§ 1 矩阵及其运算一、矩阵的定义例 1 设某物质有 m个产地,n个销地，如果以
aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量，则这类物质的调运方案，可用一个数表表示如下：
1,实际例子销量产地
nj aaaa 111211
1 2 … j … … n
m
i
2
1
nj aaaa 222221
inijii aaaa21
mnmjmm aaaa21
记
mnmjmm
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
21
21
222221
111211
例 2 解线性方程组
1321 xxx
232 xx
12 321 xxx
11x
232 xx
03?x
11x
22?x
03?x
代替：
1211
2110
1111
r1－ r2
r3－ r1?
0100
2110
1001
r2－ r3
0100
2010
1001
（ 2）－（ 3）（ 1）－（ 2）
（ 3）－（ 1）
由 m× n个数 aij ( i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
有次序地排成 m行 (横排 )n列 (竖排 )的数表
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
称为一个 m行 n列的 矩阵,简记 (aij)m× n,通常用大写字母 A,B,C,… 表示,m行 n列的矩阵 A也记为 Am× n,构成矩阵 A的每个数称为矩阵 A的 元素,而
aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。
2,定义注意：
(1) 只有一行的矩阵 A1× n =(a1 a2 … an) 称为 行矩阵只有一列的矩阵
m
m
a
a
a
A
2
1
1
称为 列矩阵
(2) 两个矩阵 A,B,若行数、列数都相等，则称
A,B是 同型 的。
(3) 若 A = (aij)m× n,B = (bij)m× n是同型的，且 aij = bij
(i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)则称 A与 B相等，
记作 A＝ B。
(4) 元素全为 0的矩阵称为 零矩阵,记作 O，
不同型的零矩阵是不相等的。
二、矩阵的运算设 A = ( aij )m× n,B = ( bij )m× n
则矩阵 C = ( cij ) m× n= ( aij + bij ) m× n
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
2211
2222222121
1112121111
称为矩阵 A与 B的和，记作 C = A+B
1,矩阵的加法
(1) 定义设 A,B,C,O 都是 m× n 矩阵
(1) A + B = B + A
(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C )
(3) A + O = O + A = A
(2) 性质
2,矩阵的减法
(1) 负矩阵 设 A = ( aij ) m× n,则称
( － aij ) m× n 为 A的负矩阵，简记 － A
显然 A+ (－ A)= O,－ (－ A) = A
(2) 减法,设 A = ( aij ) m× n,B = ( bij ) m× n
A－ B = A + (－ B ) = ( aij－ bij ) m× n
mnmm
n
n
nmij
aaa
aaa
aaa
aA
21
22221
11211
)(记为?,即设?是常数,A = ( aij ) m× n,则矩阵
(? aij ) m× n 称为 数?与矩阵 A的乘积,
3.数与矩阵的乘法
(1) 定义设 A,B 为 m × n 矩阵,?,u为常数
(1) (? u ) A =? ( u A) = u (? A );
(2)? ( A + B ) =? A +? B
(3) (? + u ) A =? A + u A
(4) 1·A = A
(－ 1)·A = － A
(2) 性质例 3,设,
502
134?
A?
301
021B 求 A－ 2B
解,?
602
0422 B
602
042
502
1342 BA
104
172
设 A = ( aij ) m× s,B = ( bij ) s× n,
其中 Cij等于 A的第 i行与 B的第 j列对应元素的乘积之和
ijC
S
k
kjik ba
1
( i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
sjisjiji bababa2211
乘积 C＝ AB是 m× n矩阵,C = ( cij ) m× n
则 A与 B的
4,矩阵的乘法
(1) 定义例 4,设矩阵
,A
012
301,B
02
11
14
求乘积 AB 和 BA
解：
02
11
14
012
301
2332 BA
37
110
012
301
02
11
14
3223 AB
602
311
1216
注,AB? BA 即矩阵乘法不满足交换律例 5,设,
11
11?
A,12
12?
B
,31 32?
C
52
51D
试证,(1) AB = 0 ； (2) AC = AD
证：
12
12
11
11AB(1)?
00
00 O?
31
32
11
11AC(2)
03
03
52
52
11
11AD?
03
03
故 AC ＝ AD
比较：
(1) 在数的乘法中，若 ab = 0? a = 0 或 b = 0
在矩阵乘法中，若 AB = O? A = O 或 B = O
两个非零矩阵乘积可能为 O。
(2) 在数的乘法中，若 ac = ad,且 a? 0? c = d
(消去律成立 )
在矩阵乘法中，若 AC = AD,且 A? O?C = D
(消去律不成立 )
(1) ( A B ) C = A ( B C )
(2) A (B + C ) = A B + A C
(3) ( B + C ) A = B A + C A
(4)? ( A B ) = (? A ) B = A (? B ) (其中? 为常数 )
(2) 性质
5,线性方程组的矩阵表示设方程组为
11212111 bxaxaxa nn
22222121 bxaxaxa nn
mnmnmm bxaxaxa2211
可表示为简记为 AX＝ B。
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
nm? 1?n 1?m
A称为由线性方程组的 系数矩阵。
将矩阵 A m× n 的 行换成同序数的列,
列换成同序数的行 所得的 n× m 矩阵称为 A的 转置矩阵,记作 AT 或 A'。
例如,?
034
201A
02
30
41
TA
则
6,矩阵的转置
(1) 定义
(1) ( AT ) T = A
(2) ( A + B ) T = A T + B T
(3) (? A ) T ＝? A T
(4) ( A B ) T = BT A T
TTTnTn AAAAAA 1221 )(
(2) 性质例 6,设
,A
102
211
124
311
012
B 求 ( A B )
T。
解法一：
124
311
012
102
211
AB
108
129
11
02
89
)( TBA
( A B ) T = B T A T
12
01
21
130
211
412
11
02
89
,102 211?
A
124
311
012
B
解法二：
三、方阵
1.定义则,lklk AAA
kllk AA?)( (其中,k,l均为正整数 )
记 A·A … A = Ak
k个
kkk BAABABABAB )())(()(
k个行数与列数相同的 n × n 矩阵 A 称为 方阵,
n 称为它的 阶数,简记 An 。
称为 n阶单位矩阵,简记 E
显然 nmnnm AEA
mnmnn BBE
1,单位矩阵
nn?
0
0 1
1
1
nE
2.几类特殊方阵
2,对角矩阵其中 aij = 0,i? j
nn?
0
0 nna
a
a
22
11
特别：
称为 数量矩阵
n
kEK?
0
0 k
k
k
结论：
(1)
0
0
0
0
nna
a
a
22
11
nnb
b
b
22
11
0
0 nnnn ba
ba
ba
2222
1111
(2) k为正整数时
0
0
nn
a
a
a
22
11
k
0
0
k
nn
k
k
a
a
a
22
11
3,上三角矩阵,
222
11211
nn
n
n
a
aa
aaa
0
其中 aij = 0,i > j
下三角矩阵其中 aij = 0,i < j
,
21
2221
11
nnnn
aaa
aa
a
0
4,对称矩阵
(1) 若方阵 A满足 AT = A,即 aji = aij,则称 A为对称矩阵 。
(2) 若方阵 A满足 AT = － A,即 aji = － aij,则称
A为 反对称矩阵 。这时 aii = 0 ( i = 1,2,… n)
例 7,设 A为任一方阵，证明,A+AT为对称阵，
A－ AT 为反对称阵证,由于
TTTTT AAAA )()( AA T TA
TTTTT AAAA )()( AA T
)( TAA
故 A+AT为对称阵,A－ AT 为反对称阵
(1) 方阵 A 对应的行列式记为 |A |或 det A
若 |A|? 0,则称方阵 A 是 非奇异 (非退化 )的，
否则，称 A 是 奇异 (退化 )的。
3、比较方阵与行列式
(2) |? A | =? n | A |
(3) | A B | = | A | | B |
(3) | A B | = | A | | B |例如：
21 11,43 21 BA
,57 51AB 有 3057 51||AB
而 321 11||,1043 21|| BA
所以 | A B | = | A | | B |
(4) | A m | = | A | m
| A 1 A 2 … A m | = | A 1| | A 2 | … | A m |
推广：
四、分块矩阵如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵 A分成若干小块，这样的小块称为矩阵 A的 子块 或 子矩阵,而 A可以看成是以子块为元素的矩阵，称 A为 分块矩阵 。
1,定义例如：
0341
2053
6211
A
，
0341
2053
6211
0341
2053
6211
A11 A12
A21 A22
例 8,设
，
0101
1100
0010
0001
A
1000
2100
1000
0101
B
利用分块矩阵求 A+B,AB。
0101
1100
0010
0001
A
1000
2100
1000
0101
B
解：将 A,B分块成
21
0
AA
E
2
1
0 B
EB
11
12
22 －－BA
221
1
BAA
EBE
BA则
,
10
02
1
BE而
1101
1200
1010
0102
BA
故
10 21,00 01,01 11,01 00 2121 BBAA
2
1
21 0
0
B
EB
AA
E
AB
00
01
01
00
11 BA
10
21
01
11
01
00
221 BAA
21 3101 00 20 31
22111
1
BAABA
EB
01
00而
10 21,00 01,01 11,01 00 2121 BBAA
2001
3100
1000
0101
AB故考察,AT
5413
2041
3162
A
对于?
1211 AA
2221 AA
5
4
1
3
2
0
4
1
3
1
6
2
T
A
有
12
T
11
T
A
A
22
T
21
T
A
A
2,分块矩阵的转置
A
注,设矩阵 A = ( aij ) m?n 分块为
T
A
则
tAAA 11211?
tAAA 22221?
stss AAA?21
tA
A
A
1
T
12
T
11
T
tA
A
A
2
T
22
T
21
T
st
s
s
A
A
T
2
T
1
T
若方阵 A除主对角线上的子块外，其余子块都为 O,且主对角线的子块均为方阵，
则称 A为 准对角矩阵 。
0
0
( Ai 为方阵,i = 1,2,…,m)
即：
A
m
A
A
A
2
13,准对角矩阵定义：
例如：
3
2
1
A
A
A
0
0
为准对角矩阵。
210000
112000
015000
000600
000041
000023
准对角矩阵与对角矩阵有类似的性质例如：
0
0
A
mA
A
A
2
1
0
0kA有
k
m
k
k
A
A
A
2
1
( Ai 为方阵,i = 1,2,…,m)
§ 2 矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换定义 1 对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换
(1) 互换两行 ( 记作 ri? rj );
(2) 以数 0 乘以某一行 ( 记作? × ri );
(3) 将第 j 行各元素乘以数?后加到第 i 行 的对应元素上去 (记作 ri +? rj )
相应地，矩阵的三种 初等列变换 的记号只需将
r 换成 c。
二、初等矩阵定义 2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵 。
(1) ri? rj
ci? cj 也得到 P (i,j)
1
1
01
1
10
1
1
第 i 行第 j行
),( jiP
(2)? × ri
× ci 也得到 P ( i (?))
1
1
1
1
0
0
第 i 行))((?iP
(3) ri +? rj
cj +? ci 也得到 P ( i,j (? ) )
1
1
1
1
第 i 行第 j 行
))(,(?jiP
定理 1
对 A施行一次 初等行变换,相当于在 A的 左侧乘以一个相应的初等矩阵 ；
对 A施行一次 初等列变换,相当于在 A的 右侧乘以一个相应的初等矩阵 ；
例如：
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
设 A是一个 m × n 矩阵
(1) A r1? r2
34333231
14131211
24232221
aaaa
aaaa
aaaa
P(1,2) A
34333231
14131211
24232221
aaaa
aaaa
aaaa
100
001
010
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
(2) A c3? c4
33343231
23242221
13141211
aaaa
aaaa
aaaa
A P(3,4)
0100
1000
0010
0001
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
33343231
23242221
13141211
aaaa
aaaa
aaaa
三、矩阵的秩
1,k 阶子式定义 3 设 A 为 m× n 矩阵，在 A 中任取 k 行 k
列 (1? k? min (m,n)),由这 k 行,k 列的交叉处的 k2 个元素 (按原来的前后顺序 )所构成的 k 阶行列式，称为矩阵 A的一个 k 阶子式。
例如：
5000
4320
0101
A
一个 2阶子式 550 01
例如：
5000
4320
0101
A
一个 2阶子式 550 01
一个 3阶子式 10
500
420
001
(1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式
(2) 当 A 为 n 阶方阵时,n 阶子式即为 | A |
注：
2,矩阵的秩例如：
5000
4320
0101
A
中有一个 3阶子式
010
500
420
001
r(A) = 3
定义 4 矩阵 A的不为 0的子式的最高阶数称为矩阵
A的 秩,记为 r (A)。
( 显然 r (A)? min (m,n) )
规定：
注：
(1) 非奇异矩阵 A，有 | A |? 0,A的秩就等于它的阶数,A又称为 满秩矩阵 。
(2) 奇异矩阵 A,也称为 降秩矩阵 。
定理 2 若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为 0，
而所有 k+1 阶子式全为 0,则 r ( A ) = k。
零矩阵的秩为 0，即 r (O) = 0
3,初等变换求矩阵的秩定理 4.3 对矩阵施行初等变换,矩阵的秩不变例：
00000
10300
13230
22021
阶梯形r ( A ) = 3
43333
32012
66242
20121
A
进一步：
A
00000
00100
00010
00001
称为 A的 标准形注：若 A为 n阶满秩方阵,则 A的标准形为 n阶单位阵 E。
00000
10300
13230
22021
§ 3 逆 矩 阵一、逆矩阵的定义定义 1
AB = BA = E
则称 B 为 A 的 逆矩阵,并称 A 可逆 。
设 A是一个 n阶方阵，若存在 n阶方阵 B
使显然 A 为 B 的逆矩阵,即 A 与 B 互为逆矩阵 。
例如：,
52
21?
A?
12
25B
有?
12
25
52
21
10
01
52
21
12
25
所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵。
例 1 设 a11 a22 … ann? 0,
nna
a
a
22
11
0
0
n
nn
E
a
a
a
1
1
22
1
11
0
0
由于：
1
22
11
nna
a
a
0
0?
1
1
22
1
11
nna
a
a
0
0
所以例 2 若方阵 A1 A2 … Am 均可逆,可证
1
2
1
m
A
A
A
0
0?
1
1
2
1
1
m
A
A
A
0
0
定理 1 (唯一性 )
若方阵 A 的逆矩阵存在，则唯一，用 A－ 1 表示证：设 B,C均是 A的逆矩阵，则
B
所以 A的逆矩阵唯一。
= BE = B(AC) = (BA)C = EC = C
矩阵
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
*
称为 A 的 伴随矩阵定义 2,设 A = (aij)n× n,Aij 是 |A | 中元素 aij 的代数余子式 ( i,j = 1,2,…,n );
二、矩阵可逆的条件即：
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
21
22212
12111
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
||00
0||0
00||
A
A
A
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
21
22212
12111
||00
0||0
00||
A
A
A
A A* = A* A = |A | E
定理 2 方阵 A 存在逆矩阵 |A | 0?
*1
||
1 A
AA?
且求逆矩阵的第一种方法：
*1
||
1 A
AA?
方阵 A满足 |A | 0? 时，
例 3 求矩阵?
52
21A 的逆矩阵解,01
52
21||A
故 A 可逆，又 A11＝ 5,A12＝－ 2,A21＝－ 2,A22＝ 1
则?
12
25*A
所以 *1
||
1 A
AA?
12
25
比较：
(1) 在数的乘法中，若 ab = 0? a = 0 或 b = 0
在矩阵乘法中，若 AB = O? A = O 或 B = O
两个非零矩阵乘积可能为 O。
(2) 在数的乘法中，若 ac = ad,且 a? 0? c = d
(消去律成立 )
在矩阵乘法中，若 AC = AD,且 A? O? C = D
(消去律不成立 )
例 4 设 A 是可逆阵，证明：
(1) 若 A X = A Y? X = Y
(2) 若 A B = 0? B = 0
证：
A－ 1 ( A X ) = A－ 1 ( A Y )
( A－ 1 A ) X = ( A－ 1 A ) Y
EX = EY X = Y
(1) A X = A Y由所以
(2) 由 AB =0,有 A－ 1 (AB) = A－ 1 0
所以 B =0( A－ 1 A ) B = 0
(1) 若 A,B均为 n阶方阵，且 A B = E (或 B A =E )，
则 B＝ A－ 1
证：
|A| |B| = |E| = 1? |A|? 0
A－ 1存在，且 A－ 1 = A－ 1E = A－ 1(AB)
= (A－ 1A) B = EB = B
设 A B = E
同理可证 B A =E 的情形三、逆矩阵的性质
(2) ( A－ 1 )－ 1 = A
(3) 若 A可逆, 0 为常数,则
11 1)( AA
(4) 若 A,B 均为 n阶可逆矩阵,则 (AB)－ 1 = B－ 1A－ 1。
特别,当 |A|? 0,有 (A m )－ 1 = (A－ 1 ) m (m为正整数 )
若 A1,A2,…,Am均为 n阶可逆矩阵，则
( A1 A2 … Am)－ 1 = Am－ 1 … A2－ 1 A1－ 1
推广：
证明,因为 (AB)(B－ 1A－ 1)
= A E A－ 1 = E
所以 (AB)－ 1 = B－ 1A－ 1
= A ( B B－ 1 ) A－ 1
(5)
||
1|||| 11
A
AA
这是因为 | A－ 1 | | A | = | E | = 1
四、初等行变换求逆矩阵 (方法二 )
1,初等矩阵都是可逆矩阵，且其矩阵仍然是初等矩阵
),()],([ 1 jiPjiP
))1(())](,([ 1 iPiP
))(,())](,([ 1 jiPjiP
定理 3 若方阵 A可逆，则存在有限个初等矩阵 P1,
P2,… Pm,使 A = P1 P2 … Pm
证：因为 A可逆，则 r(A) = n,标准形为 En，
A = P1 P2 … Pm
P1 P2 … PsEPs+1… Pm = A
即存在有限次初等变换使 A化为 En，
有限次初等变换使 En化成 A，
反之，也存在
P1,P2,…,Pm,使故存在有限个初等矩阵
11121 PPP m?
表示为：
A = P1 P2 … Pm
EA
E 11121 PPP m? A－ 1
( A E ) ( E A－ 1 )初等行变换例 4 设,
343
122
321
A 求 A－ 1.
解,
100343
010122
001321
)( EA
r2－ 2r1
r3－ 3r1?
103620
012520
001321
111100
012520
011201
111100
563020
231001
r1 － 2r3
r2 － 5r3
111100
2/532/3010
231001
)21(2r
)1(3r
r1 + r2
r3 － r2
故
111
2/532/3
231
1
A
对 A 也可通过初等列变换求 A－ 1
E
A 初等列变换
1A
E
A = P1 P2 … Pm
注：
表示为：
11121 PPP m? EA
E A－ 1?
11121 PPP m?
对于 n元线性方程组
AX = B
则 X＝ A－ 1B
|A|? 0,A－ 1存在若五、逆矩阵的应用
1,解线性方程组例 5,解方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1
2 x1 + 2 x2 + x3 =?1
3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3
解,方程组简记为
,
343
122
321
A,
3
1
1
B,
3
2
1
x
x
x
X
X = A?1 B
由于 | A | = 2? 0,A可逆，故
A X = B
其中而
,
111
25323
231
1
A
3
2
1
x
x
x
X BA
1
111
25323
231
3
1
1
3
9
8
即 x1=? 8,x2= 9,x3=? 3.
2,解矩阵方程
31
52
41
213
124
021
X例 6,解矩阵方程解：矩阵方程简记为 A X = B
31
52
41
213
124
021
1
1 BAX
17
213
124
021
A 0? A－ 1存在
31
52
41
652
1211
245
17
1
356
3716
615
17
1
例 7 解矩阵方程 AX + E = A2 + X
其中：
,
101
020
101
A
E 为三阶单位矩阵解：由 AX + E = A2 + X
即 ( A?E ) X = ( A? E )( A + E )
得 AX? X = A2? E
,
001
010
100
EA而所以 A?E 可逆,
故 X = A + E
100
010
001
101
020
101
201
030
102
( A?E ) X = ( A? E )( A + E )
所以 (A－ E)－ 1( A?E ) X = (A－ E)－ 1( A? E )( A + E )
