§ 2.2 线性方程与常数变易法
0)()()( xcyxb
dx
dyxa
一阶线性微分方程的区间上可写成在 0)(?xa
)1()()( xQyxPdxdy
的连续函数在考虑的区间上是这里假设 xxQxP )(),(
变为则若 )1(,0)(?xQ
)2()( yxPdxdy?
称为一阶齐次线性方程)2(
称为一阶非齐线性方程则若 )1(,0)(?xQ
一 一阶线性微分方程的解法 -----常数变易法解对应的齐次方程01
( ) ( 2 )dy p x ydx?
得对应齐次方程解常数变易法求解02
))1(),(( 的解使它为的待定函数变为将常数 xcxc
为任意常数cdxcey xp,)(
则的解为令,)1()( )( dxxpexcy
)1()()( xQyxPdxdy
dxxpdxxp expxce
dx
xdc
dx
dy )()( )()()(
代入 (1)得
dxxpexQ
dx
xdc )()()(
积分得 ~)(
)()( cdxexQxc dxxp
的通解为故 )1(3 0
)3())((
~)()(
cdxexQey dxxpdxxp
注 求 (1)的通解可直接用公式 (3)
例 1 求方程
1)1()1( nx xeny
dx
dyx
通解,这里为 n常数解,将方程改写为
nx xey
x
n
dx
dy )1(
1
首先,求齐次方程
yx ndxdy 1
的通解从
yx ndxdy 1
分离变量得 dx
x
n
y
dy
1?
11lnln cxny两边积分得故对应齐次方程通解为
nxcy )1(
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
代入得为原方程的通解令,)1)(( nxxcy
nxnnn xexxncxxncx
dx
xdc )1()1)(()1)(()1()( 11
即 xe
dx
xdc?)( 积分得
~)( cexc x
故通解为 为任意常数~~ ),()1( ccexy xn
ndxx
n
dxxp xccecey )1(1)(
例 2 求方程
22 yx
y
dx
dy
通解,
解,,y 的线性方程原方程不是未知函数 但将它改写为
y
yx
dy
dx 22 即
yx
ydy
dx 2
，yx 为自变量的线性方程为未知函数它是以,
故其通解为 ))(( ~)()( cdyeyQex dyypdyyp
))((
~22
cdyeye
dyydyy
。ccyy 为任意常数),ln( ~2
例 3 求值问题
1)1(,143 2 yxyxdxdy
的解,
解,先求原方程的通解
))((
~)()(
cdxexQey dxxpdxxp
))14((
~323
cdxexe dxxdxx
)1)14((
~
3
23 cdx
x
xx
)
2
1ln4( ~
2
3 c
x
xx
3
~
43
2
ln xcxxx
代入后得将初始条件 1)1(?y
2
3~?c
故所给初值问题的通解为
22
3ln 343 xxxxy
)1)14((
~
3
23 cdx
x
xx
方程伯努利二 )( B e r n o u lli
形如
nyxQyxp
dx
dy )()(
的方程,称为伯努利方程,。xxQxP 的连续函数为这里 )(),(
解法,
方程变为引入变量变换,1 10 nyz
)()1()()1( xQnzxPndxdz
求以上线性方程的通解02
变量还原03
例 4 求方程
y
x
x
y
dx
dy
22
2
的通解,
解,,1,nB e r n o u lli 方程这是 代入方程得令,2yz?
21 xz
xdx
dz
解以上线性方程得
)(
1
2
1
cdxexez dxxdxx 321 xcx
:2 为代入得所给方程的通解将 yz?
32
2
1 xcxy
例 5 R-L串联 电路,,由电感 L,电阻 R和 电源所组成的串联电路,如图所示,其中 电感 L,电阻 R和电源的电动势 E均为常数,
试求当开关 K合上后,电路中电流强度 I与时间 t之间的关系,
二 线性微分方程的应用举例电路的 Kirchhoff第二定律,
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零,
则电流经过电感 L,电阻 R的电压降分别为,,RI
dt
dIL
.ERIdtdIL
解线性方程,
解,
于是由 Kirchhoff第二定律,得到设当开关 K合上后,电路中在时刻 t的电流强度为 I(t),
取开关闭合时的时刻为 0,.0)0(?I即
.LEILRdtdI
得通解为,
R
EcetI tLR)(
故当开关 K合上后,电路中电流强度为
)1()( tL
R
eREtI
,0)0( 得由初始条件?I
R
Ec
R
EcetI tLR)(
0)()()( xcyxb
dx
dyxa
一阶线性微分方程的区间上可写成在 0)(?xa
)1()()( xQyxPdxdy
的连续函数在考虑的区间上是这里假设 xxQxP )(),(
变为则若 )1(,0)(?xQ
)2()( yxPdxdy?
称为一阶齐次线性方程)2(
称为一阶非齐线性方程则若 )1(,0)(?xQ
一 一阶线性微分方程的解法 -----常数变易法解对应的齐次方程01
( ) ( 2 )dy p x ydx?
得对应齐次方程解常数变易法求解02
))1(),(( 的解使它为的待定函数变为将常数 xcxc
为任意常数cdxcey xp,)(
则的解为令,)1()( )( dxxpexcy
)1()()( xQyxPdxdy
dxxpdxxp expxce
dx
xdc
dx
dy )()( )()()(
代入 (1)得
dxxpexQ
dx
xdc )()()(
积分得 ~)(
)()( cdxexQxc dxxp
的通解为故 )1(3 0
)3())((
~)()(
cdxexQey dxxpdxxp
注 求 (1)的通解可直接用公式 (3)
例 1 求方程
1)1()1( nx xeny
dx
dyx
通解,这里为 n常数解,将方程改写为
nx xey
x
n
dx
dy )1(
1
首先,求齐次方程
yx ndxdy 1
的通解从
yx ndxdy 1
分离变量得 dx
x
n
y
dy
1?
11lnln cxny两边积分得故对应齐次方程通解为
nxcy )1(
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
代入得为原方程的通解令,)1)(( nxxcy
nxnnn xexxncxxncx
dx
xdc )1()1)(()1)(()1()( 11
即 xe
dx
xdc?)( 积分得
~)( cexc x
故通解为 为任意常数~~ ),()1( ccexy xn
ndxx
n
dxxp xccecey )1(1)(
例 2 求方程
22 yx
y
dx
dy
通解,
解,,y 的线性方程原方程不是未知函数 但将它改写为
y
yx
dy
dx 22 即
yx
ydy
dx 2
，yx 为自变量的线性方程为未知函数它是以,
故其通解为 ))(( ~)()( cdyeyQex dyypdyyp
))((
~22
cdyeye
dyydyy
。ccyy 为任意常数),ln( ~2
例 3 求值问题
1)1(,143 2 yxyxdxdy
的解,
解,先求原方程的通解
))((
~)()(
cdxexQey dxxpdxxp
))14((
~323
cdxexe dxxdxx
)1)14((
~
3
23 cdx
x
xx
)
2
1ln4( ~
2
3 c
x
xx
3
~
43
2
ln xcxxx
代入后得将初始条件 1)1(?y
2
3~?c
故所给初值问题的通解为
22
3ln 343 xxxxy
)1)14((
~
3
23 cdx
x
xx
方程伯努利二 )( B e r n o u lli
形如
nyxQyxp
dx
dy )()(
的方程,称为伯努利方程,。xxQxP 的连续函数为这里 )(),(
解法,
方程变为引入变量变换,1 10 nyz
)()1()()1( xQnzxPndxdz
求以上线性方程的通解02
变量还原03
例 4 求方程
y
x
x
y
dx
dy
22
2
的通解,
解,,1,nB e r n o u lli 方程这是 代入方程得令,2yz?
21 xz
xdx
dz
解以上线性方程得
)(
1
2
1
cdxexez dxxdxx 321 xcx
:2 为代入得所给方程的通解将 yz?
32
2
1 xcxy
例 5 R-L串联 电路,,由电感 L,电阻 R和 电源所组成的串联电路,如图所示,其中 电感 L,电阻 R和电源的电动势 E均为常数,
试求当开关 K合上后,电路中电流强度 I与时间 t之间的关系,
二 线性微分方程的应用举例电路的 Kirchhoff第二定律,
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零,
则电流经过电感 L,电阻 R的电压降分别为,,RI
dt
dIL
.ERIdtdIL
解线性方程,
解,
于是由 Kirchhoff第二定律,得到设当开关 K合上后,电路中在时刻 t的电流强度为 I(t),
取开关闭合时的时刻为 0,.0)0(?I即
.LEILRdtdI
得通解为,
R
EcetI tLR)(
故当开关 K合上后,电路中电流强度为
)1()( tL
R
eREtI
,0)0( 得由初始条件?I
R
Ec
R
EcetI tLR)(
