说明,1.由于 R2,R3中的点与向量一一对应,因此在无特别声明时,总用 X,Y 等表 R2,R3中的点 (向量 ),用 x,y,z,a,b,c 等表实数,
2.由于有多种乘积使用记号 " ·",因此,阅读教材时,应注意区别 "? ·a","A ·P","X B"
的含意,对 " +" 也类似,
以后在表述时不再区分这两个概念,
一,多元函数的概念以前我们接触到的函数 y = f (x)有一个特点,就是只有一个自变量,函数 y 是随着这一个自变量的变化而变化的,我们称为一元函数,如
y = sinx,y = x2 + 3cosx 等,
§ 1－ 1 多元函数的概念所谓多元函数,直观的说,就是有多个自变量的函数,函数 y 随多个自变量的变化而变化,
圆柱体体积 V =? r 2 h
体积 V 随 r,h的变化而变化,
一对数 (r,h),就有唯一的一个 V与之对应,
或者说,任给长方体体积 V = xyz
V 随 x,y,z 的变化而变化,
一组数 (x,y,z),就有唯一的一个 V与之对应,
或者说,任给这些都是多元函数的例子,有一个自变量的称为一元函数,有二个自变量的称为二元函数,有三个自变量的称为三元函数,…,有 n 个自变量的称为 n 元函数,二元以上的函数统称为多元函数,
与一元函数类似,我们有二元函数定义设 D是 xy平面上的一个点集,即 D? R2,
若对任意的点 X = (x,y)?D? R2,按照某个对应规则 f,总有唯一确定的实数 z 与之对应,
则称 f 是定义在 D上的二元实值函数,记作
f,D? R,X = (x,y)? z,
习惯上,称 z = f (X ) = f (x,y) 为二元函数,另外,称 x,y 为自变量,z 为因变量,
比如 z = sinx +cosy,z = 3x2 + ey,
称 z 为点 X = (x,y) 在 f 下的像,记作 f
(X) 或 f (x,y),即 z = f (X ) = f (x,y),也称作
X = (x,y)所对应的函数值,
称 D 为函数 f 的定义域,D在 f 下的像集
f (D)={ f (X )| X?D }称为 f 的值域,
注 1 一般说来,自变量 x,y都是独立变化的,它们只受到 (x,y)?D 的限制,
f (x,y) 的表达式,算 f (x0,y0) 的方法与一元函数类似,
另外,若给出了如 f (X) = f (x,y) = 3x+y2,X0 = (1,1)
则 f (X0) = f (1,1) = 3 ·1+12 = 4
f (x+y,siny) = 3(x+y) + sin2y
注 2 特别,若定义域 D 是 x y 面上一条曲线,D,y = g(x),
g事实上,x? D 上的点 f (x,g(x)) = (x,y)? z,f
= f (x,g(x))成为一元函数,
则二元函数 z = f (x,y)
注 3 任何一个一元函数都可扩充为一个二元函数,
事实上,z = f (x) = f (x) + 0 ·y
只须将 z 作为一元函数的定义域 D? R 扩充为 R2 中点集即可,
注 2,注 3说明二元函数是一元函数的推广,
而一元函数则是二元函数的特殊情形,二元函数是定义在 xy 平面某点集上的函数,而 一元函数是定义在 xy 面上一条直线 (x 轴 )上的二元函数,
类似的,有 n元函数定义,
设 D? Rn,若对任意的 X = (x1,x2,…,xn)?
D? Rn,按某个对应规则 f,总有唯一确定的实数 z 与之对应,则称 f 是定义在 D 上的 n 元实值函数,记作
f,D? R,X = (x1,x2,…,xn)? z,
并记 z = f ( X ),或 z = f (x1,x2,…,xn).
定 义解,与一元函数类似,就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合,
例 1 求 z = ln (x + y)的定义域 D,并画出 D的图形,
x + y > 0,故 定义域 D = {(x,y)| x + y > 0}
画直线 y1 = – x,由于 D 中点 (x,y) 的纵坐标 y 要大于直线 y1 = – x 上点的纵坐标 y1,故 D表示直线 y1 =
– x 上方点的集合,(不包括边界 y1 = –x上的点 )
为画 D 的图形,由 x + y > 0,得 y > –x = (y1).
x + y = 0
x
y
o
如图
y > –x
D
(不包括直线
x + y = 0)
例 2,,1 22 的图形并画的定义域求 DDyxz
解,1,01 2222 yxyx 即故 }1|),{( 22 yxyxD
.),(22 的距离到原点表示点由于 oyxyx?
故 D 表示到原点距离不超过 1的点的集合,
即,D 为单位圆盘 (包括边界 ),
x
y
o
x2 + y2 = 1
122 yx
(包括圆周 )
D
例 3
.,
1
1)l n ( 2 的图形并画的定义域求 DD
x
yxz

解,


01
02
x
yx D = { (x,y) | y
2 < x < 1}
由 x > y2 ( = x1)知,D在曲线 x1= y2的右侧,
由 x < 1 ( = x1)知,D在直线 x1= 1 的左侧,
如图
1 x
y
o
y2 = x
二,平面区域
1,邻域,
以点 X0 = (x0,y0)为中心,以?为半径的圆内部点的全体称为 X0 的? 邻域,
即?),( 0?X? })()(|),{( 2020 yyxxyx
}|||| |),({ 0 XXyxX
记? (X0,? ) = U (X0,? )? { X0 },称为 X0 的去心? 邻域,如图
),,( 0?X?记作
X0
X0
U (X0,? )? (X0,? )
当不关心邻域半径时,简记为 U (X0 )和? (X0).
2.内点,
E 的全体内点所成集合称为 E 的内部,记为 E0.
,1 22 为单位圆盘的定义域比如 Dyxz
D = {(x,y)| x2 + y2?1 } 如图记 EC= R2? E 称为 E 的余集,若 X0是 EC的内点,
则称 X0为 E的外点,
设 E 是一平面点集,X0 = (x0,y0)?E,若 存在 邻域 U(X0,? )? E,则称 X0 为 E 的内点,
x
y
o
x2 + y2 = 1
1
1
D
易知,圆内部的每一点都是 D的内点,圆外的每一点都是 D 的外点,但圆周上的点不是 D
的内点,也不是 D的外点,
x + y = 0
x
y
0
如图
D
又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x,y)| x+y > 0}
易见,直线上方每一点都是 D的内点,
即 D=D?,但直线上的点不是 D的内点,
3,边界点,
E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界,记作?E.
如,例 1中定义域 D 的边界是直线 x +y = 0
上点的全体,例 2中定义域 D 的边界是单位圆周
x2 + y2 = 1上的点的全体,如图设 E 是一平面点集,X0 = (x0,y0)是平面上一个点,若 X0的 任何 邻域 U(X0,? )内既有属于 E
的点,又有不属于 E的点,则称 X0 为 E 的边界点,
x
y
o 1
1
x2 + y2 = 1
D
x + y = 0
x
y
o
D
E 的边界点可以是 E 中的点,也可以不是 E中的点,
可以证明,
E中的点 X0?E只可能有两种情形,
(1)X0为 E的内点,(2)X0为 E的边界点,
两者必居其一,
R2中的点 X只可能有三种情形,
(1)X为 E的内点,(2)X为 E的边界点,
(3)X为 E的外点,
4,开集设 E 是一平面点集,若 E 中每一点都是 E 的内点,
即 E? E0,则称 E 是一个开集,
由于总有 E0? E,因此,E? E0? E = E0
故也可说,
比如,例 1中 D 是开集,(D = D0 ),而例 2中 D 不是开集,
规定,?,R2为开集,
若 E = E0,则称 E 是一个开集,
x
y
o
E
又比如,E 如图若 E 不包含边界,则 E 为开集,
若 E 包含边界,则 E 不是开集,
结论,非空平面点集 E 为开集的充要条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点,即 E
不含有 E 的边界点,
证,必要性,设 E 为开集,?X?E,
由开集定义知 X 为 E 的内点,
故 X 不是 E 的边界点,
充分性,若 E 中每一点都不是 E 的边界点,
要证 E 为开集,?X?E,由于 X 不是 E 的边界点,
而 E 中的点或者为 E 的边界点,或者为 E的内点,
两者必居其一,故 X 为 E的内点,因此 E为开集,
5,连通集如图
X Y
E 连通
YX
E 不连通设 E是一非空平面点集,若?X,Y?E,都可用完全含于 E的折线将它们连接起来,则称
E为连通集,
从几何上看,所谓 E 是连通集,是指 E 是连成一片的,E 中的点都可用折线连接,
例 1,2中的 D 都是连通集,如图
x + y = 0
x
y
o x
y
o 1
1
x2 + y2 = 1
6.开区域 (开域 )
设 E 是一平面点集,
比如,例 1中 D是开区域,
如图,
E
从几何上看,开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集,
若 E 是连通的非空开集,则称 E 是开区域,
7.闭区域 (闭域 )
若 E 是开域,记 EEEEE 0
称为闭区域,
如图,
E
易见,例 2中的 D是闭区域,从几何上看,闭区域是连成一片的,包括边界的平面点集,
(本书把 )开区域和闭区域都叫作区域,
易见,例 1中 D 是无界集,它是无界开区域,
而例 2中 D 是有界集,它是有界闭区域,
8.设 E? R2,若存在 r > 0,使 E? U(O,r),则称 E为有界集,否则称 E为无界集,
9.聚点从几何上看,所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点,即,
在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点,
设 E 是平面点集,X0 是平面上一个点,
若 X0的 任一 邻域内总有无限多个点属于 E,
则称 X0 是 E 的一个聚点,
X0
如图
1.聚点定义也可叙述为,若 X0 的任一邻域内至少含有 E 中一个 异于 X0 的点,则称 X0 为
E 的 一个聚点,(自证 ).
2.E 的聚点 X0可能属于 E,也可能不属于 E,
3.E 的内点一定是 E 的聚点,
4.若 E 是开区域,则 E 中每一点都是 E 的聚点,
.,的聚点中每一点都是则为闭区域若 EEEEE
.的聚点从而是 E即,区域中的任一点都是该区域的聚点,
一般,集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点,
但若 E 是开集,则 E 的边界点一定是 E 的聚点,自证,
10.孤立点若点 X0?E,且存在?>0,使得邻域 U(X0,?)内除 X0外,所有点均不属于 E,即? (X0,?)∩E =?,
则称 X0 为 E 的孤立点,如图,
X0
显然,E的孤立点 X0总是 E的边界点,但不是聚点,
邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,闭区域,聚点，孤立点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去,且有类似的几何意义,它们还可推广到 4 维以上的空间中去,但不再有几何意义,
设 z = f (X) = f (x,y) 的定义域是平面区域 D,
按二元函数定义,?X = (x,y)?D,可以唯一确定实数 z,从而确定了空间一个点 M (x,y,z),
三、二元函数的几何意义当 X 在 D中变动时,点 M (x,y,z)在空间中变动,当 X 取遍 D 中一切点时,M (x,y,z)在 三维空间中 "织 "出一片曲面,
即,二元函数表示空间中一片曲面,D是该曲面在 xy 面上的投影区域,
X
D
M (x,y,z)
y
x
z
o
如 z = ax +by + c,表平面,
.222 表上半球面yxaz
.222 表下半球面yxaz
注意,三元函数 u = f (x,y,z)的定义域是 R3 的一个子集,
三元函数无几何意义,
一,二元函数的极限
§ 1－ 2 多元函数的极限与连续回忆一元函数的极限,设 y = f (x),
,)(lim
0
Axfxx所谓当 x 不论是从 x0的左边还是从 x0的右边无限接近于 x0时,对应的函数值无限接近于数 A.
表示如图
x
y
A
0
f (x)f (x)
y = f (x)
x0 xx
x? x0
,)(lim
0
语言表示用 Axfxx 就是 >0,>0.
当 0<|x – x0|<? 时,有 |f (x) – A |<?.
设二元函数 z = f (X) = f (x,y),定义域为 D,如图
D
z = f (x,y)
X X
如果当 X在 D内变动并无限接近于
X0时 (从任何方向,
以任何方式 ),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A,则称 A
为当 X趋近于 X0时 f
(X)的极限,
M
X0
A
y
z
x
o
f (X)
类似于一元函数,f (X)无限接近于数 A可用
| f (X)– A | <? 刻划,而平面上的点 X = (x,y) 无限接近于点 X0 = (x0,y0) 则可用它们之间的距离
,)()( |||| 20200 来刻划 yyxxXX
设二元函数 z = f (X) = f (x,y),定义域为 D,X0=
(x0,y0)是 D 的一个聚点,A 为常数,
若 > 0, > 0,当
,)()( 2020 时 yyxx 对应的函数值满足
| f (X)– A | <?
则称 A 为 z = f (X)的,当 X 趋近于 X0时 (二重 )极限,
记作,)(lim
0
AXfXX 或,),(lim
0
0
Ayxf
yy
xx
也可记作 f (X)? A(X? X0),或,f (x,y)? A (x? x0,
y? y0 )
|||| 0 0XX
定 义１
注 1.定义 1中要求 X0是定义域 D的聚点,这是为了保证 X0的任意近傍总有点 X使得 f (X)存在,
进而才有可能判断 | f (X)– A | 是否小于? 的问题,
若 D是一区域,则只须要求,0 DDDX
就可保证 X0 是 D的一个聚点,
另外," 0 < ||X? X0 || <? "表示 X 不等于 X0.
2,),( xf对一元函数
.)(lim)(lim
00
Axfxf
xxxx


如图
x x0 x
0xx 0xx
x
Axfxx )(lim
0
有
xo
X0
X
D
对二元函数 f (X),如图有,)(lim
0
AXfXX
点 X以任何方式趋近于 X0时,f (X)的极限都存在且为 A.
D
z = f (x,y)
X
f (X)
M
X0
A
y
z
x
o
因此,如果当 X以某几种特殊方式趋于 X0时,
f (X)的极限为 A,不能断定二重极限,)(lim
0
AXfXX
若 X以不同方式趋于 X0时,f (X)的 极限不同,
则可肯定二重极限,)(l i m
0
不存在XfXX?
3.极限定义可推广到三元以上函数中去,且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同,
例 1.,1s i n),()( yxxyyxfXf设二元函数用定义证明,0
1s i nlim
0
0
yx
xy
y
x
证,
>0,22||)0,0(||0 yxX
<?时,有 | f (x,y) – 0 | <? ).
考虑 | f (x,y) – 0 | yxxy 1s in || xy? 2
22 yx?
(要证 >0,使得当要使 | f (x,y) – 0 | <?,只须2
22 yx
222 yx即有时则当取,||)0,0(||,2 22 yxX
| f (x,y) – 0 | <?
01s i nlim
0
0
yx
xy
y
x故例 2.设 f (x,y) =
,0,2222 时当 yxyx xy
,0,0 22 时当 yx
证明 f (x,y)在 (0,0)点的极限不存在,
证,由注 2知,只须证明当 X 沿不同的线路趋于
(0,0)时,函数 f (x,y)对应的极限也不同即可,
考察 X =(x,y)沿平面直线 y = kx 趋于 (0,0)的情形,
如图对应函数值
22),( yx
xyyxf

)0,0(),(,)1( 22
2
yxkx kx
x
o
y
从而,当 X = (x,y) 沿 y = kx 趋于 (0,0)时,
函数极限
),(lim
0
yxf
kxy
x
21 k
k

当 k 不同时,极限也不同,因此,f (x,y) 在
(0,0)的极限不存在,
请考察当 X = (x,y)沿 x 轴,沿 y 轴趋于 (0,0)
的情形,
)1(l i m 22
2
0 kx
kx
x?
),(lim
0
0
yxf
y
x
沿 x 轴,y = 0,函数极限
= 0 00lim 20 xx
沿 y 轴,x = 0,函数极限
),(lim
0
0
yxf
x
y
= 0 20 0
0l i m
yx
但不能由此断定该二重极限为 0 (注 2).
)()(li m 0
0
XfXfXX若设 z = f (X) = f (x,y),在区域 D上有定义,
则称 f (X) 在 X0 连续,X0 称为 f (X) 的连续点,
否则称 f (X) 在 X0 间断,X0 称为 f (X) 的间断点,
X = (x,y)?D,X0 = (x0,y0)?D,
二,二元函数的连续性定义 2
若 f (X) 在 D 上每一点都连续,则称 f (X)
在 D 上连续,记为 f (X)? C (D).
易知,例 2中 f (x,y)在 (0,0)间断 (极限不存在 ),
上在直线中例 01s i n),(,1 yxyxxyyxf
每一点都间断,
注：
定义可推广到三元以上函数中去,
1.二元函数 f (X)在 X0 连续必须满足三个条件,在 X0 有定义,在 X0 的极限存在,两者相等,
2.多元连续函数的和,差,积,商 (分母不为 0)
以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数,
如 f (x) = exy ·sin(x2+y),22)s i n (ln),( yx yxxyyxf
)(tg3),,( s i n xyezx xyzzyxf
)s i n (lim 2s i n
0
0
yxe xy
y
x

而 = e0 ·sin0 = 0,
3,多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的,所谓多元初等函数是指以 x,y,z,… 为自变量的基本初等函数 f (x),?(y),g(z),… 以及常函数,经有限次四则运算和复合所构成的函数,
定义在区域 D 上的二元连续函数 z = f (X)
= f (x,y)表示了在 D上的一片没有 "空洞 ",没有 "裂缝 " 的连续曲面,
这里条件 "D 是一区域 " 是必要的,若 D
不是区域,z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面,
4.二元连续函数的几何意义,
例,设 D = {(x,y) | x,y 均为有理数 }? R2,z =f
(x,y)是定义在 D 上的,在 D 上恒等于 1,在别的点上无定义的函数,即
f (x,y) =
1,当 (x,y)? D时,
无定义,当 (x,y)? D时,
如图
x
y
z
o
1
可知,? (x0,y0)? D,
),(1),(lim 00
0
0
yxfyxf
yy
xx

但曲面 z = f (x,y)不是通常意义下的连续曲面,
三、有界闭区域上二元连续函数的性质性质 1.
.)( 值上必须取最大值和最小在则 DXf
性质 2.
.|)(|,
,0,)(
MXfDX
MDXf


有使得对即上有界在则为设 2RD? 上在若 DXf )(有界闭域,连续,
为设 2RD? 上在若 DXf )(有界闭域,连续,
性质 3,
则对任何介 ),()(,,2121 XfXfDXX
使 f (X0) = C.
,,)()( 021 DXCXfXf?存在之间的数与于这些定理都可推广到三元以上的函数中去,
为设 2RD? 上在若 DXf )(有界闭域,连续,
问,由性质 3是否可得到 "根的存在定理 ",如何表述?
例 3.,
s i nl i m
0
0 x
xy
y
x
求解,原式 = xy xyy
y
x
s i nlim
0
0
xy
xyy
y
x
y
x
s i nlimlim
0
0
0
0

= 0 ·1= 0
例 4.,
)1l n (lim
22
0
1 yxy
xy
y
x?
求解,原式 = 22
0
1
lim
yxy
xy
y
x?
22
0
1
l i m
yx
x
y
x?
11
1
例 5.,||||l i m
22
0
0 yx
yx
y
x?
求解,原式 = |||| ||2||2||||l i m
22
0
0 yx
xyxyyx
y
x?




||||
||2|)||(|lim
0
0 yx
xyyx
y
x
.
||||
||lim ""
0
0 yx
xy
y
x?
定理考虑两边夹用
||||
|| 0
yx
xy
由于故 0|| ||
||2||||lim
||||
lim
0
0
22
0
0



yx
xyyx
yx
yx
y
x
y
x
例 5似可用下述方法算,
0
||||
||lim
0
0
yx
xy
y
x
从而
),0,0( 0|| 时当 yxy
||
||||l i m
0
0 xy
yx
y
x
由于?


||
1
||
1lim
0
0 xy
y
x
从而
0
||||
||lim
0
0
yx
xy
y
x
… (1)
轴都在这个轴和时在算注意 yx
xy
yx
y
x
,
||
||||lim,
0
0
函数定义域外,它们不是点 (x,y)趋于 (0,0)时的路径,
,|||| ||lim
0
0
时而在考虑 yx xy
y
x?
则必须包括 x 轴和 y 轴这两条路径 (在这个函数的定义域内 ).
应补充讨论,当 (x,y)沿 x 轴 (y = 0)趋于 (0,0)时,
有 00||
0lim
||||
||lim
0
0
0

xyx
xy
x
y
x … (2)
当 (x,y) 沿 y 轴 (x = 0)趋于 (0,0)时,
有 0||||
||l i m
0
0
yx
xy
x
y … (3)
综合得 (1),(2),(3),.0||||
||l i m
0
0
yx
xy
y
x
问,是否有?0lim
0
0

yx
xy
y
x
提示,取 yn= kn xn,当 n时,xn?0,
kn1,且 kn 趋于?1的速度比 xn趋于 0的速度快得多,
)11,1( 2 nknx nn比如取这一方法是否具有普遍性? 即,是否总有初学者在算二重极限时,容易引出下面算法,
如
||0
0lim
||||
lim
2
0
22
0
0 y
y
yx
yx
y
y
x?

||lim 0 yy
= 0
实质上,就是
||||
limlim
||||
lim
22
00
22
0
0 yx
yx
yx
yx
xy
y
x?


),(l i ml i m),(l i m
00
0
0
yxfyxf
xxyy
yy
xx
设 z = f (X) = f (x,y)在区域 D 上有定义,
X0 = (x0,y0)为 D的内点,
四,二次极限考虑 X = (x,y)沿两条特殊路径趋近于 X0 = (x0,y0)时 f (x,y)的极限,
情形相当于下图对应的函数极限为
),(limlim
00
yxfxxyy
称为先对 x,后对 y 的二次极限,
(1)先固定 y,令 x? x0,即,让点 (x,y)沿平行于 x 轴的直线趋于点 (x0,y),然后,再令 y? y0,
x
y
o
(x0,y)
(x,y)
(x0,y0)
(2)先固定 x,令 y? y0,即,让点 (x,y)沿平行于 y 轴的直线趋于点 (x,y0),然后,再令 x? x0,
情形相当于下图
x
y
o
(x,y0)
(x,y)
(x0,y0)对应的函数极限为
),(limlim
00
yxfyyxx
称为先对 y,后对 x 的二次极限,
由于二次极限是沿特殊路径时的函数极限,有,
如例 2中,2200 limlim yx xyxy 0lim0 y = 0
2200 limlim yx
xy
yx = 0
但二重极限不存在,
1.二次极限不一定等于二重极限,
(如二重极限不存在时,二次极限可能不相等,)
即在很多情形中,
),(limlim),(limlim
0000
yxfyxf xxyyyyxx
所以,不能随便交换极限的顺序,
2.两个二次极限不一定相等,
如 bayy xyxf d),(l i m
0
ba yy xyxf d),(l i m
0
=
x
xfxxfxf
xxxxx?
)()(limlim)(lim
000





x
xfxxf
xxx?
)()(limlim
00
=