§ 2.4 一阶隐方程与参数表示
)( '未能解出或相当复杂y
一阶隐式方程
)1(,0),,( '?yyxF
求解 — 采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型,
主要研究以下四种类型
),,()1( 'yxfy? ),,()2( 'yyfx?
,0),()3( '?yxF,0),()4( '?yyF
定义有时使当与上的函数如果存在定义在对于微分方程
,),(),()(),(
,0),,(
ttytx
dx
dy
yxF
,0)
)(
)(),(),((
'
'
t
tttF
.0),,(),(,)( )( 的参数形式解为方程则称
dx
dyyxFt
ty
tx
的参数形式通解为同样可定义方程 0),,(?dxdyyxF
).,(,
),(
),(
t
cty
ctx
的方程或可解出一 )( xy、
1 形如
)2(),,(
dx
dyxfy?
方程的解法,。yxf 有连续的偏导数这里假设 ),( '
变为则方程引进参数 )2(,1 '0 yp?
)3(),,( pxfy?
得代入并以求导两边对将,,)3(2 0 pdxdyx?
)4(,dxdppfxfp
。px 的一阶微分方程这是关于变量,
f
p
dp x
fdx
p
),( cxp
(I) 若求得 (4)的通解形式为
)4(,dxdppfxfp
将它代入 (3),即得原方程 (2)的通解
。ccxxfy 为任常数) ),,(,(
(II) 若求得 (4)的通解形式为
),( cpx
则得 (2)的参数形式的通解为
),( cpx
),),,(( pcpfy
.,是任意常数是参数其中 cp
)3(),,( pxfy?
(III) 若求得 (4)的通解形式为
0),,( cpx
则得 (2)的参数形式的通解为
0),,( cpx
),( pxfy
.,是任意常数是参数其中 cp
附注 1:
.,
,,
,,
'
了而不再表示只起参数作用这也表明在通解中的另方面一方面这是习惯所至来替代通常用数在参数形式通解中的参
y
dx
dy
p
tp
附注 2:
.,
),(,
,),(
,.),(,
),,(,
),,(,
1
1
'
1
这显然是不对的与数常中有两个相互独立的任而常数通解中只有一个任意是一阶微分方程因为我们可这样去理解得到分积并进而两边关于即看成中的不应把能解比如在求得通解后
cc
cdxcxy
yxfy
cdxcxy
xcx
dx
dy
dx
dy
p
cxp
解,
则原方程变为令,pdxdy?
)6(,
2
)(
2
2 xxppy
求导得两边对 x
,2 xpdxdpxdxdppp
整理化简后得方程
)7(,0)2)(1( xp
dx
dp
例 1 求解方程
.
2
)(
2
2 x
dx
dyx
dx
dyy
解得 (7)的通解为,,cxp
将它代入 (6)得原方程的通解,
)8(,,
2
2
2 为任常数cxcxcy
)6(,2)(
2
2 xxppy )7(,0)2)(1( xp
dx
dp
又从
02 xp
解得 (7)的一个解为,,
2
xp?
01
dx
dp从将它代入 (6)得原方程的一个解,
.
4
2x
y?
故原方程的解为,
通解,
)8(,,
2
2
2 为任常数cxcxcy
及一个解,
.
4
2x
y?
.)8(,
4
,
4
)8(
22
该点与之相切中的某一条积分曲线在都有积分曲线族处上的每一点且在积分曲线不包含这里通解
x
y
x
y
的包络为曲线在几何中称曲线 )8(4
2x
y?
。xy 为原方程的奇解在微分方程中称解 4
2
例 2.求在第一像限中的一条曲线,使其上每一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积均等于 2.
解,),( xyy?设所求的曲线为的切线方程为则过曲线上任一点 ),( yx
)(' xXyyY
,),( 为切线上的动点其中 YX
因此,切线在坐标轴上的
,,'
y
yxaa为横载距
,,'xyybb为纵载距因所求曲线在第一象限,由题意得
2))((
2
1 '
' xyyy
yx
即
'2' 4)( yxyy
:)0( ' 得解以上方程?y,2 '' yxyy
:' 得令 py?,2 pxpy
:求导得两边对 x,1
dx
dp
pdx
dpxpp
即
,0)1(?
dx
dp
p
x?
,0 时当?dxdp,cp?有故得通解为,,2 ccxy 它是直线族,
,01 时当?
p
x?
得另一特解为,
01?
p
x?
pxpy 2?
:得消去参数 p,1?xy
这是双曲线,显然这才是我们所要求的一条曲线,
,0)1(?
dx
dp
p
x?,2 pxpy
0?
p
)1(
p?
p
p 22)(( p
2 形如
)9(),,(
dx
dyyfx?
方程的解法,。yyf 有连续的偏导数这里假设 ),( '
变为则方程引进参数 )9(,1 0 dxdyp?
),,( pyfx?
得代入并以求导将上式两边对,1,2 0 pdydxy?
)10(,1 dydppfyfp
。py 的一阶微分方程这是关于变量,
p
f
y
f
p
dy
dp
1
)10(,1 dydppfyfp
p
f
y
f
p
dy
dp
1
若求得 (10)的通解形式为
0),,( cpy
则得 (9)的参数形式的通解为
.,是任意常数是参数其中 cp
0),,( cpy
),( pyfx?
例 3 求解方程
.02)( 3 ydxdyxdxdy
解,
:,代入方程得设 dxdyp?
方程变形为,
dx
dy
dx
dy
y
x
2
)( 3?
).0(,
2
3
p
p
pyx
得代入并以求导上式两边对,1,pdydxy?
,
2
)()31(
1
2
32
p
dy
dp
py
dy
dp
pp
p
即
,02 3 dppyd ppdy
解以上微分方程得,
,2 4 cpyp 因而,
,
2
4
p
pcy
故方程的通解参数形式为
2
2 4
3
4 pp
cx
22
3p
p
cy
).,0( 为任常数为参数 cp?
.0,?y还有解此外
2
2 4
3
4 tt
cx
22
3t
t
cy
习惯通解记成,).,0( 为任常数为参数 ct?
的方程或不显含二 )( xy、
1 形如
)11(,0),(?
dx
dyxF
方程的解法,。yxF 有连续的偏导数这里假设 ),( '
,dxdyp?设
.
),(,
或若干条曲线平面上的一条曲线表示从几何上看 pxpxF?
,0),(:)11(?pxF变为则为参数表示若能找到该曲线的参数 ttptx ),(),(,
,0))(),((?ttF即满足,
恒满足的任何一条积分曲线上由于沿方程,0),(?pxF
pdxdxydy '
代入上式得把 )(),( tptx
dy?)()( tdt dttt )()( '
两边积分得
,)()( ' cdttty
于是得到原方程参数形式的通解为
)(tx
,)()( ' cdttty
解的步骤,
则方程变为设,1 0 dxdyp?
,0),(?pxF
即用参数曲线表示出来将引入参数,0),(,2 0?pxFt
,
)(
)(
tp
tx
并两边积分得代入把,)(),(3 0 pdxdytptx
,)()( ' cdttty
,
)()(
)(
4 '0
cdttty
tx
通解为
“关键一步也是最困难一步”
例 4 求解方程
,)(1 2
dx
dyx
dx
dy
解的隐式方程这是不显含 y
:,则方程变为设 dxdyp?
,1 2pxp
把方程表为参数形式引入参数,t
代入方程得令,22,t a n ttp
.s in tx?
故原方程参数形式的通解为
tx s in?
cty c o s
得通解为可以消去参数,t
.1)( 22 cyx
由于
pdxdy td tt c o sta n,s in td t?
积分得
dtty s in ct c o s
txtp s in,ta n
2 形如
)12(,0),(?
dx
dyyF
方程的解法,。yyf 有连续的偏导数这里假设 ),( '
解的步骤,
:,1 0 则方程变为设 dxdyp?
,0),(?pyF
即用参数曲线表示出来将引入参数,0),(,2 0?pyFt
)(),( tpty
并两边积分得代入把,)(),(3 0 pdydxtpty
,
)(
)(' cdt
t
tx
,
)(
)(
)(
4
'
0
ty
Cdt
t
t
x
通解为
“关键一步也是最困难一步”
例 5 求解微分方程
.1))(1( 22 dxdyy
解
,0),( 类型方程属于?dxdyyF
:,则方程变为设 dxdyp?,1)1( 22 py
代入方程得令,c os tp?,
s in
1
t
y
由于
p
dydx
dttt2s inc o s?
tc o s
dtt2s in1
故原方程参数形式的通解为
,c o t ctx
,
s in
1
t
y
代入原方程得时当,0'?y,12?y
。y 也是原方程的解故知 1
积分得
dt
t
x 2
s in
1?,c o t ct
注,方程有多种解法
,1)1(
2
y
y
dx
dy解出
,
)(1
1
)2(
2
dx
dy
y
解出
,
1
1)3(
2
'
t
yty
得引入参数用一 (1)型作业
P58 1,3,5
)( '未能解出或相当复杂y
一阶隐式方程
)1(,0),,( '?yyxF
求解 — 采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型,
主要研究以下四种类型
),,()1( 'yxfy? ),,()2( 'yyfx?
,0),()3( '?yxF,0),()4( '?yyF
定义有时使当与上的函数如果存在定义在对于微分方程
,),(),()(),(
,0),,(
ttytx
dx
dy
yxF
,0)
)(
)(),(),((
'
'
t
tttF
.0),,(),(,)( )( 的参数形式解为方程则称
dx
dyyxFt
ty
tx
的参数形式通解为同样可定义方程 0),,(?dxdyyxF
).,(,
),(
),(
t
cty
ctx
的方程或可解出一 )( xy、
1 形如
)2(),,(
dx
dyxfy?
方程的解法,。yxf 有连续的偏导数这里假设 ),( '
变为则方程引进参数 )2(,1 '0 yp?
)3(),,( pxfy?
得代入并以求导两边对将,,)3(2 0 pdxdyx?
)4(,dxdppfxfp
。px 的一阶微分方程这是关于变量,
f
p
dp x
fdx
p
),( cxp
(I) 若求得 (4)的通解形式为
)4(,dxdppfxfp
将它代入 (3),即得原方程 (2)的通解
。ccxxfy 为任常数) ),,(,(
(II) 若求得 (4)的通解形式为
),( cpx
则得 (2)的参数形式的通解为
),( cpx
),),,(( pcpfy
.,是任意常数是参数其中 cp
)3(),,( pxfy?
(III) 若求得 (4)的通解形式为
0),,( cpx
则得 (2)的参数形式的通解为
0),,( cpx
),( pxfy
.,是任意常数是参数其中 cp
附注 1:
.,
,,
,,
'
了而不再表示只起参数作用这也表明在通解中的另方面一方面这是习惯所至来替代通常用数在参数形式通解中的参
y
dx
dy
p
tp
附注 2:
.,
),(,
,),(
,.),(,
),,(,
),,(,
1
1
'
1
这显然是不对的与数常中有两个相互独立的任而常数通解中只有一个任意是一阶微分方程因为我们可这样去理解得到分积并进而两边关于即看成中的不应把能解比如在求得通解后
cc
cdxcxy
yxfy
cdxcxy
xcx
dx
dy
dx
dy
p
cxp
解,
则原方程变为令,pdxdy?
)6(,
2
)(
2
2 xxppy
求导得两边对 x
,2 xpdxdpxdxdppp
整理化简后得方程
)7(,0)2)(1( xp
dx
dp
例 1 求解方程
.
2
)(
2
2 x
dx
dyx
dx
dyy
解得 (7)的通解为,,cxp
将它代入 (6)得原方程的通解,
)8(,,
2
2
2 为任常数cxcxcy
)6(,2)(
2
2 xxppy )7(,0)2)(1( xp
dx
dp
又从
02 xp
解得 (7)的一个解为,,
2
xp?
01
dx
dp从将它代入 (6)得原方程的一个解,
.
4
2x
y?
故原方程的解为,
通解,
)8(,,
2
2
2 为任常数cxcxcy
及一个解,
.
4
2x
y?
.)8(,
4
,
4
)8(
22
该点与之相切中的某一条积分曲线在都有积分曲线族处上的每一点且在积分曲线不包含这里通解
x
y
x
y
的包络为曲线在几何中称曲线 )8(4
2x
y?
。xy 为原方程的奇解在微分方程中称解 4
2
例 2.求在第一像限中的一条曲线,使其上每一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积均等于 2.
解,),( xyy?设所求的曲线为的切线方程为则过曲线上任一点 ),( yx
)(' xXyyY
,),( 为切线上的动点其中 YX
因此,切线在坐标轴上的
,,'
y
yxaa为横载距
,,'xyybb为纵载距因所求曲线在第一象限,由题意得
2))((
2
1 '
' xyyy
yx
即
'2' 4)( yxyy
:)0( ' 得解以上方程?y,2 '' yxyy
:' 得令 py?,2 pxpy
:求导得两边对 x,1
dx
dp
pdx
dpxpp
即
,0)1(?
dx
dp
p
x?
,0 时当?dxdp,cp?有故得通解为,,2 ccxy 它是直线族,
,01 时当?
p
x?
得另一特解为,
01?
p
x?
pxpy 2?
:得消去参数 p,1?xy
这是双曲线,显然这才是我们所要求的一条曲线,
,0)1(?
dx
dp
p
x?,2 pxpy
0?
p
)1(
p?
p
p 22)(( p
2 形如
)9(),,(
dx
dyyfx?
方程的解法,。yyf 有连续的偏导数这里假设 ),( '
变为则方程引进参数 )9(,1 0 dxdyp?
),,( pyfx?
得代入并以求导将上式两边对,1,2 0 pdydxy?
)10(,1 dydppfyfp
。py 的一阶微分方程这是关于变量,
p
f
y
f
p
dy
dp
1
)10(,1 dydppfyfp
p
f
y
f
p
dy
dp
1
若求得 (10)的通解形式为
0),,( cpy
则得 (9)的参数形式的通解为
.,是任意常数是参数其中 cp
0),,( cpy
),( pyfx?
例 3 求解方程
.02)( 3 ydxdyxdxdy
解,
:,代入方程得设 dxdyp?
方程变形为,
dx
dy
dx
dy
y
x
2
)( 3?
).0(,
2
3
p
p
pyx
得代入并以求导上式两边对,1,pdydxy?
,
2
)()31(
1
2
32
p
dy
dp
py
dy
dp
pp
p
即
,02 3 dppyd ppdy
解以上微分方程得,
,2 4 cpyp 因而,
,
2
4
p
pcy
故方程的通解参数形式为
2
2 4
3
4 pp
cx
22
3p
p
cy
).,0( 为任常数为参数 cp?
.0,?y还有解此外
2
2 4
3
4 tt
cx
22
3t
t
cy
习惯通解记成,).,0( 为任常数为参数 ct?
的方程或不显含二 )( xy、
1 形如
)11(,0),(?
dx
dyxF
方程的解法,。yxF 有连续的偏导数这里假设 ),( '
,dxdyp?设
.
),(,
或若干条曲线平面上的一条曲线表示从几何上看 pxpxF?
,0),(:)11(?pxF变为则为参数表示若能找到该曲线的参数 ttptx ),(),(,
,0))(),((?ttF即满足,
恒满足的任何一条积分曲线上由于沿方程,0),(?pxF
pdxdxydy '
代入上式得把 )(),( tptx
dy?)()( tdt dttt )()( '
两边积分得
,)()( ' cdttty
于是得到原方程参数形式的通解为
)(tx
,)()( ' cdttty
解的步骤,
则方程变为设,1 0 dxdyp?
,0),(?pxF
即用参数曲线表示出来将引入参数,0),(,2 0?pxFt
,
)(
)(
tp
tx
并两边积分得代入把,)(),(3 0 pdxdytptx
,)()( ' cdttty
,
)()(
)(
4 '0
cdttty
tx
通解为
“关键一步也是最困难一步”
例 4 求解方程
,)(1 2
dx
dyx
dx
dy
解的隐式方程这是不显含 y
:,则方程变为设 dxdyp?
,1 2pxp
把方程表为参数形式引入参数,t
代入方程得令,22,t a n ttp
.s in tx?
故原方程参数形式的通解为
tx s in?
cty c o s
得通解为可以消去参数,t
.1)( 22 cyx
由于
pdxdy td tt c o sta n,s in td t?
积分得
dtty s in ct c o s
txtp s in,ta n
2 形如
)12(,0),(?
dx
dyyF
方程的解法,。yyf 有连续的偏导数这里假设 ),( '
解的步骤,
:,1 0 则方程变为设 dxdyp?
,0),(?pyF
即用参数曲线表示出来将引入参数,0),(,2 0?pyFt
)(),( tpty
并两边积分得代入把,)(),(3 0 pdydxtpty
,
)(
)(' cdt
t
tx
,
)(
)(
)(
4
'
0
ty
Cdt
t
t
x
通解为
“关键一步也是最困难一步”
例 5 求解微分方程
.1))(1( 22 dxdyy
解
,0),( 类型方程属于?dxdyyF
:,则方程变为设 dxdyp?,1)1( 22 py
代入方程得令,c os tp?,
s in
1
t
y
由于
p
dydx
dttt2s inc o s?
tc o s
dtt2s in1
故原方程参数形式的通解为
,c o t ctx
,
s in
1
t
y
代入原方程得时当,0'?y,12?y
。y 也是原方程的解故知 1
积分得
dt
t
x 2
s in
1?,c o t ct
注,方程有多种解法
,1)1(
2
y
y
dx
dy解出
,
)(1
1
)2(
2
dx
dy
y
解出
,
1
1)3(
2
'
t
yty
得引入参数用一 (1)型作业
P58 1,3,5
