1
第二节波函数及其物理意义
2
经典理论在解释光和实物粒子、原子光谱及原子能级时遇到了困难，德布罗意、薛定谔、海森伯、玻恩、狄拉克等人建立了反映微观粒子规律的量子力学。
量子力学,研究物质波和物质相互作用的学科。
一、波函数电磁波可以用电场强度和磁场强度在时间和空间的变化来描述，机械波可以用质点的位移随时间变化来描述。
物质波也可以用一个随时间和空间变化的函数来描述，这个函数称为 波函数,通常用?来表示。
),( tx?
),( tr
在一维空间量，波函数写成,在三维空间里写成 。
3
1.自由粒子的波函数自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动过程中作匀速直线运动（ 设沿 X轴）,其能量和动量保持不变。
自由粒子物质波的频率和波长也是保持不变的。
结论,自由粒子的物质波是单色平面波。
一个频率为?、波长为?沿 x方向传播的单色平面波的表达式为：
)(2c o s),( xtAtx
利用波粒二象性的关系式，用描述粒子性的物理量来代替描述波动性的物理量，有,
P
h
,
h
E
对应的德布罗意波具有频率和波长：
)(2c o s),( 0 pxEthtx
4
)(2c o s),( 0 pxEthtx
)(2
0),(
PxEt
h
i
etx
0? 为波函数的振幅。
根据尤金公式，有：
这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的形式，又包含有体现粒子性的物理量 E和 P,因此它描述了微观粒子具有波粒二象性的特征。
对三维空间，沿矢径 方向传播的自由粒子的波函数为,r?
5
＊? 为?的复共轭函数 。
根据波动理论，波函数的强度正比于?02。
注意,微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来表达 。不能用实数形式来表达 。
利用复指数函数的运算法则，有：
＊ 22
0 ||
在一般情况下，粒子的波函数不是单色平面波的形式，而是空间和时间和复杂函数。
下面要研究的问题是如何理解波和它所描写的粒子之间的关系。
6
光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较：
1） 从波动性看,对光的衍射，空间某处光强与光波在该处振幅平方成正比，衍射极大值 对应光振动振幅平方的极大值，衍射极小值对应振幅平方的极小值。
2.波函数的物理意义为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先提出来的。
用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在衍射极大值处，波函数的振幅平方＊ 具有极大值，在衍射极小值处，波函数的振幅平方＊ 具有极小值。
2） 从粒子的观点看,对光的衍射现象，光的衍射极大值处找到光子的几率最大，极小值处找到光子的几率最小。
7
同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极大值处，找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到粒子的几率最小。
综合以上的波动和粒子观点，得到,在某时刻 t，
在空间某处,波函数 的平方正比于粒子在该时刻、该地点出现的几率。
r? ),( tr
玻恩在这个基础上，提出了关于波函数的统计解释：
波函数模的平方 代表时刻,在 处粒子出现的几率密度。
2|),(| tr r
t
根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说，
物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的,物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律 。
8
dVdVW *2|| *? 是? 的共轭复数。
实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模
（振幅）的平方 |?|2 与该点邻近体积元 dV的乘积，正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率 W。
注意,在空间某处 附近找到粒子的几率除和波函数平方值大小有关外，还和这个区域的大小有关。 r
可以认为在一个很小的体积元范围内波函数是相同的，这样，有：
由此可见,为粒子在某点附近单位体积内粒子出现的几率，称为 几率密度 。即：
2||?
2||
波函数不仅把粒子与波统一起来,同时以几率幅 （ 几率密度幅 ） 的形式描述粒子的量子运动状态 。
9
微观粒子的运动所遵循的是统计性规律，波函数正是为描写粒子的这种统计行为而引入的。波函数的概念也和通常的经典波的概念不同，它既不代表介质运动的传播过程，也不是那种纯粹经典的场量，而是一种比较抽象的几率波。波函数既不描述粒子的形状，
也不描述粒子运动的轨迹，它只给出粒子运动的几率分布。
根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。
播放动画
10
粒子在某一个时刻 t，在空间某点上粒子出现的几率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值的、有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变，所以波函数还必须是连续的。
1|| 2 dVV?
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是 1。所以应有：
3.波函数应满足的条件
1.标准条件
2.归一化条件波函数必须满足,单值、有限、连续,的条件，
称为波函数的 标准条件 。也就是说，波函数必须 连续可微，且一阶导数也连续可微 。
11
这称为波函数的归一化条件。 1|| 20 dVV?
如果波函数对整个空间的积分值是有限的，但不为零，则可以适当选取波函数的系数，使这积分值为 1，这个过程称为波函数的归一化过程。
量子力学中的波函数具有一个独特的性质,波函数?与波函数?/=c?（ c为任意常数）所描写的是粒子的同一状态 。
原因,粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度,而不决定于强度的绝对大小 。 如果把波函数在空间各点的振幅同时增大一倍,
并不影响粒子在空间各点的几率 。 所以将波函数乘上一个常数后,所描写的粒子的状态并不改变 。
12
波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现，微观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的另一个基本原理 — 态迭加原理表现出来。
量子力学中描述微观粒子状态的方式与经典力学中同时用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不同。这种差别来源于微观粒子的波粒二象性。
如果?1,?2,?,?n所描写的都是体系可能实现的状态，那么它的线性迭加所描写的也是体系的一个可能的状态 。
n
i
iic
1
（ ci为任意常数）
3.态迭加原理用电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致了在叠加态下观测结果的不确定性。
13
2211 CC
1P
A
2P
B
S? D
1
2
P 当双缝同时打开时，一个电子同时处在?1
态和?2态。双缝同时诱导的状态是它们的线性组合态。
单缝 1使通过它的电子处于?1态；单缝 2
使其处于?2态。
处于两态的几率分别为：
222 ||?C,|| 211?C
|| 2W
)( 1*22*12121 CCWW
双缝同时打开时，电子的几率分布为：
)( 1*22*1212*2221*121 CCCCW
量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图样。
相干项
14
它是由微观粒子波粒两象性所决定的。
量子力学中态的迭加，虽然在数学上与经典波的迭加原理相同，但在物理本质上却有根本的不同,量子态的迭加是指一个粒子的两个态的迭加，其干涉也是自己与自己的干涉，决不是两个粒子互相干涉。而且这种态的迭加将导致在迭加态下测量结果的不确定性 。
态迭加原理还有下面的含义,当粒子处于态?1和?2的线性迭加态?时，粒子是既处于?1,又处于态?2 。
微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。
牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的，
决定性的。
量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道 |?|2大的地方粒子出现的可能性大,|?|2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
15
4.定态波函数这个波函数就称为,定态波函数,。它可表示为：
如果波函数可以表示为一个空间坐标的函数与一个时间函数的乘积，并且整个波函数随时间的改变由因子 决定，
Etie
),,( zyx?
或
Etiezyxtzyx ),,(),,,( Etiertr )(),(
定态波函数所描写的状态称为,定态,。
如果粒子处于定态，则有：
222 |)(||)(||),(| rertr Et
i
粒子在空间某处出现的几率不随时间而改变
—— 这是定态的一个重要性质。
16
在解决实际问题中，感兴趣的不是波函数本身，
而是它的模的平方。
如果粒子处于定态,求出波函数的空间部分?(x,y,z)
一般来说已完全够用了,而不必再去考虑时间因子 。
因此,我们通常把?(x,y,z)称为,振幅波函数,,甚至干脆称为,定态波函数,。
可见，自由粒子的波函数所描述的是定态。
一维自由粒子的波函数可以写为：
EtipxipxEti eAeAetx )(),(
三维自由粒子的波函数可以写为：
EtirpirpEti eAeAetr )(),(
17
例 1,设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：
)c o s ()e x p (),( bxtiEAtx
0),(?tx? )2/,2/( bxbx
)2/2/( bxb
其中 A为任意常数,E和 b均为 确定的常数。
求：归一化的波函数；几率密度 W？
1)(c o s
2/
2/
22
b
b
dx
b
xA?
1|),(||),(||),(|
2/
22/
2/
22/ 22
b
b
b
b dxtxdxtxdxtxA
即：
解,由归一化条件，有：
122 bA bA
2?
18
(2)求出归一化的波函数和几率密度几率密度为：
)(c o s2),(),( 22 b xbtxtxW
)2/),2/( bxbx
)2/2/( bxb
0),(),( 2 txtxW?
如图所示，在区间（?b/2,b/2)以外找不到粒子。在
x=0处找到粒子的几率最大。
),( tx?
x
o b/2-b/2
),(2 tx?
19
解：
式中,L为势阱宽度,n为量子数（ n=1,2,?）。
例 2,已知一维无限深势阱中粒子的归一化定态波函数为：
)0(s i n2)( Lx
l
xn
L
xn
求：（ 1）粒子在 区间出现的几率；并对
40
Lx 1?n
n和 的情况算出概率值。
（ 2）在 的量子态上，粒子在 区间出现的概率密度最大。 4Lx?
n
（ 1）粒子在 区间出现的几率：
40
Lx
2
s i n
2
1
4
1s i n2)( 4
0
2
2
4
0
n
n
dx
L
xn
L
dxxW
LL
n
20
当 时1?n
当 时n
%921411W
%2541W
（ 2）粒子在 区间出现的概率密度为：
4
Lx?
4
s i n2)
4
( 2
2?
n
L
L
n
其最大值对应于,于是有：
14s inn
2)12(4
kn
)12(2 kn
),2,1,0(k
),2,1,0(k
2
s i n
2
1
4
1s i n2)( 4
0
2
2
4
0
n
n
dx
L
xn
L
dxxW
LL
n
第二节波函数及其物理意义
2
经典理论在解释光和实物粒子、原子光谱及原子能级时遇到了困难，德布罗意、薛定谔、海森伯、玻恩、狄拉克等人建立了反映微观粒子规律的量子力学。
量子力学,研究物质波和物质相互作用的学科。
一、波函数电磁波可以用电场强度和磁场强度在时间和空间的变化来描述，机械波可以用质点的位移随时间变化来描述。
物质波也可以用一个随时间和空间变化的函数来描述，这个函数称为 波函数,通常用?来表示。
),( tx?
),( tr
在一维空间量，波函数写成,在三维空间里写成 。
3
1.自由粒子的波函数自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动过程中作匀速直线运动（ 设沿 X轴）,其能量和动量保持不变。
自由粒子物质波的频率和波长也是保持不变的。
结论,自由粒子的物质波是单色平面波。
一个频率为?、波长为?沿 x方向传播的单色平面波的表达式为：
)(2c o s),( xtAtx
利用波粒二象性的关系式，用描述粒子性的物理量来代替描述波动性的物理量，有,
P
h
,
h
E
对应的德布罗意波具有频率和波长：
)(2c o s),( 0 pxEthtx
4
)(2c o s),( 0 pxEthtx
)(2
0),(
PxEt
h
i
etx
0? 为波函数的振幅。
根据尤金公式，有：
这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的形式，又包含有体现粒子性的物理量 E和 P,因此它描述了微观粒子具有波粒二象性的特征。
对三维空间，沿矢径 方向传播的自由粒子的波函数为,r?
5
＊? 为?的复共轭函数 。
根据波动理论，波函数的强度正比于?02。
注意,微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来表达 。不能用实数形式来表达 。
利用复指数函数的运算法则，有：
＊ 22
0 ||
在一般情况下，粒子的波函数不是单色平面波的形式，而是空间和时间和复杂函数。
下面要研究的问题是如何理解波和它所描写的粒子之间的关系。
6
光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较：
1） 从波动性看,对光的衍射，空间某处光强与光波在该处振幅平方成正比，衍射极大值 对应光振动振幅平方的极大值，衍射极小值对应振幅平方的极小值。
2.波函数的物理意义为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先提出来的。
用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在衍射极大值处，波函数的振幅平方＊ 具有极大值，在衍射极小值处，波函数的振幅平方＊ 具有极小值。
2） 从粒子的观点看,对光的衍射现象，光的衍射极大值处找到光子的几率最大，极小值处找到光子的几率最小。
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同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极大值处，找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到粒子的几率最小。
综合以上的波动和粒子观点，得到,在某时刻 t，
在空间某处,波函数 的平方正比于粒子在该时刻、该地点出现的几率。
r? ),( tr
玻恩在这个基础上，提出了关于波函数的统计解释：
波函数模的平方 代表时刻,在 处粒子出现的几率密度。
2|),(| tr r
t
根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说，
物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的,物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律 。
8
dVdVW *2|| *? 是? 的共轭复数。
实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模
（振幅）的平方 |?|2 与该点邻近体积元 dV的乘积，正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率 W。
注意,在空间某处 附近找到粒子的几率除和波函数平方值大小有关外，还和这个区域的大小有关。 r
可以认为在一个很小的体积元范围内波函数是相同的，这样，有：
由此可见,为粒子在某点附近单位体积内粒子出现的几率，称为 几率密度 。即：
2||?
2||
波函数不仅把粒子与波统一起来,同时以几率幅 （ 几率密度幅 ） 的形式描述粒子的量子运动状态 。
9
微观粒子的运动所遵循的是统计性规律，波函数正是为描写粒子的这种统计行为而引入的。波函数的概念也和通常的经典波的概念不同，它既不代表介质运动的传播过程，也不是那种纯粹经典的场量，而是一种比较抽象的几率波。波函数既不描述粒子的形状，
也不描述粒子运动的轨迹，它只给出粒子运动的几率分布。
根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。
播放动画
10
粒子在某一个时刻 t，在空间某点上粒子出现的几率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值的、有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变，所以波函数还必须是连续的。
1|| 2 dVV?
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是 1。所以应有：
3.波函数应满足的条件
1.标准条件
2.归一化条件波函数必须满足,单值、有限、连续,的条件，
称为波函数的 标准条件 。也就是说，波函数必须 连续可微，且一阶导数也连续可微 。
11
这称为波函数的归一化条件。 1|| 20 dVV?
如果波函数对整个空间的积分值是有限的，但不为零，则可以适当选取波函数的系数，使这积分值为 1，这个过程称为波函数的归一化过程。
量子力学中的波函数具有一个独特的性质,波函数?与波函数?/=c?（ c为任意常数）所描写的是粒子的同一状态 。
原因,粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度,而不决定于强度的绝对大小 。 如果把波函数在空间各点的振幅同时增大一倍,
并不影响粒子在空间各点的几率 。 所以将波函数乘上一个常数后,所描写的粒子的状态并不改变 。
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波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现，微观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的另一个基本原理 — 态迭加原理表现出来。
量子力学中描述微观粒子状态的方式与经典力学中同时用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不同。这种差别来源于微观粒子的波粒二象性。
如果?1,?2,?,?n所描写的都是体系可能实现的状态，那么它的线性迭加所描写的也是体系的一个可能的状态 。
n
i
iic
1
（ ci为任意常数）
3.态迭加原理用电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致了在叠加态下观测结果的不确定性。
13
2211 CC
1P
A
2P
B
S? D
1
2
P 当双缝同时打开时，一个电子同时处在?1
态和?2态。双缝同时诱导的状态是它们的线性组合态。
单缝 1使通过它的电子处于?1态；单缝 2
使其处于?2态。
处于两态的几率分别为：
222 ||?C,|| 211?C
|| 2W
)( 1*22*12121 CCWW
双缝同时打开时，电子的几率分布为：
)( 1*22*1212*2221*121 CCCCW
量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图样。
相干项
14
它是由微观粒子波粒两象性所决定的。
量子力学中态的迭加，虽然在数学上与经典波的迭加原理相同，但在物理本质上却有根本的不同,量子态的迭加是指一个粒子的两个态的迭加，其干涉也是自己与自己的干涉，决不是两个粒子互相干涉。而且这种态的迭加将导致在迭加态下测量结果的不确定性 。
态迭加原理还有下面的含义,当粒子处于态?1和?2的线性迭加态?时，粒子是既处于?1,又处于态?2 。
微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。
牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的，
决定性的。
量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道 |?|2大的地方粒子出现的可能性大,|?|2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
15
4.定态波函数这个波函数就称为,定态波函数,。它可表示为：
如果波函数可以表示为一个空间坐标的函数与一个时间函数的乘积，并且整个波函数随时间的改变由因子 决定，
Etie
),,( zyx?
或
Etiezyxtzyx ),,(),,,( Etiertr )(),(
定态波函数所描写的状态称为,定态,。
如果粒子处于定态，则有：
222 |)(||)(||),(| rertr Et
i
粒子在空间某处出现的几率不随时间而改变
—— 这是定态的一个重要性质。
16
在解决实际问题中，感兴趣的不是波函数本身，
而是它的模的平方。
如果粒子处于定态,求出波函数的空间部分?(x,y,z)
一般来说已完全够用了,而不必再去考虑时间因子 。
因此,我们通常把?(x,y,z)称为,振幅波函数,,甚至干脆称为,定态波函数,。
可见，自由粒子的波函数所描述的是定态。
一维自由粒子的波函数可以写为：
EtipxipxEti eAeAetx )(),(
三维自由粒子的波函数可以写为：
EtirpirpEti eAeAetr )(),(
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例 1,设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：
)c o s ()e x p (),( bxtiEAtx
0),(?tx? )2/,2/( bxbx
)2/2/( bxb
其中 A为任意常数,E和 b均为 确定的常数。
求：归一化的波函数；几率密度 W？
1)(c o s
2/
2/
22
b
b
dx
b
xA?
1|),(||),(||),(|
2/
22/
2/
22/ 22
b
b
b
b dxtxdxtxdxtxA
即：
解,由归一化条件，有：
122 bA bA
2?
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(2)求出归一化的波函数和几率密度几率密度为：
)(c o s2),(),( 22 b xbtxtxW
)2/),2/( bxbx
)2/2/( bxb
0),(),( 2 txtxW?
如图所示，在区间（?b/2,b/2)以外找不到粒子。在
x=0处找到粒子的几率最大。
),( tx?
x
o b/2-b/2
),(2 tx?
19
解：
式中,L为势阱宽度,n为量子数（ n=1,2,?）。
例 2,已知一维无限深势阱中粒子的归一化定态波函数为：
)0(s i n2)( Lx
l
xn
L
xn
求：（ 1）粒子在 区间出现的几率；并对
40
Lx 1?n
n和 的情况算出概率值。
（ 2）在 的量子态上，粒子在 区间出现的概率密度最大。 4Lx?
n
（ 1）粒子在 区间出现的几率：
40
Lx
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s i n
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1s i n2)( 4
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当 时1?n
当 时n
%921411W
%2541W
（ 2）粒子在 区间出现的概率密度为：
4
Lx?
4
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4
( 2
2?
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其最大值对应于,于是有：
14s inn
2)12(4
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