§ 2.3 恰当方程与积分因子一、恰当方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),( yxuu?
dy
y
udx
x
udu
如果我们恰好碰见了方程
0),(),( dyy yxudxx yxu
就可以马上写出它的隐式解
.),( cyxu?
定义 1 使得若有函数 ),,( yxu
dyyxNdxyxMyxdu ),(),(),(
则称微分方程
)1(,0),(),( dyyxNdxyxM
是 恰当方程,,),()1( cyxu?的通解为此时如 0 y dxx dy
0)2()3( 322 dyxyxdxyyx
0)()( dyygdxxf
是恰当方程,
)( xyd
)( 23 xyyxd
))()(( ydygxdxfd
1 恰当方程的定义需考虑的问题
(1) 方程 (1)是否为恰当方程?
(2) 若 (1)是恰当方程,怎样求解?
(3) 若 (1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?
2 方程为恰当方程的充要条件定理 1
则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数
,
),(),(
R
yxNyxM
)1(,0),(),( dyyxNdxyxM
为 恰当方程的充要条件 是
).2(,),(),( x yxNy yxM
)1(,0),(),( dyyxNdxyxM
证明,必要性” 设 (1)是恰当方程,
使得则有函数 ),,( yxu
dy
y
udx
x
uyxdu
),( dyyxNdxyxM ),(),(
故有
),,( yxMxu ),( yxNyu
从而 2
,Mu
y y x
2
.Nu
x x y
从而有都是连续的和由于,
22
yx
u
xy
u
,22
yx
u
xy
u
故
.),(),( x yxNy yxM
,充分性”
，x yxNy yxM ),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,,)5( y
满足则需构造函数 ),,( yxu
)4(,),(),(),( dyyxNdxyxMyxdu
即应满足
)5(),,( yxMxu
)6(),,( yxNyu
).(),(),( ydxyxMyxu?
,)( 的任意可微函数是这里 yy?
y
u
因此
)7(),()( dxyxMyNdy yd?
,)7( 无关的右端与下面证明 x的偏导数常等于零即对 x
事实上
]),([?
dxyxM
y
N
x
]),([?
dxyxM
yxx
N
)6(),,( yxNyu
即同时满足使下面选择 ),6(),( uy?
dy yddxyxMy )(),(?
N?
).(),(),( ydxyxMyxu?
]),([?
dxyxM
xyx
N
y
M
x
N
,0?
积分之得右端的确只含有于是,)7(,y
,]),([)( dydxyxM
y
Ny
故
dxyxMyxu ),(),(,]),([ dydxyxMyN
(8)
。yxu 为恰当方程从而存在即 )1(,),(
)7(),()( dxyxMyNdy yd?
注,若 (1)为恰当方程,则其通解为为任常数ccdydxyxMyNdxyxM,]),([),(
二、恰当方程的求解
1 不定积分法
.
,0),(),(1 0
若是进入下一步是否为恰当方程判断 dyyxNdxyxM
,ydxyxMyxu )(),(),(2 0?求
).(),(3 0 yyxNyu?求由
例 1 验证方程
0)s i n2()( dyyxdxye x
是恰当方程,并求它的通解,
解,(,),(,) 2 sin,xM x y e y N x y x y这 里
(,) 1M x y
y
所 以故所给方程是恰当方程,
满足由于所求函数 ),( yxu
,yexu x,s in2 yx
y
u
积分得对将看作常数只要将由偏导数的定义 xyey x?,,
)()(),( ydxyeyxu x? ).( yyxe x
,),( x yxN
).(),( yyxeyxu x
应满足的方程为得求偏导数关于对 )(,),( yyyxu?
yx
dy
ydx s in2)(
即
y
dy
yd s in2)(
积分后得,,c os2)( yy
故,c o s2),( yyxeyxu x
从而方程的通解为
.co s2 cyyxe x
2 分组凑微法采用,分项组合,的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分,
---应熟记一些简单二元函数的全微分,
如
x dyy dx
2y
xd yyd x
2
x
x d yy d x
),(xyd
),(
y
x
d
),(
x
yd
22 yx
xd yyd x
xy
xd yyd x
22 yx
xd yyd x
|),|(ln
y
x
d
),( ar ct an
y
x
d
).( ln
2
1
yx
yx
d
例 2 求方程 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx 的通解,
解,2 2 2 3(,) 3 6,(,) 6 4,M x y x x y N x y x y y这 里
(,) 12M x y xy
y
所 以故所给方程是恰当方程,把方程重新“分项组合”得
0)66(43 2232 y d yxdxxydyydxx
即 0)33( 222243 dyxdxydydx
或写成
0)3( 2243 yxyxd
故通解为,
。ccyxyx 为任常数,3 2243
,),( x yxN
例 3 验证方程
,0)1()s i n( c o s 22 dyxydxxyxx
是恰当方程,并求它满足初始条件 y(0)=2的解,
解,
),1(),(,s i nc o s),( 22 xyyxNxyxxyxM这里
y yxM ),(
故所给方程是恰当方程,把方程重新,分项组合,得
,0)(s i nc o s 22 y d yy d yxdxxyx d xx
即
xd 2s in21
22
2
1 yxd? 2
2
1 yd?,0?
xy2?,),(
x
yxN
,0)( s in 2222 yyxxd或写成故通解为,,s in 2222 cyyxx
得由初始条件,2)0(?y,4?c
故所求的初值问题的解为,
.4s in 2222 yyxx
02121s i n21 2222 ydyxdxd
3 线积分法定理 1充分性的证明也可用如下方法,
,),(),( x yxNy yxM由于由数学分析曲线积分与路径无关的定理知,
，yxudyyxNdxyxM 的全微分为某函数 ),(),(),(?
使即有函数 ),,( yxu
,),(),(),( dyyxNdxyxMyxdu
。为恰当方程从而 )1(
则取这时,),(,00 Ryx?
),( ),( 00 ),(),(),( yx yx dyyxNdxyxMyxu
xx dxyxM0 ),( 0,),(0 yy dyyxN
从而 (1)的通解为
。ccdyyxNdxyxM y
y
x
x
为任常数,),(),(
00
0
例 4 求解方程
.0)2( s i n)2c o s( 2 dyexxdxxexy yy
解,,2s i n),(,2c o s),( 2 yy exxyxNxexyyxM由于
y yxM ),(
yxex 2c os?
,),( x yxN
故所给方程是恰当方程,
,
),(),,(
全平面上连续在由于 yxNyxM
则故取 ),0,0(),( 00?yx
yx dyyxNdxxM 00 ),()0,(
x xd x0 2
2x?
y y dyexx0 2 )2( s in
.2)1(s i n 2 yexxy y
.,2s i n 2 为任常数ccyexxy y
故通解为,
.2s in 2 yexxy y
),( )0,0( ),(),(),( yx dyyxNdxyxMyxu
,2s in),(
2c o s),(
2
y
y
exxyxN
xexyyxM
三、积分因子非恰当方程如何求解?
对变量分离方程,
,0)()( dxyxfdy? 不是恰当方程,
得方程两边同乘以,)(1 y?
,0)(
)(
1 dxxfdy
y?
是恰当方程,
x
y
y
xf
)(
1
0
))((?
对一阶线性方程,
,0))()(( dxxQyxPdy
不是恰当方程,
得方程两边同乘以,)( dxxPe
,0))()(()()( dxxQyxPedye dxxPdxxP
则
或 左 边 ( ) ( )( ( ) )P x d x P x d xd e y Q x e d x,0?
是恰当方程,
可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程,
()
()
()
P x d x
P x d xe
p x e
x
()
( ( ) ( ) )
P x d x
e p x y Q x
y
1 定义 使得如果存在连续可微函数,0),(?yx?
0),(),(),(),( dyyxNyxdxyxMyx
.)1(),(,的一个积分因子是方程则为恰当方程 yx?
例 5
.,
0)32()43(
),(
22
2
并求其通解的一个积分因子是方程验证
dyyxxdxxyy
yxyx?
解,对方程有
),(),( yxMyx?
),(),( yxNyx?
3322 43 yxyx?
243 32 yxyx?
)1(,0),(),( dyyxNdxyxM
由于
y
yxMyx ),(),(?
x
yxNyx
),(),(?222 126 yxyx?
,),( 后为恰当方程故所给方程乘于 yx?
.),( 是其积分因子所以 yx?
后得对方程两边同乘以 yxyx 2),(
0)32()43( 2433322 dyyxyxdxyxyx
把以上方程重新“分项组合”得
0)34()23( 2433322 dyyxdxyxy d yxdxyx
即
03423 ydxydx
也即
0)( 3423 yxyxd
故所给方程的通解为,
。ccyxyx 为任常数,3423
2 积分因子的确定
:
0),(),(),(
充要条件是的积分因子的是方程 yxNdxyxMyx?
x
yxNyx
y
yxMyx
),(),(),(),(
即
)(
x
N
y
M
y
M
x
N
)(
x
N
y
M
y
M
x
N
.0),(),(
),,(
,),(
更困难方程一般来说比直接解微分要想从以上方程求出程为未知函数的偏微分方上面方程是以
dyyxNdxyxM
yx
yx
尽管如此,方程
)(
x
N
y
M
y
M
x
N
还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径,
则的积分因子有关存在仅与如果方程
),(),(
0),(),(
xyx
xyxNdxyxM
这时方程,0 y?
)(
x
N
y
M
y
M
x
N
变成
dx
N
x
N
y
M
d
)(
)( xNyMdxdN
即
,有关由于上式左侧仅与 x
,的函数的微分所以上式右侧只能是 x
是的积分因子的必要条件赖于有一个仅依从而微分方程
x
yxNdxyxM 0),(),(
)10(,
)(
N
x
N
y
M
此时求得积分因子
N
x
N
y
M
x
)(
)(
这里,)( )( dxxex
.),( 无关而与的函数只是 yxx?
.),()10( 无关而与的函数只是若 yxx?
,)( )( dxxex则
。dyyxNdxyxM 一个积分因子是方程 0),(),(
N
x
N
y
M
x
)(
)(
这里
dxxd )(?
( ) (,)x N x y
x
( ) (,)(,) ( )d x N x yN x y x
d x x
()(,) ( )x d xN x y e x (,)
() N x yx
x
(,) (,)( ) ( )M x y N x y x
yx
(,)() N x yx
x
(,)() M x yx
y
( ) (,)x M x y
y
) (,) (,) 0x M x y d x N x y d y故 ( 是 方 程 一 个 积 分 因 子,
3 定理 微分方程
)1(,0),(),( yxNdxyxM
是的积分因子的充要条件有一个仅依赖于 x
,
)(
N
x
N
y
M
的积分因子为这时有关仅与 )1(,x
,)( )( dxxex
N
x
N
y
M
x
)(
)(
这里充要条件是的积分因子的有一个仅依赖于微分方程同理 y)1(,
,
)(
M
x
N
y
M
的积分因子为这时有关仅与 )1(,y
,)( )( dyyey,
)(
)(
M
x
N
y
M
y
这里例 6 求微分方程
0)()22(
2
dyeydxyey xx
的通解,
解,
,),(,22),(
2
xx eyyxNyeyyxM这里由于
y yxM ),( x yxN ),(
xey 2?,xe
故它不是恰当方程,
又由于
N
x
N
y
M
)(
x
x
ey
ey
1?
有关的积分因子故方程有一个仅与无关它与 xy,
)( x
dxxex )()( dxe 1 xe?
后得对方程两边同乘以 xex?)(?
0)()22( 22
2
dyeyedxyeey xxxx
利用恰当方程求解法得通解为
.,2 2
2
为任意常数ccyeey xx
积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法,绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决,但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验,下面通过例子说明一些简单积分因子的求法,
1
)(
)(
N
x
N
y
M
x?
例 7 求解方程
).0(,)(1 2 y
y
x
y
x
dx
dy
解,方程改写为,
,22 dxyxy d yx d x
或,,)(
2
1 2222 dxyxyxd
易看出,此方程有积分因子
,1),(
22 yx
yx
:),( 乘改写后的方程两边得以 yx?
,
2
)(
22
22
dx
yx
yxd?
即,
2
)(
22
22
dx
yx
yxd?
,22 dxyxd
故方程的通解为,
.,22 为任常数ccxyx
例 8 求解方程
.0)( dyxyy d x
解,,),(,),( xyyxNyyxM这里
1),( y yxM,1
),(
x
yxN?
故方程不是恰当方程,
方法 1:
M
x
N
y
M
)(
因为
y
2?,有关仅与 y
的积分因子故方程有一个仅依赖于 y
dyyey )()(
dyye 2
,12
y
:1 2 乘方程两边得以 y
.02
y
dy
y
x d yy d x
即
.011 2 dy
y
xdy
y
dx
y
故方程的通解为,
.ln cyyx
)(y
方法 2,方程改写为,
,y dyx dyy dx
容易看出方程左侧有积分因子,
2
1
y
21x或
xy
1或?
22
1
yx?
或
,有关但方程右侧仅与 y
由此得为方程的积分因子故取,1 2
y
.2
y
dy
y
x d yy d x
故方程的通解为,,ln cy
y
x
方法 3,方程改写为,
dx
dy?
yx
y
x
y
x
y
1
这是齐次方程,
代入方程得令 xyu?
duxu
dx
即,11 2 dx
x
du
u
u,
1 u
u
故通解为,
,lnln1 cxu
u
变量还原得原方程的通解为,
.ln cy
y
x
方法 4,方程改写为,
,11 x
ydy
dx
分方程为自变量的一阶线性微为未知函数它是以 yx,
故方程的通解为,
))((
~)()(
cdyeyQex dyypdyyp
)(
~11
cdyee
dyydyy
)1(
~
cdy
y
y ),ln(
~cyy
即方程的通解为,
.ln cy
y
x
作业
P49 1,3,5,
P49 7,10,14,16,18,22
dy
y
udx
x
udu
如果我们恰好碰见了方程
0),(),( dyy yxudxx yxu
就可以马上写出它的隐式解
.),( cyxu?
定义 1 使得若有函数 ),,( yxu
dyyxNdxyxMyxdu ),(),(),(
则称微分方程
)1(,0),(),( dyyxNdxyxM
是 恰当方程,,),()1( cyxu?的通解为此时如 0 y dxx dy
0)2()3( 322 dyxyxdxyyx
0)()( dyygdxxf
是恰当方程,
)( xyd
)( 23 xyyxd
))()(( ydygxdxfd
1 恰当方程的定义需考虑的问题
(1) 方程 (1)是否为恰当方程?
(2) 若 (1)是恰当方程,怎样求解?
(3) 若 (1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?
2 方程为恰当方程的充要条件定理 1
则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数
,
),(),(
R
yxNyxM
)1(,0),(),( dyyxNdxyxM
为 恰当方程的充要条件 是
).2(,),(),( x yxNy yxM
)1(,0),(),( dyyxNdxyxM
证明,必要性” 设 (1)是恰当方程,
使得则有函数 ),,( yxu
dy
y
udx
x
uyxdu
),( dyyxNdxyxM ),(),(
故有
),,( yxMxu ),( yxNyu
从而 2
,Mu
y y x
2
.Nu
x x y
从而有都是连续的和由于,
22
yx
u
xy
u
,22
yx
u
xy
u
故
.),(),( x yxNy yxM
,充分性”
，x yxNy yxM ),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,,)5( y
满足则需构造函数 ),,( yxu
)4(,),(),(),( dyyxNdxyxMyxdu
即应满足
)5(),,( yxMxu
)6(),,( yxNyu
).(),(),( ydxyxMyxu?
,)( 的任意可微函数是这里 yy?
y
u
因此
)7(),()( dxyxMyNdy yd?
,)7( 无关的右端与下面证明 x的偏导数常等于零即对 x
事实上
]),([?
dxyxM
y
N
x
]),([?
dxyxM
yxx
N
)6(),,( yxNyu
即同时满足使下面选择 ),6(),( uy?
dy yddxyxMy )(),(?
N?
).(),(),( ydxyxMyxu?
]),([?
dxyxM
xyx
N
y
M
x
N
,0?
积分之得右端的确只含有于是,)7(,y
,]),([)( dydxyxM
y
Ny
故
dxyxMyxu ),(),(,]),([ dydxyxMyN
(8)
。yxu 为恰当方程从而存在即 )1(,),(
)7(),()( dxyxMyNdy yd?
注,若 (1)为恰当方程,则其通解为为任常数ccdydxyxMyNdxyxM,]),([),(
二、恰当方程的求解
1 不定积分法
.
,0),(),(1 0
若是进入下一步是否为恰当方程判断 dyyxNdxyxM
,ydxyxMyxu )(),(),(2 0?求
).(),(3 0 yyxNyu?求由
例 1 验证方程
0)s i n2()( dyyxdxye x
是恰当方程,并求它的通解,
解,(,),(,) 2 sin,xM x y e y N x y x y这 里
(,) 1M x y
y
所 以故所给方程是恰当方程,
满足由于所求函数 ),( yxu
,yexu x,s in2 yx
y
u
积分得对将看作常数只要将由偏导数的定义 xyey x?,,
)()(),( ydxyeyxu x? ).( yyxe x
,),( x yxN
).(),( yyxeyxu x
应满足的方程为得求偏导数关于对 )(,),( yyyxu?
yx
dy
ydx s in2)(
即
y
dy
yd s in2)(
积分后得,,c os2)( yy
故,c o s2),( yyxeyxu x
从而方程的通解为
.co s2 cyyxe x
2 分组凑微法采用,分项组合,的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分,
---应熟记一些简单二元函数的全微分,
如
x dyy dx
2y
xd yyd x
2
x
x d yy d x
),(xyd
),(
y
x
d
),(
x
yd
22 yx
xd yyd x
xy
xd yyd x
22 yx
xd yyd x
|),|(ln
y
x
d
),( ar ct an
y
x
d
).( ln
2
1
yx
yx
d
例 2 求方程 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx 的通解,
解,2 2 2 3(,) 3 6,(,) 6 4,M x y x x y N x y x y y这 里
(,) 12M x y xy
y
所 以故所给方程是恰当方程,把方程重新“分项组合”得
0)66(43 2232 y d yxdxxydyydxx
即 0)33( 222243 dyxdxydydx
或写成
0)3( 2243 yxyxd
故通解为,
。ccyxyx 为任常数,3 2243
,),( x yxN
例 3 验证方程
,0)1()s i n( c o s 22 dyxydxxyxx
是恰当方程,并求它满足初始条件 y(0)=2的解,
解,
),1(),(,s i nc o s),( 22 xyyxNxyxxyxM这里
y yxM ),(
故所给方程是恰当方程,把方程重新,分项组合,得
,0)(s i nc o s 22 y d yy d yxdxxyx d xx
即
xd 2s in21
22
2
1 yxd? 2
2
1 yd?,0?
xy2?,),(
x
yxN
,0)( s in 2222 yyxxd或写成故通解为,,s in 2222 cyyxx
得由初始条件,2)0(?y,4?c
故所求的初值问题的解为,
.4s in 2222 yyxx
02121s i n21 2222 ydyxdxd
3 线积分法定理 1充分性的证明也可用如下方法,
,),(),( x yxNy yxM由于由数学分析曲线积分与路径无关的定理知,
，yxudyyxNdxyxM 的全微分为某函数 ),(),(),(?
使即有函数 ),,( yxu
,),(),(),( dyyxNdxyxMyxdu
。为恰当方程从而 )1(
则取这时,),(,00 Ryx?
),( ),( 00 ),(),(),( yx yx dyyxNdxyxMyxu
xx dxyxM0 ),( 0,),(0 yy dyyxN
从而 (1)的通解为
。ccdyyxNdxyxM y
y
x
x
为任常数,),(),(
00
0
例 4 求解方程
.0)2( s i n)2c o s( 2 dyexxdxxexy yy
解,,2s i n),(,2c o s),( 2 yy exxyxNxexyyxM由于
y yxM ),(
yxex 2c os?
,),( x yxN
故所给方程是恰当方程,
,
),(),,(
全平面上连续在由于 yxNyxM
则故取 ),0,0(),( 00?yx
yx dyyxNdxxM 00 ),()0,(
x xd x0 2
2x?
y y dyexx0 2 )2( s in
.2)1(s i n 2 yexxy y
.,2s i n 2 为任常数ccyexxy y
故通解为,
.2s in 2 yexxy y
),( )0,0( ),(),(),( yx dyyxNdxyxMyxu
,2s in),(
2c o s),(
2
y
y
exxyxN
xexyyxM
三、积分因子非恰当方程如何求解?
对变量分离方程,
,0)()( dxyxfdy? 不是恰当方程,
得方程两边同乘以,)(1 y?
,0)(
)(
1 dxxfdy
y?
是恰当方程,
x
y
y
xf
)(
1
0
))((?
对一阶线性方程,
,0))()(( dxxQyxPdy
不是恰当方程,
得方程两边同乘以,)( dxxPe
,0))()(()()( dxxQyxPedye dxxPdxxP
则
或 左 边 ( ) ( )( ( ) )P x d x P x d xd e y Q x e d x,0?
是恰当方程,
可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程,
()
()
()
P x d x
P x d xe
p x e
x
()
( ( ) ( ) )
P x d x
e p x y Q x
y
1 定义 使得如果存在连续可微函数,0),(?yx?
0),(),(),(),( dyyxNyxdxyxMyx
.)1(),(,的一个积分因子是方程则为恰当方程 yx?
例 5
.,
0)32()43(
),(
22
2
并求其通解的一个积分因子是方程验证
dyyxxdxxyy
yxyx?
解,对方程有
),(),( yxMyx?
),(),( yxNyx?
3322 43 yxyx?
243 32 yxyx?
)1(,0),(),( dyyxNdxyxM
由于
y
yxMyx ),(),(?
x
yxNyx
),(),(?222 126 yxyx?
,),( 后为恰当方程故所给方程乘于 yx?
.),( 是其积分因子所以 yx?
后得对方程两边同乘以 yxyx 2),(
0)32()43( 2433322 dyyxyxdxyxyx
把以上方程重新“分项组合”得
0)34()23( 2433322 dyyxdxyxy d yxdxyx
即
03423 ydxydx
也即
0)( 3423 yxyxd
故所给方程的通解为,
。ccyxyx 为任常数,3423
2 积分因子的确定
:
0),(),(),(
充要条件是的积分因子的是方程 yxNdxyxMyx?
x
yxNyx
y
yxMyx
),(),(),(),(
即
)(
x
N
y
M
y
M
x
N
)(
x
N
y
M
y
M
x
N
.0),(),(
),,(
,),(
更困难方程一般来说比直接解微分要想从以上方程求出程为未知函数的偏微分方上面方程是以
dyyxNdxyxM
yx
yx
尽管如此,方程
)(
x
N
y
M
y
M
x
N
还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径,
则的积分因子有关存在仅与如果方程
),(),(
0),(),(
xyx
xyxNdxyxM
这时方程,0 y?
)(
x
N
y
M
y
M
x
N
变成
dx
N
x
N
y
M
d
)(
)( xNyMdxdN
即
,有关由于上式左侧仅与 x
,的函数的微分所以上式右侧只能是 x
是的积分因子的必要条件赖于有一个仅依从而微分方程
x
yxNdxyxM 0),(),(
)10(,
)(
N
x
N
y
M
此时求得积分因子
N
x
N
y
M
x
)(
)(
这里,)( )( dxxex
.),( 无关而与的函数只是 yxx?
.),()10( 无关而与的函数只是若 yxx?
,)( )( dxxex则
。dyyxNdxyxM 一个积分因子是方程 0),(),(
N
x
N
y
M
x
)(
)(
这里
dxxd )(?
( ) (,)x N x y
x
( ) (,)(,) ( )d x N x yN x y x
d x x
()(,) ( )x d xN x y e x (,)
() N x yx
x
(,) (,)( ) ( )M x y N x y x
yx
(,)() N x yx
x
(,)() M x yx
y
( ) (,)x M x y
y
) (,) (,) 0x M x y d x N x y d y故 ( 是 方 程 一 个 积 分 因 子,
3 定理 微分方程
)1(,0),(),( yxNdxyxM
是的积分因子的充要条件有一个仅依赖于 x
,
)(
N
x
N
y
M
的积分因子为这时有关仅与 )1(,x
,)( )( dxxex
N
x
N
y
M
x
)(
)(
这里充要条件是的积分因子的有一个仅依赖于微分方程同理 y)1(,
,
)(
M
x
N
y
M
的积分因子为这时有关仅与 )1(,y
,)( )( dyyey,
)(
)(
M
x
N
y
M
y
这里例 6 求微分方程
0)()22(
2
dyeydxyey xx
的通解,
解,
,),(,22),(
2
xx eyyxNyeyyxM这里由于
y yxM ),( x yxN ),(
xey 2?,xe
故它不是恰当方程,
又由于
N
x
N
y
M
)(
x
x
ey
ey
1?
有关的积分因子故方程有一个仅与无关它与 xy,
)( x
dxxex )()( dxe 1 xe?
后得对方程两边同乘以 xex?)(?
0)()22( 22
2
dyeyedxyeey xxxx
利用恰当方程求解法得通解为
.,2 2
2
为任意常数ccyeey xx
积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法,绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决,但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验,下面通过例子说明一些简单积分因子的求法,
1
)(
)(
N
x
N
y
M
x?
例 7 求解方程
).0(,)(1 2 y
y
x
y
x
dx
dy
解,方程改写为,
,22 dxyxy d yx d x
或,,)(
2
1 2222 dxyxyxd
易看出,此方程有积分因子
,1),(
22 yx
yx
:),( 乘改写后的方程两边得以 yx?
,
2
)(
22
22
dx
yx
yxd?
即,
2
)(
22
22
dx
yx
yxd?
,22 dxyxd
故方程的通解为,
.,22 为任常数ccxyx
例 8 求解方程
.0)( dyxyy d x
解,,),(,),( xyyxNyyxM这里
1),( y yxM,1
),(
x
yxN?
故方程不是恰当方程,
方法 1:
M
x
N
y
M
)(
因为
y
2?,有关仅与 y
的积分因子故方程有一个仅依赖于 y
dyyey )()(
dyye 2
,12
y
:1 2 乘方程两边得以 y
.02
y
dy
y
x d yy d x
即
.011 2 dy
y
xdy
y
dx
y
故方程的通解为,
.ln cyyx
)(y
方法 2,方程改写为,
,y dyx dyy dx
容易看出方程左侧有积分因子,
2
1
y
21x或
xy
1或?
22
1
yx?
或
,有关但方程右侧仅与 y
由此得为方程的积分因子故取,1 2
y
.2
y
dy
y
x d yy d x
故方程的通解为,,ln cy
y
x
方法 3,方程改写为,
dx
dy?
yx
y
x
y
x
y
1
这是齐次方程,
代入方程得令 xyu?
duxu
dx
即,11 2 dx
x
du
u
u,
1 u
u
故通解为,
,lnln1 cxu
u
变量还原得原方程的通解为,
.ln cy
y
x
方法 4,方程改写为,
,11 x
ydy
dx
分方程为自变量的一阶线性微为未知函数它是以 yx,
故方程的通解为,
))((
~)()(
cdyeyQex dyypdyyp
)(
~11
cdyee
dyydyy
)1(
~
cdy
y
y ),ln(
~cyy
即方程的通解为,
.ln cy
y
x
作业
P49 1,3,5,
P49 7,10,14,16,18,22
