1,我们用符号,?” 表示“任取”
或“对于任意的” 或“对于所有的”,
符号,?” 称为全称量词,
§ 1－ 1 集合，符号一、
2,我们用符号,?” 表示“存在”,
例：命题“对任意的实数 x,都存在实数 y,
使得 x+y=1”可表示为,?x?R,?y?R,
使 x+y=1”
符号,?” 称为存在量词,
3,我们用符号,?”表示“充分条件”
比如,若用 p,q分别表示两个命题或陈述句,
或,推出” 这一意思,
则,p? q”表示,若 p成立,则 q也成立”,即 p是 q成立的充分条件,
4,我们用符号,?”表示“当且仅当”
比如,p? q”表示,p成立当且仅当 q成立” 或者说 p成立的充要条件是 q成立,
或,充要条件” 这一意思,
1,集合的概念 (略 )
2,区间 (略 )
3,邻域?x0?R,? >0.
(1) 记 U(x0,? ) = (x0,x0+? )={x?R||x?x0|<? }
称为 x0的? 邻域,其中 x0称为这个邻域的中心,? 称为这个邻域的半径,如图
x0 x0+?x0 x
二、集合的概念及运算这就是从 U(x0,? ).中去掉中心点 x0所余下的部分,
(3) 当不必强调指出邻域和去心邻域的半径时,将邻 域 和去心邻域简记为 U(x0 )和,)( 0xU?
(2) },{),(),( 000 xxUxU记,0 邻域的去心称为?x
x0 x0+?x0 x
4,集合的运算及公式 (略 )
设 A,B为实数,有
||||,1 AAA
BABBA||,2
BABABA,,||,3 或
||||||,4 BABA
|| ||||,5 BABA
.0,|| |||,|||||,6 BBABABAAB 其中三、绝对值不等式性质
x y
A B
f
§ 1－ 2 映射定义,设 A,B是两非空集,若存在对应规则 f,
使?x?A,按照对应规则 f,都有唯一确定的
y?B与之对应,则称 f是从 A到 B的一个映射,记作 f,A?B,x?y.
称 y为 x在 f 下的像,记作 f (x),即,y = f (x),
称 x为 y在 f 下的原像,习惯上也将映射记作
y = f (x).
注 1.映射是一种建立在两集合间的对应规则,
它满足 A中任一元素 x都能且只能对应一个 y,但不同的 x可以对应同一个 y,即可以出现“多对一”的情形,
注 2.在定义中并不要求对每一个 y?B,都有一个 x与这个 y对应,即，有些 y可能并不是某个 x的像,
定义,设 f,A?B,x?f (x),若?x1,x2?A,当 x1? x2
时,f (x1)? f (x2).则称 f 是单射,
定义,设 f,A?B,x?f (x),若?y?B,?x?A,使得
f (x) =y.则称 f 是满射,
定义,若映射 f,A?B既是单射,又是满射,则称
f 是一个双射也称 f是一一对应,
f,X?Y,x?y
§ 1－ 3 函数一、函数的概念定义 1.设实数集 X,Y 均非空,若存在对应规则 f,
使得?x?X,按照 f,都有唯一确定的 y?Y,与之对应,则称 f是定义在 X上的一元实值函数,记作
X在 f 下的像集 f (X)={f (x)|?x?X}称为 f 的值域,
记作 R(f ),
称 X为函数 f 的定义域,记作 D(f ).
显然有 R(f )?Y.
称 y为 x在 f 下的像,记作 f (x),即,y=f (x)
称 x为 y在 f 下的原像,
注 1.定义 1可改写为“若 f 是从实数集 X到实数集 Y的一个映射,则称 f 是一个一元实值函数”,
注 3.本教材中用符号,?” 表示子集,而不是用
,?”,
注 2.在定义 1中,f 是函数,它是一个映射,是一个对应规则,而 f (x)则是函数值,是 x在 f下的像,但在习惯上,我们把 f (x)也称作 x的函数,
另外,习惯上,称 x为自变量,y为因变量,
因此,本教材中不用符号严格区分子集和真子集两概念,
设函数 f (x),g(x),定义域分别为 A=D(f ),B=D(g),
1,两函数相等?它们的定义域相同,并且,对应规则相同,
二、函数的运算
2,设 A?B = D(f )?D(g),则 A?B在上可定义 f
和 g的和,差,积,商如下,
(i)
(ii)
(iii)
0)(,,)( )())(g( xgBAxxg xfxf 且?(iv)
(f + g)(x) = f (x) + g(x)?x? A?B
(f – g)(x) = f (x) – g(x)?x? A?B
(f · g)(x) = f (x) · g(x)?x? A?B
3,复合函数设 y=f (u),即,y是 u的函数,而 u是 x的函数
u=?(x),
yux f
而函数式则可通过代入运算而得到,
一般说来,这时,y通过中间变量 u而成为 x的函数,
将 u=?(x)代入到 y =f (u)中,得到 y=f [?(x)].
称它为由 f (u)和?(x)构成的复合函数,
例 1.设 y=f (u)=lgu,而 u=?(x)=sinx,
则它们构成的复合函数为 y=f [?(x)] = lgsinx.
例 2.设 y=f (u)=lg(u–2),而 u=?(x)=sinx,代入后
y=lg(sinx –2),因定义域为空集,所以它们不能构成复合函数,
定义 2.若 y=f (u)的定义域 U,而 u=?(x)的定义域为 X,值域为 U*.且 U? U*,则 y 通过称它为由 f (u)和中间变量 u成为 x的函数,
(x)构成的复合函数,记作 y=f [?(x)].
注 1,复合函数 f [?(x)]的定义域 X?包含在 u=?(x)
注 2,本教材也把复合函数记作 (f 。 g)(x),即
(f 。 g)(x) = f [?(x)]
的定义域 X之中,即,X X (如例 1)
定义 3:设函数 y=f (x)的定义域为 X,值域为 Y,
且 f 是从 X到 Y的一一对应 (即,f 是从 X
到 Y的单射和满射 ),则?y?Y,都有唯一确定的 x与之对应,因此,x是 y的函数,称它为 y=f (x)的反函数,记作 x= f –1 (y).
由于习惯上用 x表自变量,y表因变量,所以,反函数也记为 y =f –1 (x).
三、反函数注 1,y =f –1 (x)的定义域为 Y,值域为 X.
注 2,y =f –1 (x)与 y =f (x)的图象关于 y=x对称,
注 3.求反函数的一般步骤为 (1)从 y =f (x)解出 x ; (2) 将 x换成 y,y换成 x.
1,基本初等函数幂函数 y = x?,
定义域,值域,性质,图象,(略 )
指数函数 y = ax (a>0,a?1),
对数函数 y =logax (a>0,a?1),
三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx = tgx,
y=cotx=ctgx,y=secx,y=cscx,
反三角函数 y=arcsinx,y=arccosx,
y=arctgx=arctanx,y=arccotx = arcctgx
以及常数函数 y=c(c为常数 ),这 6种函数统称为基本初等函数,
四、初等函数
2,称由基本初等函数经有限次加,减,乘,除运算和有限次复合运算而构成的函数为初等函数,
.)1(s i n,c o sln 22 都是初等函数如 xyxy
但也有很多不是初等函数的函数,
0
y
x
例 3.符号函数
01
00
01
s g n
x
x
x
xy
1
–1
其图象为符号函数是一个分段函数,它不是初等函数,
)(s g n)(|)(| xfxfxf
00
0||
x
x
x
x
且有例 4.取整函数
y = [x],
如,若取 x = 1,2,则 [x]=1;
其图象为取整函数也不是初等函数,
其中 [x]表示不超过 x的最大整数,
若取 x = –1,2,则 [x]= –2;
若取 x = 2,则 [x]= 2;
y
-1
1
2
3
-1
-3
y=[x]
x0 1 2 3 4
-2
-2-3-4
例 5.狄利克莱函数
.,0
.,1)(
为无理数当为有理数当
x
xxDy
狄利克莱函数的图象无法准确画出来,
D(x)不是初等函数,
例 6.将下列函数分解成基本初等函数的复合,
(1) y = cos2x,
(2),1xay?
是由 y = u2,u= cosx复合而成,
,uay?是由,1 复合而成xu?
(3) y = arctge–x,是由 y=arctgu,.1 复合而成
x
eu
(4),c o sln 2xy?,c o sln 2xu?而,uy? 再分解,
.c o s,ln 2xvvu 而再分解,
.,c o s 2xwwv 而所以,,c o sln 2xy?,ln,vuuy是由
.2 复合而成xw?,c o s wv?
1,单调性,
单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数,
x
y
o
f (x)单调递增
x
y
o
f (x)单调递减设 f (x)在 (a,b)有定义,若?x1,x2?(a,b),
x1< x2,有 f (x1)?f (x2) (f (x1)?f (x2)),则称 f
(x)在 (a,b)上单调递增 (单调递减 ).
区间 (a,b)称为 f (x)的单调区间,
五、函数的基本特性如,y = x2,图
y=x2
0 x
y
在 (,0]上单调递减,而在 [0,+?)上单调递增,
2,奇偶性,
(1) 若?x?D(f ),有 f (–x)= f (x),则称 f (x)为偶函数,其图形关于 y 轴对称,
(2) 若?x?D(f ),有 f (–x)= –f (x),则称 f (x)为奇函数,其图形关于 原点对称,
设 f (x)的定义域为 D(f ),满足?x?D(f ),
有 –x?D(f ),
易见,常函数 y=c是偶函数,
狄利克莱函数 D(x)也是偶函数,
因为若 x为有理数,则 –x也是有理数,从而若 x为无理数,则 –x也是无理数,从而综合起来,总有 D(x)= D(–x),因此,D(x)是一个偶函数,
D(x)= D(– x)=1
D(x)= D(– x)=0
3,周期性,设 f (x)的定义域为 D(f ),若存在常数
T?0,使?x?D(f ),有 x?T?D(f ),且 f
(x?T)=f (x).则称 f (x)为周期函数,T为
f (x)的周期,
由于周期函数的函数值是呈周期变化,因此,
周期函数的图形也是呈周期性变化,会周而复始的重复出现,如 y=sinx,y=cosx,
易见,若 T为 f (x)的周期,则 nT均为 f (x)的周期,n=1,2,…,通常称最小正周期为 f (x)的周期,
画周期函数图形可以先在一周期内画好,
然后向数轴两端平移,
如 y=sinx,2n?都是 sinx的周期,其中 n=1,2,…,
它的最小正周期为 2?.
2
2c o s1s i n,2 xxy又如 是周期函数,
它的周期为 n?,n=1,2,… 最小正周期为?.
有些周期函数没有最小正周期,
如常数函数 y=f (x)=c (常数 ),是一个周期函数,
任何一个大于 0的常数 T都是它的一个周期,
这是因为 f (x)= c= f (x+T)
在这无穷多个大于 0的周期 T中,找不到一个最小的正周期 T.
又如,狄利克莱函数 D(x)也是周期函数,任何一个大于 0的有理数 T都是 D(x)的周期,
因为 (i) 若 x为有理数,则 x+T也是有理数,
从而 D(x) = 1 = D(x+T )
(ii) 若 x为无理数,则 x+T也是无理数,
从而 D(x) = 0 = D(x+T )
所以,总有 D(x) = D(x+T ),即 T是 D(x)的周期,
但是在这无穷多个大于 0的有理数 T中,找不到一个最小的 T.
4,有界性定义 4.
几何意义：由于 | f (x)|
MM? f (x)?M.因此,f
(x)在 (a,b)内有界,就表示了
f (x)的图形夹在两平行直线
y =?M 之间,
x
y
o a
b
M
M
设 f (x)在 (a,b)有定义,若存在常数 M>0,使
x?(a,b),有 | f (x) |?M.则称 f (x)在 (a,b)内有界,否则,称 f (x)在 (a,b)内无界,
若?M1,使?x?(a,b),
有 f (x)? M1,则称 f (x)在
(a,b)内有上界,M1称为它的一个上界,看图,
若?M2,使?x?(a,b),
有 M2? f (x),则称 f (x)
在 (a,b)内有下界,M2称为它的一个下界,看图,
x
y
o a b
M2
x
y
o a
b
M1
f (x)在 (a,b)有界? f (x)在 (a,b)既有上界,又有下界,
易见,若 f (x)在 (a,b)有上界 M1,则它在 (a,b)有无穷多个上界,
若 f (x)在 (a,b)有下界 M2,则它在 (a,b)有无穷多个下界,比如 M2 –1,M2 –2,… 都是它的下界,
比如 M1 +1,M1 +2,… 都是它的上界,
可以证明,在这无穷多个上界中必有一个最小的上界 M,称为 f (x)在 (a,b)的上确界,记作
)(s u p
),(
xfM
bax?
在这无穷多个下界中必有一个最大的下界 m,
称为 f (x)在 (a,b)的下确界,记作
)(i n f ),( xfm bax
比如 y=sinx,由于 |sinx|?1,所以,1和?1分别是 sinx的上界和下界,
若 f (x)在 (a,b)内不满足有界性定义 4,则称
f (x)在 (a,b)无界,
且可看出 1是 sinx的上确界,而?1是 sinx的下确界,
即,若对?M > 0,?x0?(a,b),
使得 | f (x0)|> M,则称 f (x)在 (a,b)无界,
xy
1?比如,,在 (0,1)内无界,
xy
1?
从几何上看,
它的图形不能全部夹在任何两条平等于 x 轴的直线之间,
y
0
1
1 x
六、双曲函数 (自学 )
