一、罗尔中值定理引理 (费马 ):设 y =f (x)在开区间 (a,b)内有定义,
在 x0?(a,b)处取得最大值 (最小值 ),
且 f (x)在 x0处可导,则 f '(x0) = 0.
证,因 f (x)在 x0处可导,
.),()()(l i m 0000 存在故 xfx xfxxfx
§ 4－ 5 微分中值定理
x
xfxxf
x
xfxxf
xx?
)()(l i m)()(l i m 00
0
00
0
从而
)( 0xf
设 f (x0)为 f (x)在开区间 (a,b)内的最大值,
即,?x?(a,b),有 f (x)? f (x0).
故当 |?x|充分小时,有 x0+?x?(a,b),
从而 f (x0+?x) – f (x0)? 0
因 x0?(a,b),
(1)当?x >0时,,0)()( 00 x xfxxf
由保号性定理,
.0)()(l i m)( 00
00
x
xfxxfxf
x
令?x?0+,
(2)当?x <0时,,0)()( 00 x xfxxf
由保号性定理,.0)()(l i m)( 00
00
x
xfxxfxf
x
令?x?0–,
综合 (1),(2)有 0? f '(x0)?0,故 f '(x0) = 0,
类似可证 f (x)在 x0取最小值的情形,
注 1.因 f '(x0)表示曲线 y =f (x)上点 M(x0,f (x0))处切线斜率,而 f '(x0)=0表示该点处切线斜率为 0.
因此,引理在几何上表示,若 y =f (x)在 (a,b)
内部某点 x0处取最大 (小 )值,且在 x0可导,则在 M(x0,f (x0))处的切线平行于 x轴,如图
b
M
a x0
y
x0
M
x0
y =f (x)
注 2.若 f (x)在区间 [a,b]的端点 a(或 b)处取得最大 (小 )值,不能保证 f '(a)(或 f '(b))=0.
即,在端点 M(a,f (a))或 M(b,f (b))处切线不一定平行于 x 轴,
如图,
0 a b x
y y = f (x)
定理 1.(罗尔中值定理 ),若 y=f (x)在 [a,b]上连续,
在 (a,b)内可导,且 f (a) = f (b),则在 (a,b)内至少存在一点?,使得 f,
证,因 f (x)在 [a,b]上连续,从而可取得最大值 M
= f (x0)和最小值 m = f (x1),其中,x0,x1? [a,b]
(1) 若 m=M,
因 m? f (x)?M,即,M? f (x)?M,所以 f (x)=M.
有 f '?x,故 (a,b)有 f ',
(2) 若 m<M,
因 f (a) = f (b),故在 m,M中必至少有一个不等于 f (a) (= f (b)),
由引理,f '?x0,记 x0,
即 (a,b)使 f ',
不妨设 M= f?x0 f (a)= f (b),
故 x0? a,x0? b,从而 x0? (a,b).
b
M
a x0
y
x0
M
x0
y = f (x)
注 1.几何意义,如图
A B
若连续曲线 y = f (x)
除端点外处处有不垂直于 x轴的切线,且两端点的纵坐标相等,则在曲线上至少存在一点 M,
在 M点的切线平行于 x
轴,也就是平行于弦 AB.
注 2.从方程的角度看,f '表示?是方程
f '?x的根,因此,罗尔定理的意义是若
f?x?满足定理条件,则方程 f '?x在 (a,
b)内至少有一个根,
注 3.定理的条件 "f (x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,f (a)= f (b) " 不能减弱,否则,结论不对,
比如,f (x)= |x|在 [–1,1]
上连续,在除 x=0外的每一点 x处都可导,且 f (–1)=f (1),
但是,不存在(–1,1),使得 f '(?)=0,如图
0 x
y
1?1
y = |x|
例 1.设函数 f (x) = (x?1)(x?2)(x?3),试判断方程
f '?x 有几个实根,分别在何区间?
解,因为 f (1)= f (2)= f (3),且 f (x)在 [1,2]上连续,
在 (1,2)内可导,由罗尔定理,1?(1,2),使 f?(?1;
同理,2,,使 f ' (?2;
又因 f ' (x是二次方程,至多两个实根,
故 f ' (x有两个实根,分别位于 (1,2) 和 (2,3)内,
(1)修改,f (x) = (x?1)(x?2)(x?3)(x?4),结论如何?
(2)修改,不解方程,问 (x?2)(x?3)+(x?1)(x?3)
+(x?1)(x?2)=0有几个实根,分别在何区间?
二、拉格朗日中值定理在罗尔定理中,曲线上存在一点 M,使得 M点处切线平行于 x轴,由于 f (a)= f (b),从而该切线平行于弦 AB.如果 f (a)?f (b),那么在曲线上是否仍然存在一点 M,使得 M点处切线平行于弦 AB呢?
定理 2.若 y =f (x)在 [a,b]上连续,在 (a,b) 内可导,
则至少存在一点(a,b),使得
ab
afbff
)()()(?
如图,
分析,注意到
ABKab
afbf?
)()(
因此,拉格朗日定理回答了上述问题,x
y
A
a0
B
M
b
y =f (x)
.)()()( ab afbff要证只须证,0)()()( ab afbff?
即
.0)()()(?
x
xab afbfxf
若将括号内函数看作?(x),则只须证?'(?)=0即可,
这就是罗尔定理的结论,因此,只须证明?(x)满足罗尔定理条件即可,
证,构造函数,令,)()()()( xab afbfxfx
易见,?(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
且
.
)()(
)()(
,
)()(
)()(
a
ab
afbf
afa
b
ab
afbf
bfb
0)()()()()()()( abab afbfbfafab
即?(a) =?(b).
由罗尔定理,(a,b),使?'
.)()()( ab afbff即注 1.若 f (a)= f (b),.0)()()( ab afbff?则这正是罗尔定理的结论,
公式可改写为 f (b) – f (a) = f '(b–a),(a,b),
也可写为 f (a) – f (b) = f '(a–b),(a,b),
因此,以后使用这一公式时,不须考虑是
a>b,还是 a<b,但?介于 a,b之间,
注 2.若 y = f (x)在 [a,b]上满足拉格朗日定理条件,
x?(a,b),?y = f (x +?x)–f (x) = f 'x
= f '?x +x)?x
其中 |?x |充分小,?介于 x 和?x之间,
0<? <1,使得? = x +x,,x x即如图
xa b? x+?xx
注 3.定理的条件 "f (x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导 " 不能减弱,
推论 1.若 f (x)在 (a,b)内的导数恒为 0,即?x?(a,b),
有 f '?x?=0,则 f (x)在 (a,b)内是一个常数,即
x?(a,b),f (x) = C(常数 ).
证,取定 x0?(a,b),只须证明?x?(a,b),有 f (x)=f (x0)
即可,因 f (x)在 (a,b)内可导,从而在 (a,b)内连续,
故 f (x)在 [x0,x]? (a,b)(或 [x,x0]? (a,b))上满足拉格朗日定理的条件,
f (x)–f (x0) = f ' (x – x0)=0,?介于 x 和 x0之间,
即,?x?(a,b),有 f (x)=f (x0)
例 2.
)11(,2c o sa r ca r c s i n xxx?证明证,记 f (x) = arcsinx+arccosx,在 (–1,1)内可导,且从而在 (–1,1)内,f (x) = C.(常数 ).
取 x=0,得
.01 11 1)( 22 xxxf
.220)0( fC
故 当 –1< x <1时,有
,2c o sa r ca r c s i n xx
当 x = –1 或 x =1时,仍然有
,2c o sa r ca r c s i n xx
从而,当 –1? x?1时,有
,2c o sa r ca r c s i n xx
例 3.设 f (x) = x2 + x,在 [–1,1]上验证拉格朗日中值定理的正确性,
解,(1) f (x) = x2 + x在 [–1,1]上连续,在 (–1,1)内可导,
(2)看是否存在(–1,1),使得 f (1)–f (–1)=f '(?) ·2
即 2(2? +1) = 2–0
或 4? = 0,? = 0?(–1,1),
故 = 0?(–1,1),使得 f (1)–f (–1)=f '(?) ·2.
例 4.证明 当 x > 0时,.)1l n (1 xxxx
证,改写原式,.1)1l n (1 1 x xx
利用公式 )()()(?fab afbf 证不等式时,
往往要把待证式中的一部分写成的形式,以便构造函数 f (x).
ab
afbf
)()(
0
)01l n ()1l n (
0
0)1l n ()1l n (
x
x
x
x
x
x
所以,记 f (t) = ln(1+t),知 f (t)在 [0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件,
且
0
)01l n ()1l n ()1l n (
x
x
x
x
)(?f ),0(,1 1 x
因
)0(
1
1
1
1
)(
,1
1
1
)(
x
x
f
f
)0(,1)1l n (1 1 xx xx故三、柯西中值定理定理 3.若 f (x),g(x)都在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,且 g'(x)?0,则至少存在一点(a,b),
使得
.) ( ) ()()( )()(gfagbg afbf
分析,若分别对 f (x),g(x)用拉格朗日中值定理,可得上式左端,
) (
) (
2
1
g
f
但?
1,?2不一定相同,故不能用这一方法,
,) ( ) ()()( )()(gfagbg afbf要证只须证 0) ()()( )()() ( gagbg afbff
即,0) ()()(
)()() (
x
xgagbg afbfxf
证,)()()( )()()()( xgagbg afbfxfx记知?(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,且
)()()( )()()()( bgagbg afbfbfb
)()()( )()()()( agagbg afbfafa
从而?(b)–?(a)=0,由罗尔中值定理,(a,b),
使?'(?) = 0,).,(,)( )()()( )()(,bagfagbg afbf即例 5.设 f (x)在 (–?,+?)内可导,f (0)=0,证明
(–?,+?),使得 2f (?) ·f '(?) = 3?2 ·f 2(1)
证,这一类问题,往往可考虑用中值定理解决,
变形,,3 )()(2)1( 22 fff
注意到,
x
x
x
xfff
32
2
3
,)()()(2
左端,.
01
)0()1()1(
33
22
2
fff
.3 )()(2)1( 22 fff
从而,待证式为
.
)(
)(
01
)0()1(
3
2
33
22
x
x
xfff
故,记 F(x) = f 2(x),g(x) = x3在 [0,1]上连续,
在 (0,1)内可导,
由柯西中值定理,(0,1),使得
.3 )()(2)1( 22 fff
若修改例 5为," … f (0)=0,f (1)=0,证明,(–?,
+?),使得 f (?) ·f '(?) =0".则可用罗尔定理证,
四、泰勒中值定理在近似计算和理论分析中,对于复杂函数 f (x),
常希望用一个多项式 P(x) = a0+a1x+a2x2 +…+ anxn
来近似表示 f (x).
比如,当 |x|很小时,ex? 1+x,sin? x.,111 xnxn
都是用一次函数表示函数 f (x)的例子,
缺陷,(1)精度不高,误差仅为 o(x)
(2)没有误差估计式,
从几何上看,缺陷 (1)是由于我们在 x=0附近用直线代替曲线,精度当然不高,
能否改用二次曲线,三次曲线,…,代替? 精度是否能提高,或者说,曲线的吻合程度是否会更好些呢?
y=ex
–1
y=1+x
2211 xxy
看图,
1
x0
y
21
我们要解决的问题是,设 f (x)在 x=x0的某邻域内有直到 n+1阶导数,
(1)试求一个关于 x–x0的 n次多项式
Pn(x) = a0+a1(x–x0)+a2 (x–x0)2+…+ an (x–x0)n
使 Pn(x)能在 x0的附近近似表示 f (x).
即,f (x)和 Pn(x)在 x=x0处的函数值以及 k阶 (k?n)
导数值都相等,
即,f (x0)=Pn(x0),f '(x0)= P'n(x0),f ''(x0) =
P''n(x0),… f (n)(x0) = P(n)n(x0).
(2)误差 f (x)–Pn(x)的表达式,
首先解决问题 (1),即设 f (x)在 x=x0的某邻域
U(x0)内有直到 n+1阶导数,
求 Pn(x) = a0+a1(x–x0)+a2 (x–x0)2+…+ an (x–x0)n,
满足 f (x0) = Pn(x0),f '(x0) = P'n(x0),f ''(x0) =
P''n(x0),… f (n)(x0)= P(n)n(x0).
将 x=x0代入 Pn(x),得 Pn(x0)= a0= f (x0),
对 Pn(x)求导,再将 x0代入,得 P'n(x0) = a1 = f '(x0)
对 Pn(x)求二次导,将 x0代入,得 P''n(x0)= 2!a2 = f ''(x0)
).(!21 02 xfa
Pn(x) = a0+a1(x–x0)+a2 (x–x0)2+…+ an (x–x0)n
同理,),( !3)( 0)3(30)3( xfaxP n
).(!31 0)3(3 xfa?得一般,),( !)( 0)(0)( xfanxP nnnn
得
)()(
!
)(
)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
0
0
2
0
0
0
0
0
xfxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxp
n
n
n
Pn(x) = a0+a1(x–x0)+a2 (x–x0)2+…+ an (x–x0)n
).(!1 0)( xfna nn?得定理 4.(泰勒中值定理 ) 如果 f (x)在含 x0的某个区间 (a,b)内有直到 n+1阶的导数，则对
x?(a,b),有
).()(
!
)(
)(
!2
)('
)(
!1
)('
)()(
0
0
2
0
0
0
0
0
xRxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
n
n
n
其中,)()!1( )()( 10
)1(
n
n
n xxn
fxR是介于 x
0与 x
之间的一个值,
).()()( xpxfxR nn记 只须证明
.)(,)()!1( )()( 010
)1(
即可之间与介于 xxxxnfxR n
n
n?
或,)!1( )()( )(
)1(
1
0?
n
f
xx
xR n
n
n?
证,
由于 f (x)和 Pn(x)在 (a,b)内有直到 n+1 阶导数,
从而 Rn(x) 在 (a,b)内有直到 n+1 阶导数,
注意到
,0)()('')(')( 0)(000 xRxRxRxR nnnnn?
).()( )1()1( xfxR nnn
).(
)()(
),(]),[](,[),,(
1
0
00
显然满足定理条件用柯西中值定理和对两函数上，或在区间
n
n xxxR
baxxxxbax
)()()(),()()( 0)(0)(0)( xPxfxRxPxfxR knkknnn
有
1
0 )(
)(
n
n
xx
xR
0)(
)()(
1
0
0
n
nn
xx
xRxR
n
n
xn
R
))(1(
)('
01
1
0))(1(
)(')('
01
01
n
nn
xn
xRR
1介于 x0与 x之间,
对函数 R'n(x)和 (n+1)(x?x0)n在 [x0,?1]或 [?1,x0]上用柯西中值定理,有
0))(1(
)(')('
)(
)(
01
01
1
0
n
nn
n
n
xn
xRR
xx
xR
1
02
2
)()1(
)(
n
n
xnn
R
0)()1(
)()(''
1
02
0
''
2
n
nn
xnn
xRR
2介于 x0与?1 之间,
继续下去,经 n次后,有
)()!1(
)(
)(
)(
0
)(
1
0 xn
R
xx
xR
n
n
n
n
n
n
0)()!1(
)()(
0
0
)()(
xn
xRR
n
n
n
n
n
)!1(
)( 1)1(
n
R nnn?,
)!1(
)()1(
n
f nn?
其中? =?n+1介于 x0与?n 之间,从而介于 x0与 x之间,
注 1.公式 )()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxk xfxf nk
n
k
k
称为 f (x) 按 (x?x0)的幂,展开到 n阶的泰勒公式,
.,)()!1( )()( 010
)1(
之间与介于 xxxxnfxR n
n
n?
称为拉格朗日型余项,
也可写成
10,)()!1( ))(()( 1000
)1(
n
n
n xxn
xxxfxR
注 2.当 n＝ 0时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式
,),)((')()( 000 之间与介于 xxxxfxfxf
注 3.若,|)(|,),()( )1()1( Mxfbaxf nn 即内有界在
1
0
)1(
)()!1( )(|)(||)()(|?
n
n
nn xxn
fxRxPxf?则
.||)!1( 10 nxxn M
且,0)()!1( )(l i m)( )(l i m 0
)1(
0 00
xxnfxx xR
n
xxn
n
xx
可是,误差 Rn(x)是 (x?x0)n的高阶无穷小 (当 x?x0时 ).
即 Rn(x)=0((x?x0)n ),称为皮亚诺余项,
注 4.若在泰勒中值定理中取 x0=0,则公式为
)(! )0(!2 )0(!1 )0()0()(
)(
2 xRx
n
fxfxffxf
n
n
n
.)!1( )()1( )()( 1
)1(
1
)1(
n
n
n
n
n xn
xfx
n
fxR
其中?介于 x与 0之间,0<?<1.
称为马克劳林公式,
例 6,写出 f (x) = ex展开到 n阶的马克劳林公式,
解,f (n)(x) = ex,f (n)(0) =1
故 1)1(
0
)(
)!1(
)(
!
)0(
n
n
k
n
k
k
x x
n
fx
k
fe?
.0
)!1(!
1 1
0
之间，介于
，
x
x
n
e
x
k
nk
n
k
特别,取 x=1,有,
!
1
!2
111
!
1
0 nk
e
n
k
误差 )!1(|| n eR n
.1 0,)!1( 3 之间，介于 n
n
k n
e
ke 0,)!1(!
1?
例 7.求 f (x)=sinx 在 x0=0的展开式解,sin0 = 0,)2s i n ()(s i n )( nxx n
故
2s i n)0(
)(?nf n
0,n=2k时,
(?1)k,n=2k?1时,
将 sin x在 x0=0展开到 n=2m阶,
得?
m
n
m
n
n
xRxnfx
2
0
2
)(
)(! )0(s i n
)(
)!12(
1
)1(
!5
1
!3
1
2
121
53
xRx
m
xxx
m
mm
其中
.10,
)!12(
2
)12((s i n
)( 122
m
m xm
mx
xR
同理
)()!2( 1)1(!41!211c o s 12242 xRxmxxx mmm
其中
.10,
)!22(
2
)22((c o s
)( 2212
m
m xm
mx
xR
例 8.求 4
2
0
2
co sl i m
x
ex
x
x
解,展开 )(0!4!211co s 442 xxxx
)4(0)2(!21)2(!111
4
2
22
2
2 xxx
e
x
相减 )]
4(0)(0[8
1
!4c o s
4
44
4
2
2 x
xxxex
x
)(0121 44 xx
)0(,0
)
4
(0)(0)
4
(0)(0
4
4
4
4
4
4
4
时x
x
x
x
x
x
x
x
从而,12 1
)(012 1
l i mco sl i m 4
44
04
2
0
2
x
xx
x
ex
x
x
x
在 x0?(a,b)处取得最大值 (最小值 ),
且 f (x)在 x0处可导,则 f '(x0) = 0.
证,因 f (x)在 x0处可导,
.),()()(l i m 0000 存在故 xfx xfxxfx
§ 4－ 5 微分中值定理
x
xfxxf
x
xfxxf
xx?
)()(l i m)()(l i m 00
0
00
0
从而
)( 0xf
设 f (x0)为 f (x)在开区间 (a,b)内的最大值,
即,?x?(a,b),有 f (x)? f (x0).
故当 |?x|充分小时,有 x0+?x?(a,b),
从而 f (x0+?x) – f (x0)? 0
因 x0?(a,b),
(1)当?x >0时,,0)()( 00 x xfxxf
由保号性定理,
.0)()(l i m)( 00
00
x
xfxxfxf
x
令?x?0+,
(2)当?x <0时,,0)()( 00 x xfxxf
由保号性定理,.0)()(l i m)( 00
00
x
xfxxfxf
x
令?x?0–,
综合 (1),(2)有 0? f '(x0)?0,故 f '(x0) = 0,
类似可证 f (x)在 x0取最小值的情形,
注 1.因 f '(x0)表示曲线 y =f (x)上点 M(x0,f (x0))处切线斜率,而 f '(x0)=0表示该点处切线斜率为 0.
因此,引理在几何上表示,若 y =f (x)在 (a,b)
内部某点 x0处取最大 (小 )值,且在 x0可导,则在 M(x0,f (x0))处的切线平行于 x轴,如图
b
M
a x0
y
x0
M
x0
y =f (x)
注 2.若 f (x)在区间 [a,b]的端点 a(或 b)处取得最大 (小 )值,不能保证 f '(a)(或 f '(b))=0.
即,在端点 M(a,f (a))或 M(b,f (b))处切线不一定平行于 x 轴,
如图,
0 a b x
y y = f (x)
定理 1.(罗尔中值定理 ),若 y=f (x)在 [a,b]上连续,
在 (a,b)内可导,且 f (a) = f (b),则在 (a,b)内至少存在一点?,使得 f,
证,因 f (x)在 [a,b]上连续,从而可取得最大值 M
= f (x0)和最小值 m = f (x1),其中,x0,x1? [a,b]
(1) 若 m=M,
因 m? f (x)?M,即,M? f (x)?M,所以 f (x)=M.
有 f '?x,故 (a,b)有 f ',
(2) 若 m<M,
因 f (a) = f (b),故在 m,M中必至少有一个不等于 f (a) (= f (b)),
由引理,f '?x0,记 x0,
即 (a,b)使 f ',
不妨设 M= f?x0 f (a)= f (b),
故 x0? a,x0? b,从而 x0? (a,b).
b
M
a x0
y
x0
M
x0
y = f (x)
注 1.几何意义,如图
A B
若连续曲线 y = f (x)
除端点外处处有不垂直于 x轴的切线,且两端点的纵坐标相等,则在曲线上至少存在一点 M,
在 M点的切线平行于 x
轴,也就是平行于弦 AB.
注 2.从方程的角度看,f '表示?是方程
f '?x的根,因此,罗尔定理的意义是若
f?x?满足定理条件,则方程 f '?x在 (a,
b)内至少有一个根,
注 3.定理的条件 "f (x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,f (a)= f (b) " 不能减弱,否则,结论不对,
比如,f (x)= |x|在 [–1,1]
上连续,在除 x=0外的每一点 x处都可导,且 f (–1)=f (1),
但是,不存在(–1,1),使得 f '(?)=0,如图
0 x
y
1?1
y = |x|
例 1.设函数 f (x) = (x?1)(x?2)(x?3),试判断方程
f '?x 有几个实根,分别在何区间?
解,因为 f (1)= f (2)= f (3),且 f (x)在 [1,2]上连续,
在 (1,2)内可导,由罗尔定理,1?(1,2),使 f?(?1;
同理,2,,使 f ' (?2;
又因 f ' (x是二次方程,至多两个实根,
故 f ' (x有两个实根,分别位于 (1,2) 和 (2,3)内,
(1)修改,f (x) = (x?1)(x?2)(x?3)(x?4),结论如何?
(2)修改,不解方程,问 (x?2)(x?3)+(x?1)(x?3)
+(x?1)(x?2)=0有几个实根,分别在何区间?
二、拉格朗日中值定理在罗尔定理中,曲线上存在一点 M,使得 M点处切线平行于 x轴,由于 f (a)= f (b),从而该切线平行于弦 AB.如果 f (a)?f (b),那么在曲线上是否仍然存在一点 M,使得 M点处切线平行于弦 AB呢?
定理 2.若 y =f (x)在 [a,b]上连续,在 (a,b) 内可导,
则至少存在一点(a,b),使得
ab
afbff
)()()(?
如图,
分析,注意到
ABKab
afbf?
)()(
因此,拉格朗日定理回答了上述问题,x
y
A
a0
B
M
b
y =f (x)
.)()()( ab afbff要证只须证,0)()()( ab afbff?
即
.0)()()(?
x
xab afbfxf
若将括号内函数看作?(x),则只须证?'(?)=0即可,
这就是罗尔定理的结论,因此,只须证明?(x)满足罗尔定理条件即可,
证,构造函数,令,)()()()( xab afbfxfx
易见,?(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,
且
.
)()(
)()(
,
)()(
)()(
a
ab
afbf
afa
b
ab
afbf
bfb
0)()()()()()()( abab afbfbfafab
即?(a) =?(b).
由罗尔定理,(a,b),使?'
.)()()( ab afbff即注 1.若 f (a)= f (b),.0)()()( ab afbff?则这正是罗尔定理的结论,
公式可改写为 f (b) – f (a) = f '(b–a),(a,b),
也可写为 f (a) – f (b) = f '(a–b),(a,b),
因此,以后使用这一公式时,不须考虑是
a>b,还是 a<b,但?介于 a,b之间,
注 2.若 y = f (x)在 [a,b]上满足拉格朗日定理条件,
x?(a,b),?y = f (x +?x)–f (x) = f 'x
= f '?x +x)?x
其中 |?x |充分小,?介于 x 和?x之间,
0<? <1,使得? = x +x,,x x即如图
xa b? x+?xx
注 3.定理的条件 "f (x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导 " 不能减弱,
推论 1.若 f (x)在 (a,b)内的导数恒为 0,即?x?(a,b),
有 f '?x?=0,则 f (x)在 (a,b)内是一个常数,即
x?(a,b),f (x) = C(常数 ).
证,取定 x0?(a,b),只须证明?x?(a,b),有 f (x)=f (x0)
即可,因 f (x)在 (a,b)内可导,从而在 (a,b)内连续,
故 f (x)在 [x0,x]? (a,b)(或 [x,x0]? (a,b))上满足拉格朗日定理的条件,
f (x)–f (x0) = f ' (x – x0)=0,?介于 x 和 x0之间,
即,?x?(a,b),有 f (x)=f (x0)
例 2.
)11(,2c o sa r ca r c s i n xxx?证明证,记 f (x) = arcsinx+arccosx,在 (–1,1)内可导,且从而在 (–1,1)内,f (x) = C.(常数 ).
取 x=0,得
.01 11 1)( 22 xxxf
.220)0( fC
故 当 –1< x <1时,有
,2c o sa r ca r c s i n xx
当 x = –1 或 x =1时,仍然有
,2c o sa r ca r c s i n xx
从而,当 –1? x?1时,有
,2c o sa r ca r c s i n xx
例 3.设 f (x) = x2 + x,在 [–1,1]上验证拉格朗日中值定理的正确性,
解,(1) f (x) = x2 + x在 [–1,1]上连续,在 (–1,1)内可导,
(2)看是否存在(–1,1),使得 f (1)–f (–1)=f '(?) ·2
即 2(2? +1) = 2–0
或 4? = 0,? = 0?(–1,1),
故 = 0?(–1,1),使得 f (1)–f (–1)=f '(?) ·2.
例 4.证明 当 x > 0时,.)1l n (1 xxxx
证,改写原式,.1)1l n (1 1 x xx
利用公式 )()()(?fab afbf 证不等式时,
往往要把待证式中的一部分写成的形式,以便构造函数 f (x).
ab
afbf
)()(
0
)01l n ()1l n (
0
0)1l n ()1l n (
x
x
x
x
x
x
所以,记 f (t) = ln(1+t),知 f (t)在 [0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件,
且
0
)01l n ()1l n ()1l n (
x
x
x
x
)(?f ),0(,1 1 x
因
)0(
1
1
1
1
)(
,1
1
1
)(
x
x
f
f
)0(,1)1l n (1 1 xx xx故三、柯西中值定理定理 3.若 f (x),g(x)都在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,且 g'(x)?0,则至少存在一点(a,b),
使得
.) ( ) ()()( )()(gfagbg afbf
分析,若分别对 f (x),g(x)用拉格朗日中值定理,可得上式左端,
) (
) (
2
1
g
f
但?
1,?2不一定相同,故不能用这一方法,
,) ( ) ()()( )()(gfagbg afbf要证只须证 0) ()()( )()() ( gagbg afbff
即,0) ()()(
)()() (
x
xgagbg afbfxf
证,)()()( )()()()( xgagbg afbfxfx记知?(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,且
)()()( )()()()( bgagbg afbfbfb
)()()( )()()()( agagbg afbfafa
从而?(b)–?(a)=0,由罗尔中值定理,(a,b),
使?'(?) = 0,).,(,)( )()()( )()(,bagfagbg afbf即例 5.设 f (x)在 (–?,+?)内可导,f (0)=0,证明
(–?,+?),使得 2f (?) ·f '(?) = 3?2 ·f 2(1)
证,这一类问题,往往可考虑用中值定理解决,
变形,,3 )()(2)1( 22 fff
注意到,
x
x
x
xfff
32
2
3
,)()()(2
左端,.
01
)0()1()1(
33
22
2
fff
.3 )()(2)1( 22 fff
从而,待证式为
.
)(
)(
01
)0()1(
3
2
33
22
x
x
xfff
故,记 F(x) = f 2(x),g(x) = x3在 [0,1]上连续,
在 (0,1)内可导,
由柯西中值定理,(0,1),使得
.3 )()(2)1( 22 fff
若修改例 5为," … f (0)=0,f (1)=0,证明,(–?,
+?),使得 f (?) ·f '(?) =0".则可用罗尔定理证,
四、泰勒中值定理在近似计算和理论分析中,对于复杂函数 f (x),
常希望用一个多项式 P(x) = a0+a1x+a2x2 +…+ anxn
来近似表示 f (x).
比如,当 |x|很小时,ex? 1+x,sin? x.,111 xnxn
都是用一次函数表示函数 f (x)的例子,
缺陷,(1)精度不高,误差仅为 o(x)
(2)没有误差估计式,
从几何上看,缺陷 (1)是由于我们在 x=0附近用直线代替曲线,精度当然不高,
能否改用二次曲线,三次曲线,…,代替? 精度是否能提高,或者说,曲线的吻合程度是否会更好些呢?
y=ex
–1
y=1+x
2211 xxy
看图,
1
x0
y
21
我们要解决的问题是,设 f (x)在 x=x0的某邻域内有直到 n+1阶导数,
(1)试求一个关于 x–x0的 n次多项式
Pn(x) = a0+a1(x–x0)+a2 (x–x0)2+…+ an (x–x0)n
使 Pn(x)能在 x0的附近近似表示 f (x).
即,f (x)和 Pn(x)在 x=x0处的函数值以及 k阶 (k?n)
导数值都相等,
即,f (x0)=Pn(x0),f '(x0)= P'n(x0),f ''(x0) =
P''n(x0),… f (n)(x0) = P(n)n(x0).
(2)误差 f (x)–Pn(x)的表达式,
首先解决问题 (1),即设 f (x)在 x=x0的某邻域
U(x0)内有直到 n+1阶导数,
求 Pn(x) = a0+a1(x–x0)+a2 (x–x0)2+…+ an (x–x0)n,
满足 f (x0) = Pn(x0),f '(x0) = P'n(x0),f ''(x0) =
P''n(x0),… f (n)(x0)= P(n)n(x0).
将 x=x0代入 Pn(x),得 Pn(x0)= a0= f (x0),
对 Pn(x)求导,再将 x0代入,得 P'n(x0) = a1 = f '(x0)
对 Pn(x)求二次导,将 x0代入,得 P''n(x0)= 2!a2 = f ''(x0)
).(!21 02 xfa
Pn(x) = a0+a1(x–x0)+a2 (x–x0)2+…+ an (x–x0)n
同理,),( !3)( 0)3(30)3( xfaxP n
).(!31 0)3(3 xfa?得一般,),( !)( 0)(0)( xfanxP nnnn
得
)()(
!
)(
)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
0
0
2
0
0
0
0
0
xfxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxp
n
n
n
Pn(x) = a0+a1(x–x0)+a2 (x–x0)2+…+ an (x–x0)n
).(!1 0)( xfna nn?得定理 4.(泰勒中值定理 ) 如果 f (x)在含 x0的某个区间 (a,b)内有直到 n+1阶的导数，则对
x?(a,b),有
).()(
!
)(
)(
!2
)('
)(
!1
)('
)()(
0
0
2
0
0
0
0
0
xRxx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
n
n
n
其中,)()!1( )()( 10
)1(
n
n
n xxn
fxR是介于 x
0与 x
之间的一个值,
).()()( xpxfxR nn记 只须证明
.)(,)()!1( )()( 010
)1(
即可之间与介于 xxxxnfxR n
n
n?
或,)!1( )()( )(
)1(
1
0?
n
f
xx
xR n
n
n?
证,
由于 f (x)和 Pn(x)在 (a,b)内有直到 n+1 阶导数,
从而 Rn(x) 在 (a,b)内有直到 n+1 阶导数,
注意到
,0)()('')(')( 0)(000 xRxRxRxR nnnnn?
).()( )1()1( xfxR nnn
).(
)()(
),(]),[](,[),,(
1
0
00
显然满足定理条件用柯西中值定理和对两函数上，或在区间
n
n xxxR
baxxxxbax
)()()(),()()( 0)(0)(0)( xPxfxRxPxfxR knkknnn
有
1
0 )(
)(
n
n
xx
xR
0)(
)()(
1
0
0
n
nn
xx
xRxR
n
n
xn
R
))(1(
)('
01
1
0))(1(
)(')('
01
01
n
nn
xn
xRR
1介于 x0与 x之间,
对函数 R'n(x)和 (n+1)(x?x0)n在 [x0,?1]或 [?1,x0]上用柯西中值定理,有
0))(1(
)(')('
)(
)(
01
01
1
0
n
nn
n
n
xn
xRR
xx
xR
1
02
2
)()1(
)(
n
n
xnn
R
0)()1(
)()(''
1
02
0
''
2
n
nn
xnn
xRR
2介于 x0与?1 之间,
继续下去,经 n次后,有
)()!1(
)(
)(
)(
0
)(
1
0 xn
R
xx
xR
n
n
n
n
n
n
0)()!1(
)()(
0
0
)()(
xn
xRR
n
n
n
n
n
)!1(
)( 1)1(
n
R nnn?,
)!1(
)()1(
n
f nn?
其中? =?n+1介于 x0与?n 之间,从而介于 x0与 x之间,
注 1.公式 )()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxk xfxf nk
n
k
k
称为 f (x) 按 (x?x0)的幂,展开到 n阶的泰勒公式,
.,)()!1( )()( 010
)1(
之间与介于 xxxxnfxR n
n
n?
称为拉格朗日型余项,
也可写成
10,)()!1( ))(()( 1000
)1(
n
n
n xxn
xxxfxR
注 2.当 n＝ 0时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式
,),)((')()( 000 之间与介于 xxxxfxfxf
注 3.若,|)(|,),()( )1()1( Mxfbaxf nn 即内有界在
1
0
)1(
)()!1( )(|)(||)()(|?
n
n
nn xxn
fxRxPxf?则
.||)!1( 10 nxxn M
且,0)()!1( )(l i m)( )(l i m 0
)1(
0 00
xxnfxx xR
n
xxn
n
xx
可是,误差 Rn(x)是 (x?x0)n的高阶无穷小 (当 x?x0时 ).
即 Rn(x)=0((x?x0)n ),称为皮亚诺余项,
注 4.若在泰勒中值定理中取 x0=0,则公式为
)(! )0(!2 )0(!1 )0()0()(
)(
2 xRx
n
fxfxffxf
n
n
n
.)!1( )()1( )()( 1
)1(
1
)1(
n
n
n
n
n xn
xfx
n
fxR
其中?介于 x与 0之间,0<?<1.
称为马克劳林公式,
例 6,写出 f (x) = ex展开到 n阶的马克劳林公式,
解,f (n)(x) = ex,f (n)(0) =1
故 1)1(
0
)(
)!1(
)(
!
)0(
n
n
k
n
k
k
x x
n
fx
k
fe?
.0
)!1(!
1 1
0
之间，介于
，
x
x
n
e
x
k
nk
n
k
特别,取 x=1,有,
!
1
!2
111
!
1
0 nk
e
n
k
误差 )!1(|| n eR n
.1 0,)!1( 3 之间，介于 n
n
k n
e
ke 0,)!1(!
1?
例 7.求 f (x)=sinx 在 x0=0的展开式解,sin0 = 0,)2s i n ()(s i n )( nxx n
故
2s i n)0(
)(?nf n
0,n=2k时,
(?1)k,n=2k?1时,
将 sin x在 x0=0展开到 n=2m阶,
得?
m
n
m
n
n
xRxnfx
2
0
2
)(
)(! )0(s i n
)(
)!12(
1
)1(
!5
1
!3
1
2
121
53
xRx
m
xxx
m
mm
其中
.10,
)!12(
2
)12((s i n
)( 122
m
m xm
mx
xR
同理
)()!2( 1)1(!41!211c o s 12242 xRxmxxx mmm
其中
.10,
)!22(
2
)22((c o s
)( 2212
m
m xm
mx
xR
例 8.求 4
2
0
2
co sl i m
x
ex
x
x
解,展开 )(0!4!211co s 442 xxxx
)4(0)2(!21)2(!111
4
2
22
2
2 xxx
e
x
相减 )]
4(0)(0[8
1
!4c o s
4
44
4
2
2 x
xxxex
x
)(0121 44 xx
)0(,0
)
4
(0)(0)
4
(0)(0
4
4
4
4
4
4
4
时x
x
x
x
x
x
x
x
从而,12 1
)(012 1
l i mco sl i m 4
44
04
2
0
2
x
xx
x
ex
x
x
x
