维欧氏空间概念建立中引进内积运算，在 nR n
维向量的长度n?
维向量间的夹角n?
维向量间的关系n?
§ 4 欧氏空间一,向量的内积定义 1 设 n 维向量
=(x1,x2 …,xn),?=(y1,y2…,yn).
定义数,x1y1+x2y2+… + xn yn
为向量? 与? 的 内积,记为 (?,? ).
即 (?,? ) = x1 y1+x2 y2+… +xnyn.
注,定义了内积的 n 维 向量空间 Rn称为 n 维欧氏空间 (Euclid Space)，仍记为 Rn.
性质
(1) 交换律 (?,?)=(?,?);
(2) 分配律 (,? )=(?,?)?(?,?);
(2)与 (3)等价于
(+,?)=? (?,?) (?,?);?,R
(4) 非负性 (?,?)?0,且 (?,?)=0?=0.
(3) 内积满足如下结合律,
(,?)=(?,)=?(?,?); R
定义 2 设 n 维向量?=(a1,a2,…,an).称
.),(|| 22221 naaa
为向量? 的 模 (或 长度 ).
特别,|? | = 1的向量? 称为 单位向量,
||?
为一单位向量称为? 的 单位化 。当 0时，
二,向量的长度与夹角
,?,Rn,R,则
(2) 正齐次性 ||=|?|·|?|;
(3) 三角不等式 ||?|?|?|?|.
长度的性质,
(1) 非负性 |?|? 0,若 |?|=0? = 0;
定理 1 (Chauchy-Schwarz不等式 )
|||||),(|
向量? 和? 线性相关,|||||),(|
.||
1
2
1
2
1
n
i
i
n
i
ii
n
i
i baba
重要不等式定义 3
.|||| ),(a r c c os,
记为.
设?,?为 Rn中两个向量,定义?与?的夹角为当 (?,?)=0时，称?与? 垂直 (正交 )
特别,
定理 2 (勾股定理 )
设?1,?2,…,?k为欧氏空间 Rn中两两正交的向量,即 (?i,?j )=0,i?j,则
|?1+?2+…+?k|2=|?1|2+|?2|2+…+|?k|2
证,
),(
11
k
j
j
k
i
i
k
i 1
),(
1
k
i
ii
=|?1|2+|?2|2+…+|?k|2
|?1+?2+…+?k|2
= (?1+?2+…+?k,?1+?2+…+?k)
),(
1
k
j
ji
例 1 已知?=(1,2,2,3),?=(3,1,5,1),求?与
的长度及它们的夹角 <?,?>.
解：,23),(||||
6),(||||
而 (?,? )=18
故
623
18a r c c o s,
,422ar cco s
1、正交向量组定义 4 若 (a,b)=0，则称 a与 b是 正交 的，记作 a?b。
注,零向量与任何向量正交。
定义 5 在欧氏空间中，一组 两两正交 的向量组称为 正交向量组 。
三、标准正交基定理 4 非零的正交组是线性无关的 。
证,设?1,?2,…,?m是一组非零正交组，并设
k1?1+ k2?2 +…+ km?m= 0
用? 1 与等式两边作内积，得
0=(0,?1)=k1(?1,?1)+k2(?2,?1)+…+ ki(?i,?1)+…
+km(?m,?1)
类似地,用?i ( i=2,3,…,m)与等式两边作内积，
得 k1=0,
得 ki=0,(i=2,3,…,m),故?1,?2,…,?m线性无关。
设?1,?2,…,?m是一组 线性无关 的向量，利用这组向量可 构造出 正交向量组。
1,正交化
(1) 令?1=?1；
(2) 求?2=?21?1使
0=(?2,?1)=(?21?1,?1 )
= (?2,?1)1 (?1,?1),
得?1=?(?2,?1)/(?1,?1),;),( ),( 1
11
12
22
2、施密特 (Schmidt)正交化
(3) 求?3=?31?12?2,使
=(?3,?1)1(?1,?1)+?2(?2,?1)
0=(?3,
1)=(?31?12?2,?1)
=(?3,?2)1(?1,?2)2 (?2,?2)
0=(?3,?2) = (?31?12?2,?2)
得
,
),(
),(
11
13
1
),(
),(
22
23
2
2
22
23
1
11
13
33 ),(
),(
),(
),(?
(4) 类似地，得：
1
11
1
2
22
2
1
11
1
),(
),(
),(
),(
),(
),(
i
ii
iiii
ii
(i=1,2,…,m)
1,? 2,…,? m 是一组正交组。
2,单位化取
,|| 1 1
1
1,,||
1
2
2
2
.|| 1 m
m
m
则?1,?2,…,?m 是一组 正交的单位向量组 。
—— 以上方法称为 施密特 (schmidt)正交化方法它包括 正交化 和 单位化 两个过程。
例 2 将线性无关组?1=(2,0),?2=(1,1)化成正交的单位向量组解,(1) 正交化令?1=?1=(2,0)
1
11
12
22 ),(
),(?
)1,0()0,2(
4
2)1,1(
(2) 单位化
),0,1(|| 1 1
1
1
),1,0(22
则?1,?2是一组正交的单位向量组。
定义 6 在 n 维欧氏空间 V 中若一个基的 n
个向量?1,?2,…,?n 是两两正交的单位向量，即
(?i,?j)=
1.i=j
0.i?j
则称该基为 标准正交基。
3、标准正交基
e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),…
en=(0,0,…,1)
就是一个 标准正交基。
例如,Rn中，
证,?),( ii 2)
2
1(?,1?2)
2
1(
且 ),(
21 )
2
1()
2
1(,0?
2
1
2
1
,0),(),( 4131,0),(),( 4232
.0),( 43
故?1,?2,?3,?4为 R4的标准正交基,
例 3
),0,0,21,21(),0,0,21,21( 21
)21,21,0,0(),21,21,0,0( 43
为 R4 的标准正交基,
证明即 |?i|=1,i=1,2,3,4
注,利用施密特正交化方法，可从欧氏空间的 任一个基 出发，找到一个 标准正交基 。
),,( jjx,,21 nj?，，?
定理 5 若 n维向量?1,?2,…,?n 是一组标准正交基,则 n维向量?=(x1,x2,…,xn)在基?1,?2,…,?n下的第 j个分量为,
证,),(
j ),(
1
j
n
i
iix
),(
1
j
n
i
iix
),( jjjx,jx?
解,
例 4 证明?1=(1,2,?1),?2=(?1,3,1),
3=(4,?1,0),为 R3的一组基 并用施密特正交化方法构造 R3的一组标准正交基。
则 r(A)=3.从而?1,?2,?3 线性无关,构成
R3的一个基,
令
3
2
1
A
014
131
121
1=?1= (1,2,?1),
1
11
21
22 ),(
),(?
= (?1,3,1)4
6
(1,2,?1)
),1,1,1(35
(1)正交化
2
22
32
1
11
31
33 ),(
),(
),(
),(?
1=(1,2,?1),?2=(?1,3,1),?3=(4,?1,0),
(2)单位化
|| 111?
),1,2,1(
6
1
|| 222?
),1,1,1(
3
1
|| 333?
).1,0,1(
2
1?
1=(1,2,?1),
),1,1,1(352
3=(2,0,2).
则?1,?2,?3 是一组标准正交基。
即 ATA=E，
100
010
001
此时有 EAAAA TT,1
),1,2,1(611r ),1,1,1(312r )1,0,1(213?r
,,为列作矩阵以 1?
2? 3?
2
1
3
1
6
1
0
3
1
6
2
2
1
3
1
6
1
A
2
10
2
1
3
1
3
1
3
1
6
1
6
2
6
1
AA T
2
1
3
1
6
1
0
3
1
6
2
2
1
3
1
6
1
定理 6
A 是正交矩阵定义 7
若 ATA=E (或 AAT =E),
则称 A 为一个正交矩阵,
设 A 为 n 阶实矩阵，
是 Rn 的一组标准正交基,
A 的行 (列 )向量定理 7 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵 是正交矩阵，如果 标准正交基到第二组基的过渡矩阵是 正交矩阵，则 第二组基也是标准正交基。
§ 5 线性变换一、线性变换的定义
T(?+?)=T(?)+T(?)
(2) 对任意V,及任意实数 k，有
T(k?)=kT(?)
则称 T为 V 的一个 线性变换,
定义 1 向量空间 V到自身的一个映射 T，
称为 V的一个 变换 。若 T满足：
(1) 对任意?,V,有向量? 在 T 下的像，记为 T(?)或 T?.
注 2,用粗体大写字母 T,A,B,C,?表示线性变换，
它构成一个线性空间，
定义 变换 T,)()( xfxf
)()()()())()(( xgxfxgxfxgxfT
))(())(( xgTxfT
))(()())(())(( xfkTxfkxfkxfkT
全体的集合，
xRn设 表示定义在 R上次数不超过 n 的多项式例 1：
故 T 为 的一个线性变换,xRn
,,)(),( RkxRxgxf n对注 1,定义式中 （ 1），（ 2） 可表示为
)()()(,,,,212121 TkTkkkTRkkV
证,T(?+?)=(?+?)A=?A+?A=T?+T?
例 2,设 A为一 n阶实矩阵，对任意Rn，
令 T?=?A,则 T为 Rn 中的线性变换,
T(k?)= (k?)A=k(?A)=k(T?)
故 T 为 Rn 中的线性变换,
V 中两类特殊的线性变换：
1,恒等变换 E
E?=?,V
2,零变换 O
O?= 0,V
定理 1 设 T 是 V 的一个线性变换，则
(1)T把零向量变到零向量，把? 的负向量变到? 的像的负向量，即
T 0=0； T()=?T?.
(2)T保持向量的线性组合关系不变,即
T(k1?1+k2?2+?ks?s)=k1T?1+k2T?2+?ksT?s.
(3)T把线性相关的向量组变为线性相关的向量组,
定义 2 设 L(V) 是向量空间 V的全体线性变换的集合,定义 L(V) 中的加法，数乘与乘法如下：
加法,(T1+T2)? =T1?+T2?;
数乘,(kT)?=kT?
乘法,(T1T2)?=T1(T2?)
对V,k?R.?
可证；若 T1,T2 均为 V 的线性变换，则 T1+T2,T1T2,均为 V 的线性变换,
二、线性变换的矩阵
T? =k1 T?1+k2 T?2+ … +km T?m
设 V 为向量空间,dim(V)=m.
1,?2,…,?m 为 V 的一组基,T 为 V
的一个线性变换,
=k1?1+k2?2+ … +km?m? V?
m
m
k
k
k
TTT
2
1
21
),,,(
T?1 =a11?1+a21?2+ … +am1?m
T?2 =a12?1+a22?2+ … +am2?m
T?m =a1m?1+a2m?2+ … +amm?m
… … … … …
即 (T?1,T?2,…,T?m)=(?1,?2,…,?m)A
其中
mmmm
m
m
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
简记为 (?1,?2,…,?m)=(?1,?2,…,?m)A
设
（ 1）
（ 2）
称矩阵 A为线性变换 T在基?1,?2,
…,?m下的矩阵,
给定 V的基?1,?2,…,?m,线性变换 T矩阵 A
定理 3 设 V 的线性变换 T有
(T?1,T?2,…,T?m)=(?1,?2,…,?m)A
向量?在基?1,?2,…,?m下的坐标为 (x1,
x2,…,xm),T?在此基下的坐标为 (y1,y2,…,
ym),则
nm
x
x
x
y
y
y
2
1
2
1
A
= (?1,?2,…,
m ) A
=x1?1+x2?2+ … +xm?m
T? =x1 T?1+x2 T?2+ …
+xm T?m
m
m
x
x
x
TTT
2
1
21 ),,,(
mx
x
x
2
1
= (?1,?2,…,?m )
my
y
y
2
1
nm x
x
x
A
y
y
y
2
1
2
1
证明：
所以例 3,设 R3 的线性变换 T
T(x1,x2,x3)=(a11x1+a12x2+a13x3,
a21x1+a22x2+a23x3,a31x1+a32x2+a33x3)
求 T 在标准基?1,?2,?3下的矩阵,
解,T?1=T(1,0,0)=(a11,a21,a31)= a11?1+a21?2+ a31?3
T?2=T(0,1,0)=(a12,a22,a32)= a12?1+a22?2+ a32?3
T?3=T(0,0,1)=(a13,a23,a33)= a13?1+a23?2+ a33?3
故 T 在标准基?1,?2,?3 下的矩阵为
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
),,(),,( 321321TTT
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
特例：
线性变换 T?=k 数量矩阵 kE
恒等变换 T?= 单位矩阵 E
零变换 T?=0? 零矩阵 O
三、线性变换在新基下的矩阵
1,?2,…,?m；?1,?2,…,?m
定理 4 设向量空间 V有两组基，分别为则 B=C?1AC
证明,(?1,?2,…,?m)B=T(?1,?2,…,?m)
(?1,?2,…,?m)=(?1,?2,…,?m)C且
T(?1,?2,…,?m)=(?1,?2,…,?m)A
T(?1,?2,…,?m)=(?1,?2,…,?m )
T=(?1,?2,…,?m)C=(?1,?2,…,?m)AC
=(?1,?2,…,?m)C?1AC 故 B=C?1AC
定义 5 设 A,B 为两 n 阶方阵，若存在可逆矩阵 C，使 B=C?1AC,则称方阵 A 与
B 相似,记为 A~B.
(1) A~A (反身性 )
(2) A~B? B~A (对称性 )
(3) A~B,B~C? A~C (传递性 )
A C?1BC=?
B? =(FD)-1 C (FD)A =D-1 D CF )=D-1 D(F-1
性质：
解,从 e1,e2,e3 到?1,?2,?3的过渡矩阵
211
243
132
C
例 5 线性变换 T在 R3中基 e1,e2,e3下的矩阵为
678
81520
51115
A
求 T在基?1=2e1+3e2+e3,?2=3e1+4e2+e3,
3=e1+2e2+2e3 下的矩阵,
故线性变换 T 在?1,?2,?3 下的矩阵
B=C?1AC
300
020
001
三、线性变换的特征值与特征向量问题,线性变换在何种基下对应对角矩阵?
定义 6 设 T 是向量空间 V 的一个线性变换,
如果存在 数? 及 n 维 非零向量?,使得
T? =
成立，则称?为 T的一个 特征值,而?称为 T
对应于特征值? 的一个 特征向量 。
注,若? 为 T的属于特征值? 的一个特征向量,则 k? (k?0)也为 T的属于特征值? 的特征向量,
T (k? )= kT? = k =? (k? )?
若? 1,? 2,…,? m为 T 的特征向量，且构成 V 的基由 T?i=?i? i
T（? 1,? 2,…,? m）
m?
2
1
=（? 1,? 2,…,? m）
T在 特征向量 这组基下对角矩阵定理 5 设 V 为 m 维向量空间,T为 V 的一个线性变换,那么存在 V 的一组基，使得 T在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 T 有 m 个线性无关的特征向量,
特征值?，特征向量? 的求法：
设?1,?2,…,?m为 V 的一组 基
(T?1,T?2,…,T?m)=(?1,?2,…,?m)A
=(?1,?2,…,?m)A
mx
x
x
2
1
=x1?1+x2?2+ … +xm?m
T?=x1T?1+x2T?2+… +xmT?m
m
m
x
x
x
TTT
2
1
21 ),,,(
= =?(?1,?2,…,?m)
mx
x
x
2
1
=(?1,?2,…,?m)?
mx
x
x
2
1
满足,A
mx
x
x
2
1
=?
mx
x
x
2
1
即 (A –?E)X = 0
定义 7 设 A? R n?n,如果存在 数? 及 n
维 非零向量 X,使得
A X=? X
成立，则称?为矩阵 A 的一个 特征值,而
X称为矩阵 A 对应于特征值? 的一个 特征向量 。
注,T? = A X=? X ( A –?E ) X = 0
其中 A 为在基?1,?2,…,?m下的矩阵,X为?
的坐标定义 3 欧氏空间 V 的线性变换 T称为正交变换，
若对任意?,V,均有 (T?,T? )=(?,?)
定理 2 设 A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：
(1)T是正交变换；
(2)T保持向量的长度不变，即对于任意的V,
||T?||=||? ||;
(3)如果?1,?2,…,?m是 V的 标准正交基,则 T?1,
T?2,…,T?m也是 V的 标准正交基 ；
(4)T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵,
一、非齐次线性方程组的解的存在性
m 个方程,n 个未知量的非齐次线性方程组
(1)
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
… … … … … … …
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
§ 1 线性方程组的 消元法称
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
为方程组 (1)的 系数矩阵
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
为方程组 (1)的 增广矩阵
A=
m
b
b
b
2
1
定义 1 若非齐次线性方程组 (1)有解，则称该方程组是 相容 的。否则，则称 不相容 。
例 1 解方程组
2x1 – x2 + 3x3 = 1
4x1 + 2x2 + 5x3 = 4
2x1 +2x3 = 6
解,用消元法
2x1 – x2 + 3x3 = 1
4x1 + 2x2 + 5x3 = 4
2x1 + 2x3 = 6
6202
4524
1312
A
2x1 – x2 + 3x3 = 1
4x2 – x3 = 2
x2 – x3 = 5
r2 – 2r1
r3 – r1?
5110
2140
1312
(2) – 2(1)
(3) – (1)
2x1–x2+x3=1
3x3=–18
x2–x3=5
(2)
3
1?
(2) (3)
2x1–x2+x3=1
x2–x3=5
x3=–6
5110
18300
1312
r2 – 4r3 r2 31?
r2 r3
6100
5110
1312
(2)–4(3)
x1 = 9
x2 = – 1
x3 = – 6
6100
1010
9001
此时 3)()( ArAr (未知数的个数 )
是方程组的 唯一解例 2 讨论方程组 是否有解。
2x1 + x2 + x3 = 2
x1 + 3x2 + x3 = 5
x1 + x2 + 5x3 = – 7
2x1 + 3x2 – 3x3 = 15解：
15332
7511
5131
2112
A
r(A) = 3,r(A) = 4
初等行变换
000
2100
6210
5131
1
对应的方程组化成
x1 + 3 x2 + x3 = 5
x2 – 2x3 = 6
2x3 = – 2
0x1 + 0x2 + 0x3 = 1
方程组无解 !
例 3 讨论方程组是否有解
x1 + x2 + x3 – x4 = 1
x1 – x2 – x3 + x4 = 0
2x1 – 2x2 + 2x3 – 2x4 = 2解
A
22222
01111
11111
13 2rr?
r2 – r1
00000
12200
11111
r ( A ) = r ( A ) = 2 < 4 (未知量个数 )
对应的方程组化成
x1 – x2 + x3 – x4 = 1
– 2x3 + 2x4 = – 1
43 2
1 xx
x1 + x3 = 1 + x2 + x4
21 2
1 xx
43 2
1 xx
有两个自由未知量任取
24 cx?,12 cx?
r ( A ) = r ( A ) = 2 < 4 (未知量个数 )
得方程组解其中 c1,c2 可任意选定
11 2
1 cx
x2 = c1
23 2
1 cx
x4 = c2
在非齐次线性方程组 (1)中，若定理 2
rArAr )()(
(1) 若 r = n 则方程组 (1)有 唯一组解
(2) 若 r < n 则方程组 (1)有 无穷多个解定理 1
非齐次线性方程组 (1)有解 )()( ArAr?
例 4 讨论,?,? 取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多个解？
x1 + 2x3=?1
x1 + x2? 3x3 = 2
2x1? x2 +? x3=?
解：
12
2311
1201
A
2410
1110
1201
r + r1
r3 – 2 r1
3500
1110
1201
r3 + r2
(I)? = 5,3 时，无解,
(II)? = 5,? =?3 时,有无穷多个解,
(III) 5 时,有唯一解,
二、齐次线性方程组的非零解的存在性设有 n 元齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0
… … … … … … …
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0
(3)
简记为 (4)A X = 0
)()( ArAr? 方程组 (3) 总有解 。
x1 = x2 = … = xn = 0,称为零解或平凡解。
齐次线性方程组 (3)有非零解
r (A) < n
定理 3
齐次线性方程组 (3)，当 m < n 时,有非零解推论 1
(方程个数 < 未知量个数 )
推论 2 齐次线性方程组 (3)，当 m = n 时,有非零解
|A| = 0
例 5,判定下列齐次线性方程组是否有非零解。
(1)
x1 + 2x2 + 5x3 = 0
x1 + 3x2 – 2x3 = 0
3x1 + 7x2 + 8x3 = 0
x1 + 4x2 – 9x3 = 0
解,A =
941
873
231
521
r2 – r1
r3 – 3r1
r4 – r1
1420
710
710
321
.
000
000
710
321
r1 – 2r2
000
000
710
1701
r (A ) = 2
方程组有非零解进一步,
还可得：
x1 = –17x3
x2 = 7x3
(2)
x1 + x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
x1 + 3x2 + 6x3 = 0
解法一,| A | =
631
321
111 = 1? 0
所以方程只有唯一的一组零解。
.
100
210
111
r (A ) = 3
方程组无非零解，
只有唯一的一组零解,
A =
631
321
111 r2 – r1
r3 – r1
520
210
111
r3 – 2r2
解法二：
维向量的长度n?
维向量间的夹角n?
维向量间的关系n?
§ 4 欧氏空间一,向量的内积定义 1 设 n 维向量
=(x1,x2 …,xn),?=(y1,y2…,yn).
定义数,x1y1+x2y2+… + xn yn
为向量? 与? 的 内积,记为 (?,? ).
即 (?,? ) = x1 y1+x2 y2+… +xnyn.
注,定义了内积的 n 维 向量空间 Rn称为 n 维欧氏空间 (Euclid Space)，仍记为 Rn.
性质
(1) 交换律 (?,?)=(?,?);
(2) 分配律 (,? )=(?,?)?(?,?);
(2)与 (3)等价于
(+,?)=? (?,?) (?,?);?,R
(4) 非负性 (?,?)?0,且 (?,?)=0?=0.
(3) 内积满足如下结合律,
(,?)=(?,)=?(?,?); R
定义 2 设 n 维向量?=(a1,a2,…,an).称
.),(|| 22221 naaa
为向量? 的 模 (或 长度 ).
特别,|? | = 1的向量? 称为 单位向量,
||?
为一单位向量称为? 的 单位化 。当 0时，
二,向量的长度与夹角
,?,Rn,R,则
(2) 正齐次性 ||=|?|·|?|;
(3) 三角不等式 ||?|?|?|?|.
长度的性质,
(1) 非负性 |?|? 0,若 |?|=0? = 0;
定理 1 (Chauchy-Schwarz不等式 )
|||||),(|
向量? 和? 线性相关,|||||),(|
.||
1
2
1
2
1
n
i
i
n
i
ii
n
i
i baba
重要不等式定义 3
.|||| ),(a r c c os,
记为.
设?,?为 Rn中两个向量,定义?与?的夹角为当 (?,?)=0时，称?与? 垂直 (正交 )
特别,
定理 2 (勾股定理 )
设?1,?2,…,?k为欧氏空间 Rn中两两正交的向量,即 (?i,?j )=0,i?j,则
|?1+?2+…+?k|2=|?1|2+|?2|2+…+|?k|2
证,
),(
11
k
j
j
k
i
i
k
i 1
),(
1
k
i
ii
=|?1|2+|?2|2+…+|?k|2
|?1+?2+…+?k|2
= (?1+?2+…+?k,?1+?2+…+?k)
),(
1
k
j
ji
例 1 已知?=(1,2,2,3),?=(3,1,5,1),求?与
的长度及它们的夹角 <?,?>.
解：,23),(||||
6),(||||
而 (?,? )=18
故
623
18a r c c o s,
,422ar cco s
1、正交向量组定义 4 若 (a,b)=0，则称 a与 b是 正交 的，记作 a?b。
注,零向量与任何向量正交。
定义 5 在欧氏空间中，一组 两两正交 的向量组称为 正交向量组 。
三、标准正交基定理 4 非零的正交组是线性无关的 。
证,设?1,?2,…,?m是一组非零正交组，并设
k1?1+ k2?2 +…+ km?m= 0
用? 1 与等式两边作内积，得
0=(0,?1)=k1(?1,?1)+k2(?2,?1)+…+ ki(?i,?1)+…
+km(?m,?1)
类似地,用?i ( i=2,3,…,m)与等式两边作内积，
得 k1=0,
得 ki=0,(i=2,3,…,m),故?1,?2,…,?m线性无关。
设?1,?2,…,?m是一组 线性无关 的向量，利用这组向量可 构造出 正交向量组。
1,正交化
(1) 令?1=?1；
(2) 求?2=?21?1使
0=(?2,?1)=(?21?1,?1 )
= (?2,?1)1 (?1,?1),
得?1=?(?2,?1)/(?1,?1),;),( ),( 1
11
12
22
2、施密特 (Schmidt)正交化
(3) 求?3=?31?12?2,使
=(?3,?1)1(?1,?1)+?2(?2,?1)
0=(?3,
1)=(?31?12?2,?1)
=(?3,?2)1(?1,?2)2 (?2,?2)
0=(?3,?2) = (?31?12?2,?2)
得
,
),(
),(
11
13
1
),(
),(
22
23
2
2
22
23
1
11
13
33 ),(
),(
),(
),(?
(4) 类似地，得：
1
11
1
2
22
2
1
11
1
),(
),(
),(
),(
),(
),(
i
ii
iiii
ii
(i=1,2,…,m)
1,? 2,…,? m 是一组正交组。
2,单位化取
,|| 1 1
1
1,,||
1
2
2
2
.|| 1 m
m
m
则?1,?2,…,?m 是一组 正交的单位向量组 。
—— 以上方法称为 施密特 (schmidt)正交化方法它包括 正交化 和 单位化 两个过程。
例 2 将线性无关组?1=(2,0),?2=(1,1)化成正交的单位向量组解,(1) 正交化令?1=?1=(2,0)
1
11
12
22 ),(
),(?
)1,0()0,2(
4
2)1,1(
(2) 单位化
),0,1(|| 1 1
1
1
),1,0(22
则?1,?2是一组正交的单位向量组。
定义 6 在 n 维欧氏空间 V 中若一个基的 n
个向量?1,?2,…,?n 是两两正交的单位向量，即
(?i,?j)=
1.i=j
0.i?j
则称该基为 标准正交基。
3、标准正交基
e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),…
en=(0,0,…,1)
就是一个 标准正交基。
例如,Rn中，
证,?),( ii 2)
2
1(?,1?2)
2
1(
且 ),(
21 )
2
1()
2
1(,0?
2
1
2
1
,0),(),( 4131,0),(),( 4232
.0),( 43
故?1,?2,?3,?4为 R4的标准正交基,
例 3
),0,0,21,21(),0,0,21,21( 21
)21,21,0,0(),21,21,0,0( 43
为 R4 的标准正交基,
证明即 |?i|=1,i=1,2,3,4
注,利用施密特正交化方法，可从欧氏空间的 任一个基 出发，找到一个 标准正交基 。
),,( jjx,,21 nj?，，?
定理 5 若 n维向量?1,?2,…,?n 是一组标准正交基,则 n维向量?=(x1,x2,…,xn)在基?1,?2,…,?n下的第 j个分量为,
证,),(
j ),(
1
j
n
i
iix
),(
1
j
n
i
iix
),( jjjx,jx?
解,
例 4 证明?1=(1,2,?1),?2=(?1,3,1),
3=(4,?1,0),为 R3的一组基 并用施密特正交化方法构造 R3的一组标准正交基。
则 r(A)=3.从而?1,?2,?3 线性无关,构成
R3的一个基,
令
3
2
1
A
014
131
121
1=?1= (1,2,?1),
1
11
21
22 ),(
),(?
= (?1,3,1)4
6
(1,2,?1)
),1,1,1(35
(1)正交化
2
22
32
1
11
31
33 ),(
),(
),(
),(?
1=(1,2,?1),?2=(?1,3,1),?3=(4,?1,0),
(2)单位化
|| 111?
),1,2,1(
6
1
|| 222?
),1,1,1(
3
1
|| 333?
).1,0,1(
2
1?
1=(1,2,?1),
),1,1,1(352
3=(2,0,2).
则?1,?2,?3 是一组标准正交基。
即 ATA=E，
100
010
001
此时有 EAAAA TT,1
),1,2,1(611r ),1,1,1(312r )1,0,1(213?r
,,为列作矩阵以 1?
2? 3?
2
1
3
1
6
1
0
3
1
6
2
2
1
3
1
6
1
A
2
10
2
1
3
1
3
1
3
1
6
1
6
2
6
1
AA T
2
1
3
1
6
1
0
3
1
6
2
2
1
3
1
6
1
定理 6
A 是正交矩阵定义 7
若 ATA=E (或 AAT =E),
则称 A 为一个正交矩阵,
设 A 为 n 阶实矩阵，
是 Rn 的一组标准正交基,
A 的行 (列 )向量定理 7 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵 是正交矩阵，如果 标准正交基到第二组基的过渡矩阵是 正交矩阵，则 第二组基也是标准正交基。
§ 5 线性变换一、线性变换的定义
T(?+?)=T(?)+T(?)
(2) 对任意V,及任意实数 k，有
T(k?)=kT(?)
则称 T为 V 的一个 线性变换,
定义 1 向量空间 V到自身的一个映射 T，
称为 V的一个 变换 。若 T满足：
(1) 对任意?,V,有向量? 在 T 下的像，记为 T(?)或 T?.
注 2,用粗体大写字母 T,A,B,C,?表示线性变换，
它构成一个线性空间，
定义 变换 T,)()( xfxf
)()()()())()(( xgxfxgxfxgxfT
))(())(( xgTxfT
))(()())(())(( xfkTxfkxfkxfkT
全体的集合，
xRn设 表示定义在 R上次数不超过 n 的多项式例 1：
故 T 为 的一个线性变换,xRn
,,)(),( RkxRxgxf n对注 1,定义式中 （ 1），（ 2） 可表示为
)()()(,,,,212121 TkTkkkTRkkV
证,T(?+?)=(?+?)A=?A+?A=T?+T?
例 2,设 A为一 n阶实矩阵，对任意Rn，
令 T?=?A,则 T为 Rn 中的线性变换,
T(k?)= (k?)A=k(?A)=k(T?)
故 T 为 Rn 中的线性变换,
V 中两类特殊的线性变换：
1,恒等变换 E
E?=?,V
2,零变换 O
O?= 0,V
定理 1 设 T 是 V 的一个线性变换，则
(1)T把零向量变到零向量，把? 的负向量变到? 的像的负向量，即
T 0=0； T()=?T?.
(2)T保持向量的线性组合关系不变,即
T(k1?1+k2?2+?ks?s)=k1T?1+k2T?2+?ksT?s.
(3)T把线性相关的向量组变为线性相关的向量组,
定义 2 设 L(V) 是向量空间 V的全体线性变换的集合,定义 L(V) 中的加法，数乘与乘法如下：
加法,(T1+T2)? =T1?+T2?;
数乘,(kT)?=kT?
乘法,(T1T2)?=T1(T2?)
对V,k?R.?
可证；若 T1,T2 均为 V 的线性变换，则 T1+T2,T1T2,均为 V 的线性变换,
二、线性变换的矩阵
T? =k1 T?1+k2 T?2+ … +km T?m
设 V 为向量空间,dim(V)=m.
1,?2,…,?m 为 V 的一组基,T 为 V
的一个线性变换,
=k1?1+k2?2+ … +km?m? V?
m
m
k
k
k
TTT
2
1
21
),,,(
T?1 =a11?1+a21?2+ … +am1?m
T?2 =a12?1+a22?2+ … +am2?m
T?m =a1m?1+a2m?2+ … +amm?m
… … … … …
即 (T?1,T?2,…,T?m)=(?1,?2,…,?m)A
其中
mmmm
m
m
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
简记为 (?1,?2,…,?m)=(?1,?2,…,?m)A
设
（ 1）
（ 2）
称矩阵 A为线性变换 T在基?1,?2,
…,?m下的矩阵,
给定 V的基?1,?2,…,?m,线性变换 T矩阵 A
定理 3 设 V 的线性变换 T有
(T?1,T?2,…,T?m)=(?1,?2,…,?m)A
向量?在基?1,?2,…,?m下的坐标为 (x1,
x2,…,xm),T?在此基下的坐标为 (y1,y2,…,
ym),则
nm
x
x
x
y
y
y
2
1
2
1
A
= (?1,?2,…,
m ) A
=x1?1+x2?2+ … +xm?m
T? =x1 T?1+x2 T?2+ …
+xm T?m
m
m
x
x
x
TTT
2
1
21 ),,,(
mx
x
x
2
1
= (?1,?2,…,?m )
my
y
y
2
1
nm x
x
x
A
y
y
y
2
1
2
1
证明：
所以例 3,设 R3 的线性变换 T
T(x1,x2,x3)=(a11x1+a12x2+a13x3,
a21x1+a22x2+a23x3,a31x1+a32x2+a33x3)
求 T 在标准基?1,?2,?3下的矩阵,
解,T?1=T(1,0,0)=(a11,a21,a31)= a11?1+a21?2+ a31?3
T?2=T(0,1,0)=(a12,a22,a32)= a12?1+a22?2+ a32?3
T?3=T(0,0,1)=(a13,a23,a33)= a13?1+a23?2+ a33?3
故 T 在标准基?1,?2,?3 下的矩阵为
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
),,(),,( 321321TTT
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
特例：
线性变换 T?=k 数量矩阵 kE
恒等变换 T?= 单位矩阵 E
零变换 T?=0? 零矩阵 O
三、线性变换在新基下的矩阵
1,?2,…,?m；?1,?2,…,?m
定理 4 设向量空间 V有两组基，分别为则 B=C?1AC
证明,(?1,?2,…,?m)B=T(?1,?2,…,?m)
(?1,?2,…,?m)=(?1,?2,…,?m)C且
T(?1,?2,…,?m)=(?1,?2,…,?m)A
T(?1,?2,…,?m)=(?1,?2,…,?m )
T=(?1,?2,…,?m)C=(?1,?2,…,?m)AC
=(?1,?2,…,?m)C?1AC 故 B=C?1AC
定义 5 设 A,B 为两 n 阶方阵，若存在可逆矩阵 C，使 B=C?1AC,则称方阵 A 与
B 相似,记为 A~B.
(1) A~A (反身性 )
(2) A~B? B~A (对称性 )
(3) A~B,B~C? A~C (传递性 )
A C?1BC=?
B? =(FD)-1 C (FD)A =D-1 D CF )=D-1 D(F-1
性质：
解,从 e1,e2,e3 到?1,?2,?3的过渡矩阵
211
243
132
C
例 5 线性变换 T在 R3中基 e1,e2,e3下的矩阵为
678
81520
51115
A
求 T在基?1=2e1+3e2+e3,?2=3e1+4e2+e3,
3=e1+2e2+2e3 下的矩阵,
故线性变换 T 在?1,?2,?3 下的矩阵
B=C?1AC
300
020
001
三、线性变换的特征值与特征向量问题,线性变换在何种基下对应对角矩阵?
定义 6 设 T 是向量空间 V 的一个线性变换,
如果存在 数? 及 n 维 非零向量?,使得
T? =
成立，则称?为 T的一个 特征值,而?称为 T
对应于特征值? 的一个 特征向量 。
注,若? 为 T的属于特征值? 的一个特征向量,则 k? (k?0)也为 T的属于特征值? 的特征向量,
T (k? )= kT? = k =? (k? )?
若? 1,? 2,…,? m为 T 的特征向量，且构成 V 的基由 T?i=?i? i
T（? 1,? 2,…,? m）
m?
2
1
=（? 1,? 2,…,? m）
T在 特征向量 这组基下对角矩阵定理 5 设 V 为 m 维向量空间,T为 V 的一个线性变换,那么存在 V 的一组基，使得 T在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 T 有 m 个线性无关的特征向量,
特征值?，特征向量? 的求法：
设?1,?2,…,?m为 V 的一组 基
(T?1,T?2,…,T?m)=(?1,?2,…,?m)A
=(?1,?2,…,?m)A
mx
x
x
2
1
=x1?1+x2?2+ … +xm?m
T?=x1T?1+x2T?2+… +xmT?m
m
m
x
x
x
TTT
2
1
21 ),,,(
= =?(?1,?2,…,?m)
mx
x
x
2
1
=(?1,?2,…,?m)?
mx
x
x
2
1
满足,A
mx
x
x
2
1
=?
mx
x
x
2
1
即 (A –?E)X = 0
定义 7 设 A? R n?n,如果存在 数? 及 n
维 非零向量 X,使得
A X=? X
成立，则称?为矩阵 A 的一个 特征值,而
X称为矩阵 A 对应于特征值? 的一个 特征向量 。
注,T? = A X=? X ( A –?E ) X = 0
其中 A 为在基?1,?2,…,?m下的矩阵,X为?
的坐标定义 3 欧氏空间 V 的线性变换 T称为正交变换，
若对任意?,V,均有 (T?,T? )=(?,?)
定理 2 设 A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：
(1)T是正交变换；
(2)T保持向量的长度不变，即对于任意的V,
||T?||=||? ||;
(3)如果?1,?2,…,?m是 V的 标准正交基,则 T?1,
T?2,…,T?m也是 V的 标准正交基 ；
(4)T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵,
一、非齐次线性方程组的解的存在性
m 个方程,n 个未知量的非齐次线性方程组
(1)
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
… … … … … … …
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
§ 1 线性方程组的 消元法称
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
为方程组 (1)的 系数矩阵
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
为方程组 (1)的 增广矩阵
A=
m
b
b
b
2
1
定义 1 若非齐次线性方程组 (1)有解，则称该方程组是 相容 的。否则，则称 不相容 。
例 1 解方程组
2x1 – x2 + 3x3 = 1
4x1 + 2x2 + 5x3 = 4
2x1 +2x3 = 6
解,用消元法
2x1 – x2 + 3x3 = 1
4x1 + 2x2 + 5x3 = 4
2x1 + 2x3 = 6
6202
4524
1312
A
2x1 – x2 + 3x3 = 1
4x2 – x3 = 2
x2 – x3 = 5
r2 – 2r1
r3 – r1?
5110
2140
1312
(2) – 2(1)
(3) – (1)
2x1–x2+x3=1
3x3=–18
x2–x3=5
(2)
3
1?
(2) (3)
2x1–x2+x3=1
x2–x3=5
x3=–6
5110
18300
1312
r2 – 4r3 r2 31?
r2 r3
6100
5110
1312
(2)–4(3)
x1 = 9
x2 = – 1
x3 = – 6
6100
1010
9001
此时 3)()( ArAr (未知数的个数 )
是方程组的 唯一解例 2 讨论方程组 是否有解。
2x1 + x2 + x3 = 2
x1 + 3x2 + x3 = 5
x1 + x2 + 5x3 = – 7
2x1 + 3x2 – 3x3 = 15解：
15332
7511
5131
2112
A
r(A) = 3,r(A) = 4
初等行变换
000
2100
6210
5131
1
对应的方程组化成
x1 + 3 x2 + x3 = 5
x2 – 2x3 = 6
2x3 = – 2
0x1 + 0x2 + 0x3 = 1
方程组无解 !
例 3 讨论方程组是否有解
x1 + x2 + x3 – x4 = 1
x1 – x2 – x3 + x4 = 0
2x1 – 2x2 + 2x3 – 2x4 = 2解
A
22222
01111
11111
13 2rr?
r2 – r1
00000
12200
11111
r ( A ) = r ( A ) = 2 < 4 (未知量个数 )
对应的方程组化成
x1 – x2 + x3 – x4 = 1
– 2x3 + 2x4 = – 1
43 2
1 xx
x1 + x3 = 1 + x2 + x4
21 2
1 xx
43 2
1 xx
有两个自由未知量任取
24 cx?,12 cx?
r ( A ) = r ( A ) = 2 < 4 (未知量个数 )
得方程组解其中 c1,c2 可任意选定
11 2
1 cx
x2 = c1
23 2
1 cx
x4 = c2
在非齐次线性方程组 (1)中，若定理 2
rArAr )()(
(1) 若 r = n 则方程组 (1)有 唯一组解
(2) 若 r < n 则方程组 (1)有 无穷多个解定理 1
非齐次线性方程组 (1)有解 )()( ArAr?
例 4 讨论,?,? 取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多个解？
x1 + 2x3=?1
x1 + x2? 3x3 = 2
2x1? x2 +? x3=?
解：
12
2311
1201
A
2410
1110
1201
r + r1
r3 – 2 r1
3500
1110
1201
r3 + r2
(I)? = 5,3 时，无解,
(II)? = 5,? =?3 时,有无穷多个解,
(III) 5 时,有唯一解,
二、齐次线性方程组的非零解的存在性设有 n 元齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0
… … … … … … …
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0
(3)
简记为 (4)A X = 0
)()( ArAr? 方程组 (3) 总有解 。
x1 = x2 = … = xn = 0,称为零解或平凡解。
齐次线性方程组 (3)有非零解
r (A) < n
定理 3
齐次线性方程组 (3)，当 m < n 时,有非零解推论 1
(方程个数 < 未知量个数 )
推论 2 齐次线性方程组 (3)，当 m = n 时,有非零解
|A| = 0
例 5,判定下列齐次线性方程组是否有非零解。
(1)
x1 + 2x2 + 5x3 = 0
x1 + 3x2 – 2x3 = 0
3x1 + 7x2 + 8x3 = 0
x1 + 4x2 – 9x3 = 0
解,A =
941
873
231
521
r2 – r1
r3 – 3r1
r4 – r1
1420
710
710
321
.
000
000
710
321
r1 – 2r2
000
000
710
1701
r (A ) = 2
方程组有非零解进一步,
还可得：
x1 = –17x3
x2 = 7x3
(2)
x1 + x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
x1 + 3x2 + 6x3 = 0
解法一,| A | =
631
321
111 = 1? 0
所以方程只有唯一的一组零解。
.
100
210
111
r (A ) = 3
方程组无非零解，
只有唯一的一组零解,
A =
631
321
111 r2 – r1
r3 – r1
520
210
111
r3 – 2r2
解法二：
