§ 1－ 5 多元复合函数的导数一、链式法则则复合函数 z = f ( u(x),v(x))在点 x 处可导,
且 xvvzxuuzxz dddddd (公式也称为 链式法则 )
证,
设 u = u(x),v = v(x) 在点 x 处可导,而
z = f (u,v)在 x 对应的点 (u,v)可微,
,limlimlim
000 x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
xxx?
只要证
.)(0 即可从而只要证 xvvzuuzz
定理 1
又因 z 是 u,v 的函数,进而得到?z.
因 z = f (u,v)在 (u,v)可微,
给 x 以改变量?x,因 u,v 是 x的函数,可得 u,v 的改变量?u,?v.
同除以?x? 0,得
x
vu
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
)(0 22
令?x? 0,得
x
vu
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
x?
)(0lim
d
d
d
d
d
d 22
0
)(0 22 vuvvzuuzz
从而
x
vu
x?
)(0l i m 22
0 x
vu
vu
vu
x?
22
22
22
0
)(0lim
22
22
22
0
)(0lim
x
v
x
u
vu
vu
x = 0
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
d
d
d
d
d
d?
故注意到当?x? 0时,?u,?v 趋于 0.
无穷小乘有界量用同样的方法,可将该公式推广到中间变量为 3个,4个,… 等情形,
比如,设 z = f (u,v,w),u = u(x),v = v(x),w =
w(x),满足定理条件,则
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
d
d
d
d
d
d
d
d?
例 1.设 z = tg(u + v),u = x2,v = lnx,.ddxz求解,(1) z = tg (x2 +lnx)
(2)
),(s e c 2 vuuz,2dd xxu?
),(s e c 2 vuvz,1dd xxv?
z' = sec2(x2+lnx)
)12( xx
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
d
d
d
d
d
d?
故
)(s e c1)(s e c2 22 vuxvux
)ln(s e c1)ln(s e c2 2222 xxxxxx
若 u,v是 x,y 的二元函数,u = u(x,y),v = v(x,y ),
此时 z = f (u,v) = f (u(x,y),v(x,y))是 x,y的二元函数,
如何求 z 对 x,y 的偏导数?
.
)),(),,((
,
函数求导作为一元把固定就是将注意到求
yxvyxufz
y
x
z
由上述公式,有
1?,若 z = f (u,v),u = u(x,y),v = v(x,y))满足定理条件,则复合函数 z = f (u(x,y),v(x,y))的偏导数为
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
(只须将定理 1中导数符号改为偏导符号 )
2?,公式 1?可推广到中间变量多于 2个的情形,
如,设 z = f (u,v,w),u = u(x,y),v = v(x,y),w = w(x,y),
则
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
3? 若在 2?中,u = u(x,y,t),v = v(x,y,t),w = w(x,
y,t),问 tzyzxz
例 2.
.,,,,s i n yzxzyxvxyuvz u 求设解,(1)可将 u,v代入后直接求偏导,
(2)用链式法则 (两个中间变量 )
,lnc o s vvvuz uu,yxu
,c o s 1 uu uvvvz,1xu
故
xz uuuu vuvyvvv c o sc o sln 1
xyxy
xyxy
yxyxxy
yxyxyxy
)c o s ()(
)c o s ()l n ()(
1
y
z
xyxy
xyxy
yxyxxy
yxyxyxx
)c o s ()(
)c o s ()l n ()(
1
例 3.,,,),,( 122 yzxzCfxyyxfz 求其中设解,此例与上两例有区别,这里函数 f 的表达式未给出,只能用链式法则求偏导,
引进中间变量 ( 引进几个中间变量? )
记 u = x2 – y2,v = xy,从而 z = f (u,v),
由链式法则,得
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
yvzxuz 2
v
zy
u
zx
2
v
zx
u
zy
2
z = f (u,v),u = x2 – y2,v = xy,
),,(),(11 vufuzvuff u
记
,
),,(),(22
对第二个变量的偏导数表示 f
vuf
v
z
vuff v
,对第一个变量的偏导数表示 f
等等,
引进记号,设 z = f (u,v),
例 4.,,,),,,( 1 yzxzCfyxxyxfz 求设解,引进 3个中间变量,记 u = x,v = xy,w = x+y,
则 z = f (u,v,w),有
x
wf
x
vf
x
uf
x
z
321 321 fyff
y
wf
y
vf
y
uf
y
z
321
10 321 fxff 32 ffx
1,在这一类问题中为何引进中间变量?
).s i n,,( 23 xyxyyxf?如注
.,.2 wzyvzuzxz有本例中
.,xzuzxu 写成故常可将右边的因从而 wzyvzxzxz
.,xz则似可抵消移项 这是否对? 为什么?
.在概念上是不同的与右边的左边的 xzxz
.,求偏导而对看作常数表示在表达式中将左边的 xyxz
,,,都看作常数是将而右边的 wyxvxyuzxz
对 u (也就是 x)求偏导,两者不同,
w
zy
v
z
u
z
x
z
w
zy
v
z
x
z
例,设 z = f (x,xy) = x + xy,记 u = x,v = xy,
有 z = u + v,,1 yxz则
.0dd1 xyxFxF
3,若 z = f (u,v),u = u (x,y),v = v (x,y),
则 z 通过 u,v 成为 x,y 的二元复合函数,
,,),(),,( 21 的函数还是 vuvuffvuff vu
从而是 x,y 的二元复合函数,
例 5.,),( 22 xyzx xzyyxFyz 验证设证,,)(0 22 x yxFxz,)(1
22
y
yxF
y
z
.,)( 22 的偏导对下求 yxyxF?
.,)()( 22 的复合函数是则 yxuFyxF
,22 yxu?记
,2 xuFxF ).2( yuFyF
y
zx
x
zy
从而 )21()2(
u
Fyx
u
Fxy
u
Fxyx
u
Fxy
22
= x
,2,uFxxz故,21 uFyyz
例 6.若 f (x,y,z) 恒满足关系式 f (tx,ty,tz) = tk f (x,y,z),
则称它为 k 次 齐次函数,证明 k 次齐次函数满足
),,(),,(),,(),,( 321 zyxkfzyxfzzyxfyzyxfx
证,等式 f (tx,ty,tz) = tk f (x,y,z),两边对 t 求偏导,
右边对 t 求偏导 )),,(( zyxftt k ).,,(1 zyxfkt k
zfyfxf 321
),,(),,(),,( 321 wvufzwvufywvufx
),,(
),,(),,(),,(
1
321
zyxfkt
wvufzwvufywvufx
k
即记 u = tx,v = ty,w = tz,则 f (tx,ty,tz) = f (u,v,w),
)),,(( tztytxft而
),,(
),,(),,(),,( 321
wvukf
wvufwwvufvwvufu
即 ),,(),,(),,(),,( 321 zyxkfzyxfzzyxfyzyxfx
同乘以 t,得
),,(
),,()(),,()(),,()( 321
zyxftk
wvuftzwvuftywvuftx
k
得及由条件,,,),,,(),,( tzwtyvtxuzyxfttztytxf k
例 7,设 z =f (u,v),f?C1,而 u = xcosy,v = x siny.
.0
.,.s i n,c o s
x
v
z
u
z
yx
y
z
y
x
z
其中求且已知解,这是关于链式公式的逆问题,链式公式
x
v
x
u
x
z
u
z
v
z
y
v
y
u
y
z
u
z
v
z
.c o s,s i n
.s i n,c o s
yx
y
v
y
x
v
yx
y
u
y
x
u
由于
.s in,c o s yxyzyxz且已知 代入链式公式,得,
yyvzyuz c o ss i nc o s
yxyxvzyxuz s i n)c o s()s i n(
系数行列式
yxyx
yyD
c o ss i n
s i nc o s
= x? 0
11 xxDDuz
从而
D
D
v
z 2?
x
yxyx
yy
s i ns i n
c o sc o s
00
D
为未知量的二元一次方程组,常可通过解线性方程组的方法求
1.本例说明二元复合函数的链式公式可看作以
v
z
u
z
,
.,vzuz
注
2.对本例而言,若还要求出 z 的函数表达式,
如何求,,,z
y
z
x
z 如何求若已知更一般的
3.设 z =f (x,y),则在区域 D 内 0 yzxz
z = C (常数 ),(自证 )
4.若 z = f (u,v),u = u (x,y),v = v (x,y),x = x
(r,? ),y = y (r,? ),
,的公式如何问 zrz
易见 z 是 r,? 的复合函数,因此
r
v
v
z
r
u
u
z
r
z
又因 u,v 都 是 r,? 的复合函数,
因此
r
y
y
v
r
x
x
v
v
z
r
y
y
u
r
x
x
u
u
z
r
z
r
y
y
v
v
z
r
x
x
v
v
z
r
y
y
u
u
z
r
x
x
u
u
z
设 z = f (u,v)可微,当 u,v 为自变量时,有
vvzuuzz ddd
若 u,v 不是自变量,而是中间变量,是否仍有这一形式?
设 u = u (x,y),v = v (x,y)均可微,则
z = f (u (x,y),v (x,y)),yyzxxzz ddd
二、全微分的形式不变性由链式法则,
,xvvzxuuzxz
,yvvzyuuzyz
代入,得中,ddd yyzxxzz
z = f (u (x,y),v (x,y))
yyvvzyuuzxxvvzxuuzz ddd?
y
y
vx
x
v
v
zy
y
ux
x
u
u
z dddd
vvzuuz dd
即,不论 u,v是自变量还是中间变量,z = f (u,v)
的全微分的形式不变,
例 8.用全微分形式不变性求解,记 u = xy,
,d),( zxyxyfz 的全微分?
.,yzxz并求偏导
,xyv? 从而 z = f (u,v).
vfufz ddd 21 xyfxyf d)(d 21
221 dd)dd( x xyyxfxyyxf
yfxfxxfx yfy d1d 21221
从而
,221 fxyfyxz
21
1 f
xfxy
z
§ 1－ 6 隐函数的导数上期已讨论了求隐函数的导数问题,即,
设方程 F(x,y) = 0,求由该方程所确定的函数 y = f (x)的导数,方法是,方程两边对 x 求导,注意 y 是 x 的函数,然后解出 y',
(1)是否任何一个二元方程 F(x,y) = 0,都确定了 y 是 x 的函数 (单值 )?
如 x2 + y2 = 1,什么条件下确定 y = f (x)?
(2)若方程确定 y = f (x),它是否可导?
给出一般的求导公式,
(3)三元 (以上 )方程 F(x,y,z) = 0,的情形怎样?
留下了问题,
设函数 F(x,y) 在点 X0 = (x0,y0)的邻域 U(X0)
内有连续偏导数,
考虑方程 F(x,y) = 0.
且 F (x0,y0) = 0,.0,( )00 yxF y
则方程 F(x,y) = 0在点 X0 = (x0,y0)的某邻域内唯一确定一个有连续导数的 (单值 )函数 y = f (x),
它满足 y0 = f (x0),且,dd
y
x
F
F
x
y
证略一,一个方程的情形
(隐函数存在定理 ),定理 1
对公式的推导作些说明,
设方程 F(x,y) = 0中 F(x,y)满足定理条件,
从而方程在 X0 的某邻域内确定函数 y = f (x),
代入方程,得 F(x,f (x))? 0.
上式两边对 x 求导 (左端是 x 的复合函数 ).
得,0dd1 xyxFxF,d
d
y
x
F
F
x
y
解得
)0,,0),(( 000 yyy FXFyxF 的某邻域内从而在连续且因例 1.验证方程 x2 + y2 –1= 0在点 X0= (0,1)的某邻域内满足定理 1的三个条件,从而在 X0= (0,1)
的某邻域内唯一确定满足,当 x = 0时,y = 1
的连续可导函数 y = f (x),.dd
0?xx
y并求解,记 F (x,y) = x2 + y2 –1
(1),,2,2 连续yFxF yx
(2) F (0,1) = 0,
(3) 02)1,0(yF
由定理 1知,方程在 X0= (0,1)的某邻域内唯一确定满足 当 x = 0时,y = 1的连续可导函数 y = f (x),
0 x
y
X0 x2 + y2 =1
–1 1
X1
.dd
0?xx
y下求法 1,x2 + y2 = 1
两边对 x 求导,y 是 x 的函数,2x+2y? y' = 0
,yxy解得,00xy
法 2,F (x,y) = x2 + y2 –1
,2,2 yFxF yx
,dd yxFFxy
y
x
从而
0dd
0
xx
y
定理 1 可推广到方程中有多个变量的情形,
考虑方程 F(x,y,z) = 0
设三元函数 F(x,y,z) 在 X0=(x0,y0,z0)的邻域 U(X0)内有连续编导,F(x0,y0,z0)=0,F'z(x0,y0,
z0)?0,则在 X0 的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的函数 z = f (x,y),满足 z0=f (x0,y0),且
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
'
'
,''
定理 1
例 2.
.,2)3s i n ( yzxzz yzx- 求设解：方法 1,记 F(x,y,z) = sin(x?3z)?2y?z
有 F'x = cos(x?3z),
故
z
x
F
F
x
z
'
'
1)3co s (3
)3co s (
zx
zx
z
y
F
F
y
z
'
'
1)3co s (3
2
zx
F'y =? 2,F'z =? 3cos(x? 3z)?1
方法 2,sin(x?3z) =2y +z
.,yzxz求两边对 x 求偏导,z 是 x 的函数,y看作常数,
xx zzzx )31()3c o s (
)3c o s ()]3c o s (31[ zxzxz x
解得,
)3c o s (31
)3c o s (
zx
zxz
x
类似得
)3c o s (31
2
zxz y
例 3.设方程 F(x2+y2+z2,sinxy)=0,F?C1,求
.,yzxz
解,方法 1.(公式法 ),方程左边是 x,y,z的复合函数，
用链式法则求 F'x,F'y,F'z,
F'x = F '1?2x+F '2?cosxy?y = 2xF '1+ ycosxy F '2
从而
,'2 'co s'2
1
21
zF
xyFyxF
x
z
F'y = F '1?2y+F '2?cosxy?x = 2yF '1+ xcosxy F '2
F'z = F '1?2z+F '2?0 = 2zF '1
1
21
'2
'co s'2
zF
xyFxyF
y
z
方法 2.方程 F(x2+y2+z2,sinxy)=0两边对 x 求偏导,
其中 z 是 x 的函数,y看作常量,
F '1? (2x+2z?z'x ) + F'2 cosxy? y = 0
,'2 'co s'2
1
21
zF
xy FyxFz
x
解得,
,'2 'co s'2
1
21
zF
xy FxyFz
y
例 4.设 z = z(x,y) 是由方程 x+y+z=? (x2+y2+z2)所确定的函数,其中C1,证明 z = z(x,y) 满足
yxyzxzxzzy )()(
证,记 F (x,y,z) = x+y+z (x2+y2+z2),
u = x2+y2+z2,
有 F 'x = 1 'u?2x = 1? 2x 'u
F 'y = 1?2y? 'u,F 'z = 1?2z? 'u
故
,
1'2
'21
'
'
u
u
z
x
z
x
F
F
x
z
1'2
'21
'
'
u
u
z
y
z
y
F
F
y
z
从而
y
zxz
x
zzy
)()(
)])(21())('21[(1'2 1 xzyzyxz uu
u
yxzxyz u
u
)'21)((1'2 1
设有方程组
F(x,y,u,v) = 0
G(x,y,u,v) = 0
四个未知量，
两个方程若将 x,y 看作常数,则方程组成为两个未知量,两个方程情形,
如果能从中解出 u,v,从而这个方程组确定了两个二元函数 u = u(x,y),v = v(x,y),称为由该方程组所确定的二元隐函数,
二、方组的情形
(1)当 F,G满足什么条件时，方程组确定了隐函数 u,v?
(2)为何求隐函数 u=u(x,y),v=v(x,y)的偏导？
问题记号：用
.
''
''
),(
),(
vu
vu
GG
FF
vu
GF 表示二阶行列式
即
),(
),(
vu
GF
GG
FF?
'u
'u
'v
'v
称为函数 F,G关于 u,v的雅可比行列式,
方程组
G(x,y,u,v)=0
F(x,y,u,v)=0
(1)
设 X0=(x0,y0,u0,v0)?R4,若
1) F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在 U(X0)有连续偏导
2) F(x0,y0,u0,v0)=G(x0,y0,u0,v0)=0
3) 雅可比行列式
.0),( ),(
0
Xvu GF
则方程组 (1)唯一确定两个二元函数 u = u(x,
y),v = v(x,y),满足 u0 = u(x0,y0),v0= v(x0,y0),且定理 2
,
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vx
GF
x
u
,
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vy
GF
y
u
,
),(
),(
),(
),(
vu
GF
xu
GF
x
v
,
),(
),(
),(
),(
vu
GF
yu
GF
x
v
证,(略 )
公式推导说明：
设 F,G满足定理 2条件，从而存在隐函数
u=u(x,y),v= v(x,y),代入方程组 (1)
F(x,y,u(x,y),v(x,y))?0
G(x,y,u(x,y),v(x,y))?0
方程两边对 x 求编导，得
F 'x + F 'u + F 'v = 0
x
u
x
v
x
v
G 'x + G 'u + G 'v = 0
x
u
看作未知量，解二元线性方程组,
x
v
x
u
,将由克莱姆法则,
F(x,y,u(x,y),v(x,y))?0
G(x,y,u(x,y),v(x,y))?0
F 'x+F 'u +F 'v =0
x
u
x
v
G 'x+G 'u +G 'v =0
x
v
x
u
当时，0
),(
),(
''
''
vu
GF
GG
FF
vu
vu
有
),(
),(
''
''
vu
GF
GG
FF
x
u vx
vx
.
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vx
GF
有
),(
),(
''
''
vu
GF
GG
FF
x
v xu
xu
.
),(
),(
),(
),(
vu
GF
xu
GF
同理可得
.,yvyu
F(x,y,u(x,y),v(x,y)?0,
G(x,y,u(x,y),v(x,y)?0,
两边对 y 求偏导，得
0''' yvFyuFF vuy
0''' yvGyuGG vuy
再解出
.,yvyu
例 5.
)0(
.,
0
2
33
22
22
uyvx
y
v
y
u
x
v
x
u
xvyu
vyux
其中
，，求设解：
注意 u,v 都是 x 的函数,y 看作常数,
.,xvxu先求方程两边对 x 求偏导，
得
02 22 xx vyuxxu
022 2 xx vvxvuuy
2
22
22
2
vvxvuyu
xuvyux
xx
xx
即 … (1)
… (2)
由于系数行列式
032
22
23
22
uyvx
xvyu
yxD
该方程组有唯一解,解得
D
xvv
yxuu
x 2
2
2
2
uyvx
uvxvy
33
222
22
4
D
vyu
xuxu
x 2
2
2
2
uyvx
vxx yu
33
222
22
4
y
v
y
u,自求
且 xvvzxuuzxz dddddd (公式也称为 链式法则 )
证,
设 u = u(x),v = v(x) 在点 x 处可导,而
z = f (u,v)在 x 对应的点 (u,v)可微,
,limlimlim
000 x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
xxx?
只要证
.)(0 即可从而只要证 xvvzuuzz
定理 1
又因 z 是 u,v 的函数,进而得到?z.
因 z = f (u,v)在 (u,v)可微,
给 x 以改变量?x,因 u,v 是 x的函数,可得 u,v 的改变量?u,?v.
同除以?x? 0,得
x
vu
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
)(0 22
令?x? 0,得
x
vu
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
x?
)(0lim
d
d
d
d
d
d 22
0
)(0 22 vuvvzuuzz
从而
x
vu
x?
)(0l i m 22
0 x
vu
vu
vu
x?
22
22
22
0
)(0lim
22
22
22
0
)(0lim
x
v
x
u
vu
vu
x = 0
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
d
d
d
d
d
d?
故注意到当?x? 0时,?u,?v 趋于 0.
无穷小乘有界量用同样的方法,可将该公式推广到中间变量为 3个,4个,… 等情形,
比如,设 z = f (u,v,w),u = u(x),v = v(x),w =
w(x),满足定理条件,则
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
d
d
d
d
d
d
d
d?
例 1.设 z = tg(u + v),u = x2,v = lnx,.ddxz求解,(1) z = tg (x2 +lnx)
(2)
),(s e c 2 vuuz,2dd xxu?
),(s e c 2 vuvz,1dd xxv?
z' = sec2(x2+lnx)
)12( xx
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
d
d
d
d
d
d?
故
)(s e c1)(s e c2 22 vuxvux
)ln(s e c1)ln(s e c2 2222 xxxxxx
若 u,v是 x,y 的二元函数,u = u(x,y),v = v(x,y ),
此时 z = f (u,v) = f (u(x,y),v(x,y))是 x,y的二元函数,
如何求 z 对 x,y 的偏导数?
.
)),(),,((
,
函数求导作为一元把固定就是将注意到求
yxvyxufz
y
x
z
由上述公式,有
1?,若 z = f (u,v),u = u(x,y),v = v(x,y))满足定理条件,则复合函数 z = f (u(x,y),v(x,y))的偏导数为
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
(只须将定理 1中导数符号改为偏导符号 )
2?,公式 1?可推广到中间变量多于 2个的情形,
如,设 z = f (u,v,w),u = u(x,y),v = v(x,y),w = w(x,y),
则
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
3? 若在 2?中,u = u(x,y,t),v = v(x,y,t),w = w(x,
y,t),问 tzyzxz
例 2.
.,,,,s i n yzxzyxvxyuvz u 求设解,(1)可将 u,v代入后直接求偏导,
(2)用链式法则 (两个中间变量 )
,lnc o s vvvuz uu,yxu
,c o s 1 uu uvvvz,1xu
故
xz uuuu vuvyvvv c o sc o sln 1
xyxy
xyxy
yxyxxy
yxyxyxy
)c o s ()(
)c o s ()l n ()(
1
y
z
xyxy
xyxy
yxyxxy
yxyxyxx
)c o s ()(
)c o s ()l n ()(
1
例 3.,,,),,( 122 yzxzCfxyyxfz 求其中设解,此例与上两例有区别,这里函数 f 的表达式未给出,只能用链式法则求偏导,
引进中间变量 ( 引进几个中间变量? )
记 u = x2 – y2,v = xy,从而 z = f (u,v),
由链式法则,得
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
yvzxuz 2
v
zy
u
zx
2
v
zx
u
zy
2
z = f (u,v),u = x2 – y2,v = xy,
),,(),(11 vufuzvuff u
记
,
),,(),(22
对第二个变量的偏导数表示 f
vuf
v
z
vuff v
,对第一个变量的偏导数表示 f
等等,
引进记号,设 z = f (u,v),
例 4.,,,),,,( 1 yzxzCfyxxyxfz 求设解,引进 3个中间变量,记 u = x,v = xy,w = x+y,
则 z = f (u,v,w),有
x
wf
x
vf
x
uf
x
z
321 321 fyff
y
wf
y
vf
y
uf
y
z
321
10 321 fxff 32 ffx
1,在这一类问题中为何引进中间变量?
).s i n,,( 23 xyxyyxf?如注
.,.2 wzyvzuzxz有本例中
.,xzuzxu 写成故常可将右边的因从而 wzyvzxzxz
.,xz则似可抵消移项 这是否对? 为什么?
.在概念上是不同的与右边的左边的 xzxz
.,求偏导而对看作常数表示在表达式中将左边的 xyxz
,,,都看作常数是将而右边的 wyxvxyuzxz
对 u (也就是 x)求偏导,两者不同,
w
zy
v
z
u
z
x
z
w
zy
v
z
x
z
例,设 z = f (x,xy) = x + xy,记 u = x,v = xy,
有 z = u + v,,1 yxz则
.0dd1 xyxFxF
3,若 z = f (u,v),u = u (x,y),v = v (x,y),
则 z 通过 u,v 成为 x,y 的二元复合函数,
,,),(),,( 21 的函数还是 vuvuffvuff vu
从而是 x,y 的二元复合函数,
例 5.,),( 22 xyzx xzyyxFyz 验证设证,,)(0 22 x yxFxz,)(1
22
y
yxF
y
z
.,)( 22 的偏导对下求 yxyxF?
.,)()( 22 的复合函数是则 yxuFyxF
,22 yxu?记
,2 xuFxF ).2( yuFyF
y
zx
x
zy
从而 )21()2(
u
Fyx
u
Fxy
u
Fxyx
u
Fxy
22
= x
,2,uFxxz故,21 uFyyz
例 6.若 f (x,y,z) 恒满足关系式 f (tx,ty,tz) = tk f (x,y,z),
则称它为 k 次 齐次函数,证明 k 次齐次函数满足
),,(),,(),,(),,( 321 zyxkfzyxfzzyxfyzyxfx
证,等式 f (tx,ty,tz) = tk f (x,y,z),两边对 t 求偏导,
右边对 t 求偏导 )),,(( zyxftt k ).,,(1 zyxfkt k
zfyfxf 321
),,(),,(),,( 321 wvufzwvufywvufx
),,(
),,(),,(),,(
1
321
zyxfkt
wvufzwvufywvufx
k
即记 u = tx,v = ty,w = tz,则 f (tx,ty,tz) = f (u,v,w),
)),,(( tztytxft而
),,(
),,(),,(),,( 321
wvukf
wvufwwvufvwvufu
即 ),,(),,(),,(),,( 321 zyxkfzyxfzzyxfyzyxfx
同乘以 t,得
),,(
),,()(),,()(),,()( 321
zyxftk
wvuftzwvuftywvuftx
k
得及由条件,,,),,,(),,( tzwtyvtxuzyxfttztytxf k
例 7,设 z =f (u,v),f?C1,而 u = xcosy,v = x siny.
.0
.,.s i n,c o s
x
v
z
u
z
yx
y
z
y
x
z
其中求且已知解,这是关于链式公式的逆问题,链式公式
x
v
x
u
x
z
u
z
v
z
y
v
y
u
y
z
u
z
v
z
.c o s,s i n
.s i n,c o s
yx
y
v
y
x
v
yx
y
u
y
x
u
由于
.s in,c o s yxyzyxz且已知 代入链式公式,得,
yyvzyuz c o ss i nc o s
yxyxvzyxuz s i n)c o s()s i n(
系数行列式
yxyx
yyD
c o ss i n
s i nc o s
= x? 0
11 xxDDuz
从而
D
D
v
z 2?
x
yxyx
yy
s i ns i n
c o sc o s
00
D
为未知量的二元一次方程组,常可通过解线性方程组的方法求
1.本例说明二元复合函数的链式公式可看作以
v
z
u
z
,
.,vzuz
注
2.对本例而言,若还要求出 z 的函数表达式,
如何求,,,z
y
z
x
z 如何求若已知更一般的
3.设 z =f (x,y),则在区域 D 内 0 yzxz
z = C (常数 ),(自证 )
4.若 z = f (u,v),u = u (x,y),v = v (x,y),x = x
(r,? ),y = y (r,? ),
,的公式如何问 zrz
易见 z 是 r,? 的复合函数,因此
r
v
v
z
r
u
u
z
r
z
又因 u,v 都 是 r,? 的复合函数,
因此
r
y
y
v
r
x
x
v
v
z
r
y
y
u
r
x
x
u
u
z
r
z
r
y
y
v
v
z
r
x
x
v
v
z
r
y
y
u
u
z
r
x
x
u
u
z
设 z = f (u,v)可微,当 u,v 为自变量时,有
vvzuuzz ddd
若 u,v 不是自变量,而是中间变量,是否仍有这一形式?
设 u = u (x,y),v = v (x,y)均可微,则
z = f (u (x,y),v (x,y)),yyzxxzz ddd
二、全微分的形式不变性由链式法则,
,xvvzxuuzxz
,yvvzyuuzyz
代入,得中,ddd yyzxxzz
z = f (u (x,y),v (x,y))
yyvvzyuuzxxvvzxuuzz ddd?
y
y
vx
x
v
v
zy
y
ux
x
u
u
z dddd
vvzuuz dd
即,不论 u,v是自变量还是中间变量,z = f (u,v)
的全微分的形式不变,
例 8.用全微分形式不变性求解,记 u = xy,
,d),( zxyxyfz 的全微分?
.,yzxz并求偏导
,xyv? 从而 z = f (u,v).
vfufz ddd 21 xyfxyf d)(d 21
221 dd)dd( x xyyxfxyyxf
yfxfxxfx yfy d1d 21221
从而
,221 fxyfyxz
21
1 f
xfxy
z
§ 1－ 6 隐函数的导数上期已讨论了求隐函数的导数问题,即,
设方程 F(x,y) = 0,求由该方程所确定的函数 y = f (x)的导数,方法是,方程两边对 x 求导,注意 y 是 x 的函数,然后解出 y',
(1)是否任何一个二元方程 F(x,y) = 0,都确定了 y 是 x 的函数 (单值 )?
如 x2 + y2 = 1,什么条件下确定 y = f (x)?
(2)若方程确定 y = f (x),它是否可导?
给出一般的求导公式,
(3)三元 (以上 )方程 F(x,y,z) = 0,的情形怎样?
留下了问题,
设函数 F(x,y) 在点 X0 = (x0,y0)的邻域 U(X0)
内有连续偏导数,
考虑方程 F(x,y) = 0.
且 F (x0,y0) = 0,.0,( )00 yxF y
则方程 F(x,y) = 0在点 X0 = (x0,y0)的某邻域内唯一确定一个有连续导数的 (单值 )函数 y = f (x),
它满足 y0 = f (x0),且,dd
y
x
F
F
x
y
证略一,一个方程的情形
(隐函数存在定理 ),定理 1
对公式的推导作些说明,
设方程 F(x,y) = 0中 F(x,y)满足定理条件,
从而方程在 X0 的某邻域内确定函数 y = f (x),
代入方程,得 F(x,f (x))? 0.
上式两边对 x 求导 (左端是 x 的复合函数 ).
得,0dd1 xyxFxF,d
d
y
x
F
F
x
y
解得
)0,,0),(( 000 yyy FXFyxF 的某邻域内从而在连续且因例 1.验证方程 x2 + y2 –1= 0在点 X0= (0,1)的某邻域内满足定理 1的三个条件,从而在 X0= (0,1)
的某邻域内唯一确定满足,当 x = 0时,y = 1
的连续可导函数 y = f (x),.dd
0?xx
y并求解,记 F (x,y) = x2 + y2 –1
(1),,2,2 连续yFxF yx
(2) F (0,1) = 0,
(3) 02)1,0(yF
由定理 1知,方程在 X0= (0,1)的某邻域内唯一确定满足 当 x = 0时,y = 1的连续可导函数 y = f (x),
0 x
y
X0 x2 + y2 =1
–1 1
X1
.dd
0?xx
y下求法 1,x2 + y2 = 1
两边对 x 求导,y 是 x 的函数,2x+2y? y' = 0
,yxy解得,00xy
法 2,F (x,y) = x2 + y2 –1
,2,2 yFxF yx
,dd yxFFxy
y
x
从而
0dd
0
xx
y
定理 1 可推广到方程中有多个变量的情形,
考虑方程 F(x,y,z) = 0
设三元函数 F(x,y,z) 在 X0=(x0,y0,z0)的邻域 U(X0)内有连续编导,F(x0,y0,z0)=0,F'z(x0,y0,
z0)?0,则在 X0 的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的函数 z = f (x,y),满足 z0=f (x0,y0),且
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
'
'
,''
定理 1
例 2.
.,2)3s i n ( yzxzz yzx- 求设解：方法 1,记 F(x,y,z) = sin(x?3z)?2y?z
有 F'x = cos(x?3z),
故
z
x
F
F
x
z
'
'
1)3co s (3
)3co s (
zx
zx
z
y
F
F
y
z
'
'
1)3co s (3
2
zx
F'y =? 2,F'z =? 3cos(x? 3z)?1
方法 2,sin(x?3z) =2y +z
.,yzxz求两边对 x 求偏导,z 是 x 的函数,y看作常数,
xx zzzx )31()3c o s (
)3c o s ()]3c o s (31[ zxzxz x
解得,
)3c o s (31
)3c o s (
zx
zxz
x
类似得
)3c o s (31
2
zxz y
例 3.设方程 F(x2+y2+z2,sinxy)=0,F?C1,求
.,yzxz
解,方法 1.(公式法 ),方程左边是 x,y,z的复合函数，
用链式法则求 F'x,F'y,F'z,
F'x = F '1?2x+F '2?cosxy?y = 2xF '1+ ycosxy F '2
从而
,'2 'co s'2
1
21
zF
xyFyxF
x
z
F'y = F '1?2y+F '2?cosxy?x = 2yF '1+ xcosxy F '2
F'z = F '1?2z+F '2?0 = 2zF '1
1
21
'2
'co s'2
zF
xyFxyF
y
z
方法 2.方程 F(x2+y2+z2,sinxy)=0两边对 x 求偏导,
其中 z 是 x 的函数,y看作常量,
F '1? (2x+2z?z'x ) + F'2 cosxy? y = 0
,'2 'co s'2
1
21
zF
xy FyxFz
x
解得,
,'2 'co s'2
1
21
zF
xy FxyFz
y
例 4.设 z = z(x,y) 是由方程 x+y+z=? (x2+y2+z2)所确定的函数,其中C1,证明 z = z(x,y) 满足
yxyzxzxzzy )()(
证,记 F (x,y,z) = x+y+z (x2+y2+z2),
u = x2+y2+z2,
有 F 'x = 1 'u?2x = 1? 2x 'u
F 'y = 1?2y? 'u,F 'z = 1?2z? 'u
故
,
1'2
'21
'
'
u
u
z
x
z
x
F
F
x
z
1'2
'21
'
'
u
u
z
y
z
y
F
F
y
z
从而
y
zxz
x
zzy
)()(
)])(21())('21[(1'2 1 xzyzyxz uu
u
yxzxyz u
u
)'21)((1'2 1
设有方程组
F(x,y,u,v) = 0
G(x,y,u,v) = 0
四个未知量，
两个方程若将 x,y 看作常数,则方程组成为两个未知量,两个方程情形,
如果能从中解出 u,v,从而这个方程组确定了两个二元函数 u = u(x,y),v = v(x,y),称为由该方程组所确定的二元隐函数,
二、方组的情形
(1)当 F,G满足什么条件时，方程组确定了隐函数 u,v?
(2)为何求隐函数 u=u(x,y),v=v(x,y)的偏导？
问题记号：用
.
''
''
),(
),(
vu
vu
GG
FF
vu
GF 表示二阶行列式
即
),(
),(
vu
GF
GG
FF?
'u
'u
'v
'v
称为函数 F,G关于 u,v的雅可比行列式,
方程组
G(x,y,u,v)=0
F(x,y,u,v)=0
(1)
设 X0=(x0,y0,u0,v0)?R4,若
1) F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在 U(X0)有连续偏导
2) F(x0,y0,u0,v0)=G(x0,y0,u0,v0)=0
3) 雅可比行列式
.0),( ),(
0
Xvu GF
则方程组 (1)唯一确定两个二元函数 u = u(x,
y),v = v(x,y),满足 u0 = u(x0,y0),v0= v(x0,y0),且定理 2
,
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vx
GF
x
u
,
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vy
GF
y
u
,
),(
),(
),(
),(
vu
GF
xu
GF
x
v
,
),(
),(
),(
),(
vu
GF
yu
GF
x
v
证,(略 )
公式推导说明：
设 F,G满足定理 2条件，从而存在隐函数
u=u(x,y),v= v(x,y),代入方程组 (1)
F(x,y,u(x,y),v(x,y))?0
G(x,y,u(x,y),v(x,y))?0
方程两边对 x 求编导，得
F 'x + F 'u + F 'v = 0
x
u
x
v
x
v
G 'x + G 'u + G 'v = 0
x
u
看作未知量，解二元线性方程组,
x
v
x
u
,将由克莱姆法则,
F(x,y,u(x,y),v(x,y))?0
G(x,y,u(x,y),v(x,y))?0
F 'x+F 'u +F 'v =0
x
u
x
v
G 'x+G 'u +G 'v =0
x
v
x
u
当时，0
),(
),(
''
''
vu
GF
GG
FF
vu
vu
有
),(
),(
''
''
vu
GF
GG
FF
x
u vx
vx
.
),(
),(
),(
),(
vu
GF
vx
GF
有
),(
),(
''
''
vu
GF
GG
FF
x
v xu
xu
.
),(
),(
),(
),(
vu
GF
xu
GF
同理可得
.,yvyu
F(x,y,u(x,y),v(x,y)?0,
G(x,y,u(x,y),v(x,y)?0,
两边对 y 求偏导，得
0''' yvFyuFF vuy
0''' yvGyuGG vuy
再解出
.,yvyu
例 5.
)0(
.,
0
2
33
22
22
uyvx
y
v
y
u
x
v
x
u
xvyu
vyux
其中
，，求设解：
注意 u,v 都是 x 的函数,y 看作常数,
.,xvxu先求方程两边对 x 求偏导，
得
02 22 xx vyuxxu
022 2 xx vvxvuuy
2
22
22
2
vvxvuyu
xuvyux
xx
xx
即 … (1)
… (2)
由于系数行列式
032
22
23
22
uyvx
xvyu
yxD
该方程组有唯一解,解得
D
xvv
yxuu
x 2
2
2
2
uyvx
uvxvy
33
222
22
4
D
vyu
xuxu
x 2
2
2
2
uyvx
vxx yu
33
222
22
4
y
v
y
u,自求
