常系数线性方程组
§ 4.3 常系数线性方程组常系数线性方程组
( ),dx A x f tdt
,( )A n n f t
a t b
这里系数矩阵 为 常数矩阵 在上连续的向量函数;
一阶常系数线性微分方程组,
( ) 0,ft?若 则对应齐线性微分方程组为
,( 5,3 3 )dx Axdt?
本节主要讨论 (5.33)的基解矩阵的求法,
常系数线性方程组一、矩阵指数 expA的定义和求法
1 expA的定义定义
,
e x p
A n n
A
设 为 常 数 矩 阵 则 定 义 矩 阵 指 数为 下 列 矩 阵 级 数 的 和
2
0
e x p ( 5,3 4 )
! 2 ! !
km
k
A A AA E A
km
0,,,0 ! 1,mE A A m A E其中 为单位矩阵 为 的 次幂注 1,矩阵级数 (5.34)是收敛的,
由于
,
!!
kk A
A
kk
而数项级数
1 !
k
k
A
k
收敛,
常系数线性方程组注 2,级数在 t的任何有限区间上是一致收敛的,
由于
,,
!!
k kkk Ac
At tc
kk
而数项级数
1 !
k k
k
Ac
k
收敛,
2
2
0
e x p
! 2 ! !
km
km
k
A A AA t t E A t t t
km
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
( 1 ),.A B A BA B B A e e e若则
1( 2 ),( e x p )AA?对任何矩阵 存在,且
1( e x p ) e x p ( - ),AA? =
由于,
0
()e x p ( )
!
k
k
ABAB
k
0k
0;
!( ) !
l k lk
l
AB
l k l
00
e x p e x p
!!
ij
ij
ABAB
ij
= [ ];
! ( ) !
l k lk
kl
AB
l k l
绝对收敛级数的乘法定理
由于,e x p e x p ( - )AA e x p ( ( - ) )AA exp 0?,E?
常系数线性方程组
( 3 ),T若 是非奇异的则
) ( e x p ),A T A T?- 1 - 1e x p ( T T
由于,
)AT?-1exp(T
1
0
()
!
k
k
T A T
k
E 1
1
()
!
k
k
T A T
k
E
1
1 !
k
k
T A T
k
1TT 1
1
()
!
k
k
ATT
k
1
1
()
!
k
k
AT E T
k
( e x p ),AT? -1T
常系数线性方程组
3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理 9 矩阵
( ) e x pt A t
是 (5.33)的基解矩阵,且 (0 ),E
证明,0,e x pt A t?当 时由 定义知 (0 ) ;E
又因为 ''( ) ( e x p )t A t
23
21
1 ! 2 ! ( 1 ) !
m
mA A AA t t t
m
A? A?
( ) e x pt A t故 是基解矩阵
2
2()
2 ! !
m
mAAE A t t t
mexp At ( ),t?
A?
常系数线性方程组例 1 如果 A是一个对角矩阵
1
2
n
a
a
A
a
',x A x?试求出 的基解矩阵解 由 (5.34)得
exp At E?
1
2
1!
n
a
a t
a
2
1
2 2
2
2
2!
n
a
a t
a
常系数线性方程组
1
2
!
m
m m
m
n
a
a t
m
a
1
2
n
at
at
at
e
e
e
例 2 ' 21,
02
xx
试求出 的基解矩阵解 因为
21
02
A
2 0 0 1
0 2 0 0
而后面两个矩阵是可交换的常系数线性方程组
20 2,
02
E
20 1 0 0
,
0 0 0 0
故
exp At 20e x p ( )
02
t
01e x p ( )
00
t
2
2
0
0
t
t
e
e
2 20 1 0 1
{}
0 0 0 0 2!
tEt
2
2
0
0
t
t
e
e
1
01
t
2 1,
01
t te
常系数线性方程组
(2) 基解矩阵的一种求法对n 阶矩阵A 设 1A T JT
,.T J J o r d a n其中 为非奇异矩阵 为 矩阵则 1,A t J te T e T
其中
1
2
,
k
J
J
J
J
1
2
,
k
Jt
Jt
Jt
Jt
e
e
e
e
注 1,1 1 1,A t J t J te T T e T e由 知,也是基解矩阵常系数线性方程组二 基解矩阵的计算公式类似第四章 4.2.2,寻求
',( 5,3 3 )x A x?
形如
( ),0,( 5,4 3 )tt e c c
,,c?的解其中常数 和向量 是待定的将 (5.43)代入 (5.33)得
,tte c A e c
0,te因 上式变为
( ) 0,( 5,4 4 )E A c
1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系常系数线性方程组方程 (5.44)有非零解的充要条件是,d e t( ) 0,EA
结论 ( 5,3 3 ) ( ) tt e c微分方程组 有非零解 的充要条件是
,.Ac是矩阵 的特征根 是与 对应的特征向量
( ) ( 5,3 3 )ttec 为 解( ) 0E A c 有非零解即例 3 35
.
53
试求矩阵A = 特征值和特征向量解
A 的特征值就是特征方程
35
d e t( )
53
EA
2 6 3 4 0
的根,123 5,3 5,ii
',( 5,3 3 )x A x?( ) 0,( 5,4 4 )E A c
常系数线性方程组
1 1 23 5 (,) Ti u u u对特征根 的特征向量 满足
()E A u 1
2
55
0
55
ui
ui
解得 1,0,u
i
2 1 23 5 (,) Ti v v对特征根 的特征向量v 满足
()E A u 1
2
55
0
55
vi
vi
解得
,0,
1
i
v
常系数线性方程组
' 35
53
xx
微 分 方 程 组 的 解 为
( 3 5 )
1
1
,itxe
i
( 3 5 )
2 ;1
it ixe
( 3 5 )
1
1it
xe
i
3 ( c o s 5 s i n 5 )te t i t
1
i
3 c o s si n
si n c o s
t t i te
t i t
3 c o s
sin
t te
t
3 sin
c o s
t tie
t
故 解 为,3
1
c o s
,
s in
t txe
t
3
2
si n
.
c o s
t txe
t
常系数线性方程组例 4 21
.
14
试求矩阵A = 特征值和特征向量解 特征方程为
21
d e t( )
14
EA
2 6 9 0
3,因此 为两重特征根 为求其对应的特征向量考虑方程组
()E A c 1
2
11
0
11
c
c
解得 1
,0,
1
c
3是对应于特征根 的特征向量
'
3
21
14
1
.
1
t
xx
xe
方 程 组的 解 为常系数线性方程组
2 基解矩阵的计算方法 ---常系数线性微分方程组的解法
(1) 矩阵 A具有 n个线性无关的特征向量时定理 10
1 2 1 2,,,;,,,(
),
nnv v v
如果矩阵A具 有n个 线性无关的特征向量它们相应的特征值为 不必互不相同 那么矩阵
12 12( ) [,,,],n ttt nt e v e v e v t
是常系数线性微分方程组
',( 5,3 3 )x A x?
的一个基解矩阵,
常系数线性方程组证明,由上面讨论知,每一个向量函数
,1,2,,j t je v j n
都是 (5.33)的解,因此矩阵
1212( ) [,,,]n ttt nt e v e v e v
是 (5.33)的解矩阵,
12,,,,nv v v由于 线性无关所以
12d e t (0 ) d e t [,,,]nv v v 0?
( ) ( 5,3 3 ),t?故 是 的基解矩阵常系数线性方程组例 5 ' 35,
53
xx
试求微分方程组 的基解矩阵解 由例 3知
123 5,3 5i i A 是 的特征值,
1 2 1 2
1
,,,
1
i
vv
i
是对应于 的特征向量;
由定理 10,矩阵
1212( ) [,]ttt e v e v
( 3 5 ) ( 3 5 )
( 3 5 ) ( 3 5 )
i t i t
i t i t
e ie
ie e
就是一个基解矩阵,
常系数线性方程组注,,( ) e x p,t A t?一般来说 不一定是
e x p ( ),A t t C但由于 有 1 (0 ),C
从而 1e x p ( ) (0 ),A t t
例 6 试求例 5的实基解矩阵,
解 由于基解矩阵为
( 3 5 ) ( 3 5 )
( 3 5 ) ( 3 5 )
()
i t i t
i t i t
e ie
t
ie e
故实基解矩阵为
e x p At?
1
1
1
i
i
( 3 5 ) ( 3 5 )
( 3 5 ) ( 3 5 )
i t i t
i t i t
e ie
ie e
常系数线性方程组
( 3 5 ) ( 3 5 )
( 3 5 ) ( 3 5 )
11
12
i t i t
i t i t
ie ie
iie e
( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5 )
( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5 )
()1
2 ()
i t i t i t i t
i t i t i t i t
e e i e e
i e e e e
3 c o s 5 si n 5,
si n 5 c o s 5
t tte
tt
求例 5满足初始条件 1(0 )
1
的解常系数线性方程组解 由于基解矩阵为
e x p At? 3
c o s 5 s in 5
.
s in 5 c o s 5
t tte
tt
故该方程的通解为 ( ) ( e x p )x t A t c?
从而 ( ) ( e x p )t A t c
由初始条件有 1
( 0 )
1
c?
故
()t 3 c o s 5 si n 5 1,
si n 5 c o s 5 1
t tte
tt
3 c o s 5 s in 5,
s in 5 c o s 5
t tte
tt
常系数线性方程组例 7 求方程组 '
5 2 8 1 8
1 5 3
3 1 6 1 0
xx
的通解,
解 A系数矩阵 的特征方程为
2d e t ( ) 3 ( 1 ) 0EA
因此特征根为
1 2 30,1,1 ;
它们相的特征向量为
1 2 3
2 2 3
1,1,0 ;
1 2 1
v v v
常系数线性方程组故基解矩阵为
2 2 3
( ) 1 0
12
tt
t
tt
ee
te
ee
故通解为
1
2
3
2 2 3
( ) ( ) 1 0
12
tt
t
tt
e e c
t t c e c
e e c
1
2
1
1
c
2
2
1
2
tce
3
3
0;
1
tce?
常系数线性方程组
(2) 矩阵 A的特征根有重根时
12
1 2 1 2
,,,;
,,,;,
k
kkn n n n n n n
假设n n 矩阵A 的特征值为 相应重数为 且
,n n U由 高 代 知 维 常 数 列 向 量 所 组 成 的 维 空 间 的 子 集
{ | ( ) 0 }jnjjU u U A E u
( 1,2,,),jU n j k?是 的 维不变子空间 且
12,( 5,4 9 )kU U U U
下面先寻求( 5,3 3 ) 满足初始条件 ( 0 ) = 的解,
',( 5,3 3 )x A x?
( ) ( e x p )t A t
分量是无穷级数 难 !
分量表为 t的指数函数与幂函数乘积有限项组合
将 分 解,(e x p )At?
常系数线性方程组
jU因 子 空 间 是 方 程 组
( ) 0,( 5,4 8 )jnjA E u
的解产生的,
jv从 而 一 定 是 (5.48) 的 解,由 此 即 得
( ) 0,,1,2,,,( 5,5 1 )lj j jA E v l n j k
由于
jte?e x p ( )j t
je E t
j
j
j
t
t
t
e
e
e
E?
( 1,2,,),jjv U j k其 中
12,( 5,5 0 )kv v v
由 (5.49)有常系数线性方程组由 (5.51)有 ( e x p ) ( e x p )
jjA t v A t v?[ e x p ( ) ]j t je E t
jte [ e x p ( ) ]jA E t
jv
jte 22[ ( ) ( )
2!jj
tE A E t A E
jv
( 5,3 3 ) ( ) ( e x p ),t A t故 的 解 可 表 为
( ) ( e x p )t A t (e x p )At?
1
k
j
j
v
1
( e x p )
k
j
j
A t v
12
12
1
[ ( ) ( ) ( ) ]2 ! ( 1 ) !
j
jj
nk
tn
j j j j
j j
tte E A E t A E A E v
n
故( 5,3 3 ) 满足初始条件 ( 0 ) = 的解可写成
1
10
( ) { ( ) },( 5,5 2 )
!
j
j
n ik
t i
jj
ji
tt e A E v
i
1
1( ) ]
( 1 ) !
j
j
n
n
j
j
tAE
n
常系数线性方程组注 1:,,Au当 只 有 一 个 特 征 值 时 对 任 何 都 有
( ) 0,nA E u
故 e x p At? e x p ( )A E tte
1
0
( ),( 5,5 3 )
!
in
ti
j
i
te A E
i
注 2,( 5,5 2 ) e x p,At为 了 从 求 注 意 到
e x p At? ( e x p )A t E? 1[ ( e x p ),,( e x p ) ]nA t e A t e
其中
12
1 0 0
0 1 0
,,,,
0 0 1
n
e e e
12
,
,,,,
,
e xp,
n
e e e
n
n
At
是 单 位 向 量 依 次令 求 得个 线 性 无 关 的 解 以这 个 解 为 列 可 得 到常系数线性方程组例 8 试解初值问题
' 21,( 0 ),
14
xx
e x p,At并 求解 从例 4知,
3 A 是 的二重特征值,
112,,nU?这时 只有一个子空间
1
2
2n
1将 及 = 代入( 5,5 2 ) 即得
3( ) { ( 3 ) }tt e E t A E 13
2
11
{}
11
te E t?
1
10
( ) { ( ) },( 5,5 2 )
!
j
j
n ik
t i
jj
ji
tt e A E v
i
常系数线性方程组
1 1 23
2 1 2
()
()
t te
t
利用公式 (5.53)即得
3e x p { ( 3 ) }tA t e E t A E
3 1 0 1 1{}
0 1 1 1
tet
3 1
1
t tte
tt
或者分别令
1 ( 1,0 )
Te T
2,e = ( 0,1 ),
然后代入( 5,5 4 ) 即得
12e x p [ ( e x p ),( e x p ) ]A t A t e A t e?
3 1,
1
t tte
tt
常系数线性方程组例 9 如果
4 1 0 0 0
0 4 1 0 0
0 0 4 1 0
0 0 0 4 1
0 0 0 0 4
A
e x p,At试 求解
5,4,nA这 里 是 的 五 重 特 征 值直接计算可得 3( 4 ) 0,AE
因此由公式 (5.53)可得
e x p At? -4te
2
2{ ( 4 ) ( 4 ) }
2!
tE t A E A E
1
0
e x p ( ),( 5,5 3 )!
in
ti
j
i
tA t e A E
i
常系数线性方程组
-4te?
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0000
1
1
{ 1
1
1
t
01000
00100
00000
00000
00000
2
}
2!
t
00100
00000
00000
00000
00000
-4te?
2
00
2
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
t
t
t
1
1
1
1
1
常系数线性方程组例 10 求方程组
'
1 1 2 3
'
2 1 3
'
3 1 2 3
3
2,
2
x x x x
x x x
x x x x
( ),e x p,t A t?的 解 并 求满足初始条件
1
2
3
(0)=
解 这里系数矩阵
A
3 - 1 1
2 0 1
1 - 1 2
A的 特 征 方 程 为
2d e t ( - ) ( - 1 ) ( - 2 ) 0EA
常系数线性方程组特征根为
21,2 ;1 21,2 ;nn1分别为 重特征值
2,;UU 1为了确定三维欧几里德空间的子空间由 (5.48)我们需要考虑下面方程
( ) 0A E u 和 2( 2 ) 0A E u
首先讨论
2 1 1
( ) 2 1 1 0
1 1 1
A E u u
这个方程组的解为
1
0
,u
为任常数常系数线性方程组
11,Uu子 空 间 是 由 向 量 张 成 的 子 空 间其次
2
0 0 0
( 2 ) 1 1 0 0
1 1 0
A E u u
这个方程组的解为
2,,u
其中 为任常数
22Uu子 空 间 是 由 向 量 张 成 的 子 空 间
1 2 2 2,,v U v U v v11下面找 使,即
1
2
3
0
常系数线性方程组解之得
11
0
,;vv
1
2 1 1
2 1 3 2 1
故方程满足 ( 0 ) = 的解为
212( ) { ( 2 ) }ttt e E v e E t A E v
2
0 1 1 1
{ 2 2 1 }
1 1 0
tte e E t
1
2 1 1
2 1 3 2 1
2
0(
()tt
t
e e t
1 3 2 1
2 1 1 3 2 1
2 1 3 2 1
常系数线性方程组
e x p,At?为 计 算 直 接 令 等 于
,,;
100
010
001
代入上式得到三个线性无关的解,利用这三个解为列,即得
22
2 2 2
2 2 2
( 1 )
e xp - ( 1 ) -
--
t t t
t t t t t
t t t t t
t e te te
A t e t e e te te
e e e e e
常系数线性方程组
(3) 非齐线性方程的解下面研究非齐线性微分方程组
' ( ),( 5,6 0 )x A x f t
满足初始条件 ( 0 ) = 的解由于 (5.60)对应齐次方程组 'x Ax? 的基解矩阵为
( ) e x p,t A t 1 ( ) e x p ( ),t A t且故由常数变易公式,
0t(5.60) 满 足 ( ) = 的 解 为
0
0( ) e x p [ ( ) ] e x p [ ( ) ] ( )
t
t
t A t t A t s f s d s
0
- 1 1
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( 5,2 7 )
t
tt t t t s f s d s
常系数线性方程组例 10 设
35
,( )
53 0
te
A f t
' ()x A x f t试求方程组 满足初始条件
0
( 0 )
1
的解,
解 由例 6知
3 c o s 5 s in 5e x p,
s in 5 c o s 5
t ttA t e
tt
故初值问题的解为常系数线性方程组
3 c o s 5 s in 5 1 0 0()
s in 5 c o s 5 0 1 1
t ttte
tt
3 ( )
0
c o s 5 ( ) s in 5 ( )
s in 5 ( ) c o s 5 ( ) 0
st
ts t s t s ee d s
t s t s
3 sin 5
c o s 5
t te
t
34
0
c o s 5 c o s 5 s in 5 s in 5
s in 5 c o s 5 c o s 5 s in 5
tts t s t s
e e d s
t s t s
4
3
4
4 c o s 5 4 6 s in 5 41
.
41 4 6 c o s 5 4 s in 5 5
t
t
t
t t e
e
t t e
常系数线性方程组三 拉普拉斯变换的应用
(1)定义
( ),f t n设 为 维 函 数 列 向 量定义其 拉普拉斯变换 为
0[ ( ) ] ( ),
stL f t e f t dt
' ( ),x A x f t
,( )A n n f t a t b这里 为 矩阵 在 上连续.
常系数线性微分方程组,
1用拉普拉斯变换解微分方程组常系数线性方程组
(2)定理 12
( ),0 0,f t M如 果 对 向 量 函 数 存 在 常 数 及使 不 等 式
( ),( 5,6 2 )tf t M e
,t对所有充分大的 成立 则初值问题
' ( ),(0 ) ;x A x f t x
'( ) ( ),( ) ( 5,6 2 )t t f t的解 及其导数 均像 一样满足类似的不等式,从而它们的拉普拉斯变换都存在.
常系数线性方程组
(3) 推论
( ),0 0,f t M如 果 对 数 值 函 数 存 在 常 数 及使 不 等 式
( ),tf t M e
,t对所有充分大的 成立 则常系数线性微分方程的初值问题
1
1 1 ()
nn
nnn
d x d xa a x f t
d t d t
)1(0)1()1(0'0 )0(,,)0(,)0( nn xxxxxx?
的解及其直到n 阶导数均存在拉普拉斯变换.
常系数线性方程组例 11 利用拉普拉斯变换求解例 10.
解 将方程写成分量形式,即
'1 1 235 tx x x e
'2 1 253x x x
12(0 ) 0,(0 ) 1
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ]X s L t X s L t令
1 1 2 2( ),( )x t x t L a p l a c e以 代入方程组后对方程施行 变换得
1 1 2
1( ) 3 ( ) 5 ( )
1s X s X s X s s
2 1 2( ) 1 5 ( ) 3 ( )s X s X s X s
常系数线性方程组
12
1( 3 ) ( ) 5 ( )
1s X s X s s
125 ( ) ( 3 ) ( ) 1X s s X s
由此解得
1 2 2 2 2
1 3 5 1( ) [ 4 4 6 4 ]
4 1 ( 3 ) 5 ( 3 ) 5 1
sXs
s s s
2 2 2 2 2
1 3 5 1( ) [ 4 6 4 5 ]
4 1 ( 3 ) 5 ( 3 ) 5 1
sXs
s s s
故
34
1
1( ) ( 4 c o s 5 4 6 s in 5 4 )
41
ttt e t t e
34
2
1( ) ( 4 6 c o s 5 4 s in 5 5 )
41
ttt e t t e
即常系数线性方程组例 12 试求方程组
'
1 1 2
'
2 1 2
2,
4
x x x
x x x
满足初始条件
1 1 2(0 ) 1 ( ( ),( ) ),tt2(0)=0,的解解
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ]X s L t X s L t令
1 1 2 2( ),( )x t x t假设 满足微分方程组,
对方程组取拉普拉斯变换得
1 1 1 2( ) (0 ) 2 ( ) ( )s X s X s X s
2 2 1 2( ) (0 ) ( ) 4 ( )s X s X s X s
常系数线性方程组即 1 2 1( 2 ) ( ) ( ) (0 ) 0s X s X s
1 2 2( ) ( 4 ) ( ) (0 ) 1X s s X s
解得
1 2
1( ),
( 3 )Xs s
2 2
11()
( 3 ) ( 3 )Xs ss
故
31 ( ),tt te 33
2 () ttt e te
3(1 ) tte
常系数线性方程组例 12 试求方程组
'' ' '
1 1 2 2
''
1 1 2
2 2 0,
22 t
x x x x
x x x e?
满足初始条件
11
12
( 0 ) 0
( ( ),( ) ),tt
2( 0 ) = 3,( 0 ) = 2,
的解解
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ]X s L t X s L t令
1 1 2 2( ),( )x t x t以 代入方程组后对方程施行拉普拉斯变换得
2 1 1 2 2[ ( ) 3 2 ] 2 [ ( ) 3 ] ( ) 2 ( ) 0s X s s s X s s X s X s
1 1 2
2[ ( ) 3 ] 2 ( ) ( )
1s X s X s s X s s
常系数线性方程组整理后得
2 12( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) 3 4s s X s s X s s
12
31( 2 ) ( ) ( )
1
ss X s s X s
s
解得
1
1 1 1()
1 1 2Xs s s s
2
11()
11Xs ss
再取反变换得
21 ( ),t t tt e e e
2 ( ),ttt e e
常系数线性方程组
2 用拉普拉斯变换求基解矩阵
',( 5,3 3 )x A x?
对常系数齐线性微分方程组
( ) ( 5,3 3 ) ( 0 ),t设 是 满 足 的 解
( ) [ ( ) ],X s L t令则
( - ) ( ),( 5,6 3 )s E A X s
d e t ( - ) 0,s E A G r a m m e r?当 时 由 法 则
( 5,6 3 ) ( ),( )X s t?可 唯 一 解 出 从 而 可 解 出
1 2 1 2,,,,( ),( ),
,( ) ; ( ),
n
n
e e e t t
tt
依 次 令 即 可 得 基 本 解 组它 们 可 构 成 基 解 矩 阵常系数线性方程组例 12 试构造方程组 'x Ax? 的一个基解矩阵,其中
3 1 1
2 0 1,
1 1 2
A
解 对方程两边施行拉普拉斯变换得
( ) - ( ),s X s A X s
即 ( - ) ( ),s E A X s
也即 11
22
33
- 3 1 - 1 ( )
- 2 - 1 ( ),
- 1 1 - 2 ( )
s X s
s X s
s X s
常系数线性方程组由克莱姆法则,有
1 2 3
1 2
( 1 )()
( 2 )
sXs
s
2
1 2 2
2 2
( 2 1 ) ( 5 5 ) ( 1 )()
( 1 ) ( 2 )
s s s sXs
ss
1 2 3 3
3 () ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )Xs s s s
1,0,0,1 2 3令 可得
1 2
( 1 )()
( 2 )
sXs
s
2 2
23()
( 1 ) ( 2 )
sXs
ss
11
12ss
2
11
( 2 ) ( 2 )ss
2
1 1 1
1 2 ( 2 )s s s
3
1()
( 1 ) ( 2 )Xs ss
常系数线性方程组
2 2 2( ) ( 1 ),( ) ( 1 ),( ),t t t t tt t e x t t e e x t e e1 2 3故 x
从而
2
2
1
2
( 1 )
( ) ( 1 ),
t
tt
tt
te
t t e e
ee
0,1,0,1 2 3其次令 得
2
2
2
2
( ),
t
tt
tt
te
t e te
ee
0,0,1,1 2 3最后令 得
2
2
3
2
( ),
t
t
t
te
t te
e
常系数线性方程组故基解矩阵
1 2 3( ) [ ( ),( ),( ) ]t t t t
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( 1 )
( 1 )
t t t
t t t t t
t t t t t
t e te te
t e e e te te
e e e e e
且
(0 ),E
常系数线性方程组作业
P236 2,4(b),5(a)
P236 5(c),6(a),7,
P237 8,10(a),11
§ 4.3 常系数线性方程组常系数线性方程组
( ),dx A x f tdt
,( )A n n f t
a t b
这里系数矩阵 为 常数矩阵 在上连续的向量函数;
一阶常系数线性微分方程组,
( ) 0,ft?若 则对应齐线性微分方程组为
,( 5,3 3 )dx Axdt?
本节主要讨论 (5.33)的基解矩阵的求法,
常系数线性方程组一、矩阵指数 expA的定义和求法
1 expA的定义定义
,
e x p
A n n
A
设 为 常 数 矩 阵 则 定 义 矩 阵 指 数为 下 列 矩 阵 级 数 的 和
2
0
e x p ( 5,3 4 )
! 2 ! !
km
k
A A AA E A
km
0,,,0 ! 1,mE A A m A E其中 为单位矩阵 为 的 次幂注 1,矩阵级数 (5.34)是收敛的,
由于
,
!!
kk A
A
kk
而数项级数
1 !
k
k
A
k
收敛,
常系数线性方程组注 2,级数在 t的任何有限区间上是一致收敛的,
由于
,,
!!
k kkk Ac
At tc
kk
而数项级数
1 !
k k
k
Ac
k
收敛,
2
2
0
e x p
! 2 ! !
km
km
k
A A AA t t E A t t t
km
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
( 1 ),.A B A BA B B A e e e若则
1( 2 ),( e x p )AA?对任何矩阵 存在,且
1( e x p ) e x p ( - ),AA? =
由于,
0
()e x p ( )
!
k
k
ABAB
k
0k
0;
!( ) !
l k lk
l
AB
l k l
00
e x p e x p
!!
ij
ij
ABAB
ij
= [ ];
! ( ) !
l k lk
kl
AB
l k l
绝对收敛级数的乘法定理
由于,e x p e x p ( - )AA e x p ( ( - ) )AA exp 0?,E?
常系数线性方程组
( 3 ),T若 是非奇异的则
) ( e x p ),A T A T?- 1 - 1e x p ( T T
由于,
)AT?-1exp(T
1
0
()
!
k
k
T A T
k
E 1
1
()
!
k
k
T A T
k
E
1
1 !
k
k
T A T
k
1TT 1
1
()
!
k
k
ATT
k
1
1
()
!
k
k
AT E T
k
( e x p ),AT? -1T
常系数线性方程组
3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理 9 矩阵
( ) e x pt A t
是 (5.33)的基解矩阵,且 (0 ),E
证明,0,e x pt A t?当 时由 定义知 (0 ) ;E
又因为 ''( ) ( e x p )t A t
23
21
1 ! 2 ! ( 1 ) !
m
mA A AA t t t
m
A? A?
( ) e x pt A t故 是基解矩阵
2
2()
2 ! !
m
mAAE A t t t
mexp At ( ),t?
A?
常系数线性方程组例 1 如果 A是一个对角矩阵
1
2
n
a
a
A
a
',x A x?试求出 的基解矩阵解 由 (5.34)得
exp At E?
1
2
1!
n
a
a t
a
2
1
2 2
2
2
2!
n
a
a t
a
常系数线性方程组
1
2
!
m
m m
m
n
a
a t
m
a
1
2
n
at
at
at
e
e
e
例 2 ' 21,
02
xx
试求出 的基解矩阵解 因为
21
02
A
2 0 0 1
0 2 0 0
而后面两个矩阵是可交换的常系数线性方程组
20 2,
02
E
20 1 0 0
,
0 0 0 0
故
exp At 20e x p ( )
02
t
01e x p ( )
00
t
2
2
0
0
t
t
e
e
2 20 1 0 1
{}
0 0 0 0 2!
tEt
2
2
0
0
t
t
e
e
1
01
t
2 1,
01
t te
常系数线性方程组
(2) 基解矩阵的一种求法对n 阶矩阵A 设 1A T JT
,.T J J o r d a n其中 为非奇异矩阵 为 矩阵则 1,A t J te T e T
其中
1
2
,
k
J
J
J
J
1
2
,
k
Jt
Jt
Jt
Jt
e
e
e
e
注 1,1 1 1,A t J t J te T T e T e由 知,也是基解矩阵常系数线性方程组二 基解矩阵的计算公式类似第四章 4.2.2,寻求
',( 5,3 3 )x A x?
形如
( ),0,( 5,4 3 )tt e c c
,,c?的解其中常数 和向量 是待定的将 (5.43)代入 (5.33)得
,tte c A e c
0,te因 上式变为
( ) 0,( 5,4 4 )E A c
1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系常系数线性方程组方程 (5.44)有非零解的充要条件是,d e t( ) 0,EA
结论 ( 5,3 3 ) ( ) tt e c微分方程组 有非零解 的充要条件是
,.Ac是矩阵 的特征根 是与 对应的特征向量
( ) ( 5,3 3 )ttec 为 解( ) 0E A c 有非零解即例 3 35
.
53
试求矩阵A = 特征值和特征向量解
A 的特征值就是特征方程
35
d e t( )
53
EA
2 6 3 4 0
的根,123 5,3 5,ii
',( 5,3 3 )x A x?( ) 0,( 5,4 4 )E A c
常系数线性方程组
1 1 23 5 (,) Ti u u u对特征根 的特征向量 满足
()E A u 1
2
55
0
55
ui
ui
解得 1,0,u
i
2 1 23 5 (,) Ti v v对特征根 的特征向量v 满足
()E A u 1
2
55
0
55
vi
vi
解得
,0,
1
i
v
常系数线性方程组
' 35
53
xx
微 分 方 程 组 的 解 为
( 3 5 )
1
1
,itxe
i
( 3 5 )
2 ;1
it ixe
( 3 5 )
1
1it
xe
i
3 ( c o s 5 s i n 5 )te t i t
1
i
3 c o s si n
si n c o s
t t i te
t i t
3 c o s
sin
t te
t
3 sin
c o s
t tie
t
故 解 为,3
1
c o s
,
s in
t txe
t
3
2
si n
.
c o s
t txe
t
常系数线性方程组例 4 21
.
14
试求矩阵A = 特征值和特征向量解 特征方程为
21
d e t( )
14
EA
2 6 9 0
3,因此 为两重特征根 为求其对应的特征向量考虑方程组
()E A c 1
2
11
0
11
c
c
解得 1
,0,
1
c
3是对应于特征根 的特征向量
'
3
21
14
1
.
1
t
xx
xe
方 程 组的 解 为常系数线性方程组
2 基解矩阵的计算方法 ---常系数线性微分方程组的解法
(1) 矩阵 A具有 n个线性无关的特征向量时定理 10
1 2 1 2,,,;,,,(
),
nnv v v
如果矩阵A具 有n个 线性无关的特征向量它们相应的特征值为 不必互不相同 那么矩阵
12 12( ) [,,,],n ttt nt e v e v e v t
是常系数线性微分方程组
',( 5,3 3 )x A x?
的一个基解矩阵,
常系数线性方程组证明,由上面讨论知,每一个向量函数
,1,2,,j t je v j n
都是 (5.33)的解,因此矩阵
1212( ) [,,,]n ttt nt e v e v e v
是 (5.33)的解矩阵,
12,,,,nv v v由于 线性无关所以
12d e t (0 ) d e t [,,,]nv v v 0?
( ) ( 5,3 3 ),t?故 是 的基解矩阵常系数线性方程组例 5 ' 35,
53
xx
试求微分方程组 的基解矩阵解 由例 3知
123 5,3 5i i A 是 的特征值,
1 2 1 2
1
,,,
1
i
vv
i
是对应于 的特征向量;
由定理 10,矩阵
1212( ) [,]ttt e v e v
( 3 5 ) ( 3 5 )
( 3 5 ) ( 3 5 )
i t i t
i t i t
e ie
ie e
就是一个基解矩阵,
常系数线性方程组注,,( ) e x p,t A t?一般来说 不一定是
e x p ( ),A t t C但由于 有 1 (0 ),C
从而 1e x p ( ) (0 ),A t t
例 6 试求例 5的实基解矩阵,
解 由于基解矩阵为
( 3 5 ) ( 3 5 )
( 3 5 ) ( 3 5 )
()
i t i t
i t i t
e ie
t
ie e
故实基解矩阵为
e x p At?
1
1
1
i
i
( 3 5 ) ( 3 5 )
( 3 5 ) ( 3 5 )
i t i t
i t i t
e ie
ie e
常系数线性方程组
( 3 5 ) ( 3 5 )
( 3 5 ) ( 3 5 )
11
12
i t i t
i t i t
ie ie
iie e
( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5 )
( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 3 5 )
()1
2 ()
i t i t i t i t
i t i t i t i t
e e i e e
i e e e e
3 c o s 5 si n 5,
si n 5 c o s 5
t tte
tt
求例 5满足初始条件 1(0 )
1
的解常系数线性方程组解 由于基解矩阵为
e x p At? 3
c o s 5 s in 5
.
s in 5 c o s 5
t tte
tt
故该方程的通解为 ( ) ( e x p )x t A t c?
从而 ( ) ( e x p )t A t c
由初始条件有 1
( 0 )
1
c?
故
()t 3 c o s 5 si n 5 1,
si n 5 c o s 5 1
t tte
tt
3 c o s 5 s in 5,
s in 5 c o s 5
t tte
tt
常系数线性方程组例 7 求方程组 '
5 2 8 1 8
1 5 3
3 1 6 1 0
xx
的通解,
解 A系数矩阵 的特征方程为
2d e t ( ) 3 ( 1 ) 0EA
因此特征根为
1 2 30,1,1 ;
它们相的特征向量为
1 2 3
2 2 3
1,1,0 ;
1 2 1
v v v
常系数线性方程组故基解矩阵为
2 2 3
( ) 1 0
12
tt
t
tt
ee
te
ee
故通解为
1
2
3
2 2 3
( ) ( ) 1 0
12
tt
t
tt
e e c
t t c e c
e e c
1
2
1
1
c
2
2
1
2
tce
3
3
0;
1
tce?
常系数线性方程组
(2) 矩阵 A的特征根有重根时
12
1 2 1 2
,,,;
,,,;,
k
kkn n n n n n n
假设n n 矩阵A 的特征值为 相应重数为 且
,n n U由 高 代 知 维 常 数 列 向 量 所 组 成 的 维 空 间 的 子 集
{ | ( ) 0 }jnjjU u U A E u
( 1,2,,),jU n j k?是 的 维不变子空间 且
12,( 5,4 9 )kU U U U
下面先寻求( 5,3 3 ) 满足初始条件 ( 0 ) = 的解,
',( 5,3 3 )x A x?
( ) ( e x p )t A t
分量是无穷级数 难 !
分量表为 t的指数函数与幂函数乘积有限项组合
将 分 解,(e x p )At?
常系数线性方程组
jU因 子 空 间 是 方 程 组
( ) 0,( 5,4 8 )jnjA E u
的解产生的,
jv从 而 一 定 是 (5.48) 的 解,由 此 即 得
( ) 0,,1,2,,,( 5,5 1 )lj j jA E v l n j k
由于
jte?e x p ( )j t
je E t
j
j
j
t
t
t
e
e
e
E?
( 1,2,,),jjv U j k其 中
12,( 5,5 0 )kv v v
由 (5.49)有常系数线性方程组由 (5.51)有 ( e x p ) ( e x p )
jjA t v A t v?[ e x p ( ) ]j t je E t
jte [ e x p ( ) ]jA E t
jv
jte 22[ ( ) ( )
2!jj
tE A E t A E
jv
( 5,3 3 ) ( ) ( e x p ),t A t故 的 解 可 表 为
( ) ( e x p )t A t (e x p )At?
1
k
j
j
v
1
( e x p )
k
j
j
A t v
12
12
1
[ ( ) ( ) ( ) ]2 ! ( 1 ) !
j
jj
nk
tn
j j j j
j j
tte E A E t A E A E v
n
故( 5,3 3 ) 满足初始条件 ( 0 ) = 的解可写成
1
10
( ) { ( ) },( 5,5 2 )
!
j
j
n ik
t i
jj
ji
tt e A E v
i
1
1( ) ]
( 1 ) !
j
j
n
n
j
j
tAE
n
常系数线性方程组注 1:,,Au当 只 有 一 个 特 征 值 时 对 任 何 都 有
( ) 0,nA E u
故 e x p At? e x p ( )A E tte
1
0
( ),( 5,5 3 )
!
in
ti
j
i
te A E
i
注 2,( 5,5 2 ) e x p,At为 了 从 求 注 意 到
e x p At? ( e x p )A t E? 1[ ( e x p ),,( e x p ) ]nA t e A t e
其中
12
1 0 0
0 1 0
,,,,
0 0 1
n
e e e
12
,
,,,,
,
e xp,
n
e e e
n
n
At
是 单 位 向 量 依 次令 求 得个 线 性 无 关 的 解 以这 个 解 为 列 可 得 到常系数线性方程组例 8 试解初值问题
' 21,( 0 ),
14
xx
e x p,At并 求解 从例 4知,
3 A 是 的二重特征值,
112,,nU?这时 只有一个子空间
1
2
2n
1将 及 = 代入( 5,5 2 ) 即得
3( ) { ( 3 ) }tt e E t A E 13
2
11
{}
11
te E t?
1
10
( ) { ( ) },( 5,5 2 )
!
j
j
n ik
t i
jj
ji
tt e A E v
i
常系数线性方程组
1 1 23
2 1 2
()
()
t te
t
利用公式 (5.53)即得
3e x p { ( 3 ) }tA t e E t A E
3 1 0 1 1{}
0 1 1 1
tet
3 1
1
t tte
tt
或者分别令
1 ( 1,0 )
Te T
2,e = ( 0,1 ),
然后代入( 5,5 4 ) 即得
12e x p [ ( e x p ),( e x p ) ]A t A t e A t e?
3 1,
1
t tte
tt
常系数线性方程组例 9 如果
4 1 0 0 0
0 4 1 0 0
0 0 4 1 0
0 0 0 4 1
0 0 0 0 4
A
e x p,At试 求解
5,4,nA这 里 是 的 五 重 特 征 值直接计算可得 3( 4 ) 0,AE
因此由公式 (5.53)可得
e x p At? -4te
2
2{ ( 4 ) ( 4 ) }
2!
tE t A E A E
1
0
e x p ( ),( 5,5 3 )!
in
ti
j
i
tA t e A E
i
常系数线性方程组
-4te?
0000
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0000
1
1
{ 1
1
1
t
01000
00100
00000
00000
00000
2
}
2!
t
00100
00000
00000
00000
00000
-4te?
2
00
2
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
t
t
t
1
1
1
1
1
常系数线性方程组例 10 求方程组
'
1 1 2 3
'
2 1 3
'
3 1 2 3
3
2,
2
x x x x
x x x
x x x x
( ),e x p,t A t?的 解 并 求满足初始条件
1
2
3
(0)=
解 这里系数矩阵
A
3 - 1 1
2 0 1
1 - 1 2
A的 特 征 方 程 为
2d e t ( - ) ( - 1 ) ( - 2 ) 0EA
常系数线性方程组特征根为
21,2 ;1 21,2 ;nn1分别为 重特征值
2,;UU 1为了确定三维欧几里德空间的子空间由 (5.48)我们需要考虑下面方程
( ) 0A E u 和 2( 2 ) 0A E u
首先讨论
2 1 1
( ) 2 1 1 0
1 1 1
A E u u
这个方程组的解为
1
0
,u
为任常数常系数线性方程组
11,Uu子 空 间 是 由 向 量 张 成 的 子 空 间其次
2
0 0 0
( 2 ) 1 1 0 0
1 1 0
A E u u
这个方程组的解为
2,,u
其中 为任常数
22Uu子 空 间 是 由 向 量 张 成 的 子 空 间
1 2 2 2,,v U v U v v11下面找 使,即
1
2
3
0
常系数线性方程组解之得
11
0
,;vv
1
2 1 1
2 1 3 2 1
故方程满足 ( 0 ) = 的解为
212( ) { ( 2 ) }ttt e E v e E t A E v
2
0 1 1 1
{ 2 2 1 }
1 1 0
tte e E t
1
2 1 1
2 1 3 2 1
2
0(
()tt
t
e e t
1 3 2 1
2 1 1 3 2 1
2 1 3 2 1
常系数线性方程组
e x p,At?为 计 算 直 接 令 等 于
,,;
100
010
001
代入上式得到三个线性无关的解,利用这三个解为列,即得
22
2 2 2
2 2 2
( 1 )
e xp - ( 1 ) -
--
t t t
t t t t t
t t t t t
t e te te
A t e t e e te te
e e e e e
常系数线性方程组
(3) 非齐线性方程的解下面研究非齐线性微分方程组
' ( ),( 5,6 0 )x A x f t
满足初始条件 ( 0 ) = 的解由于 (5.60)对应齐次方程组 'x Ax? 的基解矩阵为
( ) e x p,t A t 1 ( ) e x p ( ),t A t且故由常数变易公式,
0t(5.60) 满 足 ( ) = 的 解 为
0
0( ) e x p [ ( ) ] e x p [ ( ) ] ( )
t
t
t A t t A t s f s d s
0
- 1 1
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( 5,2 7 )
t
tt t t t s f s d s
常系数线性方程组例 10 设
35
,( )
53 0
te
A f t
' ()x A x f t试求方程组 满足初始条件
0
( 0 )
1
的解,
解 由例 6知
3 c o s 5 s in 5e x p,
s in 5 c o s 5
t ttA t e
tt
故初值问题的解为常系数线性方程组
3 c o s 5 s in 5 1 0 0()
s in 5 c o s 5 0 1 1
t ttte
tt
3 ( )
0
c o s 5 ( ) s in 5 ( )
s in 5 ( ) c o s 5 ( ) 0
st
ts t s t s ee d s
t s t s
3 sin 5
c o s 5
t te
t
34
0
c o s 5 c o s 5 s in 5 s in 5
s in 5 c o s 5 c o s 5 s in 5
tts t s t s
e e d s
t s t s
4
3
4
4 c o s 5 4 6 s in 5 41
.
41 4 6 c o s 5 4 s in 5 5
t
t
t
t t e
e
t t e
常系数线性方程组三 拉普拉斯变换的应用
(1)定义
( ),f t n设 为 维 函 数 列 向 量定义其 拉普拉斯变换 为
0[ ( ) ] ( ),
stL f t e f t dt
' ( ),x A x f t
,( )A n n f t a t b这里 为 矩阵 在 上连续.
常系数线性微分方程组,
1用拉普拉斯变换解微分方程组常系数线性方程组
(2)定理 12
( ),0 0,f t M如 果 对 向 量 函 数 存 在 常 数 及使 不 等 式
( ),( 5,6 2 )tf t M e
,t对所有充分大的 成立 则初值问题
' ( ),(0 ) ;x A x f t x
'( ) ( ),( ) ( 5,6 2 )t t f t的解 及其导数 均像 一样满足类似的不等式,从而它们的拉普拉斯变换都存在.
常系数线性方程组
(3) 推论
( ),0 0,f t M如 果 对 数 值 函 数 存 在 常 数 及使 不 等 式
( ),tf t M e
,t对所有充分大的 成立 则常系数线性微分方程的初值问题
1
1 1 ()
nn
nnn
d x d xa a x f t
d t d t
)1(0)1()1(0'0 )0(,,)0(,)0( nn xxxxxx?
的解及其直到n 阶导数均存在拉普拉斯变换.
常系数线性方程组例 11 利用拉普拉斯变换求解例 10.
解 将方程写成分量形式,即
'1 1 235 tx x x e
'2 1 253x x x
12(0 ) 0,(0 ) 1
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ]X s L t X s L t令
1 1 2 2( ),( )x t x t L a p l a c e以 代入方程组后对方程施行 变换得
1 1 2
1( ) 3 ( ) 5 ( )
1s X s X s X s s
2 1 2( ) 1 5 ( ) 3 ( )s X s X s X s
常系数线性方程组
12
1( 3 ) ( ) 5 ( )
1s X s X s s
125 ( ) ( 3 ) ( ) 1X s s X s
由此解得
1 2 2 2 2
1 3 5 1( ) [ 4 4 6 4 ]
4 1 ( 3 ) 5 ( 3 ) 5 1
sXs
s s s
2 2 2 2 2
1 3 5 1( ) [ 4 6 4 5 ]
4 1 ( 3 ) 5 ( 3 ) 5 1
sXs
s s s
故
34
1
1( ) ( 4 c o s 5 4 6 s in 5 4 )
41
ttt e t t e
34
2
1( ) ( 4 6 c o s 5 4 s in 5 5 )
41
ttt e t t e
即常系数线性方程组例 12 试求方程组
'
1 1 2
'
2 1 2
2,
4
x x x
x x x
满足初始条件
1 1 2(0 ) 1 ( ( ),( ) ),tt2(0)=0,的解解
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ]X s L t X s L t令
1 1 2 2( ),( )x t x t假设 满足微分方程组,
对方程组取拉普拉斯变换得
1 1 1 2( ) (0 ) 2 ( ) ( )s X s X s X s
2 2 1 2( ) (0 ) ( ) 4 ( )s X s X s X s
常系数线性方程组即 1 2 1( 2 ) ( ) ( ) (0 ) 0s X s X s
1 2 2( ) ( 4 ) ( ) (0 ) 1X s s X s
解得
1 2
1( ),
( 3 )Xs s
2 2
11()
( 3 ) ( 3 )Xs ss
故
31 ( ),tt te 33
2 () ttt e te
3(1 ) tte
常系数线性方程组例 12 试求方程组
'' ' '
1 1 2 2
''
1 1 2
2 2 0,
22 t
x x x x
x x x e?
满足初始条件
11
12
( 0 ) 0
( ( ),( ) ),tt
2( 0 ) = 3,( 0 ) = 2,
的解解
1 1 2 2( ) [ ( ) ],( ) [ ( ) ]X s L t X s L t令
1 1 2 2( ),( )x t x t以 代入方程组后对方程施行拉普拉斯变换得
2 1 1 2 2[ ( ) 3 2 ] 2 [ ( ) 3 ] ( ) 2 ( ) 0s X s s s X s s X s X s
1 1 2
2[ ( ) 3 ] 2 ( ) ( )
1s X s X s s X s s
常系数线性方程组整理后得
2 12( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) 3 4s s X s s X s s
12
31( 2 ) ( ) ( )
1
ss X s s X s
s
解得
1
1 1 1()
1 1 2Xs s s s
2
11()
11Xs ss
再取反变换得
21 ( ),t t tt e e e
2 ( ),ttt e e
常系数线性方程组
2 用拉普拉斯变换求基解矩阵
',( 5,3 3 )x A x?
对常系数齐线性微分方程组
( ) ( 5,3 3 ) ( 0 ),t设 是 满 足 的 解
( ) [ ( ) ],X s L t令则
( - ) ( ),( 5,6 3 )s E A X s
d e t ( - ) 0,s E A G r a m m e r?当 时 由 法 则
( 5,6 3 ) ( ),( )X s t?可 唯 一 解 出 从 而 可 解 出
1 2 1 2,,,,( ),( ),
,( ) ; ( ),
n
n
e e e t t
tt
依 次 令 即 可 得 基 本 解 组它 们 可 构 成 基 解 矩 阵常系数线性方程组例 12 试构造方程组 'x Ax? 的一个基解矩阵,其中
3 1 1
2 0 1,
1 1 2
A
解 对方程两边施行拉普拉斯变换得
( ) - ( ),s X s A X s
即 ( - ) ( ),s E A X s
也即 11
22
33
- 3 1 - 1 ( )
- 2 - 1 ( ),
- 1 1 - 2 ( )
s X s
s X s
s X s
常系数线性方程组由克莱姆法则,有
1 2 3
1 2
( 1 )()
( 2 )
sXs
s
2
1 2 2
2 2
( 2 1 ) ( 5 5 ) ( 1 )()
( 1 ) ( 2 )
s s s sXs
ss
1 2 3 3
3 () ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )Xs s s s
1,0,0,1 2 3令 可得
1 2
( 1 )()
( 2 )
sXs
s
2 2
23()
( 1 ) ( 2 )
sXs
ss
11
12ss
2
11
( 2 ) ( 2 )ss
2
1 1 1
1 2 ( 2 )s s s
3
1()
( 1 ) ( 2 )Xs ss
常系数线性方程组
2 2 2( ) ( 1 ),( ) ( 1 ),( ),t t t t tt t e x t t e e x t e e1 2 3故 x
从而
2
2
1
2
( 1 )
( ) ( 1 ),
t
tt
tt
te
t t e e
ee
0,1,0,1 2 3其次令 得
2
2
2
2
( ),
t
tt
tt
te
t e te
ee
0,0,1,1 2 3最后令 得
2
2
3
2
( ),
t
t
t
te
t te
e
常系数线性方程组故基解矩阵
1 2 3( ) [ ( ),( ),( ) ]t t t t
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( 1 )
( 1 )
t t t
t t t t t
t t t t t
t e te te
t e e e te te
e e e e e
且
(0 ),E
常系数线性方程组作业
P236 2,4(b),5(a)
P236 5(c),6(a),7,
P237 8,10(a),11
