1
薛定谔方程及其简单应用
2
经典力学中，已知力 F 及 x0,v0,可由牛顿方程求质点任意时刻状态。
当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。
一、薛定谔方程所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。
1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。
3
)(
0),(
pxEti
etx
动量为 P,质量为 m、能量为 E的自由粒子,沿 x
轴运动的波函数为：
1.自由粒子的薛定谔方程这个方程还应满足以下两个条件,（ 1）方程是线性的,即如果?1和?2都是这方程的解，那么?1和?2的线性迭加（ a?1 +b?2） 也应是方程的解。这是由态迭加原理决定的； （ 2）这个方程的系数不应包含状态的参量，如动量、能量等。 否则方程只能被粒子的部分状态所满足，不能被各种可能的状态所满足。
对时间求微商，得到,
),(),(
)(
0 txE
ieEi
t
tx pxEti
①
4
对 x 求二阶偏导
①
②
),(),(
)(
0 txE
ieEi
t
tx pxEti
),(),(
)(
0 txp
iepi
x
tx pxEti
),()(),(
2)(
0
2
2
2
txpeip
x
tx pxEti
当粒子速度远小于光速 c时（ v<<c）自由粒子的动量和能量满足以下关系：
m
pE
2
2
③
)(
0),(
pxEtietx
比较以上三式，可得：
2
22 ),(
2
),(
x
tx
mt
txi
④
5
这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。
此时的薛定谔方程为：
2
22 ),(
2
),(
x
tx
mt
txi
若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其势能函数为 EP＝Ｕ (x,t)，则粒子的总能量应为：
),(
2
2
txU
m
pE
),(),(),(
2
),(
2
22
txtxU
x
tx
mt
txi
④
⑤
2.薛定谔方程的一般形式
6
为书写方便，我们引入拉普拉斯算符：
若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场中运动，则其薛定谔方程为：
),(),(),(
2
),( 22 trtrUtr
mt
tri
]),(),(),([
2
),(
2
2
2
2
2
22
z
tr
y
tr
x
tr
mt
tri
),(),( trtrU
2
2
2
2
2
2
2
zyx?
则上式可写为：
⑥
⑦
7
写成式子：
由此可知，粒子能量 E和动量 P与下列作用在波函数上的算符相当：
z
k
y
j
x
i
引入哈密顿算符：
,tiE
iptiE?,?
ipp 或222
U
m
H 2
2
2
则⑦式可写为,这就是薛定谔方程的一般形式。
tiH?
),(),(),(
2
),( 22 trtrUtr
mt
tri
),(2
2
txUmpE
8
（ 1）找出粒子总能 E与动量 P的关系式；
（ 3）把经算符后的关系式分别作用在?上，即可得到所需的薛定谔方程。
如果粒子的势能并不随时间而变化，即 U=U(x,y,z)，
它不包含时间（ 在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况）。 在这种情况下，可以用分离变量法把波函数写成空间坐标函数和时间函数的乘积，即：
)()(),( tfrtr
3.建立 薛定谔方程的一般方法
4.定态薛定谔方程
（ 2）把关系式中的 E和 P算符化：
iptiE,
定态：势函数不显含时间，其几率分布也不随时间变化的状态。
9
代入
),(),(),(
2
),( 22 trtrUtr
mt
tri
)()()()]()([
2
)]()([ 2
2
tfrrUtfr
m
tfr
t
i
)]()()(
2
[
)(
1)(
)(
1 22 rrUr
mrt
tf
tf
i
很明显，上式右边只是 矢径 的函数，而左边只是时间 t的函数，为了使上式成立，必须两边恒等于某一个常数，设以 E表示，则有：
r?
两边除以,可得：)()( tfr
ErrUr
mrt
tf
tf
i
)]()()(
2
[
)(
1)(
)(
1 22
10
方程（ 1）的解为：
)()( tEft tfi
)()()()(
2
2
2
rErrUr
m
（ 1）
（ 2）
Eti
cetf?
)(
（ c为任一常数）
将 代入,Eticetf)( )()(),( tfrtr
并把常数包含在 中，这样就得到薛定谔方程的特解为：
)(r
Etiertr )(),(?
定态波函数
ErrUr
mrt
tf
tf
i
)]()()(
2
[
)(
1)(
)(
1 22
定态薛定谔方程
11
定态薛定谔方程的每一个解表示粒子的一个稳定状态，并且由其解所得出的粒子在空间的几率密度与时间无关：
定态波函数所描述的状态称为 定态 。Eti
ertr )(),(?
方程 称为 定态薛定谔方程 。 )()()()(2
2
2
rErrUr
m
222 |)(||)(||),(| rertr Et
i
将
Etiertr )(),(? 与自由粒子的波函数表达式
)(
0),(
pxEti
etx
比较：
12
常数 E其实就是微观粒子的总能量,所以定态也就是微观粒子能量不随时间变化的状态。
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 和在这些态中的能量 E。),( tr
由于定态波函数 和函数 以公式,联系起来，所以问题就归结于解定态薛定谔方程求出能量 E的可能值和波函数 。
),( tr )(r
Etiertr )(),(?
)(r
5.应用定态薛定谔方程处理实际问题的一般步骤
（ 1）找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程；
（ 2）用分离变量法求解波函数；
13
(3)由波函数归一化条件和标准条件，确定积分常数；
（ 4）求概率密度并讨论其物理意义。
二、薛定谔方程的简单应用
1.一维无限深势阱考虑在一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内（ x=0到 x=a）为零，而在此区域外势能为无限大，
)( xU )0( axx 及
)0( 0 ax
)(xU
x
ao
粒子只能在宽为 a 的两个无限高势壁间运动,这种势称为 一维无限深方势阱 。
14
1.薛定谔方程的建立由于势能与时间无关，所以本题是定态问题。
在阱外,定态薛定谔方程为：
),0( axx
)()()(
2 02
22
xExU
dx
xd
m
),0( axx
根据波函数应满足连续性和有限性的条件，只有当?=0时，方程才有意义，所以有：
式中：
0U
0)( x ),0( axx
在阱 内 粒子势能为零,定态薛定谔方程：)0( ax
)()(
2 2
22
xE
dx
xd
m
)0( ax
15
0)()( 22
2
xk
dx
xd
它是一个二阶齐次常数微分方程，其通解为：
kxBkxAx c oss i n)(
)()(
2 2
22
xE
dx
xd
m
)0( ax
令,方程可化为：
2
2 2
mEk?
根据波函数的标准化条件，在边界上,0)(,0)0( a
阱内定态薛定谔方程：
代入方程，得,00c o ss i n)0( BoA?
0)c o s ()s i n ()( kaBkaAa?
由此可得,0s in?kaA0?B
若取 A=0，则?=0，表示粒子不在势阱出现，这违反粒子在势阱内运动的已知条件，
16
再由归一化条件确定常数 A：
),s i n(c o ss i n)(
a
xnAkxBkxAx
1)(s i n
0
2 dx
a
xnAa?
a
A 2?
)0(,3,2,1),s i n (2)( axn
a
xn
a
xn
),0(,0)( axxxn
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：
,?nka? )3,2,1(n
a
nk
所以，有,0s in?ka
n不能取零，
否则无意义。
)3,2,1(n
0s in?kaA
),3,2,1(n
17
（ 1）能级和能级差
2
2
22
2
n
ma
E n
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
2
2 2
mEk?
由
a
nk 可得：和
nE)(xn?
n# 称 为量子数； 为本征态； 为本征能量。
# 零点能的存在 称为基态能量。
2
22
1 2 maE
讨论：
#能级间隔：
2
22
1 2
)12(
ma
nEEE
nnn
),3,2,1(n
18
当 能级分布可视为连续的 。
0/2/, nEEn n
对宏观物体，由于其质量很大，运动范围也大，
E很小，故其能量可看作是连续变化的。
对微观粒子，若在宏观范围内运动，则?E很小，
其能量量子化不显著；如果是在原子尺寸大小的范围内运动，则?E很大，能量量子化就很明显。
相邻能级间的差值，随量子数 n的增加而增加，
随粒子质量 m和势阱宽度 a的增大而减小。
#能级间隔：
2
22
1 2
)12(
ma
nEEE
nnn
19
4E
3E
2E
1E
x4?
x3?
x2?
x1?
)(x?
o
x
a
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数稳定的驻波能级
n+1个节点
（ 2）波函数粒子在势阱中的波函数很象两端固定弦的驻波波形，波的波长随能级的增高而缩短。
n 很大时，相邻波腹靠得很近，接近经典力学各处概率相同。
（ 3）几率密度粒子在势阱中的概率密度：
x
a
n
a
x 22 s i n2|)(|?
),s i n (2)(
a
xn
a
xn
,3,2,1?n
)0( ax
20
1?n
2?n
3?n
4?n
2/a a
1?
2?
3?
4?
0
2||?
2/a a0 0?
pE
1E
14E
19E
116E
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的几率是不同的。
21
1?n
2?n
3?n
4?n
2||?
2/a a0
经典理论中，处于无限深方势阱中粒子的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制，各处概率相等。
随着能级的升高，几率密度的峰值增多，当时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。
n
从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱 U=0的区域能运动。
通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为 束缚态 。
22
例,求电子在原子尺度 a =10?10 m和普通尺度 a =10?2
m 势阱宽度范围的相邻能级。
解,电子能量 2
22
8 ma
hnE?
431
2342
10101.98
)1063.6(
n
eV1037.3 152 n
相邻能级间隔 2
2
82 a
hnE
eV1054.7 15 n
n
n
E
E
当 n>>1时，能量相对间隔
n
2 n
1?
当n 时 nn EE 量子化不显著。
经典物理可看成是n 时量子物理的特殊情况。
23
)( xU
,0
,0U
axx 和0
ax0
粒子在 x < 0 区域里，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能越过势垒达到 x > a的区域。
2.势垒贯穿 (隧道效应）
设一个质量为 m的粒子，沿 x轴正方向运动，其势能为：
这种势能分布称为 一维势垒 。
在量子力学中，情况又如果呢？
为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域：
0U
V
O a
III
x
I II
)(),0(),0( axaxx
在各个区域的波函数分别表示为?1,?2,?3。
24
0U
V
O a
III
x
I II
),()(
2 12
1
22
xE
dx
xd
m
),()()(2 22022
22
xExUdx xdm
),()(
2 32
3
22
xE
dx
xd
m
2
02
1
)(2
EUmk
2
2 2
mEk?令：
0?x
ax0
ax?
0,0)()( 1221
2
xxk
dx
xd
axxk
dx
xd 0,0)()(
2
2
12
2
2
axxkdx xd,0)()( 3223
2
三个区间的薛定谔方程简化为：
25
方程的通解为：
i k xi k x eAAe 1
xikxik eBBe 112
i k xi k x eCCe
3
将上面的三个式子乘以因子：,可知：
Etie
三式的右边第一项表示沿 x方向传播的平面波，
第二项为沿 x负方向传播的平面波。
1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被“界面（ x=0）”反射的反射波。
2右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项表示被“界面（ x=a）”反射的反射波。
3右边的第一项表示穿出势垒的透射波,?3的 第二项为零，因为在 x>a区域不可能存在反射波 (C/=0)。
26
利用波函数“单值、有限、连续”的标准条件，可得：
)0()0( 21
)()( 32 aa
0
2
0
1 |)(|)(
xx dx
xd
dx
xd
axax dx
xd
dx
xd
|
)(|)( 32
求出解的形式画于图中。
0V
V
ao x
I II III
讨论：
（ 1） E>U0
按照经典力学观点,在 E>U0情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射。
而在微观粒子的情形，却会发生反射。
27
0V
V
ao x
I II III
（ 2） E<U0
从解薛定谔方程的结果来看，在势垒内部存在波函数?2。即在势垒内部找出粒子的概率不为零，同时，在
x>a区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入 x>a区域。
粒子在总能量 E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为 隧道效应 。
定义粒子穿过势垒的贯穿系数,透射波的概率密度与入射波概率密度的比值。
2
1
2
3
|)0(|
|)(|
aT?
)02e xp(
)2e xp(
|)0(|
|)(|
1
1
2
2
2
2
kT
akTa
)(222 0
1
EUmaak ee
28
结果表明,势垒高度 U0越低、势垒宽 a
度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。
如果 a或 m为宏观大小时，,粒子实际上将不能穿过势垒。
0?T
隧道效应是一种微观效应。
当 时，势垒的宽度约 50nm 以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。
eVEU 50
隧道效应是经典力学所无法解释的，因为按经典力学计算结果，在势垒区，粒子的动能小于零，动量是虚数。 隧道效应来源于微观粒子的波粒二象性。
由于微观粒子的波动性，微观粒子遵守“不确定关系”，
粒子的坐标 x和动量 P不可能同时具有确定的值，自然作为坐标函数的势能和作为动量函数的动能当然也不能同时具有确定的值 。因此，对微观粒子而言，“总能量等于势能和动能之和”这一概念不再具有明确的意义。
)(22 0 EUmaeT
29
隧道效应和扫描隧道显微镜 STM
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，
而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为 1nm。
只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖之间加一微小电压 Ub电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。
若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
Scanning tunneling microscopy
30
因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。
若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布；
使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。
空气隙
STM工作示意图样品探针利用 STM可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面的三维图象
31
1981年宾尼希和罗雷尔利用电子扫描隧道显微镜
（ STM） 给出了晶体表面的三维图象。
钻石中的原子已被看到利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（ PSTM)。 1989年提出成象技术。
它可用于不导电样品的观察。
薛定谔方程及其简单应用
2
经典力学中，已知力 F 及 x0,v0,可由牛顿方程求质点任意时刻状态。
当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。
一、薛定谔方程所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。
1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。
3
)(
0),(
pxEti
etx
动量为 P,质量为 m、能量为 E的自由粒子,沿 x
轴运动的波函数为：
1.自由粒子的薛定谔方程这个方程还应满足以下两个条件,（ 1）方程是线性的,即如果?1和?2都是这方程的解，那么?1和?2的线性迭加（ a?1 +b?2） 也应是方程的解。这是由态迭加原理决定的； （ 2）这个方程的系数不应包含状态的参量，如动量、能量等。 否则方程只能被粒子的部分状态所满足，不能被各种可能的状态所满足。
对时间求微商，得到,
),(),(
)(
0 txE
ieEi
t
tx pxEti
①
4
对 x 求二阶偏导
①
②
),(),(
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0 txE
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)(
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x
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当粒子速度远小于光速 c时（ v<<c）自由粒子的动量和能量满足以下关系：
m
pE
2
2
③
)(
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比较以上三式，可得：
2
22 ),(
2
),(
x
tx
mt
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④
5
这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。
此时的薛定谔方程为：
2
22 ),(
2
),(
x
tx
mt
txi
若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其势能函数为 EP＝Ｕ (x,t)，则粒子的总能量应为：
),(
2
2
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m
pE
),(),(),(
2
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2
22
txtxU
x
tx
mt
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④
⑤
2.薛定谔方程的一般形式
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为书写方便，我们引入拉普拉斯算符：
若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场中运动，则其薛定谔方程为：
),(),(),(
2
),( 22 trtrUtr
mt
tri
]),(),(),([
2
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2
2
2
2
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z
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y
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),(),( trtrU
2
2
2
2
2
2
2
zyx?
则上式可写为：
⑥
⑦
7
写成式子：
由此可知，粒子能量 E和动量 P与下列作用在波函数上的算符相当：
z
k
y
j
x
i
引入哈密顿算符：
,tiE
iptiE?,?
ipp 或222
U
m
H 2
2
2
则⑦式可写为,这就是薛定谔方程的一般形式。
tiH?
),(),(),(
2
),( 22 trtrUtr
mt
tri
),(2
2
txUmpE
8
（ 1）找出粒子总能 E与动量 P的关系式；
（ 3）把经算符后的关系式分别作用在?上，即可得到所需的薛定谔方程。
如果粒子的势能并不随时间而变化，即 U=U(x,y,z)，
它不包含时间（ 在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况）。 在这种情况下，可以用分离变量法把波函数写成空间坐标函数和时间函数的乘积，即：
)()(),( tfrtr
3.建立 薛定谔方程的一般方法
4.定态薛定谔方程
（ 2）把关系式中的 E和 P算符化：
iptiE,
定态：势函数不显含时间，其几率分布也不随时间变化的状态。
9
代入
),(),(),(
2
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mt
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2
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很明显，上式右边只是 矢径 的函数，而左边只是时间 t的函数，为了使上式成立，必须两边恒等于某一个常数，设以 E表示，则有：
r?
两边除以,可得：)()( tfr
ErrUr
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tf
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1 22
10
方程（ 1）的解为：
)()( tEft tfi
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2
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（ 1）
（ 2）
Eti
cetf?
)(
（ c为任一常数）
将 代入,Eticetf)( )()(),( tfrtr
并把常数包含在 中，这样就得到薛定谔方程的特解为：
)(r
Etiertr )(),(?
定态波函数
ErrUr
mrt
tf
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)]()()(
2
[
)(
1)(
)(
1 22
定态薛定谔方程
11
定态薛定谔方程的每一个解表示粒子的一个稳定状态，并且由其解所得出的粒子在空间的几率密度与时间无关：
定态波函数所描述的状态称为 定态 。Eti
ertr )(),(?
方程 称为 定态薛定谔方程 。 )()()()(2
2
2
rErrUr
m
222 |)(||)(||),(| rertr Et
i
将
Etiertr )(),(? 与自由粒子的波函数表达式
)(
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比较：
12
常数 E其实就是微观粒子的总能量,所以定态也就是微观粒子能量不随时间变化的状态。
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 和在这些态中的能量 E。),( tr
由于定态波函数 和函数 以公式,联系起来，所以问题就归结于解定态薛定谔方程求出能量 E的可能值和波函数 。
),( tr )(r
Etiertr )(),(?
)(r
5.应用定态薛定谔方程处理实际问题的一般步骤
（ 1）找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程；
（ 2）用分离变量法求解波函数；
13
(3)由波函数归一化条件和标准条件，确定积分常数；
（ 4）求概率密度并讨论其物理意义。
二、薛定谔方程的简单应用
1.一维无限深势阱考虑在一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内（ x=0到 x=a）为零，而在此区域外势能为无限大，
)( xU )0( axx 及
)0( 0 ax
)(xU
x
ao
粒子只能在宽为 a 的两个无限高势壁间运动,这种势称为 一维无限深方势阱 。
14
1.薛定谔方程的建立由于势能与时间无关，所以本题是定态问题。
在阱外,定态薛定谔方程为：
),0( axx
)()()(
2 02
22
xExU
dx
xd
m
),0( axx
根据波函数应满足连续性和有限性的条件，只有当?=0时，方程才有意义，所以有：
式中：
0U
0)( x ),0( axx
在阱 内 粒子势能为零,定态薛定谔方程：)0( ax
)()(
2 2
22
xE
dx
xd
m
)0( ax
15
0)()( 22
2
xk
dx
xd
它是一个二阶齐次常数微分方程，其通解为：
kxBkxAx c oss i n)(
)()(
2 2
22
xE
dx
xd
m
)0( ax
令,方程可化为：
2
2 2
mEk?
根据波函数的标准化条件，在边界上,0)(,0)0( a
阱内定态薛定谔方程：
代入方程，得,00c o ss i n)0( BoA?
0)c o s ()s i n ()( kaBkaAa?
由此可得,0s in?kaA0?B
若取 A=0，则?=0，表示粒子不在势阱出现，这违反粒子在势阱内运动的已知条件，
16
再由归一化条件确定常数 A：
),s i n(c o ss i n)(
a
xnAkxBkxAx
1)(s i n
0
2 dx
a
xnAa?
a
A 2?
)0(,3,2,1),s i n (2)( axn
a
xn
a
xn
),0(,0)( axxxn
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：
,?nka? )3,2,1(n
a
nk
所以，有,0s in?ka
n不能取零，
否则无意义。
)3,2,1(n
0s in?kaA
),3,2,1(n
17
（ 1）能级和能级差
2
2
22
2
n
ma
E n
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
2
2 2
mEk?
由
a
nk 可得：和
nE)(xn?
n# 称 为量子数； 为本征态； 为本征能量。
# 零点能的存在 称为基态能量。
2
22
1 2 maE
讨论：
#能级间隔：
2
22
1 2
)12(
ma
nEEE
nnn
),3,2,1(n
18
当 能级分布可视为连续的 。
0/2/, nEEn n
对宏观物体，由于其质量很大，运动范围也大，
E很小，故其能量可看作是连续变化的。
对微观粒子，若在宏观范围内运动，则?E很小，
其能量量子化不显著；如果是在原子尺寸大小的范围内运动，则?E很大，能量量子化就很明显。
相邻能级间的差值，随量子数 n的增加而增加，
随粒子质量 m和势阱宽度 a的增大而减小。
#能级间隔：
2
22
1 2
)12(
ma
nEEE
nnn
19
4E
3E
2E
1E
x4?
x3?
x2?
x1?
)(x?
o
x
a
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数稳定的驻波能级
n+1个节点
（ 2）波函数粒子在势阱中的波函数很象两端固定弦的驻波波形，波的波长随能级的增高而缩短。
n 很大时，相邻波腹靠得很近，接近经典力学各处概率相同。
（ 3）几率密度粒子在势阱中的概率密度：
x
a
n
a
x 22 s i n2|)(|?
),s i n (2)(
a
xn
a
xn
,3,2,1?n
)0( ax
20
1?n
2?n
3?n
4?n
2/a a
1?
2?
3?
4?
0
2||?
2/a a0 0?
pE
1E
14E
19E
116E
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的几率是不同的。
21
1?n
2?n
3?n
4?n
2||?
2/a a0
经典理论中，处于无限深方势阱中粒子的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制，各处概率相等。
随着能级的升高，几率密度的峰值增多，当时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。
n
从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱 U=0的区域能运动。
通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为 束缚态 。
22
例,求电子在原子尺度 a =10?10 m和普通尺度 a =10?2
m 势阱宽度范围的相邻能级。
解,电子能量 2
22
8 ma
hnE?
431
2342
10101.98
)1063.6(
n
eV1037.3 152 n
相邻能级间隔 2
2
82 a
hnE
eV1054.7 15 n
n
n
E
E
当 n>>1时，能量相对间隔
n
2 n
1?
当n 时 nn EE 量子化不显著。
经典物理可看成是n 时量子物理的特殊情况。
23
)( xU
,0
,0U
axx 和0
ax0
粒子在 x < 0 区域里，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能越过势垒达到 x > a的区域。
2.势垒贯穿 (隧道效应）
设一个质量为 m的粒子，沿 x轴正方向运动，其势能为：
这种势能分布称为 一维势垒 。
在量子力学中，情况又如果呢？
为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域：
0U
V
O a
III
x
I II
)(),0(),0( axaxx
在各个区域的波函数分别表示为?1,?2,?3。
24
0U
V
O a
III
x
I II
),()(
2 12
1
22
xE
dx
xd
m
),()()(2 22022
22
xExUdx xdm
),()(
2 32
3
22
xE
dx
xd
m
2
02
1
)(2
EUmk
2
2 2
mEk?令：
0?x
ax0
ax?
0,0)()( 1221
2
xxk
dx
xd
axxk
dx
xd 0,0)()(
2
2
12
2
2
axxkdx xd,0)()( 3223
2
三个区间的薛定谔方程简化为：
25
方程的通解为：
i k xi k x eAAe 1
xikxik eBBe 112
i k xi k x eCCe
3
将上面的三个式子乘以因子：,可知：
Etie
三式的右边第一项表示沿 x方向传播的平面波，
第二项为沿 x负方向传播的平面波。
1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被“界面（ x=0）”反射的反射波。
2右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项表示被“界面（ x=a）”反射的反射波。
3右边的第一项表示穿出势垒的透射波,?3的 第二项为零，因为在 x>a区域不可能存在反射波 (C/=0)。
26
利用波函数“单值、有限、连续”的标准条件，可得：
)0()0( 21
)()( 32 aa
0
2
0
1 |)(|)(
xx dx
xd
dx
xd
axax dx
xd
dx
xd
|
)(|)( 32
求出解的形式画于图中。
0V
V
ao x
I II III
讨论：
（ 1） E>U0
按照经典力学观点,在 E>U0情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射。
而在微观粒子的情形，却会发生反射。
27
0V
V
ao x
I II III
（ 2） E<U0
从解薛定谔方程的结果来看，在势垒内部存在波函数?2。即在势垒内部找出粒子的概率不为零，同时，在
x>a区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入 x>a区域。
粒子在总能量 E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为 隧道效应 。
定义粒子穿过势垒的贯穿系数,透射波的概率密度与入射波概率密度的比值。
2
1
2
3
|)0(|
|)(|
aT?
)02e xp(
)2e xp(
|)0(|
|)(|
1
1
2
2
2
2
kT
akTa
)(222 0
1
EUmaak ee
28
结果表明,势垒高度 U0越低、势垒宽 a
度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。
如果 a或 m为宏观大小时，,粒子实际上将不能穿过势垒。
0?T
隧道效应是一种微观效应。
当 时，势垒的宽度约 50nm 以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。
eVEU 50
隧道效应是经典力学所无法解释的，因为按经典力学计算结果，在势垒区，粒子的动能小于零，动量是虚数。 隧道效应来源于微观粒子的波粒二象性。
由于微观粒子的波动性，微观粒子遵守“不确定关系”，
粒子的坐标 x和动量 P不可能同时具有确定的值，自然作为坐标函数的势能和作为动量函数的动能当然也不能同时具有确定的值 。因此，对微观粒子而言，“总能量等于势能和动能之和”这一概念不再具有明确的意义。
)(22 0 EUmaeT
29
隧道效应和扫描隧道显微镜 STM
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，
而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为 1nm。
只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖之间加一微小电压 Ub电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。
若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
Scanning tunneling microscopy
30
因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。
若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布；
使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。
空气隙
STM工作示意图样品探针利用 STM可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面的三维图象
31
1981年宾尼希和罗雷尔利用电子扫描隧道显微镜
（ STM） 给出了晶体表面的三维图象。
钻石中的原子已被看到利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（ PSTM)。 1989年提出成象技术。
它可用于不导电样品的观察。
