一、微分的概念实际工作中，常要计算?y=f (x+?x)?f (x).
f (x)的表达式复杂时,?y的计算也较复杂,不好算,
但当要找?y的近似公式,这一近似公式应满足 (i)
好算,(ii)具有起码的精度,
§ 3－ 4 微分与差分例 1.一正方形金属薄片受温度影响,其边长由 x0
变到 x0+?x,求此薄片面积改变了多少？
解,如图,
因此,面积的改变量为
2020 )( xxxA
.2d 0 xxA记
).()(d 2 xoxAA误差
20 )(2 xxx
x0
x0
x?x
x
x
当正方形边长为 x时,面积 A=x2,
1,定义,设 y=f (x)在 x0 的某邻域 U(x0)内有定义,
如果?y = f (x0+? x)?f (x0)可表示成
y = A x+o (? x)
其中 A为只与 x0有关而与?x无关的常数,则称
y=f (x)在点 x0处可微,称 A x 为 f (x)在 x0点相应于
x 的微分,记作 d y,即 dy = A x
注 1.若 y=f (x)在 x0可微，则微分 d y= A x是?x
的线性函数,另外,当 A?0,?x?0时,?y ~ dy.
这是因为 y xoyyy d )(dd
注 2.当 y = f (x)在 x0可微时,?y?dy = o(?x)
xA
xo
)(1 1?
(?x?0)
(?x?0)
2,可微与可导的关系定理 1,y=f (x)在 x0可微的充要条件是 y=f (x)在 x0
可导,且当 y在 x0可微时,dy=f '(x0)x.
证,必要性,若 y=f (x)在 x0可微,由定义
y=A x+o (? x)
从而 ).0( )(
xA
x
xoA
x
y
故 y = f (x)在 x0可导,
且 ).('l i m 0
0
xfxyA
x
即 xxfy)('d 0
).('l i m 0
0
xfxy
x
则充分性,若 y=f (x)在 x0可导,
故 ).0( 0,)('
0 时当其中
xxf
x
y
,)(' 0 xxxfy或由于 ).(.0l i ml i m
00
xoxx x
xx
即故 y=f (x)在 x0可微,且 dy=f '(x0)x.
定理 1告诉我们，对于一元函数 y=f (x)而言,
可微与可导是等价的,
3,若 y=f (x)在 (a,b)内每一点处均可微 (可导 ),则称 f (x)在 (a,b)内可微,这时,对?x?(a,b),
有 dy=f '(x)x,称为函数 y(在 x点 )的微分,dy=f
'(x)x是一个既与 x又?x与有关的量,这里 x 与
x是独立变化的,
4,记 dx=?x,称为自变量 x的微分,
即,自变量 x的微分就等于自变量的增量,
上述定义是合理的,
例 2,设 y=x,求 y的微分 dy=dx.
解,dy = f '(x)x=(x)'x=?x
即 dx =?x
由于有 3,4中记号，从而 dy = f '(x)dx.
同除以 dx,及 ).('dd xfxy?
即 函数的导数就等于函数的微分与自变量的微分之比,
5,微分的几何意义如图过 M作切线 MT,倾角为?
给?x=dx>0,得点 x0+?x,
以及点 N,P,Q.
由导数的几何意义
.tgdd xPQxy
同乘以?x=dx,得 dy=PQ.
·M
x0
xx0
·N T
y
xo
Q
P
y=f (x)
y = NQ 表示曲线 y = f (x)上纵坐标的增量，
dy =PQ 表示切线 MT 上纵坐标的增量,
y?dy = NP= o(?x)
在?PMQ中,MQ=dx,PQ=dy.
而,)(d)d( 22 yxMP ·M
x0
xx0
·N T
y
xo
Q
P
y=f (x)
二、微分公式及运算法则由于 dy=f '(x)dx,因此，微分公式及运算法则与导数公式及运算法则完全类似,如 (sinx)'=cosx.
从而 d(sinx)=cosxdx,等等,
1,四则运算法则：设 u = u(x),v = v(x)均可微,则
.dd)(d )1( vuvu
.dd)(d )2( vuuvvu
.,d)(d )3( 为常数其中 Cuccu?
.0,dd)(d )4( 2 vv vuuvvu 其中
2,复合函数的微分我们知道当 x为自变量时,有 dy=f '(x)d x.
若 y=f (u),u不是自变量,是否仍然有 dy=f '(u)du?
设 u=? (x),在 x点可导,而 y=f (u)在相应的点
u=?(x)处可导,求复合函数 y=f [?(x)]的微分,
从而,xxufy d)](')('[d
即 uufy d)('d?
可见，不论 u是自变量还是中间变量,总有
.d)('d uufy? 这一性质，称为一阶微分形式的不变性,
由于复合函数 y 的导数 ).(')('
d
d xuf
x
y
uuf d)('? xxuf d)()('
例 3.设 y = sin(2x+x2),求 dy.
解,)]2[ s i n (dd 2xxy
]d2d2)[2c o s ( 2 xxxxx
xxxx d)2c o s ()1(2 2
)2(d)2c o s ( 22 xxxx
例 4,设 y = e3vcos2v,求 dy.
解,不论 v是否为自变量,由一阶微分形式不变性,
有 ]2c o se[dd 3 vy v?
)2(d)s i n 2(e)3(de2c o s 33 vvvv vv
vvvv vv des i n 22de2co s3 33
vvvv d)s i n 222c o s3(e 3
)2( c o sde)e(d2c o s 33 vv vv
例 5.设
x =acos t
y =a sin t
,求,0,
d
d,d,d?a
x
yyx 其中解,dx = d(acost)
dy = d(asint)
从而 tta ttaxy ds i n dc o sdd
= ad(cost) =?asintdt
= acostdt= ad(sint)
.ctgt
例 6.填入适当的函数，使等式成立
(1) d( )= xdx
(2) d( )= exdx
xx d1) (d )3( 2?
(4) d( )= sinxdx
解,(1) 由于 d(x2)=2xdx,xxx d)
2
1(d 2?从而
.d)21(d 2 xxCx一般 其中 C为任意常数,
(2)
(3)
(4)
xeCe xx d)(d
xxCx d1)1(d 2
.ds i n)co s(d xxCx
三、高阶微分设 y = f (x)有直到 n阶导数,其中 x为自变量,我们知道,当 x为自变量时,dx=?x,从而
dy=f '(x)dx = f '(x)?x.这里 x 和 dx =?x是两个独立的变量,当 dx=?x固定不变时,dy是 x的函数,可考虑 dy的微分,
一般,记 d2y = d(dy),称为 y的二阶微分,
当 x为自变量时,有,d2y = d(dy) =d(f '(x)dx)
= (f '(x)dx)'dx = f ''(x)(dx)2 = f ''(x)dx2
其中 dx2 = (dx)2,
类似,记 d3y = d(d2y),称为 y的三阶微分,
当 x为自变量时,有,d3y = d(d2y) = ( f ''(x)dx2)'dx
= f (3)(x)(dx)3 = f (3)(x)dx3,
其中 dx3 = (dx)3,
一般,记 dny = d(dn–1y),称为 y的 n阶微分,
当 x为自变量时,dny = f (n)(x)dxn.其中 dxn = (dx)n
注 1.符号 dnu 和 dun 有不同含意,
注 2.对复合函数而言,二阶以上的微分不再具有微分形式不变性,
例如,设 y = f (u),u = f (?)均二阶可微,则
dy = f '(u)du,其中 du =?'(x)dx
而 d2y = d(f '(u) ·du)
= f ''(u)du ·d u + f '(u) ·d2u.
= f ''(u)du2 + f '(u)d2u.
=d(f '(u)) ·du + f '(u) ·d(du)
即,当 y = f (u),u不是自变量时,d2y? f ''(u)du2.
f (x)的表达式复杂时,?y的计算也较复杂,不好算,
但当要找?y的近似公式,这一近似公式应满足 (i)
好算,(ii)具有起码的精度,
§ 3－ 4 微分与差分例 1.一正方形金属薄片受温度影响,其边长由 x0
变到 x0+?x,求此薄片面积改变了多少？
解,如图,
因此,面积的改变量为
2020 )( xxxA
.2d 0 xxA记
).()(d 2 xoxAA误差
20 )(2 xxx
x0
x0
x?x
x
x
当正方形边长为 x时,面积 A=x2,
1,定义,设 y=f (x)在 x0 的某邻域 U(x0)内有定义,
如果?y = f (x0+? x)?f (x0)可表示成
y = A x+o (? x)
其中 A为只与 x0有关而与?x无关的常数,则称
y=f (x)在点 x0处可微,称 A x 为 f (x)在 x0点相应于
x 的微分,记作 d y,即 dy = A x
注 1.若 y=f (x)在 x0可微，则微分 d y= A x是?x
的线性函数,另外,当 A?0,?x?0时,?y ~ dy.
这是因为 y xoyyy d )(dd
注 2.当 y = f (x)在 x0可微时,?y?dy = o(?x)
xA
xo
)(1 1?
(?x?0)
(?x?0)
2,可微与可导的关系定理 1,y=f (x)在 x0可微的充要条件是 y=f (x)在 x0
可导,且当 y在 x0可微时,dy=f '(x0)x.
证,必要性,若 y=f (x)在 x0可微,由定义
y=A x+o (? x)
从而 ).0( )(
xA
x
xoA
x
y
故 y = f (x)在 x0可导,
且 ).('l i m 0
0
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x
即 xxfy)('d 0
).('l i m 0
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x
则充分性,若 y=f (x)在 x0可导,
故 ).0( 0,)('
0 时当其中
xxf
x
y
,)(' 0 xxxfy或由于 ).(.0l i ml i m
00
xoxx x
xx
即故 y=f (x)在 x0可微,且 dy=f '(x0)x.
定理 1告诉我们，对于一元函数 y=f (x)而言,
可微与可导是等价的,
3,若 y=f (x)在 (a,b)内每一点处均可微 (可导 ),则称 f (x)在 (a,b)内可微,这时,对?x?(a,b),
有 dy=f '(x)x,称为函数 y(在 x点 )的微分,dy=f
'(x)x是一个既与 x又?x与有关的量,这里 x 与
x是独立变化的,
4,记 dx=?x,称为自变量 x的微分,
即,自变量 x的微分就等于自变量的增量,
上述定义是合理的,
例 2,设 y=x,求 y的微分 dy=dx.
解,dy = f '(x)x=(x)'x=?x
即 dx =?x
由于有 3,4中记号，从而 dy = f '(x)dx.
同除以 dx,及 ).('dd xfxy?
即 函数的导数就等于函数的微分与自变量的微分之比,
5,微分的几何意义如图过 M作切线 MT,倾角为?
给?x=dx>0,得点 x0+?x,
以及点 N,P,Q.
由导数的几何意义
.tgdd xPQxy
同乘以?x=dx,得 dy=PQ.
·M
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·N T
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P
y=f (x)
y = NQ 表示曲线 y = f (x)上纵坐标的增量，
dy =PQ 表示切线 MT 上纵坐标的增量,
y?dy = NP= o(?x)
在?PMQ中,MQ=dx,PQ=dy.
而,)(d)d( 22 yxMP ·M
x0
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·N T
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P
y=f (x)
二、微分公式及运算法则由于 dy=f '(x)dx,因此，微分公式及运算法则与导数公式及运算法则完全类似,如 (sinx)'=cosx.
从而 d(sinx)=cosxdx,等等,
1,四则运算法则：设 u = u(x),v = v(x)均可微,则
.dd)(d )1( vuvu
.dd)(d )2( vuuvvu
.,d)(d )3( 为常数其中 Cuccu?
.0,dd)(d )4( 2 vv vuuvvu 其中
2,复合函数的微分我们知道当 x为自变量时,有 dy=f '(x)d x.
若 y=f (u),u不是自变量,是否仍然有 dy=f '(u)du?
设 u=? (x),在 x点可导,而 y=f (u)在相应的点
u=?(x)处可导,求复合函数 y=f [?(x)]的微分,
从而,xxufy d)](')('[d
即 uufy d)('d?
可见，不论 u是自变量还是中间变量,总有
.d)('d uufy? 这一性质，称为一阶微分形式的不变性,
由于复合函数 y 的导数 ).(')('
d
d xuf
x
y
uuf d)('? xxuf d)()('
例 3.设 y = sin(2x+x2),求 dy.
解,)]2[ s i n (dd 2xxy
]d2d2)[2c o s ( 2 xxxxx
xxxx d)2c o s ()1(2 2
)2(d)2c o s ( 22 xxxx
例 4,设 y = e3vcos2v,求 dy.
解,不论 v是否为自变量,由一阶微分形式不变性,
有 ]2c o se[dd 3 vy v?
)2(d)s i n 2(e)3(de2c o s 33 vvvv vv
vvvv vv des i n 22de2co s3 33
vvvv d)s i n 222c o s3(e 3
)2( c o sde)e(d2c o s 33 vv vv
例 5.设
x =acos t
y =a sin t
,求,0,
d
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从而 tta ttaxy ds i n dc o sdd
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.ctgt
例 6.填入适当的函数，使等式成立
(1) d( )= xdx
(2) d( )= exdx
xx d1) (d )3( 2?
(4) d( )= sinxdx
解,(1) 由于 d(x2)=2xdx,xxx d)
2
1(d 2?从而
.d)21(d 2 xxCx一般 其中 C为任意常数,
(2)
(3)
(4)
xeCe xx d)(d
xxCx d1)1(d 2
.ds i n)co s(d xxCx
三、高阶微分设 y = f (x)有直到 n阶导数,其中 x为自变量,我们知道,当 x为自变量时,dx=?x,从而
dy=f '(x)dx = f '(x)?x.这里 x 和 dx =?x是两个独立的变量,当 dx=?x固定不变时,dy是 x的函数,可考虑 dy的微分,
一般,记 d2y = d(dy),称为 y的二阶微分,
当 x为自变量时,有,d2y = d(dy) =d(f '(x)dx)
= (f '(x)dx)'dx = f ''(x)(dx)2 = f ''(x)dx2
其中 dx2 = (dx)2,
类似,记 d3y = d(d2y),称为 y的三阶微分,
当 x为自变量时,有,d3y = d(d2y) = ( f ''(x)dx2)'dx
= f (3)(x)(dx)3 = f (3)(x)dx3,
其中 dx3 = (dx)3,
一般,记 dny = d(dn–1y),称为 y的 n阶微分,
当 x为自变量时,dny = f (n)(x)dxn.其中 dxn = (dx)n
注 1.符号 dnu 和 dun 有不同含意,
注 2.对复合函数而言,二阶以上的微分不再具有微分形式不变性,
例如,设 y = f (u),u = f (?)均二阶可微,则
dy = f '(u)du,其中 du =?'(x)dx
而 d2y = d(f '(u) ·du)
= f ''(u)du ·d u + f '(u) ·d2u.
= f ''(u)du2 + f '(u)d2u.
=d(f '(u)) ·du + f '(u) ·d(du)
即,当 y = f (u),u不是自变量时,d2y? f ''(u)du2.
