§ 4.3高阶 微分方程的降阶和幂级数解法一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式,
0),,,,( )('?nxxxtF?
1 不显含未知函数 x,
或更一般不显含未知函数及其直到 k-1(k>1)阶导数的方程是
)57.4(0),,,,( )()1()( nkk xxxtF?
阶方程的则可把方程化为若令 knyyx k,)(
)58.4(0),,,,( )(' knyyytF?
若能求得 (4.58)的通解 ),,,(
1 knccty
对上式经过 k次积分,即可得 (4.57)的通解即 ),,,(
1)( knk cctx
为任常数这里 nn cccctx,,),,,,( 11
解题步骤,
则方程化为令,)( yx k?第一步,
0),,,,( )(' knyyytF?
第二步,求以上方程的通解
),,,( 1 knccty
即 ),,,(
1)( knk cctx
第三步,对上式求 k次积分,即得原方程的通解为任常数这里 nn cccctx,,),,,,( 11
)57.4(0),,,,( )()1()( nkk xxxtF?
解 令
,4
4
y
dt
xd? 则方程化为
01 ytdtdy
这是一阶方程,其通解为,cty?
即有
,4
4
ct
dt
xd?
对上式积分 4次,得原方程的通解为
,54233251 ctctctctcx
例 1
.01 4
4
5
5
的通解求方程
dt
xd
tdt
xd
2 不显含自变量 t的方程,
一般形式,
)59.4(,0),,,( )('?nxxxF?
,,' 作为新的自变量而把作为新的未知函数此时以 xxy?
,ydtdx?
因为
dtdy?2
2
dt
xd
dx
dy?
dt
dx,
dx
dyy
32
32
d x d d x
d t d t d t
dt
d?
)( dxdyy
dx
dx
dy
yd )(
dt
dx
,2
2
2
dx
ydy?2)(
dx
dyy?
用数学归纳法易得,
来表达可用 )(,,,)1(
)1(
)( nk
dx
yd
dx
dyyx
k
k
k?
将这些表达式代入 (4.59)可得,
2
22
2(,,,( ),) 0
dy dy d yF x y y y y
dx dx dx
即有新方程
0),,,,( )1(
)1(
n
n
dx
yd
dx
dyyxG?
它比原方程降低一阶解题步骤,
第一步,
原方程化为自变量为新的为新的未知函数并令
,
,,' xyxy?
0),,,,( )1(
)1(
n
n
dx
yd
dx
dyyxG?
第二步,求以上方程的通解
),,,( 11 nccxy
第三步,解方程
),,,( 11 nccxdtdx
即得原方程的通解解 令
,,作为新的自变量并以 xydtdx?
则方程化为
02 ydxdyxy
从而可得
,0?y 及,
x
y
dx
dy?
这两方程的全部解是
,1xcy?
例 2
.0)( 22
2
的通解求方程
dt
dx
dt
xdx
再代回原来变量得到
,1 xcdtdx?
所以得原方程的通解为 1
2,ctx c e?
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
1( 1 ) 0xx设 是二阶齐线性方程
2
2 ( ) ( ) 0,( 4,6 9 )
d x d xp t q t x
d t d t
的非零解令
1x x y?
则 ' ' '
11x x y x y
'' '' ' ' ''1 1 12x x y x y x y
代入 (4.69)得
'' ' ' '' '1 1 1 1 1 1[ 2 ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0x y x p t x y x p t x q t x y
即
'' ' '1 1 1[ 2 ( ) ] 0x y x p t x y
'' ' '1 1 1[ 2 ( ) ] 0x y x p t x y引 入新的未知函数
',zy?
方程变为
'
1 1 1[ 2 ( ) ] 0
dzx x p t x z
dt
是一阶线性方程,解之得
()
2
1
,
p t d tc
ze
x
因而
()
1 1 2 2
1
1[ ],( 4.7 0)p t dtx x c c e dt
x
12,cc这里 是任常数.
则
()
212
1
1,p t d ty c e d t c
x
因此 (4.69)的 通解 为
1x因它与 之比不等于常数,12,xx故 线性无关
12 0,cc?令 = 1 得( 4,6 9 ) 的一个解:
()
21 2
1
1,p t dtx x e dt
x
()
1 1 2 2
1
1[ ],( 4.7 0)p t dtx x c c e dt
x
12,cc这里 是任常数.
2
2 ( ) ( ) 0,( 4,6 9 )
d x d xp t q t x
d t d t
解题步骤,
第一步,
1x x y?令 方程变为
'' ' '1 1 12 [ ( ) ] 0x y x p t x y
第二步,
'zy?令 方程变为
'
1 1 12 [ ( ) ] 0
dzx x p t x z
dt
解之得
()
2
1
,
p t d tc
ze
x
即
()
1 1 2 2
1
1[ ],( 4.7 0)p t dtx x c c e dt
x
第三步,
1 2 10,c c x?令 =1 得 与 线 性 无 关 一 个 解,
()
21 2
1
1,p t dtx x e dt
x
第四步,(4.69)的 通解 为
()
1 1 2 2
1
1[ ],( 4.7 0)p t dtx x c c e dt
x
12,cc这里 是任常数.
注 一般求 (4.69)的解直接用公式 (4.70)
解 这里
1
2 s in( ),tp t x
tt
由 (4.70)得
22
12 2[]sin
dt
ttc c e dt
t
例 3 2
2
si n 2
0
.
t d x dx
xx
t dt t dt
已 知 是 方 程 的 解,
试 求 方 程 的 通 解
2
12 2
sin [
sin
ttcc
tt
12
sin [t cc
t
12
1 [ s in c o s ]c t c t
t 12,cc这里 是任常数.
sin tx
t?
2
1 ]dt
t
cot ]t
( 2 ) 一般已知齐线性方程
1
1 1( ) ( ) 0 ( 4,2 )
nn
nnn
d x d xa t a t x
d t d t
2,,,,kx x x1的 k 个 线 性 无 关 的 解
0,1,2,,,ix i k显然,kx x y?令则
' ' 'kkx x y x y
'' '' ' ' ''2k k kx x y x y x y
( ) ( ) ' ( 1 ) '' ( 2 ) ( )( 1 )
2
n n n n n
k k k k
nnx x y n x y x y x y
代入 (4.2)得
( ) ' ( 1 )
1[ ( ) ]
nn
k k kx y nx a t x y
( ) ( 1 )1[ ( ) ] 0nnk k n kx a t x a x y
( 4.2 )kx因 为 的解,y故 的 系 数 恒 为 零,y即 化 为 不 含 的 方 程,
',z y x k令 则 在 0 的 区 间 上 方 程 变 为
( 1 ) ( 1 )11( ) ( ) 0,( 4,67 )nn nz b t z b t z
'( ),1,2,,1 ( 4,6 7 ) 1i
i
k
xz i k k
x且 是 的 个线性无关的解事实上 21,,,( 4,2 ),kx x x?1由 为 的 解 及 以 上 变 换 知
'()
k
k
xz x x zd t
x
或
21,,,( 4,6 7 ),kz z z?1因此 是 的解若
1 2 2 1 1kkz z z1 0
则
1 2 1kk
k k k
x x x
x x x
1 2 k-1
即
1 2 2 1 1k k k kx x x x1 0
2,,,,kx x x1由 线 性 无 关 知
1 2 1,,kk 全为0
21,,,,kzz?1故z 线性无关因此,对 (4.67)仿以上做法,
1,kz u d t令z
-2un则 可 把 方 程 化 为 关 于 的 阶 线 性 方 程
( 2 ) ( 3 )12( ) ( ) 0,( 4.68 )nn nu c t u c t u
,k且 可 (4.68) 的 -2 个 线 性 无 关 的 解
'
1
( ),1,2,,2ii
k
zu i k
z
-nk以 上 做 法 一 直 下 去,可 降 低 阶,
二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程
2
2 ( ) ( ) 0 ( 4,7 2 )
d y d yp x q x y
d x d x
其求解问题,归结为寻求它的一个非零解,
下面考虑该方程及初始条件
' ( 1 )0 0 0 0( ),( )y x y y x y 的情况用级数表示解?
0 0)x?( 不失一般性,可 设定理 10
,( 4,7 2 )
p x q x x
xR?
若 方 程 (4.72) 中 系 数 () 和 () 都 可 展 成 的幂 级 数,且 收 敛 区 间 为 则 方 程 有 形 如
0
,( 4,7 3 )nn
n
y a x
=
.xR?的 特 解,也 以 为 级 数 的 收 敛 区 间定理 11
2
( ) ( )
( ) ( )
,( 4.7 2)
p x q x
x p x x q x
xR?
若 方 程 (4.72) 中 系 数 和 都 具 有 这 样 的性 质,即 和 均 可 展 成 x 的 幂 级 数,且 收 敛 区间 为 则 方 程 有 形 如
00
,( 4,7 5 )nnnn
nn
y x a x a x
0 0,
.
a
xR
的 特 解,这 里 是 一 个 待 定 常 数,级 数 (4.75) 也 以为 收 敛 区 间例 4
'
'
2 4 0 (0 ) 0,
.
x y y y
y
"求方程y 满足初始条件
(0)=1 的解解 设级数
1 nna a x a x0y=
为方程的解,( 1,2,)ai?
i这 里 是 一 个 待 定 常 数,
由初始条件得,
10,1 ;aa0
因而
22 nny x a x a x=
122 nny a x n a x=1
2232 3 2 ( 1 ) nny a a x n n a x=
将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得
220a?
33 2 2 4 0a
4224 3 4 4 0aaa
22( 1 ) 2 ( 2 ) 4 0n n nn n a n a a
即
2 0,a? 3 1,a? 4 0,a?
,
2
2,
1nn
aa
n?
因而
5
1,
2!
a? 6 0,a? 7 1,
3!
a? 8 0,a? 9 1,
4!
a?
也即
21
1,
!k
a
k?
2 0,ka?;k对一切正整数 成立故方程的解为
5 2 1
3
2 ! !
kxx
xx
k
y=
42
2( 1 )
2 ! !
kxx
xx
k
2xxe?
例 5
2
2 2 2
2
( ) 0 ( 4,7 4 )
.
d y d y
x x x n y
d x d x
n
求 解 n 阶 Bessel 方 程这 里 为 非 负 常 数解 将方程改写为
2 2 2
22
1 0d y dy x n y
dx x dx x
易见,它满足定理 11条件,且
2 2 2( ) 1,( )x p x x q x x n
,
11
xx按 展成的幂级数收敛区间为由定理 方程有形如
0
,( 4,7 5 )kn
k
y a x?
0 0,a的 解,这 里 是 一 个 待 定 常 数,
将 (4.75)代入 (4.74)中,得
22
0
k
k
x a x
k( + k ) ( + k - 1 ) 1
0
k
k
x a x
k( + k )
22
0
( ) 0k
k
x n a x?
k
x比较 的同次幂系数得
220 ( ) 0an
221 [ ( 1 ) ] 0an
22 2[ ( ) ] 0,2,3,kka k n a k
(4.76)
a?0因 为 0,22 0,n则有,n从而
,n为确定起见暂令 由 (4.76)得
1 0,a? 2,2,3,
( 2 )
k
k
aak
k n k
即
21
21,( 2 1 ) ( 2 2 1 )
k
k
aa
k n k
22
2,2 ( 2 2 )
k
k
aa
k n k
1,2,k?
从而可得
21 0,1,2,kak
0
2 2( 1 ),2 ! ( 1 ) ( 2 ) ( )
k
k k
aa
k n n n k
1,2,k?
0,n B e s s e l因此在 时 得到 方程的一个解
20
10 2
1
( 1 ),( 4.77 )
2 ! ( 1 ) ( )
n k k n
k
k
ay a x x
k n n k
0a若 将 任 常 数 取 为
0
1
2 ( 1 )n
a
n
-1
0( ) ( 1 ) ( )
xpp e x d x p p p这 里,注 意 到 时,
因此 (4.77)变为
2
1
0
1( 1 ) ( ) ( ),( 4,7 7 )
! ( 1 ) 2
k k n
n
k
xy J x
k n k
( ) ( 4,7 4 ),
.
nJ x B e sse l
n B e sse l
是由 方程 定义的特殊函数 称为 阶 函数
,n当 时 完全类可得
21 0,1,2,kak
0
2 2( 1 ),2 ! ( 1 ) ( 2 ) ( )
k
k k
aa
k n n n k
1,2,k?
若取
0
1
2 ( 1 )n
a
n?
则可得 (4.74)的另一个特解
2
2
0
1( 1 ) ( ) ( ),( 4.78 )
! ( 1 ) 2
k k n
n
k
xy J x
k n k
( ) ( 4.74),
.
nJ x Be ss e l
n Be ss e l
是由 方程 定义的特殊函数 称为- 阶 函数由达朗贝尔判别法,对任 x值 (4.77),(4.78)收敛,
-,( ) ( )nnJ x J x?因 此,当 不 等 于 非 负 整 数 时 和 都 是
(4.74) 的 解,且 线 性 无 关,
因而 (4.74)的通解为
12( ) ( ),nny c J x c J x
12,.cc这 里 为 任 常 数
()n n a k n2k当 等 于 正 整 数,而,不 能 从 (4.76) 确 定因此,不能象上面一样求得通解 ;
()nJx但 可 用 一 3 介 绍 的 降 阶 法,求 出 与 线 性 无 关 的 解,
因此,(4.74)的通解为
1
12 2
1( ) [ ],
()
dx
x
n
n
y J x c c e d x
Jx
12 2
1( ) [ ],
()n n
J x c c dx
x J x
12,.cc 为 任 常 数例 6
2 " ' 2 9( 4 ) 0,
25x y x y x y求方程 的通解解 2tx?引 入 新 变 量 我 们 有
2d y d y d t d yd x d t d x d t
22
( 2 ) 4d y d d y d t d y
d x d t d t d x d t
代入方程得
2
22
2
9( ) 0
25
d y d yt t t y
d t d t
3,
5n B e s s e l?这 是 的 方 程 故 方 程 的 通 解 为
1 3 2 3
55
( ) ( ),y c J t c J t
代回原来的变量得原方程的通解为
1 3 2 3
55
( 2 ) ( 2 ),y c J x c J x
12,.cc 为 任 常 数作业
P165 2,5,
P165 8,10
n阶微分方程的一般形式,
0),,,,( )('?nxxxtF?
1 不显含未知函数 x,
或更一般不显含未知函数及其直到 k-1(k>1)阶导数的方程是
)57.4(0),,,,( )()1()( nkk xxxtF?
阶方程的则可把方程化为若令 knyyx k,)(
)58.4(0),,,,( )(' knyyytF?
若能求得 (4.58)的通解 ),,,(
1 knccty
对上式经过 k次积分,即可得 (4.57)的通解即 ),,,(
1)( knk cctx
为任常数这里 nn cccctx,,),,,,( 11
解题步骤,
则方程化为令,)( yx k?第一步,
0),,,,( )(' knyyytF?
第二步,求以上方程的通解
),,,( 1 knccty
即 ),,,(
1)( knk cctx
第三步,对上式求 k次积分,即得原方程的通解为任常数这里 nn cccctx,,),,,,( 11
)57.4(0),,,,( )()1()( nkk xxxtF?
解 令
,4
4
y
dt
xd? 则方程化为
01 ytdtdy
这是一阶方程,其通解为,cty?
即有
,4
4
ct
dt
xd?
对上式积分 4次,得原方程的通解为
,54233251 ctctctctcx
例 1
.01 4
4
5
5
的通解求方程
dt
xd
tdt
xd
2 不显含自变量 t的方程,
一般形式,
)59.4(,0),,,( )('?nxxxF?
,,' 作为新的自变量而把作为新的未知函数此时以 xxy?
,ydtdx?
因为
dtdy?2
2
dt
xd
dx
dy?
dt
dx,
dx
dyy
32
32
d x d d x
d t d t d t
dt
d?
)( dxdyy
dx
dx
dy
yd )(
dt
dx
,2
2
2
dx
ydy?2)(
dx
dyy?
用数学归纳法易得,
来表达可用 )(,,,)1(
)1(
)( nk
dx
yd
dx
dyyx
k
k
k?
将这些表达式代入 (4.59)可得,
2
22
2(,,,( ),) 0
dy dy d yF x y y y y
dx dx dx
即有新方程
0),,,,( )1(
)1(
n
n
dx
yd
dx
dyyxG?
它比原方程降低一阶解题步骤,
第一步,
原方程化为自变量为新的为新的未知函数并令
,
,,' xyxy?
0),,,,( )1(
)1(
n
n
dx
yd
dx
dyyxG?
第二步,求以上方程的通解
),,,( 11 nccxy
第三步,解方程
),,,( 11 nccxdtdx
即得原方程的通解解 令
,,作为新的自变量并以 xydtdx?
则方程化为
02 ydxdyxy
从而可得
,0?y 及,
x
y
dx
dy?
这两方程的全部解是
,1xcy?
例 2
.0)( 22
2
的通解求方程
dt
dx
dt
xdx
再代回原来变量得到
,1 xcdtdx?
所以得原方程的通解为 1
2,ctx c e?
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
1( 1 ) 0xx设 是二阶齐线性方程
2
2 ( ) ( ) 0,( 4,6 9 )
d x d xp t q t x
d t d t
的非零解令
1x x y?
则 ' ' '
11x x y x y
'' '' ' ' ''1 1 12x x y x y x y
代入 (4.69)得
'' ' ' '' '1 1 1 1 1 1[ 2 ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0x y x p t x y x p t x q t x y
即
'' ' '1 1 1[ 2 ( ) ] 0x y x p t x y
'' ' '1 1 1[ 2 ( ) ] 0x y x p t x y引 入新的未知函数
',zy?
方程变为
'
1 1 1[ 2 ( ) ] 0
dzx x p t x z
dt
是一阶线性方程,解之得
()
2
1
,
p t d tc
ze
x
因而
()
1 1 2 2
1
1[ ],( 4.7 0)p t dtx x c c e dt
x
12,cc这里 是任常数.
则
()
212
1
1,p t d ty c e d t c
x
因此 (4.69)的 通解 为
1x因它与 之比不等于常数,12,xx故 线性无关
12 0,cc?令 = 1 得( 4,6 9 ) 的一个解:
()
21 2
1
1,p t dtx x e dt
x
()
1 1 2 2
1
1[ ],( 4.7 0)p t dtx x c c e dt
x
12,cc这里 是任常数.
2
2 ( ) ( ) 0,( 4,6 9 )
d x d xp t q t x
d t d t
解题步骤,
第一步,
1x x y?令 方程变为
'' ' '1 1 12 [ ( ) ] 0x y x p t x y
第二步,
'zy?令 方程变为
'
1 1 12 [ ( ) ] 0
dzx x p t x z
dt
解之得
()
2
1
,
p t d tc
ze
x
即
()
1 1 2 2
1
1[ ],( 4.7 0)p t dtx x c c e dt
x
第三步,
1 2 10,c c x?令 =1 得 与 线 性 无 关 一 个 解,
()
21 2
1
1,p t dtx x e dt
x
第四步,(4.69)的 通解 为
()
1 1 2 2
1
1[ ],( 4.7 0)p t dtx x c c e dt
x
12,cc这里 是任常数.
注 一般求 (4.69)的解直接用公式 (4.70)
解 这里
1
2 s in( ),tp t x
tt
由 (4.70)得
22
12 2[]sin
dt
ttc c e dt
t
例 3 2
2
si n 2
0
.
t d x dx
xx
t dt t dt
已 知 是 方 程 的 解,
试 求 方 程 的 通 解
2
12 2
sin [
sin
ttcc
tt
12
sin [t cc
t
12
1 [ s in c o s ]c t c t
t 12,cc这里 是任常数.
sin tx
t?
2
1 ]dt
t
cot ]t
( 2 ) 一般已知齐线性方程
1
1 1( ) ( ) 0 ( 4,2 )
nn
nnn
d x d xa t a t x
d t d t
2,,,,kx x x1的 k 个 线 性 无 关 的 解
0,1,2,,,ix i k显然,kx x y?令则
' ' 'kkx x y x y
'' '' ' ' ''2k k kx x y x y x y
( ) ( ) ' ( 1 ) '' ( 2 ) ( )( 1 )
2
n n n n n
k k k k
nnx x y n x y x y x y
代入 (4.2)得
( ) ' ( 1 )
1[ ( ) ]
nn
k k kx y nx a t x y
( ) ( 1 )1[ ( ) ] 0nnk k n kx a t x a x y
( 4.2 )kx因 为 的解,y故 的 系 数 恒 为 零,y即 化 为 不 含 的 方 程,
',z y x k令 则 在 0 的 区 间 上 方 程 变 为
( 1 ) ( 1 )11( ) ( ) 0,( 4,67 )nn nz b t z b t z
'( ),1,2,,1 ( 4,6 7 ) 1i
i
k
xz i k k
x且 是 的 个线性无关的解事实上 21,,,( 4,2 ),kx x x?1由 为 的 解 及 以 上 变 换 知
'()
k
k
xz x x zd t
x
或
21,,,( 4,6 7 ),kz z z?1因此 是 的解若
1 2 2 1 1kkz z z1 0
则
1 2 1kk
k k k
x x x
x x x
1 2 k-1
即
1 2 2 1 1k k k kx x x x1 0
2,,,,kx x x1由 线 性 无 关 知
1 2 1,,kk 全为0
21,,,,kzz?1故z 线性无关因此,对 (4.67)仿以上做法,
1,kz u d t令z
-2un则 可 把 方 程 化 为 关 于 的 阶 线 性 方 程
( 2 ) ( 3 )12( ) ( ) 0,( 4.68 )nn nu c t u c t u
,k且 可 (4.68) 的 -2 个 线 性 无 关 的 解
'
1
( ),1,2,,2ii
k
zu i k
z
-nk以 上 做 法 一 直 下 去,可 降 低 阶,
二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程
2
2 ( ) ( ) 0 ( 4,7 2 )
d y d yp x q x y
d x d x
其求解问题,归结为寻求它的一个非零解,
下面考虑该方程及初始条件
' ( 1 )0 0 0 0( ),( )y x y y x y 的情况用级数表示解?
0 0)x?( 不失一般性,可 设定理 10
,( 4,7 2 )
p x q x x
xR?
若 方 程 (4.72) 中 系 数 () 和 () 都 可 展 成 的幂 级 数,且 收 敛 区 间 为 则 方 程 有 形 如
0
,( 4,7 3 )nn
n
y a x
=
.xR?的 特 解,也 以 为 级 数 的 收 敛 区 间定理 11
2
( ) ( )
( ) ( )
,( 4.7 2)
p x q x
x p x x q x
xR?
若 方 程 (4.72) 中 系 数 和 都 具 有 这 样 的性 质,即 和 均 可 展 成 x 的 幂 级 数,且 收 敛 区间 为 则 方 程 有 形 如
00
,( 4,7 5 )nnnn
nn
y x a x a x
0 0,
.
a
xR
的 特 解,这 里 是 一 个 待 定 常 数,级 数 (4.75) 也 以为 收 敛 区 间例 4
'
'
2 4 0 (0 ) 0,
.
x y y y
y
"求方程y 满足初始条件
(0)=1 的解解 设级数
1 nna a x a x0y=
为方程的解,( 1,2,)ai?
i这 里 是 一 个 待 定 常 数,
由初始条件得,
10,1 ;aa0
因而
22 nny x a x a x=
122 nny a x n a x=1
2232 3 2 ( 1 ) nny a a x n n a x=
将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得
220a?
33 2 2 4 0a
4224 3 4 4 0aaa
22( 1 ) 2 ( 2 ) 4 0n n nn n a n a a
即
2 0,a? 3 1,a? 4 0,a?
,
2
2,
1nn
aa
n?
因而
5
1,
2!
a? 6 0,a? 7 1,
3!
a? 8 0,a? 9 1,
4!
a?
也即
21
1,
!k
a
k?
2 0,ka?;k对一切正整数 成立故方程的解为
5 2 1
3
2 ! !
kxx
xx
k
y=
42
2( 1 )
2 ! !
kxx
xx
k
2xxe?
例 5
2
2 2 2
2
( ) 0 ( 4,7 4 )
.
d y d y
x x x n y
d x d x
n
求 解 n 阶 Bessel 方 程这 里 为 非 负 常 数解 将方程改写为
2 2 2
22
1 0d y dy x n y
dx x dx x
易见,它满足定理 11条件,且
2 2 2( ) 1,( )x p x x q x x n
,
11
xx按 展成的幂级数收敛区间为由定理 方程有形如
0
,( 4,7 5 )kn
k
y a x?
0 0,a的 解,这 里 是 一 个 待 定 常 数,
将 (4.75)代入 (4.74)中,得
22
0
k
k
x a x
k( + k ) ( + k - 1 ) 1
0
k
k
x a x
k( + k )
22
0
( ) 0k
k
x n a x?
k
x比较 的同次幂系数得
220 ( ) 0an
221 [ ( 1 ) ] 0an
22 2[ ( ) ] 0,2,3,kka k n a k
(4.76)
a?0因 为 0,22 0,n则有,n从而
,n为确定起见暂令 由 (4.76)得
1 0,a? 2,2,3,
( 2 )
k
k
aak
k n k
即
21
21,( 2 1 ) ( 2 2 1 )
k
k
aa
k n k
22
2,2 ( 2 2 )
k
k
aa
k n k
1,2,k?
从而可得
21 0,1,2,kak
0
2 2( 1 ),2 ! ( 1 ) ( 2 ) ( )
k
k k
aa
k n n n k
1,2,k?
0,n B e s s e l因此在 时 得到 方程的一个解
20
10 2
1
( 1 ),( 4.77 )
2 ! ( 1 ) ( )
n k k n
k
k
ay a x x
k n n k
0a若 将 任 常 数 取 为
0
1
2 ( 1 )n
a
n
-1
0( ) ( 1 ) ( )
xpp e x d x p p p这 里,注 意 到 时,
因此 (4.77)变为
2
1
0
1( 1 ) ( ) ( ),( 4,7 7 )
! ( 1 ) 2
k k n
n
k
xy J x
k n k
( ) ( 4,7 4 ),
.
nJ x B e sse l
n B e sse l
是由 方程 定义的特殊函数 称为 阶 函数
,n当 时 完全类可得
21 0,1,2,kak
0
2 2( 1 ),2 ! ( 1 ) ( 2 ) ( )
k
k k
aa
k n n n k
1,2,k?
若取
0
1
2 ( 1 )n
a
n?
则可得 (4.74)的另一个特解
2
2
0
1( 1 ) ( ) ( ),( 4.78 )
! ( 1 ) 2
k k n
n
k
xy J x
k n k
( ) ( 4.74),
.
nJ x Be ss e l
n Be ss e l
是由 方程 定义的特殊函数 称为- 阶 函数由达朗贝尔判别法,对任 x值 (4.77),(4.78)收敛,
-,( ) ( )nnJ x J x?因 此,当 不 等 于 非 负 整 数 时 和 都 是
(4.74) 的 解,且 线 性 无 关,
因而 (4.74)的通解为
12( ) ( ),nny c J x c J x
12,.cc这 里 为 任 常 数
()n n a k n2k当 等 于 正 整 数,而,不 能 从 (4.76) 确 定因此,不能象上面一样求得通解 ;
()nJx但 可 用 一 3 介 绍 的 降 阶 法,求 出 与 线 性 无 关 的 解,
因此,(4.74)的通解为
1
12 2
1( ) [ ],
()
dx
x
n
n
y J x c c e d x
Jx
12 2
1( ) [ ],
()n n
J x c c dx
x J x
12,.cc 为 任 常 数例 6
2 " ' 2 9( 4 ) 0,
25x y x y x y求方程 的通解解 2tx?引 入 新 变 量 我 们 有
2d y d y d t d yd x d t d x d t
22
( 2 ) 4d y d d y d t d y
d x d t d t d x d t
代入方程得
2
22
2
9( ) 0
25
d y d yt t t y
d t d t
3,
5n B e s s e l?这 是 的 方 程 故 方 程 的 通 解 为
1 3 2 3
55
( ) ( ),y c J t c J t
代回原来的变量得原方程的通解为
1 3 2 3
55
( 2 ) ( 2 ),y c J x c J x
12,.cc 为 任 常 数作业
P165 2,5,
P165 8,10
