§ 3.4 奇 解一、包络和 奇解
1 包络的定义定义 1,对于给定的一个单参数曲线族：
)23.3(,0),,( cyx
,,,),,(,的连续可微函数是是参数其中 cyxcyxc?
曲线族 (3.23)的 包络 是指这样的曲线,它本身不包含在曲线 (3.23)中,但过这曲线的每一点有 (3.23)中的一条曲线和它在这点相切,
对于给定的一个单参数曲线族：
0),,(, cyxl c
其中 RIc 为参数,若存在一条曲线
,l
满足下列条件,
(1)
;Iccll
(2) 对任意的
,,00 lyx?
存在唯一的
,0 Ic?
使得
000,clyx?
且
l 与
0cl
在 有相同的切线,
则称
l 为曲线族 0),,(, cyxl c 的一条包络线,
简称为包络,
00,xy
或定义：
例如 单参数曲线族：
222)( Rycx
（其中 R是常数,c是参数）表示圆心为（ c,0）而半径等于 R的一族圆,如图
R
从图形可见,此曲线族的包络显然为,
.RyRy 和注,并不是每个曲线族都有包络,
例如,单参数曲线族,
222 cyx
(其中 c为参数 )表示一族同心圆,
如图从图形可见,此曲线族没有包络,
问题,对于给定的单参数曲线族,
0),,( cyx
.是参数其 Ic?
如何判断它是否有包络? 如果有包络,如何求?
根据定义,假设该单参数曲线族有包络,l 则对任意的
,,lyx? 存在唯一的,Ic? 使得,,clyx?
于是得到对应关系,
,,Ilc?
).,(),( yxcyx?
从而得到二元函数 lyxyxcc ),(),,( 使得
.),(,0)),(,,( lyxyxcyx
若 l 可用参数形式表示为,
),(
),(
),(
t
ty
tx
记
),())(),(( tcttcc
则
),(,0))(),(),(( ttctt
于是,
.0 dtdcdtddtd cyx
l 上任取一个固定点 M,则 M在某一条曲线 cl 上,
由于
l 与
cl
在 M点有相同的切线,而 l 与
cl
在 M点的切线的斜率分别为
dx
dy
与
,
y
x
所以,有从而
.0 dtdcc
,0 dtddtd yx
由于在 l 上不同的点也在不同的
cl
上,即
,0?dtdc
因此
.0 c
现在因此,包络线 l 任意一点 M不仅要满足,0),,( cyx
而且还要满足
.0),,( cyxc
把联立方程组,
0),,(
0),,(
cyx
cyx
c
中消去参数 c得到的方程 F(x,y)=0所表示的曲线
*l
称为曲线族
Iccl? 的 c-判别曲线
0),,(
0),,(
' cyx
cyx
c
的称为曲线 )23.3(0),(?yxF
2 包络的求法曲线族 (3.23)的包络包含在下列两方程
,0),( 之中而得到的曲线消去参数?yxFc
.判别曲线?c
.还有其它曲线判别曲线有时除包络外?c注,
)23.3(,0),,( cyx
解,记
,0)(
3
2)(),,( 32 cxcycyx
则
)31.3(0)()(
)30.3(0)(
3
2
)(
2
32
cxcy
cxcy
得代入把为了消去 )30.3()31.3(,c
0)(
3
2)( 34 cxcx
即例 1,的包络,求曲线族
0)(32)( 32 cxcy
0]
3
2)[()( 3 cxcx
,不是包络容易验证 xy?
因此 c-判别曲线包括两条曲线 (3.32)和 (3.33),
)32.3(xy?
得从 0 cx
得从 0
3
2 cx
)33.3(
9
2 xy
0]
3
2)[()( 3 cxcx
.92 是包络而直线 xy
x
y
O
例 2,求直线族,0s i nc o s pyx 的包络,
这里? 是参数,p 是常数,
解,记,0s i nc o s),,( pyxyx 则
.0c oss i n
,0s i nc os
yx
pyx
消去参数,? 得
.222 pyx
0s i nc o s pyx 的 c-判别曲线,
经验证
222 pyx 是曲线族
0s i nc o s pyx
的包络,如图,
O
p
x
y
3 奇解定义 2,微分方程的某一解称为 奇解,如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在,
注,一阶微分方程的通解的包络一定是奇解 ;反之微分方程的奇解 (若存在 )也是微分方程的包络,
例如,
的解为方程
2
)(
2
2 x
dx
dyx
dx
dyy
2
2,,
2
xy c x c c 为参数,
4
2
也是方程的解此外 xy?
.,
24
22
因此它为奇解的包络是通解 ccxxyxy
4 奇解的求法
)34.3(,0),,(?dxdyyxF
方程的奇解包含在由方程组
'
(,,) 0
( 3,3 4 )
(,,) 0p
F x y p
F x y p
,0),( 之中而得到的曲线消去参数 yxp
的此曲线称为 )34.3(,判别曲线?p
.,尚需进一步讨论奇解判别曲线是否为方程的?p注,
.,,),,( 的连续可微函数是这里 pyxpyxF
例 3,求微分方程
012
2
y
dx
dy 的奇解,
解,从
.02
,0122
p
yp
消去 p(实际上 p=0),得到 p-判别曲线,12?y
即,1y
为任常数ccxy ),s i n(
.,1 且正好是通解的包络也是微分方程的解而y
由于方程的通解为,
.11 是方程的奇解和两曲线 yy
三、克莱罗（ Clairaut）方程
1 定义 3,形如
dx
dyf
dx
dyxy
的方程,称为 克莱罗 (Clairaut)方程,
.)( 的连续可微函数是这里 ppf
为求它的解,
令,
dx
dyp? 得 ).( pfxpy
即得代入并以求导两边对,,p
dx
dyx?
,)(' dxdppfpdxdpxp
经化简,得
.0)]('[ pfx
dx
dp
2 克莱罗 (Clairaut)方程的求解
dx
dyf
dx
dyxy
这是 y已解出的一阶微分方程,
如果
,0?dxdp
则得到,cp?,0)]('[ pfx
dx
dp
于是,Clairaut方程的通解为,
).( cfcxy
如果
,0)(' pfx
它与等式 )( pfxpy 联立,
则得到 Clairaut方程的以 p为参数的解,
)(
0)('
pfxpy
pfx 或
)(
0)('
cfxcy
cfx 其中 c为参数,
消去参数 p便得方程的一个解,
结果,Clairaut方程
dx
dyf
dx
dyxy
的通解 )( cfcxy 是一直线族,此直线族的包络
)(
0)('
pfxpy
pfx 或
)(
0)('
cfxcy
cfx
是 Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解,
如果令
,0)(),,( ycfxccyx
则,0)('),,(' cfxcyx
c
因此,求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样,
易验证,此参数曲线恰为通解的包络例 4,求解方程
.
'
1'
y
xyy
解,这是 Clairaut方程,
因而它有通解,
.1
c
cxy
其中
.
'
1)'(
y
yf?
因为
,1)( ccf?
所以
.1)(' 2ccf
从
c
cxy
c
x
1
0
1
2
中消去参数 c,得到原方程的奇解,
.42 xy?
x
y
O
xy 42?
.42 xy?
如图,
故,此方程的通解是直线族,
,1
c
cxy
而奇解是通解的包络,
作业
P99 (一 ) 1,4; (二 ) 1; (三 )
1 包络的定义定义 1,对于给定的一个单参数曲线族：
)23.3(,0),,( cyx
,,,),,(,的连续可微函数是是参数其中 cyxcyxc?
曲线族 (3.23)的 包络 是指这样的曲线,它本身不包含在曲线 (3.23)中,但过这曲线的每一点有 (3.23)中的一条曲线和它在这点相切,
对于给定的一个单参数曲线族：
0),,(, cyxl c
其中 RIc 为参数,若存在一条曲线
,l
满足下列条件,
(1)
;Iccll
(2) 对任意的
,,00 lyx?
存在唯一的
,0 Ic?
使得
000,clyx?
且
l 与
0cl
在 有相同的切线,
则称
l 为曲线族 0),,(, cyxl c 的一条包络线,
简称为包络,
00,xy
或定义：
例如 单参数曲线族：
222)( Rycx
（其中 R是常数,c是参数）表示圆心为（ c,0）而半径等于 R的一族圆,如图
R
从图形可见,此曲线族的包络显然为,
.RyRy 和注,并不是每个曲线族都有包络,
例如,单参数曲线族,
222 cyx
(其中 c为参数 )表示一族同心圆,
如图从图形可见,此曲线族没有包络,
问题,对于给定的单参数曲线族,
0),,( cyx
.是参数其 Ic?
如何判断它是否有包络? 如果有包络,如何求?
根据定义,假设该单参数曲线族有包络,l 则对任意的
,,lyx? 存在唯一的,Ic? 使得,,clyx?
于是得到对应关系,
,,Ilc?
).,(),( yxcyx?
从而得到二元函数 lyxyxcc ),(),,( 使得
.),(,0)),(,,( lyxyxcyx
若 l 可用参数形式表示为,
),(
),(
),(
t
ty
tx
记
),())(),(( tcttcc
则
),(,0))(),(),(( ttctt
于是,
.0 dtdcdtddtd cyx
l 上任取一个固定点 M,则 M在某一条曲线 cl 上,
由于
l 与
cl
在 M点有相同的切线,而 l 与
cl
在 M点的切线的斜率分别为
dx
dy
与
,
y
x
所以,有从而
.0 dtdcc
,0 dtddtd yx
由于在 l 上不同的点也在不同的
cl
上,即
,0?dtdc
因此
.0 c
现在因此,包络线 l 任意一点 M不仅要满足,0),,( cyx
而且还要满足
.0),,( cyxc
把联立方程组,
0),,(
0),,(
cyx
cyx
c
中消去参数 c得到的方程 F(x,y)=0所表示的曲线
*l
称为曲线族
Iccl? 的 c-判别曲线
0),,(
0),,(
' cyx
cyx
c
的称为曲线 )23.3(0),(?yxF
2 包络的求法曲线族 (3.23)的包络包含在下列两方程
,0),( 之中而得到的曲线消去参数?yxFc
.判别曲线?c
.还有其它曲线判别曲线有时除包络外?c注,
)23.3(,0),,( cyx
解,记
,0)(
3
2)(),,( 32 cxcycyx
则
)31.3(0)()(
)30.3(0)(
3
2
)(
2
32
cxcy
cxcy
得代入把为了消去 )30.3()31.3(,c
0)(
3
2)( 34 cxcx
即例 1,的包络,求曲线族
0)(32)( 32 cxcy
0]
3
2)[()( 3 cxcx
,不是包络容易验证 xy?
因此 c-判别曲线包括两条曲线 (3.32)和 (3.33),
)32.3(xy?
得从 0 cx
得从 0
3
2 cx
)33.3(
9
2 xy
0]
3
2)[()( 3 cxcx
.92 是包络而直线 xy
x
y
O
例 2,求直线族,0s i nc o s pyx 的包络,
这里? 是参数,p 是常数,
解,记,0s i nc o s),,( pyxyx 则
.0c oss i n
,0s i nc os
yx
pyx
消去参数,? 得
.222 pyx
0s i nc o s pyx 的 c-判别曲线,
经验证
222 pyx 是曲线族
0s i nc o s pyx
的包络,如图,
O
p
x
y
3 奇解定义 2,微分方程的某一解称为 奇解,如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在,
注,一阶微分方程的通解的包络一定是奇解 ;反之微分方程的奇解 (若存在 )也是微分方程的包络,
例如,
的解为方程
2
)(
2
2 x
dx
dyx
dx
dyy
2
2,,
2
xy c x c c 为参数,
4
2
也是方程的解此外 xy?
.,
24
22
因此它为奇解的包络是通解 ccxxyxy
4 奇解的求法
)34.3(,0),,(?dxdyyxF
方程的奇解包含在由方程组
'
(,,) 0
( 3,3 4 )
(,,) 0p
F x y p
F x y p
,0),( 之中而得到的曲线消去参数 yxp
的此曲线称为 )34.3(,判别曲线?p
.,尚需进一步讨论奇解判别曲线是否为方程的?p注,
.,,),,( 的连续可微函数是这里 pyxpyxF
例 3,求微分方程
012
2
y
dx
dy 的奇解,
解,从
.02
,0122
p
yp
消去 p(实际上 p=0),得到 p-判别曲线,12?y
即,1y
为任常数ccxy ),s i n(
.,1 且正好是通解的包络也是微分方程的解而y
由于方程的通解为,
.11 是方程的奇解和两曲线 yy
三、克莱罗（ Clairaut）方程
1 定义 3,形如
dx
dyf
dx
dyxy
的方程,称为 克莱罗 (Clairaut)方程,
.)( 的连续可微函数是这里 ppf
为求它的解,
令,
dx
dyp? 得 ).( pfxpy
即得代入并以求导两边对,,p
dx
dyx?
,)(' dxdppfpdxdpxp
经化简,得
.0)]('[ pfx
dx
dp
2 克莱罗 (Clairaut)方程的求解
dx
dyf
dx
dyxy
这是 y已解出的一阶微分方程,
如果
,0?dxdp
则得到,cp?,0)]('[ pfx
dx
dp
于是,Clairaut方程的通解为,
).( cfcxy
如果
,0)(' pfx
它与等式 )( pfxpy 联立,
则得到 Clairaut方程的以 p为参数的解,
)(
0)('
pfxpy
pfx 或
)(
0)('
cfxcy
cfx 其中 c为参数,
消去参数 p便得方程的一个解,
结果,Clairaut方程
dx
dyf
dx
dyxy
的通解 )( cfcxy 是一直线族,此直线族的包络
)(
0)('
pfxpy
pfx 或
)(
0)('
cfxcy
cfx
是 Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解,
如果令
,0)(),,( ycfxccyx
则,0)('),,(' cfxcyx
c
因此,求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样,
易验证,此参数曲线恰为通解的包络例 4,求解方程
.
'
1'
y
xyy
解,这是 Clairaut方程,
因而它有通解,
.1
c
cxy
其中
.
'
1)'(
y
yf?
因为
,1)( ccf?
所以
.1)(' 2ccf
从
c
cxy
c
x
1
0
1
2
中消去参数 c,得到原方程的奇解,
.42 xy?
x
y
O
xy 42?
.42 xy?
如图,
故,此方程的通解是直线族,
,1
c
cxy
而奇解是通解的包络,
作业
P99 (一 ) 1,4; (二 ) 1; (三 )
