?提纲
18-10 势垒贯穿（隧道效应）
18-9 一维无限深方势阱
隧道效应和扫描隧道显微镜 STM
薛定谔方程
标准化条件及解的物理意义。
几点讨论
力场中粒子的薛定谔方程
定态薛定谔方程
18-8 薛定谔方程
自由粒子的 薛定谔方程作业,18-28,29,32
18-8 薛定谔方程在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。
1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。
本章将简单介绍量子体系的运动状态如何用波函数 来描述；力学量如何用 力学量算符 来描述。
建立薛定谔方程的主要依据和思路：
* 要研究的微观客体具有波粒两象性，应该满足德布罗意关系式
* 满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为 E，
质量为 m，动量为 P的粒子：
* 若 是方程的解，则 也是它的解；
若波函数 与 是某粒子的可能态，则也是该粒子的可能态。
因此,波函数应遵从线性方程 。
* 自由粒子的外势场应为零。
自由粒子的 薛定谔方程沿 x方向运动的动能为 E和动量为 的自由粒子的波函数
),(),( txEit tx
pi
x
2
2
2
2
p
x
)
2
(
2
2
2
22
m
pE
xmt
i
)
2
(
2
2
2
22
m
pE
xmt
i
为自由粒子的质量，因为势能为零，所以所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
2
22
2 xmt
i
)e x p (),( 0?
rpEt
itrk
一个动能为 E和动量为,即 波矢 为的自由粒子，在坐标表象的波函数,?
p
k?
p?
同样推广到三维如下：
),(),( trEi
t
tr
k
k?
显然，波函数对时间求导，可得出：
波函数对空间求导可得出：
);,(),( trpix tr kxk
);,(),( trpi
y
tr
ky
k?
);,(),( trpiz tr kzk
),(),( 2
2
2
2
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x
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z
tr
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zk?
kk
p
zyx
2
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2
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2
2
)(
2
2
2
2
2
2
2
zyx?
定义算符：
),(),( 2
2
2 trptr
kk
则得：
m
pE
2
2
考虑自由粒子的能量：
),(
2
),( 22 tr
mt
tri
k
k
),(),(
2
2
2
trEtr
m kk
又因为：
得出：
许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。
自由粒子的薛定谔方程量子体系的运动状态由 波函数 来描述，
力学量用力学量 算符 来描述。
在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值，
不一定有确定值。若其中某个力学量有确定的测量值，则该波函数所描述的状态是该力学量的 本征态 。
下面简单介绍量子力学算符和经典力学中的力学量的对应关系：
前面已经从经典自由粒子的波函数得出了它应满足的方程，从中我们可得到些启示，
从上式推导可知若有如下对应关系：
Eti kk Eti
xpxi
kxk pxi
pi kk pi
),(
2
),( 22 tr
mt
tri
k
k
可得出：
动量算符
kzjyix定义
),(),(
2
2
2
trEtr
m kk
动能算符
2
2
2
m
T?
力场中粒子的薛定谔方程
)(rV?如果粒子在势场 中运动，能量：
)(
2
2
rV
m
pE
),()](
2
[),( 2
2
trrV
mt
tri
k
k
其薛定谔方程：
),(?),( trHt tri kk?
)](
2
[? 2
2
rV
m
H
定义哈密顿算符,
（也称能量算符）
则薛定谔方程为：
称 为在坐标表象中的势能算符。)(rV?
定态薛定谔方程
)()(),(,tfrtr设
dt
tdfritfrrVrtf
m
)()()()()()()(
2
2
2?
两边除以 可得：)()( tfr
dt
tdf
tf
irrVr
mr
)(
)(
1)]()()(
2
[
)(
1 22
若作用在粒子上的势场 不显含时间 t 时，
在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况，薛定谔方程可用分离变量法求它的特解。
)(rV?
)()()](
2
[ 2
2
rErrV
m
由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边必须等于同一个常数，设为 E则有：
)()( tEfdt tdfi
ctiEtf)(ln
)e x p ()( EtiAtf
可见 E具有能量的量纲与自由粒子波函数类比它代表粒子的能量。把常数 A归到空间部分，
薛定谔方程的特解为：
)e x p ()(),( EtiArtr
定态波函数
)()(),(),( rrtrtr
对应的几率密度与时间无关。
由这种形式的波函数所描述的状态称之为定态。
其波函数为定态波函数。
)()()](
2
[ 2
2
rErrV
m
定态薛定谔方程下面将举例求解处于定态下的粒子具有确定的能量 E,粒子在空间的概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化。
)e x p ()(),( EtiArtr
18-9 一维无限深方势阱以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。
了解怎样确定定态的能量 E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。
axxV 0,0)(
axxxV,0,)(
已知粒子所处的势场为,
粒子在势阱内受力为零，势能为零。
在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深方势阱 。
其定态薛定谔方程,
)()()()(2 2
22
xExxVdx xdm
)(xV
x
ao
axxxExdx xdm,0)()()(2 2
22
axoxE
dx
xd
m
)()(
2 2
22
在阱内粒子势能为零，满足：
在阱外粒子势能为无穷大，满足,
方程的解必处处为零 。
axxx,00)(?
根据波函数的标准化条件，在边界上
0)(,0)0( a
所以，粒子被束缚在阱内运动 。
axoxkxmE
dx
xd )()(2)( 2
22
2
在阱内的薛定谔 方程可写为：
类似于简谐振子的方程，其通解：
)s i n()( BkxAx
代入边界条件得,0s in)0( BA?
0)s i n ()( BkaAa?
所以，
,3,2,1;0 nnkaB?
n不能取零，否则无意义。
2
2 2
mEk
因为
,3,2,1 nnka?
,3,2,1
2
2
2
22
nn
ma
E n?
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
结论,
,3,2,1),s i n ()( n
a
xnAx
1)(s i n
0
2 dx
a
xnAa? aA
2?
由归一化条件
axn
a
xnAx
n 0,3,2,1),s i n ()(?
axxxn,0,0)(?
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：
讨论,
# 零点能的存在 称为基态能量。
2
22
1 2 maE
# 能量是量子化的。是由标准化条件而来。
能级间隔：
2
22
1 2
)12(
ma
nEEE
nnn
当 能级分布可视为连续的。
0/2/, nEEn n
nE)(xn?
n# 称 为量子数； 为本征态； 为本征能量。
o
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级
n+1个节点能量本征值 对应的能量本征函数组成 完备 的集合。能量量子数 n从 1至?nE)(x
n?
nmmn,0?
在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一组完备的本征函数展开。这组完备集合满足 正交性 。
mn
a
dx
a
xn
a
xm
a
)s i n()s i n(2
0 nm
mn,1?
所谓 叠加态,就是各本征态以一定的几率、
确定的本征值、独立完整的存在于其中。
实验上物理量的测量值，是各参加叠加态的可能的本征态的本征值。可以用本征态出现的几率来计算物理量的平均值。
18-10 势垒贯穿（隧道效应）
axxxV,0,0)(
axVxV 0,)( 0
在经典力学中,若,粒子的动能为正,,它只能在 I 区中运动。
0VE?
0V
V
O a
III
x
I II
定态薛定谔方程的解又如何呢？ 0),()(2 12122 xxEdx xdm
axxExV
dx
xd
m
0),()()(
2 2202
2
22
axxE
dx
xd
m
),()(
2 32
3
22
0,0)()( 1221
2
xxk
dx
xd
axxk
dx
xd 0,0)()(
2
2
12
2
2
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3
2
2
3
2
2
02
1
)(2
EVmk
2
2 2
mEk?
令：
三个区间的薛定谔方程化为：
0V
V
ao
x
I II III
0,Re)(1 xAex i k xi k x?
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波反射波；粒子从 I区经过 II区穿过势垒到 III 区，
在 III区只有透射波。粒子在 处的几率要大于在 处出现的几率。
0?x
ax?
其解为：
axTex xk 0,)( 12?
axCex ik x,)(3?根据边界条件,
)0()0( 21
)()( 32 aa
0
2
0
1 |)(|)(
xx dx
xd
dx
xd
axax dx
xd
dx
xd
|
)(|)( 32
求出解的形式画于图中。
定义粒子穿过势垒的贯穿系数：
2
1
2
3
|)0(|
|)(|
aP?
)02e xp (
)2e xp (
|)0(|
|)(|
1
1
2
2
2
2
kT
akTaP
))(22e x p ()2e x p ( 01 EVmaak
0V
V
ao x
I II III
隧道效应当 时，势垒的宽度约 50nm 以上时，
贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。
eVEV 50
隧道效应和扫描隧道显微镜 STM
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，
而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为 1nm。
只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖之间加一微小电压 Ub电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。
若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
Scanning tunneling microscopy
因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。
若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布；
使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。
空气隙
STM工作示意图样品探针利用 STM可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面的三维图象利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（ PSTM)。
1989年提出成象技术。
它可用于不导电样品的观察。
STM样品必须具有一定程度的导电性；
在恒流工作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一种技术都有其局限性。
18-10 势垒贯穿（隧道效应）
18-9 一维无限深方势阱
隧道效应和扫描隧道显微镜 STM
薛定谔方程
标准化条件及解的物理意义。
几点讨论
力场中粒子的薛定谔方程
定态薛定谔方程
18-8 薛定谔方程
自由粒子的 薛定谔方程作业,18-28,29,32
18-8 薛定谔方程在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。
1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。
本章将简单介绍量子体系的运动状态如何用波函数 来描述；力学量如何用 力学量算符 来描述。
建立薛定谔方程的主要依据和思路：
* 要研究的微观客体具有波粒两象性，应该满足德布罗意关系式
* 满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为 E，
质量为 m，动量为 P的粒子：
* 若 是方程的解，则 也是它的解；
若波函数 与 是某粒子的可能态，则也是该粒子的可能态。
因此,波函数应遵从线性方程 。
* 自由粒子的外势场应为零。
自由粒子的 薛定谔方程沿 x方向运动的动能为 E和动量为 的自由粒子的波函数
),(),( txEit tx
pi
x
2
2
2
2
p
x
)
2
(
2
2
2
22
m
pE
xmt
i
)
2
(
2
2
2
22
m
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xmt
i
为自由粒子的质量，因为势能为零，所以所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
2
22
2 xmt
i
)e x p (),( 0?
rpEt
itrk
一个动能为 E和动量为,即 波矢 为的自由粒子，在坐标表象的波函数,?
p
k?
p?
同样推广到三维如下：
),(),( trEi
t
tr
k
k?
显然，波函数对时间求导，可得出：
波函数对空间求导可得出：
);,(),( trpix tr kxk
);,(),( trpi
y
tr
ky
k?
);,(),( trpiz tr kzk
),(),( 2
2
2
2
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),(),( 2
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p
zyx
2
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2
2
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2
2
2
zyx?
定义算符：
),(),( 2
2
2 trptr
kk
则得：
m
pE
2
2
考虑自由粒子的能量：
),(
2
),( 22 tr
mt
tri
k
k
),(),(
2
2
2
trEtr
m kk
又因为：
得出：
许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。
自由粒子的薛定谔方程量子体系的运动状态由 波函数 来描述，
力学量用力学量 算符 来描述。
在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值，
不一定有确定值。若其中某个力学量有确定的测量值，则该波函数所描述的状态是该力学量的 本征态 。
下面简单介绍量子力学算符和经典力学中的力学量的对应关系：
前面已经从经典自由粒子的波函数得出了它应满足的方程，从中我们可得到些启示，
从上式推导可知若有如下对应关系：
Eti kk Eti
xpxi
kxk pxi
pi kk pi
),(
2
),( 22 tr
mt
tri
k
k
可得出：
动量算符
kzjyix定义
),(),(
2
2
2
trEtr
m kk
动能算符
2
2
2
m
T?
力场中粒子的薛定谔方程
)(rV?如果粒子在势场 中运动，能量：
)(
2
2
rV
m
pE
),()](
2
[),( 2
2
trrV
mt
tri
k
k
其薛定谔方程：
),(?),( trHt tri kk?
)](
2
[? 2
2
rV
m
H
定义哈密顿算符,
（也称能量算符）
则薛定谔方程为：
称 为在坐标表象中的势能算符。)(rV?
定态薛定谔方程
)()(),(,tfrtr设
dt
tdfritfrrVrtf
m
)()()()()()()(
2
2
2?
两边除以 可得：)()( tfr
dt
tdf
tf
irrVr
mr
)(
)(
1)]()()(
2
[
)(
1 22
若作用在粒子上的势场 不显含时间 t 时，
在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况，薛定谔方程可用分离变量法求它的特解。
)(rV?
)()()](
2
[ 2
2
rErrV
m
由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边必须等于同一个常数，设为 E则有：
)()( tEfdt tdfi
ctiEtf)(ln
)e x p ()( EtiAtf
可见 E具有能量的量纲与自由粒子波函数类比它代表粒子的能量。把常数 A归到空间部分，
薛定谔方程的特解为：
)e x p ()(),( EtiArtr
定态波函数
)()(),(),( rrtrtr
对应的几率密度与时间无关。
由这种形式的波函数所描述的状态称之为定态。
其波函数为定态波函数。
)()()](
2
[ 2
2
rErrV
m
定态薛定谔方程下面将举例求解处于定态下的粒子具有确定的能量 E,粒子在空间的概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化。
)e x p ()(),( EtiArtr
18-9 一维无限深方势阱以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。
了解怎样确定定态的能量 E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。
axxV 0,0)(
axxxV,0,)(
已知粒子所处的势场为,
粒子在势阱内受力为零，势能为零。
在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深方势阱 。
其定态薛定谔方程,
)()()()(2 2
22
xExxVdx xdm
)(xV
x
ao
axxxExdx xdm,0)()()(2 2
22
axoxE
dx
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m
)()(
2 2
22
在阱内粒子势能为零，满足：
在阱外粒子势能为无穷大，满足,
方程的解必处处为零 。
axxx,00)(?
根据波函数的标准化条件，在边界上
0)(,0)0( a
所以，粒子被束缚在阱内运动 。
axoxkxmE
dx
xd )()(2)( 2
22
2
在阱内的薛定谔 方程可写为：
类似于简谐振子的方程，其通解：
)s i n()( BkxAx
代入边界条件得,0s in)0( BA?
0)s i n ()( BkaAa?
所以，
,3,2,1;0 nnkaB?
n不能取零，否则无意义。
2
2 2
mEk
因为
,3,2,1 nnka?
,3,2,1
2
2
2
22
nn
ma
E n?
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
结论,
,3,2,1),s i n ()( n
a
xnAx
1)(s i n
0
2 dx
a
xnAa? aA
2?
由归一化条件
axn
a
xnAx
n 0,3,2,1),s i n ()(?
axxxn,0,0)(?
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：
讨论,
# 零点能的存在 称为基态能量。
2
22
1 2 maE
# 能量是量子化的。是由标准化条件而来。
能级间隔：
2
22
1 2
)12(
ma
nEEE
nnn
当 能级分布可视为连续的。
0/2/, nEEn n
nE)(xn?
n# 称 为量子数； 为本征态； 为本征能量。
o
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级
n+1个节点能量本征值 对应的能量本征函数组成 完备 的集合。能量量子数 n从 1至?nE)(x
n?
nmmn,0?
在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一组完备的本征函数展开。这组完备集合满足 正交性 。
mn
a
dx
a
xn
a
xm
a
)s i n()s i n(2
0 nm
mn,1?
所谓 叠加态,就是各本征态以一定的几率、
确定的本征值、独立完整的存在于其中。
实验上物理量的测量值，是各参加叠加态的可能的本征态的本征值。可以用本征态出现的几率来计算物理量的平均值。
18-10 势垒贯穿（隧道效应）
axxxV,0,0)(
axVxV 0,)( 0
在经典力学中,若,粒子的动能为正,,它只能在 I 区中运动。
0VE?
0V
V
O a
III
x
I II
定态薛定谔方程的解又如何呢？ 0),()(2 12122 xxEdx xdm
axxExV
dx
xd
m
0),()()(
2 2202
2
22
axxE
dx
xd
m
),()(
2 32
3
22
0,0)()( 1221
2
xxk
dx
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2
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12
2
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axxk
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xd,0)()(
3
2
2
3
2
2
02
1
)(2
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2
2 2
mEk?
令：
三个区间的薛定谔方程化为：
0V
V
ao
x
I II III
0,Re)(1 xAex i k xi k x?
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波反射波；粒子从 I区经过 II区穿过势垒到 III 区，
在 III区只有透射波。粒子在 处的几率要大于在 处出现的几率。
0?x
ax?
其解为：
axTex xk 0,)( 12?
axCex ik x,)(3?根据边界条件,
)0()0( 21
)()( 32 aa
0
2
0
1 |)(|)(
xx dx
xd
dx
xd
axax dx
xd
dx
xd
|
)(|)( 32
求出解的形式画于图中。
定义粒子穿过势垒的贯穿系数：
2
1
2
3
|)0(|
|)(|
aP?
)02e xp (
)2e xp (
|)0(|
|)(|
1
1
2
2
2
2
kT
akTaP
))(22e x p ()2e x p ( 01 EVmaak
0V
V
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I II III
隧道效应当 时，势垒的宽度约 50nm 以上时，
贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。
eVEV 50
隧道效应和扫描隧道显微镜 STM
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，
而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为 1nm。
只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖之间加一微小电压 Ub电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。
若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
Scanning tunneling microscopy
因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。
若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布；
使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。
空气隙
STM工作示意图样品探针利用 STM可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面的三维图象利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（ PSTM)。
1989年提出成象技术。
它可用于不导电样品的观察。
STM样品必须具有一定程度的导电性；
在恒流工作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一种技术都有其局限性。
