高等数学：gs1_2

设 xn=f (n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列,x1,
x2,… xn,…,称为一个数列,xn称为数列的第 n项，
也称为通项,数列也可表示为 {xn}或 xn=f (xn)
第一节 数列的极限一、数列的极限例,,11,1
nx n
,)1(,2

n
n
,2 1)1(,3
n
nx
},{,4 2n
,1,34,23,2 nn?
,)1(,,31,21,1 n
n?

,2 1)1(,,1,0,1,0
n
,,,9,4,1 2n
1 x
看数列 1.
nx n
11
从直观上看,这个数列当 n越来越大时,对应的项 xn会越来越接近于 1,或者说“当 n趋向于无穷大时,数列 xn趋近于 1.如何用精确的,
量化的数学语言来刻划这一事实?
2
x1
2
3
x2
3
4
x3
4
5
x4xn
注意到,实数 a,b的接近程度由 | a?b |确定,
| a?b |越小,则 a,b越接近,因此,要说明,当 n
越来越大时,xn越来越接近于 1”就只须说明
,当 n越来越大时,| xn?1 |会越来越接近于 0”,
而要说明,| xn?1 |越来越接近于 0”则只须说明,当 n充分大时,| xn?1 |能够小于任意给定的,无论多么小的正数?” 就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数?,当 n充分大时,|
xn?1 | 比?还小,由于?是任意的,从而就说明了
|xn?1| 会越来越接近于 0.
事实上,
nx n
1|1|,给
1 0 0 0
1,很小,
1000
11|1|
nx n
,只须 n>1000 即可,
数列中,从第 1001项开始,以后各项都有
1 0 0 0
1|1|
nx
要也即在这个又给
1 0 0 0 0
1,则从第 10001项开始,
以后各项都有
1 0 0 0 0
1|1|
nx
一般,任给? >0,不论多么小,
nx n 1|1|
只须
1?n,因此,从第
11

项开始,以后各项都有
|1| nx,因?是任意的,这就说明了当 n越来越大时,
xn会越来越接近于 1.
要使定义,设 {xn}是一个数列,a是一个常数,
)(,,lim naxax nnn 或若 >0,?正整数 N,使得当 n>N时,
都有 |xn?a|<?,则称 a是数列 {xn}当 n
无限增大时的极限,或称 {xn}收敛于 a,
记作这时,也称 {xn}的极限存在,否则,称 {xn}的极限不存在,或称 {xn}是发散的,
))(,,lim( naxax nnn 或比如,对于刚才的数列 1,有
1)11(lim
nn
注 1.定义中的?是预先给定的,任意小的正数,
其任意性保证了 xn可无限接近于 a,
另外,?又是确定的,它不是变量,
若 >0,?正整数 N,使得当 n>N 时,
都有 |xn?a|<?,,lima x
n n 则记
,0)1(l i m
n
n
n
.l i m2 1)1(l i m 2 不存在和而 n
n
n
n

注 2.一般说来,N随给定的?变化而变化,给不同的? 确定的 N也不同,另外,对同一个?来说,N不是唯一的 (若存在一个 N,
则 N+1,N+2,…,均可作为定义中的 N.)
若 >0,?正整数 N,使得当 n>N 时,
都有 |xn?a|<?,,lima xn
n 则记注 3.定义中,当 n>N时,有 | xn?a |<?”的意思是说,
从第 N+1项开始,以后各项都有 |xn?a |<?,至于以前的项是否满足此式不必考虑,可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关,
而与前面的有限多项无关,改变,去掉数列的前有限项,不改变数列收敛或发散的性质,
若 >0,?正整数 N,使得当 n>N 时,
都有 |xn?a|<?,,lima xn
n 则记几何意义,
x2x1 a-?
xN+5
a
xN+1
a+? x3 x)(
xN
由于 | xn?a |< a <xn< a
xn?(a,a +?)=U(a,?).因此,所谓 xn
以 a为极限,就是对任何以 a为心,以任意小的正数? 为半径的? 邻域,总能找到一个 N,从第 N+1项开始,以后各项都落在邻域 U(a,? ) 内,而只有有限项落在 U(a,?)外部,看图,
例 1.若 xn=c (常数 ),则
ccnlim
若 >0,?正整数 N,使得当 n>N 时,
都有 |xn?a|<?,,lima xn
n 则记证, >0,由于 |xn–1|=|c – c|= 0
取 N=1,当 n>N时,有 |xn–c |=0<?
ccnlim
故即常数的极限就是常数本身,
例 2.设 q是满足 |q |<1的常数,证明
.0lim nn q
证,若 q = 0,结论显然成立,
> 0,
设 0 < |q |<1,现在,xn = qn,a = 0.
(要证?N,当 n>N时,有 |qn?0| <? )
因 | xn? a | = |qn?0| = |qn | = |q | n,
要使 | xn? a | <?,只须 |q | n <? 即可,
即 n ln |q | < ln?,
.||ln ln 即可或 qn
取正整数
,
||ln
ln

q
N?
则当 n > N 时,有
,||ln ln||ln ln qqn
从而有
.0lim nn q故
| qn? 0 | <?
例 3.证明 0c o s1lim?

nn
n
证, >0 ) |0co s1|n
n
.1|0co s1||0| nnnx n因 |0| nx要使
,1n只须则当 n>N时,有
.|0c o s1||0| nnx n
(要证?N,当 n>N时,有
],1[.1 Nn 取即
.0c o s1li m?

nn
n
故若 >0,?正整数 N,使得当 n>N 时,
都有 |xn?a|<?,,lima xn
n 则记例 4.
..1lim
22
为常数其中证明 a
n
an
n


证,
.1,
22
an anx n
>0,由于
n
nan
n
anax
n
2222 1||
)( 22
2
nann
a

,
2
n
a?
要使 | xn? a | <?,
,
2
na只须,
2
即可即?an?
,
2

aN取正整数 则当 n > N 时,有
1
22
n
an
.1l i m
22

n
an
n
故例 5.
.0.1lim 为常数其中证明 aann
证,(1) 设 a = 1,结论显然成立,
(2) 设 a > 1,),0(1
nnn a令从而
nnnnnnnnnn CCCa 2211)1(
> 1+ n?n
.1nan得
>0,
,11 naa nn
,1n a要使,1
n
a只须,1 即可即
an
.1,,1

n aNnaN 有时则当取
).1(1lim aann 其中故
(3) 设 0 < a < 1,
.11lim)2(,11

n
n aa
知由则即 >0,?N,当 n>N时,有
.11n
a
.1
n
n
a
a即
nn aa 1或
,(因 0 < a < 1)
综合得
).0(.1lim aann
).10(.1lim aann
本例也可用 有理化 的方法处理,注意到公式
)1)(1(1 21 bbbbb nnn
从而
)1,(.11 abaaa nnn 看作公式中的将
1)()(
]1)())[(1(
21
21




nnnn
nnnnn
aa
aaa
n
a 1 (分母都用 1代 ).
以下同 (2).
b a xb+?

证,
反设 xn收敛,但极限不唯一,
,2 ba
设 b<a,取即,xn?a,且 xn?b,(n),a?b.
第二节 数列极限的性质及收敛准则一、数列极限性质定理 1.若数列收敛,则其极限唯一,
由极限定义,1,当 n>N1时,
,2|| baax n
N2,当 n>N2时,
2||
babx
n

取 N=max{N1,N2},则当 n>N时,上两式同时成立,
从而当 n>N时,有
|||||||| bxxabxxababa nnnn
bababa 22
矛盾,故极限唯一,
若 >0,?正整数 N,使得当 n>N 时,
都有 |xn?a|<?,,lima xn
n 则记几何意义,
数列的有界性,
定义,没有数列 xn=f (n),若?M>0,使得 |xn|?M,n=1,
2,…,则称数列 xn有界,否则,称 xn无界,
由于 |xn|?MM?xn?M? xn?[?M,M].
故,所谓 xn有界,就是 xn要全部落在某个对称区间 [?M,M]内,看图
0 M x
xn
M )(
例 1.xn=(?1)n有界,而 xn=n2无界,
x?1 1 x0 1 94
x1 x2 x3
0
x2nx2n-1
设 xn?a (n),
则对 n=1,2,…,有 |xn|?M
证,
由定义,对?=1,存在自然数 N,
当 n>N时,有 |xn?a|<1,故 |xn|?|xn?a|+|a|<1+|a|,
取 M=max{|x1|,|x2|,…,| xN|,1+|a|}
xa–1 a a+1)( M
若 >0,?正整数 N,使得当 n>N 时,
都有 |xn?a|<?,,lima xn
n 则记定理 2,若 {xn}收敛,则 {xn}有界,
定理 2的逆命题不成立,如 xn=(?1)n有界,
但由定义和几何意义知 (?1)n是发散的,看图
x?1 10 ( )( )

定理 3.
.,,
,,lim,lim
nn
nnnn
yxNnN
babyax



有时当正整数则且设证,如图
xab
2
ba?
2
ba?
有时当正整数对由极限定义知由于
,,,0
2
,.lim,lim
11 NnN
ba
byax n
n
n
n




,2|| baax n
.22 baaxba n即
nx
ba
2从而
… (1)
,,.lim,22 时当正整数因同理 NnNby nn
.2 bay n从而
.2|| baby n有
… (2)
取 N = max{N1,N2},则当 n > N时,(1),(2)同时成立，即 xn > yn,
在定理 3中取 yn= 0.
.0lim by nn
故?正整数 N,当 n>N时,
.0 nn yx有推论 1.(保号性定理 ) 若
ax nnlim
,而 a>0
(a<0),则?正整数 N,当 n>N时,有 xn>0 (xn<0)
证,则从而 a > b = 0.
类似证明 a < 0的情形,
推论 2.
.,,
,,lim,lim
bayxNn
Nbyax
nn
nnnn



则必有有时当正整数且若设证,反设 a<b,由定理 3,?正整数 N1,当 n > N1时,
有 xn< yn.
取 N2 = max{N,N1},则当 n > N2 (? N)时,
有 xn< yn,此与条件矛盾,
推论 3:设有数列 {xn},若?正整数 N,当 n>N时,
ax nnlim,则有 xn?0 (xn?0),且
a?0 (a?0).
)0lim(0lim nnnn xx即
01lim,01
nn
x
nn
但比如,
注,在推论 3中,即使 xn>0,也只能推出 a?0,
0lim, nn x即定理 4.
xn? yn? zn
.lim,limlim ayazx nnnnnn 则且证,
,limlim azx nnnn由
> 0,?N1,当 n > N1时,有 |xn?a| <?,
…(1)
即 a < xn < a +? … (2)
(夹逼定理 ),设数列 {xn},{yn},{zn}满足
正整数 N,当 n > N 时,有
N2,当 n > N2时,有 a < zn < a +? … (3)
取 N * = max{N,N1,N2},则当 n > N * 时,(1),(2),
(3)同时成立,有
a < xn? yn? zn? a +?
即 | yn? a | <?,
.lim ay nn故特别,若在夹逼定理中,xn 和 zn 中有一个为常数列,并满足定理条件,定理当然成立,即若 a? yn? zn,
.lim az nn且
.lim ay nn则夹逼定理的意义有,(1) 给出判断数列 yn 存在极限的方法 ; (2) 给出了求 yn 的极限的方法,
这一方法能解决很多较为困难的求极限问题,
例 2.求,!lim
nn n
n

解,用 夹逼定理 求解,记
,!nn nnx?
适当放大和缩小，形成定理要求的连不等式考虑将 xn
nn n
nx !0
n
n
nnn?
321
)11,,3,2(1 均小于小nnnnn
由于,01lim?
nn
所以,0!lim?
nn n
n
例 3.求数列,}{ 的极限n n
解,回忆结论
).0(,1lim aann
得出当 a >1 时的结论的方法是记
,1 nn a
得
nnn na 1)1(
得
.1nan
现在类似，记 ),0(1
nnn n
则
2
2
)1(1)1(
nn
n
n
nnnn
2
2
)1(1
n
nn
解得
nn
20
nn
n
n
2111
易证
,02lim?
nn
,1)21(lim
nn
所以,1lim?

n
n n
所谓数列 {xn} 子列，就是从数列 x1,x2,?,
xn,? 中任取无穷多项,按原来的次序，从左到右排成一个新的数列,这个数列称为 {xn}的子列,
比如,x2,x5,x14,?,x78,? 就是 {xn}的一个子列
}{,
,,,
21
kk nn
nn
xx
kxx
子列记作记作项第第二项记作子列中第一项记作?
上列中 n1=2,n2=5,n3=14等,
二、子列注：
.}{
,}{)1(
项中的第是原来的数列表示下标中子列
kn
nkn
nx
xnx
kk
.)2( 项是子列中的第表示 kxk kn
易见 k? nk,
,项是原数列中的第表示这是因为 knk nxn k
,项是子列中的第表示而 kxk kn knx所以在前必已从 {xn}中抽出了 k?1项,是从从而
knx
{xn}的第 k 项后的项中抽出,也即 k? nk,
(3) 对任何两个正整数 h,k,若 h? k,则有 nh? nk,
反之，若 nh? nk,则 h? k.
这是因子列次序与原数列次序相同,
在子列中位置靠后的项，在原数列中位置也靠后，反之也对,
,,
,,,)4(,
21
k
nnn
nk
xxx
k
而不是位置的是下标表示各项在子列中的中在子列?
a 的定义是：
收敛于因此子列 knx
||,,0,0 axKkK kn有时当此时，记为
)(lim kaxax kk nnk 或或
)(lim kaxax kk nnk 或定理 5.
.,
}{lim
为极限且都以都收敛的任何子列的充要条件是
a
xax nn
n

证,充分性,由于 {xn}可看作它自已的一个子列,
由条件 {xn} 的任何子列都以 a 为极限，
故
ax nnlim
必要性,},{}{
knn xx 的子列任取
KkK 当要证,0(
),||, ax kn有时,0,lim
知由 ax nn
.||,,0 axNnN n有时当
.)||,,( axNn knk 有时当显然
,,,NKnnKkNK Kk 有时当取
.|| ax kn从而
.lim ax knK故注,由定理 5，若 { xn } 的两个子列一个收敛于 a,
而另一个收敛于 b，且 a?b,则 {xn}发散；
或者,{xn}中有一个子列发散，则 {xn}发散,
,2 )1(1,
n
nx
例 0,1,0,1,? 发散,
,2s in,?nx n?例
1,0,?1,0,1,0,?1,0,? 发散,
推论,
).(,,
,
}{lim
122

kaxax
a
xax
kk
nn
n
即和偶数项子列都收敛于的奇数项子列的充要条件是若数列 {xn}满足 x1?x2?…?xn?…,则称
{xn}为单调递增数列,若 x1?x2?…?xn?…,
则称 {xn}为单调递减数列,单调递增和单调递减数列统称为单调数列,
三、收敛准则例 4.xn=n2是单调递增数列,但 xn是发散的,
xn=(?1)n是有界数列,但 xn=(?1)n也是发散的,
定理 6,单调递增且有上界的数列必有极限 ;
单调递减且有下界的数列必有极限,
即,单调有界数列必有极限,
例 5.数列
n
n nx )
11( 是单调递增且有上界的数列,
证,首先注意到,当 a>b>0时,有
11 nn ba
))(( 1221 nnnnn babbabaaba
naban ))(1(
移项,有 1)])(1([ nn bbanaa
即 1)])1[( nn bnabna
(1) 取 代入,111,11 nbna
有
,)])1[( 1 中 nn bnabna
1
1
111
1
2)1(11






nn
nn
nn
n
nn
n
即
1
1
1111



nn
nn
.11 是单调递增的故
n
n nx


(2) 取 代入,1,211 bna
,)])1[( 1 中 nn bnabna
有即
12 12)1(2 11 nnnnn
n
2211
n
n
.,2,1,42 11
2
2

n
nx
n
n从而由于
n
n nx )
11( 单调有界,从而必有极限,
en n

)11(lim,
n
记
(e=2.71828…,为一无理数 )
.4.11 212


nn
n
n xxnx 有单调递增由于数列
.,411 有上界所以故 n
n
n xnx


定理 7:
| xn?xm | <?,
证,略
2
a
a
2
a
( )
xn
(柯西收敛准则 ) 数列 {xn}收敛的充要条件是 >0,?N > 0,当 n,m>N 时，有例 6.利用柯西收敛原理证明 xn=1+q+q2+? +qn
( | q |<1) 收敛,
证, >0，设 m > n，
| xm?xn |
mnn qqq21
||1
||1|| 1
q
qq nmn

||1
|| 1
q
q n

mnn qqq |||||| 21
要使 | xm?xn | <?,只须
.||1 ||
1

q
q n
即 (n+1)ln |q| < ln? (1?|q|),
,1||ln |)|1(ln q qn?
取正整数
].1||ln |)|1(ln[ q qN?
则当 n,m>N 时，有 | xn?xm | <?,
故 xn 收敛,
定义 1.
).(,0lim 无穷小数列为无穷小量则称若 nnn xx
.)1|(|
,
1
,
1
,
1
,,
2
都是无穷小量时当比如


qqx
n
x
n
x
n
xn
n
n
nnn
或, > 0,?N > 0,当 n > N 时,有 | xn | <?,
则称? 为无穷小量 (无穷小数列 ).
第三节 数列极限运算一、无穷小量
(1) 无穷小量是指该数列以 0为极限,任何一个量若其极限不为 0,则不是无穷小量,
).(lim)2( 常数由于 CCn
所以,除 0外的任何常量 (常数列 )都不是无穷小量,
(3) 常数列 xn = 0 是无穷小量,
注,
定理 1.(极限与无穷小的关系定理 )
).(0,lim 时其中 naxax nnnnn
证,"?"
,lim ax nn设,ax nn记
> 0,?N > 0,当 n > N 时,有 | xn?a | <?,
即 |?n | <?,
故 xn= a +?n,其中?n?0 (n?+?时 ).
则 > 0,?N > 0,当 n > N 时,有 |?n | <?,
即 | xn?a | <?,
"?" 若 xn= a +?n,其中?n?0 (n?+?时 ).
.lim ax nn
故性质 1,有限多个无穷小量的代数和为无穷小量,
性质 2,有限多个无穷小量的乘积仍是无穷小量,
则 xn? yn 是无穷小量,
即 有界量乘无穷小量仍为无穷小量,
推论,常量乘无穷小量仍为无穷小量,
性质 3,若 xn 是无穷小量,| yn |? M(当 n > N 时 ),
性质 4,若 xn 是无穷小量,yn? a (?0),则
..0 是无穷小量即
n
n
n
n
y
x
y
x?
1,两个无穷小量的商不一定是无穷小量,
2,性质 1,2中的条件 "有限多个 "不能丢,
1111lim


nnnn
如
n个注,
例 1.
.8c o s1lim?nn
n
求解,,0,1.
8co s.0
1 原式?n
n
例 2.
.2 )1(2lim nn
n
n
n

求解,
nn
n
n
n
n
nn

)1(2(
2
1
2
)1(2
..1,))1(2(,021 从而有界有界因

nnn n
故 原式 = 0.
看数列 xn = n2,即,1,22,32,…,n2,…,
x322210
当 n 越来越大时,数列 xn 的值也越来越大,要多么大就有多么大,可以大于预先给定的任意大的数 G.
称为无穷大数列 (无穷大量 ).
二、无穷大量定义 2,若?G > 0(无论多么大 ),?N > 0,当 n > N
时,有 | xn | > G,则称 xn 为无穷大量,记作
).(lim nxx nnn 或
(1)
.lim 的极限不存在表示 nnn xx
(2) 任何常数列 (常量 )都不是无穷大量,
注,
的几何意义 nn xlim
x
xN+2
G
x1
0
xN
G
xN+1
即,当 n > N 时,xn 都落在区间 [?G,G]外面,
在 [?G,G]内,只有 xn 的有限多个项,
例 3,设 | q | > 1.
.lim nn q证明证,?G > 0,(要证?N > 0,当 n > N 时,有 | qn | > G )
要使 | qn | = | q |n > G.
只须
.||lnln qGn?
,||lnln?


q
GN取 则当 n > N 时,有 | q
n | > G
.lim nn q
故例 4,数列 xn = (1+(?1)n)n 是否为无穷大量?
解,数列 xn 为
0,22,0,24,0,26,….
如图
x2624x2k+1 22
因不论 n 多么大,总有 | xn | = | x2k+1 | = 0 > G.
所以 xn 不是无穷大量,
定义 3.
.
),(0,lim
正无穷大量为则称时且若 nnn
n
xNnxx

.lim nn x记作
.
),(0,lim
负无穷大量为则称时且若 nnn
n
xNnxx

.lim nn x记作从几何上看,
xn.
xx1 x20 G xn
xxn x3 0?G x1x2
xn?+?.
证,设 xn 为无穷大量,要证 为无穷小量,
nx
1
> 0,
.1||,1 即可只须要
n
n
x
x
因 xn 为无穷大量,
,0,01 NG?对
.1||, GxNn n有时当从而
.1
nx
.1 是无穷小量故
nx
定理 2.若 xn 是为无穷大量,则 为无穷小量,
nx
1
nx
1若 xn 是为无穷小量 (xn?0),则 为无穷大量,
(1) 两个无穷大量的和,差,两个无穷大量的商都不一定是无穷大量,
比如,当 n?+?时,n2,?n2,但
n2 + (?n2) = 0,
.12
2
nn
都不是无穷大量,
但,+?+(+?) = +?,+() =.
注,
(2) 有界量乘无穷大量不一定是无穷大量,
无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量 (无穷小量 )
特别,
比如,当 xn = n2,yn = 0,则 xnyn = 0 不是无穷大量,
(3) 若数列 xn,则 xn 无界,但反之不对,
如,当 xn = (2+(?1)n)n,无界,但不是无穷大量,
(4) =?, (有界量 ) =?.
定理 3.设数列 xn和 yn 的极限都存在,且
,lim ax nn
.lim bx nn
则
(1)
.limlim)(lim bayxyx nnnnnnn
(2)
.limlim)(lim bayxyx nnnnnnn
(3) 设 C 为常数，有,limlim aCxCCx
nnnn
(4) 当 b?0 时，有,
lim
lim
lim
b
a
y
x
y
x
nn
nn
n
n
n




三、数列极限的运算法则证,只证 (1),因
.lim,lim byax nnnn
由极限与无穷小关系,有，
xn=a+?n,yn=b+?n，其中?n,?n?0(n?+?).
从而 xn? yn =(a? b)+(?nn )
由无穷小量性质知?nn?0(n?+?)
再由极限与无穷小的关系定理，知
.limlim)(lim nnnnnnn yxbayx
定理 4.若,|lim|||||lim),(lim
nnnnnn xaxax 则常数证,由于由极限定义,lim ax nn
.||,,0,0 axNnN n有时当注意到不等式 | | A |?| B | |? | A?B |
从而 | | xn |?| a | |? | xn?a | <?
故
.||||lim ax nn
反之不对,
.lim|,|||lim 的结论不能得出即若 axax nnnn
比如,设 xn = (?1)n.
,1||lim nn x则,lim 不存在但 nn x
例 5.求
.235 123lim 2
2


nn
nn
n
解,一般,称形为 f (x) = a0xk+a1xk?1+? +ak?1x+ak
为 x 的一个 k 次多项式,其中 k为非负整数，
ai为常数,a0?0.两个多项式的商称为有理式
(有理函数 ).
对这种以 n为自变量的有理函数的极限问题
(n时 ),可将分子，分母同除以分母的最高次幂 n2.
235
123lim
2
2


nn
nn
n
由于分母的极限等于 5(?0),分子的极限等于 3，
235
123lim
3
2


nn
nn
n
= 0，
235
123lim
2
3


nn
nn
n
=?.
,
23
5
12
3
lim
2
2
nn
nn
n



.53?原式故一般，若 a0,b0 都非 0，则

LL
k
k
n bnb
ana
0
0lim
Lkba?,
0
0
，
0,k < L
k > L
例 6.求 ).100(lim 2 nnn
n
解,有理化,
)1 0 0(lim 2 nnnn )
100
100(lim
2 nn
n
n

1
1 0 0
1
1 0 0
lim
2

n
n
= 50.
例 7.求,
21lim
2
n
n
n
解,注意到求和公式
.2 )1(21 nnn?
n
n
n21
lim
2 = 2.
)1(
2lim 2
nn
n
n
例 8.求
))1( 132 121 1(lim
nnn
解,注意到
,111)1( 1 nnnn
从而
)1(
1
32
1
21
1
nnx n?
)111()3121()211( nn?.111 n
所以，原式 =
.1)111(lim
nn
例 9.求
).11()411)(311)(21(lim n
n


解,注意到
,111 nnn
从而，
)11()311)(211( nx n
n
n 1
4
3
3
2
2
1,1
n?
故
.01lim
nn
原式例 10.设 x0=1,
),2,1(11
1
1

n
x
xx
n
n
n
证明 xn 的极限存在，并求之,
证,通常要证明某数列极限存在可考虑用,(1)
单调有界数列必有极限,(2)夹逼定理 (条件中往往有不等式 ).此例用 (1)
注意到 0 < xn? 2,即 xn 有界,且 x1? x0
单调下证
1
1
11?
n
n
n x
xx
)11()11(
2
2
1
1
1

n
n
n
n
nn x
x
x
xxx
.)1)(1(
21
21




nn
nn
xx
xx
同理，
,)1)(1(
32
32
21




nn
nn
nn xx
xxxx?
)1()1)(1( 3221
32
1




nnn
nn
nn xxx
xxxx =?
)1()1()1)(1( 021221
01
xxxx
xx
nn


即 xn 单调递增,
.0?
.lim 存在故 nn x,lim ax nn设,lim 1 ax nn知两边取极限令由,,11
1

nxxx
n
n
n
.11 aaa得
.2 512 51 21 aa 和解得
.2 51lim
nn
x从而因 xn > 0,故 a? 0.
设有数列 u1,u2,…,un,…,则式子

1
21
n
nn uuuu
称为一个 (常数项 )无穷级数,第 n项 un称为级数的一般项或通项,
.""
1
是左端和式的简写符号?
n
nu
第四节 常数项级数的概念和性质一、基本概念

1
2222 21
n
nn比如

1 )1(
1
32
1
21
1
)1(
1
n nnnn
而级数是无穷多个数的和,它可能是一个确定的数,也可能不是一个确定的数,比如
0+0+… +0+… =0,而 1+1+… +1+… 就不是一个数,
,21
1

n
n
n uuuu设级数记 Sn = u1+ u2 +… + un,称为此级数的前 n项部分和,
(如 S1= u1,S2 = u1+u2,…,Sn = u1+ u2 +… + un.)
由部分和构成的数列 S1,S2,…,Sn,…,称为此级数的部分和数列,
易见,(i) un = Sn–Sn –1
(ii) 从形式上看,有


11
l i ml i m
n
n
n
k
knnn uuS
定义,?
1
},{
n
nn Su 的部分和数列为设级数,l im SS nn若则称此级数收敛,极限值 S 称为该级数的和,
.
1
Su
n
n
.,l i m 则称该级数发散不存在若 nn S
记作
nn
n
n SSrSu
记时收敛于当级数,
1
21 nn uu 称为该级数的余和 (余项,余式 )
0l i ml i m nnnn SSr有例 1,?

1
),0(,
n
nn aararaar级数称为等比级数,r 称为公比,讨论等比级数敛散性,
解,


1,
1,
1
)1(
12
rna
r
r
ra
arararaS
n
n
n?
从而,
(i),0l i m,1||

n
n rr 有时当事实上,若 0? r <1,.0l im?

n
n r有若 –1 < r <0,则 r = – | r |,rn = (–1)n ·| r |n
.0||)1(l i m nnn r仍然有
.11 )1(l i ml i m rarraS
n
nnn?


从而,
(ii),l i m,1||

n
n rr 有时当
.1 )1(l i ml i m rraS
n
nnn
(iii),l i ml i m,1
naSr nnn时当
(iv) rraSr n
nnn?

1
)1(l i ml i m,1 时当,
2
])1(1[l i m n
n
a

不存在,
综合,



1||,
1||,
1l i m
r
r
r
a
S n
n
不存在即,
收敛等比级数
1n
nar| r |<1.
例 2.,)1( 1
1
的敛散性讨论级数?
n nn
解,,111)1( 1 nnnnu n因 故
)111()4131()3121()211( nnS n?
).(,1111 nn
故该级数收敛,且有,
1)1( 1
1

n nn
例 3.,)11l n (
1
发散证明?
n n
证,)11l n (
1

n
k
n kS
]ln)1[ l n (
1

n
k
kk
)ln)1(l n ()2ln3(l n)1ln2(l n nn
).(,)1l n ( nn
故此级数发散,
例 4.证明级数 n321 1321 121 111
收敛,并求它们的和 S.
解,为求 Sn,nu n21 1先看 )1( 2 nn
故级数



1
)1(
2
321
1
321
1
21
1
1
1
n
nn
n
从而 )111(2)3121(2)211(2 nnS n?
,).(,2122 收敛 nn
且 S = 2.
性质 1.(级数收敛的必要条件 ),?
1
,
n
nu 收敛若
0l im nn u则证,,l i m,
1
SSSu n
nnn n

且的部分和为设
.l i m 1 SS nn从而由于 un = Sn – Sn–1
0l i ml i ml i m 1 nnnnnn SSu所以二、基本性质注 1.

1
.0l i m
n
nnn uu 收敛的结论来推不出由


1
).3()11l n (,0)11l n (l i m
nn nn
例发散但比如性质 1是级数收敛的必要条件而非充分条件,
也即,
注 2.性质 1的逆否命题为?

1
.",0l i m"
n
nnn uu 发散则这是以后我们判定一个级数发散的重要结论,
例,级数 1 + 2 +… + n +…,.l i ml i m
nu nnn由于故级数发散,,1
1
n n
n,1
1l i ml i m n
nu
nnn由于故此级数发散,,1111)1(
1
1
n
n级数
.,)1(l i ml i m 1 故此级数发散不存在由于 nnnn u
性质 2,),(,
11
收敛若级数
n
n
n
n VSu则,R,


111
)(
n
n
n
n
n
nn VuVu级数 ).(,收敛 S
证,,)(
1
项部分和的前级数 nvu
n
nn?

)()( 11 nnn VuVu
)()( 2121 nn VVVuuu
)(, nSS nn
.
11
项部分和的前和分别为和其中 nVuS
n
n
n
nnn
特别 (i) 取? =1,? =?1.,)(
111


n
n
n
n
n
nn VuVu有
(ii) 取? = 0.,
11

n
n
n
n uu有
.
11
都收敛和其中
n
n
n
n Vu
推论,).0(,
11

发散则发散若
n
n
n
n uu
证,,
1
收敛反设?
n
nu?由性质 2.
.1
11
收敛

n
n
n
n uu 矛盾,
性质 3.
证,只证在级数中去掉一项的情形,其余情形类似,
,,
1
得到新级数后项中去掉第设从级数 k
n
n uku?
u1 + u2 +… + uk–1+ uk+1 +…
的原来的级数新级数的部分和记为?
1
,
n
nn uS
.nS部分和记为在级数中去掉或增加有限项,不改变级数的敛散性,
.,1 时当则 knuSS knn
)(l i m l i m,1 knnnn uSSn得令由于 uk是常数,其极限存在且为 uk,因此,
.l i m,l i m 1 存在则存在若 nnnn SS
).1.53.(l i m,l i m 1 习题不存在则不存在若 PSS nnnn
即新级数与原来的级数有相同的敛散性,
性质 4.,
1
收敛若?
n
nu
则对其任意加括号后所得到的级数仍然收敛,且其和不变,
即,若 u1+ u2 +…+ un +…= S,(收敛 )
则任意加括号后所成新级数,
(u1+ u2) + (u3+u4+u5) + (u6 + u7) +…
= V1+ V2 + V3 +… = S,(收敛 )
其中,V1= (u1+ u2),V2= (u3+u4+u5),V3= (u6 + u7)…
证,用?m表示加括号后所成级数
V1+ V2 + V3 +… = ( u1+ u2) + (u4+u4+u5)
+ (u6 + u7) +… 的前 m项部分和,
则?1 = V1 = (u1+ u2) = S2,?2 = V1 + V2 = S5,
3 = V1 + V2 + V3 = S7,…,一般,设?m = Sn,
,
1
项部分和的前表 nuS
n
nn?
其中 m? n,
当 m时,n,从而,l i ml i m SS n
nmm
故,加括号后所成级数收敛于 S.
注,
比如,级数 (1–1)+(1–1)+…+(1 –1)+… 收敛于 0.
但去括号的级数

1
1)1(111111
n
n
是发散的,;)1(limlim 1 不存在因为 nnnn u
或由 S2n = 0,而 S2n–1=1
性质 4的逆命题不成立,即,若加括号后所成级数收敛,不能保证原来级数 (即,去括号的级数 )
收敛,
推论,若加括号的级数发散,则原来级数发散,
证,(略 )
例 4.,121111
1
发散证明调和级数
nnn
证,注意不等式,若 x > 0.,)1l n (1 xxxx则
nS n
1
3
1
2
1
1
1
)11l n ()311l n ()211l n ()11l n ( n

n
k k1
)11l n (?

n
k
kk
1
]ln)1[ l n (
)(,)1l n ( nn
故调和级数发散,
例 5.,)(.,:
111
发散则发散收敛若证明
n
nn
n
n
n
n Vuvu
证,,)(
1
收敛反设?
n
nn Vu记 Wn = un + Vn,
从而 Vn = Wn – un,,
11
都收敛和由于
n
n
n
n uW
.,)(
1111
矛盾收敛从而

n
n
n
n
n
nn
n
n uWuWV
.,0
1
为正项级数则称级数若?
n
nn uu
正项级数 的部分和数列 Sn=u1+ u2 +…
+un 是单调递增数列 0? S1? S2?…? Sn?…,
1n
nu
第五节 常数项级数敛散性的判别法一、正项级数敛散性的判别法
.,.l i m,,
1
收敛即存在则有上界若所以?
n
nnnn uSS
.l i m,,
1
存在则收敛若反之 n
nn n
Su

从而 Sn有界,也就有上界,
定理 1.正项级数 收敛的充要条件是其部分和数列 Sn有界 (有上界 ).
)0(
1

n
n
n uu
推论,
.l i m
11



n
n
n
n
n
n
n
SS
uu
无界数列的部分和发散正项级数
(最后一个充要条件可由无界数列,无穷大量的定义以及 Sn单调递增得到,)
定理 2.(比较法 ).,,
11
nn
n
n
n
n VuVu
且和设正项级数
n = 1,2,…,则
(1),,
11
收敛则收敛若
n
n
n
n uV
(2),,
11
发散则发散若
n
n
n
n Vu
证,,,
11
n
n
nn
n
n VSu?的部分和为的部分和为记
.0
11
n
n
k
k
n
k
kn VuS

故,(1),.,
1
有上界从而有上界则收敛若 nn
n
n SV
.,
1
收敛因此?
n
nu
.,)(
)(,
1
1
发散故从而因发散若


n
nn
nn
n
n
Vn
nSu
(2)
注 2.实际应用时,要判 正项级数 收敛,可将 un
1n
nu
.,
11
收敛则收敛若
n
n
n
n uV
.,
1
逐步缩小可将发散要判正项级数 n
n
n uu?
.
11
发散发散，则若
n
n
n
n uV
注 1.定理 2中条件,un? Vn”只须从某项开始以后一直成立即可,
逐步放大,un?…?Vn,
.nn Vu
例 1.,0,1
1
的敛散性级数讨论?
n
P pnP
解,(1) 若 0 < P? 1.
.1.1,11
11
发散从而发散由于则
n
P
n
P nnnn
(2) 若 P > 1,考虑对 P级数按下列方法加括号所成级数,





PkPk
PPPPPPPP
)12(
1
)2(
1
)
15
1
8
1
()
7
1
6
1
5
1
4
1
()
3
1
2
1
(1
1







PkPk
PPPPPPPP
)2(
1
)2(
1
8
1
8
1
4
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
1
8 个
2k 个








k
PPPP 1
3
1
2
11 2
1
2
1
2
1
2
11
.,12 10 1 收敛的等比级数最后的级数是公比为P
从而,加括号的 P级数收敛,
原来级数收敛?加括号的级数收敛,”
由于,对正项级数而言,
故,当 P > 1时,P级数收敛,

1
.,1 ;,1,1,
n
P PPn 发散时当收敛时当综合推论,(比较法的极限形式 )
.,
11
是正项级数设
n
n
n
n Vu
.0,l i m


n
n
n V
u若 则这两个级数有相同的敛散性,
例 2.,1s i n
1
2 的敛散性判别?
n n
解,常以 P级数和调和级数作为推论中的,
1
n
nV
.1
1
1
s i n
l i m
2
2

n
n
n
因为
,1
1
2 收敛而?
n n
.1s i n
1
2 收敛故?
n n
例 3.,)1(
1
的敛散性判别?

n
nn
解,nnu n 1 )( 011 nnn
.211l i ml i m,1
nn
n
V
u
nV nn
n
nn
有取
.,1
1
故原级数发散发散因?
n n
定理 3,(比值法,或,达朗贝尔判别法 ).
,l i m,1
1


n
n
nn n u
uu 若为正项级数设 则
(1)? < 1时,级数收敛,
(2)? > 1或? = +?时,级数发散,
(3)? = 1时,级数可能收敛也可能发散 (须用另外的方法判断 ).
例 4.,0,!

ana
n
n
的敛散性判别解,n
n
nn
n
n a
n
n
a
u
u !
)!1(l i ml i m
1
1?



01l i m n an < 1
故级数收敛,
.0!l i m, na
n
n且知
)1 0 0( ! 收敛或发散问?
n
n
n
例 5.,!
1
的敛散性判别?
n
n
n
n
解,nn
nn
n
n n
n
n
n
u
u !
)!1(
)1(l i ml i m 11?



n
n
n n
n )1(l i m

,1)11(l i m en nn
故级数发散,
例 6.,)1( 1
1
的敛散性判别?
n nn
解,1 )1()1)(2( 1l i ml i m 1 nnnnuu
nn
n
n



.12l i m
n
n
n
所以,用比值法无法判定其敛散性,改用比较法,
.)1( 1 nnu n注意到,1nV n?取则 11
1
1l i m
1)1(
1l i ml i m?


n
n
nnV
u
nnn
n
n
.,1 故原级数发散发散由于?
n n
定理 4.(根值法,或柯西判别法 ).
,l i m.
1


n nn
n
n uu 若设正项级数 则
(1)? < 1,级数收敛,
(2)? > 1或? = +?时,级数发散,
(3)? = 1时,级数可能收敛也可能发散例 7.,)1(2
1
的敛散性判别?

n
n
n
n
解,,0)1(2 n nn
nu记
nnn Vnu
3 有
.103l i ml i m
n
V
n
n
n n
n
因为
.
1
收敛故?
n
nV,,
1
收敛由比较法?
n
nu
.)1()1(,0
11
1 为交错级数或称设

n
n
n
n
n
n
n uuu
交错级数各项是正负交错的,
二、交错级数及其敛散性判别法定理 5.(莱布尼兹判别法 )
满足若交错级数,0,)1(
1
1
n
n
n
n uu
.0l i m)2(,,2,1,)1( 1 nnnn unuu?
则级数收敛,且其和 S? u1.
证,我们来证明部分和数列 Sn收敛,为此,只须证明
,l i ml i m 122 即可SSS nnnn
(1) 因 S2n =(u1? u2) + (u3? u4) +… +( u2n–1? u2n )? 0.
且易见,S2(n+1)? S2n,以及
S2n= u1?(u2?u3 )?(u4?u5)?…?(u2n–2?u2n–1)?u2n? u1.
故数列 S2,S4,S6,… S2n,… 单调递增有上界,从而存在极限,
.l i m 12 uSS nn设
(2) S2n+1 = S2n + u2n+1,
12212 l i ml i ml i m nnnnnn uSS故 = S + 0 = S
综合 (1),(2)知,.l i m 1uSS n
n
问,若将条件 (1)改为 un? un+1,n =N,N+1,
N+2,…,结论是否全对,应如何修改,
例 8.,1)1(
1
1 的敛散性判别?

n
n
n
解,此为交错级数,,111,1 1 nnn unnunu 因
.0l i m nm u且 由莱布尼兹判别法,级数收敛,
注,本题是由调和级数,)1(,1 1
1
而成添符号?
n
n n
0,1)1(,:
1
1 是否收敛一般问
P
nn P
n
.,,1
1
可负可正其中设级数 nn
n
n uuuu
即 un为任意实数,称为任意项级数,
将各项取绝对值,作成一个正项级数,||
1
n
nu
还可为 0,
三、绝对收敛与条件收敛
.,||,1
11
绝对收敛则称收敛若
n
n
n
n uu

111
,,||,2
n
n
n
n
n
n uuu 则称收敛但发散若条件收敛,
.1)1(.1)1(,
11
2 条件收敛而绝对收敛比如

n
n
n
n
nn
定理 6.,||,
11
收敛若为任意项级数设
n
n
n
n uu
.
1
收敛则?
n
nu
即,绝对收敛的级数必为收敛级数,
证,,0|)|(21 nnn uuV记 即,当 un?0时,Vn = un,
当 un < 0时,Vn = 0,,
1
敛散性考虑?
n
nV
.),||
,||2(
11
1
收敛则知收敛又由条件收敛故若由于


n
n
n
n
n
nnnn
uu
VuVu
|,||)||(|21 |||| 21|| nnnnnnn uuuuuVV由于
.
,,,||
1
11
收敛从而收敛知由比较判别法收敛而

n
n
n
n
n
n
u
Vu
例 9,)0(,sin)1(
1
2
1
敛散性判别级数
n
n
n
解,221 1sin)1(|| nnu nn
,s i n)1(,1
1
2
1
1
2 绝对收敛故收敛而
n
n
n nn
例 10,).20(s i n)1(
1
1
敛散性判别
n
n
n
解,).( ~s i n|| nnnu n
,sin,
11
发散故发散而
nn nn

即,原级数不是绝对收敛,
.0s i nl i m
),
2
0(
1
s i ns i n

n
nn
n

且因但由于综合知,原级数条件收敛,
由莱布尼兹判别法,原级数收敛,
注 1,.,||,
11
不一定发散发散时当一般
n
n
n
n uu
1
||
n
nu
注 2,若用柯西判别法或达朗贝尔判别法判出发散,则,
1
发散?
n
nu
.1|| ||l i m,1

n
n
n u
u若比如 取实数 r,使得
.1|| ||l i m 1

ruu
n
n
n
由保号性定理,?N,当 n >N时,
.|| || 1 ruu
n
n有
|| || 1
3
2
2
1
1
N
N
N
n
n
n
n
n
nn u
u
u
u
u
u
u
u
uu
从而
)( || nur NNn
)( || nu n从而
.0l i m nn u故,
1
发散从而?
n
nu
例 11.
解,
n
n
n
n
nn
n
n
n
nu
u
3
2
2)1(
3lim
||
||lim
1
1
1



因为
.
2
3)1(
1
1
的敛散性判别?
n
n
n
n
n
123123lim
n
n
n
由上面的注 2,原级数发散,
定理 7,(狄利克雷判别法 )
满足下列条件设级数?
1n
nn vu
(1) {un}单调减少,且;0lim nn u
(2)
),,2,1(
1

nMv
n
k
k
其中 M > 0为与 n无关的常数,
.
1
收敛则?
n
nn vu
证,略例 12.判别
.,2,co s
1
Zkkxn nx
n

其中的敛散性解,记
.c o s,1 nxvnu nn
)(01,1, nnunu nn 且易见考虑 | cosx + cos2x + + cosnx | 的有界性,
若取 则将
,2xB? 2s i n)1c o s (2s i nc o s xxkxkx?和均化为和差后,右边有一项绝对值相同,符号相反,
可抵销,
故考虑
.2s i n)c os2c os( c os xnxxx
注意到 cosAsinB
)]s i n ()[ s i n (21 BABA
.2)1(2 xxkxkx
以及由于
2s i n23s i n212s i nco s xxxx
23s i n25s i n212s i n2co s xxxx
25s i n27s i n212s i n3co s xxxx

2 12s i n2 12s i n212s i nc o s xnxnxnx
从而





2
s i n
2
1
s i n
2
1
2
s i n)c o s2c o s( c o s
x
xn
x
nxxx
,.02s i n,2 有时当 xkx?
2
s i n2
2
s i n
2
1
s i n
|c o sc o s|
x
x
xn
nxx


.
2
s in
1
x
.
2
s i n
1
1
M
x
v
n
k
k
即
.co s
1
收敛?
n
k n
nx由定理 7,
).(c o s
1
即条件收敛不绝对收敛但?
n n
nx
因
n
nx
n
nx 2co sco s?
n
nx
2
2c o s1
.2 2c o s21 n nxn
,21
1
发散而?
n n
,2 2co s
1
收敛?
n n
nx,co s
1
发散故?
n n
nx