一般,无穷小量的商有下列几种情形,
)0( 33,0)1( 常数非时当 x xx
0,0)2(
2
xxx 时当
2,0)3( xxx 时当
.,)1(
1
1
)1(
,)4( 极限不存在时当 n
n
n
nn
第六节 无穷小量的比较
,0)( )(l i m )2( Axx若则称?(x)和?(x)是 同阶无穷小量,
记作,?(x)= O(?(x))
则称? (x)是?(x)的 k阶无穷小量,
,0)]([ )(l i m, Axx k若特别
))(()( xOx k记作
,1)( )(l i m )3(?xx若则称?(x)和?(x)是等价无穷小量,
记作,?(x) ~?(x)
显然,若?(x) ~?(x),则? (x)和?(x)是同阶无穷小 量,但反之不对,
比如,
(i) )0( ).(,.0l i m 22
0
xxoxxx
x
所以因
(ii) )0( ).(c o s1,.21c o s1l i m 2
20
xxOxx x
x
所以因
(iii),~)1l n (,~1,~tg,~s i n,0 xxxexxxxx x 时当
221~c o s1 xx?
.1~1,12,11,,
1
2 nenOnnonn
n
时例
n
n
1
2
1
n
n
2
11?ne
10
0.1
0.01
0.2
0.105
100
0.01
0.0001
0.02
0.01005
1000
0.001
0.000001
0.002
0.0010005
…
…
…
…
…
定理 1.设?(x),(x),?(x),(x)是某极限过程中的无穷小量,f (x)是另一变量,且,? (x) ~(x),
(x) ~(x),则
,)( )(l i m)( )(l i m )1( xxxx
),()(li m)()(li m )2( xfxxfx
.)( )()(l i m)( )()(l i m )3( x xfxx xfx
只须右端极限存在或为无穷大,
证,(1) 因为?(x) ~(x),?(x) ~(x),
所以 )( )(lim xx
)(
)(
)(
)(
)(
)(l i m
x
x
x
x
x
x
)(
)(l im
x
x
类似可证 (2),(3).
例 1.,5s i n 2tgl i m
0 x
x
x?
求解,由于当 x?0,tgx ~ x,从而 tg2x ~ 2x.
当 x?0,sinx ~ x,从而 sin5x ~ 5x.
故,xx
x 5s in
2tglim
0? x
x
x 5
2lim
0 5
2?
例 2,)(,s i ns i nl i m
0
babxax ee
bxax
x
解,
xbaxba
ee xbabx
x
2s i n2co s2
)1(l i m )(
0
xba
e
xba
e xba
x
bx
x
2sin
)1(l i m
2co s2
l i m
)(
00?
xba
xba
x
2
)(l i m
2
1
0?
= 1
bxax
ee bxax
x s i ns i n
l i m
0?
例 3,).31l n (l i m 32 xx
x
求解,)31l n (l i m 32
xxx 3
2l im
xxx xx
3lim
= 0
或,)31l n (l i m 32
xxx )
31l n (
3
3l i m
3
3
x
x
xx
3
3
3
)31l n (3l i m
x
x xx
3
3
3
)31l n (l i m3l i m
x
xx xx
= 0 ·1= 0
例 4.
.
1
1
11
lim
2
n
nn
n
求解,
2
1
1
11
lim
n
nn
n
)1(
lim
2
nn
n
n
= 1
.1111 nnn 来代换的等价无穷小但不能用?
事实上,若作代换,有
2
1
1
11
l i m
n
nn
n
2
1
1
1
1
1
l i m
n
nn
n
00l imn
显然,这个结果是错误的,
例 5,当 x?0时,tgx – sinx是 x的几阶无穷小量?
解,首先注意结论,若当 x?0时,f (x) = O(x?),
g(x) = O(x?),则 f (x) · g(x) = O(x?+?),其中,
,? 均大于 0.
.0)(,0)(,0, Bx xgAx xfx时设当事实上
.0)()()()(, BAx xgx xfx xgxf从而由于 tgx – sinx = tgx(1– cosx)
因 tgx ~ x,而 1– cosx = O(x2).
故 tgx – sinx = tgx(1– cosx ) = O(x3).
当 x?0时,
sinx ~ x,tgx ~ x,
arctgx ~ x,arcsinx ~ x,
ex–1 ~ x,ln(1+x) ~ x,
2~co s1
2x
x?
)0,(,~1)1( kRkkxx k
常用的等价无穷小,
事实上,当 y > 0时,y = elny,从而,
kx
x k
x
1)1(l i m
0
kx
e xk
x
1l i m )1ln (
0
kx
xk
x
)1l n (l i m
0
= 1
0,,~1)1(, kRkkxx k所以注 1.用符号,”表示无穷小量比无穷小量的极限问题,
0
0
用符号,”表示无穷大量比无穷大量的极限问题,
用符号,0 ·?”表示无穷小量乘以无穷大量的极限问题,
.,
,000
存在它们的极限甚至可能不一定是穷大量也不”不一定是无穷小量”，“”，“则,
三种类型可以互化,比如,
”“”“”“”,00101100?
注 2,若当 x?0时,f (x) = O(x? ),g(x) = O(x? ),
>? >0.
则 f (x)? g(x) = O(x?),).()( )( xOxg xf
例,火箭升空时,质量变化情形如图,
t
m
o
m0
t0
一般,当 f (x)连续变化时,其图形是一条连续曲线,
反之,若 f (x)图形是一条连续曲线,f (x)
则是连续变化的,
第七节 函数的连续性一、函数的连续性
x
y
ox
y
o xx
y
y
x
y
x
y
x0
f (x0)
A
B
x? x0 x? x0
从图上可看出,?(x)在 x0间断,但 f (x)在 x0连续,
(x)在 x0的极限不存在,而 ).()(l i m 0
0
xfxfxx
y y
x0
y =?(x) y = f (x)
定义 1.设 f (x)在 x0的某邻域 U(x0)内有定义,且
).()(l i m 0
0
xfxfxx
则称 f (x)在 x0连续,x0称为 f (x)的连续点,
否则称 f (x)在 x0间断,x0称为 f (x)的间断点,
或称为不连续点,
由于当 f (x)为多项式时,有 ).()(l i m 0
0
xfxfxx
0s i ns i nl i m,0 xxxx并且 0c osc osl i m 0 xxxx
所以,多项式及正,余弦函数在任何点 x0处连续,
连续定义也可用 语言给出。
若对 >0,>0,使得当 |x?x0|<?时,
对应的函数值 f (x)满足 | f (x)? f (x0) |<?
则称 f (x)在 x0处连续,
注,与极限定义比较,将 "a"换成 " f (x0)"
将 "0<|x?x0|<? "换成 " |x?x0|<? ".
例 1,,0,0,,0,||)( 处连续在时当 时当证明 xxx xxxxf
证,0l i m)(l i m
00 xxf xx因 0)(l i m)(l i m 00 xxf xx
0||l i m)(l i m 00 xxf xx故又因为 f (0)=0,)0()(l i m
0 fxfx从而
.0||)( 处连续在故 xxxf
如图
x
y
o
f (x) = |x|
还可得到,|x|在任何点 x0处连续,,||||l i m 0
0
xxxx即
],,(),(),,[),( 000000 xxxUxxxU记称为 x0的右邻域和 x0的左邻域,
).()( 00 xUxU 和简记为
)),()(l i m)(()(l i m 00
00
xfxfxfxf
xxxx
若定义 2.
则称 f (x)在 x0处右 (左 )连续,
设 f (x)在 x0的某右邻域 (某左邻域 )内有定义,
)( 0?xU
)( 0?xU
定理 1,f (x)在 x0处 连续? f (x)在 x0左 连续且右连续,
例 2.
,0,
0,3)( 2
xxa
xxxf设 问 a为何值时,
f (x)在 x=0连续,
解,f (0)=3
)00(?f )(l im
0 xfx
)3(l i m 20 xx = 3
f (x)在 x = 0右 连续,
为使 f (x)在 x=0连续,必须 f (0–0)=f (0)=f (0+0)
即,a=3.
故,a=3时,f (x)在 x=0连续,
)00(?f )(l im0 xfx )(l i m
0 xax
= a
例 3.
,0,1
0,1)(
时当时当设
xx
xxxf 问 f (x)在 x=0是否连续,
解,f (0)=1
)00(?f )(l im0 xfx )1(l im0 xx =1 右 连续,
故,f (x)在 x=0间断,
)00(?f )1(l im0 xx = –1? f (0) 不左 连续,
图形为
x
y
o
–1
1
y=f (x)
若 f (x)在 (a,b)内每一点连续,则称 f (x)在开区间 (a,b)内连续,记作 f (x)?C(a,b).
C(a,b)表示在 (a,b)内连续的函数全体所成集合,
其中若 f (x)在 (a,b)内连续,且 f (x)在 x=a右连续,
在 x=b左连续,则称 f (x)在闭区间 [a,b]上连续,
记作 f (x)?C[a,b].
一般,设变量 u从初值 u0变到终值 u1,记?u=u1?u0,
称为变量 u的增量 (改变量 ).
u可正,可负,还可为 0,另外,u1 = u0+?u
记?y = f (x)? f (x0) = f (x0 +?x)? f (x0)
称为 y在 x0处相应于?x的 增量 (改变量 ).
设 f (x)在 U(x0)有定义,?x?U(x0),记?x =x?x0
称为自变量 x在 x0处 增量 (改变量 ),且 x = x0 +?x
定义 3.设 y=f (x)在 U(x0)有定义,
若当?x = x?x0?0时,有?y=f (x0+?x)?f(x0)?0
.0l i m 0 yx即 则称 f (x)在 x0连续,
0)]()([l i m)()(l i m 00
00
xfxfxfxf xxxx由于
0l i m)]()([l i m 0000 yxfxxf xx(令?x = x?x
0)
连续定义可用函数的增量的形式给出,
如图,
x
y
o
B=?(x0)
A
x0+?x
y
C
D
x0
x>0
y=CD的长
0lim 0 yx
y=?(x)
x
y
o
f (x0)
x0+?xx0+?x x0
x<0?x>0
yM
N
y=CD的长
y= –(MN的长 ) C
D
0lim 0 yx
y=f (x)
定理 2.若 f (x),g(x)在点 x0处连续,则
(1) af (x)+bg(x)在 x0处连续,其中 a,b为常数,
(2) f (x) ·g(x)在 x0连续,
(3) 当 g(x0)?0时,.
)(
)(
0 连续在 xxg
xf
二、连续函数的基本性质定理 3.设若 y=f [?(x)]由 y=f (u),u=?(x)复合而成,
若 u=?(x)在 x0连续,u0=?(x0),而 y=f (u)在 u0
则复合函数 y=f [?(x)]在 x0连续,连续,
证,要证 y=f [?(x)]在 x0连续,只须证>0,>0,
当 |x–x0|<? 时,有 | f [?(x)] –f [?(x0)]|<?,即可,
>0,因 y=f (u)在 u0连续,
故 > 0,当 |u–u0|<?,有 | f (u) – f (u0)|<?.
又因 u=?(x)在 x0连续,从而对上述? > 0,
>0,当 |x–x0|<?时,有 |u–u0|= |?(x) –? (u0)|<?.
,||,||,00 uuxx 有时当故 进而有
| f [?(x)] – f [?(x0)]| = | f (u) –f (u0)|<?
故 y=f [?(x)]在 x0连续,
推论,若 lim[?(x)] =A,且 y=f (u)在 u=A连续,则
limf [?(x)] = f [lim?(x)]
式子 )]([l im
0
xfxx = f [?(x0)]相当于
)],(l i m[)]([l i m
00
xfxf xxxx因此,有例 4.
x
x x
11s i nl i m求
x
x x
11l i ms i n x
x x
11s i nl i m解,
.sin e?
定理 4.若 y =f (x)在区间 I上 严格 单调增加 (减少 )且连续,则其反函数 x=f –1(y)在相应区间上严格单调增加 (减少 ) 且连续,
定理 5,若 y =f (x)在 x0连续,且 f (x0)>0 (<0),则?U(x0),
使?x?U(x0),有 f (x)>0 (<0).
定理 6,(1) 基本初等函数在其定义域内连续,
(2) 初等函数在其定义域内连续,
例 5,x xx
x ar ct g
)34ln(l i m 2
1
4
1a r c t g
1ln1
三、初等函数的连续性称形如 y=[f (x)]g(x)的函数为幂指函数,其中 f (x)>0,
根据对数恒等式 y=elny,y>0,有 [f (x)]gx = eg(x) ·lnf (x),
即,
因此,当 f (x),g(x)均连续时,[f (x)]g (x)也连续,
则 )(0)( 0
0
)]([)]([lim xgxgxx xfxf
)()(l i m ),()(l i m 00
00
xgxgxfxf xxxx若
2c o s3
1l i m
22
2
0
xx
x
x 3
1
21
1?
例 6.
x
x x )2(l im0
例 7,120
若 limf (x) = A > 0,limg(x) = B,存在,
)()](l i m [ xgxf则 )(ln)(l i m xfxge?
ABe ln
BA?
x
x x
x?
1
0
2s i nl i m例 8,= 21 = 2
012 1l i m
2
x
x x
x例 9.
,2
1 的图形知由 xy
y
x0
1
x
y 21
,1l i m 12 12
x
x
x
x例 10,
,2
1
的图形知由 xy
y
0 1 x
1
xy?
若 limf (x)=1,limg(x)=?,称 lim[f (x)]g(x)
为,1?”型极限问题,
若 limf (x)=0,limg(x)= 0,称 lim[f (x)]g(x) 为
,00,型极限问题,
,1?”,,00,和,?0,型都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量,更不一定是 1.
若 limf (x)=?,limg(x)= 0,称 lim[f (x)]g(x)
为,?0,型极限问题,
.)(co sl i m 2
1
0
x
x
x
求例 11.
解,,1?”型,
原式 = 2
1co s
1co s
1
0
))1(co s1(l i m x
x
x
x
x
2
1c o s
1c o s
1
0
))1( c o s1(l i m
x
x
x
x
x
2
1e
函数 f (x)在 x0连续可简单地表示为,
)()(l i m 0
0
xfxfxx
要使它成立,必须
(1) f (x)在 x0有定义 ;
(2) f (x)在 x0的极限存在 ;
(3) 两者相等,
这三条有一条不成立,则 f (x)在 x0不连续 (间断 ).
四、函数的间断点设 f (x)在? (x0)内有定义,若 f (x)是下列情况之一,
(1) f (x)在 x0无定义 ;
(2) f (x)在 x0的极限不存在 ;
(3) )()(l i m 0
0
xfxfxx
则称 f (x)在 x0处间断,x0称为 f (x)的一个间断点,
例 1.,s i n)( 的间断点讨论 x xxf?
解,,s i n)( 是初等函数由于 x xxf?
在其定义域内都连续,
故其间断点必是使函数无定义的点,
因 f (x)只在 x=0处无定义,
故 x=0为 f (x)的唯一间断点,
,1s i nl i m)(l i m 00 x xxf xx由于 而 f (x)在 x=0无定义,
此时,补充定义,)),(l i m(1)0(
0 xff x令则
,01
,0sin
)(
时当时当
x
x
x
x
xf
.0 连续在?x
例 2.
,
,0sin
,0,1
,0,2
)( 的间断点时当时当时当讨论
xx
x
xx
xf
解,这是一个由初等函数组成的分段函数,
这种函数的间断点若存在,通常在分段点 x=0处,
事实上,在 (,0)内,f (x) = 2x,连续,
在 (0,+?)内,f (x) = sinx,连续,
只须考虑在 x = 0是否连续即可,
,02l i m)(l i m 00 xxf xx由于,0s i nl i m)(l i m 00 xxf xx
.0)(l i m 0 xfx故而 f (0) = 1.,0 ).0()(l i m
0 为间断点故 xfxfx
.)(l i m 0 存在因 xfx? )),(l i m0(( 0 ),0 xff x令改换定义
,0
,0s i n
,0,0
,0,2
)( 连续在时当时当时当
x
xx
x
xx
xf则如图
xo
y
–2
–1
y=sinxy=2x
1
一般,若 x0是 f (x)的间断点,.)(l i m
0
存在且 xfxx?
则称 x0为 f (x)的一个可去间断点,
例 3.
,
0,0
0,1a r c t g)( 的间断点讨论
x
xxxf
解,类似例 2,只讨论分段点 x = 0 处情况,
由于 xxf
xx
1ar ct gl i m)(l i m
00
xxf xx
1ar ct gl i m)(l i m
00
2
2
x
y
0
y=arctanx2?
2
x = 0为 f (x)的间断点,,)(l i m
0 不存在故 xfx?
看图一般,若 f (x)在 x0处的左,右极限都存在,但不相等,则间断点 x0称为 f (x)的跳跃间断点,
如图
xo
y
–2
–1
y=x–2
y=2+(x–1)2
1
2
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点,或者说,左,右极限都存在的间断点称为第一类间断点,
不是第一类的间断点称为第二类间断点,
或者说,左,右极限中至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点,
例 4.,,1 并指出间断点的类型的间断点求 xey?
解,间断点 x = 0.
.l i m
1
0
x
x
e因,0l i m
1
0
x
x
e而故 x = 0 为第二类间断点,
一般,若 )(l i m)(l i m
00
xfxf xxxx 和中至少有一个为无穷大,则称 x0称为 f (x)的无穷型间断点,
.0 1 的一个无穷型间断点是 xex?
例 5.,,1s i n 并指出间断点的类型的间断点求 xy?
解,间断点 x = 0.
,1s i nl i m 1s i nl i m
00
都不存在和由于 xx
xx
看图故 x = 0 为第二类间断点,
0
1
－ 1
y
x
2
2?
定理 1.(根的存在定理 ),若 f (x)?C[a,b],即 f (x)在
[a,b]上连续,且 f (a)? f (b)<0.
则至少存在一点 x0?(a,b),使得 f (x0) = 0.
看图,
0
a
b x
y
A
B
x0
x0 x0
定理 1中的 x0,就是方程 f (x) = 0的根,因此,
也称定理 1为根的存在定理,
第九节 闭区间上连续函数的性质定理 2.(介质定理 ),设 f (x)?C[a,b],f (a)? f (b),
则对于介于 f (a) 和 f (b)之间的任意一值 c,
至少存在点 x0?(a,b),使得 f (x0) = c.
看图,
x0
C
0 b x
y
f (a)
a
f (b) y=f (x)
证,令 F(x) = f (x)–c,则 F(x)在 [a,b]上连续,
且 F (a)? F (b) = (f (a)–c)(f (b)–c) < 0
由根的存在定理,至少存在 x0?(a,b),
使得 F(x0) = 0.即,f (x0) = c.
例 1.证明方程 ln(1+ex)=2x至少有一个小于 1的正根,
证,记 f (x)= ln(1+ex)–2x,知 f (x)在 [0,1]上连续,
且 f (0)=ln2>0,f (1) = ln(1+e)–2 =ln(1+e) –lne2
2
1ln
e
e < 0
由定理 1,至少存在一点 x0?(0,1),使得故方程 ln(1+ex)=2x至少有一个小于 1的正根,
02)1l n ()( 00 0 xexf x
定义 1,设 f (x)在区间 I上有定义,若?x0?I,使?x?I.
有 f (x)? f (x0) (或 f (x)? f (x0)),
则称 f (x0)为 f (x)在 I上的最大 (或最小 )值,
记作
))(m i n)(( ),(m a x)( 00 xfxfxfxf IxIx 或定理 3.若 f (x)在 [a,b]上连续,则 f (x)在 [a,b]上一定取得最大值和最小值,
推论 1.若 f (x)在 [a,b]上连续,则 f (x)在 [a,b]上有界,
0
a
b x
y
x1
x2
B
A
M1
M2
看图推论 2,若 f (x)在 [a,b]上连续,
),(m i n ),(m a x ],[],[ xfmxfM baxbax
则对任何满足 m?c? M的值 c,
x0?[a,b],使得 f (x0)=c.
例 2.,,)1,0(,)1,0(1 也无最大值内无界但在内连续在xy?
0
y
x
xy
1?
1
例 3.,]1,1[ 0,1 0,)( 上有定义在 xxxxf
.0 处不连续但在?x
不存在 x0?(–1,1),使得 f (x0) = 0.
看图可见,在定理 1－ 3中,不能将,[a,b]”改为,(a,b)”;
连续这一条件不能少,
0
y
x1
–1
0,1 0,)( xxxxf
1
1,函数项级数及部分和函数列 (数列 )
设 un(x),n = 1,2,… 都是定义在实数集 X上的函数,
称
)()()()(
1
21 xuxuxuxu n
n
n
(1)
为函数项级数,
)()()()(
1
1 xuxuxuxS n
n
k
kn
为级数 (1)的前 n项部分和,称函数列 {Sn(x)},
为级数 (1)的部分和函数列 (数列 ).
称第十节 函数项级数一、函数项级数的一般概念
2.函数项级数的收敛、发散和收敛域
x0?X,由于各 un(x)在 X上有定义,从而 un(x)存在,
将 x0 代入级数 (1) 中,可得常数项级数
1
)(
n
n xu
.)(
1
0?
n
n xu 的为级数则称收敛若 )1(,)( 0
1
0 xxu
n
n?
收敛点 (或称级数 (1)在 x0 收敛 ),否则称 x0 为级数
(1)的发散点 (或称 (1)在 x0 发散 ).
称级数 (1) 的收敛点所成的集合 D为级数
(1)的收敛域,
1
)(
n
n xu
当收敛域是一区间时,称为收敛区间,
若级数 (1)在区间 I上每点都收敛,则称 (1)在 I上收敛,
3.和函数若级数 (1) 的收敛域 D,
1
)(
n
n xu
是一确定的实数,从而则?x0?D,
1
0 )(
n
n xu
函数,
上的一个是 Dxu
n
n?
1
)(
记此函数为 S(x),即
,)()(
1
n
n xuxS
).()(,)(
11
xSxuxu
n
n
n
n 收敛于也称的和函数称为
.),(lim)(lim)()(
11
DxxSxuxuxS n
nn nnn n
易见,
4.一致收敛我们知道,有限个函数和的极限等于各函数的极限之和 ; 有限个连续函数之和仍为连续函数,
问题,1,是否有
)(l i m)(l i m
11 00
n
nxx
n
nxx xuxu
其中右端各项极限均存在,
2,若都且各内收敛在 )(,],[)(
1
xubaxu n
n
n?
在 [a,b]内连续,问是否?
1
)()(
n
n xuxS
在 [a,b]内连续?
回答是 都不一定,
例 1.
.)()()()( 1232
1
nn
n
n xxxxxxxxu设易知,它的每一项 xn?xn?1在 [0,1]上连续 (n=2,3,),
且 Sn(x) = xn,令 n,有
)(lim)( xSxS nn nn x lim
= 0,0? x < 1.1,x = 1.
知 S(x) 在 x = 1不连续,它不是 [0,1]上的连续函数,
1 111
)(lim)(lim
n
nx
n
nx xuxu
即为保证级数可逐项求极限 (以后还有求导，求积 ),必须引进一致收敛的概念,
设
1
)(
n
n xu
的收敛域为 D,和函数为 S(x),部分和为 Sn(x),则?x0?D,有
).(lim)()( 0
1
00 xSxuxS nn
n
n
即 > 0,?N > 0,当 n > N时,有 |Sn(x0) – S(x0)|<?,
一般,其中 N 不仅仅与? 有关,还与 x0 有关,
对同一个?,当 x0 不同时,N也不同,即 N = N(?,x0).
若对某个级数而言,存在只与? 有关而与 x0
无关的 N,则称该级数在 D上一致收敛,
定义 1.设部分和函数为的收敛域为 ),(,)(
1
xSDxu
n
n?
和为 Sn(x),若 > 0,存在与 x 无关的正整数
N = N(?),使得当 n >N 时,对一切 x?D 都有
1
)(,|)()(|
nk
kn xuxSxS 即则称 在 D上一致收敛于 S(x).
1
)(
n
n xu
定理 1.(柯西原理 )
上一致收敛的在 Dxu
n
n?
1
)(
的充要条件是, > 0,?N = N(?) > 0,
当 n,m > N时,
有 | Sn(x)? Sm(x) | <?,?x?D,
若设 n > m,则上式为
.)()()( 1
1
xuxuxu nm
n
mk
k
定理 2.(魏尔斯特拉斯 (Weierstrass)判别法 )
:)(
1
上满足的在区间若 Dxu
n
n?
(1)?N > 0,n > N时,| un(x) |? an,?x?D,
其中 an 为常数 ;
(2)
,)(
1
收敛常数项级数?
n
n xa
.)(
1
上一致收敛在则 Dxu
n
n?
.),(c o s,s i n
1
2
1
2 内一致收敛在
nn n
nx
n
nx例 2.
解,
,1s in 22 nn nx?,1c o s 22 nn nx?
x?R,
.1
1
2 收敛且?
n n
故此两级数一致收敛,
1.幂级数的概念定义 2,具有下列形式的函数项级数,
n
n
n
n
n xxaxxaaxxa )()()( 0010
0
0
称为 x? x0 的幂级数 (或在 x = x0 的处的幂级数 ),
其中 x0为常数,an称为幂级数的系数,n=0,1,2,···.
特别,若 x0 = 0,则称 为 x 的幂级数 (或在 x
= 0处的幂级数 ).
0n
n
n xa
二、幂级数令 x? x0 = t,得
.)(
00
0
n
n
n
n
n
n taxxa
显然,幂级数 在 x = 0 处收敛于 a0,即
0n
n
n xa
0n
n
n xa
的收敛域非空,
此两形式可通过变量代换互化,
定理 3.(阿贝尔 (Abel)定理 ),设幂级数
,
0
n
n
n xa
(1) 若 在 x = x0 ( x0? 0)处收敛,则它在满足
| x | < | x0 | 的一切点 x 处绝对收敛,即,它在区间 (?| x0 |,| x0 | )内的一切点 x 处绝对收敛,
0n
n
n xa
(2) 若 在 x = x0 发散,则它在满足 | x | > | x0 |
的一切点 x 处发散,即,它在区间 (? | x0 |,| x0 | )
外的一切点 x 处发散,
0n
n
n xa
看图,若 在 x = x0 处收敛,则它在 (?|x0|,|x0| )
内绝对收敛,
0n
n
n xa
x
x0?x0 0
若 在 x = x0 处发散,则它在 (,?|x0|)
和 ( | x0 |,+?) 内都发散,
0n
n
n xa
xx
0?x0 0
证,(1) 设 在 x = x0 ( x0? 0) 处收敛,即收敛,
0n
n
n xa?
0
0
n
n
n xa
.0lim 0 nnn xa从而由数列收敛,则该数列必有界 (即有界性定理 )知,?M > 0,使得
),2,1(0 nMxa nn
,
0
n
n
n xa
对满足 | x | < | x0 | 的一切 x,考虑 有
n
n
n
n
n
n
n
n x
x
xa
x
x
xaxa
0
0
0
0
n
x
x
M
0
.,1
0 00
收敛故等比级数由于
n
n x
xM
x
x
| ),||(|
,,,
0
00
xx
xaxa
n
n
n
n
n
n
绝对收敛即收敛由比较判别法知
(2) 设 在 x = x0 发散,即
0n
n
n xa,
0
0 发散?
n
n
n xa
要证对满足 | x | > | x0 | 的一切 x,
.
0
发散?
n
n
n xa
反设存在某个 x1,满足 | x1 | > | x0 |,但
0
1
n
n
n xa
.,)1(
0
0 绝对收敛知由?
n
n
n xa
此与条件矛盾,
发散故?
0n
n
n xa
( | x | < | x0 | ),
收敛,
现在从原点出发,沿 x 轴正向朝右走,开始我们遇到的可能都是收敛点,
就得到一个对称区间 (? x0,x0 ),在这个区间内,
每遇到一个收敛点 x0,
.
0
收敛?
n
n
n xa
如图
xx
0?x0 x'0?x'0
首先,.)(0
0
处收敛原点在
xxa
n
n
n
0
当收敛点全走完,一旦遇上第一个发散点 x',
则以后的点全是发散点,即 (,? x' ) ∪ (x',+?)
内都是发散点,如图可见,存在数?r,它们将收敛点和发散点隔开,
在 (?r,r) 内全是收敛点,在它外面全是发散点,
在 x =? r 处级数 可能收敛也可能发散,
要具体判断,
0n
n
n xa
x0 r?r x
0?x0
称具有上述特点的正数 r 为 的收敛半径,
0n
n
n xa
0n
n
n xa
特别,若 只在 x = 0 收敛,在其余点都发散,
规定收敛半径 r = 0.
若 在 x 轴上都收敛,规定收敛半径 r = +?,
0n
n
n xa
当 r? 0时,的收敛域必是一个区间,称它为 的收敛区间,
0n
n
n xa
0n
n
n xa
[?r,r),(?r,r],[?r,r],要由级数和?
0n
n
n ra?
0
)(
n
n
n ra
是否收敛确定,
收敛区间可能为 (?r,r)、
2.幂级数收敛半径的求法定理 4,设 r 是幂级数
0n
n
n xa
的收敛半径,而
0n
n
n xa
的系数满足
n
n
n a
a 1lim
其中 an?0(当 n充分大时 ),则
(1) 当 0 <? < +?时，;1r
(2) 当? = 0 时,r = +?;
(3) 当? = +? 时,r = 0,
证,考虑正项级数
.
0
n
n
n xa
由达朗贝尔判别法
x
a
a
xa
xa
n
n
nn
n
n
n
n
1
1
1 lim||lim
x
(1) 若 0 <? < +?，则当? | x | < 1,即
,1 时x
幂级数绝对收敛,从而收敛,
.,1 级数发散时当x
.1r故
(2) 若? = 0,则? | x | = 0 < 1,知对?x?R,级数收敛,
故 r = +?.
(3) 若? = +?,则当 x? 0,? | x | > 1,级数发散,
故 r = 0.
注 1.对 (x–x0)的幂函数
1
0 )(
n
n
n xxa,
仍可用定理 4的结论求收敛半径 r,
当 r = 0时,级数只在 x = x0收敛 ;
当 r? 0时,级数在满足 |x–x0|<r的点 x上收敛,即在
(x0 – r,x0 + r)内收敛,区间端点 x0? r 处级数敛散性另行判断 ;
当 r = +?时,级数在 (–?,+?)收敛,
注 2.对缺无穷多项的幂级数，如,
0
2
n
n
n xa
0
12
0 )(
n
n
n xxa
、
,
0
3 等等?
n
n
n xa
不能直接用定理 4求收敛半径,
而要象定理 4的证明一样，用达朗贝尔判别法求收敛半径。
例 3,求
.
3
)1(
1
1 的收敛半径和收敛区间?
n
n
n
n
x
n
解,因为
3
1
13
1
lim
1
3
13
1
limlim
1
1
n
n
n
na
a
n
n
nn
n
n
n
故收敛半径
.31r
即级数在 (-3,3)内收敛,
考虑,当 x =?3时,级数
.)3(
3
)1()3(
3
)1(
1
1
1
1 的敛散性和
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
由于
,3)3(
3
)1(
11
1
nn
n
n
n
nn
发散,
,)1(33
3
)1(
11
1
n
n
n
n
n
n
nn
收敛,
所以,级数的收敛区间为 (?3,3].
例 4.
.)1(1
1
的收敛区间求?
n
nx
n
解,这是一个 (x?1)的幂级数,可用定理 4求收敛半径,
.1
11
1limlim 1
n
na
a
n
n
n
n
故 r = 1,当 | x? 1 | < 1 即 0 < x < 2时,级数收敛,
当 x = 0 时,
.)1(1
1
收敛?
n
n
n
.1)12(1,2
11
发散时当
nn
n
nnx
故收敛区间为 [0,2).
例 5.求
.)2(
4
)1(
1
12 的收敛区间?
n
n
n
n
x
n
解,这是缺无穷多项的,(x–2)的幂级数,不能直接用定理 4求收敛半径,由达朗贝尔判别法,
.,2|2|,,14 |2|
2
级数收敛时即当 xx
.,2|2|,,14 |2|
2
级数发散时即当 xx
121
12
)2(
4
4)1(
)2(l i m
n
n
n
n
n x
n
n
x
14
|2|lim 2
n
nx
n 4
|2| 2 x
故收敛半径 r = 2,级数在 (0,4)内收敛,
当 x = 0 时,
1
12
1
1
12 2
4
)1()20(
4
)1(
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
级数
,
2
1)1(
1
1
n
n
n
收敛,
当 x = 4时,级数
11
12,
2
1)1()24(
4
)1(
n
n
n
n
n
n
nn
收敛,
收敛区间为 [0,4].
定理 5,设且的收敛半径为,
0
rxa
n
n
n?
||lim nn a
则
(1) 当 0 <? < +?时,;1r
(2) 当? = 0 时,r = +? ;
(3) 当? = +? 时,r = 0 ;
例 6,求
.
1
的收敛半径?
n
nn xn
解,
.lim||lim
n n
nnn
na
故 r = 0 ;
即,级数只在 x = 0 处收敛,
3.幂级数的运算,
,,21
00
rrxbxa
n
n
n
n
n
n 的收敛半径分别为和设
记 r = min(r1,r2),则在 (?r,r) 内可作如下运算,
(1) 加法运算
000
)(
n
n
nn
n
n
n
n
n
n xbaxbxa
(2) 乘法运算
000 n
n
n
n
n
n
n
n
n xcxbxa
.0110
0
babababac nnn
n
k
knkn
其中
(3) 除法运算
000 n
n
n
n
n
n
n
n
n xcxbxa
当 b0? 0时,
有时且,0
0
k
n
n xb
其中 cn 满足
a0 = b0c0
a1 = b1c0 + b0c1
a2 = b2c0 + b1c1 + b0c2
……
an = bnc0 + bn?1c1 +… + b0cn
可依次求出 c0,c1,…,cn,
)0( 33,0)1( 常数非时当 x xx
0,0)2(
2
xxx 时当
2,0)3( xxx 时当
.,)1(
1
1
)1(
,)4( 极限不存在时当 n
n
n
nn
第六节 无穷小量的比较
,0)( )(l i m )2( Axx若则称?(x)和?(x)是 同阶无穷小量,
记作,?(x)= O(?(x))
则称? (x)是?(x)的 k阶无穷小量,
,0)]([ )(l i m, Axx k若特别
))(()( xOx k记作
,1)( )(l i m )3(?xx若则称?(x)和?(x)是等价无穷小量,
记作,?(x) ~?(x)
显然,若?(x) ~?(x),则? (x)和?(x)是同阶无穷小 量,但反之不对,
比如,
(i) )0( ).(,.0l i m 22
0
xxoxxx
x
所以因
(ii) )0( ).(c o s1,.21c o s1l i m 2
20
xxOxx x
x
所以因
(iii),~)1l n (,~1,~tg,~s i n,0 xxxexxxxx x 时当
221~c o s1 xx?
.1~1,12,11,,
1
2 nenOnnonn
n
时例
n
n
1
2
1
n
n
2
11?ne
10
0.1
0.01
0.2
0.105
100
0.01
0.0001
0.02
0.01005
1000
0.001
0.000001
0.002
0.0010005
…
…
…
…
…
定理 1.设?(x),(x),?(x),(x)是某极限过程中的无穷小量,f (x)是另一变量,且,? (x) ~(x),
(x) ~(x),则
,)( )(l i m)( )(l i m )1( xxxx
),()(li m)()(li m )2( xfxxfx
.)( )()(l i m)( )()(l i m )3( x xfxx xfx
只须右端极限存在或为无穷大,
证,(1) 因为?(x) ~(x),?(x) ~(x),
所以 )( )(lim xx
)(
)(
)(
)(
)(
)(l i m
x
x
x
x
x
x
)(
)(l im
x
x
类似可证 (2),(3).
例 1.,5s i n 2tgl i m
0 x
x
x?
求解,由于当 x?0,tgx ~ x,从而 tg2x ~ 2x.
当 x?0,sinx ~ x,从而 sin5x ~ 5x.
故,xx
x 5s in
2tglim
0? x
x
x 5
2lim
0 5
2?
例 2,)(,s i ns i nl i m
0
babxax ee
bxax
x
解,
xbaxba
ee xbabx
x
2s i n2co s2
)1(l i m )(
0
xba
e
xba
e xba
x
bx
x
2sin
)1(l i m
2co s2
l i m
)(
00?
xba
xba
x
2
)(l i m
2
1
0?
= 1
bxax
ee bxax
x s i ns i n
l i m
0?
例 3,).31l n (l i m 32 xx
x
求解,)31l n (l i m 32
xxx 3
2l im
xxx xx
3lim
= 0
或,)31l n (l i m 32
xxx )
31l n (
3
3l i m
3
3
x
x
xx
3
3
3
)31l n (3l i m
x
x xx
3
3
3
)31l n (l i m3l i m
x
xx xx
= 0 ·1= 0
例 4.
.
1
1
11
lim
2
n
nn
n
求解,
2
1
1
11
lim
n
nn
n
)1(
lim
2
nn
n
n
= 1
.1111 nnn 来代换的等价无穷小但不能用?
事实上,若作代换,有
2
1
1
11
l i m
n
nn
n
2
1
1
1
1
1
l i m
n
nn
n
00l imn
显然,这个结果是错误的,
例 5,当 x?0时,tgx – sinx是 x的几阶无穷小量?
解,首先注意结论,若当 x?0时,f (x) = O(x?),
g(x) = O(x?),则 f (x) · g(x) = O(x?+?),其中,
,? 均大于 0.
.0)(,0)(,0, Bx xgAx xfx时设当事实上
.0)()()()(, BAx xgx xfx xgxf从而由于 tgx – sinx = tgx(1– cosx)
因 tgx ~ x,而 1– cosx = O(x2).
故 tgx – sinx = tgx(1– cosx ) = O(x3).
当 x?0时,
sinx ~ x,tgx ~ x,
arctgx ~ x,arcsinx ~ x,
ex–1 ~ x,ln(1+x) ~ x,
2~co s1
2x
x?
)0,(,~1)1( kRkkxx k
常用的等价无穷小,
事实上,当 y > 0时,y = elny,从而,
kx
x k
x
1)1(l i m
0
kx
e xk
x
1l i m )1ln (
0
kx
xk
x
)1l n (l i m
0
= 1
0,,~1)1(, kRkkxx k所以注 1.用符号,”表示无穷小量比无穷小量的极限问题,
0
0
用符号,”表示无穷大量比无穷大量的极限问题,
用符号,0 ·?”表示无穷小量乘以无穷大量的极限问题,
.,
,000
存在它们的极限甚至可能不一定是穷大量也不”不一定是无穷小量”，“”，“则,
三种类型可以互化,比如,
”“”“”“”,00101100?
注 2,若当 x?0时,f (x) = O(x? ),g(x) = O(x? ),
>? >0.
则 f (x)? g(x) = O(x?),).()( )( xOxg xf
例,火箭升空时,质量变化情形如图,
t
m
o
m0
t0
一般,当 f (x)连续变化时,其图形是一条连续曲线,
反之,若 f (x)图形是一条连续曲线,f (x)
则是连续变化的,
第七节 函数的连续性一、函数的连续性
x
y
ox
y
o xx
y
y
x
y
x
y
x0
f (x0)
A
B
x? x0 x? x0
从图上可看出,?(x)在 x0间断,但 f (x)在 x0连续,
(x)在 x0的极限不存在,而 ).()(l i m 0
0
xfxfxx
y y
x0
y =?(x) y = f (x)
定义 1.设 f (x)在 x0的某邻域 U(x0)内有定义,且
).()(l i m 0
0
xfxfxx
则称 f (x)在 x0连续,x0称为 f (x)的连续点,
否则称 f (x)在 x0间断,x0称为 f (x)的间断点,
或称为不连续点,
由于当 f (x)为多项式时,有 ).()(l i m 0
0
xfxfxx
0s i ns i nl i m,0 xxxx并且 0c osc osl i m 0 xxxx
所以,多项式及正,余弦函数在任何点 x0处连续,
连续定义也可用 语言给出。
若对 >0,>0,使得当 |x?x0|<?时,
对应的函数值 f (x)满足 | f (x)? f (x0) |<?
则称 f (x)在 x0处连续,
注,与极限定义比较,将 "a"换成 " f (x0)"
将 "0<|x?x0|<? "换成 " |x?x0|<? ".
例 1,,0,0,,0,||)( 处连续在时当 时当证明 xxx xxxxf
证,0l i m)(l i m
00 xxf xx因 0)(l i m)(l i m 00 xxf xx
0||l i m)(l i m 00 xxf xx故又因为 f (0)=0,)0()(l i m
0 fxfx从而
.0||)( 处连续在故 xxxf
如图
x
y
o
f (x) = |x|
还可得到,|x|在任何点 x0处连续,,||||l i m 0
0
xxxx即
],,(),(),,[),( 000000 xxxUxxxU记称为 x0的右邻域和 x0的左邻域,
).()( 00 xUxU 和简记为
)),()(l i m)(()(l i m 00
00
xfxfxfxf
xxxx
若定义 2.
则称 f (x)在 x0处右 (左 )连续,
设 f (x)在 x0的某右邻域 (某左邻域 )内有定义,
)( 0?xU
)( 0?xU
定理 1,f (x)在 x0处 连续? f (x)在 x0左 连续且右连续,
例 2.
,0,
0,3)( 2
xxa
xxxf设 问 a为何值时,
f (x)在 x=0连续,
解,f (0)=3
)00(?f )(l im
0 xfx
)3(l i m 20 xx = 3
f (x)在 x = 0右 连续,
为使 f (x)在 x=0连续,必须 f (0–0)=f (0)=f (0+0)
即,a=3.
故,a=3时,f (x)在 x=0连续,
)00(?f )(l im0 xfx )(l i m
0 xax
= a
例 3.
,0,1
0,1)(
时当时当设
xx
xxxf 问 f (x)在 x=0是否连续,
解,f (0)=1
)00(?f )(l im0 xfx )1(l im0 xx =1 右 连续,
故,f (x)在 x=0间断,
)00(?f )1(l im0 xx = –1? f (0) 不左 连续,
图形为
x
y
o
–1
1
y=f (x)
若 f (x)在 (a,b)内每一点连续,则称 f (x)在开区间 (a,b)内连续,记作 f (x)?C(a,b).
C(a,b)表示在 (a,b)内连续的函数全体所成集合,
其中若 f (x)在 (a,b)内连续,且 f (x)在 x=a右连续,
在 x=b左连续,则称 f (x)在闭区间 [a,b]上连续,
记作 f (x)?C[a,b].
一般,设变量 u从初值 u0变到终值 u1,记?u=u1?u0,
称为变量 u的增量 (改变量 ).
u可正,可负,还可为 0,另外,u1 = u0+?u
记?y = f (x)? f (x0) = f (x0 +?x)? f (x0)
称为 y在 x0处相应于?x的 增量 (改变量 ).
设 f (x)在 U(x0)有定义,?x?U(x0),记?x =x?x0
称为自变量 x在 x0处 增量 (改变量 ),且 x = x0 +?x
定义 3.设 y=f (x)在 U(x0)有定义,
若当?x = x?x0?0时,有?y=f (x0+?x)?f(x0)?0
.0l i m 0 yx即 则称 f (x)在 x0连续,
0)]()([l i m)()(l i m 00
00
xfxfxfxf xxxx由于
0l i m)]()([l i m 0000 yxfxxf xx(令?x = x?x
0)
连续定义可用函数的增量的形式给出,
如图,
x
y
o
B=?(x0)
A
x0+?x
y
C
D
x0
x>0
y=CD的长
0lim 0 yx
y=?(x)
x
y
o
f (x0)
x0+?xx0+?x x0
x<0?x>0
yM
N
y=CD的长
y= –(MN的长 ) C
D
0lim 0 yx
y=f (x)
定理 2.若 f (x),g(x)在点 x0处连续,则
(1) af (x)+bg(x)在 x0处连续,其中 a,b为常数,
(2) f (x) ·g(x)在 x0连续,
(3) 当 g(x0)?0时,.
)(
)(
0 连续在 xxg
xf
二、连续函数的基本性质定理 3.设若 y=f [?(x)]由 y=f (u),u=?(x)复合而成,
若 u=?(x)在 x0连续,u0=?(x0),而 y=f (u)在 u0
则复合函数 y=f [?(x)]在 x0连续,连续,
证,要证 y=f [?(x)]在 x0连续,只须证>0,>0,
当 |x–x0|<? 时,有 | f [?(x)] –f [?(x0)]|<?,即可,
>0,因 y=f (u)在 u0连续,
故 > 0,当 |u–u0|<?,有 | f (u) – f (u0)|<?.
又因 u=?(x)在 x0连续,从而对上述? > 0,
>0,当 |x–x0|<?时,有 |u–u0|= |?(x) –? (u0)|<?.
,||,||,00 uuxx 有时当故 进而有
| f [?(x)] – f [?(x0)]| = | f (u) –f (u0)|<?
故 y=f [?(x)]在 x0连续,
推论,若 lim[?(x)] =A,且 y=f (u)在 u=A连续,则
limf [?(x)] = f [lim?(x)]
式子 )]([l im
0
xfxx = f [?(x0)]相当于
)],(l i m[)]([l i m
00
xfxf xxxx因此,有例 4.
x
x x
11s i nl i m求
x
x x
11l i ms i n x
x x
11s i nl i m解,
.sin e?
定理 4.若 y =f (x)在区间 I上 严格 单调增加 (减少 )且连续,则其反函数 x=f –1(y)在相应区间上严格单调增加 (减少 ) 且连续,
定理 5,若 y =f (x)在 x0连续,且 f (x0)>0 (<0),则?U(x0),
使?x?U(x0),有 f (x)>0 (<0).
定理 6,(1) 基本初等函数在其定义域内连续,
(2) 初等函数在其定义域内连续,
例 5,x xx
x ar ct g
)34ln(l i m 2
1
4
1a r c t g
1ln1
三、初等函数的连续性称形如 y=[f (x)]g(x)的函数为幂指函数,其中 f (x)>0,
根据对数恒等式 y=elny,y>0,有 [f (x)]gx = eg(x) ·lnf (x),
即,
因此,当 f (x),g(x)均连续时,[f (x)]g (x)也连续,
则 )(0)( 0
0
)]([)]([lim xgxgxx xfxf
)()(l i m ),()(l i m 00
00
xgxgxfxf xxxx若
2c o s3
1l i m
22
2
0
xx
x
x 3
1
21
1?
例 6.
x
x x )2(l im0
例 7,120
若 limf (x) = A > 0,limg(x) = B,存在,
)()](l i m [ xgxf则 )(ln)(l i m xfxge?
ABe ln
BA?
x
x x
x?
1
0
2s i nl i m例 8,= 21 = 2
012 1l i m
2
x
x x
x例 9.
,2
1 的图形知由 xy
y
x0
1
x
y 21
,1l i m 12 12
x
x
x
x例 10,
,2
1
的图形知由 xy
y
0 1 x
1
xy?
若 limf (x)=1,limg(x)=?,称 lim[f (x)]g(x)
为,1?”型极限问题,
若 limf (x)=0,limg(x)= 0,称 lim[f (x)]g(x) 为
,00,型极限问题,
,1?”,,00,和,?0,型都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量,更不一定是 1.
若 limf (x)=?,limg(x)= 0,称 lim[f (x)]g(x)
为,?0,型极限问题,
.)(co sl i m 2
1
0
x
x
x
求例 11.
解,,1?”型,
原式 = 2
1co s
1co s
1
0
))1(co s1(l i m x
x
x
x
x
2
1c o s
1c o s
1
0
))1( c o s1(l i m
x
x
x
x
x
2
1e
函数 f (x)在 x0连续可简单地表示为,
)()(l i m 0
0
xfxfxx
要使它成立,必须
(1) f (x)在 x0有定义 ;
(2) f (x)在 x0的极限存在 ;
(3) 两者相等,
这三条有一条不成立,则 f (x)在 x0不连续 (间断 ).
四、函数的间断点设 f (x)在? (x0)内有定义,若 f (x)是下列情况之一,
(1) f (x)在 x0无定义 ;
(2) f (x)在 x0的极限不存在 ;
(3) )()(l i m 0
0
xfxfxx
则称 f (x)在 x0处间断,x0称为 f (x)的一个间断点,
例 1.,s i n)( 的间断点讨论 x xxf?
解,,s i n)( 是初等函数由于 x xxf?
在其定义域内都连续,
故其间断点必是使函数无定义的点,
因 f (x)只在 x=0处无定义,
故 x=0为 f (x)的唯一间断点,
,1s i nl i m)(l i m 00 x xxf xx由于 而 f (x)在 x=0无定义,
此时,补充定义,)),(l i m(1)0(
0 xff x令则
,01
,0sin
)(
时当时当
x
x
x
x
xf
.0 连续在?x
例 2.
,
,0sin
,0,1
,0,2
)( 的间断点时当时当时当讨论
xx
x
xx
xf
解,这是一个由初等函数组成的分段函数,
这种函数的间断点若存在,通常在分段点 x=0处,
事实上,在 (,0)内,f (x) = 2x,连续,
在 (0,+?)内,f (x) = sinx,连续,
只须考虑在 x = 0是否连续即可,
,02l i m)(l i m 00 xxf xx由于,0s i nl i m)(l i m 00 xxf xx
.0)(l i m 0 xfx故而 f (0) = 1.,0 ).0()(l i m
0 为间断点故 xfxfx
.)(l i m 0 存在因 xfx? )),(l i m0(( 0 ),0 xff x令改换定义
,0
,0s i n
,0,0
,0,2
)( 连续在时当时当时当
x
xx
x
xx
xf则如图
xo
y
–2
–1
y=sinxy=2x
1
一般,若 x0是 f (x)的间断点,.)(l i m
0
存在且 xfxx?
则称 x0为 f (x)的一个可去间断点,
例 3.
,
0,0
0,1a r c t g)( 的间断点讨论
x
xxxf
解,类似例 2,只讨论分段点 x = 0 处情况,
由于 xxf
xx
1ar ct gl i m)(l i m
00
xxf xx
1ar ct gl i m)(l i m
00
2
2
x
y
0
y=arctanx2?
2
x = 0为 f (x)的间断点,,)(l i m
0 不存在故 xfx?
看图一般,若 f (x)在 x0处的左,右极限都存在,但不相等,则间断点 x0称为 f (x)的跳跃间断点,
如图
xo
y
–2
–1
y=x–2
y=2+(x–1)2
1
2
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点,或者说,左,右极限都存在的间断点称为第一类间断点,
不是第一类的间断点称为第二类间断点,
或者说,左,右极限中至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点,
例 4.,,1 并指出间断点的类型的间断点求 xey?
解,间断点 x = 0.
.l i m
1
0
x
x
e因,0l i m
1
0
x
x
e而故 x = 0 为第二类间断点,
一般,若 )(l i m)(l i m
00
xfxf xxxx 和中至少有一个为无穷大,则称 x0称为 f (x)的无穷型间断点,
.0 1 的一个无穷型间断点是 xex?
例 5.,,1s i n 并指出间断点的类型的间断点求 xy?
解,间断点 x = 0.
,1s i nl i m 1s i nl i m
00
都不存在和由于 xx
xx
看图故 x = 0 为第二类间断点,
0
1
－ 1
y
x
2
2?
定理 1.(根的存在定理 ),若 f (x)?C[a,b],即 f (x)在
[a,b]上连续,且 f (a)? f (b)<0.
则至少存在一点 x0?(a,b),使得 f (x0) = 0.
看图,
0
a
b x
y
A
B
x0
x0 x0
定理 1中的 x0,就是方程 f (x) = 0的根,因此,
也称定理 1为根的存在定理,
第九节 闭区间上连续函数的性质定理 2.(介质定理 ),设 f (x)?C[a,b],f (a)? f (b),
则对于介于 f (a) 和 f (b)之间的任意一值 c,
至少存在点 x0?(a,b),使得 f (x0) = c.
看图,
x0
C
0 b x
y
f (a)
a
f (b) y=f (x)
证,令 F(x) = f (x)–c,则 F(x)在 [a,b]上连续,
且 F (a)? F (b) = (f (a)–c)(f (b)–c) < 0
由根的存在定理,至少存在 x0?(a,b),
使得 F(x0) = 0.即,f (x0) = c.
例 1.证明方程 ln(1+ex)=2x至少有一个小于 1的正根,
证,记 f (x)= ln(1+ex)–2x,知 f (x)在 [0,1]上连续,
且 f (0)=ln2>0,f (1) = ln(1+e)–2 =ln(1+e) –lne2
2
1ln
e
e < 0
由定理 1,至少存在一点 x0?(0,1),使得故方程 ln(1+ex)=2x至少有一个小于 1的正根,
02)1l n ()( 00 0 xexf x
定义 1,设 f (x)在区间 I上有定义,若?x0?I,使?x?I.
有 f (x)? f (x0) (或 f (x)? f (x0)),
则称 f (x0)为 f (x)在 I上的最大 (或最小 )值,
记作
))(m i n)(( ),(m a x)( 00 xfxfxfxf IxIx 或定理 3.若 f (x)在 [a,b]上连续,则 f (x)在 [a,b]上一定取得最大值和最小值,
推论 1.若 f (x)在 [a,b]上连续,则 f (x)在 [a,b]上有界,
0
a
b x
y
x1
x2
B
A
M1
M2
看图推论 2,若 f (x)在 [a,b]上连续,
),(m i n ),(m a x ],[],[ xfmxfM baxbax
则对任何满足 m?c? M的值 c,
x0?[a,b],使得 f (x0)=c.
例 2.,,)1,0(,)1,0(1 也无最大值内无界但在内连续在xy?
0
y
x
xy
1?
1
例 3.,]1,1[ 0,1 0,)( 上有定义在 xxxxf
.0 处不连续但在?x
不存在 x0?(–1,1),使得 f (x0) = 0.
看图可见,在定理 1－ 3中,不能将,[a,b]”改为,(a,b)”;
连续这一条件不能少,
0
y
x1
–1
0,1 0,)( xxxxf
1
1,函数项级数及部分和函数列 (数列 )
设 un(x),n = 1,2,… 都是定义在实数集 X上的函数,
称
)()()()(
1
21 xuxuxuxu n
n
n
(1)
为函数项级数,
)()()()(
1
1 xuxuxuxS n
n
k
kn
为级数 (1)的前 n项部分和,称函数列 {Sn(x)},
为级数 (1)的部分和函数列 (数列 ).
称第十节 函数项级数一、函数项级数的一般概念
2.函数项级数的收敛、发散和收敛域
x0?X,由于各 un(x)在 X上有定义,从而 un(x)存在,
将 x0 代入级数 (1) 中,可得常数项级数
1
)(
n
n xu
.)(
1
0?
n
n xu 的为级数则称收敛若 )1(,)( 0
1
0 xxu
n
n?
收敛点 (或称级数 (1)在 x0 收敛 ),否则称 x0 为级数
(1)的发散点 (或称 (1)在 x0 发散 ).
称级数 (1) 的收敛点所成的集合 D为级数
(1)的收敛域,
1
)(
n
n xu
当收敛域是一区间时,称为收敛区间,
若级数 (1)在区间 I上每点都收敛,则称 (1)在 I上收敛,
3.和函数若级数 (1) 的收敛域 D,
1
)(
n
n xu
是一确定的实数,从而则?x0?D,
1
0 )(
n
n xu
函数,
上的一个是 Dxu
n
n?
1
)(
记此函数为 S(x),即
,)()(
1
n
n xuxS
).()(,)(
11
xSxuxu
n
n
n
n 收敛于也称的和函数称为
.),(lim)(lim)()(
11
DxxSxuxuxS n
nn nnn n
易见,
4.一致收敛我们知道,有限个函数和的极限等于各函数的极限之和 ; 有限个连续函数之和仍为连续函数,
问题,1,是否有
)(l i m)(l i m
11 00
n
nxx
n
nxx xuxu
其中右端各项极限均存在,
2,若都且各内收敛在 )(,],[)(
1
xubaxu n
n
n?
在 [a,b]内连续,问是否?
1
)()(
n
n xuxS
在 [a,b]内连续?
回答是 都不一定,
例 1.
.)()()()( 1232
1
nn
n
n xxxxxxxxu设易知,它的每一项 xn?xn?1在 [0,1]上连续 (n=2,3,),
且 Sn(x) = xn,令 n,有
)(lim)( xSxS nn nn x lim
= 0,0? x < 1.1,x = 1.
知 S(x) 在 x = 1不连续,它不是 [0,1]上的连续函数,
1 111
)(lim)(lim
n
nx
n
nx xuxu
即为保证级数可逐项求极限 (以后还有求导，求积 ),必须引进一致收敛的概念,
设
1
)(
n
n xu
的收敛域为 D,和函数为 S(x),部分和为 Sn(x),则?x0?D,有
).(lim)()( 0
1
00 xSxuxS nn
n
n
即 > 0,?N > 0,当 n > N时,有 |Sn(x0) – S(x0)|<?,
一般,其中 N 不仅仅与? 有关,还与 x0 有关,
对同一个?,当 x0 不同时,N也不同,即 N = N(?,x0).
若对某个级数而言,存在只与? 有关而与 x0
无关的 N,则称该级数在 D上一致收敛,
定义 1.设部分和函数为的收敛域为 ),(,)(
1
xSDxu
n
n?
和为 Sn(x),若 > 0,存在与 x 无关的正整数
N = N(?),使得当 n >N 时,对一切 x?D 都有
1
)(,|)()(|
nk
kn xuxSxS 即则称 在 D上一致收敛于 S(x).
1
)(
n
n xu
定理 1.(柯西原理 )
上一致收敛的在 Dxu
n
n?
1
)(
的充要条件是, > 0,?N = N(?) > 0,
当 n,m > N时,
有 | Sn(x)? Sm(x) | <?,?x?D,
若设 n > m,则上式为
.)()()( 1
1
xuxuxu nm
n
mk
k
定理 2.(魏尔斯特拉斯 (Weierstrass)判别法 )
:)(
1
上满足的在区间若 Dxu
n
n?
(1)?N > 0,n > N时,| un(x) |? an,?x?D,
其中 an 为常数 ;
(2)
,)(
1
收敛常数项级数?
n
n xa
.)(
1
上一致收敛在则 Dxu
n
n?
.),(c o s,s i n
1
2
1
2 内一致收敛在
nn n
nx
n
nx例 2.
解,
,1s in 22 nn nx?,1c o s 22 nn nx?
x?R,
.1
1
2 收敛且?
n n
故此两级数一致收敛,
1.幂级数的概念定义 2,具有下列形式的函数项级数,
n
n
n
n
n xxaxxaaxxa )()()( 0010
0
0
称为 x? x0 的幂级数 (或在 x = x0 的处的幂级数 ),
其中 x0为常数,an称为幂级数的系数,n=0,1,2,···.
特别,若 x0 = 0,则称 为 x 的幂级数 (或在 x
= 0处的幂级数 ).
0n
n
n xa
二、幂级数令 x? x0 = t,得
.)(
00
0
n
n
n
n
n
n taxxa
显然,幂级数 在 x = 0 处收敛于 a0,即
0n
n
n xa
0n
n
n xa
的收敛域非空,
此两形式可通过变量代换互化,
定理 3.(阿贝尔 (Abel)定理 ),设幂级数
,
0
n
n
n xa
(1) 若 在 x = x0 ( x0? 0)处收敛,则它在满足
| x | < | x0 | 的一切点 x 处绝对收敛,即,它在区间 (?| x0 |,| x0 | )内的一切点 x 处绝对收敛,
0n
n
n xa
(2) 若 在 x = x0 发散,则它在满足 | x | > | x0 |
的一切点 x 处发散,即,它在区间 (? | x0 |,| x0 | )
外的一切点 x 处发散,
0n
n
n xa
看图,若 在 x = x0 处收敛,则它在 (?|x0|,|x0| )
内绝对收敛,
0n
n
n xa
x
x0?x0 0
若 在 x = x0 处发散,则它在 (,?|x0|)
和 ( | x0 |,+?) 内都发散,
0n
n
n xa
xx
0?x0 0
证,(1) 设 在 x = x0 ( x0? 0) 处收敛,即收敛,
0n
n
n xa?
0
0
n
n
n xa
.0lim 0 nnn xa从而由数列收敛,则该数列必有界 (即有界性定理 )知,?M > 0,使得
),2,1(0 nMxa nn
,
0
n
n
n xa
对满足 | x | < | x0 | 的一切 x,考虑 有
n
n
n
n
n
n
n
n x
x
xa
x
x
xaxa
0
0
0
0
n
x
x
M
0
.,1
0 00
收敛故等比级数由于
n
n x
xM
x
x
| ),||(|
,,,
0
00
xx
xaxa
n
n
n
n
n
n
绝对收敛即收敛由比较判别法知
(2) 设 在 x = x0 发散,即
0n
n
n xa,
0
0 发散?
n
n
n xa
要证对满足 | x | > | x0 | 的一切 x,
.
0
发散?
n
n
n xa
反设存在某个 x1,满足 | x1 | > | x0 |,但
0
1
n
n
n xa
.,)1(
0
0 绝对收敛知由?
n
n
n xa
此与条件矛盾,
发散故?
0n
n
n xa
( | x | < | x0 | ),
收敛,
现在从原点出发,沿 x 轴正向朝右走,开始我们遇到的可能都是收敛点,
就得到一个对称区间 (? x0,x0 ),在这个区间内,
每遇到一个收敛点 x0,
.
0
收敛?
n
n
n xa
如图
xx
0?x0 x'0?x'0
首先,.)(0
0
处收敛原点在
xxa
n
n
n
0
当收敛点全走完,一旦遇上第一个发散点 x',
则以后的点全是发散点,即 (,? x' ) ∪ (x',+?)
内都是发散点,如图可见,存在数?r,它们将收敛点和发散点隔开,
在 (?r,r) 内全是收敛点,在它外面全是发散点,
在 x =? r 处级数 可能收敛也可能发散,
要具体判断,
0n
n
n xa
x0 r?r x
0?x0
称具有上述特点的正数 r 为 的收敛半径,
0n
n
n xa
0n
n
n xa
特别,若 只在 x = 0 收敛,在其余点都发散,
规定收敛半径 r = 0.
若 在 x 轴上都收敛,规定收敛半径 r = +?,
0n
n
n xa
当 r? 0时,的收敛域必是一个区间,称它为 的收敛区间,
0n
n
n xa
0n
n
n xa
[?r,r),(?r,r],[?r,r],要由级数和?
0n
n
n ra?
0
)(
n
n
n ra
是否收敛确定,
收敛区间可能为 (?r,r)、
2.幂级数收敛半径的求法定理 4,设 r 是幂级数
0n
n
n xa
的收敛半径,而
0n
n
n xa
的系数满足
n
n
n a
a 1lim
其中 an?0(当 n充分大时 ),则
(1) 当 0 <? < +?时，;1r
(2) 当? = 0 时,r = +?;
(3) 当? = +? 时,r = 0,
证,考虑正项级数
.
0
n
n
n xa
由达朗贝尔判别法
x
a
a
xa
xa
n
n
nn
n
n
n
n
1
1
1 lim||lim
x
(1) 若 0 <? < +?，则当? | x | < 1,即
,1 时x
幂级数绝对收敛,从而收敛,
.,1 级数发散时当x
.1r故
(2) 若? = 0,则? | x | = 0 < 1,知对?x?R,级数收敛,
故 r = +?.
(3) 若? = +?,则当 x? 0,? | x | > 1,级数发散,
故 r = 0.
注 1.对 (x–x0)的幂函数
1
0 )(
n
n
n xxa,
仍可用定理 4的结论求收敛半径 r,
当 r = 0时,级数只在 x = x0收敛 ;
当 r? 0时,级数在满足 |x–x0|<r的点 x上收敛,即在
(x0 – r,x0 + r)内收敛,区间端点 x0? r 处级数敛散性另行判断 ;
当 r = +?时,级数在 (–?,+?)收敛,
注 2.对缺无穷多项的幂级数，如,
0
2
n
n
n xa
0
12
0 )(
n
n
n xxa
、
,
0
3 等等?
n
n
n xa
不能直接用定理 4求收敛半径,
而要象定理 4的证明一样，用达朗贝尔判别法求收敛半径。
例 3,求
.
3
)1(
1
1 的收敛半径和收敛区间?
n
n
n
n
x
n
解,因为
3
1
13
1
lim
1
3
13
1
limlim
1
1
n
n
n
na
a
n
n
nn
n
n
n
故收敛半径
.31r
即级数在 (-3,3)内收敛,
考虑,当 x =?3时,级数
.)3(
3
)1()3(
3
)1(
1
1
1
1 的敛散性和
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
由于
,3)3(
3
)1(
11
1
nn
n
n
n
nn
发散,
,)1(33
3
)1(
11
1
n
n
n
n
n
n
nn
收敛,
所以,级数的收敛区间为 (?3,3].
例 4.
.)1(1
1
的收敛区间求?
n
nx
n
解,这是一个 (x?1)的幂级数,可用定理 4求收敛半径,
.1
11
1limlim 1
n
na
a
n
n
n
n
故 r = 1,当 | x? 1 | < 1 即 0 < x < 2时,级数收敛,
当 x = 0 时,
.)1(1
1
收敛?
n
n
n
.1)12(1,2
11
发散时当
nn
n
nnx
故收敛区间为 [0,2).
例 5.求
.)2(
4
)1(
1
12 的收敛区间?
n
n
n
n
x
n
解,这是缺无穷多项的,(x–2)的幂级数,不能直接用定理 4求收敛半径,由达朗贝尔判别法,
.,2|2|,,14 |2|
2
级数收敛时即当 xx
.,2|2|,,14 |2|
2
级数发散时即当 xx
121
12
)2(
4
4)1(
)2(l i m
n
n
n
n
n x
n
n
x
14
|2|lim 2
n
nx
n 4
|2| 2 x
故收敛半径 r = 2,级数在 (0,4)内收敛,
当 x = 0 时,
1
12
1
1
12 2
4
)1()20(
4
)1(
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
级数
,
2
1)1(
1
1
n
n
n
收敛,
当 x = 4时,级数
11
12,
2
1)1()24(
4
)1(
n
n
n
n
n
n
nn
收敛,
收敛区间为 [0,4].
定理 5,设且的收敛半径为,
0
rxa
n
n
n?
||lim nn a
则
(1) 当 0 <? < +?时,;1r
(2) 当? = 0 时,r = +? ;
(3) 当? = +? 时,r = 0 ;
例 6,求
.
1
的收敛半径?
n
nn xn
解,
.lim||lim
n n
nnn
na
故 r = 0 ;
即,级数只在 x = 0 处收敛,
3.幂级数的运算,
,,21
00
rrxbxa
n
n
n
n
n
n 的收敛半径分别为和设
记 r = min(r1,r2),则在 (?r,r) 内可作如下运算,
(1) 加法运算
000
)(
n
n
nn
n
n
n
n
n
n xbaxbxa
(2) 乘法运算
000 n
n
n
n
n
n
n
n
n xcxbxa
.0110
0
babababac nnn
n
k
knkn
其中
(3) 除法运算
000 n
n
n
n
n
n
n
n
n xcxbxa
当 b0? 0时,
有时且,0
0
k
n
n xb
其中 cn 满足
a0 = b0c0
a1 = b1c0 + b0c1
a2 = b2c0 + b1c1 + b0c2
……
an = bnc0 + bn?1c1 +… + b0cn
可依次求出 c0,c1,…,cn,
