设有两块曲面 S1,S2,它们的方程依次为,
S1,F (x,y,z) = 0
S2,G (x,y,z) = 0
S1,S2的交线 C上的点一定同时满足这两个方程,
而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程,
因此
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
即为交线 C的方程,称为 空间曲线 C的一般方程,
(2)
x
y
z
o
S1 S2
C
二、空间曲线及其方程
1,空间曲线的一般方程
x2+y2=1
x+y+z=2.
yx
z
0
例 5,柱面 x 2 + y 2 = 1与平面 x+y+z=2
的交线是一个圆,它的一般方程是
2,空间曲线的参数方程将曲线 C上动点的坐标 x,y,z都表示成一个参数 t的函数,
x = x (t)
y = y (t) (3)
z = z (t)
当给定 t = t1时,就得到 C上一个点 (x,y,z),随着 t
的变动便可得曲线 C上的全部点,方程组 (2)叫做空间曲线的参数方程,
例 6,如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度? 绕 z 轴旋转,同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升 (其中?,v都是常数 ),
那末点 M 构成的图形叫做 螺旋线,试建立其参数方程,
解,取时间 t为参数,设当 t = 0时,
动点位于 x轴上的一点
A(a,0,0)处,经过时间 t,由 A
运动到 M(x,y,z),M在 xOy面上的投影为 M?(x,y,0).
x y
z
h
A
OM?t
M?
(1) 动点在圆柱面上以角速度? 绕 z轴旋转,
所以经过时间 t,?AOM? =? t,从而
x = |OM?| ·cos?AOM? = acos? t
y = |OM?| ·sin?AOM? = asin? t
(2) 动点同时以线速度 v沿 z 轴向上升,因而
z = MM? = vt
得螺旋线的参数方程
x = acos? t
y = asin? t
z = vt
注,还可以用其它变量作参数,x y
z
A
OM?t
M?
yx
z
A
OM?t
M?
例如,令? =? t,?为参数 ; 螺旋线的参数方程为,
x = acos?
y = asin?
z = b?
.?vb?这里当?从? 0变到? 0 +? 是,z由 b? 0变到 b? 0+ b?,
即 M点上升的高度与 OM?转过的角度成正比,
特别,当? = 2?时,M点上升高度 h = 2? b,
h
在工程上称 h = 2? b为 螺距,
3,空间曲线在坐标面上投影设空间曲线 C的一般方程 F (x,y,z) = 0G (x,y,z) = 0 (4)
由方程组 (4)消去 z后得方程 H (x,y) = 0 (5)
方程 (5)表示一个母线平行于 z 轴的柱面,
曲线 C 一定在柱面上,
x
y
z
oo
C
空间曲线 C 在 x O y 面上的曲线 必定包含于,投影
H (x,y) = 0
z = 0
注,同理可得曲线在 yOz面或 xOz面上的投影曲线方程,
例 7,已知两个球面的方程分别为,
x2 + y2 + z2 = 1
和 x2 + (y?1)2 + (z?1)2 = 1
求它们的交线 C在 xOy面上的投影曲线的方程,
解,联立两个方程消去 z,得
0
1)
2
1(42 22
z
yx
1)21(42 22 yx
两球面的交线 C 在 x O y 面上的投影曲线方程为椭圆柱面设一个立体由上半球面 和锥面 224 yxz
)(3 22 yxz 所围成,求它在 xoy面上的投影,
解,半球面与锥面的交线为
)(3
4
:
22
22
yxz
yxz
C
由方程消去 z,得 x2 + y2 =1
y
x
z
O
x2 + y2? 1
于是交线 C 在 xoy面上的投影曲线为
x2 + y2 = 1
z = 0 这是 xoy面上的一个圆,
所以,所求立体在 xoy面上 的投影为,x2 + y2? 1
例 8:
圆柱面 )(
研究方法 是采用 平面截痕法,
§ 6 二次 曲面的标准 方程
1.定义 由 x,y,z的 二次方程,
ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0
所表示的曲面,称为 二次曲面,
其中 a,b,…,i,j 为常数且 a,b,不全为零,c,d,e,f
z
o
x
y
O
2? 用平面 z = k去截割 (要求 |k |? c),得椭圆
kz
c
k
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
1
当 |k |? c 时,|k |越大,椭圆越小 ;
当 |k | = c 时,椭圆退缩成点,
2,几种常见二次曲面,
(1) 椭球面
1? 用平面 z = 0去截割,得椭圆
0
1
2
2
2
2
z
b
y
a
x
12
2
2
2
2
2
C
z
b
y
a
x
3? 类似地,依次用平面 x = 0,平面 y = 0截割,得椭圆,
,
0
1
2
2
2
2
x
c
z
b
y
.
0
1
2
2
2
2
y
c
z
a
x
特别,当 a=b=c时,方程 x2 + y2 + z2 = a2,表示球心在原点 o,半径为 a的 球面,
(2) 椭圆抛物面,zb
y
a
x
2
2
2
2
1?平面 z = k,(k? 0)截割,截线是平面 z = k上的椭圆,
kz
k
b
y
a
x
2
2
2
2
k = 0时,为一点 O(0,0,0); 随着 k增大,椭圆也增大,
z
y
x
o
2? 用平面 y = k去截割,截线是抛物线
,2
2
2
2
ky
z
b
k
a
x
.,0 2
2
a
xzk 为时当
3? 类似地，用平面 x = k 去截割,截线是抛物线,
kx
z
b
y
a
k
2
2
2
2
.,0
2
2
b
yzk 为时当一、二阶行列式的概念设有数表
a11
称 数 a11 a22－ a12 a21为对应于数表 (1)的二阶行列式，记为：
(1)
2221
1211
aa
aa?
副对角线主对角线
1.定义 1
a12
a21 a22
21122211 aaaa?
(＋ )(－ )
§ 1 n 阶行列式的定义当 a11 a22－ a12 a21? 0时，
,
21122211
122221
1 aaaa
ababx
21122211
211112
2 aaaa
ababx
得唯一解对于
a11 x1+ a12 x2 = b1
a21 x1+ a22 x2 = b2
(1)
2、二元一次 方程组的求解公式记
1D
2D
D
方程组 (1)的解可以表示为：
,DDx 11?
D
Dx 2
2?
——克莱姆 (Gramer)法则
(2)
,
122221 abab?
,211112 abab?
2221
1211
aa
aa
时0?
22
12
a
a
2
1
b
b
21
11
a
a
2
1
b
b
,
21122211
1222211 aaaa ababx
21122211
2111122 aaaa ababx
a11 x1+ a12 x2 = b1
a21 x1+ a22 x2 = b2
引进记号：
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
(+)
(+)
(+)(－ )
(－ )
(－ )
312312 aaa?
322113 aaa? 312213 aaa?
332112 aaa? 322311 aaa?
称为对应于数表 (3)的三阶行列式
D? 332211 aaa
二、三阶行列式
1.定义 2 设有数表
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
(3)
主对角线 副对角线例 如：
315
214
132
511
75?
312 5)2()3( 141
34)3( 1)2(2－
易证,对于线性方程组
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(4)
当
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
时0?
方程组有唯一解，记则方程组 (4)的解为：
,DDx 11?,
D
Dx 2
2? D
Dx 3
3?
,
3332
2322
1312
1
aa
aa
aa
D?
3
2
1
b
b
b
,
3331
2321
1311
2
aa
aa
aa
D?
3
2
1
b
b
b
3231
2221
1211
3
aa
aa
aa
D?
3
2
1
b
b
b
——克莱姆 法则三、排列与逆序数
<1> 由自然数 1,2,…,n 组成的一个有序数组 i1,i2,…,in称为一个 n级排列。
例如，由 1,2,3可组成的三级排列共有 3!＝ 6个，
它们是
n级排列的总数为 n!个。
定义 3
3 2 1;1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2;
<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it
的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个 逆序 。
一个排列中逆序的总数，称为它的 逆序数 。
记为?(i1,i2,… in),简记为? 。 1 3 2
(1 2 3)=0,
(3 1 2)=2,
(4 5 2 1 3)=7,
例如：
2 1 3
3 1 2
(3) 逆序数为偶数的排列称为 偶排列逆序数为奇数的排列称为 奇排列
(4) 将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次 对换 。
6 5 3 1 2 4 6 2 3 1 5 4
(? =11) (? = 8)
1 2 3 4 1 4 3 2
例如：
(? =0) (? = 3)
定理 1 每一个对换改变排列的奇偶性结论：在 n (? 2) 级排列中，奇偶排列各有 个。2!n
四,n阶行列式的定义分析：
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
312312322113332211 aaaaaaaaa
332112322311312213 aaaaaaaaa
=0?=2?=2
=3?=1?=1
)( 321)1( jjj 321 321 jjj aaa?
类似地：
2221
1211
aa
aa
D? 21122211
aaaa
21
21 211 jj)j(jτ aa)(
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
n
n njjjjjj aaa
21
21 21)()1(?
n阶行列式定义 4
例 1 计算下列 n阶行列式
nna
a
a
D
22
11
1?
0
0
nnaaa?2211?
nnnn aaa
aa
a
D
21
2221
11
2?
0
nnaaa?2211?
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
11
212
1
3
0
)1(
)1 21 (nn?
1121 nnn aaa
12)2()1(nn
)1(2 )11( nn
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
11
212
1
3
0
)1( )1 21 (nn? 1121 nnn aaa
11212
)1(
)1( nnn
nn
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa? 322113 aaa? 312312 aaa?
312213 aaa? 322311 aaa? 332112 aaa?
行排列列排列
2 1 3
(? =1)
1 3 2
(? =1)
(? = 0)
1 2 3
(? = 2)
3 1 2
考察,2113 aa 1321 aa 3232 aa?
定理 2 n阶行列式的定义也可写成
D? )( 21)1( niii niii naaa?21 21
nn jijiji aaa?2211)1(?
)( 21 niii )( 21 njjj
推论：
D
例 2,选择 i 和 k,使
53254321 aaaaa ki
成为 5阶行列式中一个带负号的项解,
其列标所构成的排列为,i 5 2 k 3
若取 i = 1,k ＝ 4，
故 i = 4,k = 1 时该项带负号。
可将给定的项改为行标按自然顺序，即
53432251 aaaaa ki
则? (1 5 2 4 3) = 4,是 偶排列,
该项则带正号,对换 1,4的位置,则 4 5 2 1 3是奇排列 。
一、行列式的性质性质 1,将行列式的行、列互换，行列式的值不变即：,?D
D = DT
行列式 DT 称为行列式 D 的 转置行列式 。
§ 2 行列式的性质则
naaa 11211?
naaa 22221?
nnnn aaa?21 n
a
a
a
1
12
11
TD
n
a
a
a
2
22
21
nn
n
n
a
a
a
2
1
证：
显然有 bij = aji (i,j=1,2,…; n)
则
n
n njjjjjjT bbbD
21
21 21)()1(
njjjjjj nn aaa 21)( 2121)1(
D?
设行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列的元素为 bij
性质 2 互换行列式的两行 (列 )，行列式仅改变符号
,
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
M
qnqq aaa?21
pnpp aaa?21
则 D=－ M
,
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
D
qnqq aaa?21
pnpp aaa?21
证,在 M 中第 p 行元素,aa
jqjp
第 q 行元素,
jpjq aa
n.,,,j?21?
n
n njjjj aaM
1
1 1)()1(?
pj qj
ppja? qjq
a?
n
n njjjj aa
1
1 1)()1(?
pj qj
qpjapjqa
n
n njjjj aa
1
1 1)()1(?
pj qj
qpja pjqa
n
n njjjj aa
1
1 1)()1(?
pjqj
qpja pjqa
—
= – D
推论 1,若行列式中有两行 (列 )对应元素相同，
则行列式为零。
证明,交换行列式这两行，有 D = － D,故 D = 0
性质 3 若行列式某一行 (列 )的所有元素都乘以数 k,等于该行列式乘以数 k,即：
kD?
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
k
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
inii kakaka?211D
证明：
推论 2,若行列式中的某行 (列 )全为零，则行列式为零。
推论 3,若行列式中有两行 (列 )的对应元素成比例，则该行列式为零。
ni
n njijjjjj akaaD )()1(
1
21 1)(1k
ni
n njijjjjj aaak
1
21 1)()1(k
kD? k
性质 4 若行列式中某一行 (列 )的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。
21 DD
即,
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
inii aaa?21 inii aaa21
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
ininiiii aaaaaa2211D
证明：
21 DD
n
n njjjjj aaD
1
21 1)()1()( ii jiji aa
n
n njjjjj aa
1
21 1)()1(
n
n njjjjj aa
1
21 1)()1(ijia
+ ijia?
性质 5 把行列式的某一行 (列 )的各元素乘以数 k后加到另一行 (列 )的对应元素上去，行列式的值不变。
即：
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
inii aaa 21
jnjj aaa?21
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
inii aaa?21
inii kakaka211ja 2ja jna
用 ri 表示 D 的第 i 行
cj 表示 D 的第 j 列
ri? rj表示交换 i,j 两行
ri × k 表示第 i 行乘以 k
ri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行
ri? k 表示第 i 行提出公因子 k
记号：
例 1 计算行列式
2 0 322
2 9 734
3 0 231
D
解：
320022
330034
230031
D
322
334
231
2 0 022
3 0 034
3 0 031
50 5?
例 2 计算行列式
3351
1102
4315
2113
D
解：
D
c1? c2
3315
1120
4351
2131
3315
1120
6480
2131
r2－ r1
72160
1120
6480
2131
r4＋ 5r1 r2? r3
72160
6480
1120
2131
r3 + 4 r2
151000
10800
1120
2131
r4 － 8 r2
2
5
000
10800
1120
2131
34 4
5 rr?
4025821
例 3,计算,
321
321
321
321
nx
nx
nx
nx
D
解,
xx
xx
xx
nx
D
00
00
00
321
x
x
x
n
00
00
00
32
nx21
x+ x
x+ x
x+ x
).2 )1((1 nnxx n
x
x
x
n
nn
x
000
000
000
32
2
)1(?
在 n阶行列式余下的元素按原来顺序构成的一个 n－ 1阶行列式，
称为元素 aij 的 余子式,记作 Mij，
中，划去元素 aij 所在的行和列，
nnnjn
ini
nj
aaa
aa
aaa
D
1
1
1111
ija
ijjiij MA )1((－ 1)
i+j 称为 aij 的 代数余子式,记作余子式带上符号
§ 3行列式按行 (列 )的展开与克莱姆法则
1.定义 1
一,拉普拉斯展开定理例如,在四阶行列式
2014
3651
0310
7223
D
中,a23 的余子式 M23和代数余子式 A23，
,
214
351
723
23
M
233223 )1( MA
214
351
723
分别为：
考察三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
332211 aaa? 312312 aaa? 322113 aaa?
312213 aaa? 332112 aaa? 322311 aaa?
3332
2322
11 aa
aaa?
)(
3331
2321
12 aa
aaa
3231
2221
13 aa
aaa?
,131312121111 AaAaAa
其中,A11,A12,A13 分别为 a11,a12,a13 的代数余子式,
三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。
考察三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
332211 aaa? 312312 aaa? 322113 aaa?
312213 aaa? 332112 aaa? 322311 aaa?
3332
2322
11 aa
aaa?
)(
3331
2321
12 aa
aaa
3231
2221
13 aa
aaa?
,131312121111 AaAaAa
其中,A11,A12,A13 分别为 a11,a12,a13 的代数余子式,
11A 12A 13A
三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。
再考察二阶行列式
21121211
2221
1211 aaaa
aa
aa 12121111 AaAa
二阶行列式也可由其子 式的组合表示,
例 3,计算三阶行列式
542
303
241
D
解,
54
301 )4(
52
33
2?
42
03
12? 36? 24?,72?
D =
还可看出
232322222121 AaAaAa
3
54
24? 0?
52
21
)3(
42
41
+ 0= 84?12 =72 =D,
333332323131 AaAaAa
2
30
24
4?
33
21
5?
03
41?
+36=?24 +60 =72 =D,
542
303
241
D
313121211111 AaAaAa
1
54
30? 3?
54
24? 2?
30
24
+84= 12?24 =72 =D,
以及
542
303
241
D
定理 1 (Laplace展开定理 ) 行列式等于它的任一行 (列 )的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
),,2,1(
1
niAa
n
k
kiki
或
),,2,1(
1
njAa
n
k
jkjk
即,ininiiii AaAaAaD2211
njnjjjjj AaAaAaD2211
证明步骤：
<1> 证
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
11211
22221
11211
nnnn
nn
Aa
a
00
<2> 证
nnnjnjnjn
njjj
aaaaa
aaaaa
111
11111111
ijijij
Aaa?0000
<3>
ininiiii AaAaAa2211?
n
k
ikik Aa
1
nnnn
n
aaa
aaa
D
21
11211
inii aaa 0000000 21
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
21
11211
21
11211
21
11211
00 2?ia ina?00001?ia
解：
3351
1102
4315
2113
r2－ r1
r4 + 5 r1
72016
1102
6408
2113
按 c2 展开
7216
112
648
)1(1 21
r1 + 4 r2
r3－ 8 r2 15100
112
1080
例 4 用 Laplace展开定理求 例 2§ 2
按 c1 展开
1510
108)1()2( 12
)1 0 01 2 0(2
40?
15100
112
1080
例 5 证明四阶范德蒙行列式
3
4
3
3
3
2
3
1
2
4
2
3
2
2
2
1
4321
4
1111
xxxx
xxxx
xxxx
D?
))()()()()(( 342414231312 xxxxxxxxxxxx
)(41 jiij xx
证：
D4
r4－ x1r3
r3－ x1r2
r2－ x1r1 1
2
4
3
41
2
3
3
31
2
2
3
2
14
2
413
2
312
2
2
141312
0
0
0
1111
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
按 c1展开
)()()(
)()()(
14
2
413
2
312
2
2
144133122
141312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
2
4
2
3
2
2
432141312
111
))()((
xxx
xxxxxxxxx
r3－ x2r2
r2－ x2r1
24
2
423
2
3
2423141312
0
0
111
))()((
xxxxxx
xxxxxxxxxx
按 c1展开
)()())()(( 244233
2423
141312 xxxxxx
xxxxxxxxxx
43
2423141312
11))()()()((
xxxxxxxxxxxx
)())()()()(( 342414231312 xxxxxxxxxxxx
)(41 jiij xx
推论,n阶范德蒙 (Vandermonde)行列式
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
D
)(1 jinij xx
定理 2 行列式的任一行 (列 )的各元素与另一行
(列 )的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
n
k
kjki jiAa
1
)( 0
或?
n
k
jkik jiAa
1
)( 0
即：
综合定理 1和定理 2，得：
ji?
,0
n
k
kjki Aa
1
n
k
jkik Aa
1
或
,D
ji?
ji?
,0
,D
ji?
定理 3 (克莱姆法则 )
11212111 bxaxaxa nn
22222121 bxaxaxa nn
nnnnnn bxaxaxa2211
(1)
的系数行列式 0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
设线性方程组二,克莱姆法则其中 Di(i=1,2,…,n)是用常数项 b1,b2…; bn代替
D中第 i列各元素而得到的 n阶行列式，即：
,11 DDx?,22 DDx?,? DDx nn? (2)
则方程组 (1)有 唯一解,且解可表示为：
,
111
2121221
1111111
nnninin
nii
nii
aaaa
aaaa
aaaa
(i=1,2,…,n)
iD
n
b
b
b
2
1
例 3 解线性方程组
82 32 421 xxx
225 4321 xxxx
73 4321 xxxx
12224 4321 xxxx
解：
2214
1113
1251
2032
D
06
方程组的系数行列式所以方程组有唯一解。
又：
,18
22112
1117
1252
2038
1
D,0
22124
1173
1221
2082
2D
82 32 421 xxx
225 4321 xxxx
73 4321 xxxx
12224 4321 xxxx
,6
21214
1713
1251
2832
3
D
6
12214
7113
2251
8082
4D
所以：,311
D
Dx,02
2 D
Dx
,133 DDx 144 DDx
D=－ 6,D1＝－ 18,D2= 0,D3= 6,D4=－ 6
注,在方程组 (4.1)中，若所有的常数项 b1= b2
= … = bn = 0,则方程组称为 n元齐次线性方程组 。
01212111 nn xaxaxa?
02222121 nn xaxaxa?
02211 nnnnn xaxaxa?
(3)
显然有 零解 x1 = x2 = … = xn = 0
结论 1,若齐次线性方程组 (3)的系数行列式
D? 0,则方程组只有零解。 平凡解结论 2,若齐次线性方程组 (3)有非零解，则系数行列式 D = 0。 非平凡解
S1,F (x,y,z) = 0
S2,G (x,y,z) = 0
S1,S2的交线 C上的点一定同时满足这两个方程,
而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程,
因此
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
即为交线 C的方程,称为 空间曲线 C的一般方程,
(2)
x
y
z
o
S1 S2
C
二、空间曲线及其方程
1,空间曲线的一般方程
x2+y2=1
x+y+z=2.
yx
z
0
例 5,柱面 x 2 + y 2 = 1与平面 x+y+z=2
的交线是一个圆,它的一般方程是
2,空间曲线的参数方程将曲线 C上动点的坐标 x,y,z都表示成一个参数 t的函数,
x = x (t)
y = y (t) (3)
z = z (t)
当给定 t = t1时,就得到 C上一个点 (x,y,z),随着 t
的变动便可得曲线 C上的全部点,方程组 (2)叫做空间曲线的参数方程,
例 6,如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度? 绕 z 轴旋转,同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升 (其中?,v都是常数 ),
那末点 M 构成的图形叫做 螺旋线,试建立其参数方程,
解,取时间 t为参数,设当 t = 0时,
动点位于 x轴上的一点
A(a,0,0)处,经过时间 t,由 A
运动到 M(x,y,z),M在 xOy面上的投影为 M?(x,y,0).
x y
z
h
A
OM?t
M?
(1) 动点在圆柱面上以角速度? 绕 z轴旋转,
所以经过时间 t,?AOM? =? t,从而
x = |OM?| ·cos?AOM? = acos? t
y = |OM?| ·sin?AOM? = asin? t
(2) 动点同时以线速度 v沿 z 轴向上升,因而
z = MM? = vt
得螺旋线的参数方程
x = acos? t
y = asin? t
z = vt
注,还可以用其它变量作参数,x y
z
A
OM?t
M?
yx
z
A
OM?t
M?
例如,令? =? t,?为参数 ; 螺旋线的参数方程为,
x = acos?
y = asin?
z = b?
.?vb?这里当?从? 0变到? 0 +? 是,z由 b? 0变到 b? 0+ b?,
即 M点上升的高度与 OM?转过的角度成正比,
特别,当? = 2?时,M点上升高度 h = 2? b,
h
在工程上称 h = 2? b为 螺距,
3,空间曲线在坐标面上投影设空间曲线 C的一般方程 F (x,y,z) = 0G (x,y,z) = 0 (4)
由方程组 (4)消去 z后得方程 H (x,y) = 0 (5)
方程 (5)表示一个母线平行于 z 轴的柱面,
曲线 C 一定在柱面上,
x
y
z
oo
C
空间曲线 C 在 x O y 面上的曲线 必定包含于,投影
H (x,y) = 0
z = 0
注,同理可得曲线在 yOz面或 xOz面上的投影曲线方程,
例 7,已知两个球面的方程分别为,
x2 + y2 + z2 = 1
和 x2 + (y?1)2 + (z?1)2 = 1
求它们的交线 C在 xOy面上的投影曲线的方程,
解,联立两个方程消去 z,得
0
1)
2
1(42 22
z
yx
1)21(42 22 yx
两球面的交线 C 在 x O y 面上的投影曲线方程为椭圆柱面设一个立体由上半球面 和锥面 224 yxz
)(3 22 yxz 所围成,求它在 xoy面上的投影,
解,半球面与锥面的交线为
)(3
4
:
22
22
yxz
yxz
C
由方程消去 z,得 x2 + y2 =1
y
x
z
O
x2 + y2? 1
于是交线 C 在 xoy面上的投影曲线为
x2 + y2 = 1
z = 0 这是 xoy面上的一个圆,
所以,所求立体在 xoy面上 的投影为,x2 + y2? 1
例 8:
圆柱面 )(
研究方法 是采用 平面截痕法,
§ 6 二次 曲面的标准 方程
1.定义 由 x,y,z的 二次方程,
ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0
所表示的曲面,称为 二次曲面,
其中 a,b,…,i,j 为常数且 a,b,不全为零,c,d,e,f
z
o
x
y
O
2? 用平面 z = k去截割 (要求 |k |? c),得椭圆
kz
c
k
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
1
当 |k |? c 时,|k |越大,椭圆越小 ;
当 |k | = c 时,椭圆退缩成点,
2,几种常见二次曲面,
(1) 椭球面
1? 用平面 z = 0去截割,得椭圆
0
1
2
2
2
2
z
b
y
a
x
12
2
2
2
2
2
C
z
b
y
a
x
3? 类似地,依次用平面 x = 0,平面 y = 0截割,得椭圆,
,
0
1
2
2
2
2
x
c
z
b
y
.
0
1
2
2
2
2
y
c
z
a
x
特别,当 a=b=c时,方程 x2 + y2 + z2 = a2,表示球心在原点 o,半径为 a的 球面,
(2) 椭圆抛物面,zb
y
a
x
2
2
2
2
1?平面 z = k,(k? 0)截割,截线是平面 z = k上的椭圆,
kz
k
b
y
a
x
2
2
2
2
k = 0时,为一点 O(0,0,0); 随着 k增大,椭圆也增大,
z
y
x
o
2? 用平面 y = k去截割,截线是抛物线
,2
2
2
2
ky
z
b
k
a
x
.,0 2
2
a
xzk 为时当
3? 类似地，用平面 x = k 去截割,截线是抛物线,
kx
z
b
y
a
k
2
2
2
2
.,0
2
2
b
yzk 为时当一、二阶行列式的概念设有数表
a11
称 数 a11 a22－ a12 a21为对应于数表 (1)的二阶行列式，记为：
(1)
2221
1211
aa
aa?
副对角线主对角线
1.定义 1
a12
a21 a22
21122211 aaaa?
(＋ )(－ )
§ 1 n 阶行列式的定义当 a11 a22－ a12 a21? 0时，
,
21122211
122221
1 aaaa
ababx
21122211
211112
2 aaaa
ababx
得唯一解对于
a11 x1+ a12 x2 = b1
a21 x1+ a22 x2 = b2
(1)
2、二元一次 方程组的求解公式记
1D
2D
D
方程组 (1)的解可以表示为：
,DDx 11?
D
Dx 2
2?
——克莱姆 (Gramer)法则
(2)
,
122221 abab?
,211112 abab?
2221
1211
aa
aa
时0?
22
12
a
a
2
1
b
b
21
11
a
a
2
1
b
b
,
21122211
1222211 aaaa ababx
21122211
2111122 aaaa ababx
a11 x1+ a12 x2 = b1
a21 x1+ a22 x2 = b2
引进记号：
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
(+)
(+)
(+)(－ )
(－ )
(－ )
312312 aaa?
322113 aaa? 312213 aaa?
332112 aaa? 322311 aaa?
称为对应于数表 (3)的三阶行列式
D? 332211 aaa
二、三阶行列式
1.定义 2 设有数表
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
(3)
主对角线 副对角线例 如：
315
214
132
511
75?
312 5)2()3( 141
34)3( 1)2(2－
易证,对于线性方程组
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(4)
当
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
时0?
方程组有唯一解，记则方程组 (4)的解为：
,DDx 11?,
D
Dx 2
2? D
Dx 3
3?
,
3332
2322
1312
1
aa
aa
aa
D?
3
2
1
b
b
b
,
3331
2321
1311
2
aa
aa
aa
D?
3
2
1
b
b
b
3231
2221
1211
3
aa
aa
aa
D?
3
2
1
b
b
b
——克莱姆 法则三、排列与逆序数
<1> 由自然数 1,2,…,n 组成的一个有序数组 i1,i2,…,in称为一个 n级排列。
例如，由 1,2,3可组成的三级排列共有 3!＝ 6个，
它们是
n级排列的总数为 n!个。
定义 3
3 2 1;1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2;
<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it
的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个 逆序 。
一个排列中逆序的总数，称为它的 逆序数 。
记为?(i1,i2,… in),简记为? 。 1 3 2
(1 2 3)=0,
(3 1 2)=2,
(4 5 2 1 3)=7,
例如：
2 1 3
3 1 2
(3) 逆序数为偶数的排列称为 偶排列逆序数为奇数的排列称为 奇排列
(4) 将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次 对换 。
6 5 3 1 2 4 6 2 3 1 5 4
(? =11) (? = 8)
1 2 3 4 1 4 3 2
例如：
(? =0) (? = 3)
定理 1 每一个对换改变排列的奇偶性结论：在 n (? 2) 级排列中，奇偶排列各有 个。2!n
四,n阶行列式的定义分析：
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
312312322113332211 aaaaaaaaa
332112322311312213 aaaaaaaaa
=0?=2?=2
=3?=1?=1
)( 321)1( jjj 321 321 jjj aaa?
类似地：
2221
1211
aa
aa
D? 21122211
aaaa
21
21 211 jj)j(jτ aa)(
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
n
n njjjjjj aaa
21
21 21)()1(?
n阶行列式定义 4
例 1 计算下列 n阶行列式
nna
a
a
D
22
11
1?
0
0
nnaaa?2211?
nnnn aaa
aa
a
D
21
2221
11
2?
0
nnaaa?2211?
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
11
212
1
3
0
)1(
)1 21 (nn?
1121 nnn aaa
12)2()1(nn
)1(2 )11( nn
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
11
212
1
3
0
)1( )1 21 (nn? 1121 nnn aaa
11212
)1(
)1( nnn
nn
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa? 322113 aaa? 312312 aaa?
312213 aaa? 322311 aaa? 332112 aaa?
行排列列排列
2 1 3
(? =1)
1 3 2
(? =1)
(? = 0)
1 2 3
(? = 2)
3 1 2
考察,2113 aa 1321 aa 3232 aa?
定理 2 n阶行列式的定义也可写成
D? )( 21)1( niii niii naaa?21 21
nn jijiji aaa?2211)1(?
)( 21 niii )( 21 njjj
推论：
D
例 2,选择 i 和 k,使
53254321 aaaaa ki
成为 5阶行列式中一个带负号的项解,
其列标所构成的排列为,i 5 2 k 3
若取 i = 1,k ＝ 4，
故 i = 4,k = 1 时该项带负号。
可将给定的项改为行标按自然顺序，即
53432251 aaaaa ki
则? (1 5 2 4 3) = 4,是 偶排列,
该项则带正号,对换 1,4的位置,则 4 5 2 1 3是奇排列 。
一、行列式的性质性质 1,将行列式的行、列互换，行列式的值不变即：,?D
D = DT
行列式 DT 称为行列式 D 的 转置行列式 。
§ 2 行列式的性质则
naaa 11211?
naaa 22221?
nnnn aaa?21 n
a
a
a
1
12
11
TD
n
a
a
a
2
22
21
nn
n
n
a
a
a
2
1
证：
显然有 bij = aji (i,j=1,2,…; n)
则
n
n njjjjjjT bbbD
21
21 21)()1(
njjjjjj nn aaa 21)( 2121)1(
D?
设行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列的元素为 bij
性质 2 互换行列式的两行 (列 )，行列式仅改变符号
,
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
M
qnqq aaa?21
pnpp aaa?21
则 D=－ M
,
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
D
qnqq aaa?21
pnpp aaa?21
证,在 M 中第 p 行元素,aa
jqjp
第 q 行元素,
jpjq aa
n.,,,j?21?
n
n njjjj aaM
1
1 1)()1(?
pj qj
ppja? qjq
a?
n
n njjjj aa
1
1 1)()1(?
pj qj
qpjapjqa
n
n njjjj aa
1
1 1)()1(?
pj qj
qpja pjqa
n
n njjjj aa
1
1 1)()1(?
pjqj
qpja pjqa
—
= – D
推论 1,若行列式中有两行 (列 )对应元素相同，
则行列式为零。
证明,交换行列式这两行，有 D = － D,故 D = 0
性质 3 若行列式某一行 (列 )的所有元素都乘以数 k,等于该行列式乘以数 k,即：
kD?
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
k
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
inii kakaka?211D
证明：
推论 2,若行列式中的某行 (列 )全为零，则行列式为零。
推论 3,若行列式中有两行 (列 )的对应元素成比例，则该行列式为零。
ni
n njijjjjj akaaD )()1(
1
21 1)(1k
ni
n njijjjjj aaak
1
21 1)()1(k
kD? k
性质 4 若行列式中某一行 (列 )的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。
21 DD
即,
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
inii aaa?21 inii aaa21
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
ininiiii aaaaaa2211D
证明：
21 DD
n
n njjjjj aaD
1
21 1)()1()( ii jiji aa
n
n njjjjj aa
1
21 1)()1(
n
n njjjjj aa
1
21 1)()1(ijia
+ ijia?
性质 5 把行列式的某一行 (列 )的各元素乘以数 k后加到另一行 (列 )的对应元素上去，行列式的值不变。
即：
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
inii aaa 21
jnjj aaa?21
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
inii aaa?21
inii kakaka211ja 2ja jna
用 ri 表示 D 的第 i 行
cj 表示 D 的第 j 列
ri? rj表示交换 i,j 两行
ri × k 表示第 i 行乘以 k
ri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行
ri? k 表示第 i 行提出公因子 k
记号：
例 1 计算行列式
2 0 322
2 9 734
3 0 231
D
解：
320022
330034
230031
D
322
334
231
2 0 022
3 0 034
3 0 031
50 5?
例 2 计算行列式
3351
1102
4315
2113
D
解：
D
c1? c2
3315
1120
4351
2131
3315
1120
6480
2131
r2－ r1
72160
1120
6480
2131
r4＋ 5r1 r2? r3
72160
6480
1120
2131
r3 + 4 r2
151000
10800
1120
2131
r4 － 8 r2
2
5
000
10800
1120
2131
34 4
5 rr?
4025821
例 3,计算,
321
321
321
321
nx
nx
nx
nx
D
解,
xx
xx
xx
nx
D
00
00
00
321
x
x
x
n
00
00
00
32
nx21
x+ x
x+ x
x+ x
).2 )1((1 nnxx n
x
x
x
n
nn
x
000
000
000
32
2
)1(?
在 n阶行列式余下的元素按原来顺序构成的一个 n－ 1阶行列式，
称为元素 aij 的 余子式,记作 Mij，
中，划去元素 aij 所在的行和列，
nnnjn
ini
nj
aaa
aa
aaa
D
1
1
1111
ija
ijjiij MA )1((－ 1)
i+j 称为 aij 的 代数余子式,记作余子式带上符号
§ 3行列式按行 (列 )的展开与克莱姆法则
1.定义 1
一,拉普拉斯展开定理例如,在四阶行列式
2014
3651
0310
7223
D
中,a23 的余子式 M23和代数余子式 A23，
,
214
351
723
23
M
233223 )1( MA
214
351
723
分别为：
考察三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
332211 aaa? 312312 aaa? 322113 aaa?
312213 aaa? 332112 aaa? 322311 aaa?
3332
2322
11 aa
aaa?
)(
3331
2321
12 aa
aaa
3231
2221
13 aa
aaa?
,131312121111 AaAaAa
其中,A11,A12,A13 分别为 a11,a12,a13 的代数余子式,
三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。
考察三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D?
332211 aaa? 312312 aaa? 322113 aaa?
312213 aaa? 332112 aaa? 322311 aaa?
3332
2322
11 aa
aaa?
)(
3331
2321
12 aa
aaa
3231
2221
13 aa
aaa?
,131312121111 AaAaAa
其中,A11,A12,A13 分别为 a11,a12,a13 的代数余子式,
11A 12A 13A
三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。
再考察二阶行列式
21121211
2221
1211 aaaa
aa
aa 12121111 AaAa
二阶行列式也可由其子 式的组合表示,
例 3,计算三阶行列式
542
303
241
D
解,
54
301 )4(
52
33
2?
42
03
12? 36? 24?,72?
D =
还可看出
232322222121 AaAaAa
3
54
24? 0?
52
21
)3(
42
41
+ 0= 84?12 =72 =D,
333332323131 AaAaAa
2
30
24
4?
33
21
5?
03
41?
+36=?24 +60 =72 =D,
542
303
241
D
313121211111 AaAaAa
1
54
30? 3?
54
24? 2?
30
24
+84= 12?24 =72 =D,
以及
542
303
241
D
定理 1 (Laplace展开定理 ) 行列式等于它的任一行 (列 )的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
),,2,1(
1
niAa
n
k
kiki
或
),,2,1(
1
njAa
n
k
jkjk
即,ininiiii AaAaAaD2211
njnjjjjj AaAaAaD2211
证明步骤：
<1> 证
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
11211
22221
11211
nnnn
nn
Aa
a
00
<2> 证
nnnjnjnjn
njjj
aaaaa
aaaaa
111
11111111
ijijij
Aaa?0000
<3>
ininiiii AaAaAa2211?
n
k
ikik Aa
1
nnnn
n
aaa
aaa
D
21
11211
inii aaa 0000000 21
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
21
11211
21
11211
21
11211
00 2?ia ina?00001?ia
解：
3351
1102
4315
2113
r2－ r1
r4 + 5 r1
72016
1102
6408
2113
按 c2 展开
7216
112
648
)1(1 21
r1 + 4 r2
r3－ 8 r2 15100
112
1080
例 4 用 Laplace展开定理求 例 2§ 2
按 c1 展开
1510
108)1()2( 12
)1 0 01 2 0(2
40?
15100
112
1080
例 5 证明四阶范德蒙行列式
3
4
3
3
3
2
3
1
2
4
2
3
2
2
2
1
4321
4
1111
xxxx
xxxx
xxxx
D?
))()()()()(( 342414231312 xxxxxxxxxxxx
)(41 jiij xx
证：
D4
r4－ x1r3
r3－ x1r2
r2－ x1r1 1
2
4
3
41
2
3
3
31
2
2
3
2
14
2
413
2
312
2
2
141312
0
0
0
1111
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
按 c1展开
)()()(
)()()(
14
2
413
2
312
2
2
144133122
141312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
2
4
2
3
2
2
432141312
111
))()((
xxx
xxxxxxxxx
r3－ x2r2
r2－ x2r1
24
2
423
2
3
2423141312
0
0
111
))()((
xxxxxx
xxxxxxxxxx
按 c1展开
)()())()(( 244233
2423
141312 xxxxxx
xxxxxxxxxx
43
2423141312
11))()()()((
xxxxxxxxxxxx
)())()()()(( 342414231312 xxxxxxxxxxxx
)(41 jiij xx
推论,n阶范德蒙 (Vandermonde)行列式
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
D
)(1 jinij xx
定理 2 行列式的任一行 (列 )的各元素与另一行
(列 )的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
n
k
kjki jiAa
1
)( 0
或?
n
k
jkik jiAa
1
)( 0
即：
综合定理 1和定理 2，得：
ji?
,0
n
k
kjki Aa
1
n
k
jkik Aa
1
或
,D
ji?
ji?
,0
,D
ji?
定理 3 (克莱姆法则 )
11212111 bxaxaxa nn
22222121 bxaxaxa nn
nnnnnn bxaxaxa2211
(1)
的系数行列式 0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
设线性方程组二,克莱姆法则其中 Di(i=1,2,…,n)是用常数项 b1,b2…; bn代替
D中第 i列各元素而得到的 n阶行列式，即：
,11 DDx?,22 DDx?,? DDx nn? (2)
则方程组 (1)有 唯一解,且解可表示为：
,
111
2121221
1111111
nnninin
nii
nii
aaaa
aaaa
aaaa
(i=1,2,…,n)
iD
n
b
b
b
2
1
例 3 解线性方程组
82 32 421 xxx
225 4321 xxxx
73 4321 xxxx
12224 4321 xxxx
解：
2214
1113
1251
2032
D
06
方程组的系数行列式所以方程组有唯一解。
又：
,18
22112
1117
1252
2038
1
D,0
22124
1173
1221
2082
2D
82 32 421 xxx
225 4321 xxxx
73 4321 xxxx
12224 4321 xxxx
,6
21214
1713
1251
2832
3
D
6
12214
7113
2251
8082
4D
所以：,311
D
Dx,02
2 D
Dx
,133 DDx 144 DDx
D=－ 6,D1＝－ 18,D2= 0,D3= 6,D4=－ 6
注,在方程组 (4.1)中，若所有的常数项 b1= b2
= … = bn = 0,则方程组称为 n元齐次线性方程组 。
01212111 nn xaxaxa?
02222121 nn xaxaxa?
02211 nnnnn xaxaxa?
(3)
显然有 零解 x1 = x2 = … = xn = 0
结论 1,若齐次线性方程组 (3)的系数行列式
D? 0,则方程组只有零解。 平凡解结论 2,若齐次线性方程组 (3)有非零解，则系数行列式 D = 0。 非平凡解
