第二章 一阶微分方程的初等解法
§ 2.1 变量分离方程与变量变换
yxye
dx
dy
122 yx
dx
dy
先看例子：
xy eye?
定义 1 形如
)1.2()()( yxf
dx
dy
方程,称为 变量分离方程,
.,)(),( 的连续函数分别是这里 yxyxf?
),( yxFdxdy?
一、变量分离方程的求解
,1 0 分离变量
,)(
)(
dxxf
y
dy?
这样变量就“分离”开了,
)2.2()(
)(
cdxxf
y
dy
的某一原函数)(1 y?
的某一原函数)( xf
.)1.2(),()2.2( 的解就为所确定的函数由 cxy
)1.2()()( yxfdxdy
两边积分得02
写成将时当 )1.2(,0)(?y?
例：
122 yxdxdy
dxxy dy 22 1
Cdxxy dy 22 1
Cxy 3
3
1a r c t a n
分离变量,
两边积分,
.,)2.2(
,)1.2(,0)(,000
必须予以补上的通解中它不包含在方程可能的解也是则使若存在 yyyy
注,
例 1 求微分方程
)
10
1( yy
dx
dy
的所有解,
解,
再积分方程两边同除以 ),101( yy?
1
)
10
1(
cdx
y
y
dy
积分得,
110ln cxy
y
得再将常数记为从上式中解出,,cy
,
1
10
xcey
.0?c
,100,0)101( yyyy 和求出方程的所有解为由故方程的所有解为,
,,
1
10 为任常数c
ce
y x?
,0?y和
110ln cxy
y
解,分离变量后得
dx
x
dyy
123
两边积分得,
1
2
1
ln2 cxy
整理后得通解为,
2
1 )( ln
4
cx
y
,
)(ln
4
2cx?
,0,1231 无意义在由于函数其中 xxyec c
.00 之一中有意义或故此解只在 xx
.,,0 应补上这个解未包含在通解中此外还有解?y
例 2
2
3
y
dx
dy
x?
求微分方程 的通解,
例 3 求微分方程
yxpdxdy )(?
.)(,的连续函数是其中的通解 xxp
解,将变量分离后得
dxxp
y
dy )(?
两边积分得,
1)(ln cdxxpy
由对数的定义有
1)( cdxxpey
即
dxxpc eey )(1,)( dxxpce
,0
,0,0
也包括在上式中即知若在上式中充许也是方程的解此外
y
cy
.,)( 为任常数ccey dxxp
故方程的通解为
1)( cdxxpey
例 4,
1)0(
c o s2 的特解求初值问题
y
xy
dx
dy
解,
，xydxdy 的通解先求方程 c o s2?
得将变量分离时当,,0?y xd x
y
dy co s
2?
两边积分得,
,s in1 cxy
因而通解为,,
s in
1
cxy,为任意常数其中 c
.,0 得到的且不能在通解中取适当也是方程的解此外 cy?
再求初值问题的通解,1,1)0( cy 得代入通解以所以所求的特解为,,
s in1
1
1s in
1
xxy
二、可化为变量分离方程类型
（ I） 齐次方程
.,,,,,
,)(
222111
222
111
为任意常数其中的方程形如
cbacba
cybxa
cybxa
f
dx
dy
II
(I) 形如
)5.2()(
x
yg
dx
dy?
.)( 的连续函数是这里 uug方程称为 齐次方程,
求解方法,方程化为引入新变量作变量代换,)(1 0
x
yu?
,)( x uugdxdu )( udx
dux
dx
dy这里由于解以上的变量分离方程02
.3 0 变量还原例 4 求解方程
)0(2 xyxydxdyx
解,方程变形为
)0(2 xxyxydxdy
这是齐次方程,
代入得令 xyu?
uu 2 即 u
dx
dux 2?
将变量分离后得
x
dx
u
du?
2
udxdux?
两边积分得,
cxu )ln (
即 为任意常数ccxcxu,0)l n (,))( l n ( 2
代入原来变量,得原方程的通解为
,
0)l n (,0
0)l n (,])[ l n ( 2
cx
cxcxxy
x
dx
u
du?
2
例 6 求下面初值问题的解
0)1(,)( 22 yx d ydxyxy
解,方程变形为
2)(1
x
y
x
y
dx
dy
这是齐次方程,
代入方程得令 xyu?
21 u
dx
dux
将变量分离后得
x
dx
u
du?
21
两边积分得,
cxuu lnln1ln 2
整理后得 cxuu 21
变量还原得
cx
x
y
x
y 2)(1
.1,0)1( cy 可定出最后由初始条件故初值问题的解为
)1(21 2 xy
x
dx
u
du?
21
(II) 形如
,
222
111
cybxa
cybxa
dx
dy
,,,,,,222111 为常数这里 cbacba
的方程可经过变量变换化为变量分离方程,
分三种情况讨论的情形01 21 cc
)(
22
11
x
y
g
x
y
ba
x
y
ba
ybxa
ybxa
dx
dy
22
11
为齐次方程,由 (I)可化为变量分离方程,
的情形02
21
21?
bb
aa
则方程可改写成设,
2
1
2
1 k
b
b
a
a
222
111
cybxa
cybxa
dx
dy
则方程化为令,22 ybxau
dxdu
)( 22 ybxaf
222
122 )(
cybxa
cybxak
)(22 ufba
dx
dyba
22?
这就是变量分离方程不同时为零的情形与且 21
21
21 03 cc
bb
aa
,
0
0
222
111
cybxa
cybxa
则
).0,0(),(,解以上方程组得交点平面两条相交的直线代表 xy
作变量代换 (坐标变换 )
,
yY
xX
则方程化为
YbXa
YbXa
dX
dY
22
11
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解,
解的步骤,
,
0
0
1
222
1110
cybxa
cybxa
解方程组,
y
x
得解方程化为作变换,2 0
yY
xX
YbXa
YbXa
dX
dY
22
11
)(
X
Yg?
离方程将以上方程化为变量分再经变换,3 0 XYu?
求解04
变量还原05
例 7 求微分方程
3
1
yx
yx
dx
dy 的通解,
解,解方程组
03
01
yx
yx,2,1 yx得代入方程得令 2,1 yYxX
YX
YX
dX
dY
得令,XYu? uudXduX 11
2
X
Y
X
Y
1
1
将变量分离后得
X
dX
u
duu?
21
)1(
两边积分得,
cXuu ln)1l n (
2
1a r c t a n 2
变量还原并整理后得原方程的通解为
.)2()1(ln
1
2a r c t a n 22 cyx
x
y
注,上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型,
)()(
22
11
222
111
X
Yg
YbXa
YbXaf
dX
dY
cybxa
cybxaf
dx
dy?
此外,诸如
)( cbyaxf
dx
dy
0)()( dyxyxgdxxyyf
)(2 xyf
dx
dyx?
)( 2
x
yxf
dx
dy?
cbyaxu
xyu
2x
yu
xyu
以及
0))(,())(,( y d xx d yyxNy d yx d xyxM
.,
),,,(
变量分离方程均可适当变量变换化为些类型的方程等一次数可以不相同的齐次函数为其中 yxNM
例 8 求微分方程
0)()( 22 dyyxxdxxyy
的通解,
解,
,xyu?令 y d xx d ydu则代入方程并整理得
0))(1()1( u d xx d uudxuu
即 0)1(2
2 duuxdxu
分离变量后得
x
dxdu
u
u 21
2?
两边积分得
cxu
u
2lnln1
变量还原得通解为
.ln
1
c
y
x
xy
三、应用举例例 8,雪球的融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，
且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为 6cm，经过 2小时后，其半径缩小为 3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。
解,则表面积为雪球的体积为设在时刻 ),(),( tstvt
)()( tks
dt
tdv
根据球体的体积和表面积的关系得
)(3)4()( 3
2
3
2
3
1
tvts
再利用题中条件得引入新常数,3)4( 3
2
3
1
k
3
2
3
2
3
1
3)4( vk
dt
dv
36)2(,2 8 8)0( vv
,3
2
v
分离变量并积分得方程的通解为
.)(
27
1)( 3tctv
由初始条件得
33
6
9,
6
36c
代入得雪球的体积随时间的变化关系为
.)312(
6
)( 3ttv
].4,0[,?t实际问题要求注
§ 2.1 变量分离方程与变量变换
yxye
dx
dy
122 yx
dx
dy
先看例子：
xy eye?
定义 1 形如
)1.2()()( yxf
dx
dy
方程,称为 变量分离方程,
.,)(),( 的连续函数分别是这里 yxyxf?
),( yxFdxdy?
一、变量分离方程的求解
,1 0 分离变量
,)(
)(
dxxf
y
dy?
这样变量就“分离”开了,
)2.2()(
)(
cdxxf
y
dy
的某一原函数)(1 y?
的某一原函数)( xf
.)1.2(),()2.2( 的解就为所确定的函数由 cxy
)1.2()()( yxfdxdy
两边积分得02
写成将时当 )1.2(,0)(?y?
例：
122 yxdxdy
dxxy dy 22 1
Cdxxy dy 22 1
Cxy 3
3
1a r c t a n
分离变量,
两边积分,
.,)2.2(
,)1.2(,0)(,000
必须予以补上的通解中它不包含在方程可能的解也是则使若存在 yyyy
注,
例 1 求微分方程
)
10
1( yy
dx
dy
的所有解,
解,
再积分方程两边同除以 ),101( yy?
1
)
10
1(
cdx
y
y
dy
积分得,
110ln cxy
y
得再将常数记为从上式中解出,,cy
,
1
10
xcey
.0?c
,100,0)101( yyyy 和求出方程的所有解为由故方程的所有解为,
,,
1
10 为任常数c
ce
y x?
,0?y和
110ln cxy
y
解,分离变量后得
dx
x
dyy
123
两边积分得,
1
2
1
ln2 cxy
整理后得通解为,
2
1 )( ln
4
cx
y
,
)(ln
4
2cx?
,0,1231 无意义在由于函数其中 xxyec c
.00 之一中有意义或故此解只在 xx
.,,0 应补上这个解未包含在通解中此外还有解?y
例 2
2
3
y
dx
dy
x?
求微分方程 的通解,
例 3 求微分方程
yxpdxdy )(?
.)(,的连续函数是其中的通解 xxp
解,将变量分离后得
dxxp
y
dy )(?
两边积分得,
1)(ln cdxxpy
由对数的定义有
1)( cdxxpey
即
dxxpc eey )(1,)( dxxpce
,0
,0,0
也包括在上式中即知若在上式中充许也是方程的解此外
y
cy
.,)( 为任常数ccey dxxp
故方程的通解为
1)( cdxxpey
例 4,
1)0(
c o s2 的特解求初值问题
y
xy
dx
dy
解,
，xydxdy 的通解先求方程 c o s2?
得将变量分离时当,,0?y xd x
y
dy co s
2?
两边积分得,
,s in1 cxy
因而通解为,,
s in
1
cxy,为任意常数其中 c
.,0 得到的且不能在通解中取适当也是方程的解此外 cy?
再求初值问题的通解,1,1)0( cy 得代入通解以所以所求的特解为,,
s in1
1
1s in
1
xxy
二、可化为变量分离方程类型
（ I） 齐次方程
.,,,,,
,)(
222111
222
111
为任意常数其中的方程形如
cbacba
cybxa
cybxa
f
dx
dy
II
(I) 形如
)5.2()(
x
yg
dx
dy?
.)( 的连续函数是这里 uug方程称为 齐次方程,
求解方法,方程化为引入新变量作变量代换,)(1 0
x
yu?
,)( x uugdxdu )( udx
dux
dx
dy这里由于解以上的变量分离方程02
.3 0 变量还原例 4 求解方程
)0(2 xyxydxdyx
解,方程变形为
)0(2 xxyxydxdy
这是齐次方程,
代入得令 xyu?
uu 2 即 u
dx
dux 2?
将变量分离后得
x
dx
u
du?
2
udxdux?
两边积分得,
cxu )ln (
即 为任意常数ccxcxu,0)l n (,))( l n ( 2
代入原来变量,得原方程的通解为
,
0)l n (,0
0)l n (,])[ l n ( 2
cx
cxcxxy
x
dx
u
du?
2
例 6 求下面初值问题的解
0)1(,)( 22 yx d ydxyxy
解,方程变形为
2)(1
x
y
x
y
dx
dy
这是齐次方程,
代入方程得令 xyu?
21 u
dx
dux
将变量分离后得
x
dx
u
du?
21
两边积分得,
cxuu lnln1ln 2
整理后得 cxuu 21
变量还原得
cx
x
y
x
y 2)(1
.1,0)1( cy 可定出最后由初始条件故初值问题的解为
)1(21 2 xy
x
dx
u
du?
21
(II) 形如
,
222
111
cybxa
cybxa
dx
dy
,,,,,,222111 为常数这里 cbacba
的方程可经过变量变换化为变量分离方程,
分三种情况讨论的情形01 21 cc
)(
22
11
x
y
g
x
y
ba
x
y
ba
ybxa
ybxa
dx
dy
22
11
为齐次方程,由 (I)可化为变量分离方程,
的情形02
21
21?
bb
aa
则方程可改写成设,
2
1
2
1 k
b
b
a
a
222
111
cybxa
cybxa
dx
dy
则方程化为令,22 ybxau
dxdu
)( 22 ybxaf
222
122 )(
cybxa
cybxak
)(22 ufba
dx
dyba
22?
这就是变量分离方程不同时为零的情形与且 21
21
21 03 cc
bb
aa
,
0
0
222
111
cybxa
cybxa
则
).0,0(),(,解以上方程组得交点平面两条相交的直线代表 xy
作变量代换 (坐标变换 )
,
yY
xX
则方程化为
YbXa
YbXa
dX
dY
22
11
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解,
解的步骤,
,
0
0
1
222
1110
cybxa
cybxa
解方程组,
y
x
得解方程化为作变换,2 0
yY
xX
YbXa
YbXa
dX
dY
22
11
)(
X
Yg?
离方程将以上方程化为变量分再经变换,3 0 XYu?
求解04
变量还原05
例 7 求微分方程
3
1
yx
yx
dx
dy 的通解,
解,解方程组
03
01
yx
yx,2,1 yx得代入方程得令 2,1 yYxX
YX
YX
dX
dY
得令,XYu? uudXduX 11
2
X
Y
X
Y
1
1
将变量分离后得
X
dX
u
duu?
21
)1(
两边积分得,
cXuu ln)1l n (
2
1a r c t a n 2
变量还原并整理后得原方程的通解为
.)2()1(ln
1
2a r c t a n 22 cyx
x
y
注,上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型,
)()(
22
11
222
111
X
Yg
YbXa
YbXaf
dX
dY
cybxa
cybxaf
dx
dy?
此外,诸如
)( cbyaxf
dx
dy
0)()( dyxyxgdxxyyf
)(2 xyf
dx
dyx?
)( 2
x
yxf
dx
dy?
cbyaxu
xyu
2x
yu
xyu
以及
0))(,())(,( y d xx d yyxNy d yx d xyxM
.,
),,,(
变量分离方程均可适当变量变换化为些类型的方程等一次数可以不相同的齐次函数为其中 yxNM
例 8 求微分方程
0)()( 22 dyyxxdxxyy
的通解,
解,
,xyu?令 y d xx d ydu则代入方程并整理得
0))(1()1( u d xx d uudxuu
即 0)1(2
2 duuxdxu
分离变量后得
x
dxdu
u
u 21
2?
两边积分得
cxu
u
2lnln1
变量还原得通解为
.ln
1
c
y
x
xy
三、应用举例例 8,雪球的融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，
且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为 6cm，经过 2小时后，其半径缩小为 3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。
解,则表面积为雪球的体积为设在时刻 ),(),( tstvt
)()( tks
dt
tdv
根据球体的体积和表面积的关系得
)(3)4()( 3
2
3
2
3
1
tvts
再利用题中条件得引入新常数,3)4( 3
2
3
1
k
3
2
3
2
3
1
3)4( vk
dt
dv
36)2(,2 8 8)0( vv
,3
2
v
分离变量并积分得方程的通解为
.)(
27
1)( 3tctv
由初始条件得
33
6
9,
6
36c
代入得雪球的体积随时间的变化关系为
.)312(
6
)( 3ttv
].4,0[,?t实际问题要求注
