三、两向量的混和积
1.定义 2 称?与?的向量积
再与向量? 的数量积 为向量?,?,?
[ ]＝ ( )即的混合积,记作 [ ]
设有三个向量?,?,?,
则有设向量? = (ax,ay,az),? = (cx,cy,cz),? = (bx,by,bz),
2.混合积的坐标表示式
zy
zy
bb
aa
zx
zx
bb
aa
yx
yx
bb
aa
i j k,
)(
zy
zy
bb
aa
zx
zx
bb
aa
yx
yx
bb
aa
cx cy cz,
zyx
zyx
bbb
aaa?
i j k
)(,
ccc
bbb
aaa
zyx
zyx
zyx
混合积性质：
(1) [ ] = [ ]= [ ]
= – [ ]= – [ ] = – [ ]
事实上，
若?,?,? 在同一个平面上，
则 垂直于它们所在的平面，
故 垂直于?,即
( ) = 0
(2)?,?,? 共面 [ ]= 0
混合积 ( ) 的绝对值等于以?,?,? 为棱的平行六面体的体积 V 的数值。
h
平行六面体所以，
= |( ) |
3、混合积 ( ) 的几何意义
||ijph
V = S? h = || ||ijp
||S底面积高 h 为? 在上的投影的绝对值
a? b = |a|? Prjab
例 5:已知空间内不在一个平面上的四点
A (x 1,y 1,z 1),B ( x 2,y 2,z 2),
C (x 3,y 3,z 3),D (x 4,y 4,z 4)
求四面体 ABCD 的体积。
解,四面体 ABCD 的体积等于以 AB,AC 和 AD
为棱的平行六面体体积的六分之一，
.|][|61 ADACABV?
AB = (x2 – x1,y2 – y1,z2 – z1),
AC = (x3 – x1,y3 – y1,z3 – z1),
AD = (x4 – x1,y4 – y1,z4 – z1),
即所以，
V =
,
,,
,,
,,
6
1
141414
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。
§ 3 平面及其方程
(一 ) 平面的点法式方程
1,法向量,
若一非零向量 n垂直于一平面?,则称向量 n为平面? 的法向量,
注,1? 对平面?,法向量 n不唯一 ;
2? 平面? 的法向量 n与? 上任一向量垂直,
一、平面方程
2,平面的点法式方程设平面? 过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量 n=(A,B,C).
对于平面上任一点 M(x,y,z),
向量 M0M与 n垂直,
y
x
z
M0
M
n
O
n? M0 M = 0
而 M0 M =(x? x0,y? y0,z? z0),
得,
A(x? x0) +B( y? y0) +C( z? z0) = 0
称方程 (1) 为平面的 点法式方程,
(1)
例 1,求过点 (2,?3,0)且以 n = (1,?2,3)为法向量的平面的方程,
解,根据平面的点法式方程 (1),可得平面方程为,
1? (x? 2)? 2? (y + 3) + 3? (z? 0) = 0
即,x? 2y + 3z? 8 = 0
n
M3
M2
M1
解,先找出该平面的法向量 n.
由于 n与向量 M1M2,M1M3都垂直,
而 M1M2=(?3,4,?6) M1M3=(?2,3,?1)
可取 n = M1M2? M1M3
132
643
kji
= 14i + 9j? k
例 2,求过三点 M1(2,?1,4),M2(? 1,3,?2)和 M3(0,2,3) 的平面的方程,
所以,所求平面的方程为,
14(x? 2) + 9(y + 1)? (z? 4) = 0
即,14x + 9y? z? 15 = 0
M1M3M1M2,共面M1M，
,0)( 31211 MMMMMM
即
(二 ) 平面的三点式方程设平面? 过 不共线的三点
M2 ( x 2,y 2,z 2),M3 (x 3,y 3,z 3),
M1 (x 1,y 1,z 1),
对于平面上任一点 M (x,y,z),
.0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
平面的三点式方程,
(2)
设平面与 x,y,z 轴的交点依次为 P(a,0,0),
Q(0,b,0),R(0,0,c)三点
o y
P
x
z
Q
R
(三 ) 平面的截距式方程
.0
0
0?
ca
ba
zyax
则
a b ca b za c yb c x有得 1 czbyax
当 cba,,非零时
(3)
(四 )平面的一般方程
1、定理 1,任何 x,y,z的一次方程,Ax +By +Cz
+D = 0都表示平面,且此平面的一个法向量是,
n = (A,B,C )
证,A,B,C不能全为 0,不妨设 A? 0,则方程可以化为
0)0()0()( zCyBA DxA
它表示过定点,且法向量为 n = (A,B,C ) 的平面,
)0,0,(0 ADM?
注,一次方程,Ax + By + Cz + D = 0 (4)
称为平面的 一般方程,
例 3,已知平面过点 M0(?1,2,3),且平行于平面 2x?3y + 4z?1= 0,求其方程,
解,所求平面与已知平面有相同的法向量 n
=(2?3,4)
2(x +1)? 3(y?2) + 4(z? 3) = 0
即,2x? 3y + 4z?4 = 0
2,平面方程的几种特殊情形
(1) 过原点的平面方程由于 O (0,0,0)满足方程,所以 D = 0,
于是,过原点的平面方程为,
A x + B y + C z = 0
Ax +By +Cz +D = 0
(2) 平行于坐标轴的平面方程考虑平行于 x轴的平面 Ax + By + Cz + D = 0,
它的法向量 n =(A,B,C)与 x 轴上的单位向量
i =(1,0,0)垂直,所以
n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0
于是,
平行于 x 轴 的平面方程是 By + Cz + D = 0;
平行于 y 轴 的平面方程是 Ax + Cz + D = 0;
平行于 z 轴 的平面方程是 Ax + By + D = 0.
特别,D = 0时,平面过坐标轴,
(3) 平行于坐标面的平面方程平行于 xOy 面 的平面方程是 Cz + D = 0;
平行于 xOz 面 的平面方程是 By + D = 0;
平行于 yOz 面 的平面方程是 Ax + D = 0.
(即 z = k)
(即 y = k)
(即 x = k)
例 4,求通过 x 轴和点 (4,?3,?1)的平面方程,
解,由于平面过 x 轴,所以 A = D = 0.
设所求平面的方程是 By + Cz = 0
又点 (4,?3,?1)在平面上,所以
3B? C = 0
C =? 3B
所求平面方程为 By? 3Bz = 0
即,y? 3z = 0
1
n1n
2
2
若已知两平面方程是,
1,A1x + B1y + C1z + D1 = 0
法向量 n1 = (A1,B1,C1)
2,A2x + B2y + C2z + D2 = 0
法向量 n2 = (A2,B2,C2)
1.定义 1 两平面的法向量的夹角 (通常指锐角 )
称为 两平面的夹角,
二、两平面的夹角
,),(),(),(
212121
21
两者中的锐角和应是的夹角与平面
nnnnnn?
ΠΠ
),c o s ( 21
nn
||||
||
21
21
nn
nn
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||
CBACBA
CCBBAA
θcos
所以
1
n1n
2
2
平面?1与?2 相互平行
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
规定,若比例式中某个分母为 0,则相应的分子也为 0.
平面?1与?2 相互垂直 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
特别,
例 5:一平面通过两点 M1(1,1,1)和 M2(0,1,?1),且垂直于平面 x+y+z = 0,求它的方程,
解,设所求平面的一个法向量 n = ( A,B,C )
已知平面 x+ y+ z = 0的法向量 n1=( 1,1,1)
所以,n? M1M2 且 n? n1
而 M1M2 = (?1,0,?2)
于是,A? (?1) + B? 0 + C? (?2) = 0
A? 1 + B? 1 + C? 1 = 0
解得,B=C
A=?2C
取 C = 1,得平面的一个法向量
n = (?2,1,1)
所以,所求平面方程是
2? (x?1) + 1? (y?1) + 1? (z?1) = 0
即,2x? y? z = 0
M1(1,1,1),M2(0,1,?1)
设 P0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点,
求 P0到这平面的距离 d.
在平面上任取一点 P1(x1,y1,z1)
P0
P1
N
n
则 P1P0 =(x0? x1,y0? y1,z0? z1)
过 P0点作一法向量 n =(A,B,C)
于是,
01jPr PPd n? ||
01
n
n PP
222
101010 )()()(
CBA
zzCyyBxxA
三、点到平面的距离又 A(x0?x1)+B(y0?y1)+C(z0?z1)
= Ax0+By0+Cz0+D?(Ax1+By1+Cz1+D)
= Ax0+By0+Cz0+D
所以,得点 P0到平面 Ax+By+Cz+D=0的距离,
222
000
CBA
DCzByAxd
(5)
例 6:求点 A (1,2,1)到平面?:x + 2y +2z
10=0的距离
133
221
10122211
222
d
(一 )空间直线的一般方程已知平面?1,A1x + B1y + C1z + D1 = 0
2,A2x + B2y + C2z + D2 = 0
那末,交线 L上的任何点的坐标满足,
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
不在交线 L上的点不满足方程组 (1)
(1)
称方程组 (1)空间直线的一般方程,x
y
z
O
1?
2
L
§ 4 空间直线 及其方程一,空间直线的方程空间直线可看成是两个不平行平面 与 的交线?1?2
(二 ) 空间直线的对称式方程而 s 的坐标 m,n,p 称为直线 L的一组 方向数,
s L
1.定义 1 与空间直线 L平行的向量 s = (m,n,p),
称为该直线的 方向向量,
2,直线的对称式方程已知直线 L过 M0(x0,y0,z0)点方向向量 s =(m,n,p)
在 L上任取一点 M(x,y,z),有 M0 M//s.
而 M0 M=(x?x0,y?y0,z?z0)
所以得比例式
p
zz
n
yy
m
xx 000
(2)
称为空间直线的 对称式方程或点向式方程,
s
M0
L
M
tp zzn yym xx 000 令得,x = x0 + m t
y = y0 + n t
z = z0 + p t
称为空间直线的 参数方程,
(3)
(三 ) 空间直线的参数式方程例 1,写出直线 x + y + z +1 = 02x? y + 3z + 4 = 0 的对称式方程,
解,(1) 先找出直线上的一点 M0(x0,y0,z0)
令 z0 = 0,代入方程组,得
x + y +1 = 0
2x? y + 4 = 0
解得,
3
2,
3
5
00 yx
)0,32,35(0?M所以,点 在直线上,
(2) 再找直线的 方向向量 s,
由于平面?1,x + y + z +1 = 0的法线向量 n1=(1,1,1)
平面?2,2x? y+3z+4 = 0的法线向量 n2=(2,?1,3)
所以,可取
312
111
kji
= 4i? j? 3k
于是,得直线的对称式方程,
31
3
2
4
3
5
z
yx
21 nns
例 2,求通过点 A(2,?3,4)与 B(4,?1,3)的直线方程,
所以,直线的对称式方程为
1
4
2
3
2
2
zyx
解,直线的方向向量可取 AB = (2,2,?1)
s1
s2?
已知直线 L1,L2的方程
,:
1
1
1
1
1
1
1 p
zz
n
yy
m
xxLs
1 =(m1,n1,p1)
,:
2
2
2
2
2
2
2 p
zz
n
yy
m
xxLs
2 =(m2,n2,p2)
定义 2 两直线的方向向量间的夹角称为两直线的夹角,常指 锐角,
二,两直线的夹角
1,L1与 L2的夹角? 的余弦为,
cos |)c o s (|
21
,ss
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
21 ||
||||
||
pnmpnm
ppnnmm
ss
ss
2,L1垂直于 L2 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0
3,L1平行于 L2,
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
.12 22:1 341 1,21 的夹角和求直线 zyxLzyxL
解,直线 L1,L2的方向向量 s1=(1,? 4,1 )
s2=(2,? 2,? 1)
有,|||| ||
21
21
ss
ss
2
2
)1()2(21)4(1
|)1(1)2()4(21|
222222
4
所以,
cos |),c o s (| 21 ss
例 3:
当直线与平面垂直时,规定夹角,2
已知,直线的方向向量 s =( m,n,p )
平面的法向量 n =( A,B,C )
那末,
2)( ns,
L?
Ln s
称为 L与平面? 的夹角,
定义 3 直线 L与它在平面?
)20(上投影直线 L?的夹角?,
三,直线与平面的夹角
(1) L与? 的夹角? 的正弦为,
sin? |),c o s (| sn
222222
||
pnmCBA
CpBnAm
P
C
n
B
m
A,即即,Am + Bn + Cp = 0
|n||s|
s||n
(2) L与? 垂直 s // n
(3) L与? 平行 s与 n垂直例 4,判定下列各组直线与平面的关系,
.3224:37 42 3:)1( zyxΠzyxL 和解,L的方向向量 s =(?2,?7,3)
的法向量 n =(4,?2,?2)
s? n = (?2)? 4 + (?7)? (?2) + 3? (?2) = 0
又 M0(?3,? 4,0)在直线 L上,但不满足平面方程,
所以 L与? 平行,但不重合,
81446:723:)2( zyxΠzyxL 和解,L的方向向量 s =( 3,?2,7 )
的法向量 n =( 6,?4,14 )
L 与? 垂直,
.3:4 31 23 2:)3( zyxΠzyxL 和解,L的方向向量 s =( 3,1,?4 )
的法向量 n =( 1,1,1 )
s? n = 3? 1 + 1? 1 + (?4)?1 = 0
又 L上的点 M0(2,?2,3)满足平面方程,
所以,L 与? 重 合,
1,点到直线的距离例 5,求点 p0(1,2,1)到直线
1
4
1
3
2
2, zyxl
的距离 d,
p0
s lp1
分析,过 p0 作 l 的垂线，
垂足为 p1,则 d=| p0 p1|
关键,求出 p1 的坐标方法,过点 p0作平面?与 l垂直，设 l与平面?的交点为 p1，则线段 p0 p1 与 l 垂直。 p1即为垂足。
四,点到 直线的距离及平面束方程解,(1) 直线 l 的方向向量 s = (2,1,1)
过 p0(1,2,1),以 s为法向量作平面?
,2(x–1) + (y–2) + (z–1) = 0
即,2x + y + z – 5 = 0
(2) 求 l 与? 的交点将直线 l 方程写出参数方程形式：
x = 2 + 2t
y = 3 + t
z = 4 + t
,代入平面?的方程：
2(2 + 2t) + (3 + t) + (4 + t) – 5 = 0
即 6t + 6 =0,t = –1,交点 p1(0,2,3)
520)1(|| 22210 ppd
s
l
p1
p0(1,2,1)
1 41 32 2, zyxl
2,平面束方程设直线 l,?1,A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)
2,A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)
其中 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例，即?1//?2
建立三元一次方程,
,(A1x+B1y+C1z+D1 )+?(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)
.)( 为任意实数?
l,
1,A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)
2,A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)
.)( 为任意实数?
,(A1x+B1y+C1z+D1 )
+?(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)
考查直线 l 与平面? 的关系：
(1) 直线 l 上的任何点 p(x,y,z)
满足方程 (1),(2)，也满足方程 (3)。
故：方程 (3)表示通过直线 l 的平面，且对于不同的?值，方程 (3)表示通过直线 l 的不同平面。
(2) 通过直线 l 的任何平面 (除?2以外 )都包含在方程 (3)的一族平面内。
这是因为：对于直线 l 外任意一点 p0(x0,y0,z0)
若不在?2,A2x+B2y+C2z+D2 = 0 上令：
2020202
1010101
0 DzCyBxA
DzCyBxAλ
l,
1,A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)
2,A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)
p0(x0,y0,z0)
过直线 l 与点 p0 的平面为,
02222
2020202
1010101
1111
)DzCyBx(A
DzCyBxA
DzCyBxA
)DzCyBx ( A
故：对于直线 l,方程 (3)包含了 (除?2外的 )过直线 l的全体平面。
.)( 为任意实数?
,(A1x+B1y+C1z+D1 )
+?(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)
定义：对于直线 l,通过 l 的平面的全体称为平面束。
对于直线 l,
1,A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)
2,A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)
方程 (A1x+B1y+C1z+D1 )+?(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)
称为 l 的 平面束方程 (表示缺少一个平面?2的平面束 )
例 6:一平面通过直线 l,x + y – z = 0x – y + z – 1 = 0 和点 p0(1,1,–1 )
建立它的方程,
解,过直线 l 的平面束方程为
(x + y – z ) +?(x – y + z – 1) = 0
点 p0(1,1,–1 )在平面上，代入方程，得
3 – 2? = 0,
2
3
所求平面为,(x + y – z ) + (x – y + z – 1) = 0
2
3
即,5x – y + z – 3 = 0
例 7,求直线 l,x + y? 1=0,y + z + 1=0,在平面?,2x + y + 2z = 0
上的投影直线方程,
解,设投影直线为 l'，则由 l与
l'决定的平面?'与平面?垂直。
过 l 的平面束方程为
，0)1()1( zyyx?
.02)1(2
,01)1( zyx即与平面?,2x + y + 2z = 0垂直的平面满足：
.1得 代入平面束方程，得
'
l
l'
'：,0)1(1 zyyx
.02 zx
故,投影直线 l':
x?z?2 = 0
2x+y +2z = 0
即
'
l
l'
,2x + y + 2z = 0
1.定义 2 称?与?的向量积
再与向量? 的数量积 为向量?,?,?
[ ]＝ ( )即的混合积,记作 [ ]
设有三个向量?,?,?,
则有设向量? = (ax,ay,az),? = (cx,cy,cz),? = (bx,by,bz),
2.混合积的坐标表示式
zy
zy
bb
aa
zx
zx
bb
aa
yx
yx
bb
aa
i j k,
)(
zy
zy
bb
aa
zx
zx
bb
aa
yx
yx
bb
aa
cx cy cz,
zyx
zyx
bbb
aaa?
i j k
)(,
ccc
bbb
aaa
zyx
zyx
zyx
混合积性质：
(1) [ ] = [ ]= [ ]
= – [ ]= – [ ] = – [ ]
事实上，
若?,?,? 在同一个平面上，
则 垂直于它们所在的平面，
故 垂直于?,即
( ) = 0
(2)?,?,? 共面 [ ]= 0
混合积 ( ) 的绝对值等于以?,?,? 为棱的平行六面体的体积 V 的数值。
h
平行六面体所以，
= |( ) |
3、混合积 ( ) 的几何意义
||ijph
V = S? h = || ||ijp
||S底面积高 h 为? 在上的投影的绝对值
a? b = |a|? Prjab
例 5:已知空间内不在一个平面上的四点
A (x 1,y 1,z 1),B ( x 2,y 2,z 2),
C (x 3,y 3,z 3),D (x 4,y 4,z 4)
求四面体 ABCD 的体积。
解,四面体 ABCD 的体积等于以 AB,AC 和 AD
为棱的平行六面体体积的六分之一，
.|][|61 ADACABV?
AB = (x2 – x1,y2 – y1,z2 – z1),
AC = (x3 – x1,y3 – y1,z3 – z1),
AD = (x4 – x1,y4 – y1,z4 – z1),
即所以，
V =
,
,,
,,
,,
6
1
141414
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。
§ 3 平面及其方程
(一 ) 平面的点法式方程
1,法向量,
若一非零向量 n垂直于一平面?,则称向量 n为平面? 的法向量,
注,1? 对平面?,法向量 n不唯一 ;
2? 平面? 的法向量 n与? 上任一向量垂直,
一、平面方程
2,平面的点法式方程设平面? 过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量 n=(A,B,C).
对于平面上任一点 M(x,y,z),
向量 M0M与 n垂直,
y
x
z
M0
M
n
O
n? M0 M = 0
而 M0 M =(x? x0,y? y0,z? z0),
得,
A(x? x0) +B( y? y0) +C( z? z0) = 0
称方程 (1) 为平面的 点法式方程,
(1)
例 1,求过点 (2,?3,0)且以 n = (1,?2,3)为法向量的平面的方程,
解,根据平面的点法式方程 (1),可得平面方程为,
1? (x? 2)? 2? (y + 3) + 3? (z? 0) = 0
即,x? 2y + 3z? 8 = 0
n
M3
M2
M1
解,先找出该平面的法向量 n.
由于 n与向量 M1M2,M1M3都垂直,
而 M1M2=(?3,4,?6) M1M3=(?2,3,?1)
可取 n = M1M2? M1M3
132
643
kji
= 14i + 9j? k
例 2,求过三点 M1(2,?1,4),M2(? 1,3,?2)和 M3(0,2,3) 的平面的方程,
所以,所求平面的方程为,
14(x? 2) + 9(y + 1)? (z? 4) = 0
即,14x + 9y? z? 15 = 0
M1M3M1M2,共面M1M，
,0)( 31211 MMMMMM
即
(二 ) 平面的三点式方程设平面? 过 不共线的三点
M2 ( x 2,y 2,z 2),M3 (x 3,y 3,z 3),
M1 (x 1,y 1,z 1),
对于平面上任一点 M (x,y,z),
.0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
平面的三点式方程,
(2)
设平面与 x,y,z 轴的交点依次为 P(a,0,0),
Q(0,b,0),R(0,0,c)三点
o y
P
x
z
Q
R
(三 ) 平面的截距式方程
.0
0
0?
ca
ba
zyax
则
a b ca b za c yb c x有得 1 czbyax
当 cba,,非零时
(3)
(四 )平面的一般方程
1、定理 1,任何 x,y,z的一次方程,Ax +By +Cz
+D = 0都表示平面,且此平面的一个法向量是,
n = (A,B,C )
证,A,B,C不能全为 0,不妨设 A? 0,则方程可以化为
0)0()0()( zCyBA DxA
它表示过定点,且法向量为 n = (A,B,C ) 的平面,
)0,0,(0 ADM?
注,一次方程,Ax + By + Cz + D = 0 (4)
称为平面的 一般方程,
例 3,已知平面过点 M0(?1,2,3),且平行于平面 2x?3y + 4z?1= 0,求其方程,
解,所求平面与已知平面有相同的法向量 n
=(2?3,4)
2(x +1)? 3(y?2) + 4(z? 3) = 0
即,2x? 3y + 4z?4 = 0
2,平面方程的几种特殊情形
(1) 过原点的平面方程由于 O (0,0,0)满足方程,所以 D = 0,
于是,过原点的平面方程为,
A x + B y + C z = 0
Ax +By +Cz +D = 0
(2) 平行于坐标轴的平面方程考虑平行于 x轴的平面 Ax + By + Cz + D = 0,
它的法向量 n =(A,B,C)与 x 轴上的单位向量
i =(1,0,0)垂直,所以
n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0
于是,
平行于 x 轴 的平面方程是 By + Cz + D = 0;
平行于 y 轴 的平面方程是 Ax + Cz + D = 0;
平行于 z 轴 的平面方程是 Ax + By + D = 0.
特别,D = 0时,平面过坐标轴,
(3) 平行于坐标面的平面方程平行于 xOy 面 的平面方程是 Cz + D = 0;
平行于 xOz 面 的平面方程是 By + D = 0;
平行于 yOz 面 的平面方程是 Ax + D = 0.
(即 z = k)
(即 y = k)
(即 x = k)
例 4,求通过 x 轴和点 (4,?3,?1)的平面方程,
解,由于平面过 x 轴,所以 A = D = 0.
设所求平面的方程是 By + Cz = 0
又点 (4,?3,?1)在平面上,所以
3B? C = 0
C =? 3B
所求平面方程为 By? 3Bz = 0
即,y? 3z = 0
1
n1n
2
2
若已知两平面方程是,
1,A1x + B1y + C1z + D1 = 0
法向量 n1 = (A1,B1,C1)
2,A2x + B2y + C2z + D2 = 0
法向量 n2 = (A2,B2,C2)
1.定义 1 两平面的法向量的夹角 (通常指锐角 )
称为 两平面的夹角,
二、两平面的夹角
,),(),(),(
212121
21
两者中的锐角和应是的夹角与平面
nnnnnn?
ΠΠ
),c o s ( 21
nn
||||
||
21
21
nn
nn
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||
CBACBA
CCBBAA
θcos
所以
1
n1n
2
2
平面?1与?2 相互平行
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
规定,若比例式中某个分母为 0,则相应的分子也为 0.
平面?1与?2 相互垂直 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
特别,
例 5:一平面通过两点 M1(1,1,1)和 M2(0,1,?1),且垂直于平面 x+y+z = 0,求它的方程,
解,设所求平面的一个法向量 n = ( A,B,C )
已知平面 x+ y+ z = 0的法向量 n1=( 1,1,1)
所以,n? M1M2 且 n? n1
而 M1M2 = (?1,0,?2)
于是,A? (?1) + B? 0 + C? (?2) = 0
A? 1 + B? 1 + C? 1 = 0
解得,B=C
A=?2C
取 C = 1,得平面的一个法向量
n = (?2,1,1)
所以,所求平面方程是
2? (x?1) + 1? (y?1) + 1? (z?1) = 0
即,2x? y? z = 0
M1(1,1,1),M2(0,1,?1)
设 P0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点,
求 P0到这平面的距离 d.
在平面上任取一点 P1(x1,y1,z1)
P0
P1
N
n
则 P1P0 =(x0? x1,y0? y1,z0? z1)
过 P0点作一法向量 n =(A,B,C)
于是,
01jPr PPd n? ||
01
n
n PP
222
101010 )()()(
CBA
zzCyyBxxA
三、点到平面的距离又 A(x0?x1)+B(y0?y1)+C(z0?z1)
= Ax0+By0+Cz0+D?(Ax1+By1+Cz1+D)
= Ax0+By0+Cz0+D
所以,得点 P0到平面 Ax+By+Cz+D=0的距离,
222
000
CBA
DCzByAxd
(5)
例 6:求点 A (1,2,1)到平面?:x + 2y +2z
10=0的距离
133
221
10122211
222
d
(一 )空间直线的一般方程已知平面?1,A1x + B1y + C1z + D1 = 0
2,A2x + B2y + C2z + D2 = 0
那末,交线 L上的任何点的坐标满足,
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
不在交线 L上的点不满足方程组 (1)
(1)
称方程组 (1)空间直线的一般方程,x
y
z
O
1?
2
L
§ 4 空间直线 及其方程一,空间直线的方程空间直线可看成是两个不平行平面 与 的交线?1?2
(二 ) 空间直线的对称式方程而 s 的坐标 m,n,p 称为直线 L的一组 方向数,
s L
1.定义 1 与空间直线 L平行的向量 s = (m,n,p),
称为该直线的 方向向量,
2,直线的对称式方程已知直线 L过 M0(x0,y0,z0)点方向向量 s =(m,n,p)
在 L上任取一点 M(x,y,z),有 M0 M//s.
而 M0 M=(x?x0,y?y0,z?z0)
所以得比例式
p
zz
n
yy
m
xx 000
(2)
称为空间直线的 对称式方程或点向式方程,
s
M0
L
M
tp zzn yym xx 000 令得,x = x0 + m t
y = y0 + n t
z = z0 + p t
称为空间直线的 参数方程,
(3)
(三 ) 空间直线的参数式方程例 1,写出直线 x + y + z +1 = 02x? y + 3z + 4 = 0 的对称式方程,
解,(1) 先找出直线上的一点 M0(x0,y0,z0)
令 z0 = 0,代入方程组,得
x + y +1 = 0
2x? y + 4 = 0
解得,
3
2,
3
5
00 yx
)0,32,35(0?M所以,点 在直线上,
(2) 再找直线的 方向向量 s,
由于平面?1,x + y + z +1 = 0的法线向量 n1=(1,1,1)
平面?2,2x? y+3z+4 = 0的法线向量 n2=(2,?1,3)
所以,可取
312
111
kji
= 4i? j? 3k
于是,得直线的对称式方程,
31
3
2
4
3
5
z
yx
21 nns
例 2,求通过点 A(2,?3,4)与 B(4,?1,3)的直线方程,
所以,直线的对称式方程为
1
4
2
3
2
2
zyx
解,直线的方向向量可取 AB = (2,2,?1)
s1
s2?
已知直线 L1,L2的方程
,:
1
1
1
1
1
1
1 p
zz
n
yy
m
xxLs
1 =(m1,n1,p1)
,:
2
2
2
2
2
2
2 p
zz
n
yy
m
xxLs
2 =(m2,n2,p2)
定义 2 两直线的方向向量间的夹角称为两直线的夹角,常指 锐角,
二,两直线的夹角
1,L1与 L2的夹角? 的余弦为,
cos |)c o s (|
21
,ss
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
21 ||
||||
||
pnmpnm
ppnnmm
ss
ss
2,L1垂直于 L2 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0
3,L1平行于 L2,
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
.12 22:1 341 1,21 的夹角和求直线 zyxLzyxL
解,直线 L1,L2的方向向量 s1=(1,? 4,1 )
s2=(2,? 2,? 1)
有,|||| ||
21
21
ss
ss
2
2
)1()2(21)4(1
|)1(1)2()4(21|
222222
4
所以,
cos |),c o s (| 21 ss
例 3:
当直线与平面垂直时,规定夹角,2
已知,直线的方向向量 s =( m,n,p )
平面的法向量 n =( A,B,C )
那末,
2)( ns,
L?
Ln s
称为 L与平面? 的夹角,
定义 3 直线 L与它在平面?
)20(上投影直线 L?的夹角?,
三,直线与平面的夹角
(1) L与? 的夹角? 的正弦为,
sin? |),c o s (| sn
222222
||
pnmCBA
CpBnAm
P
C
n
B
m
A,即即,Am + Bn + Cp = 0
|n||s|
s||n
(2) L与? 垂直 s // n
(3) L与? 平行 s与 n垂直例 4,判定下列各组直线与平面的关系,
.3224:37 42 3:)1( zyxΠzyxL 和解,L的方向向量 s =(?2,?7,3)
的法向量 n =(4,?2,?2)
s? n = (?2)? 4 + (?7)? (?2) + 3? (?2) = 0
又 M0(?3,? 4,0)在直线 L上,但不满足平面方程,
所以 L与? 平行,但不重合,
81446:723:)2( zyxΠzyxL 和解,L的方向向量 s =( 3,?2,7 )
的法向量 n =( 6,?4,14 )
L 与? 垂直,
.3:4 31 23 2:)3( zyxΠzyxL 和解,L的方向向量 s =( 3,1,?4 )
的法向量 n =( 1,1,1 )
s? n = 3? 1 + 1? 1 + (?4)?1 = 0
又 L上的点 M0(2,?2,3)满足平面方程,
所以,L 与? 重 合,
1,点到直线的距离例 5,求点 p0(1,2,1)到直线
1
4
1
3
2
2, zyxl
的距离 d,
p0
s lp1
分析,过 p0 作 l 的垂线，
垂足为 p1,则 d=| p0 p1|
关键,求出 p1 的坐标方法,过点 p0作平面?与 l垂直，设 l与平面?的交点为 p1，则线段 p0 p1 与 l 垂直。 p1即为垂足。
四,点到 直线的距离及平面束方程解,(1) 直线 l 的方向向量 s = (2,1,1)
过 p0(1,2,1),以 s为法向量作平面?
,2(x–1) + (y–2) + (z–1) = 0
即,2x + y + z – 5 = 0
(2) 求 l 与? 的交点将直线 l 方程写出参数方程形式：
x = 2 + 2t
y = 3 + t
z = 4 + t
,代入平面?的方程：
2(2 + 2t) + (3 + t) + (4 + t) – 5 = 0
即 6t + 6 =0,t = –1,交点 p1(0,2,3)
520)1(|| 22210 ppd
s
l
p1
p0(1,2,1)
1 41 32 2, zyxl
2,平面束方程设直线 l,?1,A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)
2,A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)
其中 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例，即?1//?2
建立三元一次方程,
,(A1x+B1y+C1z+D1 )+?(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)
.)( 为任意实数?
l,
1,A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)
2,A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)
.)( 为任意实数?
,(A1x+B1y+C1z+D1 )
+?(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)
考查直线 l 与平面? 的关系：
(1) 直线 l 上的任何点 p(x,y,z)
满足方程 (1),(2)，也满足方程 (3)。
故：方程 (3)表示通过直线 l 的平面，且对于不同的?值，方程 (3)表示通过直线 l 的不同平面。
(2) 通过直线 l 的任何平面 (除?2以外 )都包含在方程 (3)的一族平面内。
这是因为：对于直线 l 外任意一点 p0(x0,y0,z0)
若不在?2,A2x+B2y+C2z+D2 = 0 上令：
2020202
1010101
0 DzCyBxA
DzCyBxAλ
l,
1,A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)
2,A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)
p0(x0,y0,z0)
过直线 l 与点 p0 的平面为,
02222
2020202
1010101
1111
)DzCyBx(A
DzCyBxA
DzCyBxA
)DzCyBx ( A
故：对于直线 l,方程 (3)包含了 (除?2外的 )过直线 l的全体平面。
.)( 为任意实数?
,(A1x+B1y+C1z+D1 )
+?(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)
定义：对于直线 l,通过 l 的平面的全体称为平面束。
对于直线 l,
1,A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)
2,A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)
方程 (A1x+B1y+C1z+D1 )+?(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)
称为 l 的 平面束方程 (表示缺少一个平面?2的平面束 )
例 6:一平面通过直线 l,x + y – z = 0x – y + z – 1 = 0 和点 p0(1,1,–1 )
建立它的方程,
解,过直线 l 的平面束方程为
(x + y – z ) +?(x – y + z – 1) = 0
点 p0(1,1,–1 )在平面上，代入方程，得
3 – 2? = 0,
2
3
所求平面为,(x + y – z ) + (x – y + z – 1) = 0
2
3
即,5x – y + z – 3 = 0
例 7,求直线 l,x + y? 1=0,y + z + 1=0,在平面?,2x + y + 2z = 0
上的投影直线方程,
解,设投影直线为 l'，则由 l与
l'决定的平面?'与平面?垂直。
过 l 的平面束方程为
，0)1()1( zyyx?
.02)1(2
,01)1( zyx即与平面?,2x + y + 2z = 0垂直的平面满足：
.1得 代入平面束方程，得
'
l
l'
'：,0)1(1 zyyx
.02 zx
故,投影直线 l':
x?z?2 = 0
2x+y +2z = 0
即
'
l
l'
,2x + y + 2z = 0
