第三章一阶微分方程的解的存在定理需解决的问题
,
)(
),(1
00
0 的解是否存在初值问题
yxy
yxf
dx
dy
,,
)(
),(2
00
0 是否唯一的解是存在若初值问题
yxy
yxf
dx
dy
§ 3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法一 存在唯一性定理
1 定理 1 考虑初值问题
)1.3(,
)(
),(
00
yxy
yxf
dx
dy
:),( Ryxf 在矩形区域其中 )2.3(,,00 byyaxx
,上连续,条件满足并且对 L ip s c h it zy
常成立使对所有即存在 RyxyxL ),(),,(,0 21
2121 ),(),( yyLyxfyxf
,)1.3( 0 上的解存在且唯一在区间则初值问题 hxx
),(),,m i n(
),(
yxfM axMMbah
Ryx?
这里
(1) 初值问题 (3.1)的解等价于积分方程
)5.3(),(
0
0 dtytfyy
x
x?
的连续解,
证明思路
(2) 构造 (3.5)近似解函数列 )}({ x
n?
0
1 0 0( ) (,( ) )
x
x
x y f d
得右侧的代入任取一连续函数
,
)5.3(,)(),( 000
y
byxx
得右侧的代入否则将为解则若
,
)5.3()(,)(),()( 1001
y
xxxx
0
2 0 1( ) (,( ) )
x
x
x y f d
,
)5.3()(,)(),()( 2112
y
xxxx
右侧的代入否则将为解则若
0
10( ) (,( ) ),
x
nn xx y f d
,)( 0 byxn这里要求
,)(),()(1 为解则若 xxx nnn
)}({ xn?列否则一直下去可得函数
(逐步求 (3.5)的解,逐步逼近法 )
).(],[)}({)3( 00 xhxhxxn 上一致收敛于在函数序列
这是为了
0
10l i m ( ) l i m (,( ) )
x
nn xnn x y f d
0
0 l i m (,( ) )
x
nx ny f d
即
0
0( ) (,( ) ),
x
x
x y f d
) ),(,(
],[) ) }(,({ 00
xxf
hxhxxxf n
致收敛于上一在只需函数列
)()())(,())(,( xxLxxfxxf nn由
).(],[)}({ 00 xhxhxxn 上一致收敛于在只需
),())()(()(
1
10 xxxx n
n
k
kk
由于等价于函数项级数敛性上一致收在于是函数列
,
],[)}({ 00 hxhxxn
,))()(()(
1
10?
n
nn xxx
.],[ 00 上一致收敛性在 hxhx
.
],[)5.3()()4( 00
且唯一上连续解定义于是积分方程 hxhxx
下面分五个命题来证明定理,为此先给出积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程,
积分方程
.,)(,0 程就是一个简单的积分方如 xx dttyey
.)(,
))(,()(
),(],[
,),(
0
0
0
0
为该积分方程的解则称上恒成立在区间使得上的连续函数如果存在定义在区间对于积分方程
xyI
dtttfyx
xyI
dtytfyy
x
x
x
x
命题 1 初值问题 (3.1)等价于积分方程
)5.3(),(
0
0 dtytfyy
x
x?
证明,则的连续解为若,)1.3()( xy
,
)(
))(,(
)(
00
yx
xxf
dx
xd
取定积分得到对第一式从 xx 0
dxxxfxx x
x?
0
))(,()()( 0
即
dxxxfyx x
x?
0
))(,()( 0
.)5.3()( 的连续解为故 xy
)1.3(,
)(
),(
00
yxy
yxf
dx
dy
则有的连续解为若,)5.3()( xy
反之
dtttfyx x
x?
0
))(,()( 0
,),( 上连续在由于 Ryxf,))(,( 连续从而 ttf?
故对上式两边求导,得
))(,()( xxfdx xd
且
000
0
0
))(,()( ydxxxfyx x
x
.)1.3()( 的连续解为即 xy
构造 Picard逐步逼近函数列 )}({ x
n?
00 )( yx
0
0 1 0 0( ) (,( ) )
x
nn xx y f d x x x h
),2,1(n
)7.3(
问题,这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?
.)(,
,)(
00
0
的常数值往往取方便但实际上为可任取一般来说连续函数
yx
x
注命题 2 连续且满足和对于所有 )(],,[
00 xhxxxn n
)8.3(,)( 0 byxn
证明,(用数学归纳法 )
时1?n dyfyx x
x
),()( 001
0?
且上连续在显然,],[)( 001 hxxx
01 )( yx dyfx
x?
0
),( 0 dyf
x
x
),( 0
0?
0xxM
Mh? b?
),m in ( Mbah?),(
),( yxfM a xM Ryx
,2 时成立当设命题 kn? 上连续且在即 ],[)( 00 hxxxk
byxk 0)(?
时当 1 kn dfyx
k
x
xk
))(,()(
0
01
,),( 上连续性知在由 Ryxf
上连续在 ],[))(,( 00 hxxxxf k
上连续且在从而 ],[)( 001 hxxxk
01 )( yxk?
df kx
x
))(,(
0?
dfx
x k?
0
))(,(
0xxM
Mh? b?
,12 时成立当即命题 kn,2 都成立对所有从而命题 n
命题 3
.],[)}({ 00 上一致收敛在函数序列 hxxxn
].,[),()(lim 00 hxxxxxnn记证明,考虑函数项级数
)9.3(],,[,))()(()( 00
1
10 hxxxxxx
n
nn
它的前 n项部分和为
),())()(()()(
1
10 xxxxxS n
n
k
kkn
.)9.3()}({ 一致收敛性等价一致收敛性与级数于是 xn?
对级数 (3.9)的通项进行估计
)()( 01 xx dfx
x?
0
))(,( 0 0xxM
)()( 12 xx dffx
x?
0
))(,())(,( 01
dL x
x?
0
)()( 01
dxML x
x?
0
)( 0 20 )(2 xxML
,条件得到的其中第二个不等式是由 L i ps c hi t z
条件由 L ip s c h it z
有不等式设对于正整数,n
)()( 1 xx nn,)(
! 0
1
n
n
xx
n
ML
条件有由时则当 L i p s c h i t zhxxx,00
)()(1 xx nn dffx
x nn
0
))(,())(,( 1
dL x
x nn
0
)()( 1
dx
n
ML x
x
n
n
0
)(
! 0,)()!1(
1
0
n
n
xx
n
ML
于是由数学归纳法得知,对所有正整数 n,有
)()( 1 xx nn,)(
! 0
1
n
n
xx
n
ML )11.3(,00 hxxx
,00 时从而当 hxxx
)()( 1 xx nn nn xx
n
ML )(
! 0
1
,
!1
1
收敛由于正项级数?
n
n
n
h
n
ML
.],[)9.3(,00 上一致收敛在级数判别法知由 hxxsW e i e r s t r a s?
.],[)}({ 00 上一致收敛在因而函数序列 hxxxn
,
!
1
n
n
h
n
ML
现设
),()(lim xxnn,00 hxxx
,],[)}({ 00 得的连续性和一致收敛性在则由 hxxxn
且上连续在,],[)( 00 hxxx
byx 0)(?
命题 4,],[)5.3()(
00 上连续解定义于是积分方程 hxxx
证明,条件有由 L i p s c h i t z
))(,())(,( xxfxxf n )()( xxL
n
,],[)}({ 00 的一致收敛性得在以及 hxxxn
) },({ xf n函数列
) ),(,(],[ 00 xxfhxx?上一致收敛于函数在?
) ) )(,()(( xxfxf nn
得两边取极限因此对,)7.3(
)(lim xnn? 001l i m (,( ) )
x
nxny f d
0
01l i m (,( ) )
x
nx ny f d
即
)(x?
0
0 (,( ) )
x
xy f d
.],[)5.3()( 00 上连续解定义于是积分方程故 hxxx
命题 5
].,[),()(,
],[)5.3()(
00
00
hxxxxx
hxxx
则一个连续解上的定义于是积分方程设证明,,)()()( xxxg设
,],[)( 00 上非负连续函数是定义于则 hxxxg?
0
0( ) (,( ) )
x
xx y f d 00( ) (,( ) )
x
xx y f d
由条件得的及 L i p s c h i t zyxf ),(
)()()( xxxg
00
(,( ) ) (,( ) )xxf d f d
0
( (,( ) ) (,( ) ) )x
x
f f d
0
(,( ) ) (,( ) )xx f f d
0
( ) ( )xxLd
0
()xxL g d
0
( ) ( (,( ) ) (,( ) ) )x
x
g x f f d
0
( ) ( ),xxu x L g d令
,],[)( 00 上连续可微函数是定义于则 hxxxu?
于是且 ),()(),()(0,0)( '0 xLgxuxuxgxu
),()(' xLuxu?,0))()(( ' LxexLuxu
,0)()( 00 LxLx exuexu
积分得到对最后一个不等式从 xx 0
,0))()(( ' LxexLuxu
,0)()( xuxg故 ].,[,0)(
00 hxxxxg即综合命题 1— 5得到存在唯一性定理的证明,
)()(0 xuxg
一 存在唯一性定理
1 定理 1 考虑初值问题
)1.3(,
)(
),(
00
yxy
yxf
dx
dy
:),( Ryxf 在矩形区域其中 )2.3(,,00 byyaxx
,上连续,条件满足并且对 L ip s c h it zy
常成立使对所有即存在 RyxyxL ),(),,(,0 21
2121 ),(),( yyLyxfyxf
,)1.3( 0 上的解存在且唯一在区间则初值问题 hxx
),(),,m i n(
),(
yxfM axMMbah
Ryx?
这里命题 1 初值问题 (3.1)等价于积分方程
)5.3(),(
0
0 dtytfyy
x
x?
构造 Picard逐步逼近函数列 )}({ x
n?
00 )( yx
0
0 1 0 0( ) (,( ) )
x
nn xx y f d x x x h
),2,1(n
命题 2
连续且满足和对于所有 )(],,[ 00 xhxxxn n
)8.3(,)( 0 byxn
命题 3,],[)}({
00 上一致收敛在函数序列 hxxxn
命题 4,],[)5.3()(
00 上连续解定义于是积分方程 hxxx
].,[),()(lim 00 hxxxxxnn记命题 5
].,[),()(,
],[)5.3()(
00
00
hxxxxx
hxxx
则一个连续解上的定义于是积分方程设
2 存在唯一性定理的说明
.
,,
),,()1(
件容易判断的两个充分条下面给出在实际应用中一般比较困难条件满足验证它是否关于根据定义去上有定义的函数对于给定在
L i p s c h i t zy
yxfR
.),(,
),(),(1 0
条件满足上关于在则有界存在且的偏导数上关于在如果
L i p s c h i t zyRyxf
yxfyRyxf y
.),(
,),(),(2 0
条件满足上关于在则连续的偏导数上关于在如果
L i p s c h i t zyRyxf
yxfyRyxf y
),(),( 21 yxfyxf? 21212 ))(,( yyyyyxf y
21 yyL
的几何意义定理中 },m i n {)2( Mbah?
,),( MyxfR?中有在矩形
,)1.3( 之间与的解曲线的斜率必介于故初值问题 MM?
,),( 00 的直线和分别作斜率为过点 MMyx?;
)(),
)((
00
中有定义在解所示如图时当
axxax
xy
a
a
b
M
.)(
,,,;
)(),)((
00
00
内在证解才能保时只有当使得无意义外去矩形它有可能在区间内跑到中有定义在不能保证解所示如图时而当
Rxy
M
b
xx
M
b
xR
axxax
xyb
a
b
M
.0 hxx范围为故要求解的存在即为线性方程时当方程,)1.3()3(
)()( xQyxpdxdy
.,
],[,],[,)(
,1,],[)(),(
000
且连续有定义在所确定的解且任一初值的条件能满足定理上连续时在则当
xyxy
xQxP
3 一阶隐方程解存在唯一性定理定理 2 考虑一阶隐方程
)5.3(,0),,( '?yyxF
的某邻域中满足如果在点 ),,( '000 yyx
,),,(),,(1 ''0 连续且存在连续偏导数对所有变元 yyxyyxF
,0),,(2 '0000?yyxF,0),,(3
'
'
0000?
y
yyxF
则方程 (3.5)存在唯一解
)(),( 0 为足够小的正数hhxxxyy
满足初始条件
)8.3(,)(;)( '00'000 yxyyxy
三 近似计算和误差估计求方程近似解的方法 ---Picard逐步逼近法,这里
00 )( yx
0
0 1 0 0( ) (,( ) )
x
nn xx y f d x x x h
),2,1(n
内误差估计为在和真正解次近似解对方程的第
],[
)()(
00 hxhx
xyxn n
)19.3(,
)!1(
)()( 1?
n
n
n hn
MLxx
注,上式可用数学归纳法证明
)()(0 xx dfx
x?
0
))(,( 0xxM
Mh?
,
!
)(
!
)()(
1
0
1
1
n
n
n
n
n hn
MLxx
n
MLxx
设则
)()( xxn dffx
x n?
0
))(,())(,( 1
dL x
x n?
0
)()(1 dxnML
x
x
n
n
0
)(
! 0
1
0 )()!1(
n
n
xx
n
ML,
)!1(
1?
n
n
h
n
ML
)(
,,,
xn?数选取适当的逐步逼近函可以根据误差要求在进行近似计算时这样例 1 讨论初值问题
0)0(,22 yyxdxdy
解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超
.11,11:,05.0 yxR其中的近似解的表达式过解
,2),(),( yxfM axM Ryx这里
2
1}
2
1,1m in {h所以由于 y
y
f 2?
L 2
由 (3.19) 1
)!1(
)()(?
n
n
n hn
MLxx
1)(
)!1(
1?
nLh
nL
M
)!1(
1
n
05.0?
05.0
)!1(
1?
n作出如下的近似表达式因此我们可以因而可取,3?n
,0)(0?x x dxxxx
0
2
0
2
1 )]([)( 3
3x
x dxxxx 0 2122 )]([)( x dxxx
0
6
2 ]
9
[
633
73 xx
x dxxxx 0 2223 )]([)( x dxxxxx0
14106
2 ]
3969189
2
9
[
5 9 5 3 52 0 7 9
2
633
151173 xxxx
.05.0
]
2
1
,
2
1
[,)(3
解误差不会超过上与真正在区间就是所求的近似解?x?
例 2 求初值问题
0)0(,1 2 yydxdy
解的存在唯一区间,
解,,ba对任意 均在矩形区域函数 ),( yxf
},|),{( byaxyxR
计算有连续的偏导数且对内连续,,y
),(),( yxfM a xM Ryx ;1
2b }
1,m in { 2b
bah
,都可任意取和由于 ba 最大使我们选取
21,b
bb
.1211,1 22 的最大值为时显然 bbbbb
1,1 ba故可取
.
2
1
2
1
x
是题的解的存在唯一区间此时由定理得到初值问例 3 利用 Picard迭代法求初值问题
0)0(),1(2 yyxdxdy
的解,
解 与初值问题等价的积分方程为
x dxyxxy 0 )1(2)(
其迭代序列分别为
,0)(0?xy
x xd xxy 01 2)( 2x?
x dxxxxy 0 22 )1(2)( !2
4
2 xx
x dxxxxxy 0
4
2
3 )!21(2)(
!3!2
64
2 xxx
)(xyn
!!2
24
2
n
xxx n
取极限得
)(lim xy nn,1
2?xe
即初值问题的解为,12 xey
作业
P78 1,3,4,8
,
)(
),(1
00
0 的解是否存在初值问题
yxy
yxf
dx
dy
,,
)(
),(2
00
0 是否唯一的解是存在若初值问题
yxy
yxf
dx
dy
§ 3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法一 存在唯一性定理
1 定理 1 考虑初值问题
)1.3(,
)(
),(
00
yxy
yxf
dx
dy
:),( Ryxf 在矩形区域其中 )2.3(,,00 byyaxx
,上连续,条件满足并且对 L ip s c h it zy
常成立使对所有即存在 RyxyxL ),(),,(,0 21
2121 ),(),( yyLyxfyxf
,)1.3( 0 上的解存在且唯一在区间则初值问题 hxx
),(),,m i n(
),(
yxfM axMMbah
Ryx?
这里
(1) 初值问题 (3.1)的解等价于积分方程
)5.3(),(
0
0 dtytfyy
x
x?
的连续解,
证明思路
(2) 构造 (3.5)近似解函数列 )}({ x
n?
0
1 0 0( ) (,( ) )
x
x
x y f d
得右侧的代入任取一连续函数
,
)5.3(,)(),( 000
y
byxx
得右侧的代入否则将为解则若
,
)5.3()(,)(),()( 1001
y
xxxx
0
2 0 1( ) (,( ) )
x
x
x y f d
,
)5.3()(,)(),()( 2112
y
xxxx
右侧的代入否则将为解则若
0
10( ) (,( ) ),
x
nn xx y f d
,)( 0 byxn这里要求
,)(),()(1 为解则若 xxx nnn
)}({ xn?列否则一直下去可得函数
(逐步求 (3.5)的解,逐步逼近法 )
).(],[)}({)3( 00 xhxhxxn 上一致收敛于在函数序列
这是为了
0
10l i m ( ) l i m (,( ) )
x
nn xnn x y f d
0
0 l i m (,( ) )
x
nx ny f d
即
0
0( ) (,( ) ),
x
x
x y f d
) ),(,(
],[) ) }(,({ 00
xxf
hxhxxxf n
致收敛于上一在只需函数列
)()())(,())(,( xxLxxfxxf nn由
).(],[)}({ 00 xhxhxxn 上一致收敛于在只需
),())()(()(
1
10 xxxx n
n
k
kk
由于等价于函数项级数敛性上一致收在于是函数列
,
],[)}({ 00 hxhxxn
,))()(()(
1
10?
n
nn xxx
.],[ 00 上一致收敛性在 hxhx
.
],[)5.3()()4( 00
且唯一上连续解定义于是积分方程 hxhxx
下面分五个命题来证明定理,为此先给出积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程,
积分方程
.,)(,0 程就是一个简单的积分方如 xx dttyey
.)(,
))(,()(
),(],[
,),(
0
0
0
0
为该积分方程的解则称上恒成立在区间使得上的连续函数如果存在定义在区间对于积分方程
xyI
dtttfyx
xyI
dtytfyy
x
x
x
x
命题 1 初值问题 (3.1)等价于积分方程
)5.3(),(
0
0 dtytfyy
x
x?
证明,则的连续解为若,)1.3()( xy
,
)(
))(,(
)(
00
yx
xxf
dx
xd
取定积分得到对第一式从 xx 0
dxxxfxx x
x?
0
))(,()()( 0
即
dxxxfyx x
x?
0
))(,()( 0
.)5.3()( 的连续解为故 xy
)1.3(,
)(
),(
00
yxy
yxf
dx
dy
则有的连续解为若,)5.3()( xy
反之
dtttfyx x
x?
0
))(,()( 0
,),( 上连续在由于 Ryxf,))(,( 连续从而 ttf?
故对上式两边求导,得
))(,()( xxfdx xd
且
000
0
0
))(,()( ydxxxfyx x
x
.)1.3()( 的连续解为即 xy
构造 Picard逐步逼近函数列 )}({ x
n?
00 )( yx
0
0 1 0 0( ) (,( ) )
x
nn xx y f d x x x h
),2,1(n
)7.3(
问题,这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?
.)(,
,)(
00
0
的常数值往往取方便但实际上为可任取一般来说连续函数
yx
x
注命题 2 连续且满足和对于所有 )(],,[
00 xhxxxn n
)8.3(,)( 0 byxn
证明,(用数学归纳法 )
时1?n dyfyx x
x
),()( 001
0?
且上连续在显然,],[)( 001 hxxx
01 )( yx dyfx
x?
0
),( 0 dyf
x
x
),( 0
0?
0xxM
Mh? b?
),m in ( Mbah?),(
),( yxfM a xM Ryx
,2 时成立当设命题 kn? 上连续且在即 ],[)( 00 hxxxk
byxk 0)(?
时当 1 kn dfyx
k
x
xk
))(,()(
0
01
,),( 上连续性知在由 Ryxf
上连续在 ],[))(,( 00 hxxxxf k
上连续且在从而 ],[)( 001 hxxxk
01 )( yxk?
df kx
x
))(,(
0?
dfx
x k?
0
))(,(
0xxM
Mh? b?
,12 时成立当即命题 kn,2 都成立对所有从而命题 n
命题 3
.],[)}({ 00 上一致收敛在函数序列 hxxxn
].,[),()(lim 00 hxxxxxnn记证明,考虑函数项级数
)9.3(],,[,))()(()( 00
1
10 hxxxxxx
n
nn
它的前 n项部分和为
),())()(()()(
1
10 xxxxxS n
n
k
kkn
.)9.3()}({ 一致收敛性等价一致收敛性与级数于是 xn?
对级数 (3.9)的通项进行估计
)()( 01 xx dfx
x?
0
))(,( 0 0xxM
)()( 12 xx dffx
x?
0
))(,())(,( 01
dL x
x?
0
)()( 01
dxML x
x?
0
)( 0 20 )(2 xxML
,条件得到的其中第二个不等式是由 L i ps c hi t z
条件由 L ip s c h it z
有不等式设对于正整数,n
)()( 1 xx nn,)(
! 0
1
n
n
xx
n
ML
条件有由时则当 L i p s c h i t zhxxx,00
)()(1 xx nn dffx
x nn
0
))(,())(,( 1
dL x
x nn
0
)()( 1
dx
n
ML x
x
n
n
0
)(
! 0,)()!1(
1
0
n
n
xx
n
ML
于是由数学归纳法得知,对所有正整数 n,有
)()( 1 xx nn,)(
! 0
1
n
n
xx
n
ML )11.3(,00 hxxx
,00 时从而当 hxxx
)()( 1 xx nn nn xx
n
ML )(
! 0
1
,
!1
1
收敛由于正项级数?
n
n
n
h
n
ML
.],[)9.3(,00 上一致收敛在级数判别法知由 hxxsW e i e r s t r a s?
.],[)}({ 00 上一致收敛在因而函数序列 hxxxn
,
!
1
n
n
h
n
ML
现设
),()(lim xxnn,00 hxxx
,],[)}({ 00 得的连续性和一致收敛性在则由 hxxxn
且上连续在,],[)( 00 hxxx
byx 0)(?
命题 4,],[)5.3()(
00 上连续解定义于是积分方程 hxxx
证明,条件有由 L i p s c h i t z
))(,())(,( xxfxxf n )()( xxL
n
,],[)}({ 00 的一致收敛性得在以及 hxxxn
) },({ xf n函数列
) ),(,(],[ 00 xxfhxx?上一致收敛于函数在?
) ) )(,()(( xxfxf nn
得两边取极限因此对,)7.3(
)(lim xnn? 001l i m (,( ) )
x
nxny f d
0
01l i m (,( ) )
x
nx ny f d
即
)(x?
0
0 (,( ) )
x
xy f d
.],[)5.3()( 00 上连续解定义于是积分方程故 hxxx
命题 5
].,[),()(,
],[)5.3()(
00
00
hxxxxx
hxxx
则一个连续解上的定义于是积分方程设证明,,)()()( xxxg设
,],[)( 00 上非负连续函数是定义于则 hxxxg?
0
0( ) (,( ) )
x
xx y f d 00( ) (,( ) )
x
xx y f d
由条件得的及 L i p s c h i t zyxf ),(
)()()( xxxg
00
(,( ) ) (,( ) )xxf d f d
0
( (,( ) ) (,( ) ) )x
x
f f d
0
(,( ) ) (,( ) )xx f f d
0
( ) ( )xxLd
0
()xxL g d
0
( ) ( (,( ) ) (,( ) ) )x
x
g x f f d
0
( ) ( ),xxu x L g d令
,],[)( 00 上连续可微函数是定义于则 hxxxu?
于是且 ),()(),()(0,0)( '0 xLgxuxuxgxu
),()(' xLuxu?,0))()(( ' LxexLuxu
,0)()( 00 LxLx exuexu
积分得到对最后一个不等式从 xx 0
,0))()(( ' LxexLuxu
,0)()( xuxg故 ].,[,0)(
00 hxxxxg即综合命题 1— 5得到存在唯一性定理的证明,
)()(0 xuxg
一 存在唯一性定理
1 定理 1 考虑初值问题
)1.3(,
)(
),(
00
yxy
yxf
dx
dy
:),( Ryxf 在矩形区域其中 )2.3(,,00 byyaxx
,上连续,条件满足并且对 L ip s c h it zy
常成立使对所有即存在 RyxyxL ),(),,(,0 21
2121 ),(),( yyLyxfyxf
,)1.3( 0 上的解存在且唯一在区间则初值问题 hxx
),(),,m i n(
),(
yxfM axMMbah
Ryx?
这里命题 1 初值问题 (3.1)等价于积分方程
)5.3(),(
0
0 dtytfyy
x
x?
构造 Picard逐步逼近函数列 )}({ x
n?
00 )( yx
0
0 1 0 0( ) (,( ) )
x
nn xx y f d x x x h
),2,1(n
命题 2
连续且满足和对于所有 )(],,[ 00 xhxxxn n
)8.3(,)( 0 byxn
命题 3,],[)}({
00 上一致收敛在函数序列 hxxxn
命题 4,],[)5.3()(
00 上连续解定义于是积分方程 hxxx
].,[),()(lim 00 hxxxxxnn记命题 5
].,[),()(,
],[)5.3()(
00
00
hxxxxx
hxxx
则一个连续解上的定义于是积分方程设
2 存在唯一性定理的说明
.
,,
),,()1(
件容易判断的两个充分条下面给出在实际应用中一般比较困难条件满足验证它是否关于根据定义去上有定义的函数对于给定在
L i p s c h i t zy
yxfR
.),(,
),(),(1 0
条件满足上关于在则有界存在且的偏导数上关于在如果
L i p s c h i t zyRyxf
yxfyRyxf y
.),(
,),(),(2 0
条件满足上关于在则连续的偏导数上关于在如果
L i p s c h i t zyRyxf
yxfyRyxf y
),(),( 21 yxfyxf? 21212 ))(,( yyyyyxf y
21 yyL
的几何意义定理中 },m i n {)2( Mbah?
,),( MyxfR?中有在矩形
,)1.3( 之间与的解曲线的斜率必介于故初值问题 MM?
,),( 00 的直线和分别作斜率为过点 MMyx?;
)(),
)((
00
中有定义在解所示如图时当
axxax
xy
a
a
b
M
.)(
,,,;
)(),)((
00
00
内在证解才能保时只有当使得无意义外去矩形它有可能在区间内跑到中有定义在不能保证解所示如图时而当
Rxy
M
b
xx
M
b
xR
axxax
xyb
a
b
M
.0 hxx范围为故要求解的存在即为线性方程时当方程,)1.3()3(
)()( xQyxpdxdy
.,
],[,],[,)(
,1,],[)(),(
000
且连续有定义在所确定的解且任一初值的条件能满足定理上连续时在则当
xyxy
xQxP
3 一阶隐方程解存在唯一性定理定理 2 考虑一阶隐方程
)5.3(,0),,( '?yyxF
的某邻域中满足如果在点 ),,( '000 yyx
,),,(),,(1 ''0 连续且存在连续偏导数对所有变元 yyxyyxF
,0),,(2 '0000?yyxF,0),,(3
'
'
0000?
y
yyxF
则方程 (3.5)存在唯一解
)(),( 0 为足够小的正数hhxxxyy
满足初始条件
)8.3(,)(;)( '00'000 yxyyxy
三 近似计算和误差估计求方程近似解的方法 ---Picard逐步逼近法,这里
00 )( yx
0
0 1 0 0( ) (,( ) )
x
nn xx y f d x x x h
),2,1(n
内误差估计为在和真正解次近似解对方程的第
],[
)()(
00 hxhx
xyxn n
)19.3(,
)!1(
)()( 1?
n
n
n hn
MLxx
注,上式可用数学归纳法证明
)()(0 xx dfx
x?
0
))(,( 0xxM
Mh?
,
!
)(
!
)()(
1
0
1
1
n
n
n
n
n hn
MLxx
n
MLxx
设则
)()( xxn dffx
x n?
0
))(,())(,( 1
dL x
x n?
0
)()(1 dxnML
x
x
n
n
0
)(
! 0
1
0 )()!1(
n
n
xx
n
ML,
)!1(
1?
n
n
h
n
ML
)(
,,,
xn?数选取适当的逐步逼近函可以根据误差要求在进行近似计算时这样例 1 讨论初值问题
0)0(,22 yyxdxdy
解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超
.11,11:,05.0 yxR其中的近似解的表达式过解
,2),(),( yxfM axM Ryx这里
2
1}
2
1,1m in {h所以由于 y
y
f 2?
L 2
由 (3.19) 1
)!1(
)()(?
n
n
n hn
MLxx
1)(
)!1(
1?
nLh
nL
M
)!1(
1
n
05.0?
05.0
)!1(
1?
n作出如下的近似表达式因此我们可以因而可取,3?n
,0)(0?x x dxxxx
0
2
0
2
1 )]([)( 3
3x
x dxxxx 0 2122 )]([)( x dxxx
0
6
2 ]
9
[
633
73 xx
x dxxxx 0 2223 )]([)( x dxxxxx0
14106
2 ]
3969189
2
9
[
5 9 5 3 52 0 7 9
2
633
151173 xxxx
.05.0
]
2
1
,
2
1
[,)(3
解误差不会超过上与真正在区间就是所求的近似解?x?
例 2 求初值问题
0)0(,1 2 yydxdy
解的存在唯一区间,
解,,ba对任意 均在矩形区域函数 ),( yxf
},|),{( byaxyxR
计算有连续的偏导数且对内连续,,y
),(),( yxfM a xM Ryx ;1
2b }
1,m in { 2b
bah
,都可任意取和由于 ba 最大使我们选取
21,b
bb
.1211,1 22 的最大值为时显然 bbbbb
1,1 ba故可取
.
2
1
2
1
x
是题的解的存在唯一区间此时由定理得到初值问例 3 利用 Picard迭代法求初值问题
0)0(),1(2 yyxdxdy
的解,
解 与初值问题等价的积分方程为
x dxyxxy 0 )1(2)(
其迭代序列分别为
,0)(0?xy
x xd xxy 01 2)( 2x?
x dxxxxy 0 22 )1(2)( !2
4
2 xx
x dxxxxxy 0
4
2
3 )!21(2)(
!3!2
64
2 xxx
)(xyn
!!2
24
2
n
xxx n
取极限得
)(lim xy nn,1
2?xe
即初值问题的解为,12 xey
作业
P78 1,3,4,8
