§ 1.2 基本概念定义 1,联系自变量,未知函数及 未知函数导数 （ 或微分 ） 的关系式称为微分方程,; 2 )1( xdxdy? ; 0 ( 2) y dxx dy; 0 )3(
3
2
2
x
dt
dxtx
dt
xd ; s i n35 )4(
2
2
4
4
txdt xddt xd; )5( zyzxz,0 )6(
2
2
2
2
uzyx
y
u
x
u
例 1,下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，
则这样的微分方程称为 常微分方程,;2 )1( x
dx
dy? ; 0 ( 2) y dxx dy;0 )3(
3
2
2
x
dt
dxtx
dt
xd;s i n35 )4( 2
2
4
4
txdt xddt xd
都是常微分方程
1.常微分方程如如果在一个 微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为 偏微分方程,; )5( zyzxz
,0 )6( 2
2
2
2
uzyxy ux u
注,本课程主要研究常微分方程,同时把常微分方程简称为微分方程或方程,
2.偏微分方程如都是偏微分方程,
定义 2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的 阶 数称为微分方程的阶数,
2 )1( xdxdy?
是一阶微分方程 ；
0 ( 2) y dxx dy
是二阶微分方程； 0 )3( 3
2
2
x
dt
dxtx
dt
xd
是四阶微分方程,s i n35 )4(
2
2
4
4
txdt xddt xd
二、微分方程的阶如,
)1(0),,
dx
dyy,F ( x,?
n
n
dx
yd?
n阶微分方程的一般形式为
.,,
,,,
dx
dy
y,x,0),,
dx
dy
y,F ( x,
是自变量是未知函数而且一定含有的已知函数是这里
xy
dx
yd
dx
yd
dx
yd
n
n
n
n
n
n
2 )1( xdxdy?
是线性微分方程,
0 ( 2) y dxx dy
s i n35 )4( 2
2
4
4
txdt xddt xd
三 线性和非线性
0),,
dx
dyy,F ( x,?
n
n
dx
yd?
如
.
,,,
dx
dy
y
阶线性方程则称其为的一次有理式及的左端为
n
dx
yd
n
n
1.如果方程是非线性微分方程,
如 0 )3( 3
2
2
x
dt
dxtx
dt
xd
2.n阶线性微分方程的一般形式
1
1 1( ) ( ) ( ) ( 2 )
nn
nnn
d y d ya x a x y f x
d x d x
.)(),(),(1 的已知函数是这里 xxfxaxa n?
不是线性方程的方程称为非线性方程四 微分方程的解定义 4,,),( 满足条件如果函数 Ixxy;)()1( 阶的连续导数上有直到在 nIxy
,0))(),(),(,(:)2( ' xxxxFIx n有对
.
0),,
dx
dy
y,F ( x,( x )y
上的一个解在为方程则称
I
dx
yd
n
n
例 2
.),(0y
c os xys i nx,y
" 上的一个解在都是微分方程验证
y
证明,由于对 s in x,y?
xs i nyc o s x,y "'
(,),x故 对 有
yy " xs in? 0?xs in?
.),(0ys i n xy " 上的一个解在是微分方程故 y
.),(0yxc o sy " 上的一个解在是微分方程同理 y
1 显式解与隐式解是方程的一个则称的解为方程所确定的隐函数如果关系式
0),(,
0),,
dx
dy
y,F ( x,
Ix( x ),y
0),(
yx
dx
yd
yx
n
n
相应定义 4所定义的解为方程的一个 显式解,
隐式解,
注,显式解与隐式解统称为 微分方程的解,
例如
y
x
dx
dy对一阶微分方程有显式解,
221 1,y x y x和和隐式解,
.122 yx
2 通解与特解定义 5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的 相互独立的 任意常数的 个数 与微分方程的阶数 相同,则称这样的解为该方程的 通解,
例如,为任常数
2121,cc o s x,s i n xy ccc
.0y " 的通解是微分方程 y
n阶微分方程通解的一般形式为
),,,( 1 nccxy
.,,1 为相互独立的任常数其中 ncc?
注 1:
使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数
,),,,(
,),,,(
1
1
n
n
ccx
nccxy
0
),,,(
),,,(
)1(
2
)1(
1
)1(
'
2
'
1
'
21
21
)1('
n
nnn
n
n
n
n
ccc
ccc
ccc
ccc
.)( k
k
k
dx
d 表示其中例 3
.62y2y
3cy
'"'"
2
321
的通解是微分方程验证
yy
ecece xxx
xxx ecece 2321' 2cy
证明,由于
,4cy 2321'' xxx ecece
xxx ecece 2321''' 8cy
故 yy 2y2y '"'"
)2(c 2321 xxx ecece
)8(c 2321 xxx ecece )4(c2 2321 xxx ecece
)32 ( c 2321 xxx ecece
6?
xe)c2cc2c( 1111 xecccc )22(- 2222
xecccc 23333 )228(8 6?
.62y2y
3cy
'"'"
2
321
的通解是微分方程故
yy
ecece xxx
又由于
3
''
3
''
1
''
3
'
2
'
1
'
321
ccc
ccc
ccc
2
22
2
26
4
x x x
x x x x
x x x
e e e
e e e e
e e e
0?
.62y2y
3cy
'"'"
2
321
的解微分方程是故
yy
ecece xxx
注 2:
.
),,,(,
0),,,,(
),,,(
1
1
该微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的
n
n
n
n
ccxy
dx
yd
dx
dy
yxF
ccxy
注 3,类似可定义方程的 隐式通解,
如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解,
以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的 通解,
在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的 特解,
例如
.0yc o s xys i n x,y " 的特解都是方程 y
中分别取可在通解 c o s xs i n xy 21 cc
:,0,1c 21 得到 c
:,1,0c 21 得到 c
s in x,y?
c o s x,y?
定义 6
3 定解条件为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为 定解条件,
求满足定解条件的求解问题称为 定解问题,
常见的定解条件是 初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的 n个条件,
)1(
01
)1(
)1(
000,,,,xx
nn
n
y
dx
ydy
dx
dyyy?时当
.1,,,,)1(0)1(000 个常数是给定的这里 nyyyx n?
当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为 初值问题,
注 1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为
)1(
01
0
)1(
)1(
0
0
00
)(,,)(,)(?
nn
n
y
dx
xydy
dx
xdyyxy?
通常记为问题的解的初值问题也称满足条件阶微分方程求
,
)(
,,
)(
,)(
,0),,,,(:
)1(
01
0
)1(
)1(
0
0
00
C a u c h y
y
dx
xyd
y
dx
xdy
yxy
dx
yd
dx
dy
yxFn
n
n
n
n
n
注 2:
0),,,,(?n
n
dx
yd
dx
dyyxF?
)1(
01
0
)1(
)1(
0
0
00
)(,,)(,)(?
nn
n
ydx xydydx xdyyxy?
例 4
.1)0(,2)0(,
045yecy
'
'"- 4 x
21
的特解并求满足初始条件的通解是方程验证
yy
yyce x
yy 45y '"
"- 4 x21 )ec( ce x
)e16c( - 4x21 ce x
0?
'- 4x21 )ec(5 ce x )ec(4 - 4 x21 ce x
)e4c(5 - 4x21 ce x )ec(4 - 4 x21 ce x
解 由于且
xx
xx
ee
ee
4
4
4
2
'
1
'
21
cc
cc
0?
.045yecy '"- 4x21 的通解是方程故 yyce x
有由初始条件 1)0(,2)0( ' yy
221 cc
14 21 cc?
解以上方程组得 1,3
21 cc
的特解为满足初始条件故方程
1)0(,2)0(
045y
'
'"
yy
yy
- 4 xe3y xe
五 积分曲线和方向场
1 积分曲线一阶微分方程
),(
dx
dy yxf?
,( x )y 平面上的一条曲线所表示的解 xy
称为微分方程的 积分曲线,
.
,c)( x,y
族称这族曲线为积分曲线平面上的一族曲线对应而其通解 xy
2 方向场
),(
dx
dy
,),(,),(
,),(,),(
yxfD
yxyxf
yxDDyxf
为方程有这种直线段的区域称带点的线段中心在的值为斜率上一个以都画处内每一点在的定义域为设函数在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为 等斜线,
所规定的 方向场,
.,),(,),(dxdy 为参数其中的等斜线为方程 kkyxfyxf
例 5
.dxdy 的方向场研究方程 xy
例 6
.
dx
dy
}2,2|),{(
的方向场和积分曲线内画出方程在区域
y
yxyxD
积分曲线方向场方向场示意图 积分曲线例 7
.dxdy 2 的方向场和积分曲线研究方程 yx
3
2
2
x
dt
dxtx
dt
xd ; s i n35 )4(
2
2
4
4
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2
2
2
2
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y
u
x
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例 1,下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，
则这样的微分方程称为 常微分方程,;2 )1( x
dx
dy? ; 0 ( 2) y dxx dy;0 )3(
3
2
2
x
dt
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2
4
4
txdt xddt xd
都是常微分方程
1.常微分方程如如果在一个 微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为 偏微分方程,; )5( zyzxz
,0 )6( 2
2
2
2
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注,本课程主要研究常微分方程,同时把常微分方程简称为微分方程或方程,
2.偏微分方程如都是偏微分方程,
定义 2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的 阶 数称为微分方程的阶数,
2 )1( xdxdy?
是一阶微分方程 ；
0 ( 2) y dxx dy
是二阶微分方程； 0 )3( 3
2
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是四阶微分方程,s i n35 )4(
2
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4
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二、微分方程的阶如,
)1(0),,
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n
n
dx
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n阶微分方程的一般形式为
.,,
,,,
dx
dy
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是自变量是未知函数而且一定含有的已知函数是这里
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n
n
n
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2 )1( xdxdy?
是线性微分方程,
0 ( 2) y dxx dy
s i n35 )4( 2
2
4
4
txdt xddt xd
三 线性和非线性
0),,
dx
dyy,F ( x,?
n
n
dx
yd?
如
.
,,,
dx
dy
y
阶线性方程则称其为的一次有理式及的左端为
n
dx
yd
n
n
1.如果方程是非线性微分方程,
如 0 )3( 3
2
2
x
dt
dxtx
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xd
2.n阶线性微分方程的一般形式
1
1 1( ) ( ) ( ) ( 2 )
nn
nnn
d y d ya x a x y f x
d x d x
.)(),(),(1 的已知函数是这里 xxfxaxa n?
不是线性方程的方程称为非线性方程四 微分方程的解定义 4,,),( 满足条件如果函数 Ixxy;)()1( 阶的连续导数上有直到在 nIxy
,0))(),(),(,(:)2( ' xxxxFIx n有对
.
0),,
dx
dy
y,F ( x,( x )y
上的一个解在为方程则称
I
dx
yd
n
n
例 2
.),(0y
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" 上的一个解在都是微分方程验证
y
证明,由于对 s in x,y?
xs i nyc o s x,y "'
(,),x故 对 有
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.),(0ys i n xy " 上的一个解在是微分方程故 y
.),(0yxc o sy " 上的一个解在是微分方程同理 y
1 显式解与隐式解是方程的一个则称的解为方程所确定的隐函数如果关系式
0),(,
0),,
dx
dy
y,F ( x,
Ix( x ),y
0),(
yx
dx
yd
yx
n
n
相应定义 4所定义的解为方程的一个 显式解,
隐式解,
注,显式解与隐式解统称为 微分方程的解,
例如
y
x
dx
dy对一阶微分方程有显式解,
221 1,y x y x和和隐式解,
.122 yx
2 通解与特解定义 5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的 相互独立的 任意常数的 个数 与微分方程的阶数 相同,则称这样的解为该方程的 通解,
例如,为任常数
2121,cc o s x,s i n xy ccc
.0y " 的通解是微分方程 y
n阶微分方程通解的一般形式为
),,,( 1 nccxy
.,,1 为相互独立的任常数其中 ncc?
注 1:
使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数
,),,,(
,),,,(
1
1
n
n
ccx
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0
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d 表示其中例 3
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2
321
的通解是微分方程验证
yy
ecece xxx
xxx ecece 2321' 2cy
证明,由于
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xxx ecece 2321''' 8cy
故 yy 2y2y '"'"
)2(c 2321 xxx ecece
)8(c 2321 xxx ecece )4(c2 2321 xxx ecece
)32 ( c 2321 xxx ecece
6?
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xecccc 23333 )228(8 6?
.62y2y
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2
321
的通解是微分方程故
yy
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又由于
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yy
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注 2:
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1
该微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的
n
n
n
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ccxy
dx
yd
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注 3,类似可定义方程的 隐式通解,
如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解,
以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的 通解,
在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的 特解,
例如
.0yc o s xys i n x,y " 的特解都是方程 y
中分别取可在通解 c o s xs i n xy 21 cc
:,0,1c 21 得到 c
:,1,0c 21 得到 c
s in x,y?
c o s x,y?
定义 6
3 定解条件为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为 定解条件,
求满足定解条件的求解问题称为 定解问题,
常见的定解条件是 初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的 n个条件,
)1(
01
)1(
)1(
000,,,,xx
nn
n
y
dx
ydy
dx
dyyy?时当
.1,,,,)1(0)1(000 个常数是给定的这里 nyyyx n?
当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为 初值问题,
注 1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为
)1(
01
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)(,,)(,)(?
nn
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通常记为问题的解的初值问题也称满足条件阶微分方程求
,
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y
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y
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注 2:
0),,,,(?n
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dx
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01
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00
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ydx xydydx xdyyxy?
例 4
.1)0(,2)0(,
045yecy
'
'"- 4 x
21
的特解并求满足初始条件的通解是方程验证
yy
yyce x
yy 45y '"
"- 4 x21 )ec( ce x
)e16c( - 4x21 ce x
0?
'- 4x21 )ec(5 ce x )ec(4 - 4 x21 ce x
)e4c(5 - 4x21 ce x )ec(4 - 4 x21 ce x
解 由于且
xx
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ee
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4
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1
'
21
cc
cc
0?
.045yecy '"- 4x21 的通解是方程故 yyce x
有由初始条件 1)0(,2)0( ' yy
221 cc
14 21 cc?
解以上方程组得 1,3
21 cc
的特解为满足初始条件故方程
1)0(,2)0(
045y
'
'"
yy
yy
- 4 xe3y xe
五 积分曲线和方向场
1 积分曲线一阶微分方程
),(
dx
dy yxf?
,( x )y 平面上的一条曲线所表示的解 xy
称为微分方程的 积分曲线,
.
,c)( x,y
族称这族曲线为积分曲线平面上的一族曲线对应而其通解 xy
2 方向场
),(
dx
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,),(,),(
,),(,),(
yxfD
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为方程有这种直线段的区域称带点的线段中心在的值为斜率上一个以都画处内每一点在的定义域为设函数在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为 等斜线,
所规定的 方向场,
.,),(,),(dxdy 为参数其中的等斜线为方程 kkyxfyxf
例 5
.dxdy 的方向场研究方程 xy
例 6
.
dx
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}2,2|),{(
的方向场和积分曲线内画出方程在区域
y
yxyxD
积分曲线方向场方向场示意图 积分曲线例 7
.dxdy 2 的方向场和积分曲线研究方程 yx
