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5.6.1 概念及定理
5.6.2 例题
§ 5.6 二维自治微分方程组的周期解和极限环目录 上页 下页 返回 结束
(,)
(,)
dx
f x y
dt
dy
g x y
dt
设 是系统?
的一个极限环,如果存在 着 的一个 邻域，?
使从此邻域内出发的其他解均正向
()t
趋近于,则称 为 稳定的极限环 。?
目录 上页 下页 返回 结束如果其他解均负向于 趋近于,()t
则称 为 不稳定的极限环。
如果从 的 邻域出发的其他轨线在 的
一侧正向趋近于,另一侧负向趋近于,
则称此 为 半稳定的极限环 。
目录 上页 下页 返回 结束定理 5.11 Poincare-Bendixson环域定理设区域 是由两条简单闭曲线 围成的G
12,ll
环形域并且满足下面条件,
(1) 及其边界 上不含奇点 ;G
12,ll
(2)从 G的边界 上各点出发的轨线都不能
12,ll
离开 (或进入 ) ;G
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(3) 均不是闭曲线,
12,ll
周围在 内至少存在一个外稳定闭轨和一个内G
稳定闭轨 (一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭轨 )，如果是惟一的闭轨,周围一定是一条 稳定的
(不稳定的 )极限环 。
目录 上页 下页 返回 结束定理 5.12 时的 VanderPol方程1
2( 1 ) 0,x x x x (5.6.13)
其等价方程组
3
()
3
d x x
yx
dt
dy
x
dt
(5.6.14)
至少有一个 极限环 。
目录 上页 下页 返回 结束定理 5.13 设系统
(,)
(,)
dx
f x y
dt
dy
g x y
dt
的右端函数,在某个单连域 内
(,)f x y (,)g x y D
连续可微,并且
(,) (,)f x y f x y
xy
目录 上页 下页 返回 结束在 内不变号,且在 的任何子域内不恒为零，D D
则方程组
(,)
(,)
dx
f x y
dt
dy
g x y
dt
在 内不存在任何闭轨线 。D
目录 上页 下页 返回 结束定理 5.14 对于方程组
(,)
(,)
dx
f x y
dt
dy
g x y
dt
若在某个单连域 内存在一个连续可微函数D
(,),B x y 使得
( ) ( )B f B gxx
目录 上页 下页 返回 结束不变号。且在 的任何子域中不恒为零，D
则方程组不存在全部位于 内的闭轨线。D
定理 5.15 如果沿着系统
(,)
(,)
dx
f x y
dt
dy
g x y
dt
的极限环 有?
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0
( ( ),( ) ) ( ( ),( ) )( ) 0 ( 0 )T f x t y t g x t y t dt
xy
则 是稳定 (不稳定 )的,其中 是 的 周期 。?T
定理 5.16 给定微分方程
2
2 ( ) 0,
d x d xf x x
d t d t
(5.6.18)
其等价方程组为：
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()
dx
y F x
dt
dy
x
dt
其中
0
( ) ( ),
x
F x f x d x
如果
(1) 在 连续 ;
()fx (,)
(2) ;(0 ) 0f?
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(3) 在 内分别单调不减，()fx
x
(,0 ),(0,)
则上述方程组至多存在一个极限环，若存在它必定为稳定的。
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5.6.2 例题例 5.6.1 证明平面二次系统
2
(1 )
dx
y m xy n y
dt
dy
x a x
dt
(5.6.17)
当 时无闭轨线。0mn?
证明 由系统的第一个方程得到目录 上页 下页 返回 结束
2
1
x
m
dx
ny
dt?
故轨线与直线 相交时候只能从它的一侧向1
x m?
向另一侧,因此系统若有闭轨线,它只能位于直线
1x
m?
的一侧,在这一侧取 Dulac函数
1(,)
1
B x y
mx
目录 上页 下页 返回 结束容易算出
2
2( ) ( ) ( 1 )
mnyB f B g
x x m x
当 时它是常号且当仅且当 时为0mn? 0y?
零，当 不是系统的轨线。0y?
所以由定理 5.14知道,
系统 (5.6.17)当 时不存在闭轨。0mn?
目录 上页 下页 返回 结束例 5.6.2 用定理 5.15的结论判定非线性方程组
2 2 2 2
2 2 2 2
0.0 5 ( 1 ) ( 4)
0.0 5 ( 1 ) ( 4)
dx
y x x y x y
dt
dy
x y x y x y
dt
引入极坐标
c o s
s in
xr
yr
则产生的极限环 及 的稳定性。
1,1r 2,2r
目录 上页 下页 返回 结束解 又 可以算出(,),(,)f x y g x y
2 2 2 20,1 ( 1 ) ( 4)fg x y x y
xy
2 2 2 20,1 ( ) ( 2 2 5 )x y x y
对 有
1?
c o s,
s in,
xt
yt
2T
2
00
( ) 0,1 1 ( 2 5 ) 0,6 0
T fg
d t d t
xy
目录 上页 下页 返回 结束故由定理 5.15知 是不稳定的。
1?
对 有
2?
2 c o s,
2 s in,
xt
yt
2T
2
00
( ) 0,1 4 ( 8 5 )
T fg
d t d t
xy
2,4 0
故由定理 5.15知 是稳定的 。
2?
5.6.1 概念及定理
5.6.2 例题
§ 5.6 二维自治微分方程组的周期解和极限环目录 上页 下页 返回 结束
(,)
(,)
dx
f x y
dt
dy
g x y
dt
设 是系统?
的一个极限环,如果存在 着 的一个 邻域，?
使从此邻域内出发的其他解均正向
()t
趋近于,则称 为 稳定的极限环 。?
目录 上页 下页 返回 结束如果其他解均负向于 趋近于,()t
则称 为 不稳定的极限环。
如果从 的 邻域出发的其他轨线在 的
一侧正向趋近于,另一侧负向趋近于,
则称此 为 半稳定的极限环 。
目录 上页 下页 返回 结束定理 5.11 Poincare-Bendixson环域定理设区域 是由两条简单闭曲线 围成的G
12,ll
环形域并且满足下面条件,
(1) 及其边界 上不含奇点 ;G
12,ll
(2)从 G的边界 上各点出发的轨线都不能
12,ll
离开 (或进入 ) ;G
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(3) 均不是闭曲线,
12,ll
周围在 内至少存在一个外稳定闭轨和一个内G
稳定闭轨 (一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭轨 )，如果是惟一的闭轨,周围一定是一条 稳定的
(不稳定的 )极限环 。
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2( 1 ) 0,x x x x (5.6.13)
其等价方程组
3
()
3
d x x
yx
dt
dy
x
dt
(5.6.14)
至少有一个 极限环 。
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(,)
(,)
dx
f x y
dt
dy
g x y
dt
的右端函数,在某个单连域 内
(,)f x y (,)g x y D
连续可微,并且
(,) (,)f x y f x y
xy
目录 上页 下页 返回 结束在 内不变号,且在 的任何子域内不恒为零，D D
则方程组
(,)
(,)
dx
f x y
dt
dy
g x y
dt
在 内不存在任何闭轨线 。D
目录 上页 下页 返回 结束定理 5.14 对于方程组
(,)
(,)
dx
f x y
dt
dy
g x y
dt
若在某个单连域 内存在一个连续可微函数D
(,),B x y 使得
( ) ( )B f B gxx
目录 上页 下页 返回 结束不变号。且在 的任何子域中不恒为零，D
则方程组不存在全部位于 内的闭轨线。D
定理 5.15 如果沿着系统
(,)
(,)
dx
f x y
dt
dy
g x y
dt
的极限环 有?
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0
( ( ),( ) ) ( ( ),( ) )( ) 0 ( 0 )T f x t y t g x t y t dt
xy
则 是稳定 (不稳定 )的,其中 是 的 周期 。?T
定理 5.16 给定微分方程
2
2 ( ) 0,
d x d xf x x
d t d t
(5.6.18)
其等价方程组为：
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()
dx
y F x
dt
dy
x
dt
其中
0
( ) ( ),
x
F x f x d x
如果
(1) 在 连续 ;
()fx (,)
(2) ;(0 ) 0f?
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(3) 在 内分别单调不减，()fx
x
(,0 ),(0,)
则上述方程组至多存在一个极限环，若存在它必定为稳定的。
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5.6.2 例题例 5.6.1 证明平面二次系统
2
(1 )
dx
y m xy n y
dt
dy
x a x
dt
(5.6.17)
当 时无闭轨线。0mn?
证明 由系统的第一个方程得到目录 上页 下页 返回 结束
2
1
x
m
dx
ny
dt?
故轨线与直线 相交时候只能从它的一侧向1
x m?
向另一侧,因此系统若有闭轨线,它只能位于直线
1x
m?
的一侧,在这一侧取 Dulac函数
1(,)
1
B x y
mx
目录 上页 下页 返回 结束容易算出
2
2( ) ( ) ( 1 )
mnyB f B g
x x m x
当 时它是常号且当仅且当 时为0mn? 0y?
零，当 不是系统的轨线。0y?
所以由定理 5.14知道,
系统 (5.6.17)当 时不存在闭轨。0mn?
目录 上页 下页 返回 结束例 5.6.2 用定理 5.15的结论判定非线性方程组
2 2 2 2
2 2 2 2
0.0 5 ( 1 ) ( 4)
0.0 5 ( 1 ) ( 4)
dx
y x x y x y
dt
dy
x y x y x y
dt
引入极坐标
c o s
s in
xr
yr
则产生的极限环 及 的稳定性。
1,1r 2,2r
目录 上页 下页 返回 结束解 又 可以算出(,),(,)f x y g x y
2 2 2 20,1 ( 1 ) ( 4)fg x y x y
xy
2 2 2 20,1 ( ) ( 2 2 5 )x y x y
对 有
1?
c o s,
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2T
2
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( ) 0,1 1 ( 2 5 ) 0,6 0
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目录 上页 下页 返回 结束故由定理 5.15知 是不稳定的。
1?
对 有
2?
2 c o s,
2 s in,
xt
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2T
2
00
( ) 0,1 4 ( 8 5 )
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2,4 0
故由定理 5.15知 是稳定的 。
2?
