设 y = f (x),若 y =f (x)可导,则 f '(x)是 x的函数,若 f '(x)仍可导,则可求 f '(x)的导数,记作 (f
'(x))'=f ''(x).称为 f (x)的二阶导数,若 f ''(x)仍可导,
则又可求 f ''(x)的导数,….
§ 4－ 3 高阶导数一般,设 y= f (x)的导数 y' = f '(x)存在且仍可导,记 f '(x)的导数为 ).(,
d
d
2
2
xfyx y或
,))(()(dd,2
2
xfxfyx y即
))(()(dd,)3()3(3
3
xfxfyx yy 记仍可导若称为 f (x)的三阶导数,
二阶导数,
称为 f (x)的
))(()(dd,,)1()()()1( xfxfyx yy nnnn
n
n 记仍可导若一般称为 f (x)的 n阶导数,
二阶以上的导数都称为高阶导数,记 Cm(I)
为区间 I上所有具有 m阶连续导数的函数所成集合,为统一符号,有时记 y(0)=y,y(1)=y',y(2)=y''.
例 1.设物体作变速运动,在 [0,t]这段时间内所走路程为 S = S(t),指出 S''(t)的物理意义,
解,我们知道,S'=V(t),而 S''=V'(t)
注意到,?V = V ( t +?t)?V(t)表示在 [t,t +?t]
这段时间内速度 V(t)的增量 (改变量 ),从而
,度这段时间内的平均加速表示在 tatV
故 ).( l i m
0 tat
V
t
即,S'' = V'(t) = a(t)为物体在时刻 t的加速度,
例 2.,)1()(243 2 yyyxxy 满足验证解,43 xxy 411 x
.)4( 1 2 xy
4)4(
)4(2
x
xy
从而
3
2
2
2
)4(
2
4
1
)4(
12)1()(2
xxx
yyy = 0
3)4(
2?
x
例 3.
解,y' = nxn–1,
.,,)1()( nnn yynxy 和求为正整数设
y'' = n(n–1)xn–2,y(3)= n(n–1)(n–2) xn–3,
…,y(n)= n(n–1)… 3 ·2 ·1 xn–n = n!
而 y(n+1)= (n!)' = 0
易见,若 f (x),g(x)均存在 n阶导数,则
)()( )()( )()()( xgxfxgxf nnn
类似,设 f (x)=a0xn +a1xn–1 +a2xn–2 +…+ an–1 xn +an,
为 n次多项式,则 f (n)(x)=a0n!,而 f (n+1)(x)= 0
例 4.,),1,0(,)2(,)1( )( nxx yaaayey 求设
解,(1) y' = e?x,y'' = e?x2,y(3)=e?x3,…,
故 y(n) = e?xn.
特别,取? = 1,得 (ex)(n) = ex
(ax)(n) = ( exlna)(n)
取? = –1,得 (e–x)(n) =(–1)(n) ex.
(2) 由于 ax = exlna,由 (1)得
= ax (lna)n= exlna (lna)n
例 5,求 y = sinx的 n阶导数 y(n).
解,我们知道 y' =cosx,y'' = –sinx,y(3)= –cosx,
y(4)= sinx,…
但 y(n)的通项公式难写,并且不好记,
).2s i n (c o s xx由于 从而
)( s in xy ).2s in ( x=cosx
)2s i n (?xy )2c o s ( x ).22s i n ( x
)22s i n ()3(?xy )22c o s ( x
).23s i n ( x
)()( )( s i n nn xy?故 ).2s i n ( nx
).2c o s ()( c o s,)( nxx n类似例 6,设 y = sin2x,求 y(n).
解,y' = (sin2x)'
y'' =(sin2x)'
= sin2x.= 2sinxcox
2)22s i n (x
,2)222s i n ( 2)3(xy
……
.22)1(2s i n 1)( nn nxy?
例 7,求 y =ln(1+x)的 n阶导数,
解,,1 1 xy
1)1( xy 2)1( x
,)1)(2)(1( 3)3( xy
,)1)(3)(2)(1( 4)4( xy
……
n
nn
x
ny
)1(
)!1()1(,1)(
一般
.)( !)1()1(,1)( nnn ax nax类似定理 1.设 u=u(x),v=v(x)在点 x处具有 n阶导数,
则 u ·v = u(x) v(x)在点 x处也有 n阶导数,
且?
n
k
kknk
n
n vuCvu
0
)()()()(
证,用数学归纳法证明,
当 n=1时,(uv)' = u'v + v'u,公式成立,
设 n = m时公式成立,即
m
k
kkmk
m
m vuCvu
0
)()()()(
两边求导,得到当 n=m+1时,有
m
k
kkmk
m
m vuCvu
0
)()()1( )()(
m
k
kkmkkmk
m vuvuC
0
)1()()()1(
][][ )2()1()1()(1)1()()0()1(0 vuvuCvuvuC mmmmmm
][ )1()0()()1( mmmm vuvuC?
)1()0()()1(1
)1()(10)0()1(0
)(
)(
mm
m
mm
m
m
m
m
mm
m
m
vuCvuCC
vuCCvuC?
)( 11 kmkmkm CCC由于
1
0
)()1(
1
m
k
kkmk
m vuC
例 8.设 y = x2sinax的 10阶导数 y(10)
解,y = sin (ax)?x2,记 u = sinax,v = x2
由于 v(3)=v(4)=? v(10)=0
而 nn
anaxu )
2
s in ()(?
故
2)
2
8s i n (45
2)
2
9s i n (10)
2
10s i n (
8
9210
axa
xaxaxaxa
axaaxxaaxxa s i n90co s20s i n 89210
)2()8(210)1()9(110)0()10(010)10( vuCvuCvuCy
例 9.设,,11 )(2 nyxy 求
解,注意到 )1111(21)1)(1( 1 xxxxy
故 ])
1
1()
1
1[(
2
1)
1
1
1
1(
2
1 )()()()( nnnn
xxxxy
由于 1)( )( ! )1()1( nnn ax nax
故
11
)(
)1(
! )1(
)1(
! )1[(
2
1
n
n
n
nn
x
n
x
ny
])1( 1)1( 1[2 !)1( 11 nn
n
xx
n
一般，若,
))((
1
dcxbaxy 则 y可分解成
.dcx Bbax Ay 其中 A,B可用待定系数法确定,
从而可按例 9的方法求 y(n).
例 10,求由方程 x?y+siny=0所确定的隐函数 y=y(x)
的二阶导数,
解,先求 y=y(x)的一阶导数,两边对 x求导,y是 x的函数
0'co s'1 yyy
解出 y',yy c o s1 1'
再求 y'',xyy )c o s1 1(''
.)c o s1( 's i n 2y yy
xyy )c o s1()c o s1(
)1(
2
将 y'的表达式代入得
3)c o s1(
s i n''
y
yy
例 11.设 y=y(x)由 ex+y?xy = 1所定,求 y'' (0).
解,方程两边对 x 求导,y 是 x 的函数,得
(1+y' )ex+y? y?xy' = 0
易见,当 x = 0时,y = 0,且 y' (0) =?1.
方程 (1+y' )ex+y? y?xy' = 0
两边再对 x 求导,此时,y,y' 都是 x 的函数,有
y'' ex+y + (1+y' )2ex+y? y'? (y' + xy'' ) = 0
即 y'' ex+y + (1+y' )2ex+y? 2y'? xy'' = 0.
将 x = 0,y = 0,及 y' (0) =?1代入,得
y'' (0) =?2
现在有参数方程
x=? (t)
)('
)(''
t
ty
x?
因此 )('
)('
)('
d
'd
d
d
2
2
t
'
t
t
x
y
x
y tx
设参数方程
x=? (t)
y=? (t)?d
d
)('
)('
d
d
2
2
x
y
t
t
x
y,如何求则
.,)(' )('dd' 的函数仍是记 tttxyy x ).'(
d
d)''(
d
d
2
2
xxx yxyx
y而例 12.设
x=acos3t
y=asin3t,求,d
d
2
2
x
y
解,一阶导数
)co s(
)s i n(
d
d
3
3
ta
ta
x
y,tgt
得到 x=acos3t
txy tgdd
)s i n(co s3
co ss i n3
2
2
tta
tta
从而
)
d
d(
d
d
d
d
2
2
x
y
xx
y?
.cs cs ec31 4 tta
tta
t
s i nc o s3
s e c
2
2
)'co s(
)'tg(
3 ta
t
例 13.设
x=a(t? sin t)
y=a (1? cos t),d
d
2
2
x
y,求解：
)c o s1(
s i n
d
d
ta
ta
x
y
得到
2ct gd
d t
x
y?
x = a(t?sin t)
2ctg
t?
2
s i n2
2
c o s
2
s i n2
2 t
tt
t
t
c s1
sin
从而
)dd(dddd 2
2
x
y
xx
y?
2)c o s1(
1
ta
)c o s1(
2c s c2
1 2
ta
t
))'s i n((
)'2c t g(
tta
t
例 14.
)0(,
0,s i n
0,)( 2 是否存在问设 f
xxx
xxxf
解,x=0是分段函数 f (x)的分段点,
由定义,f ''(0)=(f '(x))'|x=0 x fxf
x?
)0()0(l i m
0
x
fxf
x
)0()(l i m
0
因此,为讨论 f ''(0),须求出 f '(x)及 f '(0).
(1) x fxff
x
)0()(l i m)0(
0
0s i nl i m
0
x
x
x
x
fxff
x
)0()(l i m)0(
0
0l i
2
0
x
x
x
故 f '(0) = 0.
(2) 当 x<0时,f (x)=x2,从而 f '(x) = 2x.
当 x>0时,f (x) = sinx–x,从而 f '(x) = cosx –1.
综合 (1),(2)
,0,1co s
0,0
0,2
)(
xx
x
xx
xf
(3) )0(f由于
x
xf
x
)(l im
0
而
x
xf
x
)(lim
0
故 f ''(0)不存在,
02
s i n2
l i m1c o sl i m
2
00
x
x
x
x
xx
x
xf
x
fxf
xx
)(l i m)0()(l i m
00
22l im
0
x
x
x
例 15.,)0(|,|3)( )(22 nfxxxxf n 存在的最高阶数求使设
解：
,
0,4
0,2)(
3
3
xx
xxxf f (0) = 0
当 x? 0时,
0,12
0,6)(
2
2
xx
xxxf
04lim)(lim)0(
3
00
x
x
x
xff
xx
02lim)(lim)0(
3
00
x
x
x
xff
xx
即 f ' (0) = 0.
,
0,12
0,6)(
2
2
xx
xxxf
从而
f ' (0) = 0.
同理
,0,24 0,12)(
xx
xxxf f '' (0) = 0.
.)0()3( 不存在但 f 事实上
,2424lim)(lim)0(
00
)3(
x
x
x
xff
xx
,1212lim)(lim)0(
00
)3(
x
x
x
xff
xx
故 f (3)(0)不存在,
使 f (n)(0)存在的最高阶数 n = 2.
例 16,设解,法 1,x't = 2.
.
d
d
,1
2
2
2
2 x
y
te
tx
y 求
第二个方程两边对 t 求导,y 是 t 的函数,
得
02 tye ty
yt ety 2
从而
.dd yetxy
,
2
d
d
tx
et
x
y y即
,2 yt ety x't = 2.
)(
d
d
t
yy
t yetex
y
)2( yyy tetee
).21( 2 yy ete
从而
t
t
x
x
y
x
y
d
d
d
d
2
2
).21(21 2 yy ete
法 2.
,1
2
2te
tx
y
消参数 t,得
.141 2 xe y
两边对 x 求导,得,0
2
1 xye y
即
.21 yxey
.21 yxey
yxey
2
1
))((21 yxee yy
.21121 2?
yy exe
'(x))'=f ''(x).称为 f (x)的二阶导数,若 f ''(x)仍可导,
则又可求 f ''(x)的导数,….
§ 4－ 3 高阶导数一般,设 y= f (x)的导数 y' = f '(x)存在且仍可导,记 f '(x)的导数为 ).(,
d
d
2
2
xfyx y或
,))(()(dd,2
2
xfxfyx y即
))(()(dd,)3()3(3
3
xfxfyx yy 记仍可导若称为 f (x)的三阶导数,
二阶导数,
称为 f (x)的
))(()(dd,,)1()()()1( xfxfyx yy nnnn
n
n 记仍可导若一般称为 f (x)的 n阶导数,
二阶以上的导数都称为高阶导数,记 Cm(I)
为区间 I上所有具有 m阶连续导数的函数所成集合,为统一符号,有时记 y(0)=y,y(1)=y',y(2)=y''.
例 1.设物体作变速运动,在 [0,t]这段时间内所走路程为 S = S(t),指出 S''(t)的物理意义,
解,我们知道,S'=V(t),而 S''=V'(t)
注意到,?V = V ( t +?t)?V(t)表示在 [t,t +?t]
这段时间内速度 V(t)的增量 (改变量 ),从而
,度这段时间内的平均加速表示在 tatV
故 ).( l i m
0 tat
V
t
即,S'' = V'(t) = a(t)为物体在时刻 t的加速度,
例 2.,)1()(243 2 yyyxxy 满足验证解,43 xxy 411 x
.)4( 1 2 xy
4)4(
)4(2
x
xy
从而
3
2
2
2
)4(
2
4
1
)4(
12)1()(2
xxx
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3)4(
2?
x
例 3.
解,y' = nxn–1,
.,,)1()( nnn yynxy 和求为正整数设
y'' = n(n–1)xn–2,y(3)= n(n–1)(n–2) xn–3,
…,y(n)= n(n–1)… 3 ·2 ·1 xn–n = n!
而 y(n+1)= (n!)' = 0
易见,若 f (x),g(x)均存在 n阶导数,则
)()( )()( )()()( xgxfxgxf nnn
类似,设 f (x)=a0xn +a1xn–1 +a2xn–2 +…+ an–1 xn +an,
为 n次多项式,则 f (n)(x)=a0n!,而 f (n+1)(x)= 0
例 4.,),1,0(,)2(,)1( )( nxx yaaayey 求设
解,(1) y' = e?x,y'' = e?x2,y(3)=e?x3,…,
故 y(n) = e?xn.
特别,取? = 1,得 (ex)(n) = ex
(ax)(n) = ( exlna)(n)
取? = –1,得 (e–x)(n) =(–1)(n) ex.
(2) 由于 ax = exlna,由 (1)得
= ax (lna)n= exlna (lna)n
例 5,求 y = sinx的 n阶导数 y(n).
解,我们知道 y' =cosx,y'' = –sinx,y(3)= –cosx,
y(4)= sinx,…
但 y(n)的通项公式难写,并且不好记,
).2s i n (c o s xx由于 从而
)( s in xy ).2s in ( x=cosx
)2s i n (?xy )2c o s ( x ).22s i n ( x
)22s i n ()3(?xy )22c o s ( x
).23s i n ( x
)()( )( s i n nn xy?故 ).2s i n ( nx
).2c o s ()( c o s,)( nxx n类似例 6,设 y = sin2x,求 y(n).
解,y' = (sin2x)'
y'' =(sin2x)'
= sin2x.= 2sinxcox
2)22s i n (x
,2)222s i n ( 2)3(xy
……
.22)1(2s i n 1)( nn nxy?
例 7,求 y =ln(1+x)的 n阶导数,
解,,1 1 xy
1)1( xy 2)1( x
,)1)(2)(1( 3)3( xy
,)1)(3)(2)(1( 4)4( xy
……
n
nn
x
ny
)1(
)!1()1(,1)(
一般
.)( !)1()1(,1)( nnn ax nax类似定理 1.设 u=u(x),v=v(x)在点 x处具有 n阶导数,
则 u ·v = u(x) v(x)在点 x处也有 n阶导数,
且?
n
k
kknk
n
n vuCvu
0
)()()()(
证,用数学归纳法证明,
当 n=1时,(uv)' = u'v + v'u,公式成立,
设 n = m时公式成立,即
m
k
kkmk
m
m vuCvu
0
)()()()(
两边求导,得到当 n=m+1时,有
m
k
kkmk
m
m vuCvu
0
)()()1( )()(
m
k
kkmkkmk
m vuvuC
0
)1()()()1(
][][ )2()1()1()(1)1()()0()1(0 vuvuCvuvuC mmmmmm
][ )1()0()()1( mmmm vuvuC?
)1()0()()1(1
)1()(10)0()1(0
)(
)(
mm
m
mm
m
m
m
m
mm
m
m
vuCvuCC
vuCCvuC?
)( 11 kmkmkm CCC由于
1
0
)()1(
1
m
k
kkmk
m vuC
例 8.设 y = x2sinax的 10阶导数 y(10)
解,y = sin (ax)?x2,记 u = sinax,v = x2
由于 v(3)=v(4)=? v(10)=0
而 nn
anaxu )
2
s in ()(?
故
2)
2
8s i n (45
2)
2
9s i n (10)
2
10s i n (
8
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axa
xaxaxaxa
axaaxxaaxxa s i n90co s20s i n 89210
)2()8(210)1()9(110)0()10(010)10( vuCvuCvuCy
例 9.设,,11 )(2 nyxy 求
解,注意到 )1111(21)1)(1( 1 xxxxy
故 ])
1
1()
1
1[(
2
1)
1
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2
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xxxxy
由于 1)( )( ! )1()1( nnn ax nax
故
11
)(
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! )1(
)1(
! )1[(
2
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n
n
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x
n
x
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n
xx
n
一般，若,
))((
1
dcxbaxy 则 y可分解成
.dcx Bbax Ay 其中 A,B可用待定系数法确定,
从而可按例 9的方法求 y(n).
例 10,求由方程 x?y+siny=0所确定的隐函数 y=y(x)
的二阶导数,
解,先求 y=y(x)的一阶导数,两边对 x求导,y是 x的函数
0'co s'1 yyy
解出 y',yy c o s1 1'
再求 y'',xyy )c o s1 1(''
.)c o s1( 's i n 2y yy
xyy )c o s1()c o s1(
)1(
2
将 y'的表达式代入得
3)c o s1(
s i n''
y
yy
例 11.设 y=y(x)由 ex+y?xy = 1所定,求 y'' (0).
解,方程两边对 x 求导,y 是 x 的函数,得
(1+y' )ex+y? y?xy' = 0
易见,当 x = 0时,y = 0,且 y' (0) =?1.
方程 (1+y' )ex+y? y?xy' = 0
两边再对 x 求导,此时,y,y' 都是 x 的函数,有
y'' ex+y + (1+y' )2ex+y? y'? (y' + xy'' ) = 0
即 y'' ex+y + (1+y' )2ex+y? 2y'? xy'' = 0.
将 x = 0,y = 0,及 y' (0) =?1代入,得
y'' (0) =?2
现在有参数方程
x=? (t)
)('
)(''
t
ty
x?
因此 )('
)('
)('
d
'd
d
d
2
2
t
'
t
t
x
y
x
y tx
设参数方程
x=? (t)
y=? (t)?d
d
)('
)('
d
d
2
2
x
y
t
t
x
y,如何求则
.,)(' )('dd' 的函数仍是记 tttxyy x ).'(
d
d)''(
d
d
2
2
xxx yxyx
y而例 12.设
x=acos3t
y=asin3t,求,d
d
2
2
x
y
解,一阶导数
)co s(
)s i n(
d
d
3
3
ta
ta
x
y,tgt
得到 x=acos3t
txy tgdd
)s i n(co s3
co ss i n3
2
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tta
tta
从而
)
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d
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x
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y?
.cs cs ec31 4 tta
tta
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s i nc o s3
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2
2
)'co s(
)'tg(
3 ta
t
例 13.设
x=a(t? sin t)
y=a (1? cos t),d
d
2
2
x
y,求解：
)c o s1(
s i n
d
d
ta
ta
x
y
得到
2ct gd
d t
x
y?
x = a(t?sin t)
2ctg
t?
2
s i n2
2
c o s
2
s i n2
2 t
tt
t
t
c s1
sin
从而
)dd(dddd 2
2
x
y
xx
y?
2)c o s1(
1
ta
)c o s1(
2c s c2
1 2
ta
t
))'s i n((
)'2c t g(
tta
t
例 14.
)0(,
0,s i n
0,)( 2 是否存在问设 f
xxx
xxxf
解,x=0是分段函数 f (x)的分段点,
由定义,f ''(0)=(f '(x))'|x=0 x fxf
x?
)0()0(l i m
0
x
fxf
x
)0()(l i m
0
因此,为讨论 f ''(0),须求出 f '(x)及 f '(0).
(1) x fxff
x
)0()(l i m)0(
0
0s i nl i m
0
x
x
x
x
fxff
x
)0()(l i m)0(
0
0l i
2
0
x
x
x
故 f '(0) = 0.
(2) 当 x<0时,f (x)=x2,从而 f '(x) = 2x.
当 x>0时,f (x) = sinx–x,从而 f '(x) = cosx –1.
综合 (1),(2)
,0,1co s
0,0
0,2
)(
xx
x
xx
xf
(3) )0(f由于
x
xf
x
)(l im
0
而
x
xf
x
)(lim
0
故 f ''(0)不存在,
02
s i n2
l i m1c o sl i m
2
00
x
x
x
x
xx
x
xf
x
fxf
xx
)(l i m)0()(l i m
00
22l im
0
x
x
x
例 15.,)0(|,|3)( )(22 nfxxxxf n 存在的最高阶数求使设
解：
,
0,4
0,2)(
3
3
xx
xxxf f (0) = 0
当 x? 0时,
0,12
0,6)(
2
2
xx
xxxf
04lim)(lim)0(
3
00
x
x
x
xff
xx
02lim)(lim)0(
3
00
x
x
x
xff
xx
即 f ' (0) = 0.
,
0,12
0,6)(
2
2
xx
xxxf
从而
f ' (0) = 0.
同理
,0,24 0,12)(
xx
xxxf f '' (0) = 0.
.)0()3( 不存在但 f 事实上
,2424lim)(lim)0(
00
)3(
x
x
x
xff
xx
,1212lim)(lim)0(
00
)3(
x
x
x
xff
xx
故 f (3)(0)不存在,
使 f (n)(0)存在的最高阶数 n = 2.
例 16,设解,法 1,x't = 2.
.
d
d
,1
2
2
2
2 x
y
te
tx
y 求
第二个方程两边对 t 求导,y 是 t 的函数,
得
02 tye ty
yt ety 2
从而
.dd yetxy
,
2
d
d
tx
et
x
y y即
,2 yt ety x't = 2.
)(
d
d
t
yy
t yetex
y
)2( yyy tetee
).21( 2 yy ete
从而
t
t
x
x
y
x
y
d
d
d
d
2
2
).21(21 2 yy ete
法 2.
,1
2
2te
tx
y
消参数 t,得
.141 2 xe y
两边对 x 求导,得,0
2
1 xye y
即
.21 yxey
.21 yxey
yxey
2
1
))((21 yxee yy
.21121 2?
yy exe
