§ 2－ 1 二重积分回忆定积分,设一元函数 y = f (x) 在 [a,b]可积,
n
i
ii
b
a xfxxf 10 )(limd)(则
.d)(,0)( 面积在几何上表示曲边梯形时当 ba xxfxf
如图
0 x
y
a bxi xi+1? i
y = f (x) f (? i) 其中? i?[xi,xi+1],
xi = xi+1? xi,表小区间 [xi,xi+1]的长,f (? i)
xi表示小矩形的面积,
设有一立体,其底面是
xy 面上的区域 D,其侧面为母线平行于 z 轴的柱面,其顶是曲面 z= f (x,y)?0,连续,
称为曲顶柱体,
若立体的顶是平行于 xy 面的平面,
则平顶柱体的体积 = 底面积×高,
0 y
z
x
z = f (x,y)
D
如图一、例
1.求曲顶柱体的体积 V.
(i)用曲线将 D分成 n 个小区域 D1,D2,…,Dn,
每个小区域 Di 都对应着一个小曲顶柱体,
如图 z = f (x,y)
0 y
z
x
z = f (x,y)
DDi D
i
(ii)由于 Di很小,z = f (x,y)连续,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体,
(? i,?i)? Di,
小平顶柱体的高 = f (? i,?i).
若记 i = Di的面积,
则小平顶柱体的体积
= f (? i,?i) i? 小曲顶柱体体积 f (? i,?i)
(? i,?i)
Di
z = f (x,y)
(iii)因此,大曲顶柱体的体积?
n
i
iiifV
1
),(
分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值 V,若分割得 "无限细 ",则右端近似值会无限接近于精确值 V.
也就是
n
i
iiifV
1
),(lim
(iv) },{m a x
1 的直径记 ini D
其中 Di的直径是指 Di中相距最远的两点的距离,
,),(lim
10
n
i
iiifV则其中 (? i,?i)? Di, i = Di 的面积,
x y
Di
如图
(1)平面薄板的质量 M.
当平面薄板的质量是均匀分布时,
有,平面薄板的质量 = 面密度 × 面积,
若平面薄板的质量不是均匀分布的,
这时,薄板的质量不能用上述公式算,应如何算该薄板的质量 M?
2,非均匀分布物体的质量用曲线将 D分成 n 个小区域 D1,D2,…,Dn,
设一平面薄板,所占区域为 D,面密度?(x,
y)? 0 连续,(x,y)? D,求该平面薄板的质量 M.
(i)如图
0 x
y
D
Di
Di的面积记作 i,
0 x
y
D
Di
由于?(x,y)? 0 连续,从而当 Di很小时,?(x,
y) 在 Di上的变化不大,可近似看作?(x,y)在 Di上是不变的,
从而可用算均匀薄板的质量的方法算出
Di这一小块质量的近似值,
(ii)即,?(? i,?i)? Di,以? (? i,?i)作为 Di 这一小片薄板的面密度,从而,
第 i 片薄板的质量 mi(? i,?i) i
(iii)故,平面薄板的质量?
n
i
iiiM
1
),(
(iv) },{m a x
1 的直径若记 ini D
.),(lim
10
n
i
iiiM则
1.定义 设 z=f (x,y)是定义在有界闭区域 D?R2上的有界函数,将 D任意分割成 n个无公共内点的小区域 Di(I=1,2,…,n),其面积记为i,?(?i,?i)? Di,作积
f (?i,?i)i,
}.{ma x1 的直径记 ini D,),(
1
n
i
iiif作和二、二重积分的概念与性质若对任意的分法和任意的取法,当0时,和式
n
i
iiif
1
),( 的极限存在且极限值都为 I,
则称 f (x,y)
在 D上可积,记为 f (x,y)? R(D),并称此极限值 I 为
f (x,y)在 D上的二重积分,记作
D
dyxf,),(?
即
n
i
iii
D
fdyxf
10
),(lim),(
其中,,称为二重积分符号,D称为积分区域,f
(x,y)称为被积函数,d?称为面积元素,x,y称为积分变量,和式
.),(
1
称为积分和?
n
i
iiif
注 1.定积分
n
i
ii
b
a
xfdxxf
10
)(l i m)(?
二重积分
n
i
iii
D
fdyxf
10
),(lim),(
区别在将小区间的长度?xi 换成小区域的面积i,
将一元函数 f (x)在数轴上点?i 处的函数值 f (?i)换成二元函数 f (x,y)在平面上点 (?i,?i)处的函数值
f (?i,?i),可见,二重积分是定积分的推广,
注 2,若将 D用两族平行于 x轴和 y轴的直线分割,(如图 )
Di
D
则除边界上区域外,Di
的面积i =?xiyi,
故也将二重积分写成
D
d x dyyxf ),(
注 3.可以证明若 f (x,y)在 D上连续,则 f (x,y)在 D
上可积,若 f (x,y)在 D上有界,且在 D内只有有限个不连续点,或只在有限条曲线上不连续,则 f (x,y)可积,
2,二重积分的性质,
设 D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在,
性质 1,
.|||,| 的面积为区域其中 DDDd
D
性质 2,
DDD
dyxgyxfdyxgyxf )],(),()],(),([
性质 3,
DD
dyxfkdyxkfk ),(),(,则为常数设性质 4,则无公共内点且设,,,
2121 DDDDD
21
),(),(),(
DDD
dyxfdyxfdyxf
若在 D上有 f (x,y)? g (x,y),则
DD
dyxgdyxf ),(),(
特别,(i) 若在 D上 f (x,y)?0,则
0),(
D
dyxf?
(ii)
DD
dyxfdyxf |),(|),(
这是因为?| f (x,y)|? f (x,y)? | f (x,y) |
积分后即得,
性质 5,
若在 D上 m? f (x,y)? M,则
||),( DMdyxfDm
D
设 f (x,y)?C(D),则?(?,?)?D,使得
||),(),( Dfdyxf
D
性质 6,
性质 7,
3,二重积分的几何意义设 x,y 在 D上可积,则
(i) 当 z=f (x,y)?0时,
.),( 曲顶柱体的体积
D
dyxf?
(ii) 当 z= f (x,y)<0时,
)(),( 曲顶柱体的体积
D
dyxf?
(iii)
则上在上在无公共内点且若
,0),(
,0),(,,,
2
12121
yxfD
yxfDDDDDD?
21
),(),(),(
DDD
dyxfdyxfdyxf
= (D1上曲顶柱体体积 )?(D2上曲顶柱体体积 )
.),(,的代数和表示各小曲顶柱体体积一般
D
dyxf?
1,直角坐标系下二重积分的计算,
由二重积分的几何意义知,当 f (x,y)?0时,
Vdyxf
D
曲顶柱体的体积),(
如图若点 x处截面面积为 A(x),
则体积
.)( ba dxxAV
x
y
0 a x
A(x)
三、二重积分的计算
.,0),(,),( 连续其中考虑 yxfzdyxf
D
(1)设积分区域 D是由两条平行于 y轴的直线 x=a,x=b
及两条曲线 y = y1(x),y = y2(x)围成,如图即,D,y1(x)? y? y2(x),
a? x? b
称为 x—型区域,特别情形是
A,B退缩成一点,E,F退缩成一点,x
y
0
A
B
E
F
D
y = y1(x)
y = y2(x)
a b
由几何意义知,
,),(),( 为顶表示以 yxfzdyxf
D
以 D为底的曲顶柱体体积 V,如图,
过点 x0作平面 x= x0,
截面是平面 x= x0上的,以 z=f (x0,y)为曲边的曲边梯形,
由定积分的几何意义,
)( )( 00 02 01,),()( xy xy dyyxfxA
)( )(21,),()(,xy xy dyyxfxA一般
z
x0
y
y2(x0)
y1(x0)
D
y=y2(x)
y=y1(x)
z=f (x,y)
z=f (x0,y)
x0a b
从而,
ba xy xyba dxdyyxfdxxAV,]),([)( )( )(2
1
故
ba xy xy
D
dxdyyxfdyxf ]),([),( )(
)(
2
1
右端称为先对 y,再对 x 的二次积分 (累次积分 ).
计算原则,由里到外,即先将 x 看作常数,以 y 为积分变量,求里层积分,得到的结果是只含
x,不含 y 的函数式,再求外层积分 (以 x为积分变量 ).
注 1,公式
ba xy xy
D
dxdyyxfdyxf ]),([),( )(
)(
2
1
虽是在条件 f (x,y)? 0下得到的,但对一般的
f (x,y)都成立,只须 D是 x—型区域即可,
注 2,习惯上常将右端的二次积分记作
ba xy xy dyyxfdx )( )(21 ),(
即
ba xy xy
D
dyyxfdxdyxf )(
)(
2
1
),(),(?
ba xy xy dxdyyxf ]),([ )( )(21
(2)类似,若 D,x1(y)? x? x2(y),c? y? d,称为 y —型区域,
则二重积分可化为先对 x,再对 y 的二次积分,
即 d
c
yx
yx dydxyxf
)(
)(
2
1
]),([
x
y
0
d
c
E
F
x=x2(y)x=x1(y)D
D
dyxf?),(
dc yx yx dxyxfdy )( )(21 ),(
(3)若 D既是 x—型区域,又是 y—型区域,比如
x0
y
x0
y
x0
y
则既可先对 x 积分,又可先对 y 积分,等等,
dc yx yxba xy xy dxyxfdydyyxfdx )( )()( )( 2121 ),(),(
D
dyxf?),(
当用某次序算二重积分不好算时,可改换积分次序,
可能好算,
此时,
(4)若 D的形状较复杂,既不是 x—型区域,也不是
y—型区域,
x
y
0
D1
D2
D3
D
则可用一些平行于 x 轴和平行于 y 轴的直线将其分成若干块,使每一块或为 x—型,或为 y—型,
分块积,如图
321
),(),(),(),(
DDDD
dyxfdyxfdyxfdyxf
(5) 设 D,y1(x)? y? y2(x),a? x? b,为 x —型区域,
其中 y2(x)为分段函数,如图则
ba xy xy
D
dyyxfdxdyxf )(
)(
2
1
),(),(?
由于 y2(x)是分段函数,里层积分上限无法确定用哪一个表达式,故应将
D分成 D1,D2,分块积分,x
y
0
D1 D2
y =?2(x)
a b
(6) 不论是先对 x 积分
dc yx yx
D
dxyxfdydyxf )(
)(
2
1
),(),(?
ba xy xy
D
dyyxfdxdyxf )(
)(
2
1
),(),(?
还是先对 y 积分里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式,而外层积分的上、下限是点的坐标,
且 上限?下限,称为 从里到外、线 — 线 ; 点 — 点,
例 1.
.,)( 2 围成和由其中求 xyxyDdyx
D
x
y
0
y=x
y=x2
x
为确定累次积分的上、下限,
作与 y轴同向的射线,从下至上穿过 D.
则 y是由下方的曲线 y=x2变到上方的曲线 y=x的,
解,先画区域 D的图形,
法 1,先对 y积分,
里层积分的下限为 x2,上限为 x.
由于该射线变化范围是 [0,1].
因此,外层积分下限为 0,上限为 1,即
10 2 )()( xx
D
dyyxdxdyx?
dxyxy
x
x 2
1
0
2
2
1?
dxxxx
1
0
432
2
1
2
3
20
3
10
1
4
1
6
3
1
0
543
xxx
x
y
0
y=x
y=x2
1
1
法 2,先对 x 积分,
作与 x 轴同向射线,
从左至右穿过 D.
y
则 x 是从左方曲线
x=y变到右方曲线
y=x2,即,的yx?
故里层对 x 积分的下限为 y,上限为,y
而该射线的变化范围是 [0,1],
故外层对 y 的积分下限为 0,上限为 1.
10 )()( yy
D
dxyxdyd x d yyx
1
0
2
2
1 dyyxx
y
y
1
0
22
3
2
3
2
1 dyyyy
20
3
6
3
5
2
4
1
1
0
32
5
2?
yyy
例 2.
.
0,2,2
第一象限的区域围成的和由其中求 yxyxyDxyd xd y
D
解,先画 D的图形,
先对 x 积分,作与 x
轴同向的射线穿过 D,
易知,x 从左方曲线
y=x2即变到yx?
10 2 yy
D
x y d xdyx y d x d y
右方曲线 y=?x+2即 x=2? y,而 y?[0,1],
x
y
0
y=?x+2 y=x
2
1
1
2
故所以,原式 =1
0
2 y
y x y d xdy
1
0
2
2
2
1 dyxy y
y
10 2 ])2[(21 dyyyy
24
7?
问,若先对 y 积分,情形怎样?
x
y
0
y=?x+2 y=x
2
1
1
2
例 3.求,s in11
0 y
dxx xdy
解,由于
1 s iny dxx x
是“积不出”的，怎么办？
要改换积分次序,先画积分区域 D的图形,
由积分表达式知,D,y? x? 1,0? y? 1
画曲线 x=y 和 x=1，直线 y=0,y=1,如图：
故 原式 =
D
d xd yx xs in
x dyx xdx 010 s in 10 s in x d xx x
10 s in dxx 1c o s1c o s 10 x
y
x0
D
y = x
由例 2，例 3知，选择适当的积分顺序，
有时能使积分变得简便，易行。在作题时，
当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。
例 4.改换
.),(
2
1
4
0
的积分顺序 x
x
dyyxfdx
解,写出 D的表达式，
.40,21, xxyxD
画 D 的图形改为先对 x再对 y的积分
xx dyyxfdx
2
1
4
0
),(
yy dxyxfdy 220 2 ),(
y
x0
D
xy 21?
xy?
2
4
例 5.关于分块函数在 D上的积分,
D
dxy?||求其中 D,0? x? 1,0? y? 1
解,积分区域如图记 f (x,y) = | y – x |
=
y–x,当 y? x时,
x–y,当 y < x时,
且区域 D1,y? x和 D2,y < x分处在直线 y=x的上，下方,
故，原式 =
21
)()(
DD
dyxdxy
y
x0
1
1
D
D2
y = x
D1
xx dyyxdxdyxydx 010110 )()(
1
0
0
21
0
1
2 )
2
1()
2
1( dxyxydxxyy x
x
10 210 2 21)2121( dxxdxxx 31?
注,分块函数的积分要分块 (区域 )来积,
另外，带绝对值的函数是分块函数。
y
x0
D2
1
1
y = x
D1 D
在将二重积分化为二次积分的公式
,),(),( )(
)(
2
1
中 xy
xy
b
a
D
dyyxfdxdyxf?
右边的二次积分不是两个定积分之积,计算时必须由里至外，这当然较繁琐,但在某些情形下，可将右端化为两个定积分之积。
例 6.设 D,a? x? b,c? y? d,f(x,y)=f1(x)·f2(y)可积，
则
.)()(),( 21 d
c
b
a
D
dyyfdxxfdyxf?
y
x0
d
c
a b
D
dyxf?),(:证
D
dx dyyfxf )()( 21
dcba dyyfxfdx )()( 21
ba dc dxdyyfxf ])()([ 21,)()( 12 badc dxxfdyyf
比如,.3
2
1
0
3
2
1
0 dyex d xdyxedx
yy
.s i n2s i n 101020 r d rrr d rrd
只须要求里层积分? d
c dyyf )(2
的被积函数 f2(y)和上、下限都与 x无关即可。
关于利用对称性积分的问题
(1) 若 D的图形关于 x轴对称,
(i) 若 f (x,–y) = f (x,y),
其中点 (x,–y) 与 (x,y) 关于 x轴对称，
即函数也关于 x轴对称,
y
x0
D2
D1
1
),(2),(
DD
dyxfdyxf则
(ii) 若 f (x,–y) = – f (x,y),
0),(
D
dyxf?则
(2) 若 D的图形关于 y轴对称,
y
x0
D2D1
(i) 若 f (– x,y) = f ( x,y),其中 (– x,y)
是 (x,y)的关于 y轴的对称点,
1
),(2),(
DD
dyxfdyxf则
(ii) f (– x,y) = – f( x,y)，则
0),(
D
dyxf?
(3) 一般，若 D关于平面上某直线 l对称,
y
x0
D2
y = x
D1
对?(x,y)?D1，有关于 l的对称点 (x1,y1)?D2,
.),(2),(
1
DD
dyxfdyxf则若 f (x,y)= – f (x1,y1)，则
.0),(
D
dyxf?
若 f (x,y) = f (x1,y1).
例 7.(1)
.0c o s.1,22
D
ydxyxD?则
,,10,10:)2( 对称关于知设 xyDyxD
).,(),( 0000 xyxyyx 的对称点为的关于直线点?
,),( nn yxyxf 易知
).,(),( yxfxyxyf nn
.0)(
D
nn dyx?从而
y
x
0
(x0,y0)
(y0,x0)
y= x
y0
x0
2,二重积分的换元法考虑
D
dx dyyxf,),(
若作变量代换 x=g(u,v),y=?(u,v),
应如何计算作了变量代换后的二重积分？
定理 1,设变换 x=g(u,v),y=?(u,v)时 uov平面上的有界闭区域 D*一一对应地变成 xoy平面上的有界闭区域 D，且满足若 f (x,y)可积，则
.
),(
),()),(),,((),(
*
dudv
vu
yxvuvugfdx dyyxf
DD?
(1) x=g(u,v),y=?(u,v)?C1(D*)
0
),(
),()2(
''
''
vu
vu
yy
xx
vu
yx
3,用极坐标变换计算二重积分变换 x = rcos?,y = rsin? 称为极坐标变换,
其中 0? r <+?,0 2? (或 -)
的积分区域若
D
d x d yyxf ),(
D经极坐标变换后变成极坐标系下的区域 D*,因：
rr rr yx c oss i n s i nc os),( ),(
.)s i n,c os(),(
*
DD
r dr drrfdx dyyxf故
x
y
r
(x,y)
0
如图的积分区域设 Dd x d yyxf
D
),()1(
称为“曲边三角形”或“曲边扇形”
曲边的极坐标方程为 r = r(?).
D的最小极角为?，最大极角为?.
此时,D*,0? r? r(?),.
从而：
)(0 )s i n,c o s(.),( r
D
r d rrrfdd x d yyxf
x
y
D
r = r(?)
0
特别：
y
0 x
r = r(?)
)
22
(
2
2
3
,
2
0
及
0 x
y
r = r(?)
0
称为“极点位于 D 的边界上”的情形。
(2) 若积分区域 D 如图即 D包含极点,这相当于在上图中让?=0，而?增大 2?
D*:0? r? r(?),0 2?
)(
0
2
0
)s i n,c o s(
),(
r
D
r d rrrfd
d x d yyxf
r
0 x
D
r = r(?)
(3)若积分区域 D如图,
即：极点在 D外，而 D是由两个
“曲边扇形”相减而成。
作以 0为起点的射线过 D，先遇到的曲边为 r=r1(?)，后遇的曲边为 r=r2(?),
最大，最小极角分别为?,?,此时，
0 x
y
r=r2(?)
r=r1(?)
D*,r1(?)? r? r2(?),
)( )(21 )s i n,c o s(),( rr
D
r d rrrfdd x d yyxf
例 8,求
,1 22
D
d x d yyx
其中 D,x2+y2? 1
解,一般,若 D的表达式中含有 x2+y2时,可考虑用极坐标积分 。
0 x
y
x2+y2? 1
令 x=rcos?,y=rsin?,则
x2+y2? 1的极坐标方程为 r = 1,由 (2)
D*,0? r? 1,0 2?
D
d x d yyx 221
10 222220 s i nco s1 r d rrrd
10 220 1 r d rrd
])(121[2 1
0
22 rdr?
1
0
2
3
2 )1(
3
2
r
32?
另由几何意义：
32)(211 22 单位球体积
D
dyx
例 9.计算
,22
D
yx dx dye
其中 D,x2+y2?a2(a>0).
解,D 如图,由于 D关于 x轴,y 轴都对称，
0 x
y
x2+y2 = a2
a
D1
D r = a
),(),(),( 22 yxfyxfeyxf yx且即 f (x,y)也关于 x轴,y轴对称,故
1
2222 4
D
yx
D
yx d x d ted x d ye
20,0:1
arD且
0
2
0
2
1
22 r d redd x d ye r
D
yx
a
ra r erde
0
0
2 )(
4
)(
2
1
2
22
)1(4 2ae
从而，原式 )1( 2ae
注,本题若用直角函标计算，会遇到,2 dxe x
而这个积分是“积不出”的。
例 10.计算广义积分
0
2 dxe x
解,这是一个在“概率论”中很重要的积分，
用 通常方法无法算出,由广义积分定义
R xRx dxedxe 00 22 l i m
2
0
2
0 )(lim)(
22
R x
R
x dxedxe
R xR xR x dxedxedxe 0020 222 )(
R yR x dyedxe 00 22 R yxR dyedx 00 22
S
yx d x d ye 22
其中 S,0? y? R,0? x? R
下用“夹逼定理”求 2
0 )(lim
2
R x
R dxe
作 D1,x2+y2? R2
0,,)2(,2222 yxRyxD
0 x
y
x2+y2=R2
R
222 )2( Ryx
R
D
yx
S
yx
D
yx d x d yed x d yed x d ye 2222
1
22
) 1 ( 4 1 ) 1 ( 4 12 2 2 22R
S
y x Re dxdy e e
令 R?+?，上式两端的极限均为
,4? 故,
2
0
2
0) ( lim ) (
2 2
Rx
R
xdx e dx e
4 lim
2 2
S
y x
R
dxdy e
2 0
2dx ex 故
