高等数学：zhang1

§ 1 向量的概念及向量的表示一、向量的基本概念
1.向量,既有大小,又有方向的量,称为 向量,
(或 矢量 )
2.向量的几何表示法,
用一条有方向的线段来表示向量,
以线段的长度表示向量的大小,
有向线段的方向表示向量的方向,A
B
a?
以 A为起点,B为终点的向量,记为 AB,,a,a?
向量 AB的大小叫做向量的模,记为 ||AB|| 或,||||a?
(一 ) 向量的概念
3.自由向量
a? b?
自由向量,只有大小,方向,而无特定起点的向量,
具有在空间中可以任意平移的性质,
,ba 与当向量 大小相等且方向相同,
记作相等与称,ba ba
特别,模为 1的向量称为 单位向量,
模为 0的向量称为 零向量,它的方向可以看作是任意的,
1、向量加法
(1) 平行四边形法则设有 (若起点不重合,
可平移至重合 ),作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,
称为 的和,记作
ba、
ba与,ba
ba、
baa?
b?
(2) 三角形法则
baa?
b?
将 之一平行移动,使的起点与 的终点重合,则由的起点到 的终点所引的向量为
ba、
a?
b?a?
.ba
b?
(二 ) 向量的加减法
2.向量加法的运算规律,
(1)交换律,
abba
ba
a? b?
c?cb
cba(2)结合律,
)()( cbacba
例如,
4321 aaaas s?
1a?
2a?
3a?
4a?
a?
b?
a?
b?
abba
3.向量减法,
(1)负向量,与 模相同而方向相反的向量,
称为 的 负向量,记作
a?
a?,a
aa?(2)向量减法,
规定,)( baba
平行四边形法则,
将 之一平移,使起点重合,作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,
为
ba、
ba和
.ba
三角形 法则,
将 之一平移,使起点重合,由 的终点向 的终点作一向量,即为
ba、
.ba
a?b?
baa?
b?
ba a?
b b?
ba
1,定义 实数?与向量 的 为一个向量,a? a乘积其中,|||||||||| aa
当? > 0时,;同向与 aa
当? < 0时,;反向与 aa
当? = 0时,.,它的方向可以是任意的oa
2,数与向量的乘积的运算规律,
(1) 结合律,auauau )()()(
(2) 分配律,auaau )(
baba )(
a? (? <0)aa (? >0)
(三 ) 数与向量的乘法结论,设 表示与非零向量 同向的单位向量,aa
则 aaa ||||?
或 |||||||| 1 aaaaa?


定理 1:两个非零向量 平行ba与
.ba存在唯一实数?，使得
(方向相同或相反 )
例 1:在平行四边形 ABCD中,设 AB=,AD =a? b?
试用 表示向量 MA,MB,MC和 MD.ba和其中,M是平行四边形对角线的交点,
解,ba由 = AC = 2MC
有 MC = )(21 ba
又 = BD = 2MDab
)(21 ab有 MD =
MB =?MD )(21)(21 baab
)(21 baMA =?MC
a?
b?
D
A B
C
M
1,点在轴上投影设有空间一点 A及轴
u,过 A作 u轴的垂直平面?,
平面?与 u轴的交点 A'叫做点 A在轴 u上的投影,
A'
A
u
(四 ) 向量在轴上的投影
2,向量在轴上的投影,
设有向线段 AB的起点 A和终点 B在轴 u
上的投影分别为点 A? 和 B?,
定义
B'
B
A'
A
u
向量 AB在轴 u上的 投影向量 或 射影向量,
称有向线段 A? B? 为如果向量 e为与轴 u
的正方向的单位向量，
xeBA
则称 x 为向量 AB 在轴 u上的 投影,记作 ABjuPr
即 xABj u?Pr
则向量 AB 的投影向量
A'B' 有：
B'
B
A'
A
ue
显然；?ABj
uPr
BA|| ||
ABj uPr
当 与 u轴同向时，BA
当 与 u轴反向时，BA BA|| ||
3,两向量的夹角设有非零向量 ba,(起点同 ),b ),( ba
a?规定：
正向间位于 0到?之间的那个夹角为 的夹角,
记为 或? ),( ba ),( ab
ba,ba,
(1) 若 同向，则ba,0),( ba
(2) 若 反向，则ba, ),( ba
(3) 若 不平行，则ba,),0(),( ba
4,向量的投影性质,
定理 2,(投影定理 ) 设向量 AB与轴 u的夹角为?
则 PrjuAB = || AB ||·cos?
B?
B
A?
A
u?
B1

定理 3,两个向量的和在轴 u上的投影等于两 个 向量在该轴上的投影的和 。
推论,
nuuunu ajajajaaaj PrPrPr)(Pr 2121
B?
B
A?
A
u
C
C?
1a? 2a?
21 aa
2121 PrPr)(Pr ajajaaj uuu即
ajaj uu Pr)(Pr即定理 4,实数?与向量 的乘积在轴 u上的投影，
等于?乘以向量 在该轴上的投影。
a?
a?
二,空间直角坐标系与空间向量的坐标表示
1,空间直角坐标系的建立
o
z
x
y
z
x
y
x轴 (横轴 ),y轴 (纵轴 ),z轴 (竖轴 )组成了一个空间直角坐标系,又称 笛卡尔 (Descarstes)坐标系,点
O叫做 坐标原点,
o
(一 ) 空间直角坐标系
2,坐标面,
由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫 x y面,y z面,z x面,它们将空间分成八个卦限,z
IV
VI
V
VII
0
x
y
VIII
IIIII
I
1,点在空间直角坐标系中的坐标表示,
R
Q
P
< M > (x,y,z)
记,点 M为 M (x,y,z)O
x
y
z
M
x
y
z
(二 ) 空间向量的表示
(1) 若点 M在 yz面 上,则 x = 0;
在 zx面 上,则 y = 0;
在 xy面 上,则 z = 0.
(2) 若点 M在 x 轴 上,则 y = z = 0
在 y 轴 上,则 x = z = 0
在 z 轴 上,则 x = y = 0
特别,
2.空间向量的坐标表示
(1)起点在原点的向量 OM
设点 M (x,y,z)
以 i,j,k分别表示沿 x,y,z轴正向的单位向量,称为 基本单位向量,
OM = OA + AN +NM
= OA + OB + OC = xi + yj + zk
x,y,z,分别是 OM 在三坐标轴上的投影,称为 OM
的坐标,
z
i j
k Mo
x
y
C
A
B
z
y
x
N
简记为 OM =(x,y,z)称为向量 OM的 坐标表示式,
z
i j
k Mo
x
y
C
A
B
z
y
x
N
由于：
22 |||||| NMONOM
222 zyx
从而：
222 |||||| OCOBOA
222 zyxOM (1)
(2),起点不在原点 O的任一向量 a = M1M2
设点 M1 (x1,y1,z1),M2 (x2,y2,z2)
a = M1M2 = OM2? OM1
= (x2 i+ y2 j + z2 k)
(x1 i + y1 j + z1 k)
= (x2? x1) i + (y2? y1) j + (z2? z1) k
即 a = (x2? x1,y2? y1,z2? z1) 为向量 a的坐标表示式记 ax = x2? x1,ay = y2? y1,az = z2? z1
分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影,称为 a的坐标,
z
x
y
M1 M
2
a
o
a = M1M2 = (x2? x1,y2? y1,z2? z1)
22221 zyx aaaMM
两点间距离公式：
由此得
212212212 )()()( zzyyxx (2)
21221221221 )()()( zzyyxxMM(3)
(3),运算性质设 a =(ax,ay,az),b =(bx,by,bz),且?为常数
a? b = (ax? bx,ay? by,az? bz )
a = (?ax,?ay,?az)
证明,a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)
= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)
= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k
a + b = (ax + bx,ay + by,az + bz )
(4) 两向量平行的充要条件,
设非零向量 a =(ax,ay,az),b =(bx,by,bz),
即 ax =?bx,ay =?by,az =?bz,
于是注,在 (*) 式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零,
a // b?
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
(*)
a // b? a =?b则 (?为常数 )
例如,(4,0,6) // (2,0,3)
1,方向角,非零向量 a 与 x,y,z 轴正向夹角?,?,? 称为 a 的方向角,
2,方向 余弦,方向角的余弦
cos?,cos?,cos? 称为 方向余弦,
3,向量的模与方向余弦的坐标表达式故有
ax =|| a ||? cos?
ay =|| a ||? cos?
az =|| a ||? cos?
a
y
z
x
0
设 a =(ax,ay,az,)
(三 ) 向量的模与方向余弦的坐标表示式又：
222|||| zyx aaaa
222
222
222
c os
,c os
,c os
zyx
z
zyx
y
zyx
x
aaa
a
aaa
a
aaa
a



(4)
(5)
由 (5)式可得
cos2? +cos2? +cos2? = 1 (6)
设 ao是与 a同向的单位向量
ao
||a||
a?

222222222
,,
zyx
z
zyx
y
zyx
x
aaa
a
aaa
a
aaa
a
= (cos?,cos?,cos? ) (7)
例 2,已知两点 M1(2,2,)和 M2(1,3,0),
计算向量 M1 M2的模,方向余弦和方向角,
2
解,M1 M2 = (?1,1,? )2
||M1 M2 || = ;24)2(1)1( 222;2 2c o s,21c o s,2 1c o s
4
3,
3,3
2
例 3,在 z轴上求与两点 A(?4,1,7) 和 B(3,5,?2)等距离的点,
解,设该点为 M(0,0,z)
由题设 |MA| = |MB|.
即,
222
222
)2()05()03(
)7()01()04(
z
z


解得,914?z
所求点为 M (0,0,)914
例 4 证明以 M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形,
解,
14)12()31()47(|| 22221MM
6)23()12()75(|| 22232MM
6)13()32()45(|| 22213MM
由 |M2 M3 | = |M3 M1 |,所以?M1 M2 M3 是等腰三角形,
§ 2 向量的数量积,向量积及混合积一,向量的数量积例如,设力 F 作用于某物体上,物体有一段位移 S,
求功的表示式,
解,由物理知,与位移平行的分力作功,
与位移垂直的分力不作功,于是
W=|F |cos |S | = |F | |S | cos?
s
F
且
20
当 时，做正功；
2
当 时，做负功；
2
当 时，不做功。
设有两个向量 a,b,它们的夹角为?,
即,a? b = |a| |b| cos?
1,定义 1:
将数值 |a ||b|cos? 称为 a与 b的 数量积
( 或 点积 ),记作 a? b,内积注 1,当 a? 0时,| b | cos? = Prjab
当 b? 0时,| a |cos? = Prjba
于是 a? b = |a|? Prjab = |b|? Prjba
注 2,a? a = | a |2
例如,i? i = j? j = k? k = 1
a? b = |a| |b| cos?
(1) 交换律 a? b = b? a
(2) 分配律 (a + b)? c = a? c + b? c
(3) 数量积满足如下结合律,
(? a)? b = a? (? b) =? (a? b),?为实数
2,数量积的性质
(4) a? a? 0,a = 0且 a? a = 0
a? b = |a| |b| cos?
a? b = |a|? Prjab = |b|? Prjba
证,必要性,设 a? b,
.2则
02c o s||||baba
充分性,设 a? b = | a |? |b |cos? =0;
由 a?0,b?0,
得,cos? =0,
2

即 a? b
例如,i,j,k 互相垂直,所以
i? j = j? k = i? k = 0
(5) 两个非零向量 a,b 垂直 a? b = 0
如图,利用数量积证明三角形的余弦定理
| c |2 = | a |2 + | b |2?2 | a |? | b |cos?
证,
| c |2 = | a? b |2 = (a?b)? (a?b)
= a? a + b? b?2 a? b
= | a |2 + | b |2?2 | a |? | b |cos?
| c |2 = | a |2 + | b |2?2 | a |? | b |cos?故,
a
b
c
例 1.
由于 c = a? b,于是
= a? (a?b)?b? (a?b)
3,数量积的坐标表示式设 a =(ax,ay,az),b = (bx,by,bz),则
a? b = (ax i + ay j + az k )? (bx i + by j + bz k )
= ax i? (bx i + by j + bz k ) + ay j? (bx i + by j + bz k )
+ az k? (bx i + by j + bz k )
= ax bx i? i + ax by i?j + ax bz i? k
+ ay bx j? i +ay by j?j + ay bz j? k
+ az bx k? i + az by k?j + azbz k? k
= ax bx + ay by + az bz
得公式,a? b = ax bx + ay by + az bz (1)
推论,两个非零向量
a =(ax,ay,az),b = (bx,by,bz)垂直
ax bx + ay by + az bz = 0
4,数量积在几何中的应用设 a =(ax,ay,az),b = (bx,by,bz),
(1) 求 a 在 b 上的投影,
Prjba = | a |? )c os (?a,b
由 |a | |b |? = a? b,得)c os (?a,b
222
jPr
zyx
zzyyxx
bbb
bababa



|b|
baa
b
(2)
已知,
(2) 求两向量 a,b 的夹角由 | a | | b |cos? = a? b,知
| a | | b |
baθc o s
(3)
222222
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa


已知三点 M (1,1,1),A(2,2,1)和 B(2,1,2),
求?AMB.
AMB即为向量 MA与 MB的夹角,由
MA= (1,1,0),MB = (1,0,1)
得,cos?AMB=
|||| MBMA
MBMA?
2
1
101011
100111
222222


所以
3
A M B
例 2
解,
由力学规定,力 F 对支点 O的力矩是一个向量 M,
其中,
F
O
Q
P L
(1) |M| = |OQ| |F | = |OP| sin? ·| F | = |OP| |F | sin?
(2) M的方向,垂直于 OP与 F 所在的平面,指向满足右手规则,即,右手四指从 OP以不超过?的角转向 F
握拳,大拇指的指向就是 M 的方向,
设 O为一根杠杆 L的支点,有一个力 F 作用于这杠杆上 P点处,F 与 OP的夹角为?,考虑 F 对支点 O 的力矩,
例如,
二、两向量的向量积
a
b
c = a?b
(1) | c | = | a | | b | sin?
(2) c 与 a,b所在的平面垂直,(即 c? a且 c? b),
c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定,
则将向量 c 称为 a 与 b 的 向量积,记作,a? b.
即,c = a? b
注,向量积的模的几何意义,
以 a,b为邻边的平行四边形,其面积等于 | a | | b |sin?,所以 a? b的模,等于以 a,b为邻边的平行四边形的面积,
1,定义 1:设有两个向量 a,b,
夹角为?,作一个向量 c,使得向量积的性质
(1) a? a = 0
(2) 反交换律 a? b =? b? a
(3) 分配律 a?(b + c) = a? b + a? c
(4) 向量积与数乘满足结合律,
(b + c)? a = b? a + c? a
(? a)? b = a? (? b) =? (a? b ),?为实数
| c | = | a | | b | sin?
必要性,设 a,b 平行,则? = 0或? =?,于是
| a? b | = | a | | b |sin? = 0
所以 a? b = 0
充分性,设 a? b = 0
则 | a? b | = | a | | b |sin? = 0
由 | a |? 0,| b |? 0,得
= 0或? =?,所以 a 与 b 平行证,
(5) 两个非零向量 a,b 平行 a? b = 0
例如,i? i = j? j = k? k = 0
i? j = k
j? i =? k k? j =? i i? k =? j
k j
i
x
y
z
k? i = jj? k = i
2、向量积的坐标表示式设 a =(ax,ay,az) b = (bx,by,bz) 则
a? b = (ax i + ay j + az k )? (bx i + by j + bz k )
= ax i? (bx i + by j + bz k ) + ay j?(bx i + by j + bz k )
+ az k? (bx i + by j + bz k )
= ax bx (i? i) + ax by ( i?j ) + ax bz( i? k )
+ ay bx (j? i) + ay by ( j?j ) + ay bz (j? k )
+ az bx (k? i) + az by ( k? j ) + azbz( k? k )
= ax by k + ax bz(? j ) + ay bx(?k) + ay bz i
+ az bx j + az by(? i )
= ( ay bz? az by) i+( az bx? ax bz) j+ ( ax by? ay bx) k
得公式,
a? b = ( aybz? azby) i+( azbx? axbz) j+ ( axby? ay bx) k
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
求垂直于向量 a = (2,2,1)和 b = (4,5,3)的向量 c.
a? b 同时垂直于 a,b
354
122
kji
ba
= 6i + 4j + 10k? 8k? 6j? 5i
= i? 2j + 2k
取 c = a? b = (1,?2,2).
显然,对于任意 0?R,?c = (?,?2?,2?) 也与 a,b垂直,
例 3:
解,
而已知?ABC的顶点分别是 A(1,2,3),B(3,4,5),
C(2,4,7),求?ABC的面积,
x
y
z
A
B
C
o
由向量积的定义,
||21 ACABS A B C
而 AB = (2,2,2)
AC = (1,2,4)
所以
421
222
kji
ACAB = 4i? 6j + 2k
于是
||21 ACABS A B C 142)6(4
2
1 222
例 4:
解,
三、两向量的混和积
1.定义 2 称?与?的向量积
再与向量? 的数量积 为向量?,?,?
[ ]＝ ( )即的混合积,记作 [ ]
设有三个向量?,?,?,
则有设向量? = (ax,ay,az),? = (cx,cy,cz),? = (bx,by,bz),
2.混合积的坐标表示式
zy
zy
bb
aa
zx
zx
bb
aa
yx
yx
bb
aa
i j k,
)(
zy
zy
bb
aa
zx
zx
bb
aa
yx
yx
bb
aa
cx cy cz,

zyx
zyx
bbb
aaa?
i j k
)(,
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
混合积性质：
(1) [ ] = [ ]= [ ]
= – [ ]= – [ ] = – [ ]
事实上,
若?,?,? 在同一个平面上,
则 垂直于它们所在的平面,
故 垂直于?,即
( ) = 0
(2)?,?,? 共面 [ ]= 0
混合积 ( ) 的绝对值等于以?,?,? 为棱的平行六面体的体积 V 的数值。
h

平行六面体所以，
= |( ) |
3、混合积 ( ) 的几何意义
||ijph
V = S? h = || ||ijp
||S底面积高 h 为? 在上的投影的绝对值
a? b = |a|? Prjab
例 5:已知空间内不在一个平面上的四点
A (x 1,y 1,z 1),B ( x 2,y 2,z 2),
C (x 3,y 3,z 3),D (x 4,y 4,z 4)
求四面体 ABCD 的体积 。
解,四面体 ABCD 的体积等于以 AB,AC 和 AD
为棱的平行六面体体积的六分之一，
.|][|61 ADACABV?
AB = (x2 – x1,y2 – y1,z2 – z1),
AC = (x3 – x1,y3 – y1,z3 – z1),
AD = (x4 – x1,y4 – y1,z4 – z1),
即所以，
V =
,
,,
,,
,,
6
1
141414
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx



其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。