存在性与唯一性第五章 线性微分方程组存在性与唯一性
§ 5.1 存在唯一性定理存在性与唯一性一、线性微分方程组的有关概念
1 线性微分方程组的定义定义 形如
'1 11 1 12 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )nnx a t x a t x a t x f t
'2 21 1 22 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx a t x a t x a t x f t
' 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n n n nn n nx a t x a t x a t x f t
(5.1)
的微分方程组,称为 一阶线性微分方程组,
( ) (,,1,2,,),( ) ( 1,2,,)ij ia t i j n f t i n a t b其中 在 上连续.
存在性与唯一性
( ) ( 1,2,,)ix t i n a t b设函数组 在 上连续,且
1 1 2 2
() ( ) ( ) ( ) ( ),i
i i i n n i
d x t a t x a t x a t x f t
dt
1,2,,in?
12( ),( ),,( ) ( 5,1 )nx t x t x t
a t b
则称函数组 为微分方程组 在上的一个解.
12( 5,1 ),,,nn c c含有 个独立的任常数c 的解
12,,,1,2,,inx t t c c i ni( ) = (,c ),
称为 (5.1)的 通解,
存在性与唯一性
2 函数向量和函数矩阵的有关定义
(1) n维函数列向量定义为
1
2
()
()
()
()
n
xt
xt
xt
xt
( ) ( 1,2,,)ix t i n?每一 在区间I 上有定义.
()n n A t? 函数矩阵 定义为
1 1 1 2 1 2
2 1 2 2 2
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
n
n n n n
a t a t a t
a t a t a t
At
a t a t a t
()ijat每 一 在 I 上 有 定 义,
注,对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的矩阵同样成立,
存在性与唯一性
(2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念
( ) ( )x t A t如 果 函 数 向 量 或 函 数 矩 阵 的 每 一 元 素 都 是 区 间
,a t b
连 续 函 数上 的 ( ) ( ),x t A t a t b
连 续则 称 或 在 上可微函数 可微可积函数 可积此时,它们的导数与积分分别定义为
'
1
'
' 2
'
()
()
( ),
()
n
xt
xt
xt
xt
' ' '
1 1 1 2 1
' ' '
' 2 1 2 2 2
' ' '
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),
( ) ( ) ( )
n
n
n n n n
a t a t a t
a t a t a t
At
a t a t a t
存在性与唯一性
0
0
0
0
1
2
()
()
()
()
t
t
t
t
t
t
t
n
t
x s d s
x s d s
x s d s
x s d s
0 0 0
0 0 0
0
0 0 0
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
t t t
n
t t t
t t t
t
n
t t t
t
t t t
n n n n
t t t
a s d s a s d s a s d s
a s d s a s d s a s d s
A s d s
a s d s a s d s a s d s
注,关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似,
存在性与唯一性
(3 ) 矩阵向量的范数定义
12(,,,)
(
T
n
ij
n x x x x n n
Aa?
nn
对 维列向量 及 矩阵
),定义它们的范数为
1
,
n
i
i
xx
,1
,
n
ij
ij
Aa
,,,( ),( ) [,]
,
A B n n x y n A t x t a b?设 是 矩阵 和 是 维列向量 是在上可积的函数矩阵和向量则易验证有下面的性质
01,A B A B?,A x A x?
02,A B A B,x y x y
03 ( ) ( ),bb
aa
x s d s x s d s ( ) ( ),
bb
aa
A s d s A s d s
( ).ab?
存在性与唯一性
(4 ) 向量或矩阵序列的敛散性
0
121 { },(,,,),
( 1,2,,),{ }
T
k k k k n k
ik
x x x x x
i i n x
向量序列 称为收敛的 如果对每一个 数列 收敛.
12{ ( ) },( ) ( ( ),( ),,( ) )
T
k k k k n kx t x t x t x t x t
a t b
函 数 向 量 序 列称 为 在 收 敛
( 1,2,,),{ ( ) }iki i n x t a t b如果对每一个 函数序列 在上是收敛
(一致收敛 ),
(一致收敛 ).
1
( ),k
k
xt
a t b
02 设 是 函 数 向 量 级 数 如 果 部 分 和 所 组 成 的 函数 向 量 序 列 在 收 敛
1
()k
k
x t a t b
则 称 在 收 敛
(一致收敛 ),
(一致收敛 ).
存在性与唯一性如果
( ),,kkx t M a t b
1
k
k
M
而级数 收敛,
1
()k
k
x t a t b
则 函 数 向 量 级 数 在上 一致收敛,
{ ( ) }kx t a t b如 果 函 数 向 量 序 列 在 上 一 致 收 敛,则
l i m ( ) l i m ( ),bbkkaakkx t d t x t d t
()kx t a t b
k=1
如 果 函 数 向 量 级 数 在 上 一 致 收 敛,则
11
( ) ( ),bbkk
aakk
x t d t x t d t
存在性与唯一性
03 对矩阵序列也有类结果
()
()
{ },( ),
,1,2,,,{ },.
k
k k ij n n
k
ij k
A n n A a
i j n a A
设 是 矩 阵 序 列 其 中 如 果 对 一 切数 列 都 收 敛 则 称 是 收 敛 的
1
1
k
k
k
k
A
A
设 是矩阵级数,如果其部分和所组成的矩阵序列是收敛的,则称 是收敛的.
1
k
k
A
是收敛 ()
1
,,1,2,,kij
k
a i j n
收 敛,
存在性与唯一性
,k如 果 对 每 一 整 数 都 有
,kkAM?
1
k
k
M
而 收敛,
1
k
k
A
则 收敛.
1
()k
k
At
同样可给出函数矩阵级数 一致收敛定义和有关结果.
存在性与唯一性
'1 11 1 12 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )nnx a t x a t x a t x f t
'2 21 1 22 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx a t x a t x a t x f t
' 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n n n nn n nx a t x a t x a t x f t
(5.1)
3 一阶线性微分方程组的向量表示对一阶线性微分方程组,
( ) ( ( ) ),ij n nA t a t若记 12(,,,),Tnx x x x?
12( ) ( ( ),( ),,( ) ) Tnf t f t f t f t?
则 (5.1)可写成
( ) ( ),( 5,4 )dx A t x f tdt
存在性与唯一性
(1)定义 1
( ),( )
,
A t a t b n n f t
a t b n
设 是 上连续的 矩阵 是上连续的 维列向量函数 方程组
' ( ) ( ),( 5,4 )x A t x f t
( [,] [,] ) ( ),( )
( 5,4 ),
t a b u t u t
t
在 的解向量 是指在 上满足 即
' ( ) ( ) ( ) ( ),.u t A t u t f t t
(2)定义 2 初值问题
' 0( ) ( ) ( ) ( ),( ),( 5,5 )x t A t x t f t x t
0
0
[,] ( ),
( ),
t u t
ut
的 解,就 是 方 程 组 (5.4) 在 包 含 的 区 间 的 解使 得存在性与唯一性例 1 验证向量
()
t
t
eut
e
是初值问题
' 0 1 1,(0 )
1 0 1
x x x
.t在区间 上的解解,显然
0
0( 0 )
eu
e
1
1
-,ttee因 为 和 处 处 有 连 续 导 数 我 们 得 到
' ()ut? 01
10
t
t
e
e
01 ( ),
10
ut
( ),ut因 此,是 给 定 初 值 问 题 的 解
t
t
e
e
存在性与唯一性
4 n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的初值问题关系对 n阶线性微分方程的初值问题
( ) ( 1 )1 ( ) ( ) ( )nn nx a t x a t x f t
' ( 1 )0 1 0 2 0( ),( ),,( )n nx t x t x t
(5.6)?
0( ) ( 1,2,,),( ),[,],
( 1,2,,)
i
i
a t i n f t a t b t a b
in?
其中 在 上连续为常数.
若令,
1,xx? '2,xx?,( 1 ) ;nnxx''3,xx?
存在性与唯一性则有,
''12,x x x
' ''23,x x x
' ( 1 )1,nnnx x x
' ( ) 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ),nn n n nx x a t x a t x a t x f t
而且,
' ( 1 )1 0 0 1 2 0 0 2 0 0( ) ( ),( ) ( ),,( ) ( )nnnx t x t x t x t x t x t
即方程 (5.6)可化为
' '' ( 1 )
1 2 3,,,,.
n
nx x x x x x x x
存在性与唯一性
'
1 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
( ) ( ) ( ) ( ) ()
n n n
xx
a t a t a t a t ft
1
2
0
()
n
xt
(5.7)
存在性与唯一性
0( ) ( 5,6 )t t a t b若 是 在包含 的区间 的任一解,则令
1
2
()
()
()
()
n
t
t
t
t
'
12
( 1 )
( ) ( ),( ) ( ),,
( ) ( ),.nn
t t t t
t t a t b
这里
( ) ( 5,7 )t?则 是 的解显然,
10
20
0
0
()
()
()
()
n
t
t
t
t
0
'
0
( 1 )
0
()
()
()
n
t
t
t
1
2
n
存在性与唯一性且,'1
'
' 2
'
()
()
()
()
n
t
t
t
t
2
3
( 1 )
1
()
()
()
( ) ( ) ( )
n
n
n
t
t
t
a t a t f t
1 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
()
0 0 0 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n n
t
a t a t a t a t
0
0
0
()ft
存在性与唯一性
10( ) ( ( ),( ) ) [,]
( 5,7)
T
nu t u t u t t a b?反 之,设 是 在 包 含 的 区 间上 的 解
1( ) ( ),( ) ( 5,6 ),t u t t定 义 函 数 则 是 的 解事实上,由
'
1
'
2
'
()
()
()
n
ut
ut
ut
1 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n n
a t a t a t a t
1
2
()
()
()
n
ut
ut
ut
0
0
0
()ft
知存在性与唯一性
'' 12( ) ( ) ( ),t u t u t
'' '23( ) ( ) ( ),t u t u t
( 1 ) ' 1( ) ( ) ( ),n nnt u t u t
( ) ' 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n n n nt u t a t u t a t u t f t
( 1 )1( ) ( ) ( ) ( ) ( ),nna t t a t t f t
即 ( ) ( 1 )
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),nn nt a t t a t t f t
且 ( 1 )
0 1 0 1 0 0( ) ( ),,( ) ( )n nnt u t t u t
即初值问题 (5.6)与 (5.7)的解等价,即给出其中一个初问题的解,可构造另一个初值问题的解,
存在性与唯一性例 2
" ' '2 8,( 0 ) 1,( 0 ) 4tx x tx e x x
将初值问题化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题,
解,设 1 ( ),x t x? '2 ( ),x t x? 则有
' '' '2 28 tx x x t x e128 2,ttx x e
即有 '12,xx?
'2 1 28 2,tx tx x e
也即
'
11
22
( ) ( )01
( ) ( )82
x t x t
x t x tt
0
te
1
2
( 0 ) 1
( 0 ) 4
x
x
存在性与唯一性注,每一个 n阶线性微分方程可化为 n个一阶线性微分方程构成方程组,反之却不成立,
如,方程组
'
11
22
( ) ( )10
( ) ( )01
x t x t
x t x t
不能化为一个二阶微分方程,
存在性与唯一性定 理 1 假设 )( tA 是 nn? 阶矩阵函数,()ft 是 n 维列向量,
它们都在 区间 a t b 上连续的 则对 任意
0 [,]t a b?
及 任一 n 维常向量
2,,,),
T
n1=(
,初值问题二、存在唯一性定理
'
0
( ) ( )
( 5,5 )
()
x A t x f t
xt?
在区间 a t b 上存在唯一解 ()xt,
1 存在唯一性定理存在性与唯一性容易验证,初值问题 ( 5.5 ) 定义于区间 a t b 的 解，
等价于积分方程
2 存在唯一性 定理的证明定义于 区间 a t b 上的连续解,
0
( ) ( ( ) ( ) ( ) ),,( 5,8 )ttx t A s x s f s d s a t b
证明共分五步完成第一步命题 1 设 ()t? 初值问题 ( 5,5 ) 定义于区间 a t b 的解,则 ()t? 是 积分方程 （ 5.8 ）定义于 区间 a t b
上的连续解,反之亦然。
'
0
( ) ( ) ( 5,5 )
()
x A t x f t
xt?
存在性与唯一性
0
1
()
,( 5,9 )
( ) ( ( ) ( ) ( ) ),
t
kk t
t
t A s s f s d s a t b
0
构造 P i c a r d 向量函数序列 { ( )}k t?,第二步
()k t? [,]ab证明向量函数 在区间 上有定义且连续．
()k tk?向量函数 为( 5,8 ) 的第 次近解.
命题２
,( )kk t a t b对 所 有 整 数 向 量 函 数 在 上 有 定 义且 连 续,
存在性与唯一性
0
1 0 0| | ( ) ( ) | | | | ( ) ( ) ( ) | |
t
tt t A s s f s d s
第三步由证 明 向量函数序列 { ( )}
k t?
在区间 a t b 上一致收敛,
考虑向量函数项级数：
01
1
( ) ( ( ) ( ) ),jj
j
t t t a t b
( ),( ) ;
.
A t L f t K
a t b
0
( || || )tt L K d s
0,M t t
|| ||M L K
0
2 1 1 0| | ( ) ( ) | | | | ( ) | | | | ( ) ( ) | |
t
t
t t A s s s d s
0
0
t
t
L M s t d s 20,2!ML tt
存在性与唯一性命题 3 向量函数序列 { ( )}
k t?
在区间 a t b 上一致收敛,
01
1
( ) ( ( ) ( ) )jj
j
t t t a t b
知 在 上上一致收敛.
1
0||( 1 ) !
m
mML tt
m
0
1
0||!
m t
m
t
ML s t d s
m
0
11| | ( ) ( ) | | | | ( ) | | | | ( ) ( ) | |
t
m m m mtt t A s s s d s
1
10|| ( ) ( ) || !
m
m
mm
MLt t t t
m
设则
1
1
()( 1 ) !
m
m
m
ML ba
m
而级数 收敛存在性与唯一性由序列 { ( )}
k t?
的连续性和一致收敛性,它的极限函数 ()t? 也在区间 [,]ab 上连续,且第四步即极限函数 ()t? 对所有的 a t b 整体都满足积分方程,
设 l i m ( ) ( ),
kk t t a t b
0
1l i m ( ) l i m ( ( ) ( ) ( ) )
t
kk tkk t A s s f s d s
命题 4 ()t? 是 积 分 方 程 (5.8) 定 义 于 区间 a t b 上的 连 续 解,
0
1l i m ( ( ) ( ) ( ) )
t
kt k A s s f s d s
即
0
( ) ( ( ) ( ) ( ) )ttt A s s f s d s
存在性与唯一性证明积分方程的连续解的唯一性,
( ) [,],g t a b则 在 上非负连续 且有设 ()t? 是积分方程的另一个连续解,
第五步
( ) ( ) ( ),g t t t令
0
( ) ( ) ( ( ) ( ) )t
t
g t A s s s d s
0
( ) ( ) ( )tt A s s s d s
0
( ),ttL g s d s
,G r o n w a l l由 不等式 可得 ( ) 0,[,]g t t a b
( ) ( ),[,]t t t a b故命题 5 设 ()t? 是积分方程 (5.8) 定义于 区间 a t b 上的 另一 连续解,则 ( ) ( ),.t t a t b
存在性与唯一性
３ n阶线性微分方程的解存在唯一性 定理推论
0 1 2
( ) ( 1,2,) ( )
,[,],,,,
i
n
a t i n f t a t b
t a b
如 果 及 都 是 区 间的 连 续 函 数 则 对 任 一 及 任 意 方 程
( ),,x t a t b存在唯一解 定义于区间 且满足初始条件
( ) ( 1 )1 ( ) ( ) ( )nn nx a t x a t x f t
' ( 1 )0 1 0 2 0( ),( ),,( ),n nt t t
存在性与唯一性作业
P184 1,2(b),3
§ 5.1 存在唯一性定理存在性与唯一性一、线性微分方程组的有关概念
1 线性微分方程组的定义定义 形如
'1 11 1 12 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )nnx a t x a t x a t x f t
'2 21 1 22 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx a t x a t x a t x f t
' 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n n n nn n nx a t x a t x a t x f t
(5.1)
的微分方程组,称为 一阶线性微分方程组,
( ) (,,1,2,,),( ) ( 1,2,,)ij ia t i j n f t i n a t b其中 在 上连续.
存在性与唯一性
( ) ( 1,2,,)ix t i n a t b设函数组 在 上连续,且
1 1 2 2
() ( ) ( ) ( ) ( ),i
i i i n n i
d x t a t x a t x a t x f t
dt
1,2,,in?
12( ),( ),,( ) ( 5,1 )nx t x t x t
a t b
则称函数组 为微分方程组 在上的一个解.
12( 5,1 ),,,nn c c含有 个独立的任常数c 的解
12,,,1,2,,inx t t c c i ni( ) = (,c ),
称为 (5.1)的 通解,
存在性与唯一性
2 函数向量和函数矩阵的有关定义
(1) n维函数列向量定义为
1
2
()
()
()
()
n
xt
xt
xt
xt
( ) ( 1,2,,)ix t i n?每一 在区间I 上有定义.
()n n A t? 函数矩阵 定义为
1 1 1 2 1 2
2 1 2 2 2
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
n
n n n n
a t a t a t
a t a t a t
At
a t a t a t
()ijat每 一 在 I 上 有 定 义,
注,对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的矩阵同样成立,
存在性与唯一性
(2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念
( ) ( )x t A t如 果 函 数 向 量 或 函 数 矩 阵 的 每 一 元 素 都 是 区 间
,a t b
连 续 函 数上 的 ( ) ( ),x t A t a t b
连 续则 称 或 在 上可微函数 可微可积函数 可积此时,它们的导数与积分分别定义为
'
1
'
' 2
'
()
()
( ),
()
n
xt
xt
xt
xt
' ' '
1 1 1 2 1
' ' '
' 2 1 2 2 2
' ' '
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),
( ) ( ) ( )
n
n
n n n n
a t a t a t
a t a t a t
At
a t a t a t
存在性与唯一性
0
0
0
0
1
2
()
()
()
()
t
t
t
t
t
t
t
n
t
x s d s
x s d s
x s d s
x s d s
0 0 0
0 0 0
0
0 0 0
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( )
t t t
n
t t t
t t t
t
n
t t t
t
t t t
n n n n
t t t
a s d s a s d s a s d s
a s d s a s d s a s d s
A s d s
a s d s a s d s a s d s
注,关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似,
存在性与唯一性
(3 ) 矩阵向量的范数定义
12(,,,)
(
T
n
ij
n x x x x n n
Aa?
nn
对 维列向量 及 矩阵
),定义它们的范数为
1
,
n
i
i
xx
,1
,
n
ij
ij
Aa
,,,( ),( ) [,]
,
A B n n x y n A t x t a b?设 是 矩阵 和 是 维列向量 是在上可积的函数矩阵和向量则易验证有下面的性质
01,A B A B?,A x A x?
02,A B A B,x y x y
03 ( ) ( ),bb
aa
x s d s x s d s ( ) ( ),
bb
aa
A s d s A s d s
( ).ab?
存在性与唯一性
(4 ) 向量或矩阵序列的敛散性
0
121 { },(,,,),
( 1,2,,),{ }
T
k k k k n k
ik
x x x x x
i i n x
向量序列 称为收敛的 如果对每一个 数列 收敛.
12{ ( ) },( ) ( ( ),( ),,( ) )
T
k k k k n kx t x t x t x t x t
a t b
函 数 向 量 序 列称 为 在 收 敛
( 1,2,,),{ ( ) }iki i n x t a t b如果对每一个 函数序列 在上是收敛
(一致收敛 ),
(一致收敛 ).
1
( ),k
k
xt
a t b
02 设 是 函 数 向 量 级 数 如 果 部 分 和 所 组 成 的 函数 向 量 序 列 在 收 敛
1
()k
k
x t a t b
则 称 在 收 敛
(一致收敛 ),
(一致收敛 ).
存在性与唯一性如果
( ),,kkx t M a t b
1
k
k
M
而级数 收敛,
1
()k
k
x t a t b
则 函 数 向 量 级 数 在上 一致收敛,
{ ( ) }kx t a t b如 果 函 数 向 量 序 列 在 上 一 致 收 敛,则
l i m ( ) l i m ( ),bbkkaakkx t d t x t d t
()kx t a t b
k=1
如 果 函 数 向 量 级 数 在 上 一 致 收 敛,则
11
( ) ( ),bbkk
aakk
x t d t x t d t
存在性与唯一性
03 对矩阵序列也有类结果
()
()
{ },( ),
,1,2,,,{ },.
k
k k ij n n
k
ij k
A n n A a
i j n a A
设 是 矩 阵 序 列 其 中 如 果 对 一 切数 列 都 收 敛 则 称 是 收 敛 的
1
1
k
k
k
k
A
A
设 是矩阵级数,如果其部分和所组成的矩阵序列是收敛的,则称 是收敛的.
1
k
k
A
是收敛 ()
1
,,1,2,,kij
k
a i j n
收 敛,
存在性与唯一性
,k如 果 对 每 一 整 数 都 有
,kkAM?
1
k
k
M
而 收敛,
1
k
k
A
则 收敛.
1
()k
k
At
同样可给出函数矩阵级数 一致收敛定义和有关结果.
存在性与唯一性
'1 11 1 12 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )nnx a t x a t x a t x f t
'2 21 1 22 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx a t x a t x a t x f t
' 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n n n nn n nx a t x a t x a t x f t
(5.1)
3 一阶线性微分方程组的向量表示对一阶线性微分方程组,
( ) ( ( ) ),ij n nA t a t若记 12(,,,),Tnx x x x?
12( ) ( ( ),( ),,( ) ) Tnf t f t f t f t?
则 (5.1)可写成
( ) ( ),( 5,4 )dx A t x f tdt
存在性与唯一性
(1)定义 1
( ),( )
,
A t a t b n n f t
a t b n
设 是 上连续的 矩阵 是上连续的 维列向量函数 方程组
' ( ) ( ),( 5,4 )x A t x f t
( [,] [,] ) ( ),( )
( 5,4 ),
t a b u t u t
t
在 的解向量 是指在 上满足 即
' ( ) ( ) ( ) ( ),.u t A t u t f t t
(2)定义 2 初值问题
' 0( ) ( ) ( ) ( ),( ),( 5,5 )x t A t x t f t x t
0
0
[,] ( ),
( ),
t u t
ut
的 解,就 是 方 程 组 (5.4) 在 包 含 的 区 间 的 解使 得存在性与唯一性例 1 验证向量
()
t
t
eut
e
是初值问题
' 0 1 1,(0 )
1 0 1
x x x
.t在区间 上的解解,显然
0
0( 0 )
eu
e
1
1
-,ttee因 为 和 处 处 有 连 续 导 数 我 们 得 到
' ()ut? 01
10
t
t
e
e
01 ( ),
10
ut
( ),ut因 此,是 给 定 初 值 问 题 的 解
t
t
e
e
存在性与唯一性
4 n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的初值问题关系对 n阶线性微分方程的初值问题
( ) ( 1 )1 ( ) ( ) ( )nn nx a t x a t x f t
' ( 1 )0 1 0 2 0( ),( ),,( )n nx t x t x t
(5.6)?
0( ) ( 1,2,,),( ),[,],
( 1,2,,)
i
i
a t i n f t a t b t a b
in?
其中 在 上连续为常数.
若令,
1,xx? '2,xx?,( 1 ) ;nnxx''3,xx?
存在性与唯一性则有,
''12,x x x
' ''23,x x x
' ( 1 )1,nnnx x x
' ( ) 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ),nn n n nx x a t x a t x a t x f t
而且,
' ( 1 )1 0 0 1 2 0 0 2 0 0( ) ( ),( ) ( ),,( ) ( )nnnx t x t x t x t x t x t
即方程 (5.6)可化为
' '' ( 1 )
1 2 3,,,,.
n
nx x x x x x x x
存在性与唯一性
'
1 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
( ) ( ) ( ) ( ) ()
n n n
xx
a t a t a t a t ft
1
2
0
()
n
xt
(5.7)
存在性与唯一性
0( ) ( 5,6 )t t a t b若 是 在包含 的区间 的任一解,则令
1
2
()
()
()
()
n
t
t
t
t
'
12
( 1 )
( ) ( ),( ) ( ),,
( ) ( ),.nn
t t t t
t t a t b
这里
( ) ( 5,7 )t?则 是 的解显然,
10
20
0
0
()
()
()
()
n
t
t
t
t
0
'
0
( 1 )
0
()
()
()
n
t
t
t
1
2
n
存在性与唯一性且,'1
'
' 2
'
()
()
()
()
n
t
t
t
t
2
3
( 1 )
1
()
()
()
( ) ( ) ( )
n
n
n
t
t
t
a t a t f t
1 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
()
0 0 0 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n n
t
a t a t a t a t
0
0
0
()ft
存在性与唯一性
10( ) ( ( ),( ) ) [,]
( 5,7)
T
nu t u t u t t a b?反 之,设 是 在 包 含 的 区 间上 的 解
1( ) ( ),( ) ( 5,6 ),t u t t定 义 函 数 则 是 的 解事实上,由
'
1
'
2
'
()
()
()
n
ut
ut
ut
1 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n n
a t a t a t a t
1
2
()
()
()
n
ut
ut
ut
0
0
0
()ft
知存在性与唯一性
'' 12( ) ( ) ( ),t u t u t
'' '23( ) ( ) ( ),t u t u t
( 1 ) ' 1( ) ( ) ( ),n nnt u t u t
( ) ' 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n n n nt u t a t u t a t u t f t
( 1 )1( ) ( ) ( ) ( ) ( ),nna t t a t t f t
即 ( ) ( 1 )
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),nn nt a t t a t t f t
且 ( 1 )
0 1 0 1 0 0( ) ( ),,( ) ( )n nnt u t t u t
即初值问题 (5.6)与 (5.7)的解等价,即给出其中一个初问题的解,可构造另一个初值问题的解,
存在性与唯一性例 2
" ' '2 8,( 0 ) 1,( 0 ) 4tx x tx e x x
将初值问题化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题,
解,设 1 ( ),x t x? '2 ( ),x t x? 则有
' '' '2 28 tx x x t x e128 2,ttx x e
即有 '12,xx?
'2 1 28 2,tx tx x e
也即
'
11
22
( ) ( )01
( ) ( )82
x t x t
x t x tt
0
te
1
2
( 0 ) 1
( 0 ) 4
x
x
存在性与唯一性注,每一个 n阶线性微分方程可化为 n个一阶线性微分方程构成方程组,反之却不成立,
如,方程组
'
11
22
( ) ( )10
( ) ( )01
x t x t
x t x t
不能化为一个二阶微分方程,
存在性与唯一性定 理 1 假设 )( tA 是 nn? 阶矩阵函数,()ft 是 n 维列向量,
它们都在 区间 a t b 上连续的 则对 任意
0 [,]t a b?
及 任一 n 维常向量
2,,,),
T
n1=(
,初值问题二、存在唯一性定理
'
0
( ) ( )
( 5,5 )
()
x A t x f t
xt?
在区间 a t b 上存在唯一解 ()xt,
1 存在唯一性定理存在性与唯一性容易验证,初值问题 ( 5.5 ) 定义于区间 a t b 的 解，
等价于积分方程
2 存在唯一性 定理的证明定义于 区间 a t b 上的连续解,
0
( ) ( ( ) ( ) ( ) ),,( 5,8 )ttx t A s x s f s d s a t b
证明共分五步完成第一步命题 1 设 ()t? 初值问题 ( 5,5 ) 定义于区间 a t b 的解,则 ()t? 是 积分方程 （ 5.8 ）定义于 区间 a t b
上的连续解,反之亦然。
'
0
( ) ( ) ( 5,5 )
()
x A t x f t
xt?
存在性与唯一性
0
1
()
,( 5,9 )
( ) ( ( ) ( ) ( ) ),
t
kk t
t
t A s s f s d s a t b
0
构造 P i c a r d 向量函数序列 { ( )}k t?,第二步
()k t? [,]ab证明向量函数 在区间 上有定义且连续．
()k tk?向量函数 为( 5,8 ) 的第 次近解.
命题２
,( )kk t a t b对 所 有 整 数 向 量 函 数 在 上 有 定 义且 连 续,
存在性与唯一性
0
1 0 0| | ( ) ( ) | | | | ( ) ( ) ( ) | |
t
tt t A s s f s d s
第三步由证 明 向量函数序列 { ( )}
k t?
在区间 a t b 上一致收敛,
考虑向量函数项级数：
01
1
( ) ( ( ) ( ) ),jj
j
t t t a t b
( ),( ) ;
.
A t L f t K
a t b
0
( || || )tt L K d s
0,M t t
|| ||M L K
0
2 1 1 0| | ( ) ( ) | | | | ( ) | | | | ( ) ( ) | |
t
t
t t A s s s d s
0
0
t
t
L M s t d s 20,2!ML tt
存在性与唯一性命题 3 向量函数序列 { ( )}
k t?
在区间 a t b 上一致收敛,
01
1
( ) ( ( ) ( ) )jj
j
t t t a t b
知 在 上上一致收敛.
1
0||( 1 ) !
m
mML tt
m
0
1
0||!
m t
m
t
ML s t d s
m
0
11| | ( ) ( ) | | | | ( ) | | | | ( ) ( ) | |
t
m m m mtt t A s s s d s
1
10|| ( ) ( ) || !
m
m
mm
MLt t t t
m
设则
1
1
()( 1 ) !
m
m
m
ML ba
m
而级数 收敛存在性与唯一性由序列 { ( )}
k t?
的连续性和一致收敛性,它的极限函数 ()t? 也在区间 [,]ab 上连续,且第四步即极限函数 ()t? 对所有的 a t b 整体都满足积分方程,
设 l i m ( ) ( ),
kk t t a t b
0
1l i m ( ) l i m ( ( ) ( ) ( ) )
t
kk tkk t A s s f s d s
命题 4 ()t? 是 积 分 方 程 (5.8) 定 义 于 区间 a t b 上的 连 续 解,
0
1l i m ( ( ) ( ) ( ) )
t
kt k A s s f s d s
即
0
( ) ( ( ) ( ) ( ) )ttt A s s f s d s
存在性与唯一性证明积分方程的连续解的唯一性,
( ) [,],g t a b则 在 上非负连续 且有设 ()t? 是积分方程的另一个连续解,
第五步
( ) ( ) ( ),g t t t令
0
( ) ( ) ( ( ) ( ) )t
t
g t A s s s d s
0
( ) ( ) ( )tt A s s s d s
0
( ),ttL g s d s
,G r o n w a l l由 不等式 可得 ( ) 0,[,]g t t a b
( ) ( ),[,]t t t a b故命题 5 设 ()t? 是积分方程 (5.8) 定义于 区间 a t b 上的 另一 连续解,则 ( ) ( ),.t t a t b
存在性与唯一性
３ n阶线性微分方程的解存在唯一性 定理推论
0 1 2
( ) ( 1,2,) ( )
,[,],,,,
i
n
a t i n f t a t b
t a b
如 果 及 都 是 区 间的 连 续 函 数 则 对 任 一 及 任 意 方 程
( ),,x t a t b存在唯一解 定义于区间 且满足初始条件
( ) ( 1 )1 ( ) ( ) ( )nn nx a t x a t x f t
' ( 1 )0 1 0 2 0( ),( ),,( ),n nt t t
存在性与唯一性作业
P184 1,2(b),3
