目录 上页 下页 返回 结束
§ 5.4 几乎线性系统解的稳定性
5.4.1 平面几乎线性系统和稳定性
5.4.2 高维几乎线性微分方程组的稳定性目录 上页 下页 返回 结束
1 稳定性的概念主要研究系统处值变化不大时的解在无限区间
0,t
上的变化情况，变化不大，称为系统是 稳定 的，变化大,不稳定 。
在实际中，是有很重要的意义的。
比如说火箭的发射,“差之毫厘，谬以千里”。
目录 上页 下页 返回 结束稳定性的研究工作，贡献最大的是 李雅普诺夫 。他创立了两种方法，第一方法，第二方法，
后者又称为 直接法 。
2 数学上的定义 方程组 满足
(,)dx F t xdt?
00()x t x?
的解。
00 ( 一般与 和 有关 )。?
0t
目录 上页 下页 返回 结束
00()x t x
0x
满足 时,有,()xt
对 则称为方程组的重解 为 稳定 的，
0tt
0x?
否则称为是 不稳定 的。
若重解 稳定，且,0x?
0 0
当 时,
00x
满足初始条件 的解均有：
00()x t x?
目录 上页 下页 返回 结束
lim ( ) 0
t
xt
则称重解为 渐近稳定 的。
如果解 是渐近稳定的,一切 区域,0x D
只要
2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2(,) 2 ( )V x x x x x x x x
就有：
00l i m (,,) 0t x t t x
目录 上页 下页 返回 结束则称区域 为解 的 渐近稳定域 或 吸收域 。D 0x?
若渐近稳定域是全空间的,则称解为 全局渐近全局渐近稳定的 。
目录 上页 下页 返回 结束
3.稳定性的判断 （ 李维普诺夫第二方法 ）
1>.定量函数设 为定义在 上的单
12( ) (,..,)nV x V x x x? xH?
值连续函数，并且有连续偏导数,(0) 0V?
若在域 内有,xH? ( ) 0 ( 0 )Vx
则称 为 常正 (常负 )的。若对于一切 有
()Vx 0x?
目录 上页 下页 返回 结束
( ) 0 ( 0 )Vx 则称 是 正定（负定） 的，习()Vx
惯上称为 V函数 。
例 为 正定函数 。
221 2 1 2(,)V x x x x
2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2(,) 2 ( )V x x x x x x x x
是 常定的 。
2>.V关于方程组的全导数目录 上页 下页 返回 结束把解带入 函数中，对 函数关于 求导得到V V
t
12
12
...,n
n
dxd x d xd v v v v
d t x d t x d t x d t
例,求函数沿平面自治系统的全导数
33
dx
x y x y
dt
dy
xy
dt
( )?
目录 上页 下页 返回 结束解,利用公式得 沿系统的全导数为V
( * )
33
2 2 3 4
( ) ( )
d v v d x v d y
d t x d t y d t
x x y x y y x y
x x y x y x y y
3>.判据
Th1 对系统 (1),若 一个正定函数,? ()Vx
且 沿 (1)的全导数 为常负函数或恒为零，V dv
dt
目录 上页 下页 返回 结束则系统 (1)的零解是稳定的。
Th2 对系统 (1)，若 一个正定函数,?
()Vx
且 沿 (1)的全导数 为负定函数，则系统 (1)的V dv
dt
零解 是渐近稳定的 。
目录 上页 下页 返回 结束例,
33
2
2
2
dv
xy
dt
dy
xy
dt
解 取 为正定的，221(,) ( )
2V x y x y
且 是常负的，
4dv x
dt
所以重解为稳定的。
§ 5.4 几乎线性系统解的稳定性
5.4.1 平面几乎线性系统和稳定性
5.4.2 高维几乎线性微分方程组的稳定性目录 上页 下页 返回 结束
1 稳定性的概念主要研究系统处值变化不大时的解在无限区间
0,t
上的变化情况，变化不大，称为系统是 稳定 的，变化大,不稳定 。
在实际中，是有很重要的意义的。
比如说火箭的发射,“差之毫厘，谬以千里”。
目录 上页 下页 返回 结束稳定性的研究工作，贡献最大的是 李雅普诺夫 。他创立了两种方法，第一方法，第二方法，
后者又称为 直接法 。
2 数学上的定义 方程组 满足
(,)dx F t xdt?
00()x t x?
的解。
00 ( 一般与 和 有关 )。?
0t
目录 上页 下页 返回 结束
00()x t x
0x
满足 时,有,()xt
对 则称为方程组的重解 为 稳定 的，
0tt
0x?
否则称为是 不稳定 的。
若重解 稳定，且,0x?
0 0
当 时,
00x
满足初始条件 的解均有：
00()x t x?
目录 上页 下页 返回 结束
lim ( ) 0
t
xt
则称重解为 渐近稳定 的。
如果解 是渐近稳定的,一切 区域,0x D
只要
2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2(,) 2 ( )V x x x x x x x x
就有：
00l i m (,,) 0t x t t x
目录 上页 下页 返回 结束则称区域 为解 的 渐近稳定域 或 吸收域 。D 0x?
若渐近稳定域是全空间的,则称解为 全局渐近全局渐近稳定的 。
目录 上页 下页 返回 结束
3.稳定性的判断 （ 李维普诺夫第二方法 ）
1>.定量函数设 为定义在 上的单
12( ) (,..,)nV x V x x x? xH?
值连续函数，并且有连续偏导数,(0) 0V?
若在域 内有,xH? ( ) 0 ( 0 )Vx
则称 为 常正 (常负 )的。若对于一切 有
()Vx 0x?
目录 上页 下页 返回 结束
( ) 0 ( 0 )Vx 则称 是 正定（负定） 的，习()Vx
惯上称为 V函数 。
例 为 正定函数 。
221 2 1 2(,)V x x x x
2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2(,) 2 ( )V x x x x x x x x
是 常定的 。
2>.V关于方程组的全导数目录 上页 下页 返回 结束把解带入 函数中，对 函数关于 求导得到V V
t
12
12
...,n
n
dxd x d xd v v v v
d t x d t x d t x d t
例,求函数沿平面自治系统的全导数
33
dx
x y x y
dt
dy
xy
dt
( )?
目录 上页 下页 返回 结束解,利用公式得 沿系统的全导数为V
( * )
33
2 2 3 4
( ) ( )
d v v d x v d y
d t x d t y d t
x x y x y y x y
x x y x y x y y
3>.判据
Th1 对系统 (1),若 一个正定函数,? ()Vx
且 沿 (1)的全导数 为常负函数或恒为零，V dv
dt
目录 上页 下页 返回 结束则系统 (1)的零解是稳定的。
Th2 对系统 (1)，若 一个正定函数,?
()Vx
且 沿 (1)的全导数 为负定函数，则系统 (1)的V dv
dt
零解 是渐近稳定的 。
目录 上页 下页 返回 结束例,
33
2
2
2
dv
xy
dt
dy
xy
dt
解 取 为正定的，221(,) ( )
2V x y x y
且 是常负的，
4dv x
dt
所以重解为稳定的。
