高等数学：gs1_3_1_5

前面讨论了数列 xn=f (n)的极限,它是函数极限中的特殊情形,特殊性在于,n只取自然数,且 n趋于无穷大,
现在讨论 y=f (x)的极限,自变量 x大致有两种变化形式,(1) x,(2) x?x0 (有限数 ),
并且,x不是离散变化的,而是连续变化的,
第一节 函数的极限一,x时,f(x)的极限定义 1.设 f (x)在 (M,+?) 内有定义,
axfx )(lim
也可记为 f (x)?a,(x?+?)
若 >0,?X >0,当 x>X (或 x<?X)时,
相应的函数值 f (x)满足 | f (x)?a |<?.
则称常数 a为 f (x)当 x?+? 时的极限,记作
(或 ())
(或 x)
axfx )(l i m( 也可记为 f (x)?a,(x))
此时也称当 x?+?(x?–?)时,f (x)的极限存在,否则,称它的极限不存在,
axf
x
x


)(lim
)(
则记若 >0,?X >0,当 x>X (或 x<?X) 时,有
|f (x)?a |<?,
若 >0,?正整数 N,使得当 n>N 时,都有 |xn?a|<?,,lima xn
n 则记注 1,将这个定义和数列极限定义相比较,
就是将 xn=f (n)换成了 f (x),将,?正整数 N”换成,?实数 X >0”.但是,数列极限中 n是离散变化的,而这里 x是连续变化的,
例 1.证明,0l im?

x
x a
其中 0<a<1.
证,? 0 <? < 1,要使 |ax?0 |=ax<?,
,lo g?ax?
|0|,xaXx 有时则当
.0l im xx a故 看图,
y=ax
1
y
x0
x x
y
只须
,0|lo g|aX取
x
axfx )(li m则记若 >0,?X >0,当 x>X
(或 x<?X) 时,有 |f (x)?a |<?.
定义 2.设 f (x)在 (,?M)? (M,+?)内有定义,
若 >0,?X >0,当 |x|>X时,相应的函数值满足
| f (x)?a |<?
则称 a为 f (x)当 x时的极限,
)(,)( )(l i m xaxfaxfx 或由定义 1,2可知
axfxfaxf xxx )(l i m)(l i m )(l i m
记作
.)(lim 的几何意义axfx
axfx )(lim,1
直观地,表示当自变量 x 无限增大时,曲线 y = f (x)上的对应点的纵坐标 f (x)会无限接近于数 a.
axfx )(l im
从而曲线 y = f (x)会越来越贴近直线 y=a,
即,当 x无限增大时,曲线 y = f (x)以直线 y=a为渐近线,
如图
a
x
y
o
.|)(|
,0,0)(lim,



axf
XxXaxf
x
有时，当就是按极限定义
.)(, axfa即
y = f (x)
的几何意义是因此 axfx )(lim,
任作直线 y = a,( > 0),都存在 X > 0,当
x > X 时,函数 y = f (x)的图形夹在这两直线之间,
如图
a
x
y
o
a+?
a
X
y = f (x)
axfx )(li m,2
直观地,这个式子表示当 x < 0 且 | x |无限增大时,函数 y=f (x)图象以 y = a为渐近线,
按定义,作直线 y = a,( > 0),存在 X > 0,当
x <? X 时,y = f (x)的图形夹在两直线 y = a 之间,
如图
a
x
y
o
a+?
a
X
y = f (x)
axfx )(lim,3
按定义,作直线 y = a,( > 0),存在 X > 0,当
| x | > X 时,y = f (x)的图形夹在两直线 y = a 之间,
如图
a
x
y
o
a+?
a
X X
比如,由 y = arctg x 的图象
x
y
o
2
2

y = arctg x
,2ar ct glim,

x
x
可知
,2ar ct gl i m

x
x
,a r c tglim 不存在而 xx
二、当 x?x0时,f (x)的极限若当 x? x0时,对应的函数值 f (x)?a,则称
a是 f (x)当 x? x0时的极限,
f (x)?a可用 | f (x)?a |<? 刻划,
如何用精确的数学而 x? x0则可用 |x?x0 |<? 刻划,
语言刻划这一事实?
定义 3.设 f (x)在 x0的某个去心邻域?(x0)内有定义,
)(,)(,,)(l i m 0
0
xxaxfaxfxx 或此时也称当 x?a时,f (x)的极限存在,
若 >0, >0,当 0<|x?x0|<? 时,相应的函数值 f (x)满足 | f (x)?a |<?,
则称常数 a为 f (x) 的当 x?x0时的极限,
记作否则,称当 x?a时,f (x)的极限不存在,
注 1.与数列极限定义比较,
将,xn=f (n)”换成 f (x),
将,N”换成,? >0”,
将,n>N” 换成,0<|x?x0|<?,,
若 >0,?正数数 N,使得当 n>N 时,都有 |xn?a|<?,
,lima xn n 则记
>0, >0,当 0<|x?x0|<?
时,| f (x)?a |<?,则记
axfxx )(lim
0
而现在 x? x0,,0<|x?x0|<?,表示了这一意思,
这是因为在数列极限中,n,而
,n>N” 表示了 n充分大这一意思,
注 2.定义中,0<|x?x0|<?,,表示 x? x0,
例 2.设 c为常数,则 cc
xx 0lim
例 3,0
0
l im xxxx
x? x0总表示 x无限接近 x0,但 x? x0这一意思,
因此,f (x)在 x0是否有定义与 f (x)在 x0是否有极限无关,
>0, >0,当 0<|x?x0|<? 时,
| f (x)?a |<?,则记 axf
xx )(lim 0
211l i m 21 xxx例 4.证明证, >0,
|1|2
1
1|2)(| 2
x
x
xxf因要使 |f (x)–2|<?,只须 | x –1|<?,
211l im 21 xxx
(本例说明 f (x)在 x0无定义,但其极限可能存在 )
取? =?.
则当 0<|x?1|<? 时,有 |f (x)–2|<?,
故
>0, >0,当 0<|x?x0|<? 时,有
| f (x)?a |<?,.)(lim
0
axfxx则记看图,



.1
,1,1
1
1)( 2
时当无定义时当
x
xx
x
xxf
y
x0
1
2
x x x
y
y
y=f (x)
x?1
1
1lim 31x x证明证, > 0,
| x3?1 | = | (x?1)(x2+x+1) | = | x?1 |? | x2+x+1 |
因 x?1,故不妨设 0 < | x?1 | < 1,即 0 < x < 2
故 | x2+x+1 | = x2+x+1< 4+2+1=7
从而 | x3?1 | < 7 | x?1 |.
例 5.
考虑要使 |x3?1|<?,只须 7|x?1|<?,即 |x?1| < 即可,
7
取? = min (,1 ),
7
则当 0 < |x?1|<? 时,(有 |x?1|<1及 |x?1|< )
7
有 |x3?1| <?.
.1lim 31 xx故
.lim 303
0
xxxx一般例 6.证明 0sinsinl i m
0
xxxx
证,注意到不等式 |sinx|? | x |
>0,
||
2
s i n2
2
s i n
2
co s2|s i ns i n|
0
0
00
0
xx
xx
xxxx
xx

因要使 |sinx – sinx0|<?,只须 |x – x0|<?,
0s i ns i nl i m
0
xxxx故取? =?,
.|s i ns i n|,||0 00 xxxx 有时则当
>0, >0,当 0<|x?x0|<? 时,有
| f (x)?a |<?,.)(lim
0
axfxx则记
0c o sc o sl i m
0
xxxx类似可证
(本例说明 sinx和 cosx在 x0处的极限值就等于它在 x0处的函数值。 )
为常数其中证明 0 lnlnlim 0,0
0
xxxxx
证, > 0
要使 | lnx?lnx0 |
.ln
0

x
x
,ln
0
xx 只须,
0
e
x
xe ε即或,x0e-? < x < x0e-?
即只须? x0(1?e-? ) < x?x0 < x0(e1).
取? =min{x0(1?e-? ),x0(e1 )},则当 0 < | x?x0 | <?时,
(有 x?x0 <? < x0(e1),?x0(1?e-? ) < < x?x0)
例 7.
有 | lnx? lnx0 | <?.
).0(lnlnlim 00
0
xxxxx故从本例可见,一般,? 与?和 x0 有关,
对同一个?,当 x0 不同时,? 可能不同。
.)(lim
0
的几何意义axfxx
,)(l i m,0
0
时无限接近于表示当自变量直观地 xxaxfxx
曲线 y = f (x)上对应点的纵坐标会无限接近于 a,
.|)(|
,||0,0,0,0



axf
xx 时当按定义就是即
axfa )(
:)(l i m,
0
的几何意义是因此 axfxx
.
)(,),(
,0),0(
0
^
之间的图形夹在两直线函数内时落在当存在作直线



ay
xfyx
xay
如图
a
x
y
o
a+?
a
x0
y = f (x)
x x0+?
定义 4,设 f (x)在 x0的右边附近 (左边附近 )有定义，
若 >0, >0,当 0<x–x0<? (或 0< x0– x <? )
时，有
|)(| axf
则称 a为 f (x)当 x?x0的右极限 (或左极限 ),记作
)(,)( )(l i m 0
0
xxaxfaxf
xx
，也可记作


)(,)( )(l i m 0
0
xxaxfaxf
xx
，也可记作或左、右极限
axfxfaxf xxxxxx )(lim)(lim)(lim
000
即,f (x)在点 x0处的极限存在的充要条件是 f (x)在 x0的左、右极限存在，并且相等。
定理 1.
>0, >0,当 0<|x?x0|<? 时,
| f (x)?a |<?,则记 axf
xx )(lim 0
若 >0, >0,当 0<x–x0<?
(或 0< x0– x <? ) 时，有
|)(| axf
00
000
l i ml i ml i m xxxxx xxxxxx，所以如，由于
，所以由于 0s i ns i nl i m
0
xxxx
0s i ns i nl i ms i nl i m
00
xxx xxxx
，所以由于 0c osc osl i m
0
xxxx
0c o sc o sl i mc o sl i m
00
xxx xxxx
例 8.设 f (x) =
x,当 x?0时,
sinx,当 x>0时,).(l i m 0 xfx?讨论解：
由于当 x?0时,对应的函数值 f (x) =x.
)(l i m 0 xfx故由于当 x>0时,对应的函数值 f (x) = sinx.
)(l i m 0 xfx故
0)(l i m 1,0 xfx由定理
f (x)是一个分段函数,x=0是这个分段函数的分段点,对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论,
0lim0 xx
xx s inl im0 00s in
例 9.设 f (x) =
x,当 x?0时,
cos x,当 x>0时,).(l i m 0 xfx?讨论
)(l i m 0 xfx而
0lim)(lim 00 xxf xx
左、右极限存在,但不相等,.)(l i m
0 不存在故 xfx?
xx co sl im0 10c o s
解：
以后,常用下列记号表示函数的左,右极限
)(l i m)0( ),(l i m)0(
00
00 xfxfxfxf xxxx
看图
x?0+
cosx
x
y
x?0ˉ
1
y
y
.)(l i m
)( 0
存在，则极限唯一若 xf
x
xx

)0(0,)(l i m)(
0
aaaxfxx 或若保号性定理时，，当则 ||00 oxx
,0),0(0,)(l i m Χaaaxfx 则或若
)0)((0)(|| xfxfXx 或时，有当定理 2.
定理 3.
)0)((0)( xfxf 或有三、函数极限性质
.)(l i m),0)((0)(
)( 0
存在且或若 xfxfxf
x
xx


).0)(l i m(0)(l i m
)()( 00



xfxf
x
xx
x
xx
或则
.0)(l i m0)(
0
xfxf xx，也只能推出即使:注意
0|| 1l i m01
0

x| x| xx
，但如推论 1:
推论 2,).()(lim,)(lim
00
均存在设 bxgaxf xxxx
(1) 若存在?>0,使当 0<|x?x0|<? 时,有 f (x)?g(x).
).(lim)(lim
00
xgxf xxxx则当 0 < |x?x0| <?时,有 f (x)? g(x).
(2) ),(l im)(l im
00
xgxf xxxx则存在? > 0,
证,(1) 由于 当 0 < |x?x0| <? 时,有 f (x)? g(x).
所以,若记 F(x) = f (x)? g(x),
则当 0<|x?x0|<? 时,有 F(x)=f (x)?g(x)?0.
由推论 1及第四节极限的运算法则,
有 0)(li m)(li m)(li m
000
xgxfxF xxxxxx
从而 )(lim)(lim
00
xgxf xxxx
(2) 自证当 x 时情形类似,自述,自证,
定义 5:若存在 x0的某去心邻域?(x0),使得 f(x)
在? (x0)内有界，则称 f (x)是 x? xo时的有界量,
若 >0，使得 f (x)在 (–?,–X)?(X,+?)
内有界,则称 f (x)是 x时的有界量,
比如 y=x2在定义域 (–?,+?) 内是无界的,
但在 x=0的某个小邻域内是有界的,因此,
y=x2是 x?0时的有界量,
y=x2
0 x
y
–?
M
)..(01 从函数图形上可看出时的有界量不是 xxy
0
y
x
xy
1?–?
.)( 时的有界量或x
0
)(
)(,)(l i m若
0
xxxfxf
x
xx

是则存在比如,y=sinx在 (–?,+?)
内有界，是 x时的有界量,但,s i nlim 不存在x
x
定理 4.
定理 4的逆命题不成立,
.c o sl i m,不存在同理 x
x
y
x
1
–1
y=sinx
0
则称 f (x)是该极限过程中的一个无穷小量 (省去 x?xo,x的极限符号,lim” 表示任一极限过程 ).
定义 1.若 lim f (x)=0,
第二节 无穷大量、无穷小量一、无穷小量
,0c oslim,0s i nlim,01lim
2
0


xx
x xxx?
.c o s,sin,1 是相应过程的无穷小量故 xxx
注 1,无穷小量与极限过程分不开,不能脱离极限过程谈无穷小量,
2.1s i nl i m
2

xx
x
因此，它不是
.时的无穷小量小量,但如 sinx是 x?0时的无穷例：
注 2：
注 3,0是任何极限过程的无穷小量,
由于 limC = C(常数 ),所以,除 0外的任何常数不是无穷小量,
)().()()(l i m xxAxfAxf 其中
是该极限过程中的无穷小量,A为常数,
,)(lim,
0
Axfxx设”“
>0, >0,当 0<|x – x0|<? 时,有 |f (x) –A|<?
,|)(|x即
.)( 是无穷小量即 x?
定理 1.
Axfx )()(?记
.0)(l i m
0
xxx?故证：
，时其中若 )(0)().()(,"" oxxxxAxf
.|)(|||0,0,0 xxx o 时，有当则
,|)(| Axf即类似可证 x时情形,
.)(l i m
0
Axfxx由极限定义知：
定义 2,若 >0(无论多么大 ),


)(l i m
)( 0
xf
x
xx
记作：
>0(或?X>0),
当 0<|x–xo|<? (或 |x|>X)时，有 |f (x)|>M,
则称 f (x)是 x? x0(或 x)时的无穷大量,
二、无穷大量若以,f (x)>M,代替定义中的,|f
(x)|>M,,就得到正无穷大量的定义,


)(l i m
)( 0
xf
x
xx


)(l i m
)( 0
xf
x
xx
若以,f (x)< – M,
代替定义中的,|f (x)|>M,,就得到负无穷大量的定义,分别记作：
>0, >0(或?X>0),当 0<|x–xo|<? (或 |x|>X)时，
有 |f (x)|>M,.)(li m
)( 0


xf
x xx
则记

1
1lim
1 xx
证明
,0 M
,
1
1
|1|0,
1
M
x
x
M

有时，则当取
11l i m 1 xx故
,11l i m
1

xx
，从函数图形上还可看出,11l i m1 xx
0
1
-1
1
,1|1|,11 即可只须要使 MxMx
xx
y
y x?1+
x?1–
例 1：
证,
例 2:试从函数图形判断下列极限,
,tgl i m,tgl i m,tgl i m )1(
222
xxx
xxx


,l i m,l i m )2( xxxx ee
,lnl i m,lnl i m )3( 0 xx xx
解,(1)
2
23
2
x
y
0
x
y
y = tgx
x
y
从图上可看出
.tglim
,tglim
,tglim
2
2
2



x
x
x
x
x
x
,l i m xx e从图上看出
(2)
x
o
y
xx
y
y
l i m?,l i m( xxxx aa一般
).1,10 讨论分 aa
xey?
,0l im xx e
x?+?x?–?
,lnl i m )3( xx
).1,10 讨论分 aa
lo glim?,lo glim( 0 xx axax一般
.lnl i m 0 xx
注 1,若在定义 2中，将,f (x)” 换成
,xn”,
注 2,若 lim f (x)=?,
将,X” 换成,N”,将,x” 换成就得到数列 xn为无穷大量定义,,n”,
则表示在该极限过程中 f (x)的极限不存在,
>0,?X>0,当 |x|>X 时,有 |f (x)|>M,
.)(li m xfx则记注 3,不能脱离极限过程谈无穷大量,
注 4,无穷大量一定是无界量,
任何常量都不是无穷大量,
但无界量不一定是无穷大量,
),()c o s)((s i n)( 在或 xxxfxxxf
.s i nlim,s i nlim 不存在内是无界函数，但 xxxx xx
只须内无界函数是要说明,),(s i n xxy
说明>0,?x0?(–?,+?),使得 |x0sinx0|>M即可,
为自然数，现在取 kkx,220
例 3：
解：
，充分大时当则 )(22|s i n| 00 kMkxx
.s i n 是无界函数故 xxy?
,,,2 Xxkkx kk 充分大时当又取?
|)(| kxf但,0 M不大于?
.sinl i m xxx故
,))1(1( nnnx
.))1(1(l i m nnn但
.2 0 2 0 2 0 642 是无界数列，，，，，,?
例 4：
定理 2,在某极限过程中,若 f (x)为无穷大量,则
.)(1 为无穷小量xf 反之,若 f (x)为无穷小量
.)(1),0)(( 为无穷大量则 xfxf?
三、无穷小与无穷大量的关系
,11l i m 1 xx如：
,l i m xx e又如：
,l i m nn
0)1(l i m 1 xx则
01l i m
xx e
则
01l i m?
nn
则证,只证两个无穷小量的情形,
),02( 而言对
).0)((2|)(|,||0 10 xxxx 因有时当设当 x?x0时,
(要证?(x)(x)为无穷小量 ),
>0,
(x )?0,?(x )?0,
.01
四、无穷小量的运算定理定理 3,有限个无穷小量的代数和为无穷小量,
),,m i n( 21取
.2|)(|,2|)(| xx同时有
.22|)(||)(| |)()(| xxxx从而
,||0 时则当 oxx
故?(x) (x)是无穷小量,
02
).0)((2|)(|,||0 2 xxxx o 因有时当注,定理 3中“有限个”不能丢，无限个无穷小量的和不一定是无穷小量,
1)111(lim
nnnn
n个比如：
定理 4：
.)(),(0)( 00 时的有界量是设 xxxfxxx
,||0,0,0,101 时当以及即 xxM
.|)(| Mxf?有若?(x)是某极限过程中的无穷小量,f (x)
是该过程的有界量,则 f (x)(x)为该过程的无穷小量,即,有界量与无穷小量之积为无穷小量,
证,
),,m i n( 21取
.|)(|)(||)()(| MMxxfxxf有
.)()( 0 时的无穷小量是故 xxxxf
时，则当 ||0 oxx
,0现在
.|)(|||0 2 Mxxx o 时，有当
.0,0,0)( 2 而言对因 Mx
.s in1lim xx
x
求
.01lim,1|s i n|
x
x
x
而推论,设?(x),?(x)是某极限过程中的无穷小量,C
为常数,则?(x)(x),C?(x)都是无穷小量,
.0s i n1l i m?

xx
x
故例 2：
解,
1.?±?,都不一定是无穷大量，也不一定是无穷小量,
2,0,(有界量 )不一定是无穷大量，也不一定是无穷小量 (其中 0表无穷小量 ).
3,无穷大量是无界量,但无界量不一定是无穷大量,
五、无穷大量的运算性质
4,(+?)+(+?) = +?,()+()=.
5,=?,? ± (有界量 ) =?,?± 常量 =
.
6,C=? (其中 C等非 0常量 ).
定理 1.若 limf (x)=A,limg(x)=B存在,则
(1) lim[f (x)? g(x)] = limf (x)?limg(x)] = A?B
(2) lim[f (x) g(x)] = limf (x) ·limg(x)] = A ·B
(3) )( )(l i m,0 xg xfB 则若? )(lim )(lim xg xf?,BA?
第三节 极限运算法则一、极限四则运算法则证,(2) 因 limf (x)=A,limg(x)=B,均存在,
则 f (x)=A+?(x),g(x)=B+?(x),从而
f (x) ·g(x)= [A+?(x)]·[B+?(x)]
= AB+[A?(x)+ B?(x)+?(x)?(x)]
得 lim[ f (x) ·g(x)] = AB
同理可证 (1),(3).
推论,设 limf (x)存在,C为常数,n为 自然数,则
(1) lim[Cf (x)] = C limf (x)
(2) lim[f (x)]n = [limf (x)]n
例 1,6 42l i m
23
2?

x
xx
x
求解,由于 )6(lim
2 xx 6l i ml i m 22 xx x
= 2–6 = –4
)42(l i m 232 xxx 4l i m2l i m 2232 xx xx
4]l i m[l i m2 2232 xx xx
= 2 ·23 + 22 – 4 =16,
44166 42l i m
23
2

x
xx
x
故
).2()(l i m,6 42)(
2
23
fxfx xxxf
x

上述结果说明若记例 2.
.)(,.
,)( 1110
次多项式为称为非负整数常数为其中设
nxfn
aaxaxaxaxf innnn
)()(l i m 0
0
xfxfxx则解,由定理 1及其推论,有
)(lim
0
xfxx?
nxxnnxxnxx axaxaxa 000 l i ml i ml i m 1110?
nnnn axaxaxa 0110100?
)( 0xf?
例 3.
.
)(
)(
)(
)(
l i m,0)(
.
)(
)(
,)(),(
0
0
0
0 xg
xf
xg
xf
xg
xg
xf
xgxf
xx

则若为有理函数称分别为多项式设更一般的,以后将有结论,若 f (x)为初等函数,
且 f (x)在点 x0处有定义,则 )()(l i m
0
0
xfxfxx
2111l i m 21 xx
比如,
1ln)ln(l i m eeexxex
例 4.,,,11l i m
1
为自然数其中求 nmxx m
n
x?
解,将 x=1代入分母,分母为 0,不能用例 3
或定理 1(3)的方法求极限,
想办法约去使分子分母都为零的因子 x–1.
).1)(1(1 21nnn xxxx注意到公式有
1
1lim
1?
m
n
x x
x
)1)(1(
)1)(1(l i m
1
1
1


m
n
x xx
xx
1
1l i m
1
1
1


m
n
x x
x
m
n?
例 5,x x
x
11l i m
0

求解,将 x=0代入,分子,分母都为 0,不能用定理 1(3),
想法约去零因子 x,为此,有理化,
x
x
x
11l im
0

)11(
l i m
0
xx
x
x
11
1l i m
0
xx
2
1?
例 6,92 5l i m 22
x
x
x
求解,这是有理函数,当 x时的极限问题,分子,
分母的极限都为?,不存在,不能用定理 1(3).
同除以分母的最高次幂 x2.
92
5l im
2
2
x
x
x
2
2
9
2
5
1
l im
x
x
x

2
1?
将本题改为
9 2
5l im 2

x
x x3
3
3
9
2
51
l im
x
xx
x
= 0
92
5 l im
2?
xx
x3
2
2
9
2
5
l im
x
x
x
x
=?
改为例 7.,)( 110 nnn axaxaxf设
mmm bxbxbxg110)(
则
)(
)(l im
xg
xf
x
.,
,
,0
,
0
0
为非负整数时当时当时当
mn
mn
mn
mn
b
a

).1)((,)(l i m,1, xgxfn x 取当特别总结,设 f (x),g(x)为多项式,
)()( )(l i m )1( 已解决xg xf
x
)(
)(l i m )2(
0 xg
xf
xx?
0)(,0)(,
0)()(
0)(
)(
)(
00
000
0
0
0


xfxg
xgxfxx
xg
xg
xf
但想法约去因子=
例 8,).1311(l i m 3
1?

xxx
求解,这是两个无穷大量之差的极限问题,
无穷大量的和,差不一定是无穷大量,
)1311(l i m 3
1?

xxx )1)(1(
31l i m
2
2
1

xxx
xx
x
)1)(1(
)2)(1(l i m
21

xxx
xx
x 1
2l i m
21

xx
x
x
133
这类问题,称为,”
型,
通分例 9,).1(l i m 22
xxxx求解,这是两无穷大量之差的问题,即,”
型,对无理函数,可考虑有理化,
)1(l i m 22 xxxx 11l i m 22 xxx xx
2
1
1
1
1
1
1
l i m
xx
x
x


2
1?
解,这是一分段函数,分段点 x=0.
在分段点处极限要分左,右极限讨论,
分段函数
)00(?f )(l im
0 xfx )1(l im0
x
x
e 10 e =2
)00(?f )(lim
0 xfx )( s i nl i m0 bxx
b 0sin = b
故,当 b=2时,f (0+0) = f (0–0)= 2,.2)(l i m
0 xfx从而例 10.


,0s i n
,01)(
时当时当设
xbx
xexf x
何值时,.)(l i m
0 存在xfx?
问常数 b为例 11.
.,l i m,0,
,,,,321
并求之存在证明设数列
n
n
n xaaaax
aaaxaaxax



证,先用“单调有界数列必有极限” 证明,l im 存在n
n x
(1)单调性,
= xn–1
故 xn单调递增,
0 aaa?
n–1个 a
aaax n
n个 a
(2)有界性,
故 xn有界,
0< xnaa aa?
n个 a
1 aaaa
n个 a
2)1(?a aaa aaa?1?a
n–1个 a
a 1?a 1 a
综合 (1),(2),知 xn单调,有界,,l i m 存在故 n
n x
.l i m Ax nn设 由于
.,2 11 nnnn xaxxaaaax ＋＋ 即?
n+1个 a
.l i m,l i m,1 AxAxn nnnn ＋令 从而
A2 = a+A
解出 A.,2 411 aA
因 xn>0,由保号性定理,A?0
从而,2 411 aA
即,2 411l i m ax n
n


求复合函数的极限时,常可用,换元法”
简化运算,
二、复合函数的极限例 12,).c o s ( l nl i m
1 xx?求解,直观地看,当 x?1时,lnx?0,而当 lnx?0时,
cos(lnx)?cos0=1,或者,令 u=lnx,
当 x?1时,u?0,代入
ux ux c o sl i m)c o s ( l nl i m 0110c o s
这种方法称为换元法,使用时,将原式中所有 x换写成 u的表达式,极限过程 x?x0换成相应的 u的极限过程,
定理 2.设 y =f [?(x)]由 y =f (u),u=?(x)复合而成,
,)(l i m 0
0
uxxx若,)(l i m
0
Aufuu而且在 x0的某去心邻域? (x0)内,?(x)? u0
Aufxf uuxx )(l i m))((l i m
00
则证 (略 ).
例 13.,s i nlnl i m
2
x
x
求解,(1) 令 u=sinx.,12sinsin,2 xux 时当代入,ux
ux
lnl i ms i nlnl i m
1
2

01ln
(2) 也可直接利用例 3后介绍的结论,有
0
2
s i nlns i nlnl i m
2

x
x
例 14,x
x
e
1
0
lim

求解,,1xu?令,1,0 xux 时当 代入,
0l i ml i m
1
0


u
u
x
x
ee有
l i m
1
xe若改为 x?0+
定理 1.设在点 x0的某去邻域? (x0,?1)内,
有 F(x)?f (x)?G(x),
),()(l i m)(l i m
00
常数且 AxGxF xxxx 则
Axfxx )(l im
0
第四节 函数极限存在定理一、夹逼定理证, >0.,)(l i m)(l i m
00
AxGxF xxxx因当 0<|x–x0|<?2时,有 |F(x)–A|<?且 |G(x)–A|<?.
从而,2>0.
故 A–? < F(x),G(x) < A+?
即 |f (x)–A|<?,
.)(l i m
0
Axfxx故注,定理对 x的情形也成立,
),,m i n( 21取,||0 0 时则当 xx
AxGxfxFA )()()(有定理 2.
axfxx )(lim
0
,)(lim axf nn
其中 a可为有限数，也可为?。
证,只就 a为有限数的情形证明,
必要性,设,并任取数列 xn?x0
(xn?x0,xn?D ( f ),n?+?)。
axfxx )(lim
0
(要证 0,?N>0,当 n>N时，有 |f (xn)?a|<?)
二、函数极限与数列极限的关系的充要条件是任何以 x0为极限的数列 xn(xn?x0,xn?D(f )),有由于
,)(lim
0
axfxx
则0,0,当 0 x?x0 时,有?f (x)?a,
由于 xn?x0(n?+?).
当 n?N时,有 0? |xn?x0 | (xn? x0).
从而，对 0,?N?0,当 n? N 时,有故,)(lim axf
nn
所以，对上述0,?N?0,
f (xn)?a
充分性：用反证法,
若对任何数列 xn? x0 (xn?x0),有
,)(lim axf nn
.)(lim
0
axfxx
但
(注意,) 就是,0? 0,对0,存在 x'?D( f ),虽然 0x'?x0,但? f (x')? a.”
axfxx )(lim
0
对上述?0?0,取? 依次等于 1,… … 可设相应的 x1,x2,…,xn,…,满足
,21,31,1n
0 x1?x01,但? f (x1)? a0
0 x2?x0,但? f (x2)?a0
2
1
……
0 xn?x0,但? f (xn)?a0
n
1
……
左边一列说明 xn?x0(n?+?,xn?x0),
此与条件矛盾,
故充分性成立,
右边一列说明
f (xn)不以 a为极限,
例 1,证明 不存在,
xx
1s inlim
0?
证,只须证可取两个数列 xn?0,),(0 nx
n
nn xx?
1s in1s in 和 的极限不相等即可,
1)2s i n( 2 n 0,s i n2 n 而注意到
)( 02 1 nnx n?故取
)( 0
2
2
1

n
n
x n
.11s i nlin,01s i nlim
nn

nn xx
从而
.1s i nlim
0
不存在故 x
x?
如图,若当 x?x0 时,f (x)? a,
x1
f (x1)
x2
f (x2)
x3
f (x3)
xn
f (xn)
0 xx0
a
y=f (x)
y
显然,当 xn?x0 时,f (xn)? a,反过来,若对任意的数列 xn,xn?x0 (xn?x0),有 f (xn)? a,则 f (x)? a
(x?x0 ),
注,1,若对某个数列 xn?x0 (xn?x0),有 f (xn)? a,
不能得出 f (x)? a (x?x0 )的结论,
.π2s i n xy?如考虑 x = 0处的极限,
),(01 nnx n取
),(00π2s i nπ2s i n)( nnxxf
n
n
.π2s i nl i m
0
不存在但 x
x?
2,该定理对 x 也成立,
定理 3,的充要条件是0,0,
当 x1,x2?D(f )且 0x1?x0,0x2?x0时,
有?f (x1)?f (x2).
axfxx )(lim
0
证,略
x时的柯西收敛准则可依照定理 3给出,
三、柯西收敛准则
.1s inlim
0
x
x
x
证,(1)先证,1s i nl i m
0

x
x
x
.,20 作单位圆设 x
1
1
0 x
y
A
x
D
B
C
总有 S?AOC < S扇形 AOB < S?DOB
第五节 两个重要极限一、重要极限
.tg2121s i nco s21 xxxx即
xx
xx
co s
1s i nco s或
.1co s1l i mco sl i m,0
00


xxx xx因令
.1sinl i m
0

x
x
x
所以
.1s i nl i m
0

x
x
x
(2)再证事实上,令 u= –x,当 x?0ˉ,u?0+,代入,有
x
x
x
sinlim
0 u
u
u?


)s i n (l i m
0 u
u
u
s inl im
0
= 1
综合 (1),(2)知,.1sinl im
0
x
x
x
例 1.
x
x
x
tglim
0?
求解,)s i nco s1(l i mtgl i m
00 x
x
xx
x
xx


= 1 ·1=1
这个重要极限,可写成
1 s inl im?u?0 uu 其中,u可以为函数,
例 2,x x
x
3s inl im
0?
求解,x x
x
3sinlim
0? x
x
x 3
3sin3l i m
0

x
x
x 3
3sinl i m3
0
= 3·1= 3
例 3,2
0
c o s1l i m
x
x
x
求解,
20
c o s1l im
x
x
x
2
2
0
2s in2l im
x
x
x?
2
0
2
s i n
2l i m
x
x
x
2
1?
2
0
s i n
2
1
l i m


x 2
x
2
x
.
2
c o s2c o s1
,
2
s i n2c o s1.
2
2
x
x
x
x

注意到三角公式例 4.,s i ntgl i m 3
0 x
xx
x
求解,3
0
sintgl i m
x
xx
x
xx xxx c o s )c o s1(s i nlim 30
xx xx xx c o s1c o s1s i nl i m 20
2
11
2
11
例 5.,1s i nl i m xx
x求解,xxx 1s inl im
x
x
x 1
1
s in
l im

= 1
比较,
01s i nl i m?xxx?0 和 11s i nl i m?xxx
例 6.,s inl im?
x
x
x求解,由于 x,所以 x 0.
因此,令 u=x,当 x时,u?0,代入
x
x
x
sinlim
u
u
u
)s i n (l i m
0

u
u
u
sinl im
0

=?1
.,11l i m,为自然数其中已有结论 nen
n
n




.11l i m,,exx
x
x




有是连续变量时当下证
.11lim ex
x
x



二、重要极限
(1)考虑 x?+?时的情形,
x >0,必存在自然数 n,使得 n?x<n+1,
.1111111,nxn从而由幂函数,指数函数的单调性,有
n
n

1
11 n
x

11 x
x

11 111

n
x
11
1

n
n
n
n

1
11 所以 x
x

11,11 1

n
n
n
n n

1
11l i m
1
1
1
1
1
1
1l i m
1



n
n
n
n = e ·1= e
令 x?+?,由于 x<n+1,有 n?+?,且
11
1l im


n
n n




nn
n
n
1111l i m = e ·1= e
.11l i m,ex
x
x




得由夹逼定理
(2)考虑 x?–?时的情形,
令 u = –x,当 x?–?时,有 u?+?.
x
x x



11lim从而
u
u u


11l i m u
u u
u?

1l im
u
u u
u?


1
11l i m u
u

1
11l i m
x
x x



11lim
(令 u–1=t,当 u?+?时,t?+?.)
tt
t
t
1111l i m = e ·1= e
综合 (1),(2),得,11l i m ex
x
x




,111111l i m
1

uu
u
u
,)1(l i m,,1
1
0
euxu u
u

得到若令综合这两公式,有





.,1l i m
1
1l i m
1
0
可以为函数其中 ueu
e
u
u
u
u
u
特点,(1+无穷小 )的无穷大次方,该无穷小与无穷大恰好为倒数,则其极限为 e.
此类极限问题中常使用指数公式
yxxy aa?(i)
kkxx aa(ii) kkx aa
kykxa?
例 7,).0(,1l i m 整数为非求 kxk
x
x



解,,不是互为倒数的与无穷大由于无穷小 xxk变形,
x
x x
k?



1l im
kkx
x x
k?


1l i m
k
k
x
x x
k


1l i m
ke?
例 8.,11l i m
kx
x x



求解,
kx
x x



11l im
kx
x x



11l i m
ke?
例 9.,)1(l i m
0
x
k
x
x?
求解,x
k
x
x )1(l im
0
)(1
0
))(1(l i m kx
x
x

x
k
x
x ))(1(l i m
0

k
x
x
x


1
0
))(1(l i m
ke
例 10.,)1l n (l i m
0 x
x
x
求解,x x
x
)1l n (l im
0
)1l n (
1l i m
0 xxx
x
x
x
1
0
)1l n (l i m
= lne
= 1
例 11.,1l im
0 x
e x
x
求解,
= 1
x
e x
x
1lim
0
令 u=ex– 1,则 x=ln(1+u),
)1l n (l i m 0 u
u
u?
)1l n (1
1l i m
0 u
u
u?
当 x?0时,u?0.
例 12.,lnlnl i m ax ax
ax?
求解,令 u= x– a,则 x=a+u,当 x?a时,u?0,
ax
ax
ax?
lnlnl i m
u
aua
u
ln)l n (l i m
0

u
a
u
u
)1l n (
l i m
0
a
a
u
a
u
u
1)1l n (
l i m
0
a1?
例 13.,21l i m
x
x x
x?


求解,"1"..121, 称为指数底数时当 xxxx
如何利用第二个重要极限呢?
注意到,若 f (x)?A,则 f (x)=A+?,?为无穷小量,
,121 的形式必可写成故底数xx
x
x x
x?

2
1l im
2)2(
2
11l i m?



x
xx
x x
x
x


2
11l i m
x
x x
x?


2
12l i m
2)2(
2
11l i m?


x
x
x
x x
1e
定义 1,设 lim?(x)=0,lim?(x)=0.
,0)( )(l i m )1(?xx若则称?(x)是比?(x)高阶的无穷小量,
记作,?(x)=o(?(x))
或称?(x)是比?(x)低阶的无穷小量,
)( )(l i m,xx若即则称?(x)是比?(x)低阶的无穷小量,
例 14.,)(co sl i m 2
1
0
x
x
x
求解,2
1
0
)(co sl im x
x
x
2
1c o s
1c o s
1
0
))1( c o s1(l i m
x
x
x
x
x

2
1
0
))1(co s1(l i m x
x
x
2
1e