§ 3.3 解对初值的连续性和可微性定理
2
00
(,)
,(,) ( 1 )
()
dy f x y
x y G Rdx
y x y
考察的解 对初值的一些基本性质00(,,)y x x y
解对初值的连续性
解对初值和参数的连续性
解对初值的可微性内容,
y
x
G
00(,)xy
00(,,)y x x y
00(,)xy
00(,,)y x x y
图例分析 (见右 )
2
00
(,)
,(,)
()
dy f x y
x y G Rdx
y x y
解可看成是关于
00,,x x y
的三元函数
00(,,)y x x y
满足
0 0 0 0(,,)y x x y
11(,)xy
解对初值的对称性,00(,,)?y x x y?
00(,,)?y x x y?
前提解存在唯一例,0
0
00()
xx
dy
y
y y edx
y x y
初值问题的解不单依赖于自变量,
同时也依赖于初值,
初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动,
…………
00(,)xy
x
Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?
当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？
证明,)()1.3(
100 xyxy 值的解存在区间内任取一满足由?
),,,( 0011 yxxy 则由解的唯一性知,
,),(),()1.3( 0011 的解是同一条积分曲线与过点过点 yxyx
即此解也可写成,),,,(
11 yxxy
且显然有,),,,(
1100 yxxy
,),( 11 是积分曲线上任一点由于点 yx
。yx
yxxy
均成立点对该积分曲线上任意因此关系式
),(
),,( 00
按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题,
Q1:解在某有限闭区间 [a,b]上有定义,讨论初值 的微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性,内容包括,当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在 [a,b]
上有定义以及解在整个区间 [a,b]上是否也变化很小?
00(,)xy
Q2,解在某个无限闭区间 上有定义,讨论初值的微小变化是否仍有解在 上有定义,且解在整个区间 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性问题,将在第六章中讨论,
00(,)xy[,)a
[,)a
[,)a
一 解对初值的连续性定义 设初值问题
)1.3(,
)(
),(
00
yxy
yxf
dx
dy
,],[),,( 00 上存在在区间的解 bayxxy
使得对于满足如果对,0),,(,0 ba
2200200 )()( yyxx
),,( 00 yx的一切
1.解对初值的连续依赖性并且上存在都在区间的解,],[),,( 00 bayxxy
],[,),,(),,( 0000 baxyxxyxx
).,(
),(),,()1.3(
00
0000
'
yx
yxyxxy
连续依赖于初值在点的解则称初值问题
'
00
)1.3(,
)(
),(
yxy
yxf
dx
dy
初值问题引理 如果函数 于某域 G内 连续,且 关于 y 满足利普希茨条件 （利普希茨常数为 L），则对方程 的任意两个解 及,在它们的公共存在区间内成立着不等式,其中 为所考虑区间内的某一值。
(,)f x y
(,)dy f x ydx?
()x? ()x?
0x 000( ) ( ) ( ) ( )
L x xx x x x e
证明 令上均有定义在区间设,],[)(),( baxx
],[,))()(()( 2 baxxxxV
)(' xV
则
))()((2 xx
))()((2 xx ))()(( '' xx
))(,())(,(( xxfxxf
))(,())(,())(()((2)(' xxfxxfxxxV
))()(())()((2 xxLxx )(2 xLV?
于是
0))(( 2 LxexV
dx
d
有因对 ],[0 bax
bxxexVxV xxL 0)(20,)()( 0
，xxa 类似可证对 0
因此
],,[,)()( 020 baxexVxV xxL
两边取平方根即得
],,[,)()()()( 000 baxexxxx xxL
2 2 20 0 0 0( ) ( )x x y y
2 定理 1 (解对初值的连续依赖性定理 )
00?(,)x y G00 (,,)y x x y
y(,)f x y条件,I,在 G内连续且关于 满足局部 Lips.条件 ;
II,是 (1)满足 的解,定义区间为 [a,b].
0(,,)ab0结论,对,使得当
00 (,,)y x x y00(,)xy
0 0 0 0(,,) (,,),.x x y x x y a x b
时,方程 (1)过点 的解 在 [a,b]上也有定义,且
2 1(,),( ) ),(dy f x y x y G R
dx
方程
x
y
0
00(,)p x y
a b
m in (,/ 2 )
0x
0y
0y
0x
G
D
思路分析：
记积分曲线段 S：
显然 S是 xy平面上的有界闭集,
00(,,) ( ),[,]y x x y x x a b
第一步,找区域 D,使,且 在 D上满足 Lips.条件,SD? (,)f x y
y
x
G
00(,)xy00,(,,)S y x x y
iC
(见下图 )
由已知条件,对,存在以它为中心的圆,使在其内 满足 Lips.条件,利普希茨常数为,根据有限覆盖定理,存在 N,当 时,有
(,)x y S iCG?
(,)f x y iL
1
N
i
i
GC
S G G
对,记0
(,),m i n,/ 2d G S
则以 为半径的圆,当其圆心从 S的左端点沿 S 运动到右端点时,扫过的区域即为符合条件的要找区域 D
1m a x,,NL L L? G
ba
x
y
0
00(,)p x y
a b
m in (,/ 2 )
0x
0y
G
D
x
y
0
00(,)p x y
a b
m in (,/ 2 )
0x
0y
0y
0x
G
D
第二步,证明 在 [a,b]上有定义,00( ) (,,)x x x y
dc
假定 利用引理 2及 的连续性可得,()x[,] [,]c d a b
( ) ( ),( * )x x c x d
0
00( ) ( ) ( ) ( )
L x xx x x x e
0
0 0 0 0( ( ) ( ) ( ) ( ) )
L x xx x x x e
)(
0000 ))()((
abLexxyy
)(1 )( abLe )(
12 abLe
10202
)(
1 )()(,,,2
1 xxxxe abL 时当对
},m i n {0,)()(,2122020 yyxxR
Ryx ),( 00
第三步,证明( ) ( ),x x a x b
在不等式 (*)中将区间 [c,d]换成 [a,b]即得,
连续由于 )( x?
根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有,
3 定理 2 (解对初值的连续性定理 )
y(,)f x y条件,在 G内连续且关于 满足局部 Lips.条件 ;
2 1(,),( ) ),(dy f x y x y G R
dx
方程结论,
在它的存在范围内是连续的,
00?(,)x y G00 (,,),y x x y,作为 的函数00,,x x y
证明,),(
00 Gyx对
,),(),(),,(
),()1.3(
000000
00
上定义于的饱和解过
yxxyxyxxy
yx
令 },),(),,(),(|),,{(
00000000 GyxyxxyxyxxV
,),,( 00 内连续在下证 Vyxxy
,),,( 00 Vyxx对
],[,,],[),,(],,[ 000 baxxbayxxyba 其中上有定义在使?
使当对,0,0 1
时,)()( 21200200 yyxx
],[,2),,(),,( 0000 baxyxxyxx
,],[),,( 00 连续在而 baxyxxy
使当故,02 时2 xx
],[,,2),,(),,( 0000 baxxyxxyxx
则只要取 },,m in { 21
就有,)()()( 22002002 yyxxxx
),,(),,( 0000 yxxyxx
),,(),,( 0000 yxxyxx ),,(),,( 0000 yxxyxx
二 解对初值的可微性的微分方程对含参量?
)1.3(),,,( yxfdx
dy?
条件满足局部内一致地关于且在连续在区域设
L i ps c h i t zyG
GyxyxGyxf
,
)},(,),(|),,{(),,(
),),,(
,),,(,),,((
无关与条件满足内对在使为中心球以即对
LL i p s c h i t zyCyxf
GCyxGyx
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
(,),( 3,1 ) (,,)
,(,,,)
(,,,),
x y G
y x x y
y x x y
则 对 方 程 通 过 点的 解 存 在 且 唯 一 记 这 个 解 为且 有
1 解对初值和参数的连续依赖定理
,,
,),()1.3(
),,,(,),,(,
,),,(
0
00
000000
bxa
bxayx
yxxyGyxL i p s c h i t z
yGGyxf
其中义上有定在区间的解通过点方程条件局部满足内一致地关于且在连续在区域设
使当则对,0),,(,0 ba
220200200 )()()( yyxx
且上也有定义在区间的解通过点方程时
,
),,,(),()1.3(,0000
bxa
yxxyyx
bxayxxyxx,),,,(),,,( 00000
2 解对初值和参数的连续性定理
.,,,
),,,()1.3(,
,),,(
00
00
内是连续的的函数在它们存在范围作为的解则方程条件局部满足内一致地关于且在连续在区域设
yxx
yxxyL i p s c h i t z
yGGyxf
3 解对初值可微性定理
.
,,),,()1.3(
,),(
0000
在范围内是连续可微的的函数在它们存作为的解则方程内连续都在区域以及若函数
yxxyxxy
G
y
f
yxf
证明
,内连续在由于 Gyf
,),( 条件满足局部内关于在故 L i ps c hi t zyGyxf
因此,解对初值的连续性定理成立,即
),,( 00 yxxy
.,,00 是连续的在它的存在范围内关于 yxx
.,,
),,(,
00
00
存在且连续的任一点偏导数在它的存在范围内函数下面证明
yxx
yxxy
.),,( 显然存在且连续 xfx
.
0
存在且连续先证
y?
所确定的解分别为和设由初值 ),(),( 00000 yyxyx
,),,( 00 yxxy,),,( 000 yyxxy
即
,),(
0
0
x
x
dxxfy
和
,),(
0
00
x
x
dxxfyy
于是?
x
x
dxxfxfy
0
)),(),((0
0y
x
x
dx
y
xf
0
)())(,(
有的连续性及注意到其中,,.10 yf
y
xf ))(,(
1
),( r
y
xf?
.00,00 1010 ryry 时且时这里当有因此对 00 y
0y
x
x
dx
y
r
y
xf
0 0
1
)(]),([1
0y
z
设
xx z d xryxfz
0
]),([1 1?
即
0y
z
是初值问题
zr
y
xf
dx
dz ]),([
1
1)( 0?xz
)22.3(
的解,.,0
0 上述初值问题仍然有解时显然当 y
根据解对初值和参数的连续性定理则从而存在的连续函数是知,,,,000
0
yzxx
y
z?
00
00
lim
yyy?
是初值问题而
0y?
z
y
xf
dx
dz
),(?
1)( 0?xz
的解,不难求得
)),(e x p (
00
x
x
dx
y
xf
y
.,,00 的连续函数显然它是 yxx
所确定的解分别为和设由初值 ),(),( 00000 yxxyx
,),,( 00 yxxy,),,( 000 yxxxy
即
,),(
0
0
x
x
dxxfy
和
,),(
00
0
x
xx
dxxfy
于是
xxx xx dxxfdxxf 000 ),(),(
000 ),(xxx dxxf xx dxyxf
0
)())(,(
.
0
存在且连续同样可证 x
有的连续性及注意到其中,,.10 yf
y
xf ))(,(
1
),( r
y
xf?
类似有时且时这里当,00,00 1010 rxrx
200
0
),(),(1 00
0
ryxfdxxf
x
xx
x
有因此对具有相同性质与其中 0,021 xrr
x
x
dx
x
r
y
xfryxf
x 0 012000
)(]),([]),([
即
0x
z
是初值问题
zr
y
xf
dx
dz ]),([
1
02000 ),()( zryxfxz
)22.3(
的解,
.,00 上述初值问题仍然有解时显然当 x
根据解对初值和参数的连续性定理从而存在的连续函数是知,,,,000
0
xzxx
x
z?
00
00
lim
xxx?
是初值问题而
0x?
z
y
xf
dx
dz
),(?
),()( 000 yxfxz
的解,不难求得
)),(e x p (),(
0
00
0
x
x
dx
y
xfyxf
x
.,,00 的连续函数显然它是 yxx
)),(e x p (),(
0
00
0
x
x
dx
y
xfyxf
x
)),(e x p (
00
x
x
dx
y
xf
y
)1.3(,
)(
),(
00
yxy
yxf
dx
dy
初值问题
,),,( 00 有的解 yxxy
例 1
xydxdy s in?
试求已知方程
.]),,([,]),,([ 00
0
000
0
0
00 0
0
0
0
x
y
x
y y
yxxy
x
yxxy
解
.c o s),(,c o s),( 平面上连续在 xyxyxyxfxyyyxf yx
.,
,,),,(s i n 0000
平面上连续可微在的函数作为的解方程
xy
yxxyxxyxy
dx
dy
由公式得
0
0
0
00 0
0
]),,([ xy
y
yxxy 0
0
0
0
0
)),(e x p (
x
y
x
x
dx
y
xf?
)),(e x p (
00
xx dxyxfy
)))0,0,(co s (ex p (
0?
x dxxxx?
)0)0,0,(,0)0(,0( xyy?且满足是原方程的解易见
)ex p (
0?
x xd x
2
2
1 x
e?
0
0
0
00 0
0
]),,([ xy
x
yxxy
0
000
0
0
0
)]),(ex p (),([
x
y
x
x
dx
y
xfyxf?
)ex p ()0,0(
0?
x xd xf
0?
)),(e x p (),(
0
00
0
xx dxyxfyxfx
)))0,0,(c o s (e x p ()0,0(
0?
x dxxxxf?
作业
P92 1,3,4
2
00
(,)
,(,) ( 1 )
()
dy f x y
x y G Rdx
y x y
考察的解 对初值的一些基本性质00(,,)y x x y
解对初值的连续性
解对初值和参数的连续性
解对初值的可微性内容,
y
x
G
00(,)xy
00(,,)y x x y
00(,)xy
00(,,)y x x y
图例分析 (见右 )
2
00
(,)
,(,)
()
dy f x y
x y G Rdx
y x y
解可看成是关于
00,,x x y
的三元函数
00(,,)y x x y
满足
0 0 0 0(,,)y x x y
11(,)xy
解对初值的对称性,00(,,)?y x x y?
00(,,)?y x x y?
前提解存在唯一例,0
0
00()
xx
dy
y
y y edx
y x y
初值问题的解不单依赖于自变量,
同时也依赖于初值,
初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动,
…………
00(,)xy
x
Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?
当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？
证明,)()1.3(
100 xyxy 值的解存在区间内任取一满足由?
),,,( 0011 yxxy 则由解的唯一性知,
,),(),()1.3( 0011 的解是同一条积分曲线与过点过点 yxyx
即此解也可写成,),,,(
11 yxxy
且显然有,),,,(
1100 yxxy
,),( 11 是积分曲线上任一点由于点 yx
。yx
yxxy
均成立点对该积分曲线上任意因此关系式
),(
),,( 00
按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题,
Q1:解在某有限闭区间 [a,b]上有定义,讨论初值 的微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性,内容包括,当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在 [a,b]
上有定义以及解在整个区间 [a,b]上是否也变化很小?
00(,)xy
Q2,解在某个无限闭区间 上有定义,讨论初值的微小变化是否仍有解在 上有定义,且解在整个区间 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性问题,将在第六章中讨论,
00(,)xy[,)a
[,)a
[,)a
一 解对初值的连续性定义 设初值问题
)1.3(,
)(
),(
00
yxy
yxf
dx
dy
,],[),,( 00 上存在在区间的解 bayxxy
使得对于满足如果对,0),,(,0 ba
2200200 )()( yyxx
),,( 00 yx的一切
1.解对初值的连续依赖性并且上存在都在区间的解,],[),,( 00 bayxxy
],[,),,(),,( 0000 baxyxxyxx
).,(
),(),,()1.3(
00
0000
'
yx
yxyxxy
连续依赖于初值在点的解则称初值问题
'
00
)1.3(,
)(
),(
yxy
yxf
dx
dy
初值问题引理 如果函数 于某域 G内 连续,且 关于 y 满足利普希茨条件 （利普希茨常数为 L），则对方程 的任意两个解 及,在它们的公共存在区间内成立着不等式,其中 为所考虑区间内的某一值。
(,)f x y
(,)dy f x ydx?
()x? ()x?
0x 000( ) ( ) ( ) ( )
L x xx x x x e
证明 令上均有定义在区间设,],[)(),( baxx
],[,))()(()( 2 baxxxxV
)(' xV
则
))()((2 xx
))()((2 xx ))()(( '' xx
))(,())(,(( xxfxxf
))(,())(,())(()((2)(' xxfxxfxxxV
))()(())()((2 xxLxx )(2 xLV?
于是
0))(( 2 LxexV
dx
d
有因对 ],[0 bax
bxxexVxV xxL 0)(20,)()( 0
，xxa 类似可证对 0
因此
],,[,)()( 020 baxexVxV xxL
两边取平方根即得
],,[,)()()()( 000 baxexxxx xxL
2 2 20 0 0 0( ) ( )x x y y
2 定理 1 (解对初值的连续依赖性定理 )
00?(,)x y G00 (,,)y x x y
y(,)f x y条件,I,在 G内连续且关于 满足局部 Lips.条件 ;
II,是 (1)满足 的解,定义区间为 [a,b].
0(,,)ab0结论,对,使得当
00 (,,)y x x y00(,)xy
0 0 0 0(,,) (,,),.x x y x x y a x b
时,方程 (1)过点 的解 在 [a,b]上也有定义,且
2 1(,),( ) ),(dy f x y x y G R
dx
方程
x
y
0
00(,)p x y
a b
m in (,/ 2 )
0x
0y
0y
0x
G
D
思路分析：
记积分曲线段 S：
显然 S是 xy平面上的有界闭集,
00(,,) ( ),[,]y x x y x x a b
第一步,找区域 D,使,且 在 D上满足 Lips.条件,SD? (,)f x y
y
x
G
00(,)xy00,(,,)S y x x y
iC
(见下图 )
由已知条件,对,存在以它为中心的圆,使在其内 满足 Lips.条件,利普希茨常数为,根据有限覆盖定理,存在 N,当 时,有
(,)x y S iCG?
(,)f x y iL
1
N
i
i
GC
S G G
对,记0
(,),m i n,/ 2d G S
则以 为半径的圆,当其圆心从 S的左端点沿 S 运动到右端点时,扫过的区域即为符合条件的要找区域 D
1m a x,,NL L L? G
ba
x
y
0
00(,)p x y
a b
m in (,/ 2 )
0x
0y
G
D
x
y
0
00(,)p x y
a b
m in (,/ 2 )
0x
0y
0y
0x
G
D
第二步,证明 在 [a,b]上有定义,00( ) (,,)x x x y
dc
假定 利用引理 2及 的连续性可得,()x[,] [,]c d a b
( ) ( ),( * )x x c x d
0
00( ) ( ) ( ) ( )
L x xx x x x e
0
0 0 0 0( ( ) ( ) ( ) ( ) )
L x xx x x x e
)(
0000 ))()((
abLexxyy
)(1 )( abLe )(
12 abLe
10202
)(
1 )()(,,,2
1 xxxxe abL 时当对
},m i n {0,)()(,2122020 yyxxR
Ryx ),( 00
第三步,证明( ) ( ),x x a x b
在不等式 (*)中将区间 [c,d]换成 [a,b]即得,
连续由于 )( x?
根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有,
3 定理 2 (解对初值的连续性定理 )
y(,)f x y条件,在 G内连续且关于 满足局部 Lips.条件 ;
2 1(,),( ) ),(dy f x y x y G R
dx
方程结论,
在它的存在范围内是连续的,
00?(,)x y G00 (,,),y x x y,作为 的函数00,,x x y
证明,),(
00 Gyx对
,),(),(),,(
),()1.3(
000000
00
上定义于的饱和解过
yxxyxyxxy
yx
令 },),(),,(),(|),,{(
00000000 GyxyxxyxyxxV
,),,( 00 内连续在下证 Vyxxy
,),,( 00 Vyxx对
],[,,],[),,(],,[ 000 baxxbayxxyba 其中上有定义在使?
使当对,0,0 1
时,)()( 21200200 yyxx
],[,2),,(),,( 0000 baxyxxyxx
,],[),,( 00 连续在而 baxyxxy
使当故,02 时2 xx
],[,,2),,(),,( 0000 baxxyxxyxx
则只要取 },,m in { 21
就有,)()()( 22002002 yyxxxx
),,(),,( 0000 yxxyxx
),,(),,( 0000 yxxyxx ),,(),,( 0000 yxxyxx
二 解对初值的可微性的微分方程对含参量?
)1.3(),,,( yxfdx
dy?
条件满足局部内一致地关于且在连续在区域设
L i ps c h i t zyG
GyxyxGyxf
,
)},(,),(|),,{(),,(
),),,(
,),,(,),,((
无关与条件满足内对在使为中心球以即对
LL i p s c h i t zyCyxf
GCyxGyx
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
(,),( 3,1 ) (,,)
,(,,,)
(,,,),
x y G
y x x y
y x x y
则 对 方 程 通 过 点的 解 存 在 且 唯 一 记 这 个 解 为且 有
1 解对初值和参数的连续依赖定理
,,
,),()1.3(
),,,(,),,(,
,),,(
0
00
000000
bxa
bxayx
yxxyGyxL i p s c h i t z
yGGyxf
其中义上有定在区间的解通过点方程条件局部满足内一致地关于且在连续在区域设
使当则对,0),,(,0 ba
220200200 )()()( yyxx
且上也有定义在区间的解通过点方程时
,
),,,(),()1.3(,0000
bxa
yxxyyx
bxayxxyxx,),,,(),,,( 00000
2 解对初值和参数的连续性定理
.,,,
),,,()1.3(,
,),,(
00
00
内是连续的的函数在它们存在范围作为的解则方程条件局部满足内一致地关于且在连续在区域设
yxx
yxxyL i p s c h i t z
yGGyxf
3 解对初值可微性定理
.
,,),,()1.3(
,),(
0000
在范围内是连续可微的的函数在它们存作为的解则方程内连续都在区域以及若函数
yxxyxxy
G
y
f
yxf
证明
,内连续在由于 Gyf
,),( 条件满足局部内关于在故 L i ps c hi t zyGyxf
因此,解对初值的连续性定理成立,即
),,( 00 yxxy
.,,00 是连续的在它的存在范围内关于 yxx
.,,
),,(,
00
00
存在且连续的任一点偏导数在它的存在范围内函数下面证明
yxx
yxxy
.),,( 显然存在且连续 xfx
.
0
存在且连续先证
y?
所确定的解分别为和设由初值 ),(),( 00000 yyxyx
,),,( 00 yxxy,),,( 000 yyxxy
即
,),(
0
0
x
x
dxxfy
和
,),(
0
00
x
x
dxxfyy
于是?
x
x
dxxfxfy
0
)),(),((0
0y
x
x
dx
y
xf
0
)())(,(
有的连续性及注意到其中,,.10 yf
y
xf ))(,(
1
),( r
y
xf?
.00,00 1010 ryry 时且时这里当有因此对 00 y
0y
x
x
dx
y
r
y
xf
0 0
1
)(]),([1
0y
z
设
xx z d xryxfz
0
]),([1 1?
即
0y
z
是初值问题
zr
y
xf
dx
dz ]),([
1
1)( 0?xz
)22.3(
的解,.,0
0 上述初值问题仍然有解时显然当 y
根据解对初值和参数的连续性定理则从而存在的连续函数是知,,,,000
0
yzxx
y
z?
00
00
lim
yyy?
是初值问题而
0y?
z
y
xf
dx
dz
),(?
1)( 0?xz
的解,不难求得
)),(e x p (
00
x
x
dx
y
xf
y
.,,00 的连续函数显然它是 yxx
所确定的解分别为和设由初值 ),(),( 00000 yxxyx
,),,( 00 yxxy,),,( 000 yxxxy
即
,),(
0
0
x
x
dxxfy
和
,),(
00
0
x
xx
dxxfy
于是
xxx xx dxxfdxxf 000 ),(),(
000 ),(xxx dxxf xx dxyxf
0
)())(,(
.
0
存在且连续同样可证 x
有的连续性及注意到其中,,.10 yf
y
xf ))(,(
1
),( r
y
xf?
类似有时且时这里当,00,00 1010 rxrx
200
0
),(),(1 00
0
ryxfdxxf
x
xx
x
有因此对具有相同性质与其中 0,021 xrr
x
x
dx
x
r
y
xfryxf
x 0 012000
)(]),([]),([
即
0x
z
是初值问题
zr
y
xf
dx
dz ]),([
1
02000 ),()( zryxfxz
)22.3(
的解,
.,00 上述初值问题仍然有解时显然当 x
根据解对初值和参数的连续性定理从而存在的连续函数是知,,,,000
0
xzxx
x
z?
00
00
lim
xxx?
是初值问题而
0x?
z
y
xf
dx
dz
),(?
),()( 000 yxfxz
的解,不难求得
)),(e x p (),(
0
00
0
x
x
dx
y
xfyxf
x
.,,00 的连续函数显然它是 yxx
)),(e x p (),(
0
00
0
x
x
dx
y
xfyxf
x
)),(e x p (
00
x
x
dx
y
xf
y
)1.3(,
)(
),(
00
yxy
yxf
dx
dy
初值问题
,),,( 00 有的解 yxxy
例 1
xydxdy s in?
试求已知方程
.]),,([,]),,([ 00
0
000
0
0
00 0
0
0
0
x
y
x
y y
yxxy
x
yxxy
解
.c o s),(,c o s),( 平面上连续在 xyxyxyxfxyyyxf yx
.,
,,),,(s i n 0000
平面上连续可微在的函数作为的解方程
xy
yxxyxxyxy
dx
dy
由公式得
0
0
0
00 0
0
]),,([ xy
y
yxxy 0
0
0
0
0
)),(e x p (
x
y
x
x
dx
y
xf?
)),(e x p (
00
xx dxyxfy
)))0,0,(co s (ex p (
0?
x dxxxx?
)0)0,0,(,0)0(,0( xyy?且满足是原方程的解易见
)ex p (
0?
x xd x
2
2
1 x
e?
0
0
0
00 0
0
]),,([ xy
x
yxxy
0
000
0
0
0
)]),(ex p (),([
x
y
x
x
dx
y
xfyxf?
)ex p ()0,0(
0?
x xd xf
0?
)),(e x p (),(
0
00
0
xx dxyxfyxfx
)))0,0,(c o s (e x p ()0,0(
0?
x dxxxxf?
作业
P92 1,3,4
