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§ 5.5 Liapunov 第二方法
5.1 定理及概念
5.2 例题及定理的证明目录 上页 下页 返回 结束
5.1 定理及概念定理 5.5 对于系统 （ 5.5.1）,如果可以找到一个定正函数,且此 函数沿着系统的()VX V
全导数为 常负函数或恒等于零，dV
dt
则系统（ 5.5.1）的零解是稳定的。
目录 上页 下页 返回 结束定理 5.6 对于系统（ 5.5.1），如果可以找到一个定的函数,且沿着系统的全导数 为()VX dV
dt
定负函数，则系统的 零解是渐近稳定的 。
定理 5.7 对于系统（ 5.5.1）如果能找到一个 V
函数 它在 点的任何邻域内至少有()VX 0X?
一点,*X
*( ) 0( 0)VX
目录 上页 下页 返回 结束那么，如果存在 的某个邻域,使0X? D
得在 中 是定正（定负）的，则
(5.5.1)
dV
dt
D
系统（ 5.5.1）的 零解是不稳定 的。
定理 5.8 函数
2V b x y c y2（ x,y ） =ax
当且仅当 和 同时成立，0a?
240a v b
是 定正的，
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是 定负 的，当 且仅当 和0a? 240a v b
定理 5.9 对于系统（ 5.5.1），
如果存在定正的,且 常负，
()Vx
(5.5.1)
dV
dt
但是使得 点 的集合不含系统X
( 5,5,1 )
0dV
dt
(5.5.1)的除零解外的任何整条正半轨线，
目录 上页 下页 返回 结束则（ 5.5.1）的零解是渐近稳定的。
定理 5.10 对于系统（ 5.5.1），
如果存在函数 和某一非负常数,使得
()Vx?
( 5,5,1 )
()dV V W X
dt
且当 时,为 定正函数,0 ()WX
当 时,为 常正函数或恒为零,0 ()WX
目录 上页 下页 返回 结束又在 的任意小的邻域内，0X?
至少存在某个 使得,X
( ) 0VX?
则（ 5.5.1）得零解时不稳定的。
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5.2 例题及定理的证明例 5.5.1 在二维空间 上2R
22
1 2 1 2(,)V x x x x
是 定正的 函数 。
V
22
1 2 1 1 2 2(,) 2V x x x x x x
2
12()xx
是常正的。
目录 上页 下页 返回 结束这里关于 函数有两个结论：V
结论 1 如果函数 是定正（常正）的,
()Vx
则 定负（常负）的；()VX?
结论 2 如果 是一个二维定正 函
(,)V x y V
数，则对于适当的 是一条包
0,(,)h V x y h
围原点的闭曲线。
目录 上页 下页 返回 结束微分方程解的稳定性问题。
现在讨论如何应用 函数来确定非线性V
为了简单，我们只考虑非线性自治系统
()dX fX
dt
（ 5.5.1）
其中,
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1
2
n
x
x
X
x
1 1 2
2 1 2
12
(,,,)
(,,,)
()
(,,,)
n
n
nn
f x x x
f x x x
fX
f x x x
假设,且 在原点的某个邻域内(0 ) 0f? ()fX
满足解的存在唯一性条件。
把 (5.5.1)的解 代入函数 中得 的()X X t? V
t
目录 上页 下页 返回 结束复合函数，对 函数关于 求导数得到：V
t
12
12
n
n
dxdx dxdV V V V
dt x dt x dt x dt
1
n
i
i i
dxV
x d t?
这样求得的导数 称为函数 沿着方程dV
dt ()Vx
组 (5.5.1)的 全导数,一般情况下它仍为
12,,,nx x x
的函数。
目录 上页 下页 返回 结束例 5.5.2 求函数 沿着平
221(,) ( )
2V x y x y
面自治系统
33
dx
x y x y
dt
dy
xy
dt
（ 5.5.3）
的全导数。
目录 上页 下页 返回 结束解 利用公式（ 5.5.2）得此函数 沿着系统V
(5.5.3)得全导数为
( 5,5,3 )
d V V d x V d y
d t x d t y d t
33
2 2 3 4
( ) ( )x x y x y y x y
x x y x y x y y
目录 上页 下页 返回 结束例 5.5.3 利用 李亚普诺夫稳定型准则 判定下面系统的零解的稳定性态。
32
23
(1 )
2
dx
x x y
dt
dy
x y y
dt
解 对于系统（ 1）,构造李亚普诺夫函数
221(,)
2V x y x y
目录 上页 下页 返回 结束则 是正定的且
(,)V x y
3 2 2 3
(1)
2 ( ) ( 2 )dV x x x y y x y y
dt
442 xy
是 定负的 。所以由定理 5.6知系统（ 1）的零解是 渐近稳定的 。
目录 上页 下页 返回 结束
33
2 2 3
( 2 )
2 4 2
dx
xy
dt
dy
xy x y y
dt
对于系统（ 2），构造如（ 1）中的 函数则V
4 2 2 4 2 2 2
( 3 )
2 4 2 2 ( )dV x x y y x y
dt
显然 在原点邻域是定正的，而
(3)
dV
dt
(,)V x y
目录 上页 下页 返回 结束在原点任何邻域有大于零的点（其实也是定正函数），所以由定理 5.7知系统（ 3）的零解是不稳定的。
目录 上页 下页 返回 结束例 5.4 构造二次型 函数证明系统V
2
2
dx
x xy
dt
dy
y x y
dt
（ 5.5.8）
的零解是渐近稳定的。
证明 取如定理 5.8中的 函数V
22(,)V x y a x b x y c y
目录 上页 下页 返回 结束则
2
( 5,5,8 )
( 2 ) ( )dV a x b y x x y
dt
2 2 2[ 2 ( )a x x y
2( 2 ) ( )b x c y y y x
2 2 22 ( ) ]c y x y
显然若取,则,
0,0,0bac 240a c b
目录 上页 下页 返回 结束因而 定正，且定负,(,)V x y
(5.5.8 )
dV
dt
故系统（ 5.5.8）的零解是 渐近稳定的 。
例题 5.5.5 利用 李亚普诺夫函数 讨论数学摆振动方程等价系统
sin
dx
y
dt
d y g
xy
d t l m
（ 5.5.10）
目录 上页 下页 返回 结束零解的稳定性。
解 构造 李亚普诺夫 函数 如下V
21(,) ( 1 c o s )
2
gV x y y x
l
显然 在原点邻域内是 定正的,且
(,)V x y
2
( 5,5,1 0 )
dV y
d t m
目录 上页 下页 返回 结束若,则,由定理 5.5知零解0
( 5,5,1 0 )
0dV
dt
是稳定的。
若,则 是常负的，但是仔细
0
(5.5.10 )
dV
dt
分析一下，式 的集合是,
( 5,5,1 0 )
0dV
dt
0y?
而在原点邻域 不是 (5.5.10)的解。0y?
目录 上页 下页 返回 结束除外。因而，由定理 5.9可知
0,0xy
系统（ 5.5.10）的零解是渐近稳定的。
定理 5.6的证明证明 由前一个定理知此时系统（ 5.5.1）的零解稳定的，所以只需证明在此定理条件下零解还是吸引的即可。即证明存在 使得
0 0
目录 上页 下页 返回 结束当,满足 时从 点出发的解：
0X 00
X
0X
00( ) (,,)X t X t t X?
满足：
lim ( ) 0x Xt
（ 5.5.4）
下面证明零解的吸引性，由稳定性知
0 0
必存在 使得当 时对一切
00X 0tt?
00( ) (,,)X t X t t X H
有目录 上页 下页 返回 结束由于 定正,定负，
(5.5.1)
dV
dt()Vx
所以 关于 单调递减有界，因而有极限
( ( ))V X t t
li m ( ( ) )x V X t c
假设,必,那么对于任何的,0c? 0c?
0tt?
有
( ) 0Xt
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()dV X
dt
XH?所以 在 上连续，故 ()dV X
dt
在 有最大值，记为：
XH
()m a x
XH
d V XM
dt
且由 的定负性知()dV X
dt
0M?
由于 有连续的偏导数，
()Vx
目录 上页 下页 返回 结束于是对于任何 有
0tt?
0
00
( ( ) )( ( ) ) ( ) ( )t
t
d V X tV X t V X d t M t t
dt
即
00( ( ) ) ( ) ( )V X t V X M t t
由上式看出当 t充分大时,这
( ( ) ) 0V X t?
与 定正矛盾,因此,即
( ( ))V X t 0c?
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li m ( ( ) ) 0x V X t
（ 5.5.5）
在此基础上在证,即（ 5.5.4）
lim ( ) 0x Xt
式成立。
假设（ 5.5.4）式不成立，则由零解的稳定性知解 是有界的，因而由聚点原理 必可
()Xt
抽取一个序列
( 1,2,),ktk?
目录 上页 下页 返回 结束且当 时，,而使k
kt
*l i m ( ) 0
kk X t X
因此根据 的连续性及定正性知( ( ))V X t
这与刚才证明的（ 5.5.5）矛盾，因而（ 5.5.4）
式成立。
故此时系统（ 5.5.1）的零解是 渐近稳定的 。
§ 5.5 Liapunov 第二方法
5.1 定理及概念
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5.1 定理及概念定理 5.5 对于系统 （ 5.5.1）,如果可以找到一个定正函数,且此 函数沿着系统的()VX V
全导数为 常负函数或恒等于零，dV
dt
则系统（ 5.5.1）的零解是稳定的。
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dt
定负函数，则系统的 零解是渐近稳定的 。
定理 5.7 对于系统（ 5.5.1）如果能找到一个 V
函数 它在 点的任何邻域内至少有()VX 0X?
一点,*X
*( ) 0( 0)VX
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得在 中 是定正（定负）的，则
(5.5.1)
dV
dt
D
系统（ 5.5.1）的 零解是不稳定 的。
定理 5.8 函数
2V b x y c y2（ x,y ） =ax
当且仅当 和 同时成立，0a?
240a v b
是 定正的，
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是 定负 的，当 且仅当 和0a? 240a v b
定理 5.9 对于系统（ 5.5.1），
如果存在定正的,且 常负，
()Vx
(5.5.1)
dV
dt
但是使得 点 的集合不含系统X
( 5,5,1 )
0dV
dt
(5.5.1)的除零解外的任何整条正半轨线，
目录 上页 下页 返回 结束则（ 5.5.1）的零解是渐近稳定的。
定理 5.10 对于系统（ 5.5.1），
如果存在函数 和某一非负常数,使得
()Vx?
( 5,5,1 )
()dV V W X
dt
且当 时,为 定正函数,0 ()WX
当 时,为 常正函数或恒为零,0 ()WX
目录 上页 下页 返回 结束又在 的任意小的邻域内，0X?
至少存在某个 使得,X
( ) 0VX?
则（ 5.5.1）得零解时不稳定的。
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5.2 例题及定理的证明例 5.5.1 在二维空间 上2R
22
1 2 1 2(,)V x x x x
是 定正的 函数 。
V
22
1 2 1 1 2 2(,) 2V x x x x x x
2
12()xx
是常正的。
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结论 1 如果函数 是定正（常正）的,
()Vx
则 定负（常负）的；()VX?
结论 2 如果 是一个二维定正 函
(,)V x y V
数，则对于适当的 是一条包
0,(,)h V x y h
围原点的闭曲线。
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现在讨论如何应用 函数来确定非线性V
为了简单，我们只考虑非线性自治系统
()dX fX
dt
（ 5.5.1）
其中,
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1
2
n
x
x
X
x
1 1 2
2 1 2
12
(,,,)
(,,,)
()
(,,,)
n
n
nn
f x x x
f x x x
fX
f x x x
假设,且 在原点的某个邻域内(0 ) 0f? ()fX
满足解的存在唯一性条件。
把 (5.5.1)的解 代入函数 中得 的()X X t? V
t
目录 上页 下页 返回 结束复合函数，对 函数关于 求导数得到：V
t
12
12
n
n
dxdx dxdV V V V
dt x dt x dt x dt
1
n
i
i i
dxV
x d t?
这样求得的导数 称为函数 沿着方程dV
dt ()Vx
组 (5.5.1)的 全导数,一般情况下它仍为
12,,,nx x x
的函数。
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221(,) ( )
2V x y x y
面自治系统
33
dx
x y x y
dt
dy
xy
dt
（ 5.5.3）
的全导数。
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(5.5.3)得全导数为
( 5,5,3 )
d V V d x V d y
d t x d t y d t
33
2 2 3 4
( ) ( )x x y x y y x y
x x y x y x y y
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32
23
(1 )
2
dx
x x y
dt
dy
x y y
dt
解 对于系统（ 1）,构造李亚普诺夫函数
221(,)
2V x y x y
目录 上页 下页 返回 结束则 是正定的且
(,)V x y
3 2 2 3
(1)
2 ( ) ( 2 )dV x x x y y x y y
dt
442 xy
是 定负的 。所以由定理 5.6知系统（ 1）的零解是 渐近稳定的 。
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33
2 2 3
( 2 )
2 4 2
dx
xy
dt
dy
xy x y y
dt
对于系统（ 2），构造如（ 1）中的 函数则V
4 2 2 4 2 2 2
( 3 )
2 4 2 2 ( )dV x x y y x y
dt
显然 在原点邻域是定正的，而
(3)
dV
dt
(,)V x y
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2
2
dx
x xy
dt
dy
y x y
dt
（ 5.5.8）
的零解是渐近稳定的。
证明 取如定理 5.8中的 函数V
22(,)V x y a x b x y c y
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2
( 5,5,8 )
( 2 ) ( )dV a x b y x x y
dt
2 2 2[ 2 ( )a x x y
2( 2 ) ( )b x c y y y x
2 2 22 ( ) ]c y x y
显然若取,则,
0,0,0bac 240a c b
目录 上页 下页 返回 结束因而 定正，且定负,(,)V x y
(5.5.8 )
dV
dt
故系统（ 5.5.8）的零解是 渐近稳定的 。
例题 5.5.5 利用 李亚普诺夫函数 讨论数学摆振动方程等价系统
sin
dx
y
dt
d y g
xy
d t l m
（ 5.5.10）
目录 上页 下页 返回 结束零解的稳定性。
解 构造 李亚普诺夫 函数 如下V
21(,) ( 1 c o s )
2
gV x y y x
l
显然 在原点邻域内是 定正的,且
(,)V x y
2
( 5,5,1 0 )
dV y
d t m
目录 上页 下页 返回 结束若,则,由定理 5.5知零解0
( 5,5,1 0 )
0dV
dt
是稳定的。
若,则 是常负的，但是仔细
0
(5.5.10 )
dV
dt
分析一下，式 的集合是,
( 5,5,1 0 )
0dV
dt
0y?
而在原点邻域 不是 (5.5.10)的解。0y?
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0,0xy
系统（ 5.5.10）的零解是渐近稳定的。
定理 5.6的证明证明 由前一个定理知此时系统（ 5.5.1）的零解稳定的，所以只需证明在此定理条件下零解还是吸引的即可。即证明存在 使得
0 0
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0X 00
X
0X
00( ) (,,)X t X t t X?
满足：
lim ( ) 0x Xt
（ 5.5.4）
下面证明零解的吸引性，由稳定性知
0 0
必存在 使得当 时对一切
00X 0tt?
00( ) (,,)X t X t t X H
有目录 上页 下页 返回 结束由于 定正,定负，
(5.5.1)
dV
dt()Vx
所以 关于 单调递减有界，因而有极限
( ( ))V X t t
li m ( ( ) )x V X t c
假设,必,那么对于任何的,0c? 0c?
0tt?
有
( ) 0Xt
目录 上页 下页 返回 结束
()dV X
dt
XH?所以 在 上连续，故 ()dV X
dt
在 有最大值，记为：
XH
()m a x
XH
d V XM
dt
且由 的定负性知()dV X
dt
0M?
由于 有连续的偏导数，
()Vx
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0tt?
0
00
( ( ) )( ( ) ) ( ) ( )t
t
d V X tV X t V X d t M t t
dt
即
00( ( ) ) ( ) ( )V X t V X M t t
由上式看出当 t充分大时,这
( ( ) ) 0V X t?
与 定正矛盾,因此,即
( ( ))V X t 0c?
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li m ( ( ) ) 0x V X t
（ 5.5.5）
在此基础上在证,即（ 5.5.4）
lim ( ) 0x Xt
式成立。
假设（ 5.5.4）式不成立，则由零解的稳定性知解 是有界的，因而由聚点原理 必可
()Xt
抽取一个序列
( 1,2,),ktk?
目录 上页 下页 返回 结束且当 时，,而使k
kt
*l i m ( ) 0
kk X t X
因此根据 的连续性及定正性知( ( ))V X t
这与刚才证明的（ 5.5.5）矛盾，因而（ 5.5.4）
式成立。
故此时系统（ 5.5.1）的零解是 渐近稳定的 。
