§ 1－ 7 高阶偏导数及泰勒公式
).,(),,(),( yxfyxfyxfz yx 的偏导数为设由于它们还是 x,y 的函数,因此,可继续讨论
.),(),,( 的偏导数yxfyxf yx
一、高阶偏导数
,.),(
),,(,),(
则记还可偏导若内可偏导在区域设
yxf
yxfDyxfz
y
x
xfyyxfyx z xy ),(
2
,),(2
2
xfxyxfx z xx
,),(2
2
y
f
yyxfy
z
yy
y
f
xyxfxy
z
yx ),(
2
称为 z = f (x,y)的二阶偏导数,
.),(),,( 为二阶混合偏导数称 yxfyxf yxxy
类似,可得三阶,四阶,…,n 阶偏导数,
则记可偏导若如,,2
2
x
z
,2
2
3
3
x
z
xx
z,,
2
2
2
3
等等
x
z
yyx
z
例 1.
.,3s i n 3
3
22
x
zyxyxz
求全部二阶偏导和设解,
,12 2 xyxz,co s2 2 yyxyz
,2 22
2
yx z
,4
2
xyxy z
.03
3
xz
,s in2 22
2
yxy z
.4
2
xyyx z
.,1
22
xy
z
yx
z
有中在例若不是,那么满足什么条件时,二阶混合偏导数才相等呢?
问题,
是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?
若 z = f (X) = f (x,y)的两个混合偏导数
,,
)(),(,
0
0000
22
连续且它们在内存在的某邻域在
X
XUyxX
xy
f
yx
f
则
xy
Xf
yx
Xf
)()( 0202
定理 1
分析,按定义
,),(),(lim),(
0 x
yxfyxxfyxf
xx?
,),(),(lim),(
0 y
yxgyyxgyxg
yy?
),( yxf xy yx yxf ),(,),(),(lim 0 y yxfyyxf xxy?
yy
1lim
0
x
yyxfyyxxf
x
),(),(lim
0
x
yxfyxxf
x
),(),(lim
0
),(),(11l i ml i m
00
yyxfyyxxfxy
xy
),(),( yxfyxxf
),(,00 yxf xy故
),(1limlim 00
00
yyxxfyx
xy
f (x0,y0 +?y)
– f (x0 +?x,y0) + f (x0,y0)]
同理 ),( 00 yxf yx
),(1limlim 00
00
yyxxfyx
yx f (x0 +?x,y0)
– f (x0,y0 +?y ) + f (x0,y0)]
证,分别给 x,y 以改变量?x,?y,使 (x0 +?x,y0 +?y),
(x 0 +?x,y0)及 (x0,y0 +?y)均在 U(X0)内,
记 A = [ f (x0 +?x,y0 +?y) – f (x0 +?x,y0)] –
[ f (x0,y0 +?y) – f (x0,y0)]
(x) = f (x,y0 +?y ) – f (x,y0),
有 A =? (x0 +?x) –? (x0)
.)(,)( 00 存在在从而内存在在因 XUfXUf xxy
即?(x) 在 x0的某邻域内可导,故满足拉格郎日中值定理条件,
因 A =? (x0 +?x) –? (x0),?(x) = f (x,y0 +?y )–f (x,y0),
A =?' (x0 +?1?x)?x
,)],(),([ 010010 xyxxfyyxxf xx
.10,1其中再对变量 y 用拉格朗日中值定理,得
.1,0,),( 212010 yxyyxxfA xy
另外,A = [ f (x0 +?x,y0 +?y) – f (x0,y0 +?y )] –
[ f (x0+?x,y0) – f (x0,y0)]
记?(y) = f (x0 +?x,y) – f (x0,y),从而
xyxxfyyxxfA xx )],(),([ 010010
A =?(y0 +?y) –?(y0) (由拉格朗日中值定理 )
yyyxfyyxxf yy )],(),([ 300300
.1,0,),( 433040 yxyyxxf yx
yyy )( 30
故
),(),( 30402010 yyxxfyyxxf yxxy
,,),(,.0,0 00 有连续在因令 yxffyx yxxy
),(),( 0000 yxfyxf yxxy
yxyyxxfA xy ),( 2010
yxyyxxfA yx ),( 3040
1.定理 1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形,同时可推广到二元以上的函数情形,
即,若混合偏导数连续,则混合偏导相等 (即求混合偏导与求导顺序无关 ).
注
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有 (直到 ) k
阶连续偏导,则记为 f (X)?Ck (D),k为非负整数,
若 f (x,y)?Ck (D),则不论求导顺序如何,
只要是对 x 求导 m 次,对 y 求导 k – m 次,都可写成
)(,,k
yxmkm
k
mkmfyx
f
或例 2.
.,.d)s i n(d)(d
),(),(
2 bayxbyxxayxu
yxyxuu
求常数处的全微分在任何点设
解,,s i n,2 xbyxuayxu yx
有均可导知,,yx uu
).(,s i n1 ),(,连续连续 xbuau yxxy
yxxy uuyx有在任何点从而 ),,(,
.s in1 axb即 比较知 a = 1,b = 0.
),(,,2 为积分变量以积分由本题也可 xayxu x
).(31 3 yca x yxu得
).( ycaxu y从而
.0,1s i n baxbyxu y 比较可得与例 3,
解,设 u=x+y+z,v=xyz,
.,),,(
2
2
zx
wCfxyzzyxfw
求设从而 w = f (u,v)是 x,y,z,的复合函数,
由链式法则,
yzffxw 21 1
).,(),( 21 x y zzyxfyzx y zzyxf
注意,
.
,,),(),( 111
的复合函数仍是 zyxxyzzyxfvuff
,21 再求偏导时以及对 ff
还要用链式法则来求,
)( 21
2
fyzzzfzx w
11 zuf zvf 12 zfyzfy 22
21211 fyfxyf yz? 1( 21f )22 xyf
).(,)( 211222221211 fffyfzxyfyzxyf
),(),( 111 x y zzyxfvuff
),(),( 222 xyzzyxfvuff
例 4.
解,
.,),,(
2
22
yx
wCf
x
yyxfw
求设
221 2 x yfxyfxw,2 221 fxyfxy
.
,,,,21
求导时要用链式法则对它们的复合函数仍是注意 yxff
y
f
x
yf
xy
fxyfx
yx
w 2
222
1
1
2 1
22
xyfxfx 212 221 211( xf )112 xf
2x
y? 2
21( xf )
1
22 xf
2231211
3
221 2
12 f
x
yfyfyxf
xfx
,2112 ff其中
y
f
x
yf
xy
fxyfx
yx
w 2
222
1
1
2 1
22
),( 2 xyyxfw?
例 5,
解,(1)
.,tg),( 2
2
22
x
zezyxyxzz z
求所确定由方程设
zezyxzyxF tg),,( 22记由隐函数求导公式,
z
x
F
F
x
z
,2 xF x有从而,
ze
x
x
z
z 2s e c
2
.s e c 2 zz ezF
(2)上式两端对 x 求偏导,此时右边的 z看作
x 的的函数,y要看作常数,
22
2
)s ec(
)tgs ecs ec2(2)s ec(2
ze
zzzzzexzez
z
xx
zz
xx?
有
ze
x
x
z
z 2s e c
2
22
22
)s ec(
)tgs ec2(2)s ec(2
ze
zzzexze
z
x
zz
32
2222
)s ec(
)tgs ec2(4)s ec(2
ze
zzexze
z
zz
例 6,设方程组解,(1)先求一阶偏导,
.2
.1
2222 vuyx
vuyx,,,2
2
x
u
x
v
x
u
求注意,u,v 看作 x,y 的函数,得
0222
01
x
v
v
x
u
ux
x
v
x
u方程两边对 x 求偏导,
xvvuu
vu
xx
xx 1,即
xvvuu
vu
xx
xx 1
,11 uvvuD vxvxD 11 1
,11 2 xuxuD 从而,
uv
xu
x
v
uv
vx
D
D
x
u
,1
(2),,uv xuxvuv vxxu 从而,
xuv
vx
x
u
2
2
2)(
))(())(1(
uv
uvvxuvv xxx
2)(
)()(1
uv
uv
vx
uv
xu
vxuv
uv
xu
32 )(
)2)((
)(
2
uv
xvuvx
uv
xuv
例 7.设 u = f (x,y,z),y=x3,? (x2,lny,z) = 0,
.0,,,1 xCfdxdu?其中求解,u = f (x,x
3,z)
(x2,3lnx,z) = 0
易见 z,u均 x 的函数,方程两边对 x 求导数,
xx zffxfu 3221 31
032 321 xzxx
得
3
21
2 32
x
xz
x
从而
3
3
21
2
2
2
1
323 f
x
xfxfu
x
和一元函数一样,多元函数也有高阶微分的概念,我们只介绍二元函数的高阶微分,
.,
.d),(d),(d,),(
的函数仍是则可微设
yx
yyxfxyxfzyxfz yx
若 dz 还可微,则记 d2z = d(dz),称为
z 的二阶微分,
.
,d1),(,1
可微且仍存在阶微分的若一般 zkyxfz k
.),d(dd 1 阶微分的称为则记 kzzz kk
二、高阶微分下边推导 z 的 k 阶微分的计算公式,
设以 x,y 为自变量 的函数 z = f (x,y)?Ck,
由于 x,y 为自变量,故 dx =?x,dy =?y,与 x,
y 的取值无关,
yyxfxyxfz yx d),(d),(d有固定?x,?y,,(即将它们看作常数 ),
求 dz的微分,
).(),(,
,.d,,,
2 二阶可微存在二阶微分则若即可微存在连续偏导时当易见
yxfzCf
zff yx
且 d2z = d(dz) ]d),(d),(d[ yyxfxyxf yx
]d),([d]d),(d[ yyxfxyxf yx
yyxfxyxf yx d)],([dd)],(d[
yyyxfxyxf
xyyxfxyxf
yyyx
xyxx
d]d),(d),([
d]d),(d),([
2
2
22
2
2
2
ddd2d y
y
zyx
yx
zx
x
z
.,,,,存在三阶微分存在连续偏导时当易见 zfff yyxyxx
记 zyyxxyyzxxz?
dddd
.
.),(,3
形式将更加繁杂但其存在三阶微分则即若 yxfzCf
引进记号,
这相当于规定了 "将字母 z 移到括号外 " 的方法。
实际上,确定了一个映射。yyzxxz dd
它把 C1中的每一个 z,通过上述运算,映成了 dz.
.ddd,1 yyzxxzzCz即若记这个映射为 g,
yyzxxzzg ddd( z ),dd zyyxx?
则比较两端式子,可看出,
.dd)( zyyxxzg?
.dd gyyxx 就是我们的映射
不过是用一个我们陌生的式子 yyxx dd
来代替字母 g 而已,
gyyxx dd
即,
我们把这个映射称为一阶微分算子,
zy
y
yx
yx
x
x
y
y
z
yx
yx
z
x
x
z
2
2
22
2
2
2
2
2
22
2
2
2
ddd2d
ddd2d
.:
2
yxyxyx
的乘积与形式上规定
,2
22
xxxx?
,
2
22
yyyy?
类似,记并规定,,2 222
yxyxyx
,
2
yxabybxa
.22
2
2
2
2
2
axxaxa
2
2
22
2
2
2
2 ddd2d zd y
y
zyx
yx
zx
x
z则
zy
y
x
x
2
dd?
zy
y
yxyxx
x?
2
2
22
2
2
2
ddd2d
.dd
2
为二阶微分算子称映射?
y
yxx
)d ( ddd
2
zzyyxx
由于 )]([ zgg?
故,二阶微分算子实际上就是一阶微分算子 g 复合二次,
只不过这种复合运算在上述规定下,可以看作是一阶微分算子,dd 的平方而已y
yxx?
一般,若形式上规定,,SL
SL
S
S
L
L
yxyx
.)( SL
SL
SL
SL
SL
SL
yxbayxbyxa
L
LL
xx?
zy
y
x
x
z
k
k?
dd d 则
zyx
yx
C
k
i
iki
ik
ik
i
i
i
k
0
dd
k
i
iki
iki
k
i
k yxyx
zC
0
dd
zy
y
x
x
C
k
i
iki
i
k
0
dd
(1) 当 z = f (x,y)?Ck 时,z 有 k 阶微分,
(2),dd 是一种运算符号
k
y
y
x
x
只有把它按上述规定,展开后,再将各项 "乘 "以 z (即,将 z 补写在?k 后面 ),
一切记号才回复到导数和微分的意义,
注
(3),dd 阶微分算子为称 kyyxx
k
它本质上是一个映射,它将 Ck 中的元素 z 映成 dk z,
(4) 若 x,y 不是自变量,dk z 一般不具有上述形式,
§ 1－ 8 方向导数函数的导数就是函数的变化率,
比如,y = f (x),xyx xfxxfxf
xx?
0
00
00
l i m)()(l i m)(
如图
.
,
,,
平均变化率即就是平均改变量是函数改变量其中
x
y
y
xo
y
x0x0+?x x0+?x
y
x<0?x>0
y = f (x)
一、方向导数的概念
xo
y
x0x0+?x x0+?x
y
x<0?x>0
y = f (x)
x
xfxxf
xf
x?
)()(
l i m
)(
00
0
0
表示在 x0处 沿 x 轴正方向的变化率,
x
xfxxfxf
x?
)()(l i m)( 00
00
表示在 x0处 沿 x 轴负方向的变化率,
又比如,z = f (x,y),偏导数
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(l i m),( 0000
000
y
yxfyyxfyxf
yy?
),(),(lim),( 0000
000
分别表示函数在点 (x0,y0)沿 x 轴方向,沿 y 轴方向的变化率,
如图
x
o y
z
x0
(x0,y0)
y
),(),( 0000 yxfyyxfzy
),( 0 yxfz?
),( 00 yyx
y
yxfyyxf
y
z
y
y
y?
),(),(limlim,0000
00
特别表示在 (x0,y0)处 沿 y 轴正方向的变化率,
表示在 (x0,y0)处 沿 y 轴负方向的变化率,
y
yxfyyxf
y
z
y
y
y?
),(),(limlim,0000
00
而但在许多实际问题中,常需知道 f (X)在 X0
沿任何方向的变化率,比如,设 f (X)表示某物体内部点 X 处的温度,那么,这个物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度,
因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向的方向导数,
把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念,
y
x
z
o
z = f (x,y)
X0
M0
即 f 'x (x0,y0) 表示 y = y0
与 z = f (x,y)的交线 在 M0处的切线对 x 的斜率,T1
1,z = f (x,y0)
1
y0
y
x
z
o
z = f (x,y)M
0
X0
2
2,z = f (x0,y)
即 f 'y (x0,y0) 表示 x = x0 与 z = f (x,y)的交线 在 M0处的切线对 y 的斜率,
x0
T2
如图
x
o y
z
M0
l
X0=(x0,y0) X = (x0+?x,y0+?y)
MN
设 z = f (X) = f (x,y)在点 X0 = (x0,y0)的某邻域 U(x0)内有定义,以 X0 为端点引射线
l,其单位方向向量为 e = (cos?,cos?),设 X = (x0+?x,
y0+?y)是 l 上另一点,
x
o y
z
M0
l
X0=(x0,y0)
X = (x0+?x,y0+?y) MN
定义若当 X 沿 l 趋于 X0 时,
对应的函数改变量与线段 X0X的长 || X0X ||的比值?
.
||||
)()(
0
0 的极限存在
XX
XfXf
X = (x0+?x,y0+?y)
x
o
y
z
M0
l
X0=(x0,y0)
MN
则称它为 z = f (X) = f (x,y)在点 X0 = (x0,y0)沿 l
的方向导数,
.),(,)( 000 l yxflXf记作
.),(,)( 000 e yxfeXf或
x
o
y
z
M0
l
X0=(x0,y0)
MN
X = (x0+?x,y0+?y)
l
yxf
),( 00即
.22 yx其中
||||
)()(lim
0
0
0 XX
XfXf
XX
沿 l
,),(),(lim 22 0000
0 yx
yxfyyxxf
沿 l
1.定义中要求点 X 只取在 l 的正向上,且
X 沿 l 趋向于 X0,
||||
)()(
0
0
XX
XfXf
的分母大于 0.
如图另外比值
xo
y
X0=(x0,y0)
l
X = (x0+?x,y0+?y)
y?x
注
2.若 z = f (X) = f (x,y)在 X0 = (x0,y0)处偏导存在,
则 在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数,),0,0,( xy此时
l
yxf
),( 00
22
0000
0 0
),(),(l i m
x
yxfyxxf
||
),(),(lim 0000
0|| x
yxfyxxf
x?
x
yxfyxxf
x?
),(),(l i m 0000
0 ),( 00 yxf x
在 X0 处沿 x 轴负方向的方向导数,),0,0,( xy此时
l
yxf
),( 00
2
0000
0
),(),(l i m
x
yxfyxxf
||
),(),(lim 0000
0|| x
yxfyxxf
x?
x
yxfyxxf
x
),(),(l i m 0000
0 ),( 00 yxf x
同样可得沿 y 轴正向的方向导数为 f 'y (x0,y0),
而 沿 y 轴负方向的方向导数为 – f 'y (x0,y0).
3.定义中的极限表示式可用另一形式给出,
由于 l的单位方向向量为 e = (cos?,cos?),
从而 l 的参数式方程为
x = x0 + tcos?
y = y0 + tcos? t >0
或 (x,y) = (x0,y0) + t (cos?,cos?),
而 X? X0 就是 t? 0+.
tteXXXX |||| |||| |||| 00且
即 X = X0+ te
从而
l
Xf
)( 0
t
XfteXf
t
)()(lim 0
0
这正是教材中给出的定义式,
||||
)()(lim
0
0
0 XX
XfXf
XX
沿 l
若 z = f (X) = f (x,y) 在点 X0 = (x0,y0) 可微,
则 z = f (X) 在 X0沿任一方向 e = (cos?,cos?)
的方向导数存在,e为单位向量,
且 c os)(c os)()( 000 yXfxXfeXf
)c os,( c os)(,)( 00
y
Xf
x
Xf
= Jf (X0) ·e,(最后两式为数量积 )
二、方向导数的计算定理 4
证,如图
xo
y
X0 = (x0,y0)
e?y
x
l
X0 = (x0+?x,y0+?y)
在射线 l 上取点
X = (x0+?x,y0+?y)
其中,?X =(?x,?y)
因向量?X = X – X0 = X0 X // e,
故?X = te,(t > 0),
X = X0 +te,|| X0 X || = ||?X || = t
= X0 +?X
由方向导数定义
||||
)()(lim)(
0
00
0 XX
XfXf
e
Xf
XX
t
XfteXf
t
)()(l i m 00
0
看 f (X0 + te) – f (X0).
沿 l
因 f (X)在 X0可微,知
z = f (X0 +?X ) – f (X0)
= f (x0 +?x,y0 +?y ) – f (x0,y0)
)(0 22 yxybxa 由定理 1
||)( ||0)()( 00 XyyXfxxXf
= Jf (X0) ·?X + 0(||?X ||)
上式对任何?x,?y 都成立,
特别,当 X = X0 +?X 在射线 l 上时,当然成立,
即,当 X0 +?X = X0 + te 时,有
f (X0 + te ) – f (X0) = Jf (X0) ·( te ) + 0(|| te ||)
= t [(Jf (X0) ·e] + 0 ( t )
除以 t > 0,并令 t? 0+,有即?z = f (X0 +?X ) – f (X0) = Jf (X0) ·?X + 0(||?X ||)
e
Xf
)( 0
t
XfteXf
t
)()(l i m 00
0
t
teXJ
ft
)(0)(l i m
00 = Jf (X0) ·e
c os)(c os)( 00 yXfxXf
即,若 u = f (x,y,z) 在点 X0 = (x0,y0,z0) 可微,
则 u 在该点处沿任何方向 e = (cos?,cos?,cos? )
的方向导数存在
e
Xf
)( 0= J
f (X0) ·e
c os)(c os)(c os)( 000 zXfyXfxXf
且公式可推广到三元函数中去,
例 5.求 u = xyz 在点 X0 = (1,1,1)处沿从该点到点 X1 = (1,2,2)方向的方向导数,
解,(1)先求出这个方向上的单位向量 e,
向量 X0X1 = (0,1,1)
从而与 X0X1 同向单位向量
||||
e
10
10
XX
XX
2
2,
2
2,0?
(2)求 u 在 X0 = (1,1,1) 处偏导数,
,yzxu,xzyu,xyzu
(3)由公式得方向导数
1
)1,1,1()1,1,1()1,1,1(
zuyuxu从而
2
2,
2
2,0)1,1,1()1,1,1(
e
f
2
2
2
2 2
1.若 z = f (X) = f (x,y) 在区域 D内存在一阶连续偏导,X0 = (x0,y0) 是 D 内一点,知 z 在
X0 沿任何方向 e = (cos?,cos? )的方向导数
.)( 0 存在eXf
)(,0 取最大值取哪一个方向时当
e
Xfe
其中 || e || = 1.
问,
注
eXJeXf f )()( 00因 )),(c o s (|||| ||)(|| 00 eXJeXJ ff?
)),(c o s ()),((),(( 0200200 eXJyxfyxf fyx
故
.)(,1)),(co s ( )1( 00 最大时当 eXfeXJ f
)),(),,((()( 00000 yxfyxfXJe yxf取与即当
,)(,0 最大同向时 eXf最大值为 ||Jf (X0)||.
函数沿 Jf (X0) 的方向增长最快,
(2) ),,c o s (|||| jPr uaaau由
eXJeXf f )()( 00 )),(c o s (||)(|| 00 eXJXJ ff?
.)()( 00 上的投影在是知 eXJeXf f
))((jPr)( 00 XJeXf fe即
(3) 记 grad f (X) = Jf (X) = ( f 'x(x,y),
f 'y(x,y))称为 f (X)在点 X 处的梯度,
2.设 z = f (X) = f (x,y),考察 z 在点 X0 = (x0,
y0)处连续 ; 存在两偏导 ; 沿任何方向的方向导数存在以及可微这些概念的联系和区别,
(1)
(反之如何?)
可微? 连续,可微? 存在两偏导,(反之不对 )
可微? 沿任何方向的方向导数存在,
(2)若 z = f (X) = f (x,y) 在区域 D 内的两偏导不仅存在,而且连续,则 z 在 D内可微,
进而 在 D内连续,在 D内每点处沿任何方向的方向导数存在,
3.当 z = f (X) = f (x,y) 在 X0 = (x0,y0) 可微时,
沿 e = (cos?,cos? )的方向导数
e
Xf
)( 0 c os)(c os)( 00
y
Xf
x
Xf
.,0,,,轴正向夹角轴与为其中 yxe
该公式有另外的形式,
记?为从 x 轴到 e 的转角 (? 不一定在 [0,?] 之间 ),
则 s i n)(c o s)( 00 yXfxXfe
Xf
)( 0
).,(),,(),( yxfyxfyxfz yx 的偏导数为设由于它们还是 x,y 的函数,因此,可继续讨论
.),(),,( 的偏导数yxfyxf yx
一、高阶偏导数
,.),(
),,(,),(
则记还可偏导若内可偏导在区域设
yxf
yxfDyxfz
y
x
xfyyxfyx z xy ),(
2
,),(2
2
xfxyxfx z xx
,),(2
2
y
f
yyxfy
z
yy
y
f
xyxfxy
z
yx ),(
2
称为 z = f (x,y)的二阶偏导数,
.),(),,( 为二阶混合偏导数称 yxfyxf yxxy
类似,可得三阶,四阶,…,n 阶偏导数,
则记可偏导若如,,2
2
x
z
,2
2
3
3
x
z
xx
z,,
2
2
2
3
等等
x
z
yyx
z
例 1.
.,3s i n 3
3
22
x
zyxyxz
求全部二阶偏导和设解,
,12 2 xyxz,co s2 2 yyxyz
,2 22
2
yx z
,4
2
xyxy z
.03
3
xz
,s in2 22
2
yxy z
.4
2
xyyx z
.,1
22
xy
z
yx
z
有中在例若不是,那么满足什么条件时,二阶混合偏导数才相等呢?
问题,
是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?
若 z = f (X) = f (x,y)的两个混合偏导数
,,
)(),(,
0
0000
22
连续且它们在内存在的某邻域在
X
XUyxX
xy
f
yx
f
则
xy
Xf
yx
Xf
)()( 0202
定理 1
分析,按定义
,),(),(lim),(
0 x
yxfyxxfyxf
xx?
,),(),(lim),(
0 y
yxgyyxgyxg
yy?
),( yxf xy yx yxf ),(,),(),(lim 0 y yxfyyxf xxy?
yy
1lim
0
x
yyxfyyxxf
x
),(),(lim
0
x
yxfyxxf
x
),(),(lim
0
),(),(11l i ml i m
00
yyxfyyxxfxy
xy
),(),( yxfyxxf
),(,00 yxf xy故
),(1limlim 00
00
yyxxfyx
xy
f (x0,y0 +?y)
– f (x0 +?x,y0) + f (x0,y0)]
同理 ),( 00 yxf yx
),(1limlim 00
00
yyxxfyx
yx f (x0 +?x,y0)
– f (x0,y0 +?y ) + f (x0,y0)]
证,分别给 x,y 以改变量?x,?y,使 (x0 +?x,y0 +?y),
(x 0 +?x,y0)及 (x0,y0 +?y)均在 U(X0)内,
记 A = [ f (x0 +?x,y0 +?y) – f (x0 +?x,y0)] –
[ f (x0,y0 +?y) – f (x0,y0)]
(x) = f (x,y0 +?y ) – f (x,y0),
有 A =? (x0 +?x) –? (x0)
.)(,)( 00 存在在从而内存在在因 XUfXUf xxy
即?(x) 在 x0的某邻域内可导,故满足拉格郎日中值定理条件,
因 A =? (x0 +?x) –? (x0),?(x) = f (x,y0 +?y )–f (x,y0),
A =?' (x0 +?1?x)?x
,)],(),([ 010010 xyxxfyyxxf xx
.10,1其中再对变量 y 用拉格朗日中值定理,得
.1,0,),( 212010 yxyyxxfA xy
另外,A = [ f (x0 +?x,y0 +?y) – f (x0,y0 +?y )] –
[ f (x0+?x,y0) – f (x0,y0)]
记?(y) = f (x0 +?x,y) – f (x0,y),从而
xyxxfyyxxfA xx )],(),([ 010010
A =?(y0 +?y) –?(y0) (由拉格朗日中值定理 )
yyyxfyyxxf yy )],(),([ 300300
.1,0,),( 433040 yxyyxxf yx
yyy )( 30
故
),(),( 30402010 yyxxfyyxxf yxxy
,,),(,.0,0 00 有连续在因令 yxffyx yxxy
),(),( 0000 yxfyxf yxxy
yxyyxxfA xy ),( 2010
yxyyxxfA yx ),( 3040
1.定理 1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形,同时可推广到二元以上的函数情形,
即,若混合偏导数连续,则混合偏导相等 (即求混合偏导与求导顺序无关 ).
注
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有 (直到 ) k
阶连续偏导,则记为 f (X)?Ck (D),k为非负整数,
若 f (x,y)?Ck (D),则不论求导顺序如何,
只要是对 x 求导 m 次,对 y 求导 k – m 次,都可写成
)(,,k
yxmkm
k
mkmfyx
f
或例 2.
.,.d)s i n(d)(d
),(),(
2 bayxbyxxayxu
yxyxuu
求常数处的全微分在任何点设
解,,s i n,2 xbyxuayxu yx
有均可导知,,yx uu
).(,s i n1 ),(,连续连续 xbuau yxxy
yxxy uuyx有在任何点从而 ),,(,
.s in1 axb即 比较知 a = 1,b = 0.
),(,,2 为积分变量以积分由本题也可 xayxu x
).(31 3 yca x yxu得
).( ycaxu y从而
.0,1s i n baxbyxu y 比较可得与例 3,
解,设 u=x+y+z,v=xyz,
.,),,(
2
2
zx
wCfxyzzyxfw
求设从而 w = f (u,v)是 x,y,z,的复合函数,
由链式法则,
yzffxw 21 1
).,(),( 21 x y zzyxfyzx y zzyxf
注意,
.
,,),(),( 111
的复合函数仍是 zyxxyzzyxfvuff
,21 再求偏导时以及对 ff
还要用链式法则来求,
)( 21
2
fyzzzfzx w
11 zuf zvf 12 zfyzfy 22
21211 fyfxyf yz? 1( 21f )22 xyf
).(,)( 211222221211 fffyfzxyfyzxyf
),(),( 111 x y zzyxfvuff
),(),( 222 xyzzyxfvuff
例 4.
解,
.,),,(
2
22
yx
wCf
x
yyxfw
求设
221 2 x yfxyfxw,2 221 fxyfxy
.
,,,,21
求导时要用链式法则对它们的复合函数仍是注意 yxff
y
f
x
yf
xy
fxyfx
yx
w 2
222
1
1
2 1
22
xyfxfx 212 221 211( xf )112 xf
2x
y? 2
21( xf )
1
22 xf
2231211
3
221 2
12 f
x
yfyfyxf
xfx
,2112 ff其中
y
f
x
yf
xy
fxyfx
yx
w 2
222
1
1
2 1
22
),( 2 xyyxfw?
例 5,
解,(1)
.,tg),( 2
2
22
x
zezyxyxzz z
求所确定由方程设
zezyxzyxF tg),,( 22记由隐函数求导公式,
z
x
F
F
x
z
,2 xF x有从而,
ze
x
x
z
z 2s e c
2
.s e c 2 zz ezF
(2)上式两端对 x 求偏导,此时右边的 z看作
x 的的函数,y要看作常数,
22
2
)s ec(
)tgs ecs ec2(2)s ec(2
ze
zzzzzexzez
z
xx
zz
xx?
有
ze
x
x
z
z 2s e c
2
22
22
)s ec(
)tgs ec2(2)s ec(2
ze
zzzexze
z
x
zz
32
2222
)s ec(
)tgs ec2(4)s ec(2
ze
zzexze
z
zz
例 6,设方程组解,(1)先求一阶偏导,
.2
.1
2222 vuyx
vuyx,,,2
2
x
u
x
v
x
u
求注意,u,v 看作 x,y 的函数,得
0222
01
x
v
v
x
u
ux
x
v
x
u方程两边对 x 求偏导,
xvvuu
vu
xx
xx 1,即
xvvuu
vu
xx
xx 1
,11 uvvuD vxvxD 11 1
,11 2 xuxuD 从而,
uv
xu
x
v
uv
vx
D
D
x
u
,1
(2),,uv xuxvuv vxxu 从而,
xuv
vx
x
u
2
2
2)(
))(())(1(
uv
uvvxuvv xxx
2)(
)()(1
uv
uv
vx
uv
xu
vxuv
uv
xu
32 )(
)2)((
)(
2
uv
xvuvx
uv
xuv
例 7.设 u = f (x,y,z),y=x3,? (x2,lny,z) = 0,
.0,,,1 xCfdxdu?其中求解,u = f (x,x
3,z)
(x2,3lnx,z) = 0
易见 z,u均 x 的函数,方程两边对 x 求导数,
xx zffxfu 3221 31
032 321 xzxx
得
3
21
2 32
x
xz
x
从而
3
3
21
2
2
2
1
323 f
x
xfxfu
x
和一元函数一样,多元函数也有高阶微分的概念,我们只介绍二元函数的高阶微分,
.,
.d),(d),(d,),(
的函数仍是则可微设
yx
yyxfxyxfzyxfz yx
若 dz 还可微,则记 d2z = d(dz),称为
z 的二阶微分,
.
,d1),(,1
可微且仍存在阶微分的若一般 zkyxfz k
.),d(dd 1 阶微分的称为则记 kzzz kk
二、高阶微分下边推导 z 的 k 阶微分的计算公式,
设以 x,y 为自变量 的函数 z = f (x,y)?Ck,
由于 x,y 为自变量,故 dx =?x,dy =?y,与 x,
y 的取值无关,
yyxfxyxfz yx d),(d),(d有固定?x,?y,,(即将它们看作常数 ),
求 dz的微分,
).(),(,
,.d,,,
2 二阶可微存在二阶微分则若即可微存在连续偏导时当易见
yxfzCf
zff yx
且 d2z = d(dz) ]d),(d),(d[ yyxfxyxf yx
]d),([d]d),(d[ yyxfxyxf yx
yyxfxyxf yx d)],([dd)],(d[
yyyxfxyxf
xyyxfxyxf
yyyx
xyxx
d]d),(d),([
d]d),(d),([
2
2
22
2
2
2
ddd2d y
y
zyx
yx
zx
x
z
.,,,,存在三阶微分存在连续偏导时当易见 zfff yyxyxx
记 zyyxxyyzxxz?
dddd
.
.),(,3
形式将更加繁杂但其存在三阶微分则即若 yxfzCf
引进记号,
这相当于规定了 "将字母 z 移到括号外 " 的方法。
实际上,确定了一个映射。yyzxxz dd
它把 C1中的每一个 z,通过上述运算,映成了 dz.
.ddd,1 yyzxxzzCz即若记这个映射为 g,
yyzxxzzg ddd( z ),dd zyyxx?
则比较两端式子,可看出,
.dd)( zyyxxzg?
.dd gyyxx 就是我们的映射
不过是用一个我们陌生的式子 yyxx dd
来代替字母 g 而已,
gyyxx dd
即,
我们把这个映射称为一阶微分算子,
zy
y
yx
yx
x
x
y
y
z
yx
yx
z
x
x
z
2
2
22
2
2
2
2
2
22
2
2
2
ddd2d
ddd2d
.:
2
yxyxyx
的乘积与形式上规定
,2
22
xxxx?
,
2
22
yyyy?
类似,记并规定,,2 222
yxyxyx
,
2
yxabybxa
.22
2
2
2
2
2
axxaxa
2
2
22
2
2
2
2 ddd2d zd y
y
zyx
yx
zx
x
z则
zy
y
x
x
2
dd?
zy
y
yxyxx
x?
2
2
22
2
2
2
ddd2d
.dd
2
为二阶微分算子称映射?
y
yxx
)d ( ddd
2
zzyyxx
由于 )]([ zgg?
故,二阶微分算子实际上就是一阶微分算子 g 复合二次,
只不过这种复合运算在上述规定下,可以看作是一阶微分算子,dd 的平方而已y
yxx?
一般,若形式上规定,,SL
SL
S
S
L
L
yxyx
.)( SL
SL
SL
SL
SL
SL
yxbayxbyxa
L
LL
xx?
zy
y
x
x
z
k
k?
dd d 则
zyx
yx
C
k
i
iki
ik
ik
i
i
i
k
0
dd
k
i
iki
iki
k
i
k yxyx
zC
0
dd
zy
y
x
x
C
k
i
iki
i
k
0
dd
(1) 当 z = f (x,y)?Ck 时,z 有 k 阶微分,
(2),dd 是一种运算符号
k
y
y
x
x
只有把它按上述规定,展开后,再将各项 "乘 "以 z (即,将 z 补写在?k 后面 ),
一切记号才回复到导数和微分的意义,
注
(3),dd 阶微分算子为称 kyyxx
k
它本质上是一个映射,它将 Ck 中的元素 z 映成 dk z,
(4) 若 x,y 不是自变量,dk z 一般不具有上述形式,
§ 1－ 8 方向导数函数的导数就是函数的变化率,
比如,y = f (x),xyx xfxxfxf
xx?
0
00
00
l i m)()(l i m)(
如图
.
,
,,
平均变化率即就是平均改变量是函数改变量其中
x
y
y
xo
y
x0x0+?x x0+?x
y
x<0?x>0
y = f (x)
一、方向导数的概念
xo
y
x0x0+?x x0+?x
y
x<0?x>0
y = f (x)
x
xfxxf
xf
x?
)()(
l i m
)(
00
0
0
表示在 x0处 沿 x 轴正方向的变化率,
x
xfxxfxf
x?
)()(l i m)( 00
00
表示在 x0处 沿 x 轴负方向的变化率,
又比如,z = f (x,y),偏导数
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(l i m),( 0000
000
y
yxfyyxfyxf
yy?
),(),(lim),( 0000
000
分别表示函数在点 (x0,y0)沿 x 轴方向,沿 y 轴方向的变化率,
如图
x
o y
z
x0
(x0,y0)
y
),(),( 0000 yxfyyxfzy
),( 0 yxfz?
),( 00 yyx
y
yxfyyxf
y
z
y
y
y?
),(),(limlim,0000
00
特别表示在 (x0,y0)处 沿 y 轴正方向的变化率,
表示在 (x0,y0)处 沿 y 轴负方向的变化率,
y
yxfyyxf
y
z
y
y
y?
),(),(limlim,0000
00
而但在许多实际问题中,常需知道 f (X)在 X0
沿任何方向的变化率,比如,设 f (X)表示某物体内部点 X 处的温度,那么,这个物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度,
因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向的方向导数,
把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念,
y
x
z
o
z = f (x,y)
X0
M0
即 f 'x (x0,y0) 表示 y = y0
与 z = f (x,y)的交线 在 M0处的切线对 x 的斜率,T1
1,z = f (x,y0)
1
y0
y
x
z
o
z = f (x,y)M
0
X0
2
2,z = f (x0,y)
即 f 'y (x0,y0) 表示 x = x0 与 z = f (x,y)的交线 在 M0处的切线对 y 的斜率,
x0
T2
如图
x
o y
z
M0
l
X0=(x0,y0) X = (x0+?x,y0+?y)
MN
设 z = f (X) = f (x,y)在点 X0 = (x0,y0)的某邻域 U(x0)内有定义,以 X0 为端点引射线
l,其单位方向向量为 e = (cos?,cos?),设 X = (x0+?x,
y0+?y)是 l 上另一点,
x
o y
z
M0
l
X0=(x0,y0)
X = (x0+?x,y0+?y) MN
定义若当 X 沿 l 趋于 X0 时,
对应的函数改变量与线段 X0X的长 || X0X ||的比值?
.
||||
)()(
0
0 的极限存在
XX
XfXf
X = (x0+?x,y0+?y)
x
o
y
z
M0
l
X0=(x0,y0)
MN
则称它为 z = f (X) = f (x,y)在点 X0 = (x0,y0)沿 l
的方向导数,
.),(,)( 000 l yxflXf记作
.),(,)( 000 e yxfeXf或
x
o
y
z
M0
l
X0=(x0,y0)
MN
X = (x0+?x,y0+?y)
l
yxf
),( 00即
.22 yx其中
||||
)()(lim
0
0
0 XX
XfXf
XX
沿 l
,),(),(lim 22 0000
0 yx
yxfyyxxf
沿 l
1.定义中要求点 X 只取在 l 的正向上,且
X 沿 l 趋向于 X0,
||||
)()(
0
0
XX
XfXf
的分母大于 0.
如图另外比值
xo
y
X0=(x0,y0)
l
X = (x0+?x,y0+?y)
y?x
注
2.若 z = f (X) = f (x,y)在 X0 = (x0,y0)处偏导存在,
则 在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数,),0,0,( xy此时
l
yxf
),( 00
22
0000
0 0
),(),(l i m
x
yxfyxxf
||
),(),(lim 0000
0|| x
yxfyxxf
x?
x
yxfyxxf
x?
),(),(l i m 0000
0 ),( 00 yxf x
在 X0 处沿 x 轴负方向的方向导数,),0,0,( xy此时
l
yxf
),( 00
2
0000
0
),(),(l i m
x
yxfyxxf
||
),(),(lim 0000
0|| x
yxfyxxf
x?
x
yxfyxxf
x
),(),(l i m 0000
0 ),( 00 yxf x
同样可得沿 y 轴正向的方向导数为 f 'y (x0,y0),
而 沿 y 轴负方向的方向导数为 – f 'y (x0,y0).
3.定义中的极限表示式可用另一形式给出,
由于 l的单位方向向量为 e = (cos?,cos?),
从而 l 的参数式方程为
x = x0 + tcos?
y = y0 + tcos? t >0
或 (x,y) = (x0,y0) + t (cos?,cos?),
而 X? X0 就是 t? 0+.
tteXXXX |||| |||| |||| 00且
即 X = X0+ te
从而
l
Xf
)( 0
t
XfteXf
t
)()(lim 0
0
这正是教材中给出的定义式,
||||
)()(lim
0
0
0 XX
XfXf
XX
沿 l
若 z = f (X) = f (x,y) 在点 X0 = (x0,y0) 可微,
则 z = f (X) 在 X0沿任一方向 e = (cos?,cos?)
的方向导数存在,e为单位向量,
且 c os)(c os)()( 000 yXfxXfeXf
)c os,( c os)(,)( 00
y
Xf
x
Xf
= Jf (X0) ·e,(最后两式为数量积 )
二、方向导数的计算定理 4
证,如图
xo
y
X0 = (x0,y0)
e?y
x
l
X0 = (x0+?x,y0+?y)
在射线 l 上取点
X = (x0+?x,y0+?y)
其中,?X =(?x,?y)
因向量?X = X – X0 = X0 X // e,
故?X = te,(t > 0),
X = X0 +te,|| X0 X || = ||?X || = t
= X0 +?X
由方向导数定义
||||
)()(lim)(
0
00
0 XX
XfXf
e
Xf
XX
t
XfteXf
t
)()(l i m 00
0
看 f (X0 + te) – f (X0).
沿 l
因 f (X)在 X0可微,知
z = f (X0 +?X ) – f (X0)
= f (x0 +?x,y0 +?y ) – f (x0,y0)
)(0 22 yxybxa 由定理 1
||)( ||0)()( 00 XyyXfxxXf
= Jf (X0) ·?X + 0(||?X ||)
上式对任何?x,?y 都成立,
特别,当 X = X0 +?X 在射线 l 上时,当然成立,
即,当 X0 +?X = X0 + te 时,有
f (X0 + te ) – f (X0) = Jf (X0) ·( te ) + 0(|| te ||)
= t [(Jf (X0) ·e] + 0 ( t )
除以 t > 0,并令 t? 0+,有即?z = f (X0 +?X ) – f (X0) = Jf (X0) ·?X + 0(||?X ||)
e
Xf
)( 0
t
XfteXf
t
)()(l i m 00
0
t
teXJ
ft
)(0)(l i m
00 = Jf (X0) ·e
c os)(c os)( 00 yXfxXf
即,若 u = f (x,y,z) 在点 X0 = (x0,y0,z0) 可微,
则 u 在该点处沿任何方向 e = (cos?,cos?,cos? )
的方向导数存在
e
Xf
)( 0= J
f (X0) ·e
c os)(c os)(c os)( 000 zXfyXfxXf
且公式可推广到三元函数中去,
例 5.求 u = xyz 在点 X0 = (1,1,1)处沿从该点到点 X1 = (1,2,2)方向的方向导数,
解,(1)先求出这个方向上的单位向量 e,
向量 X0X1 = (0,1,1)
从而与 X0X1 同向单位向量
||||
e
10
10
XX
XX
2
2,
2
2,0?
(2)求 u 在 X0 = (1,1,1) 处偏导数,
,yzxu,xzyu,xyzu
(3)由公式得方向导数
1
)1,1,1()1,1,1()1,1,1(
zuyuxu从而
2
2,
2
2,0)1,1,1()1,1,1(
e
f
2
2
2
2 2
1.若 z = f (X) = f (x,y) 在区域 D内存在一阶连续偏导,X0 = (x0,y0) 是 D 内一点,知 z 在
X0 沿任何方向 e = (cos?,cos? )的方向导数
.)( 0 存在eXf
)(,0 取最大值取哪一个方向时当
e
Xfe
其中 || e || = 1.
问,
注
eXJeXf f )()( 00因 )),(c o s (|||| ||)(|| 00 eXJeXJ ff?
)),(c o s ()),((),(( 0200200 eXJyxfyxf fyx
故
.)(,1)),(co s ( )1( 00 最大时当 eXfeXJ f
)),(),,((()( 00000 yxfyxfXJe yxf取与即当
,)(,0 最大同向时 eXf最大值为 ||Jf (X0)||.
函数沿 Jf (X0) 的方向增长最快,
(2) ),,c o s (|||| jPr uaaau由
eXJeXf f )()( 00 )),(c o s (||)(|| 00 eXJXJ ff?
.)()( 00 上的投影在是知 eXJeXf f
))((jPr)( 00 XJeXf fe即
(3) 记 grad f (X) = Jf (X) = ( f 'x(x,y),
f 'y(x,y))称为 f (X)在点 X 处的梯度,
2.设 z = f (X) = f (x,y),考察 z 在点 X0 = (x0,
y0)处连续 ; 存在两偏导 ; 沿任何方向的方向导数存在以及可微这些概念的联系和区别,
(1)
(反之如何?)
可微? 连续,可微? 存在两偏导,(反之不对 )
可微? 沿任何方向的方向导数存在,
(2)若 z = f (X) = f (x,y) 在区域 D 内的两偏导不仅存在,而且连续,则 z 在 D内可微,
进而 在 D内连续,在 D内每点处沿任何方向的方向导数存在,
3.当 z = f (X) = f (x,y) 在 X0 = (x0,y0) 可微时,
沿 e = (cos?,cos? )的方向导数
e
Xf
)( 0 c os)(c os)( 00
y
Xf
x
Xf
.,0,,,轴正向夹角轴与为其中 yxe
该公式有另外的形式,
记?为从 x 轴到 e 的转角 (? 不一定在 [0,?] 之间 ),
则 s i n)(c o s)( 00 yXfxXfe
Xf
)( 0
