§ 3.2 解的延拓问题提出对于 初值问题
,
)(
),(
00
yxy
yxf
dx
dy
,,,00 byyaxxR
,,在一定条件下告诉我们上节解存在唯一性定理
,0 上存在唯一它的解在区间 hxx
),(),,m i n(
),(
yxfM axMMbah
Ryx?
这里
,
,),(,
区间也应越大解的存在唯一越大的定义域如果根据经验 Ryxf
.,
,),(
,,
的这显然是我们不想看到缩小解的存在唯一区间反而的定义域的增大即随着可能出现这种情况但根据定理的结论
yxf
,
0)0(
22
y
yx
dx
dy例如 初值问题
,11,11,时当取定义域为 yxR
.21}21,1m i n { hx解的存在唯一区间
,22,22,时当取定义域为 yxR
.41}82,2m i n { hx解的存在唯一区间
1 饱和解及饱和区间定义 1
上的微分方程对定义在平面区域 G
)1.3(),,( yxfdxdy?
,),()1.3()( 11 的连续解定义在区间为方程设 xy?
且满足有定义上它在区间的另一解若存在方程
,
),(),()1.3( 22 xy?
),,(),(),(),()1( 11221122 但
);()(,),()2( 11 xxx 时当
.),()()(
,),(),(
22
11
的一个延拓在是解并且称解是可延拓的则称解
xyxy
xxy
.,),(),(
),(
11 或饱和解解为方程的一个不可延拓则称解的解若不存在满足上述条件
xx
yxy
.),( 11 称为一个饱和区间义区间此时把不可延拓解的定
2 局部李普希茨 (Lipschitz)条件定义 2
.
),(),
,(),(
,,
,),(
条件满足局部于内关在则称可能不同大小和常数域对不同的点条件满足关于上在存在内的闭矩形为中心完全含于有以一点内的每且对内连续在区域若函数
L i p s c h i t zy
GyxfLR
L i p s c h i t zyyxfR
RGPP
GGyxf
P
P
P
对定义 2也可如下定义有使对有关与及常数矩形若对上函数对定义在平面区域
1
'''
11111
11111
11
),(),,(),,,,(
},|),{(
,),(),,(
RyxyxbayxL
GbyyaxxyxR
GyxyxfG
"'
1
"' ),(),( yyLyxfyxf
.),(,条件满足局部内关于在则称恒成立 L i ps c hi t zyGyxf
.
),(,),(),(
条件满足局部内关于在则内连续在及若
L i p s c h i t zy
GyxfGyxfyxf y
注
3 解的延拓定理定理
.))(,(,
)(),()1.3(.
),(,
),()1.3(
00
的边界任意接近直到点可以延拓的解内任一点通过那么方程件条满足局部关于内且在在中连续在有界区域右侧函数如果方程
Gxx
xyyxG
L i p s c h i t zyyxfG
Gyxf
.
))(,(,,
)(,
0
边界的趋于区域时则当上间只延拓到区如果增大的一方来说以向
Gxxmxmxx
xyx
证明 初值问题由解存在唯一性定理,,),(
00 Gyx
)2(,
)(
),(
00
yxy
yxf
dx
dy
.),( 00 hxxxy 解的存在唯一区间为存在唯一解?
则初值问题为心作一小矩形以取
,
),(),(,
1
1111001
GR
yxxyhxx
)3(,
)(
),(
11
yxy
yxf
dx
dy
11( ),0,y x x x h存 在 唯 一 解 解 的 存 在 唯 一 区 间 为
),()(
,),()( 11
xx
xx
应有在两区间的重叠部分由唯一性定理因
),()(111 xxxxhx 时即当定义函数
,
),(
),(
)(
1100
0000*
hxxhxx
hxxhxx
x
.
],[) ),3()(2()1.3()(,1100*
上有定义的唯一解在或满足为方程那么 hxhxxy
.),(
)2()1.3(
一段在定义区间向右延长了的解满足这样我们已把方程
xy
,
)()()2()1.3(
00
*
的向右方延拓区间在定义为解的解满足即方程
hxx
xyxy
,10000 上即将解延拓到较大区间 hhxxhx
.)( 向左方延拓同样方法可把解 xy
以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一次地进行下去,直到无法延拓为止,
.)()2()1.3( xy的一个解满足即得到它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了 (3.1)
的饱和解,
最后得到一条长长的积分曲线,
推论 1
上的初值问题对定义在平面区域 G
.),(,
)(
),(
00
00
Gyx
yxy
yxf
dx
dy
其中
,),( 条件满足局部内连续且关于在若 L i ps c hi t zyGyxf
则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解,
推论 2 为初值问题设 )( xy
.),(,
)(
),(
00
00
Gyx
yxy
yxf
dx
dy
其中
.,一定是开区间则该饱和解的饱和区间一个饱和解 I
证明
,不是开区间若饱和区间 I
],,(I设 G?))(,(则
,)( 还可以向右延拓这样解 xy
矛盾从而它是非饱和解,
同样讨论时对,),[I
.))(,(,)( Gxxx 时或即推论 3
有下面的两种情况一方的延拓来说减少增大向以可以延拓的解的通过点方程在上面延拓定理条件下是无界区域如果
,)(
,)(),()1.3(
,,
00
x
xyyx
G
],,) ( (,[)()1( 00 xxxy 可以延拓到区间解?
Gxx
mymxm
xmmxxy
))(,(
,)(,,
],,) ( (,[)()2( 00
或者无界或者时当为有限数其中可以延拓到区间解例 1 讨论方程
2
12 y
dx
dy,)3,2( l n 的解存在区间通过点?
解 该方程右侧函数确定在整个 xy平面上且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理条件,其解为
,11 x
x
ce
cey
的解为故通过点 )3,2( ln?
,11 x
x
e
ey
),,0(这个解的存在区间为
.,0,0
,)3,2( l n,
yx 时因但向左只能延拓到的解向右可延拓到通过点如图例 2
2y
dx
dy?
.)1,1(),0,0( 的解存在区间通过点中的方程研究定义于带域 32 x
解,),( 2 处处连续yyxf?
,条件满足局部且在带域中关于 L i ps c hi t zy
方程通解为,1
xcy
.0,?y此外还有解
.
0,0)0,0(
的边界能达到的两端都积分曲线的解为方程过
G
yy
,2 1)1,1( xy的解为方程过,2x它的左端达到;,2 yx 时但右端当,3?xG 的边界故不能达到
,(,) 2 3
1,
( 2,3 ),
f x y x
该 例 题 说 明 虽 然 在 带 形 区 域 中满 足 定 理 的 要 求 但 方 程 的 解 都 不 能 够 延 拓 到 整个 区 间 上 去注
).,(
)1.3(,
,,
),(
以延拓到区间的解可则方程偏导数的一阶连续同时存在关于连续和有界平面上有定义在整个如果函数
y
xyyxf
作业
1 研究方程
,1)0(1 2 yy
dx
dy 满足条件
.的解存在区间
,
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yxy
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22
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,11,11,时当取定义域为 yxR
.21}21,1m i n { hx解的存在唯一区间
,22,22,时当取定义域为 yxR
.41}82,2m i n { hx解的存在唯一区间
1 饱和解及饱和区间定义 1
上的微分方程对定义在平面区域 G
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,),()1.3()( 11 的连续解定义在区间为方程设 xy?
且满足有定义上它在区间的另一解若存在方程
,
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22
11
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11 或饱和解解为方程的一个不可延拓则称解的解若不存在满足上述条件
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.),( 11 称为一个饱和区间义区间此时把不可延拓解的定
2 局部李普希茨 (Lipschitz)条件定义 2
.
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P
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对定义 2也可如下定义有使对有关与及常数矩形若对上函数对定义在平面区域
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11
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.),(,条件满足局部内关于在则称恒成立 L i ps c hi t zyGyxf
.
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条件满足局部内关于在则内连续在及若
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注
3 解的延拓定理定理
.))(,(,
)(),()1.3(.
),(,
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00
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0
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一段在定义区间向右延长了的解满足这样我们已把方程
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,10000 上即将解延拓到较大区间 hhxxhx
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以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一次地进行下去,直到无法延拓为止,
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的饱和解,
最后得到一条长长的积分曲线,
推论 1
上的初值问题对定义在平面区域 G
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推论 2 为初值问题设 )( xy
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00
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Gyx
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yxf
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其中
.,一定是开区间则该饱和解的饱和区间一个饱和解 I
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,)( 还可以向右延拓这样解 xy
矛盾从而它是非饱和解,
同样讨论时对,),[I
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有下面的两种情况一方的延拓来说减少增大向以可以延拓的解的通过点方程在上面延拓定理条件下是无界区域如果
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2y
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方程通解为,1
xcy
.0,?y此外还有解
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的边界能达到的两端都积分曲线的解为方程过
G
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,2 1)1,1( xy的解为方程过,2x它的左端达到;,2 yx 时但右端当,3?xG 的边界故不能达到
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1,
( 2,3 ),
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该 例 题 说 明 虽 然 在 带 形 区 域 中满 足 定 理 的 要 求 但 方 程 的 解 都 不 能 够 延 拓 到 整个 区 间 上 去注
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作业
1 研究方程
,1)0(1 2 yy
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