 电子自旋 四个量子数原子光谱的双线结构问题,一条谱线分裂成两条！
1,斯特恩 — 盖拉赫实验：
Q
1S 2S
S
N
L
s
O
实验现象,屏上几条清晰可辨的 上下两条谱线结论,原子磁矩只能取几个特定方向，
即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。
2,电子自旋
1925年,乌伦贝克,高斯密特提出‘电子自旋’的半经典假设,
（ 1）电子是带电小球,除绕原子核旋转有 轨道角动量 以外，还绕自身的轴旋转有 自旋角动量 和 自旋磁矩 。
（ 2）自旋角动量 S的取值是量子化的
sm
ssS
ZS
)1(
43?S
自旋角动量－－ 自旋量子数 s
自旋角动量在外磁场方向投影－－ 自旋磁量子数 ms
sm
个取值12?s
2
1?
2个值
2
1?s
2
1
sm
（ 3）自旋角动量取向量子化的表示：
2
1
Sm
ms 共 2S+1 个值，实际 2 个值自旋磁量子数
sZ mS?
B?
sL
21?sm
21sm
0
21
21?
S
sZ mS
sS
sm
ssS
ZS
)1(
总结前面的讨论，原子中电子的状态应由四个量子数来 决定：
222
0
4 1
8 nh
meE
n
)1( llL
lZ mL?
n
l
lm
sm?smS Z?
13-10 原子的中电子壳层结构
1,原子的电子壳层结构：
1916年,Kossel提出了 电子壳层分布模型,n相同的电子处于同一壳层,n大则距离原子核越远，能量越高；
同一壳层内,l不同分为不同支壳层,l越大，相应支壳层能量越高。
原子核外电子的运动状态由四个量子数描述：
sl mmln
副量子数 l = 0,1,2,3,4,5
支壳层符号 s p d f g h
主量子数 n = 1,2,3,4,5,6
壳层符号 K L M N O P
2
8
18
32
1?n
2?n
3?n
4?n
21 0 sl?
22 0 sl?
2 1 6pl?
23 0 sl?
63 1 pl?
103 2 dl?
24 0 sl?
64 1 pl?
104 2 dl?
144 3 fl?
21s
62 2 2 ps
1062 3 3 3 dps
141062 4 4 4 4 fdps
K
L
M
电子组态
N
核外电子数在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的状态（量子态）－ (不可能有相同的四个量子数 n,l,ml,ms)
0 m 1个值
1
0
1? 3个值
2
1
0
1?
2?
5个值
0?l
1?l
2?l
1 nl
1?n?
0?
)1( n
(2l+1)
个值
n 给定时 原子中 n 相同的电子数目最多为
1
0
)12(2 n
ln
lN
1?n ]
2
)12(1[2 nn
n=1 的电子，最多 2 个
n=2 的电子，最多 8 个
n=3 的电子，最多 18 个
m
m
m
22n?
2,泡利不相容原理,
是否‘ P 房间’ 有 6 个状态相同的电子？否！1?l
相当于,一个房间、三张床、上下铺”
6 个电子状态是不同的
mlP 1
{ 1
{ 0
{ 1
21sm
21sm
21sm其他以此类推
{ 00 mlS 21sm
mld 2
2
1
0
1
2
21{sm
21{sm
21{sm
21{sm
21{sm
6个 P 电子
2个 S 电子
10个 d 电子
3,能量最小原理原子系统处于稳定状态时每个电子趋向占有可能的最低能级,
（ 1）主量子数 n越 低,离核越近的壳层首先被电子 填满,
（ 2）能级也与副量子数有关,有时 n较 小 的壳层 未满,n 较 大 的壳层上却 有电子填入,
能级高低由半经验公式决定 n+0.7 l
例,4S 和 3d 状态
s4
d3
先填 4S 态
)70( ln 4
)2703( 44?
课程结束！
能够在这一生中，
确实认清自己，
为自己找到一个正确的目标，
走出一条路充分发挥了自己天赋的，
就可以算是一个成功的人了。
1927年索尔维会议爱因斯坦郎之万洛仑兹居里夫人普朗克小布喇格埃伦法斯特康普顿薛定格德布洛意玻尔泡利斯特恩 — 盖拉赫实验证实了原子的磁矩在外场中取向是量子化的。
即角动量在空间的取向是量子化的。
1、电子的轨道磁矩电子磁矩大小 IA
I
d
ze?
r
e
v?
回路包围的面积电流强度
A
I
T
eI? 周期电子电量 Te
扫过的面积时间内电子矢径 rdtdr 2
2
1
I
d
ze?
r
e
v?
绕行一周扫过的面积
T dtdtdrdrA 0 220 2 2121
dt
dmr?2电子的角动量 T dt
m
LA
0 2
电子在有心力场中运动，角动量守恒
TmLA 2?
LmeIA 2 Lme 2
是角量子数l,)l(lL 1
角动量在外磁场方向（取为 z轴正向）的投影是磁量子数llz m,mL
磁矩在 z轴的投影
Bllzz mmm
eL
m
e
22
15124 1079510279
2
TeV.TJ.
m
e
B
玻尔磁子载流线圈在外磁场中受力矩作用 BM
c o sBds i nBMdW
22
BBc o sBU z
力矩作功相互作用势能（磁矩垂直磁场方向时为势能零点）
z
B
z
Uf
zz?
磁场在 z方向不均匀，载流线圈在 z方向受力结论,原子射线束通过不均匀磁场，
原子磁矩在磁力作用下偏转。
1921年，斯特恩 （ O.Stern） 和盖拉赫
（ W.Gerlach） 发现一些处于 S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。
z
Q
1S 2S
S
N
L
s
O
v
Lt?
z
z )
v
L(
z
B
MtM
fats?222
2
1
2
1
2
1
向上偏转0?z? 向下偏转0?z?
实验现象,屏上几条清晰可辨的黑斑结论,原子磁矩只能取几个特定方向，
即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。
斑纹条纹数 =2l+1
从斑纹条纹数可确定角量子数 l
发现,Li,Na,K,Cu,Ag,Au等基态原子的斑纹数为 2
2
1?l
2
1
2
1 或
zL
矛盾？与?,,,l 210?
