齐次线性方程组的通解结构
§ 5.2 线性微分方程组的一般理论齐次线性方程组的通解结构
( ) ( ),( 5,1 4 )dx A t x f tdt
( ) ( ),A t f t a t b这里 和 在 上连续一阶线性微分方程组,
( ) 0 ( 5,1 4 )ft?若 则 变为
( ),( 5,1 5 )dx A t xdt?
称 (5.15)为一阶 齐线性微分方程组,
( ) 0,( 5,1 4 )ft?若 则称 为非齐线性微分方程组,
齐次线性方程组的通解结构一 齐次线性微分方程组
1 叠加原理
12
1 1 2 2
12
( ),( ),( ) ( 5.1 5 ),
( ) ( ) ( )
( 5.1 5 ),,,.
m
mm
m
x t x t x t
c x t c x t c x t
c c c
如果 是方程组 的m个 解则它们的线性组合 也是方程组 的解 这里 是任常数定理 2
证明,( ) ( 1,2,) ( 5,1 5 )
ix t i m?由于 是方程组 的m 个解则有 ()
( ) ( ),1,2,,i id x t A t x t i mdt
所以
1
()
m
ii
i
d c x t
dt 1
()m i
i
i
dx tc
dt?
( ) ( )iA t x t
1
( ) ( )
m
ii
i
A t c x t
1
m
i
i
c
( ),( 5,1 5 )dx A t xdt?
齐次线性方程组的通解结构
2 函数向量组线性相关与无关定义 设
12 ( ),( ),,( )mx t x t x t
是一组 定义在区间 [,]ab
上的 函数列 向量,如果存在 一组 不全为零的常数
1C
,
2C
,.,,,
mC
,使得 对所有 a t b,有恒等式否则就称这 组 向量函数在区间 [,]ab 上 线性无关,
则称 1 ()xt,2 ()xt,.,,,()mxt 在区间 [,]ab 上 线性相关 ;
1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0mmc x t c x t c x t
齐次线性方程组的通解结构证明,121,1,cc取则
1 1 2 2( ) ( )c x t c x t? t?
12( ),( )x t x t故 在 任 何 区 间 线 性 相 关例 1 证明,函数向量组
2
1
cos
( ) 1,
t
xt
t
在任何区间都是线性相关的,
2
2
1 s i n
( ) 1,
t
xt
t
22c o s ( 1 s i n )
11
tt
tt
0
0,
0
齐次线性方程组的通解结构证明,要使
1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )c x t c x t c x t
2
33
1 2 3
0
0
10
tt
tt
t
ee
c c e c e
e?
0?
例 2 证明,函数向量组
1 ( ) 0,
t
t
e
xt
e?
3
2
0
( ),
1
tx t e
在( -,+ ) 上线性无关.
2
3
3 ( ),
0
t
t
e
x t e
齐次线性方程组的通解结构
2
1
33
2
3
00
0 0,
1 0 0
tt
tt
t
e e c
e e c t
ec?
则需因为 2
33
0
0
10
tt
tt
t
ee
ee
e?
42 te 0,?
所以
1 2 3 0,c c c
1 2 3( ),( ),( )x t x t x t
故 线性无关,
t?
齐次线性方程组的通解结构
3 函数向量组线性相关与无关的判别准则
(1) Wronsky行列式
n a t b设 有 个 定 义 在 上 的 向 量 函 数
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),( ),,( )
( ) ( ) ( )
n
n
n
n n n n
x t x t x t
x t x t x t
x t x t x t
x t x t x t
由这 n个向量函数所构成的行列式
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ( ),( ),( ) ] ( ),
( ) ( ) ( )
n
n
n
n n n n
x t x t x t
x t x t x t
W x t x t x t W t
x t x t x t
称为这 n个向量函数所构成的 Wronsky行列式齐次线性方程组的通解结构
(2)定理 3
12( ),( ),( )
,( ) 0,.
nx t x t x t a t b
W t a t b
如果向量函数 在 上线性相关 则它们的W r o n s k y 行列式证明,
12( ),( ),( ),nx t x t x t a t b因 在 上线性相关
12,,,nc c c从而存在不全为零的常数,使
1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0,nnc x t c x t c x t a t b
0 [,],t a b?故对任一确定的 有
1 0 2 0 0( ),( ),( )nx t x t x t即常向量组 线性
0( ) 0,Wt?故
0t由 的任意性 ( ) 0,.W t a t b有
1 1 0 2 2 0 0( ) ( ) ( ) 0,nnc x t c x t c x t
相关,
齐次线性方程组的通解结构
(3)定理 4
12( ),( ),( ),
( ) 0,.
nx t x t x t
W t a t b
如果( 5,1 5 ) 的解 线性无关则它们W r o n s k y 的行列式证明,
00[,],( ) 0,t a b W t若有 使得
“反证法”
则
1 0 2 0 0( ),( ),( )nx t x t x t数值向量组 线性相关,
12,,,nc c c从而存在不全为零的常数,使得
1 1 0 2 2 0 0( ) ( ) ( ) 0,( 5,1 7 )nnc x t c x t c x t
现在考虑函数向量
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx t c x t c x t c x t
由定理 2知,( ) ( 5,1 5 ),xt 是 的解齐次线性方程组的通解结构由 (5.17)知,
()xt该解 满足初始条件 0( ) 0xt?
因此,由解的存在唯一性定理知,( ) 0xt?
即有
1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0,nnc x t c x t c x t a t b
12( ),( ),( )nx t x t x t a t b故解组 在 上线性相关,
矛盾注 1:
12( ),( ),( )nx t x t x t?(5.15)n 个解 线性相关
( ) 0,.W t a t b注 2:
12( ),( ),( )nx t x t x t?(5.15)n 个解 线性无关
( ) 0,.W t a t b
12( ),( ),( )nn x t x t x t即 (5.15) 个 解 所 构 成 的
Wronsky 行 列 式,或 者 恒 等 于 零,或 者 恒 不 等 于 零,
齐次线性方程组的通解结构
(4)定理 5 (5.15)一定存在 n个线性无关的解,
证明,
0 [,],t a b?任取由解的存在唯一性定理知,
(5.15)一定存在满足初始条件
1 0 2 0 0
1 0 0
0 1 0
( ),( ),,( )
0 0 1
n
x t x t x t
12( ),( ),( ) ; [,]nx t x t x t t a b?的解且
0 1 0 2 0 0( ) [ ( ),( ),( ) ] 1 0nW t W x t x t x t
12( ),( ),( )nx t x t x t a t b故 在 上线性无关.
齐次线性方程组的通解结构
4 通解结构及基本解组定理 6
12( ),( ),( )nx t x t x t如果 是( 5,1 5 ) n 个线性无关的解,则
1
()
n
ii
i
x c x t
1 2 n
( 1 ) ( t ) = 是( 5,1 5 ) 的通解,
其中c,c,c 是任常数.
12
( 2 ) ( 5,1 5 ) ( )
( ),( ),( )n
xt
x t x t x t
的任一解 均可表为的线性组合.
证明,由已知条件,
1
()
n
ii
i
x c x t n
(t)= 是 (5.15) 的 解,它 含 个 任 常 数,
齐次线性方程组的通解结构又因为
12
12
(,,,)
(,,,)
n
n
x x x
c c c
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
n
n n n n
x t x t x t
x t x t x t
x t x t x t
()Wt? 0?
,1 2 n故c,c,c 彼此独立
1
()
n
ii
i
x c x t
于是 (t) = 是(5,15) 的通解.
( 2 ) ( ) ( 5,1 5 )xt设 是 的任一解,00( ),x t x?且
12( ),( ),( ) 5 )nx t x t x t n因 是 (5.1 个 线 性 无 关 的 解,
从而可知
1 0 2 0 0( ),( ),( )nx t x t x t数值向量组 线性无关,
齐次线性方程组的通解结构即它们构成 n维线性空间的基,
00( ),x t x?故对向量
,1 2 n一定存在唯一确定常数c,c,c 满足
0 1 1 0 2 2 0 0( ) ( ) ( ) ( ),( 5,2 0 )nnx t c x t c x t c x t
现在考虑函数向量
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx t c x t c x t c x t
由定理 2知,( ) ( 5,1 5 ),xt 是 的解由 (5.20)知,()xt该解 满足初始条件 0 0 0( ) ( )x t x t x
因此,由解的存在唯一性定理,应有 ( ) ( )x t x t?
即
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx t c x t c x t c x t
齐次线性方程组的通解结构推论 1 (5.15)的线性无关解的最大个数等于 n.
基本解组,
12( ),( ),( ) ;nx t x t x t(5.15)n 个线性无关解为 (5.15)的一个基本解组,
注 1,(5.15)的基本解组不唯一,
注 2,(5.15)所有解的集合构成一个 n维线性空间,
注 3,由 n阶线性微分方程的初值问题 (5.6)与线性微分方组的初值问题 (5.7)的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到 n阶线性微分方程去,
齐次线性方程组的通解结构首先有,
12( ),( ),( )nx t x t x t一组( n - 1 ) 次可微的纯量函数线性相关的充要条件是,向量函数
12
'''
12
( 1 )( 1 ) ( 1 )
12
()( ) ( )
()( ) ( )
,,,; ( )
()( ) ( )
n
n
nnn
n
xtx t x t
xtx t x t
xtx t x t
线性相关,
证明,
12( ),( ),( )nx t x t x t设 线性相关,
12,,,nc c c则存在不全为零的常数,使得
1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t
将上式对t 微分一次,二次,,n - 1 次得齐次线性方程组的通解结构
' ' '1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t
'' '' ''1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0n n nnnc x t c x t c x t
即有
12
'''
12
12
( 1 )( 1 ) ( 1 )
12
()( ) ( )
()( ) ( )
0,( )
()( ) ( )
n
n
n
nnn
n
xtx t x t
xtx t x t
c c c
xtx t x t
即向量组 (*)是线性相关的,
齐次线性方程组的通解结构反之,如果向量组 (*)是线性相关,
12,,,nc c c则存在不全为零的常数,使得( ) 成立当然有
1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t
12( ),( ),( )nx t x t x t这表明 线性相关.
从而,从 4.1.2中 Wronsky行列式的概念可看出,从本节定理 3,4,5立即分别推出第四章定理 3,4,5.
从本节定理 6立即得到齐次线性方程组的通解结构推论 2
12( ),( ),( )nx t x t x t n如果 是 阶微分方程
1
1 1( ) ( ) 0 ( 5,2 1 )
nn
nnn
d x d xa t a t x
d t d t
; ( ) ( 1,2,,)
,
in a t i n a t b个 线 性 无 关 解 其 中 是 上连 续 函 数 ()xt则( 5,2 1 ) 的任一解 可表为
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx t c x t c x t c x t
12,,,;,nc c c这里 是相应确定的常数齐次线性方程组的通解结构
5 解矩阵与基解矩阵及性质
(1)定义
( 5,1 5 ),nn?如果一个 矩阵的每一列都是 的解则称这个矩阵为 (5.15)的 解矩阵,
[,] ( 5,1 5 ),ab如 果 该 矩 阵 的 列 在 是 的 线 性 无 关 解 组则称该解矩阵为 (5.15)的 基解矩阵,
基解矩阵 ---- 以基本解组为列构成的矩阵,
12( ),( ),( )
()
nt t t
t
以 (5.15) 基 本 解 组 为 列 构 成 的矩 阵,用 表 示,即
12( ) [ ( ),( ),( ) ],nt t t t
齐次线性方程组的通解结构
*(2) 定理1
( 5,1 5 ) ( ),
( ) ( 5,1 5 ),
t
t?
一 定 存 在 一 个 基 解 矩 阵如 果 是 的 任 一 解 那 么
( ) ( ),( 5,2 2 )t t C
.n这 里 C 是 确 定 的 维 向 量
*(3) 定理2 ()t?(5.15) 的 解 矩 阵 是 基 解 矩 阵 充 要 条 件 是,
0
0
d e t ( ) 0 ( ),,[,],
d e t ( ) 0,d e t ( ) 0,.
t a t b t a b
t t a t b
而 且 如 果 对 某 一则由定理 5,6得由定理 3,4得齐次线性方程组的通解结构注 1,行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关,
如矩阵 21
01
0 0 0
tt
t
注 2,nn 矩阵 ( t ) 是( 5,1 5 ) 基解矩阵充要条件是:
' ( ) ( ) ( ),;t A t t a t b00[,] d e t ( ) 0,t a b t且使齐次线性方程组的通解结构例 3 验证
()
0
tt
t
e tet
e
是方程组
1'
2
11
,
01
x
x x x
x
其中 的基解矩阵,
解,由于
' ( 1 )()
0
tt
t
e e tt
e
11
01
0
tt
t
e te
e
11
01
()t?
故 ( t ) 是解矩阵,
又由于
d e t ( )
0
tt
t
e te
t
e
2 0te
()t?所 以 是 基 解 矩 阵,
齐次线性方程组的通解结构
*推论1
如果 ( t ) 是( 5,1 5 ) 在a t b 基解矩阵,C 是非奇异n n 常数矩阵,那么 ( t ) C 也是在区间a t b 上的基解矩阵.
由于( 5,1 5 的) 基解矩阵 ( t ) 满足证明,
' ( ) ( ) ( ),;t A t t a t b
( ) ( ),;t t C a t b令则
''( ) ( )t t C ( ) ( )A t t C ( ) ( )A t t
故 ( t ) 为( 5,1 5 ) 的解矩阵,又由C 的非奇异性
d e t ( ) d e t ( ) d e t 0,t t C a t b
,( ) ( ) ( 5,1 5 ),t t C因 此 即 是 的 基 解 矩 阵齐次线性方程组的通解结构
*推论2
( ),( ) ( 5,1 5 )
,,,
,( ) ( ),
t t a t b
n n C
a t b t t C
如 果 是 在 上 两 个 基 解矩 阵 那 么 存 在 一 个 非 奇 异 常 数 矩 阵 使 得 在 区间 上 有证明,()t?由 于 是 基 解 矩 阵,
1 ()t故 其 逆 矩 阵 存 在,
1 ( ) ( ) ( ),t t X t令 ( ) ( ) ( ),t t X t即
( ),X t n n?则 是 可 微 矩 阵 且d e t ( ) 0,;X t a t b
于是有
'( ) ( ) ( )A t t t ''( ) ( ) ( ) ( )t X t t X t
'( ) ( ) ( ) ( ) ( )A t t X t t X t
'( ) ( ) ( ) ( ),;A t t t X t a t b
由此可得 '( ) ( ) 0,t X t
齐次线性方程组的通解结构
' ( ) 0,;X t a t b即
( ),x t n n C?故 为 常 数 矩 阵 且 非 奇 异 记 作即有 ( ) ( ),t t C
例 4 验证 3
3()
tt
tt
eet
ee
是方程组
' 21,
12
xx
基解矩阵,并求其通解,
解,( ),( ) ( ),t t t
12分别用 表示矩阵 的第一 二列,即
3
3( ),( ),
tt
tt
eett
ee
12
齐次线性方程组的通解结构
'
1 ()
t
t
et
e
21
12
t
t
e
e
21
12
()t?1
3
'
2 3
3()
3
t
t
et
e
21
12
3
3
t
t
e
e
21
12
()t?2
( ),( ),tt12因此 是方程组的解 ( ),t?即 为解矩阵又由于
3
3d e t ( )
tt
tt
eet
ee
42 te? 0?
故 ( t ) 是基解矩阵,其通解为
()x t C 3 1
3
2
tt
tt
cee
cee
3
12
3
12
tt
tt
c e c e
c e c e
齐次线性方程组的通解结构二 非齐次线性微分方程组
( ) ( ),( 5,1 4 )dx A t x f tdt
( ),
()
A t a t b n n
f t a t b n
这里 是 上已知的 连续矩阵是 上已知 维连续列向量.
1 非齐线性微分方程组解的性质性质 1
( ) ( 5,1 4 ),( ) ( 5,1 4 )
( 5,1 5 ),( ) ( ) ( 5,1 4 ),
tt
tt
如 果 是 的 解 而 是 对 应 的齐 线 性 方 程 组 的 解 则 是 的 解性质 2
( ),( ) ( 5,1 4 ),( ) - ( )
( 5,1 5 ),
t t t t如 果 是 的 两 个 解 则是 的 解
( ),( 5,1 5 )dx A t xdt?
齐次线性方程组的通解结构性质 3
12
'
1
( ) ( ) ( ) ( ) ; ( )
( ) ( ) ( )
mj
j
j
f t f t f t f t x t
x A t x f t x x t
m
j
设 且 是 方 程 组
= 的 解,则 = 是 方 程 组 (5.14) 的 解,
2 通解结构定理定理 7
( ) ( 5,1 4 )
,( 5,1 4 ) ( )
t
t
设 ( t ) 是( 5,1 5 ) 的基解矩阵,而 是的某一解则 的任一解 可表为
( ) ( ) ( )t t C t
这里 C是确定的常数列向量,
证明,由性质 2知,( ) ( ) ( 5,1 5 )tt 是 的解
:*再由定理1 得 ( ) ( ) ( ),t t t C
即 ( ) ( ) ( ),t t C t 这里 C是确定的常数列向量,
齐次线性方程组的通解结构
3 常数变易公式
( ) ( 5,1 5 )t?设 是 的 基 解 矩 阵,则 (5.15)的通解为
x t t?( )= ( )C,
其中 C是任意的常数列向量,
下面寻求 (5.14)形如
( ) ( ),( 5,2 4 )t C t(t)=
的解,把 (5.24)代入 (5.14),得
''( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t C t t C t A t t C t f t
' ( ) ( ) ( ),t A t t
( ) ( 5,1 5 )t?由 于 是 的 基 解 矩 阵,故
(1) 一阶线性微分方程组的常数变易公式齐次线性方程组的通解结构从而
'1( ) ( ) ( )C t t f t
00,( ) 0t t C t?对 上 面 方 程 从 到 积 分 并 取 得
0
1
0( ) ( ) ( ),,[,],
t
tC t s f s d s t t a b
反之,可验证 (5.26)是方程组 (5.14)满足初始条件
0( ) 0t
的特解,
' f? ( t ) C ( t ) = ( t )
()Ct因 此 满 足 下 面 方 程因此,(5.24)变为
0
1
0( ) ( ) ( ) ( ),,[,],( 5,2 6 )
t
tt t s f s d s t t a b?
齐次线性方程组的通解结构定理 8 ( ) ( 5,1 5 )t?如 果 是 的 基 解 矩 阵,则
(1) 向量函数
0
1( ) ( ) ( ) ( ),t
tt t s f s d s?
是 (5.14)的解,且满足初始条件
0( ) 0t
(2) 方程组 (5.14)的通解为
0
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ),t
tx t t C t s f s d s
注 1:
0( 5,1 4 ) ( )t满 足 初 始 条 件 的 解 为,
0
- 1 1
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( 5,2 7 )
t
tt t t t s f s d s
1 00( ) ( ) ( ) ( 5,1 5 ) ( )t t t t这 里 是 满 足 初 始 条 件 的 解注 2,公式 (5.26)或 (5.27)称为 (5.14)的 常数变易公式,
齐次线性方程组的通解结构例 5 求方程组 2
' 21
12 0
te
xx
的通解,
3
3()
tt
tt
eet
ee
解,由例 4知是对应齐次方程的基解矩阵,()t?求 的 逆 矩 阵 得
1 ()s
4
1
2 se? 33
1
2
ss
ss
ee
ee
33ss
ss
ee
ee
由 (5.26)得方程的特解为
()t? 3
3
tt
tt
ee
ee
2
330
1
2 0
s s st
ss
e e e ds
ee
0
1( ) ( ) ( ) ( )t
tt t s f s d s?
齐次线性方程组的通解结构
3
32
1
2 2
tt
t t t
ee
e e e
3
3
1
2
tt
tt
ee
ee
0
st
s
e ds
e?
所以,原方程的通解为
3
32
1( ) ( )
2 2
tt
t t t
eex t t C
e e e
33
12
3 3 2
12
1
()
2
1
( 2 )
2
t t t t
t t t t t
c e c e e e
c e c e e e e
齐次线性方程组的通解结构例 6 试求初值问题
1'
2
1 1 1
,,(0 )
0 1 10
t xe
x x x x
x
的解,
解,由例 3知
()
0
tt
t
e tet
e
是对应齐次方程的基解矩阵,()t?求 的逆矩阵得
1 ()s
2
1
se?
0
ss
s
e se
e
1
01
ss e
齐次线性方程组的通解结构故方程满足初始条件 1
( 0 )
1
的解是
- 1 1
0( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( )
tt t t s f s d s
1 0 1
0 1 10
tt
t
e t e
e
0
1
0100
t t st
s
t
se t e e
e d s
e
( 1 ) t
t
te
e
2
000
t t st
t
e te e ds
e
( 1 ) t
t
te
e
1 ()
2
0
ttee
1
()
2
t t t
t
te e e
e
齐次线性方程组的通解结构
(2) n阶线性微分方程的常数变易公式
( ) ( 1 )1 ( ) ( ) ( ),( 5,6)nn nx a t x a t x f t
12( ),( ),( )nx t x t x t设 是 (5.6) 对 应 齐 次 方 程 的 基 本 解 组,
则 (5.7)对应齐次方程的基本解组为
' ( 1 )( ) ( ( ),( ),,( ) ),1,2,,nTj j j jX t x t x t x t j n ;
从而其基解矩阵为
12( ) [ ( ),( ),,( ) ] ;nt X t X t X t
0( 5,7 ) ( ) 0t故 满 足 的 解 为
0
1( ) ( ) ( ) ( )t
tt t s F s d s?
齐次线性方程组的通解结构
0
1
1
0
()
( ) ( ) 1
0 ()
()
()
t
n
t
n
Ws
x t x t
ds
Ws
Ws
fs
=
0
1
( ) ( ) 1
()
()
n
t kk
k
t
x t W s
f s d s
Ws
=
0( 5,6 ) ( ) 0t故 满 足 的 解 为
01
( ) ( )( ) ( )
()
n t
kk
tk
x t W st f s ds
Ws
齐次线性方程组的通解结构推论 3
12
( ) ( 1,2,,),( )
,( ),( ),,( )n
a t i n f t a t b
x t x t x t a t b
i如果 是区间 上的连续函数 是 上齐线性方程
( ) ( 1 )1 ( ) ( ) 0,( 5.21 )nn nx a t x a t x
的基本解组,那么非齐线性方程
( ) ( 1 )1 ( ) ( ) ( ),( 5.28 )nn nx a t x a t x f t
的满足初始条件
' ( 1 )0 0 0 0( ) 0,( ) 0,,( ) 0,[,]nt t t t a b
解为
0
1
1 1
[ ( ),,( ) ]( ) ( ) ( ),( 5,2 9 )
[ ( ),,( )
n t
kn
k t
k n
W x s x st x t f s d s
W x s x s
齐次线性方程组的通解结构
11[ ( ),,( ) ] ( ),,( ),nnW x s x s x s x s W r o n s k y这里 是 的
11[ ( ),,( ) ] [ ( ),,( ) ]
(0,,0,1 )
k n n
T
W x s x s W x s x s k是在 中的第 列代以 后得的行列式,
( 5,2 8 ) ( )ut且 的 任 一 解 都 具 有 形 式
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( 5,3 0 )nnu t c x t c x t c x t t
12,,,;,nc c c这里 是适当选取的常数公式 (5.29))称为 (5.28)的 常数变易公式,
方程 (5.28)的通解 可表为
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ),nnx t c x t c x t c x t t
12,,,nc c c这里 是任常数,且包含了方程( 5,2 8 ) 的所有解.
齐次线性方程组的通解结构
2,( 5,2 9 )n?当 时 公 式 就 是
0
1 1 2
1
12
[ ( ),( ) ]( ) ( ) ( )
[ ( ),( ) ]
t
t
W x s x st x t f s ds
W x s x s
0
2 1 2
2
12
[ ( ),( ) ]( ) ( )
[ ( ),( ) ]
t
t
W x s x sx t f s ds
W x s x s
1 1 2[ ( ),( )]W x s x s 2
()xs
但是
2
'
2
0 ( )
1 ( )
xs
xs
2 1 2[ ( ),( ) ]W x s x s 1
'
1
( ) 0
( ) 1
xs
xs
1 ()xs?
齐次线性方程组的通解结构
0
2 1 1 2
12
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),( 5,3 1 )
[ ( ),( ) ]
t
t
x t x s x t x st f s d s
W x s x s
=
因此n = 2 时,常数变易公式为而通解是
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ),( 5,3 2 )x t c x t c x t t
12,cc这里 是任常数.
齐次线性方程组的通解结构例 7 试求方程 '' t a nx x t 的一个解,
解,易知对应齐线性方程的基本解组为
12( ) c o s,( ) s in ;x t t x t t
由 (5.31)求方程的一个解,这时
12[ ( ),( ) ]W x t x t c o s s in
- s in c o s
tt
tt
1?
故
0( ) ( sin c o s c o s sin ) ta n
tt t s t s sd s
0s i n s i n
tt s d s
0c os si n t a n
tt s sd s
齐次线性方程组的通解结构
s i n (1 c o s )tt c o s ( s i n l n s e c t a n )t t t t
s i n c o s l n s e c t a nt t t t
,s i n t注意到 是对应齐线性方程的解,所以
( ) c o s l n s e c t a nt t t t
也是原方程的一个解,
齐次线性方程组的通解结构作业
P201 1,2,4,6
P202 7,8,9(c),10
§ 5.2 线性微分方程组的一般理论齐次线性方程组的通解结构
( ) ( ),( 5,1 4 )dx A t x f tdt
( ) ( ),A t f t a t b这里 和 在 上连续一阶线性微分方程组,
( ) 0 ( 5,1 4 )ft?若 则 变为
( ),( 5,1 5 )dx A t xdt?
称 (5.15)为一阶 齐线性微分方程组,
( ) 0,( 5,1 4 )ft?若 则称 为非齐线性微分方程组,
齐次线性方程组的通解结构一 齐次线性微分方程组
1 叠加原理
12
1 1 2 2
12
( ),( ),( ) ( 5.1 5 ),
( ) ( ) ( )
( 5.1 5 ),,,.
m
mm
m
x t x t x t
c x t c x t c x t
c c c
如果 是方程组 的m个 解则它们的线性组合 也是方程组 的解 这里 是任常数定理 2
证明,( ) ( 1,2,) ( 5,1 5 )
ix t i m?由于 是方程组 的m 个解则有 ()
( ) ( ),1,2,,i id x t A t x t i mdt
所以
1
()
m
ii
i
d c x t
dt 1
()m i
i
i
dx tc
dt?
( ) ( )iA t x t
1
( ) ( )
m
ii
i
A t c x t
1
m
i
i
c
( ),( 5,1 5 )dx A t xdt?
齐次线性方程组的通解结构
2 函数向量组线性相关与无关定义 设
12 ( ),( ),,( )mx t x t x t
是一组 定义在区间 [,]ab
上的 函数列 向量,如果存在 一组 不全为零的常数
1C
,
2C
,.,,,
mC
,使得 对所有 a t b,有恒等式否则就称这 组 向量函数在区间 [,]ab 上 线性无关,
则称 1 ()xt,2 ()xt,.,,,()mxt 在区间 [,]ab 上 线性相关 ;
1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0mmc x t c x t c x t
齐次线性方程组的通解结构证明,121,1,cc取则
1 1 2 2( ) ( )c x t c x t? t?
12( ),( )x t x t故 在 任 何 区 间 线 性 相 关例 1 证明,函数向量组
2
1
cos
( ) 1,
t
xt
t
在任何区间都是线性相关的,
2
2
1 s i n
( ) 1,
t
xt
t
22c o s ( 1 s i n )
11
tt
tt
0
0,
0
齐次线性方程组的通解结构证明,要使
1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )c x t c x t c x t
2
33
1 2 3
0
0
10
tt
tt
t
ee
c c e c e
e?
0?
例 2 证明,函数向量组
1 ( ) 0,
t
t
e
xt
e?
3
2
0
( ),
1
tx t e
在( -,+ ) 上线性无关.
2
3
3 ( ),
0
t
t
e
x t e
齐次线性方程组的通解结构
2
1
33
2
3
00
0 0,
1 0 0
tt
tt
t
e e c
e e c t
ec?
则需因为 2
33
0
0
10
tt
tt
t
ee
ee
e?
42 te 0,?
所以
1 2 3 0,c c c
1 2 3( ),( ),( )x t x t x t
故 线性无关,
t?
齐次线性方程组的通解结构
3 函数向量组线性相关与无关的判别准则
(1) Wronsky行列式
n a t b设 有 个 定 义 在 上 的 向 量 函 数
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),( ),,( )
( ) ( ) ( )
n
n
n
n n n n
x t x t x t
x t x t x t
x t x t x t
x t x t x t
由这 n个向量函数所构成的行列式
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ( ),( ),( ) ] ( ),
( ) ( ) ( )
n
n
n
n n n n
x t x t x t
x t x t x t
W x t x t x t W t
x t x t x t
称为这 n个向量函数所构成的 Wronsky行列式齐次线性方程组的通解结构
(2)定理 3
12( ),( ),( )
,( ) 0,.
nx t x t x t a t b
W t a t b
如果向量函数 在 上线性相关 则它们的W r o n s k y 行列式证明,
12( ),( ),( ),nx t x t x t a t b因 在 上线性相关
12,,,nc c c从而存在不全为零的常数,使
1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0,nnc x t c x t c x t a t b
0 [,],t a b?故对任一确定的 有
1 0 2 0 0( ),( ),( )nx t x t x t即常向量组 线性
0( ) 0,Wt?故
0t由 的任意性 ( ) 0,.W t a t b有
1 1 0 2 2 0 0( ) ( ) ( ) 0,nnc x t c x t c x t
相关,
齐次线性方程组的通解结构
(3)定理 4
12( ),( ),( ),
( ) 0,.
nx t x t x t
W t a t b
如果( 5,1 5 ) 的解 线性无关则它们W r o n s k y 的行列式证明,
00[,],( ) 0,t a b W t若有 使得
“反证法”
则
1 0 2 0 0( ),( ),( )nx t x t x t数值向量组 线性相关,
12,,,nc c c从而存在不全为零的常数,使得
1 1 0 2 2 0 0( ) ( ) ( ) 0,( 5,1 7 )nnc x t c x t c x t
现在考虑函数向量
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx t c x t c x t c x t
由定理 2知,( ) ( 5,1 5 ),xt 是 的解齐次线性方程组的通解结构由 (5.17)知,
()xt该解 满足初始条件 0( ) 0xt?
因此,由解的存在唯一性定理知,( ) 0xt?
即有
1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0,nnc x t c x t c x t a t b
12( ),( ),( )nx t x t x t a t b故解组 在 上线性相关,
矛盾注 1:
12( ),( ),( )nx t x t x t?(5.15)n 个解 线性相关
( ) 0,.W t a t b注 2:
12( ),( ),( )nx t x t x t?(5.15)n 个解 线性无关
( ) 0,.W t a t b
12( ),( ),( )nn x t x t x t即 (5.15) 个 解 所 构 成 的
Wronsky 行 列 式,或 者 恒 等 于 零,或 者 恒 不 等 于 零,
齐次线性方程组的通解结构
(4)定理 5 (5.15)一定存在 n个线性无关的解,
证明,
0 [,],t a b?任取由解的存在唯一性定理知,
(5.15)一定存在满足初始条件
1 0 2 0 0
1 0 0
0 1 0
( ),( ),,( )
0 0 1
n
x t x t x t
12( ),( ),( ) ; [,]nx t x t x t t a b?的解且
0 1 0 2 0 0( ) [ ( ),( ),( ) ] 1 0nW t W x t x t x t
12( ),( ),( )nx t x t x t a t b故 在 上线性无关.
齐次线性方程组的通解结构
4 通解结构及基本解组定理 6
12( ),( ),( )nx t x t x t如果 是( 5,1 5 ) n 个线性无关的解,则
1
()
n
ii
i
x c x t
1 2 n
( 1 ) ( t ) = 是( 5,1 5 ) 的通解,
其中c,c,c 是任常数.
12
( 2 ) ( 5,1 5 ) ( )
( ),( ),( )n
xt
x t x t x t
的任一解 均可表为的线性组合.
证明,由已知条件,
1
()
n
ii
i
x c x t n
(t)= 是 (5.15) 的 解,它 含 个 任 常 数,
齐次线性方程组的通解结构又因为
12
12
(,,,)
(,,,)
n
n
x x x
c c c
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
n
n n n n
x t x t x t
x t x t x t
x t x t x t
()Wt? 0?
,1 2 n故c,c,c 彼此独立
1
()
n
ii
i
x c x t
于是 (t) = 是(5,15) 的通解.
( 2 ) ( ) ( 5,1 5 )xt设 是 的任一解,00( ),x t x?且
12( ),( ),( ) 5 )nx t x t x t n因 是 (5.1 个 线 性 无 关 的 解,
从而可知
1 0 2 0 0( ),( ),( )nx t x t x t数值向量组 线性无关,
齐次线性方程组的通解结构即它们构成 n维线性空间的基,
00( ),x t x?故对向量
,1 2 n一定存在唯一确定常数c,c,c 满足
0 1 1 0 2 2 0 0( ) ( ) ( ) ( ),( 5,2 0 )nnx t c x t c x t c x t
现在考虑函数向量
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx t c x t c x t c x t
由定理 2知,( ) ( 5,1 5 ),xt 是 的解由 (5.20)知,()xt该解 满足初始条件 0 0 0( ) ( )x t x t x
因此,由解的存在唯一性定理,应有 ( ) ( )x t x t?
即
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx t c x t c x t c x t
齐次线性方程组的通解结构推论 1 (5.15)的线性无关解的最大个数等于 n.
基本解组,
12( ),( ),( ) ;nx t x t x t(5.15)n 个线性无关解为 (5.15)的一个基本解组,
注 1,(5.15)的基本解组不唯一,
注 2,(5.15)所有解的集合构成一个 n维线性空间,
注 3,由 n阶线性微分方程的初值问题 (5.6)与线性微分方组的初值问题 (5.7)的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到 n阶线性微分方程去,
齐次线性方程组的通解结构首先有,
12( ),( ),( )nx t x t x t一组( n - 1 ) 次可微的纯量函数线性相关的充要条件是,向量函数
12
'''
12
( 1 )( 1 ) ( 1 )
12
()( ) ( )
()( ) ( )
,,,; ( )
()( ) ( )
n
n
nnn
n
xtx t x t
xtx t x t
xtx t x t
线性相关,
证明,
12( ),( ),( )nx t x t x t设 线性相关,
12,,,nc c c则存在不全为零的常数,使得
1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t
将上式对t 微分一次,二次,,n - 1 次得齐次线性方程组的通解结构
' ' '1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t
'' '' ''1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0n n nnnc x t c x t c x t
即有
12
'''
12
12
( 1 )( 1 ) ( 1 )
12
()( ) ( )
()( ) ( )
0,( )
()( ) ( )
n
n
n
nnn
n
xtx t x t
xtx t x t
c c c
xtx t x t
即向量组 (*)是线性相关的,
齐次线性方程组的通解结构反之,如果向量组 (*)是线性相关,
12,,,nc c c则存在不全为零的常数,使得( ) 成立当然有
1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0nnc x t c x t c x t
12( ),( ),( )nx t x t x t这表明 线性相关.
从而,从 4.1.2中 Wronsky行列式的概念可看出,从本节定理 3,4,5立即分别推出第四章定理 3,4,5.
从本节定理 6立即得到齐次线性方程组的通解结构推论 2
12( ),( ),( )nx t x t x t n如果 是 阶微分方程
1
1 1( ) ( ) 0 ( 5,2 1 )
nn
nnn
d x d xa t a t x
d t d t
; ( ) ( 1,2,,)
,
in a t i n a t b个 线 性 无 关 解 其 中 是 上连 续 函 数 ()xt则( 5,2 1 ) 的任一解 可表为
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx t c x t c x t c x t
12,,,;,nc c c这里 是相应确定的常数齐次线性方程组的通解结构
5 解矩阵与基解矩阵及性质
(1)定义
( 5,1 5 ),nn?如果一个 矩阵的每一列都是 的解则称这个矩阵为 (5.15)的 解矩阵,
[,] ( 5,1 5 ),ab如 果 该 矩 阵 的 列 在 是 的 线 性 无 关 解 组则称该解矩阵为 (5.15)的 基解矩阵,
基解矩阵 ---- 以基本解组为列构成的矩阵,
12( ),( ),( )
()
nt t t
t
以 (5.15) 基 本 解 组 为 列 构 成 的矩 阵,用 表 示,即
12( ) [ ( ),( ),( ) ],nt t t t
齐次线性方程组的通解结构
*(2) 定理1
( 5,1 5 ) ( ),
( ) ( 5,1 5 ),
t
t?
一 定 存 在 一 个 基 解 矩 阵如 果 是 的 任 一 解 那 么
( ) ( ),( 5,2 2 )t t C
.n这 里 C 是 确 定 的 维 向 量
*(3) 定理2 ()t?(5.15) 的 解 矩 阵 是 基 解 矩 阵 充 要 条 件 是,
0
0
d e t ( ) 0 ( ),,[,],
d e t ( ) 0,d e t ( ) 0,.
t a t b t a b
t t a t b
而 且 如 果 对 某 一则由定理 5,6得由定理 3,4得齐次线性方程组的通解结构注 1,行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关,
如矩阵 21
01
0 0 0
tt
t
注 2,nn 矩阵 ( t ) 是( 5,1 5 ) 基解矩阵充要条件是:
' ( ) ( ) ( ),;t A t t a t b00[,] d e t ( ) 0,t a b t且使齐次线性方程组的通解结构例 3 验证
()
0
tt
t
e tet
e
是方程组
1'
2
11
,
01
x
x x x
x
其中 的基解矩阵,
解,由于
' ( 1 )()
0
tt
t
e e tt
e
11
01
0
tt
t
e te
e
11
01
()t?
故 ( t ) 是解矩阵,
又由于
d e t ( )
0
tt
t
e te
t
e
2 0te
()t?所 以 是 基 解 矩 阵,
齐次线性方程组的通解结构
*推论1
如果 ( t ) 是( 5,1 5 ) 在a t b 基解矩阵,C 是非奇异n n 常数矩阵,那么 ( t ) C 也是在区间a t b 上的基解矩阵.
由于( 5,1 5 的) 基解矩阵 ( t ) 满足证明,
' ( ) ( ) ( ),;t A t t a t b
( ) ( ),;t t C a t b令则
''( ) ( )t t C ( ) ( )A t t C ( ) ( )A t t
故 ( t ) 为( 5,1 5 ) 的解矩阵,又由C 的非奇异性
d e t ( ) d e t ( ) d e t 0,t t C a t b
,( ) ( ) ( 5,1 5 ),t t C因 此 即 是 的 基 解 矩 阵齐次线性方程组的通解结构
*推论2
( ),( ) ( 5,1 5 )
,,,
,( ) ( ),
t t a t b
n n C
a t b t t C
如 果 是 在 上 两 个 基 解矩 阵 那 么 存 在 一 个 非 奇 异 常 数 矩 阵 使 得 在 区间 上 有证明,()t?由 于 是 基 解 矩 阵,
1 ()t故 其 逆 矩 阵 存 在,
1 ( ) ( ) ( ),t t X t令 ( ) ( ) ( ),t t X t即
( ),X t n n?则 是 可 微 矩 阵 且d e t ( ) 0,;X t a t b
于是有
'( ) ( ) ( )A t t t ''( ) ( ) ( ) ( )t X t t X t
'( ) ( ) ( ) ( ) ( )A t t X t t X t
'( ) ( ) ( ) ( ),;A t t t X t a t b
由此可得 '( ) ( ) 0,t X t
齐次线性方程组的通解结构
' ( ) 0,;X t a t b即
( ),x t n n C?故 为 常 数 矩 阵 且 非 奇 异 记 作即有 ( ) ( ),t t C
例 4 验证 3
3()
tt
tt
eet
ee
是方程组
' 21,
12
xx
基解矩阵,并求其通解,
解,( ),( ) ( ),t t t
12分别用 表示矩阵 的第一 二列,即
3
3( ),( ),
tt
tt
eett
ee
12
齐次线性方程组的通解结构
'
1 ()
t
t
et
e
21
12
t
t
e
e
21
12
()t?1
3
'
2 3
3()
3
t
t
et
e
21
12
3
3
t
t
e
e
21
12
()t?2
( ),( ),tt12因此 是方程组的解 ( ),t?即 为解矩阵又由于
3
3d e t ( )
tt
tt
eet
ee
42 te? 0?
故 ( t ) 是基解矩阵,其通解为
()x t C 3 1
3
2
tt
tt
cee
cee
3
12
3
12
tt
tt
c e c e
c e c e
齐次线性方程组的通解结构二 非齐次线性微分方程组
( ) ( ),( 5,1 4 )dx A t x f tdt
( ),
()
A t a t b n n
f t a t b n
这里 是 上已知的 连续矩阵是 上已知 维连续列向量.
1 非齐线性微分方程组解的性质性质 1
( ) ( 5,1 4 ),( ) ( 5,1 4 )
( 5,1 5 ),( ) ( ) ( 5,1 4 ),
tt
tt
如 果 是 的 解 而 是 对 应 的齐 线 性 方 程 组 的 解 则 是 的 解性质 2
( ),( ) ( 5,1 4 ),( ) - ( )
( 5,1 5 ),
t t t t如 果 是 的 两 个 解 则是 的 解
( ),( 5,1 5 )dx A t xdt?
齐次线性方程组的通解结构性质 3
12
'
1
( ) ( ) ( ) ( ) ; ( )
( ) ( ) ( )
mj
j
j
f t f t f t f t x t
x A t x f t x x t
m
j
设 且 是 方 程 组
= 的 解,则 = 是 方 程 组 (5.14) 的 解,
2 通解结构定理定理 7
( ) ( 5,1 4 )
,( 5,1 4 ) ( )
t
t
设 ( t ) 是( 5,1 5 ) 的基解矩阵,而 是的某一解则 的任一解 可表为
( ) ( ) ( )t t C t
这里 C是确定的常数列向量,
证明,由性质 2知,( ) ( ) ( 5,1 5 )tt 是 的解
:*再由定理1 得 ( ) ( ) ( ),t t t C
即 ( ) ( ) ( ),t t C t 这里 C是确定的常数列向量,
齐次线性方程组的通解结构
3 常数变易公式
( ) ( 5,1 5 )t?设 是 的 基 解 矩 阵,则 (5.15)的通解为
x t t?( )= ( )C,
其中 C是任意的常数列向量,
下面寻求 (5.14)形如
( ) ( ),( 5,2 4 )t C t(t)=
的解,把 (5.24)代入 (5.14),得
''( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t C t t C t A t t C t f t
' ( ) ( ) ( ),t A t t
( ) ( 5,1 5 )t?由 于 是 的 基 解 矩 阵,故
(1) 一阶线性微分方程组的常数变易公式齐次线性方程组的通解结构从而
'1( ) ( ) ( )C t t f t
00,( ) 0t t C t?对 上 面 方 程 从 到 积 分 并 取 得
0
1
0( ) ( ) ( ),,[,],
t
tC t s f s d s t t a b
反之,可验证 (5.26)是方程组 (5.14)满足初始条件
0( ) 0t
的特解,
' f? ( t ) C ( t ) = ( t )
()Ct因 此 满 足 下 面 方 程因此,(5.24)变为
0
1
0( ) ( ) ( ) ( ),,[,],( 5,2 6 )
t
tt t s f s d s t t a b?
齐次线性方程组的通解结构定理 8 ( ) ( 5,1 5 )t?如 果 是 的 基 解 矩 阵,则
(1) 向量函数
0
1( ) ( ) ( ) ( ),t
tt t s f s d s?
是 (5.14)的解,且满足初始条件
0( ) 0t
(2) 方程组 (5.14)的通解为
0
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ),t
tx t t C t s f s d s
注 1:
0( 5,1 4 ) ( )t满 足 初 始 条 件 的 解 为,
0
- 1 1
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( 5,2 7 )
t
tt t t t s f s d s
1 00( ) ( ) ( ) ( 5,1 5 ) ( )t t t t这 里 是 满 足 初 始 条 件 的 解注 2,公式 (5.26)或 (5.27)称为 (5.14)的 常数变易公式,
齐次线性方程组的通解结构例 5 求方程组 2
' 21
12 0
te
xx
的通解,
3
3()
tt
tt
eet
ee
解,由例 4知是对应齐次方程的基解矩阵,()t?求 的 逆 矩 阵 得
1 ()s
4
1
2 se? 33
1
2
ss
ss
ee
ee
33ss
ss
ee
ee
由 (5.26)得方程的特解为
()t? 3
3
tt
tt
ee
ee
2
330
1
2 0
s s st
ss
e e e ds
ee
0
1( ) ( ) ( ) ( )t
tt t s f s d s?
齐次线性方程组的通解结构
3
32
1
2 2
tt
t t t
ee
e e e
3
3
1
2
tt
tt
ee
ee
0
st
s
e ds
e?
所以,原方程的通解为
3
32
1( ) ( )
2 2
tt
t t t
eex t t C
e e e
33
12
3 3 2
12
1
()
2
1
( 2 )
2
t t t t
t t t t t
c e c e e e
c e c e e e e
齐次线性方程组的通解结构例 6 试求初值问题
1'
2
1 1 1
,,(0 )
0 1 10
t xe
x x x x
x
的解,
解,由例 3知
()
0
tt
t
e tet
e
是对应齐次方程的基解矩阵,()t?求 的逆矩阵得
1 ()s
2
1
se?
0
ss
s
e se
e
1
01
ss e
齐次线性方程组的通解结构故方程满足初始条件 1
( 0 )
1
的解是
- 1 1
0( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( )
tt t t s f s d s
1 0 1
0 1 10
tt
t
e t e
e
0
1
0100
t t st
s
t
se t e e
e d s
e
( 1 ) t
t
te
e
2
000
t t st
t
e te e ds
e
( 1 ) t
t
te
e
1 ()
2
0
ttee
1
()
2
t t t
t
te e e
e
齐次线性方程组的通解结构
(2) n阶线性微分方程的常数变易公式
( ) ( 1 )1 ( ) ( ) ( ),( 5,6)nn nx a t x a t x f t
12( ),( ),( )nx t x t x t设 是 (5.6) 对 应 齐 次 方 程 的 基 本 解 组,
则 (5.7)对应齐次方程的基本解组为
' ( 1 )( ) ( ( ),( ),,( ) ),1,2,,nTj j j jX t x t x t x t j n ;
从而其基解矩阵为
12( ) [ ( ),( ),,( ) ] ;nt X t X t X t
0( 5,7 ) ( ) 0t故 满 足 的 解 为
0
1( ) ( ) ( ) ( )t
tt t s F s d s?
齐次线性方程组的通解结构
0
1
1
0
()
( ) ( ) 1
0 ()
()
()
t
n
t
n
Ws
x t x t
ds
Ws
Ws
fs
=
0
1
( ) ( ) 1
()
()
n
t kk
k
t
x t W s
f s d s
Ws
=
0( 5,6 ) ( ) 0t故 满 足 的 解 为
01
( ) ( )( ) ( )
()
n t
kk
tk
x t W st f s ds
Ws
齐次线性方程组的通解结构推论 3
12
( ) ( 1,2,,),( )
,( ),( ),,( )n
a t i n f t a t b
x t x t x t a t b
i如果 是区间 上的连续函数 是 上齐线性方程
( ) ( 1 )1 ( ) ( ) 0,( 5.21 )nn nx a t x a t x
的基本解组,那么非齐线性方程
( ) ( 1 )1 ( ) ( ) ( ),( 5.28 )nn nx a t x a t x f t
的满足初始条件
' ( 1 )0 0 0 0( ) 0,( ) 0,,( ) 0,[,]nt t t t a b
解为
0
1
1 1
[ ( ),,( ) ]( ) ( ) ( ),( 5,2 9 )
[ ( ),,( )
n t
kn
k t
k n
W x s x st x t f s d s
W x s x s
齐次线性方程组的通解结构
11[ ( ),,( ) ] ( ),,( ),nnW x s x s x s x s W r o n s k y这里 是 的
11[ ( ),,( ) ] [ ( ),,( ) ]
(0,,0,1 )
k n n
T
W x s x s W x s x s k是在 中的第 列代以 后得的行列式,
( 5,2 8 ) ( )ut且 的 任 一 解 都 具 有 形 式
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( 5,3 0 )nnu t c x t c x t c x t t
12,,,;,nc c c这里 是适当选取的常数公式 (5.29))称为 (5.28)的 常数变易公式,
方程 (5.28)的通解 可表为
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ),nnx t c x t c x t c x t t
12,,,nc c c这里 是任常数,且包含了方程( 5,2 8 ) 的所有解.
齐次线性方程组的通解结构
2,( 5,2 9 )n?当 时 公 式 就 是
0
1 1 2
1
12
[ ( ),( ) ]( ) ( ) ( )
[ ( ),( ) ]
t
t
W x s x st x t f s ds
W x s x s
0
2 1 2
2
12
[ ( ),( ) ]( ) ( )
[ ( ),( ) ]
t
t
W x s x sx t f s ds
W x s x s
1 1 2[ ( ),( )]W x s x s 2
()xs
但是
2
'
2
0 ( )
1 ( )
xs
xs
2 1 2[ ( ),( ) ]W x s x s 1
'
1
( ) 0
( ) 1
xs
xs
1 ()xs?
齐次线性方程组的通解结构
0
2 1 1 2
12
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),( 5,3 1 )
[ ( ),( ) ]
t
t
x t x s x t x st f s d s
W x s x s
=
因此n = 2 时,常数变易公式为而通解是
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ),( 5,3 2 )x t c x t c x t t
12,cc这里 是任常数.
齐次线性方程组的通解结构例 7 试求方程 '' t a nx x t 的一个解,
解,易知对应齐线性方程的基本解组为
12( ) c o s,( ) s in ;x t t x t t
由 (5.31)求方程的一个解,这时
12[ ( ),( ) ]W x t x t c o s s in
- s in c o s
tt
tt
1?
故
0( ) ( sin c o s c o s sin ) ta n
tt t s t s sd s
0s i n s i n
tt s d s
0c os si n t a n
tt s sd s
齐次线性方程组的通解结构
s i n (1 c o s )tt c o s ( s i n l n s e c t a n )t t t t
s i n c o s l n s e c t a nt t t t
,s i n t注意到 是对应齐线性方程的解,所以
( ) c o s l n s e c t a nt t t t
也是原方程的一个解,
齐次线性方程组的通解结构作业
P201 1,2,4,6
P202 7,8,9(c),10
