第三章：原子的精细结构：
电子的自旋第一节 原子中电子轨道运动磁矩第二节 史特恩 — 盖拉赫实验第三节 电子自旋的假设第四节 碱金属双线第五节 塞曼效应
Automic Physics原子物理学结束第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋前面我们详细讨论了 氢原子 和 碱金属原子的能级与光谱，理论与实验符合的很好，可是后来用高分辨率光谱仪观测时发现，上述光谱还有精细结构，这说明我们的原子模型还很粗糙。
本章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合成以及磁场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子的精细结构，并且我们要介绍 史特恩
-盖拉赫,塞曼效应,碱金属双线 三个重要实验，它们证明了 电子自旋假设的正确性。
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋电子自旋假设的引入，正确解释了氦原子的光谱和塞曼效应,可是,自旋是一种结构呢？
还是存在着几类电子呢？,
并且到现在为止，我们的研究还只限于原子的外层价电子，其内层电子的总角动量被设为零，下一章我们将要着手讨论原子的壳层结构。
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第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋本节介绍了原子中电子轨道运动引起的磁矩，
从电磁学定义出发，我们将得到它的经典表达式，利用量子力学的计算结果，我们可以得到电子轨道磁矩的量子表达式。
对原子中电子轨道磁矩的讨论使我们发现，
电子运动轨道的大小，运动的角动量以及原子内部的能量都是量子化的。
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第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋不仅如此，我们还将看到，在磁场中或电场中，原子内电子的轨道只能取一定的方向，
一般地说,在电场或磁场中，原子的角动量也是量子化的，人们把这种情况称作空间量子化。
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第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋在电磁学中，我们曾经定义，闭合通电回路的磁距为
iS n （ 1） 量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
n?
1T
v?
因此，原子中电子绕核转也必定与一个磁距相对应，式中 i是回路电流,S 是回路面积为磁矩方向的单位矢量。设电子绕核运动的频率为 v，则周期为依电流的定义式得
ei
T
（ 2）
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第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
12d s r d r212 rd 212 r dt?
另一方面，图中阴影部分的面积为
0
T ds 2
0
1
2
T r d t 2
0
1 ()
2
T m r d t
m
02
TL dt
m
解得：
2
TSL
m
（ 3）
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第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋把 （ 2）、（ 3） 两式得到磁矩的大小为：
iS
2
e L rL
m?
2
er
m?
称为 旋磁比
L与
rL
考虑到 反向，写成矢量式为
(4)
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绕外磁场我们将这种旋进称为拉莫尔进动。相应的频率称为拉莫尔频率,下面我们来计算这个频率。
中将受到力矩的作用，力矩将使得磁矩第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
B?
lv
磁矩在外磁场
B? 的方向旋进。
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第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
B?由电磁学知 在均匀外磁场 中受到的力矩为
LB力 矩另一方面，由 理论力学 得
dLLB
dt
力 矩量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
rL d rB
dt
将 代入得
rB d
dt
令 （ 1）
B?
d
dt
的物理意义,与 同向沿,轨道,切向，如下一页图所示。则量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
在 dt时间内旋进角度第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
(1)式的标量形式为
sin ( sin )ddt
d?
另一方面，设
s indd
d
dt
则把式代入上式得量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
是量子化的，这包括它的大小和空间取向都是量子化的。
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋轨道磁矩的量子表达式
1.量子力学关于轨道角动量的计算结果根据量子力学的计算，角动量 L?
量子力学的结论为
( 1 ),L l l h zlL m h? （ 1）
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第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋式中 l 称为角量子数，它的取值范围为
0,1,2,,1ln …
lm
称为轨道磁量子数当 l 取定后，他的可能取值为
0,1,2,lml…
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第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋即完整的微观模型是：
给定的 n，有 l 个不同形状的轨道（ l ）；
确定的轨道有 2l +1个不同的取向（ ml ）；
当 n,l,m 都给定后，就给出了一个确定的状态；
所以我们经常说,
（ n,l,ml ）描述了一个确定的态。
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第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋对于氢原子，能量只与 n 有关,n 给定后，
有 n 个 l,每一个 l 有 2l+1 个 ml
所以氢原子的一个能级 En 对应于 n2 个不同的状态，我们称这种现象为简并，相应的状态数称为能级 En 的简并度。
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第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋对于碱金属原子，能量与 n,l 有关，可见相应的简并度比氢原子要低。
此外，三个量子数（ n,l,ml ）表示一个状态，正好与经典物理中用（ x,y,z）描述一个质点的状态相对应。
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第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
2.磁矩的表达式
( 1)L l l h rL?
把式 代入式得 的数值表示为
( 1 )2l ehr L l lm
（ 2）
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第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
zlL m h?
又由式 可得在 Z 方向的投影表达式为
2lz z l
ehrL m
m
（ 3）
通常令
2B
eh
m
,称之为玻尔磁子。
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第二节：史特恩 — 盖拉赫实验第三章：原子的精细结构：电子的自旋实验装置理论推导结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋
o中有处于基态的原子，被加热成蒸汽，以水平速度 v 通过狭缝 s1,s2,然后通过一个不均匀磁场，磁场沿 Z 方向是变化的，即
0zzBBxy 0zBz
热平衡时原子速度满足下列关系
2 2 213()
22x y zm v v v k T
即
2 3m v kT?
第二节：史特恩 — 盖拉赫实验实验装置理论推导结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋
1d vt?
2
11
1
2
zFzt
m
x 方向：
Y 方向,（ 2）
（ 1）
1t
1
z
z
F d
v at
mv
时刻，原子沿 z方向的速度为在磁场区域第二节：史特恩 — 盖拉赫实验实验装置理论推导结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋出磁场到 P点（设 D表示磁场中点到 P点的距离）
22
dD vt
2 1 2zz z v t
B
z
zz
BF
z?
另一方面，磁矩 在磁场 中受力为第二节：史特恩 — 盖拉赫实验实验装置理论推导结束目录nextback
第三节：电子的自旋第三章：原子的精细结构：电子的自旋史特恩 -盖拉赫实验 中出现偶数分裂的事实启示人们，电子的轨道运动似乎不是全部的运动。换句话说，
轨道磁矩应该只是原子总磁矩的一部分，那另一部分的运动是什么呢？
相应的磁矩又是什么呢？
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
1925年，两位荷兰学生 乌仑贝克 与 古兹米特 根据史特恩 -盖拉赫实验、碱金属光谱的精细结构等许多实验事实，发展了原子的行星模型,提出电子不仅有轨道运动，还有自旋运动，
它具有固有的自旋角动量 S。
引入了自旋假设以后，人们成功地解释了碱金属的精细结构，塞曼效应以及史特恩 -盖拉赫实验等。
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
1.电子自旋假设
1925年，年龄不到 25岁的两位荷兰学生 乌仑贝克 和 古兹米特 根据大量的实验事实，
提出一个极大胆的假设，电子不仅有轨道运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量 S,具体内容 是：
1)与轨道角动量进行类比知，自旋角动量的大小为
( 1 )S s s h
其中 S 称为自旋量子数
（ 1）
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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也应该有
2s+1个空间取向第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
L? s?
zsS m h?,1,sm s s … -s
2） 有 2l +1个空间取向，则
（ 2）
1
2s?
1
2sm?
1
2?
s?
实验表明，对于电子来说
，
即 有两个空间取向。
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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之间的对应关系是式知，
轨道磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
s? rL
l?
L?
3)与 对应的磁矩，由与轨道角动量
2l
e L
m?
(3)
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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之间也应有相应的对应关系，有实验结果定出这个对应关系是第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
s? s?
s
e S
m
3,ss
s z z B
e s
m
与此相类比,与相应的其量值关系为
（ 4） 朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
,m v r h? 161 0 ( )lrm
lv?
l
h
mr
34
3 1 1 6
1,0 5 4 6 1 0
9,1 1 0 1 0
Js?
注：自旋电子表面线速度的结论朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋综合上面的讨论，我们得到 磁矩和角动量的比值 为：
)2()2(1 megmeL ll
)2()2(2 megmeS ss
（ 1）
其中 和 分别是轨道和自旋 g 因子
lg sg
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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引入 g 因子之后，任意角动量对应的磁矩 可以统一表示为：
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
j?
Bjj gjj )1(
Bjjjz gm
（ 2）
量子数 j 取定后 =j,j-1,,-j，
共 2j+1个值,取 j=l,s 就可以分别得到轨道和自旋磁矩。
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋在原子内部，有两种角动量 LS和必然存在一个总角动量以及相应的磁矩。
ss?
与
ll?
与
j l s
ls
，
分别共线，合成后朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋由于
ls
ls
,所以 j与 不可能共线
ls,j在外磁场不太强时,分别绕 旋进，
s
l 与?
j所以相应的 合成的 绕方向旋进，
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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的方向连续变化，其总效果为 0,
沿水平和沿直两方向分解，
在
i?
j?
j?
我们可以将的旋进过程中，
的方向保持不变，所以就是原子的总磁矩。
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋引入自旋后原子态的表示上一章原子态表示为 nL；引入自旋后，对于给定的 n 和 L,除 l =0 之外,j 都有两个值，所以现在的原子态表示为
21s
jnL
其中 2S+1=2（碱金属原子实的总角动量是，
0最终对角动量有贡献的，只是哪个单电子），所以单电子和一个价电子原子的能级都属于双重态系列。
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
1,
2jl
221 / 2 1 / 2,lln L n L和由于所以双重原子态分别表示为
（ 1）
仅当 l =0时，
1
2js
，双重态只有一个原子态表示。
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋比如 nS,nP,nD 态的双重态表示为：
nS? 2
1
2
nS
nP?
2
1
2
nP
2
3
2
nP
nD?
2
3
2
nD
2
5
2
nD
（ 2）
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
Stern-Gerlach 实验的理论解释由前面的推导，我们得到单电子原子总磁矩，
以及其分量的表达式,
Bjj gjj )1(
（ 1）
Bjjjz gm
（ 2）
这样，我们就可以计算不同状态的 以及从而得到原子经过磁场后，分裂情况的表达式。
j? jz?
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
1） g 因子的计算入射原子的状态通常表示为,即告诉了我们该状态的各量子数 n,l,j,s，由方程：
js Ln 12?
)(212321 2
22
2
222
J
LS
J
JSJg
j
可以求出相应状态的 g 因子朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋例如
2
1,0,1 sjln氢原子处于基态时，
所以其基态的状态为
2/12S
可以求得 2?
jg
而 j，jjm
j,1,
所以 2/1,2/1
jm
从而 1
jj gm
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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除 l =0 的 S 态外，所有其他态 都有两个值第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线碱金属双线 -碱金属谱线精细结构的定性考虑由前面的讨论我们知道，电子除轨道运动之外，还有自旋运动因此，轨道和自旋合成总角动量 ；
J?
J?
2/1122/112, lsls LnLnnL
即 ；
2
1 lj
因此使得原来的原子态 nL 一分为二，即精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋而原子态是与能级相对应的，这就意味着除
S 态对应的能级外，其余能级都一分为二,我们称其为能级的第二次分裂,
能级的分裂导致了光谱的分裂,下面我们以锂原子为例进行具体分析。
第四节：碱金属双线精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋主线系：
锐线系：
漫线系：
基线系：
npsv 2~
nSPv 2~
nDPv 2~
nFDv 3~
Li原子光谱的四个线系中，除了 S 能级外，
其余能级一分为二：
第四节：碱金属双线精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋碱金属双线 -精细结构的定量分析使能级发生分裂的本质原因是电子自旋和轨道相互作用。为了求出这个相互作用能，我们可以这样来看这个问题，电子绕原子实的轨道第四节：碱金属双线精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线运动等效成一个电流，也可看成原子实绕电子运动，在电子处产生一个磁场,电子的自旋磁矩 在这个磁场中将具有势能 U，
正是这个附加的势能迭加在原来的能级上，
使原能级发生了分裂，根据电磁理论,在中的势为
B?
s?
B?
BU s
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线下面分别计算 和
s?
B?
1） 的表示,
Bss gss )1(
)1(|| sss而故有
sg Bss?
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线
2） B? 的计算由电磁学可知，电流元 ld l? 在 r 处的场为
0
34
ld l r
dB
r
r? ld l?式中 表示从源 指向场点的位失。
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
表示原子实对电子的速度第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线设 Z* 表示原子实的有效电荷,v?
则原子实 Z*e 在电子处产生的磁场为
B 0 3
4
ld l r
r
0 34 l r d lr
0
34
ld t r v
r
0
34
l Ldt
mr
其中 d l v dt
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线设 Z*e 绕电子一周过程中,r-3 平均值是 1/r3；
这个过程中,L? 是守恒量
0
3
1,
4B T Lr
*eZ
l T?
所以上式积分后得注意到
*elT Z?
*
23
0
11
4
ZeBL
m c r
故有,代入上式得精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线
3）
s B?
和 之间夹角 θ 的计算精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线如上一页图所示，
2 2 2 2 c o sJ L S L S
所以有
222
c o s 2L S JLS
22( 1 )L l l h
22( 1 ),S s s h
22( 1 )J j j h
其中
，
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线
4)相互作用能的计算
,Bs sgsh
*
23
0
11
4
ZeBL
m c r
222
c o s 2L S JLS
把和 三式 代入
sUB?
得到
*
23
0
11
4
B
s
ZeU g S L
h m c r
（ 1）
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
的修正因子。 再注意到：
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线物理学家托马斯对上式给出一个 1""
2
2,sg?,
2B
eh
m
'c o sS L S L
21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 j j l l s s h
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线由量子力学计算可以得到
*3
3 3 3
1
1( ),
( 1 / 2 ) ( 1 )
Z
r n l l l?
其中 α 1 是玻尔半径精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线将各量带入作用能公式得
* 4 2
3
( 1 ) ( 1 ) 3 / 4() ( 0 )
4 ( 1 / 2 ) ( 1 )
j j l lZ m cUl
n l l l
（ 2）
2
0
1,
4 1 3 7
e
hc
1 0,5 3
h A
mc
其中精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
相互作用能的表达式，对于给定的 l,j有两个可能值：
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线
(2)式就是 LS
1,
2jl
分别将两个 j值代入 （ 2） 式即得：
* 4 2
1 3
(),
2 ( 1 ) ( 2 1 )
Z m cU
n l l
1,
2jl 0,l?
* 4 2
2 3
(),
2 ( 2 1 )
Z m cU
n l l
1,0
2j l l
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相互作用，似的除了 s态（ l =0）外，
所有能级豆油附加能量，所以新的能级为第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线
5)能级的分裂设没考虑精细结构时的能级是 Enl,由于
,ls
11n l n lE E U 22n l n lE E U
即 Enl 能级分为两层：
1 ;n l n lEE2nl nlEE?
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线裂开后，两能级之间的能量变为
12( ) ( )n l n lE E E
*4
3
()
2 ( 1 )
Z
n l l
（ 1）
代入常数得
*4
4
3 7,2 5 1 0( 1 )
ZE e V
n l l
Ev
hc
～ *4 1
3 5,8 4( 1 )
Z cm
n l l
用波数表示为精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线由上面的分析我们看到：新能级裂距的大小
△ E 与 及 成反比。因此，主线系两精细结构谱线的波长差随 n 增大而减小，
最后并为一条；其他线系的实验结果也都与理论结果较好地吻合。
5n 2l
分裂后的能量差有多大呢，下面我们作一定量计算。
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线例：求氢原子 2p态的分裂：
将 1,1,2Zln
evlln ZE 43
4
1025.7)1(
evE 543
4
1035.41025.7)11(12 1
令 △ E =hv，则有 )(10097.1 4 M H zv
物理学家用射频共振的方法测出的实验值和理论值完全吻合。
代入得,
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋把原子放入磁场中，其光谱线发生分裂，
原来的一条谱线分裂成几条的现象，被称为塞曼效应 。
这是 1896年由荷兰物理学家塞曼在实验中观察到的。 光谱的分裂根源于其能级的分裂 。
根据谱线分裂情况的不同，塞曼效应分为正常塞曼效应 与 反常塞曼效应 。
第五节：塞曼效应磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应一般情况下，谱线分裂成很多成分。称为 反常塞曼效应,也叫 复杂塞曼效应 。
特殊情况下，谱线分裂成三种成分。称为 正常塞曼效应,也叫 简单塞曼效应 。
塞曼效应反映了原子所处状态，从塞曼效应的实验结果可以推断有关能级的分裂情况，
是研究原子结构的重要途径之一。
本节从研究能级的分裂着手对正、反常 塞曼效应进行讨论。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
前面讨论了自旋磁矩 在原子内磁场中的附加能量引起能级第二次分裂，导致光谱精细结构的情况，在原子内,与 的合成使得原子有一个总角动量 ；
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应塞曼效应 -磁场中的能级分裂与此对应，原子有一个总磁 的有效分量就是上面讨论的 ；以下记为 ；
原子放入外磁场时,与 的作用使原子又获得附加能量，从而导致能级的第三次分裂；
分裂层数由附加能量的个数决定；这是产生塞曼效应的本质原因。
s?
l? s?
SLJ
ls
j?
B
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
（取 方向为 Z 轴）
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应下面先讨论这个附加能量。磁矩 在外磁场中的势能为?
BBU s B?
因为
Bs mg
BmgU B所以式中 m 和 g 都与能级有关，对于给定的
l,s,j,g 同样是确定的。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
分裂成 2j+1个新能级，
我们也常称其为能级的第三次分裂。
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应
Mj有 2j+1个值（ mj=j,j-1,? -j），
即式 U=mgμ BB 因为 m 的不同，有 2j+1个不同的值原来的一个能级 21s
jnL?
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
能级的分裂必然导致光谱的分裂，设某条谱线产生与 的跃进，加外磁场后,E1，
E2分别变为 E1′ 和 E2′,即第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应
21EE?
'2 2 2 2 BE E m g B
'1 1 1 1 BE E m g B
而
21h v E E
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应故有
' ' '21h v E E
2 2 1 1() Bh v m g m g B
() Bh v m g B
由上式可见，原来的谱线 hv现在变成了 hv′,
v′ 的大小和取值个数取决于
△（ mg）,根据 b 的不同又分为正常和反常塞曼效应。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
中放一光源，可以从平行磁场方向和垂直于磁场方向分别进行观测。
方向观察到的三条线偏振光，
平行于第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应正常塞曼效应在磁场 B?
B?
B?
垂直于方向观察到两条左、右旋偏振光。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应正常塞曼效应 — 理论解释正常塞曼效应产生于 g=1的能级之间，这时有
' Bh v h v m B （ 1）
由上式可见,△ m 有多少个不同值，就有多少条谱线。
由于跃迁的结果是放出光子，光子的自旋角动量是 h，因此,△ m 的数值不可能超过 1
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应根据量子力学的计算，选择定则不仅对量子数 l,j 提出了限制，对 m 也提出了限制。
M 的选择定则是
0,1m
0m 产 生 线 （ E ∥ B ）
1m 产 生 线 （ E ⊥ B ）
所以 （ 1） 式化为
'h v h v
BB?
BB
0 （ 2）
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应
Cd原子 的分裂谱线磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
方向的分量是 Mh，光子的角动量是 1·h ；
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应正常塞曼效应 — 对偏振光的解释为了解释正常塞曼效应中的偏振光，我们首先介绍下面几个 基本概念,
1)当原子处在某能级分裂后的新能级 M上时，
其角动量在 B?
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应
2)原子在不同能级间辐射跃迁时，角动量是守恒的，换句话说，系统辐射前的总角动量等于辐射后系统的角动量加上光子的角动量；
3)辐射跃迁遵从选择定则 0,1M
但新的跃迁不能发生在同一能级分裂的诸新能级之间。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
方向上看是线偏振光方向上看是右旋光，垂直于方向相反，以抵消总角动量的增加，所以平行于时，理由同上，
这时光子的角动量与第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应利用上面几条，我们可以对各种偏振现象给出合理的解释
21 1M M M
21,MM? 12 1MM
a.当 时，意味着电子从
21 1M M M
B?
B?
B?
b.当磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
方向看不到此光，而在垂直于方向角动量的守恒，
这时在平行于线变成左、右旋偏振光,π 线消失。这与实验给出的结果完全一致第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应
0M B?
B?
B?
B?
c.当 时，光子的角动量应垂直与方向，使其不影响方向看到线偏振的 π线。
B综上所述，在垂直于 方向看到二条磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
给定后,L 是确定的，新谱线的条数取决于 △（ Mg） 的个数； L称为洛仑兹单位；
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应当外磁场 B?
（ 2）式若用波数表示，即为
vv
c
～ () Lmg
c
()m g L? ～ （ 3）
式中 10,4 6 7 8 ( )L T c m～
求解反常塞曼效应时，先由关于 m 的格罗春图，求出可能的跃迁，再由 mg 的格罗春图，求出可能的频率。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应正常塞曼效应，产生于 S=0,g=1 的系统，此时不涉及自旋，所以经典理论就可以对它作出解释。
在发现并解释了正常塞曼效应的同时，人们观察到,一般情况下，光谱的分裂数目并不是三个，间隔也不相同。
从 1897年发现反常塞曼效应，在长达三十年的时间内，人们一直无法解释它，直到电子自旋假设提出后，反常塞曼效应才得到合理的解释。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应根据式,分裂后的谱线与原谱线的频率差为
Bmghvvh B?)(
vvv
m
eBgMgM
4)( 1122
))((144 G H zTBmeBL令
Lmgv )(则磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
，而是分别与外磁场当外磁场不太强时，前面的讨论是正确的，
而当外磁场很强时第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应帕邢 — 巴克效应：
,LS
J?B
不再合成 作用，
因此，这时的能级和光谱分裂情况将与前面有所不同，此时称为 帕邢 — 巴克效应。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
，
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应强、弱外磁场时的矢量图是不同的,
,LS J?
J? B?
弱磁场时,合成绕 旋进；
,LS
B?
强磁场时,分别绕旋进下面来分析强外磁场时，能级及光谱的分裂情况磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应不同磁场中，原子中电子状态的表示通过这几章内容的学习，我们看到，描述电子的状态用一组量子数，在自旋引入之前，这组量子数是,引入自旋后
lmln,,
2
1,
2
1
sms
所以完整地描述电子的状态用四个量子数：
sl mmln,,,
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应表明电子有四个自由度，这四个量子数给定后，电子的状态就完全确定了，电子态确定后，相应的原子态就确定了，但在不同外磁场中，描述电子状态的量子数是不同的，在不加磁场或弱磁场中,与 合成 ；l?
s? j?
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应因此，描述电子状态的量子数是,
在强磁场中,与 不再合成,此时描述电子状态的量子数是,后面将要证明，两种情况下的状态数是相同的。
jmjln,,,
l? s?
j?
sl mmln,,,
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋结束目录
电子的自旋第一节 原子中电子轨道运动磁矩第二节 史特恩 — 盖拉赫实验第三节 电子自旋的假设第四节 碱金属双线第五节 塞曼效应
Automic Physics原子物理学结束第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋前面我们详细讨论了 氢原子 和 碱金属原子的能级与光谱，理论与实验符合的很好，可是后来用高分辨率光谱仪观测时发现，上述光谱还有精细结构，这说明我们的原子模型还很粗糙。
本章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合成以及磁场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子的精细结构，并且我们要介绍 史特恩
-盖拉赫,塞曼效应,碱金属双线 三个重要实验，它们证明了 电子自旋假设的正确性。
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋电子自旋假设的引入，正确解释了氦原子的光谱和塞曼效应,可是,自旋是一种结构呢？
还是存在着几类电子呢？,
并且到现在为止，我们的研究还只限于原子的外层价电子，其内层电子的总角动量被设为零，下一章我们将要着手讨论原子的壳层结构。
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋本节介绍了原子中电子轨道运动引起的磁矩，
从电磁学定义出发，我们将得到它的经典表达式，利用量子力学的计算结果，我们可以得到电子轨道磁矩的量子表达式。
对原子中电子轨道磁矩的讨论使我们发现，
电子运动轨道的大小，运动的角动量以及原子内部的能量都是量子化的。
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋不仅如此，我们还将看到，在磁场中或电场中，原子内电子的轨道只能取一定的方向，
一般地说,在电场或磁场中，原子的角动量也是量子化的，人们把这种情况称作空间量子化。
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋在电磁学中，我们曾经定义，闭合通电回路的磁距为
iS n （ 1） 量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
n?
1T
v?
因此，原子中电子绕核转也必定与一个磁距相对应，式中 i是回路电流,S 是回路面积为磁矩方向的单位矢量。设电子绕核运动的频率为 v，则周期为依电流的定义式得
ei
T
（ 2）
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
12d s r d r212 rd 212 r dt?
另一方面，图中阴影部分的面积为
0
T ds 2
0
1
2
T r d t 2
0
1 ()
2
T m r d t
m
02
TL dt
m
解得：
2
TSL
m
（ 3）
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋把 （ 2）、（ 3） 两式得到磁矩的大小为：
iS
2
e L rL
m?
2
er
m?
称为 旋磁比
L与
rL
考虑到 反向，写成矢量式为
(4)
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
绕外磁场我们将这种旋进称为拉莫尔进动。相应的频率称为拉莫尔频率,下面我们来计算这个频率。
中将受到力矩的作用，力矩将使得磁矩第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
B?
lv
磁矩在外磁场
B? 的方向旋进。
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
B?由电磁学知 在均匀外磁场 中受到的力矩为
LB力 矩另一方面，由 理论力学 得
dLLB
dt
力 矩量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
rL d rB
dt
将 代入得
rB d
dt
令 （ 1）
B?
d
dt
的物理意义,与 同向沿,轨道,切向，如下一页图所示。则量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
在 dt时间内旋进角度第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
(1)式的标量形式为
sin ( sin )ddt
d?
另一方面，设
s indd
d
dt
则把式代入上式得量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
是量子化的，这包括它的大小和空间取向都是量子化的。
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋轨道磁矩的量子表达式
1.量子力学关于轨道角动量的计算结果根据量子力学的计算，角动量 L?
量子力学的结论为
( 1 ),L l l h zlL m h? （ 1）
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋式中 l 称为角量子数，它的取值范围为
0,1,2,,1ln …
lm
称为轨道磁量子数当 l 取定后，他的可能取值为
0,1,2,lml…
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋即完整的微观模型是：
给定的 n，有 l 个不同形状的轨道（ l ）；
确定的轨道有 2l +1个不同的取向（ ml ）；
当 n,l,m 都给定后，就给出了一个确定的状态；
所以我们经常说,
（ n,l,ml ）描述了一个确定的态。
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋对于氢原子，能量只与 n 有关,n 给定后，
有 n 个 l,每一个 l 有 2l+1 个 ml
所以氢原子的一个能级 En 对应于 n2 个不同的状态，我们称这种现象为简并，相应的状态数称为能级 En 的简并度。
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋对于碱金属原子，能量与 n,l 有关，可见相应的简并度比氢原子要低。
此外，三个量子数（ n,l,ml ）表示一个状态，正好与经典物理中用（ x,y,z）描述一个质点的状态相对应。
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
2.磁矩的表达式
( 1)L l l h rL?
把式 代入式得 的数值表示为
( 1 )2l ehr L l lm
（ 2）
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第一节,原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋
zlL m h?
又由式 可得在 Z 方向的投影表达式为
2lz z l
ehrL m
m
（ 3）
通常令
2B
eh
m
,称之为玻尔磁子。
量子表达式前 言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback
第二节：史特恩 — 盖拉赫实验第三章：原子的精细结构：电子的自旋实验装置理论推导结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋
o中有处于基态的原子，被加热成蒸汽，以水平速度 v 通过狭缝 s1,s2,然后通过一个不均匀磁场，磁场沿 Z 方向是变化的，即
0zzBBxy 0zBz
热平衡时原子速度满足下列关系
2 2 213()
22x y zm v v v k T
即
2 3m v kT?
第二节：史特恩 — 盖拉赫实验实验装置理论推导结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋
1d vt?
2
11
1
2
zFzt
m
x 方向：
Y 方向,（ 2）
（ 1）
1t
1
z
z
F d
v at
mv
时刻，原子沿 z方向的速度为在磁场区域第二节：史特恩 — 盖拉赫实验实验装置理论推导结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋出磁场到 P点（设 D表示磁场中点到 P点的距离）
22
dD vt
2 1 2zz z v t
B
z
zz
BF
z?
另一方面，磁矩 在磁场 中受力为第二节：史特恩 — 盖拉赫实验实验装置理论推导结束目录nextback
第三节：电子的自旋第三章：原子的精细结构：电子的自旋史特恩 -盖拉赫实验 中出现偶数分裂的事实启示人们，电子的轨道运动似乎不是全部的运动。换句话说，
轨道磁矩应该只是原子总磁矩的一部分，那另一部分的运动是什么呢？
相应的磁矩又是什么呢？
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
1925年，两位荷兰学生 乌仑贝克 与 古兹米特 根据史特恩 -盖拉赫实验、碱金属光谱的精细结构等许多实验事实，发展了原子的行星模型,提出电子不仅有轨道运动，还有自旋运动，
它具有固有的自旋角动量 S。
引入了自旋假设以后，人们成功地解释了碱金属的精细结构，塞曼效应以及史特恩 -盖拉赫实验等。
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
1.电子自旋假设
1925年，年龄不到 25岁的两位荷兰学生 乌仑贝克 和 古兹米特 根据大量的实验事实，
提出一个极大胆的假设，电子不仅有轨道运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量 S,具体内容 是：
1)与轨道角动量进行类比知，自旋角动量的大小为
( 1 )S s s h
其中 S 称为自旋量子数
（ 1）
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
也应该有
2s+1个空间取向第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
L? s?
zsS m h?,1,sm s s … -s
2） 有 2l +1个空间取向，则
（ 2）
1
2s?
1
2sm?
1
2?
s?
实验表明，对于电子来说
，
即 有两个空间取向。
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
之间的对应关系是式知，
轨道磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
s? rL
l?
L?
3)与 对应的磁矩，由与轨道角动量
2l
e L
m?
(3)
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
之间也应有相应的对应关系，有实验结果定出这个对应关系是第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
s? s?
s
e S
m
3,ss
s z z B
e s
m
与此相类比,与相应的其量值关系为
（ 4） 朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
,m v r h? 161 0 ( )lrm
lv?
l
h
mr
34
3 1 1 6
1,0 5 4 6 1 0
9,1 1 0 1 0
Js?
注：自旋电子表面线速度的结论朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋综合上面的讨论，我们得到 磁矩和角动量的比值 为：
)2()2(1 megmeL ll
)2()2(2 megmeS ss
（ 1）
其中 和 分别是轨道和自旋 g 因子
lg sg
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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引入 g 因子之后，任意角动量对应的磁矩 可以统一表示为：
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
j?
Bjj gjj )1(
Bjjjz gm
（ 2）
量子数 j 取定后 =j,j-1,,-j，
共 2j+1个值,取 j=l,s 就可以分别得到轨道和自旋磁矩。
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋在原子内部，有两种角动量 LS和必然存在一个总角动量以及相应的磁矩。
ss?
与
ll?
与
j l s
ls
，
分别共线，合成后朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋由于
ls
ls
,所以 j与 不可能共线
ls,j在外磁场不太强时,分别绕 旋进，
s
l 与?
j所以相应的 合成的 绕方向旋进，
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
的方向连续变化，其总效果为 0,
沿水平和沿直两方向分解，
在
i?
j?
j?
我们可以将的旋进过程中，
的方向保持不变，所以就是原子的总磁矩。
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋引入自旋后原子态的表示上一章原子态表示为 nL；引入自旋后，对于给定的 n 和 L,除 l =0 之外,j 都有两个值，所以现在的原子态表示为
21s
jnL
其中 2S+1=2（碱金属原子实的总角动量是，
0最终对角动量有贡献的，只是哪个单电子），所以单电子和一个价电子原子的能级都属于双重态系列。
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
1,
2jl
221 / 2 1 / 2,lln L n L和由于所以双重原子态分别表示为
（ 1）
仅当 l =0时，
1
2js
，双重态只有一个原子态表示。
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋比如 nS,nP,nD 态的双重态表示为：
nS? 2
1
2
nS
nP?
2
1
2
nP
2
3
2
nP
nD?
2
3
2
nD
2
5
2
nD
（ 2）
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
Stern-Gerlach 实验的理论解释由前面的推导，我们得到单电子原子总磁矩，
以及其分量的表达式,
Bjj gjj )1(
（ 1）
Bjjjz gm
（ 2）
这样，我们就可以计算不同状态的 以及从而得到原子经过磁场后，分裂情况的表达式。
j? jz?
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋
1） g 因子的计算入射原子的状态通常表示为,即告诉了我们该状态的各量子数 n,l,j,s，由方程：
js Ln 12?
)(212321 2
22
2
222
J
LS
J
JSJg
j
可以求出相应状态的 g 因子朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋例如
2
1,0,1 sjln氢原子处于基态时，
所以其基态的状态为
2/12S
可以求得 2?
jg
而 j，jjm
j,1,
所以 2/1,2/1
jm
从而 1
jj gm
朗德 g因子前 言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示
S-G实验解释结束目录nextback
除 l =0 的 S 态外，所有其他态 都有两个值第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线碱金属双线 -碱金属谱线精细结构的定性考虑由前面的讨论我们知道，电子除轨道运动之外，还有自旋运动因此，轨道和自旋合成总角动量 ；
J?
J?
2/1122/112, lsls LnLnnL
即 ；
2
1 lj
因此使得原来的原子态 nL 一分为二，即精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋而原子态是与能级相对应的，这就意味着除
S 态对应的能级外，其余能级都一分为二,我们称其为能级的第二次分裂,
能级的分裂导致了光谱的分裂,下面我们以锂原子为例进行具体分析。
第四节：碱金属双线精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋主线系：
锐线系：
漫线系：
基线系：
npsv 2~
nSPv 2~
nDPv 2~
nFDv 3~
Li原子光谱的四个线系中，除了 S 能级外，
其余能级一分为二：
第四节：碱金属双线精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋碱金属双线 -精细结构的定量分析使能级发生分裂的本质原因是电子自旋和轨道相互作用。为了求出这个相互作用能，我们可以这样来看这个问题，电子绕原子实的轨道第四节：碱金属双线精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线运动等效成一个电流，也可看成原子实绕电子运动，在电子处产生一个磁场,电子的自旋磁矩 在这个磁场中将具有势能 U，
正是这个附加的势能迭加在原来的能级上，
使原能级发生了分裂，根据电磁理论,在中的势为
B?
s?
B?
BU s
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线下面分别计算 和
s?
B?
1） 的表示,
Bss gss )1(
)1(|| sss而故有
sg Bss?
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线
2） B? 的计算由电磁学可知，电流元 ld l? 在 r 处的场为
0
34
ld l r
dB
r
r? ld l?式中 表示从源 指向场点的位失。
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
表示原子实对电子的速度第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线设 Z* 表示原子实的有效电荷,v?
则原子实 Z*e 在电子处产生的磁场为
B 0 3
4
ld l r
r
0 34 l r d lr
0
34
ld t r v
r
0
34
l Ldt
mr
其中 d l v dt
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线设 Z*e 绕电子一周过程中,r-3 平均值是 1/r3；
这个过程中,L? 是守恒量
0
3
1,
4B T Lr
*eZ
l T?
所以上式积分后得注意到
*elT Z?
*
23
0
11
4
ZeBL
m c r
故有,代入上式得精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线
3）
s B?
和 之间夹角 θ 的计算精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线如上一页图所示，
2 2 2 2 c o sJ L S L S
所以有
222
c o s 2L S JLS
22( 1 )L l l h
22( 1 ),S s s h
22( 1 )J j j h
其中
，
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线
4)相互作用能的计算
,Bs sgsh
*
23
0
11
4
ZeBL
m c r
222
c o s 2L S JLS
把和 三式 代入
sUB?
得到
*
23
0
11
4
B
s
ZeU g S L
h m c r
（ 1）
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
的修正因子。 再注意到：
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线物理学家托马斯对上式给出一个 1""
2
2,sg?,
2B
eh
m
'c o sS L S L
21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 j j l l s s h
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线由量子力学计算可以得到
*3
3 3 3
1
1( ),
( 1 / 2 ) ( 1 )
Z
r n l l l?
其中 α 1 是玻尔半径精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线将各量带入作用能公式得
* 4 2
3
( 1 ) ( 1 ) 3 / 4() ( 0 )
4 ( 1 / 2 ) ( 1 )
j j l lZ m cUl
n l l l
（ 2）
2
0
1,
4 1 3 7
e
hc
1 0,5 3
h A
mc
其中精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
相互作用能的表达式，对于给定的 l,j有两个可能值：
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线
(2)式就是 LS
1,
2jl
分别将两个 j值代入 （ 2） 式即得：
* 4 2
1 3
(),
2 ( 1 ) ( 2 1 )
Z m cU
n l l
1,
2jl 0,l?
* 4 2
2 3
(),
2 ( 2 1 )
Z m cU
n l l
1,0
2j l l
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
相互作用，似的除了 s态（ l =0）外，
所有能级豆油附加能量，所以新的能级为第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线
5)能级的分裂设没考虑精细结构时的能级是 Enl,由于
,ls
11n l n lE E U 22n l n lE E U
即 Enl 能级分为两层：
1 ;n l n lEE2nl nlEE?
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线裂开后，两能级之间的能量变为
12( ) ( )n l n lE E E
*4
3
()
2 ( 1 )
Z
n l l
（ 1）
代入常数得
*4
4
3 7,2 5 1 0( 1 )
ZE e V
n l l
Ev
hc
～ *4 1
3 5,8 4( 1 )
Z cm
n l l
用波数表示为精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线由上面的分析我们看到：新能级裂距的大小
△ E 与 及 成反比。因此，主线系两精细结构谱线的波长差随 n 增大而减小，
最后并为一条；其他线系的实验结果也都与理论结果较好地吻合。
5n 2l
分裂后的能量差有多大呢，下面我们作一定量计算。
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第四节：碱金属双线例：求氢原子 2p态的分裂：
将 1,1,2Zln
evlln ZE 43
4
1025.7)1(
evE 543
4
1035.41025.7)11(12 1
令 △ E =hv，则有 )(10097.1 4 M H zv
物理学家用射频共振的方法测出的实验值和理论值完全吻合。
代入得,
精细结构的定性考虑精细结构的定量分析结果与讨论原子内部磁场的估计结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋把原子放入磁场中，其光谱线发生分裂，
原来的一条谱线分裂成几条的现象，被称为塞曼效应 。
这是 1896年由荷兰物理学家塞曼在实验中观察到的。 光谱的分裂根源于其能级的分裂 。
根据谱线分裂情况的不同，塞曼效应分为正常塞曼效应 与 反常塞曼效应 。
第五节：塞曼效应磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应一般情况下，谱线分裂成很多成分。称为 反常塞曼效应,也叫 复杂塞曼效应 。
特殊情况下，谱线分裂成三种成分。称为 正常塞曼效应,也叫 简单塞曼效应 。
塞曼效应反映了原子所处状态，从塞曼效应的实验结果可以推断有关能级的分裂情况，
是研究原子结构的重要途径之一。
本节从研究能级的分裂着手对正、反常 塞曼效应进行讨论。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
前面讨论了自旋磁矩 在原子内磁场中的附加能量引起能级第二次分裂，导致光谱精细结构的情况，在原子内,与 的合成使得原子有一个总角动量 ；
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应塞曼效应 -磁场中的能级分裂与此对应，原子有一个总磁 的有效分量就是上面讨论的 ；以下记为 ；
原子放入外磁场时,与 的作用使原子又获得附加能量，从而导致能级的第三次分裂；
分裂层数由附加能量的个数决定；这是产生塞曼效应的本质原因。
s?
l? s?
SLJ
ls
j?
B
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
（取 方向为 Z 轴）
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应下面先讨论这个附加能量。磁矩 在外磁场中的势能为?
BBU s B?
因为
Bs mg
BmgU B所以式中 m 和 g 都与能级有关，对于给定的
l,s,j,g 同样是确定的。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
分裂成 2j+1个新能级，
我们也常称其为能级的第三次分裂。
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应
Mj有 2j+1个值（ mj=j,j-1,? -j），
即式 U=mgμ BB 因为 m 的不同，有 2j+1个不同的值原来的一个能级 21s
jnL?
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
能级的分裂必然导致光谱的分裂，设某条谱线产生与 的跃进，加外磁场后,E1，
E2分别变为 E1′ 和 E2′,即第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应
21EE?
'2 2 2 2 BE E m g B
'1 1 1 1 BE E m g B
而
21h v E E
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应故有
' ' '21h v E E
2 2 1 1() Bh v m g m g B
() Bh v m g B
由上式可见，原来的谱线 hv现在变成了 hv′,
v′ 的大小和取值个数取决于
△（ mg）,根据 b 的不同又分为正常和反常塞曼效应。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
中放一光源，可以从平行磁场方向和垂直于磁场方向分别进行观测。
方向观察到的三条线偏振光，
平行于第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应正常塞曼效应在磁场 B?
B?
B?
垂直于方向观察到两条左、右旋偏振光。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应正常塞曼效应 — 理论解释正常塞曼效应产生于 g=1的能级之间，这时有
' Bh v h v m B （ 1）
由上式可见,△ m 有多少个不同值，就有多少条谱线。
由于跃迁的结果是放出光子，光子的自旋角动量是 h，因此,△ m 的数值不可能超过 1
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应根据量子力学的计算，选择定则不仅对量子数 l,j 提出了限制，对 m 也提出了限制。
M 的选择定则是
0,1m
0m 产 生 线 （ E ∥ B ）
1m 产 生 线 （ E ⊥ B ）
所以 （ 1） 式化为
'h v h v
BB?
BB
0 （ 2）
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应
Cd原子 的分裂谱线磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
方向的分量是 Mh，光子的角动量是 1·h ；
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应正常塞曼效应 — 对偏振光的解释为了解释正常塞曼效应中的偏振光，我们首先介绍下面几个 基本概念,
1)当原子处在某能级分裂后的新能级 M上时，
其角动量在 B?
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应
2)原子在不同能级间辐射跃迁时，角动量是守恒的，换句话说，系统辐射前的总角动量等于辐射后系统的角动量加上光子的角动量；
3)辐射跃迁遵从选择定则 0,1M
但新的跃迁不能发生在同一能级分裂的诸新能级之间。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
方向上看是线偏振光方向上看是右旋光，垂直于方向相反，以抵消总角动量的增加，所以平行于时，理由同上，
这时光子的角动量与第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应利用上面几条，我们可以对各种偏振现象给出合理的解释
21 1M M M
21,MM? 12 1MM
a.当 时，意味着电子从
21 1M M M
B?
B?
B?
b.当磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
方向看不到此光，而在垂直于方向角动量的守恒，
这时在平行于线变成左、右旋偏振光,π 线消失。这与实验给出的结果完全一致第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应
0M B?
B?
B?
B?
c.当 时，光子的角动量应垂直与方向，使其不影响方向看到线偏振的 π线。
B综上所述，在垂直于 方向看到二条磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
给定后,L 是确定的，新谱线的条数取决于 △（ Mg） 的个数； L称为洛仑兹单位；
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应当外磁场 B?
（ 2）式若用波数表示，即为
vv
c
～ () Lmg
c
()m g L? ～ （ 3）
式中 10,4 6 7 8 ( )L T c m～
求解反常塞曼效应时，先由关于 m 的格罗春图，求出可能的跃迁，再由 mg 的格罗春图，求出可能的频率。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应正常塞曼效应，产生于 S=0,g=1 的系统，此时不涉及自旋，所以经典理论就可以对它作出解释。
在发现并解释了正常塞曼效应的同时，人们观察到,一般情况下，光谱的分裂数目并不是三个，间隔也不相同。
从 1897年发现反常塞曼效应，在长达三十年的时间内，人们一直无法解释它，直到电子自旋假设提出后，反常塞曼效应才得到合理的解释。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应根据式,分裂后的谱线与原谱线的频率差为
Bmghvvh B?)(
vvv
m
eBgMgM
4)( 1122
))((144 G H zTBmeBL令
Lmgv )(则磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
，而是分别与外磁场当外磁场不太强时，前面的讨论是正确的，
而当外磁场很强时第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应帕邢 — 巴克效应：
,LS
J?B
不再合成 作用，
因此，这时的能级和光谱分裂情况将与前面有所不同，此时称为 帕邢 — 巴克效应。
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
，
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应强、弱外磁场时的矢量图是不同的,
,LS J?
J? B?
弱磁场时,合成绕 旋进；
,LS
B?
强磁场时,分别绕旋进下面来分析强外磁场时，能级及光谱的分裂情况磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应不同磁场中，原子中电子状态的表示通过这几章内容的学习，我们看到，描述电子的状态用一组量子数，在自旋引入之前，这组量子数是,引入自旋后
lmln,,
2
1,
2
1
sms
所以完整地描述电子的状态用四个量子数：
sl mmln,,,
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应表明电子有四个自由度，这四个量子数给定后，电子的状态就完全确定了，电子态确定后，相应的原子态就确定了，但在不同外磁场中，描述电子状态的量子数是不同的，在不加磁场或弱磁场中,与 合成 ；l?
s? j?
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋第五节：塞曼效应因此，描述电子状态的量子数是,
在强磁场中,与 不再合成,此时描述电子状态的量子数是,后面将要证明，两种情况下的状态数是相同的。
jmjln,,,
l? s?
j?
sl mmln,,,
磁场中的能级分裂正常塞曼效应反常塞曼效应帕刑 -巴克效应原子态的表示结束目录nextback
第三章：原子的精细结构：电子的自旋结束目录
