例 1.变速直线运动的速度物体作匀速直线运动时,有
，时间路程速度＝
T
SV?即这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作 V,由于匀速运动物
.VV?体的速度是不变的，因此
§ 4－ 1 导数的概念一、导数概念的引入由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的，
因此，用这个公式算出的平均速度 V不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求 V(t0)?
设一物体作变速直线运动，在 [0,t]这段时间内所走路程为 S = S(t),下求 V(t0) 如图
S
S(t0) S(t0+?t)
0
设物体在 t0 时，所走路程为 S(t0)，在 t0+?t
时所走路程为 S(t0+?t)，从而，物体在 [t0,t0+?t]
这段时间内所走路程为
S = S (t0+?t)? S (t0)
物体在 [t0,t0+?t] 这段时间内的平均速度为
t
SV
.)( 0 tSVtV
t越小，近似值
t
S
就越接近精确值 V(t0).
当?t无限变小时，近似值
t
S
就会无限接近也就是
t
StV
t?
00
lim)(
精确值 V(t0).
t
tSttS
t?
)()(lim 00
0
例 2.曲线的切线斜率圆的切线可定义为“与曲线 (圆 )只有一个交点的直线”，但对一般曲线而言,这一定义是不合适的,如 y=x2,x 轴和 y 轴与曲线都只有一个交点，以哪条直线作为切线呢？ 如图
y=x2
0 x
y
又如,y = x3,如图 又比如,y=sinx,如图
.s i n1
2
s i n1
有无穷多交点与曲线切线，但处的在作为从直观上看，应以
xyy
xyy
0 x
y=x3y
0 x
y y=sinx
1
–1
2?
切线的一般定义：如图设有曲线 C及 C上一点 M，
在 M点外任取 C上一点 N，
作割线 MN,当点 N沿曲线 C趋向点 M时，如果割线 MN趋向于它的极限位置 MT,则称直线 MT为曲线 C在点 M处的切线,
T
M
x
y
0
N
C
N
下面讨论曲线 C,y = f (x),在点 M(x0,y0)处的切线斜率问题,
设 N的坐标为
(x0+?x,y0+?y),割线 MN的倾角为?,
切线 MT的倾角为
,如图?
T
y=f (x)
M
x
x0 x0+?x x
y
0
N
C
y0+?y
y0 P
割线 MN 的斜率
tg?k
当?x?0 时,N 沿 C 趋于 M,MN? MT.
从而,因此,tgtg?.
T
y=f (x)
M
x
x0 x0+?x x
y
0
N
C
y0+?y
y0
x
xfxxf
)()( 00
MP
NP?
x
y
P
T
y=f (x)
M
x
x0 x0+?x x
y
0
N
C
y0+?y
y0
所以切线 MT的斜率：
tg?k
x
xfxxf
x?
)()(l i m 00
0
x
y
x?
0
lim
tgl im 0 x P
定义,设 y=f (x)在 x0 的某邻域 U(x0)内有定义,
如果当?x?0时，
x
xfxxfxf
x?
)()(lim)( 00
00
x
xfxxf
x
y
)()( 00
的极限存在,则称这个极限值为 f (x)在 x0
处的导数，记作 f ' (x0),即
.d )(ddd,000 xxxxxx x xfxyy 或也可记为二、导数的定义
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0
存在，则称
f (x)在 x0可导 (或称 f (x)在 x0 的导数存在 ),
否则，称 f (x)在 x0不可导 (或称 f (x)在 x0
的导数不存在 ),特别
，不可导若 )( )()(lim 000 x xfxxfx
,)( 0 为无穷大的导数在也称 xxf
注 1.若;)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
若记 x=x0+?x,当?x?0时,x? x0,;)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx?
特别，取 x0 = 0,且若 f (0) = 0,有
.)(lim)0(
0 x
xff
x?
注 2.导数定义还有其他等价形式,
注 3.对于例 1,有
0d
d)()(
00 ttt
StStV
对于例 2,曲线 y = f (x)在点 M(x0,f (x0)
处切线斜率
.dd)( 00 xxxyxfk
注 4.由于 x xfxxfxf
x?
)()(lim)( 00
00
,)()(lim)( 00
00 x
xfxxfxf
x?
记 称为
f (x)在 x0的右导数,
,)()(lim)( 00
00 x
xfxxfxf
x?
记 称为
f (x)在 x0的左导数,
有,f (x) 在 x0可导? f (x)在 x0的左,右导数存在且相等,
注 5.若 y = f (x)在 (a,b)内每点可导，则称 f (x)在
(a,b)内可导,
此时,?x?(a,b)都有唯一确定的值 f '(x)与之对应，所以导数是 x的函数,称为 y=f (x)的导函数,
.d )(d,dd,' ),( x xfxyyxf?记作按定义,).,()()(lim)(
0 baxx
xfxxfxf
x
,
f ' (x)就是 x所对应的导数值，这个式子就是导函数的表达式,
而 f '(x0)就是 f '(x)在 x= x0处的函数值，即
0
)()()(lim)( 00
00 xxx
xfx xfxxfxf?
另外，求 是不变的，时,xx xfxxf
x?
)()(lim
0
.x?看作常量，变的是注 6.
.],[)(
)()(,),()(
上可导在则称存在，和且内可导在若
baxf
bfafbaxfy
用定义求导数一般可分三步进行,
设 y = f (x)在点 x处可导
(1) 求?y=f (x+?x)?f (x)
(2) 求比值 x xfxxfxy )()(
(3) 求极限 ).()()(limlim
00 xfx
xfxxf
x
y
xx
三、求导举例例 3.求 y = C (常数 )的导数,
解,(1)?y = f (x+?x)?f (x) = C?C = 0
(2)
0xy
(3),0lim
0
x
y
x
故 (C )' = 0,即常数的导数为 0.
例 4.设 y = f (x) = xn,n为正整数，求 f '(x),
解,(1)?y = f (x+?x)?f (x)
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
xxC
xxCxxCxxCx
)(
)()( 33322211
nn
n
n
n
n
n
n
n
xC
xxCxxCxxC
)(
)()( 33322211
= (x+?x)n? xn
(2)
1
2332211
)(
)()(
nn
n
n
n
n
n
n
n
xC
xxCxxCxC
x
y
(3)
.lim)( 111
0
nnn
x
nxxCxyxf
即 (xn)'= nx n?1
比如,(x)'=1,(x2)'=2x,(x3)'=3x2,?
一般，对幂函数 y=x?,?为实数有 (x?)' =? x1
比如
,1)1( 2xx,2)(
32 xx?,3)( 43 xx
,
2
1
2
1)( 21
x
xx
,
3
1)( 3231 xx
例 5.求 y = sinx的导数,
解,(1)?y = sin (x+?x)?sinx
(2)
x
x
xx
x
y
2s in)
2
c o s (2
(3)
2
2
s in
)
2
c o s (lim
0 x
x
x
xy
x
2s in2
2c o s2 xxx
xx c o s1c o s
即 (sinx)' = cosx
类似 (cosx)' =?sinx
例 6.求 y = ax的导数，其中 a>0,a?1.
解,)1( xxxxx aaaay
从而 xaay xx
x?
1lim
0
x
axa
x
x
lnlim
0
xa
ax
x
x
1el i m ln
0
.ln aa x?
即 (ax)' = axlna
特别，取 a = e,则 (ex)'= ex
例 7.求 y=logax 的导数，其中 a>0,a?1,x>0,并求 y|x=1.
解：
x
yy
x?
0
lim x xxx aa
x?
lo g)(lo glim
0
x
x
x
a
x?
)1(log
lim
0 ax
x
x
x ln
1)1ln (
lim
0
x
x
x
a x?
0
lim
ln
1
ax ln
1?
即
ax
xa
ln
1)( lo g
特别，取 a = e,则
x
x 1)( ln
从而,
ln
1
ln
1
11 aaxy xx
由例 2知,函数 y=f (x)在 x0处的导数 f '(x0)就是曲线 y = f (x)在点 M(x0,f (x0)处切线的斜率，
即 k = f '(x0).
))(()( 000 xxxfxfy
法线方程为
).0)(( ),()(1)( 00
0
0 xfxxxfxfy
一般,若 f '(x0)存在,则 y=f (x)在点 M(x0,f (x0)
处切线方程为四、导数的几何意义特别,(i)当 f '(x0)=0时，即 k = 0,从而切线平行于
x轴,因此，法线垂直于 x轴,如图切线方程,y = f (x0).
法线方程,x = x0.
y=f (x)
0 x
y
M
f (x0)
x0
(2) 当 f '(x0)=?(不存在 ),即 k = tg? =?,故
2
从而切线垂直于 x轴，而法线平行于 x轴,
切线方程,x = x0,
法线方程,y = f (x0).
如图,单位圆在 (1,0)处切线方程,x = 1.
法线方程,y = 0.
0 x
y
1–1
又如图由于在原点 (0,0)处,
x
y
0
32xy?
x
fxff
x
)0()(l i m)0(
0
x
xf
x
)(li
0?
x
x
x
3
2
0
l im (不存在 )
从而切线方程,x=0,法线方程,y = 0.
例 8.求过点 (2,0)且与曲线 y=ex相切的直线方程,
解,由于点 (2,0)不在曲线 y=ex上，故不能直接用公式 y? f (x0) = f '(x0)(x? x0).
由于 (ex)'=ex,处切线方程为故点 ),( 00 xex
).( 000 xxeey xx
因切线过点 (2,0),代入,得 )2( 000 xee xx
得 x0 = 3,所求切线为 y? e3 = e3(x?3)
定理,若 y=f (x)在 x0可导，则 y=f (x)在 x0必连续,
证,因 f (x)在 x0可导，即,)(lim
00 存在xfx
y
x
五、可导与连续的关系由极限与无穷小量的关系，有
).0(0.)( 0 时当，其中 xxfxy
或,)(
0 xxxfy
故,0] )([limlim
000 xxxfy xx?
定理的逆命题不成立，即,若 y=f (x)在 x0连续，
y=f (x)在 x0不一定可导,
.0032 不可导连续，但在在如 xxxy
例,讨论 f (x)=| x |在 x=0 处的可导性和连续性,
解,由于 )0(0||lim)(lim
00 fxxf xx
故 | x |在 x=0连续,
但 |x|在 x=0不可导,因 f (x)=|x|=
x,x≥0
x,x<0
)0(f
x
fxf
x?
)0()0(lim
0 x
xf
x?
)(lim
0
x
x
x?
0lim
=1
)0(f而
x
fxf
x?
)0()0(lim
0 x
xf
x?
)(lim
0
x
x
x?
0lim
=?1
由于 左、右导数不相等,故 |x|在 x=0不可导,
如图一般,函数在尖点 (角点 )处不可导,
x
y
0
y = |x|
x
y
0
32xy?
定理 1,设函数 u=u(x),v=v(x)在点 x处可导，则
)0)(()( )( ),()( ),()( xvxv xuxvxuxvxu
均在 x处可导,
且,)()(])()([ )1( xvxuxvxu
)()()()(])()([ )2( xvxuxvxuxvxu
)(
)()()()()
)(
)( ( )3(
2 xv
xvxuxvxu
xv
xu
§ 4 – 2 求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则证,(1) 记 y=u (x)± v(x)
从而,
)]()([)]()([ xvxuxxvxxuy
)]()([)]()([ xvxxvxuxxu
vu
从而 xvxuxy
xxx?
000
l i ml i ml i m
)()(])()([ xvxuxvxu即
)()( xvxu
(2) 要证 )()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu
记,)()( xvxuy? ),()( xuxxuu
,)()( xvxxvv
)]) ] [[ uvvvuu
)()()]()([ xvxuxxvxxuy有
vuuvvu
故 v
x
u
x
vu
x
uv
x
y
因 u,v可导,从而连续,故当?x?0时,?V?0.
)(limlimlimlim
0000
vxuxvuxuvxy
xxxx
故
)()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu即
vuvu
2)( )3( v
vuvu
v
u
证略定理中的 (1),(2)都可推广到有限多个的情形,
如,(u+v+w) = u?+v?+w?
(uvw)? = u?vw+uv?w+uvw?
推论,若 f (x)在 x处可导,c为常数，则 cf (x)
在 x 处可导，且
)())(( xfcxcf
例 1.求 y = x2+5sinx的导数解,)s in5( 2 xxy
)s in5()( 2 xx
xx c o s52
例 2,求 y = ax cos x的导数解,)c o s( xay x
)( c o sc o s)( xaxa xx
xaxaa xx s i nco sln
例 3.求
xy 1
1 的导数解：
)
1
1(?
x
y
2)1(
)1()1()1(
x
xx
2)1(
2
1
x
x
2)1(2
1
xx?
)(
)()
)(
1(
2 xf
xf
xf
一般,其中 f (x)可导,f (x)? 0
例 4,求 y = tgx的导数解,)tg( xy
)c o ss in( xx
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s i n
x
xx
2
22
co s
s inco s
x2c o s
1? x2s ec?
xx 2s e c)tg(故类似 xx 2c s c)c t g(
例 5,求 y = secx 的导数解,)( s e c xy
)c o s1( x
x
x
2c o s
)( c o s
x
x
2c o s
s in?
xx tgs e c
即类似
xxx tgs e c)( s e c
xxx c t gc s c)( c s c
比较公式
xxxx s i n)( c o s,c o s)( s i n
xxxx 22 c s c)c t g(,s e c)tg(
xxxxxx c tgc s c)c s c(,tgs e c)s e c(
我们知道,xx c o s)( s in xx 2c o s)2( s i n,问？
)c o ss i n2()2( s i n xxx
)s i n( c o s2 22 xx
x2c o s2?
x2c os?
这是因为 sin2x是复合函数，不能直接用前面的公式求导数定理 2.若 u=?(x)在 x处可导，而 y=f(u)在对应点
u=?(x)处可导，则复函数 y=f [?(x)]在 x
处可导，且
x
u
u
y
x
y
d
d
d
d
d
d
证,记 从而),()( xxxu
)()( ufuufy
)]([)]([ xfxxf
二、复合函数的求导法则由于 y=f (u)在点 u可导，从而
u
y
u
y
u d
dlim
0
存在故
uyuy dd 0lim 0u其中
0 u且 )
d
d ( 无定义否则
u
y
u
y?
)0( dd uuuuyy?从而从而当?u=0时，有
y=f (u+?u)?f (u)=0，上式右端也为 0.
规定：当?u=0时,?=0，
总有从而
uuuyydd
)0( dd xxuxuuyxy?
)(l i mdddddd,0
0 x
u
x
u
u
y
x
yx
x?
得令
x
u
u
y
d
d
d
d
x?0时,?u?0(可导必连续 )，而当?u?0时
0.
0ddlimlim
00
x
u
x
u
xx
故公式也可写成
)()())]([ ( xufxf xux
公式还可推广到多次复合的情形,
如 y = f (u),u =? (v),v = g(x),则
x
v
v
u
u
y
x
y
d
d
d
d
d
d
d
d
例 6.求 y = sin2x的导数解,y = sin2x是由 y = sinu,u = 2x复合而成按公式
xuxuuyy 2c os22c osdddd
例 7.求 y = (3x2+1)100的导数解,y = u100,而 u = 3x2+1
由公式
x
u
u
yy
d
d
d
d
xu 6 1 00 99
992 )13(6 0 0 xx
例 8,yxayxy 求 )2(,sin )1( 222
解,xuu y s i n )1( 2 而
x
u
u
yy
d
d
d
d故 xu c o s2 xx c o ss in2?
22 )2( xauuy 而
x
u
u
yy
d
d
d
d故
)2(
2
1 x
u
22 xa
x
例 9,xeyxyxy )3( s i nln )2(,tg )1( 2
2ct g )4(
xy?
解,)tg( )1( 2 xy )(s ec
222 xx xx 2s e c 22
22s e c2 xx?
)s i n ( ln )2( xy
)( s ins in1 xx xxx c t gs inc o s
的导数,
)( )3( xey )( xe x xe
)2ct g( )4( xy
)
2
ct g(
2
ct g2
1
x
x
)
2
()
2
cs c(
2
ct g2
1 2
xx
x
)
2
1
(
2
c t g2
2
c s c
2
x
x
2
cs c
24
1 2 xxtg
例 10.求 y = x?,(x>0,?实数 )的导数解,y = e? lnx
)( ln xey? )ln(ln xe x
xx
1
1x
例 11.求 y = sinnx?sinnx的导数,n为常数,
解,)s i n( s i n xnxy n
)( s i ns i ns i n)( s i n xnxxnx nn
)( s i ns i ns i n)(c o ss i n 1 xxnnxnxnxx nn
xxnxnnxxn nn c o ss i ns i nc o ss i n 1
)c o ss i nc o s( s i ns i n 1 xnxnxxxn n
xnxn n )1s i n ( s i n 1
定理 3.若 x=?(y)在某区间 Iy内严格单调,可导,(y)
≠0,则它的反函数 y=f (x)在对应区间 Ix内也可导,且
)(
1)(
yxf
证,由于 x=?(y)在 Iy内严格单调、连续,从而它的反函数 y=f (x)存在,并在 Ix内有相同的单调性,
同时,y=f (x)在 Ix内连续,
)(
1)(
yxf
即
y
xx
y
y
x
0
0
lim
1
lim
下证三、反函数求导法则
x∈ Ix,给改变量?x?0,相应的函数 y=f (x)有改变量
0)()( xfxxfy
由于 x =?(y)和 y = f (x)互为反函数，
)()( yxxfy故
)()(,yyxxxxfyy由从而即,)()( yyyx
即?x也就是函数 x=?(y)的改变量,
y
xx
y
1
有因 y=f (x)连续，故当?x?0时,?y?0,且(y)? 0
x
yxy
x?
0
lim)( 故
y
x
y?
0
lim
1
)(
1
y
y
xx
y
d
d
1
d
d
或例 11.证明
)11(
1
1)s i n ar c(
2
x
x
x
证,y=arc sinx是 x=siny的反函数,x=siny在
)2,2(
内单调，可导，且 (siny)?=cosy? 0,)
2,2(
y
所以在对应区间 (?1,1)内，有
)( s i n
1)( ar cs i n
yx co s
1?
y2s in1
1
21
1
x?
)11(
1
1)( ar cc o s
2
x
x
x类似例 12.证明
21
1) t ga r c(
xx
证,y=arc tgx是 x=tg y在
)2,2(
上的反函数
x=tg y在
)2,2(
内单调，可导，且
.0s e c)tg( 2 yy
)tg(
1) t g( ar c
yx从而 y2s ec
1?
y2tg1
1
21
1
x
21
1)arcct g(
xx类似例 13.设
yaxaaaxy 求,0,a r c c o s22
解：
)c o s a r c()( 22 xaaaxy
)(
)(1
1
)2(
2
1
2
2
22 x
a
x
a
ax
ax
222
2
22
1||
xax
xa
ax
x?
=
,
22
22
axx
ax
,
22
22
axx
ax
当 x > 0且 | x | > a时当 x < 0且 | x | > a 时
=
ax
x
ax,22
ax
axx
ax
,
22
22
P106 ~ P107
四、导数公式表说明,公式 12
xx
1)||( ln
(1) 当 x > 0时，
xxx
1)( l n)||( l n
(2) 当 x < 0时,0|| xx
))( ln()||( ln xx
xxx
1)(1
综合 (1),(2)有 )0( 1)||( l n xxx
公式 17
因为
xx ch)sh(
)2()sh(
xx ee
x ])()[(21 xx ee
)]1()([21 xx ee
类似得公式 18
xee
xx
ch2
例 14.
,)1l n (a r ch
),1l n (a r s h
2
2
的导数求
xxxy
xxxy
)1l n ( 2xxy
12
21
1
1
22 x
x
xx
,
1
1
2?
x
.
1
1)ar s h(
2?
x
x即
.
1
1)ar ch(,
2?
x
x同理解,
例 15.设 sinx,x? 0
ex?1,0 < x? ln3
2x2,ln3 < x
求 f (x) 的导数,并指出 f (x)的不可导点,
解,当 x < 0时,f ' (x) = (sinx)' = cosx.
当 0 < x < ln3时,f ' (x) = (ex?1)' = ex,
当 ln3 < x时,f ' (x) = (2x2)' = 4x,
f (x) =
考虑分段点 x = 0,ln3处的导数,
x
fxff
x?
)0()0(lim)0(
0 x
fxf
x?
)0()(l i m
0
x
x
x?
s inlim
0
= 1 (当 x? 0时,f (x) = sinx)
x
fxff
x?
)0()0(lim)0(
0 x
e x
x?
1lim
0
= 1 (当 0 < x? ln3时,f (x) = ex?1)
由于 f '?(0) = f '+(0) = 1,故 f '(0) = 1.
由于当 0<x? ln3时,f (x) = ex?1,当 ln3< x时,
f (x) = 2x2,故 f (ln3) = eln3?1 = 2,从而
x
fxff
x?
)3( l n)3( l nlim)3( l n
0
x
x
x?
2)3( l n2lim 2
0
所以 f (x) = ln3 处不可导,
综合,f ' (x) =
cosx,x<0
1,x=0
ex,0 < x < ln3
4x,ln3 < x
不存在,x = ln3.
或由
,)3( l n22lim)(lim 22
)3( l n)3( l n
xxf
xx
,2)1(lim)(lim
)3( l n)3( l n
x
xx
exf
知 f (x) 在 x = ln3 处不连续,故必不可导,
例 16.求常数 a,b的值,使
x2 + 2x + 3,x? 0
ax + b,x > 0 在 (,+?)内可导,
解,由于可导必连续,故要使 f (x) 可导,必先使
f (x)连续,由于 f (0) = 3
.3)3(lim)0()(lim)0(
00
axxax fxff
xx
.22)(lim)0()(lim)0(
2
00
x
xx
x
fxff
xx
故 a = 2,b = 3时,f (x)在 (,+?)可导,
,3)(lim 0 xfx,)(lim 0 bxfx
得 b = 3.
f (x) =
以前所接触到的函数通常是 y=f (x)的形式,
即左边是 y,而右边是一个不含 y的表达式,
如 xeyxxy x tg,s i nln 1
我们称为显函数根据函数的概念，一个函数也可以不以显函数的形式出现,
五、隐函数求导法则比如，给二元方程
y 3 + 2 x 2?1 = 0
任给一个 x,都可根据上面的方程，解出唯一的一个 y来,即，任给一个 x都有唯一的一个 y与之对应，因此,y是 x的函数,称 y为由方程
y3+2x2?1=0所确定的隐函数,
定义,设有二元方程 F(x,y)=0,如果对任意的
x?Ix,存在唯一的 y满足方程 F(x,y)=0,
则称方程 F(x,y)=0在 Ix上确定了一个隐函数 y = y(x).
有些隐函数很容易表成显函数的形式,
如，由 y3+2x2?1=0,解得,213 2xy
把一个隐函数化为显函数的形式，称为隐函数的显化,
有些隐函数不一定能显化或者很难显化,
如 y?x siny=0 (0<? <1),e y = xy
下面介绍不必显化，就能直接求出隐函数导数的方法,
例 17.求 e y+xy2?e=0所确定的隐函数 y=y(x)的导数 y'.
解,(1)方程两边同对 x求导,注意到 y是 x的函数,
ey,y2都是 x的复合函数,
e y?y' + y2 + 2xy?y' = 0
(2) 解出 y',(ey+2xy )y' =?y2
故
.
2e
2
xy
yy
y?
例 18.求由 y5 +2y –x –3x7 = 0所定隐函数 y = y(x)
在 x = 0的导数 y?(0).
解,(1)两边同时对 x求导,注意到 y是 x的函数,
y5 是 x的复合函数,
从而 5y4 · y?+ 2y? –1–21x6 = 0
(2) 解出 y?,
25
121
4
6
y
xy
(3) 注意到在原方程中,当 x=0时,y=0,代入得
2
1)0(y
例 19.,)323,2(1916 22 处切线方程在点求 yx
解,,
2332 yxyk切线斜率
(1) 方程两边同对 x求导,注意 y是 x的函数,
0928 yyx
(2)
y
xy
16
9
(3) 当 x=2,时,323?y 3
2
3
2
16
9
233
2
y
xy
4
3
(4) 切线方程
)2(4 3323 xy
或
03843 yx
设参数方程
),(tx
),(ty
),(t
确定了平面上一条曲线，从而也就确定了
y是 x的函数 (当?是一一对应时 )
六、参数方程求导法则设,)(),,( ),( ),( 单调若 txxty tx
x=?(t),y=?(t)可导,(t)?0,则,)( )(dd ttxy
事实上,因 x=?(t)单调,可导,且(t)?0,从而存在反函数 t =?–1(x),可导,且有,
)(
1))(( 1
tx
另外,因 t =?–1(x),故 y=?(t) =?(?–1(x))是 x的复合函数,
从而,.)( )())(()(dd 1 ttxtxy
例 20.求由摆线的参数方程
)co s1(
)sin(
ay
ax
所确定的函数 y = y(x)的导数 ).0(dd?axy
解,))s i n(( ))c o s1((ddaaxy
c o s1
sin
例 21.求星形线 ).0(4s i nc o s 3
3
a
ay
ax 处的切线方程在
解,,4 2,4 22 2,4
3
ayaax
时当
4
d
d
xyk切线斜率故
)c o s(
)s i n(
d
d
3
3
a
a
x
y
)s i n(c o s3
c o ss i n3
2
2
tg
.14tgk故
)4 2(4 2 axay切线方程
.02 2 ayx或有时常要求幂指函数或带连乘积的函数的导数,
)100)(99()2)(1(,1s i n xxxxyxy x?如这时可两端取对数,再利用隐函数的求导思想和方法来求导,称为取对数求导法,
七、取对数求导法例 22.,10,1si n xxy x 其中的导数求解,求幂指函数的导数,通常可用对数求导法,
两边取对数,注意到 y > 0,x > 0
xxy ln1s i nln
两边对 x求导,注意到 y是 x的函数,从而 lny
是 x的复合对数,
x
x
xxxyy
1s i n
12
11c o s)( l n1
从而
x
xx
x
xyy
12
1co sln1s i n
x
xx
x
xx x
12
1co sln1s i n1si n
解 (二 ),xxy 1s in? xxe ln1s in
x
xx
x
xey xx
12
1c osln1s in ln1s i n
x
xx
x
xx x
12
1co sln1s i n1si n
由于对 y=f (x)两端取对数时要求 y >0,
这限制了对数求导法的应用范围,应想办法去掉这种限制,
两边取绝对值,再取对数,
|)(|ln|)(|ln|)()(|ln||ln xgxfxgxfy
设 y = f (x)g(x),其中 f (x),g(x)均非 0且在点 x处可导。
(i) 当 y > 0时,yyyy xx 1)( l n)||( l n
(ii) 当 y < 0时,
yyyyyy xx 1)(1))( l n ()||( l n
yyyy x 1)||( l n,0,有时当即同理,当 f (x),g(x)不等于 0时,
)()(1)|)(|( l n ),()(1)|)(|( l n xgxgxgxfxfxf
.|)(|ln|)(|ln||ln 两边求导从而对 xgxfy
得 )()(1)()(11 xgxgxfxfyy
即?
)(
)(
1)(
)(
1 xg
xgxfxfyy
注意,对数求导法只能求使 y?0的 x处的导数,
若要求使 y=0的 x处的导数,则须另想办法,
例 23.,)100()2)(1( 1002 的导数求 xxxy?
解,可用对数求导法求导数,
|)1 0 0()2)(1(|ln21ln 1002 xxxy?
|100|ln|2|ln|1|ln21 1 0 02 xxx?
两边对 x求导,y是 x的函数,
100
100
2
2
1
1
2
11
1 0 0
99
2 x
x
x
x
xyy?
故
1 0 0
1 0 0
2
2
1
1
2
1
100
99
2 x
x
x
x
xyy?
例 20.
).0(,
,
)()2)(1(
)()2)(1(
)(
f
n
nxxx
nxxxx
xfy
求自然数为其中设
解,由于 f (0) = 0,不能用对数求导法,
)0(f? x fxf
x
)0()(l i m
0
xnxxx
nxxxx
x
1
)()2)(1(
)()2)(1(l i m
0?
)()2)(1(
)()2)(1(l i m
0 nxxx
nxxx
x
nn
n
n )1(
!
!)1(
