常微分方程课程简介常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的 常微分方程,如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
常微分方程学习,常微分方程,的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，
为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。
教材及参考资料教 材：常微分方程,(第二版）（ 97年国家教委一等奖），
王高雄等编（中山大学 ),高教出版社。
参考书目,常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。
常微分方程及其应用，周义仓等编,科学出版社 。
常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。
常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
一、微分方程的发展历史
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；
在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、
三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，
列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。
在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关，这就是我们要研究的微分方程。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式－－－即求解微分方程。
牛顿 在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家 雅各布 ·贝努利、
欧拉,法国数学家克雷洛、达朗贝尔,拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，
在公元 17世纪，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、
物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。同时，数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、
组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
二、微分方程的研究方法研究微分方程的一般五种方法
1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解，
常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题 。
2,利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、
延展性、解对初值的连续性和可微性问题。
3、微分方程解析理论由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证明了解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）的表示成级数形式，
并引进 特殊函数，如，椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔函数等，
并使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了、微分方程解析理论。
5、微分方程的定性和稳定性理论
1900年，希尔波特提出的 23个问题中的第 16
个问题之一，至今未解决。
三、微分方程的讲授内容（学时 40）
1、基本概念 2,一阶微分方程
3、二阶微分方程 4,微分方程组
4、微分方程的数值解法第一章 绪论常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并讲述一些最基本概念,
§ 1.1 微分方程模型微分方程,
联系着自变量,未知函数及其导数 的关系式,
为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程,
例 1 镭的衰变规律,
0
,
0,,
.
tR
t
设 镭 的 衰 变 规 律 与 该 时 刻 现 有 的 量 成 正 比且 已 知 时 镭 元 素 的 量 为 克 试 确 定 在任 意 时 该 时 镭 元 素 的 量解,
( ),t R t设 时 刻 时 镭 元 素 的 量 为
,)()( dt tdRtR 对时间的变化律是由于镭元素的衰变律就
:衰变律可得依题目中给出镭元素的
,kRdtdR
0)0( RR?
.)(,0 随时间的增加而减少是由于这里 tRk?
:解之得 kteRtR
0)(
即镭元素的存量是指数规律衰减的,
将某物体放置于空气中,在时刻 0?t 时,测得它的温度为
,1500 Cu
10分钟后测量得温度为 试决定此物.100
1 Cu
体的温度 和时间 的关系,u t
例 2 物理冷却过程的数学模型
Newton 冷却定律,
1,热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导 ;
2,在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比,
设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义,则温度的变化速度为 由 Newton冷却定律,得到
t ).(tu
.dtdu
),( auukdtdu
其中 为比例系数,此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型,
0?k
注意,此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式,如何由此式子求得 与 之间的关系式,以后再介绍,
u t
u t
解,
例 3 R-L-C电路如图所示的 R-L-C电路,它包含电感 L,电阻 R,电容 C及电源 e(t),
设 L,R,C均为常数,e(t)是时间 t的已知函数,试求当开关 K合上后,电路中电流强度 I与时间 t之间的关系,
电路的 Kirchhoff第二定律,
设当开关 K合上后,电路中在时刻 t的电流强度为 I(t),则电流经过电感 L,电阻 R和电容的电压降分别为 其中 Q
为电量,于是由 Kirchhoff第二定律,得到,,,C
QRI
dt
dIL
.0)( CQRIdtdILte
因为 于是得到
,dtdQI?
.)(12
2
dt
tde
LLC
I
dt
dI
L
R
dt
Id
这就是电流强度 I与时间 t所满足的数学关系式,
解,
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零,
例 4 传染病模型,长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专家和官员关注的课题,人们不能去做传染病传播的试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型,
:,
,
假设条件为时间以天为计量单位不变考察地区的总人数假设在疾病传播期内所 N
).()()(
)()1(
tits
t
和别为在总人数中所占比例分病人和已感染者健康人群中易感染者在时该
.
,)2(
称日接触率的平均人数是每个病人每天有效接触
解,根据题设,每个病人每天可使
.)( 个健康者变为病人ts?
由于病人总人数为 ),(tNi
所以每天共有
( ) ( ),N s t i t? 个 健 康 者 被 感 染于是病人增加率为
,N sidtdiN
再由初始条件得又因,1)()( tits
)1( iidtdi
0)0( ii?
思考与练习
1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数,求该 曲线所满足的微分方程,
2a
:),( 距分别为的切线的横截距与纵截过点 yx
.'' xyy
y
yx 和解,
由题目条件有,
2'
' ))((2
1 axyy
y
yx
2,求平面上过点 (1,3)且每点切线斜率为横坐标 2倍的曲线所满足的微分方程,
解,设所求的曲线方程为 ).( xfy? 由导数的几何意义,应有
,2)(' xxf?
即
.2)( 2 CxCdxxxf
又由条件,曲线过 (1,3),即,3)1(?f
于是得
.2?C 故所求的曲线方程为,
.22 xy
常微分方程学习,常微分方程,的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，
为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。
教材及参考资料教 材：常微分方程,(第二版）（ 97年国家教委一等奖），
王高雄等编（中山大学 ),高教出版社。
参考书目,常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。
常微分方程及其应用，周义仓等编,科学出版社 。
常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。
常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
一、微分方程的发展历史
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；
在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、
三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，
列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。
在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关，这就是我们要研究的微分方程。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式－－－即求解微分方程。
牛顿 在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家 雅各布 ·贝努利、
欧拉,法国数学家克雷洛、达朗贝尔,拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，
在公元 17世纪，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、
物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。同时，数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、
组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
二、微分方程的研究方法研究微分方程的一般五种方法
1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解，
常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题 。
2,利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、
延展性、解对初值的连续性和可微性问题。
3、微分方程解析理论由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证明了解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）的表示成级数形式，
并引进 特殊函数，如，椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔函数等，
并使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了、微分方程解析理论。
5、微分方程的定性和稳定性理论
1900年，希尔波特提出的 23个问题中的第 16
个问题之一，至今未解决。
三、微分方程的讲授内容（学时 40）
1、基本概念 2,一阶微分方程
3、二阶微分方程 4,微分方程组
4、微分方程的数值解法第一章 绪论常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并讲述一些最基本概念,
§ 1.1 微分方程模型微分方程,
联系着自变量,未知函数及其导数 的关系式,
为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程,
例 1 镭的衰变规律,
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设 镭 的 衰 变 规 律 与 该 时 刻 现 有 的 量 成 正 比且 已 知 时 镭 元 素 的 量 为 克 试 确 定 在任 意 时 该 时 镭 元 素 的 量解,
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即镭元素的存量是指数规律衰减的,
将某物体放置于空气中,在时刻 0?t 时,测得它的温度为
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10分钟后测量得温度为 试决定此物.100
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体的温度 和时间 的关系,u t
例 2 物理冷却过程的数学模型
Newton 冷却定律,
1,热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导 ;
2,在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比,
设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义,则温度的变化速度为 由 Newton冷却定律,得到
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其中 为比例系数,此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型,
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注意,此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式,如何由此式子求得 与 之间的关系式,以后再介绍,
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例 3 R-L-C电路如图所示的 R-L-C电路,它包含电感 L,电阻 R,电容 C及电源 e(t),
设 L,R,C均为常数,e(t)是时间 t的已知函数,试求当开关 K合上后,电路中电流强度 I与时间 t之间的关系,
电路的 Kirchhoff第二定律,
设当开关 K合上后,电路中在时刻 t的电流强度为 I(t),则电流经过电感 L,电阻 R和电容的电压降分别为 其中 Q
为电量,于是由 Kirchhoff第二定律,得到,,,C
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这就是电流强度 I与时间 t所满足的数学关系式,
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在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零,
例 4 传染病模型,长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专家和官员关注的课题,人们不能去做传染病传播的试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型,
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假设条件为时间以天为计量单位不变考察地区的总人数假设在疾病传播期内所 N
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称日接触率的平均人数是每个病人每天有效接触
解,根据题设,每个病人每天可使
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由于病人总人数为 ),(tNi
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,N sidtdiN
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思考与练习
1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数,求该 曲线所满足的微分方程,
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2,求平面上过点 (1,3)且每点切线斜率为横坐标 2倍的曲线所满足的微分方程,
解,设所求的曲线方程为 ).( xfy? 由导数的几何意义,应有
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