§ 1－ 3 多元函数的偏导数在二元函数 z = f (x,y)中,有两个自变量 x,y,但若固定其中一个自变量,比如,令 y = y0,而让 x 变化,
则 z 成为一元函数 z = f (x,y0),我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数,称为偏导数,
一、偏导数的定义设 z = f (X) = f (x,y) 在 X0 = (x0,y0) 的某邻域 U(X0)内有定义,固定 y = y0,在 x0
给 x 以增量?x,相应函数增量记作
),(),( 0000 yxfyxxfzx
称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量,
定义
.),(),(l i ml i m 0000
00
存在如果极限 x yxfyxxfx z
x
x
x?
则称这个极限值为 z = f (x,y) 在 (x0,y0) 处对 x 的偏导数,),,( 00 yxf x?记作即 x yxfyxxfyxf
xx?
),(),(l i m),( 0000
000
此时也称 f (x,y)在 (x0,y0) 处对 x 的偏导数存在,否则称 f (x,y)在 (x0,y0) 处对 x的偏导数不存在,
,
0
0yy xxx
z
x
yxf
x
f
yy
xx?
),( 00
0
0
或类似,若固 定 x = x0,而让 y 变,z = f (x0,y)成为 y 的一元函数,
.),(),(limlim 0000
00
存在若极限 x yxfyyxfx z
y
y
y?
则称它为 z = f (x,y) 在 (x0,y0) 处对 y 的偏导数,
y
yxf
y
f
y
zyxf y
yy
xx
yy
xxy
),(,),,( 00
00
0
0
0
0
或记作即 y yxfyyxfyxf
yy?
),(),(lim),( 0000
000
若 z = f (x,y) 在区域 D 内每一点 (x,y) 处时 x的偏导数都存在,即?(x,y)?D,
x
yxfyxxf
x?
),(),(lim
0
存在,此时,它是 x,y的二元函数,称为 z 对 x 的偏导函数,简称偏导数,
.),(,,),,( x yxfxzxzyxf xx记作类似定义 z 对 y 的偏导函数,
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(l i m),(
0
即
1.由偏导数定义知,所谓 f (x,y) 对 x 的偏导数,就是将 y 看作常数,将 f (x,y) 看作一元函数来定义的,
注因此,在实际计算时,求 f 'x (x,y)时,只须将
y 看作常数,用一元函数求导公式求即可,
求 f 'y (x,y)时,只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可,
2.f 'x (x0,y0) 就是 f 'x (x,y)
在点 (x0,y0)的值,算 f 'x (x0,y0)
可用 3种方法,
f 'y (x0,y0) f 'y (x,y)
f 'y (x0,y0)
(1) 用定义算,
(2) 先算 f 'x (x,y),再算 f 'x (x0,y0) f 'y (x,y),
f 'y (x0,y0).
(3)先算 f (x,y0),再算 f 'x (x,y0)
再算 f 'x (x0,y0)
f (x0,y),
f 'y (x0,y),f 'y (x0,y0).
例 1.,)2,1(3 22 处的偏导数在求 yxyxz
解,,862,32
2
1
y
xx
zyx
x
z 从而
.743,23
2
1
y
xy
zyx
y
z 从而或 f (x,2) = x2 + 6x + 4,f 'x(x,2) = 2x + 6,
故 f 'x(1,2) = 2+ 6 = 8.
例 2.,2s in2 的偏导数求 yxz?
解,,2s i n2 yx
x
z?
22c os2 yxyz yx 2c o s2 2?
例 3.,),1,0( 求偏导数设 xxxz y
解,,1 yyxxz,ln xxyz y
偏导数的概念可推广到三元以上函数中去,
比如,设 u = f (x,y,z),
x
zyxfzyxxfu
xx?
),,(),,(lim
0
它的求法,就是将 y,z 均看作常数来求即可,
例 4.,222 的偏导数求 zyxu
解,2222
2
zyx
xu
x u
x?
2222
2
zyx
yu
y u
y?
2222
2
zyx
zu
z u
z?
由一元函数的导数的几何意义,可以得到偏导数的几何意义,设 z = f (x,y) 在点 X0=(x0,y0)
处的偏导存在,记 z0 = f (x0,y0 ),点 M0(x0,y0,z0)则二、偏导数的几何意义
f 'x (x0,y0)就是以平面 y = y0与曲面 z = f (x,y)
相截,得到截线?1,?1 上点 M0(x0,y0,z0)处切线对 x 轴的斜率,
而 f 'y (x0,y0)就是以 就是以平面 x = x0与曲面
z = f (x,y) 相截,得到截线?2,?2 上点 M0(x0,y0,z0)
处切线 对 y 轴的斜率,
,),(d d),(,
0
000
xx
x yxfxyxf
由于事实上故只须搞清一元函数 f (x,y0)的几何意义,就可得到 f 'x (x0,y0)的几何意义,
以平面 y = y0与曲面 z = f (x,y)相截,得截线
1,
z = f (x,y)
y = y0
也就是 z = f (x,y0),且 M0 (x0,y0,z0)在?1 上,
即 z = f (x,y0)表示 平面 y = y0与曲面 z = f (x,y)
的交线?1.
表示曲线从而
0
),(d d),(,000
xx
x yxfxyxf
z = f (x,y0)上点 M0处的切线对 x的斜率,如图
y
x
z
o
z = f (x,y)
X0
M0
即 f 'x (x0,y0) 表示 y = y0
与 z = f (x,y)的交线 在 M0处的切线对 x 的斜率,
T1
1,z = f (x,y0)
1
y0
y
x
z
o
z = f (x,y)M
0
X0
2
2,z = f (x0,y)
类似得 f 'y (x0,y0)的几何意义,如图即 f 'y (x0,y0) 表示 x = x0 与 z = f (x,y)的交线 在 M0处的切线对 y 的斜率,
x0
T2
在一元函数中,可导必连续,但对多元函数不适用,即,对多元函数 f (X)而言,即使它在 X0
的对各个自变量的偏导数都存在,也不能保证 f
(X)在 X0 连续,
三,偏导与连续的关系例 5,设
),( yxfz
,0,2222 时当 yxyx xy
,0,0 22 时当 yx
证明 z = f (x,y)在 (0,0)的两个偏导都存在,但它在 (0,0)不连续,
证,
前边已证 z = f (x,y)在 (0,0)的极限不存在,因此它在 (0,0)不连续,
x
fxff
xx?
)0,0()0,0(l i m)0,0(
0 x
x
x
x?
0
0
0
lim
22
0 = 0
y
fyff
yy?
)0,0()0,0(l i m)0,0(
0y
y
y
y?
0
0
0
lim
22
0 = 0
故 z = f (x,y)在 (0,0)的两个偏导都存在,但它在 (0,0)不连续,
下证 z = f (x,y)在 (0,0)的两个偏导都存在,
从几何上看,f 'x (x0,y0)存在,只保证了一元函数 f (x,y0)在 x0 连续,也即 y = y0 与 z = f (x,
y)的截线?1 在 M0= (x0,y0,z0)是连续的,
同理,f 'y (x0,y0)存在,只保证了 x = x0 与 z =
f (x,y)的截线?2 在 M0连续,
但都不能保证曲面 z = f (x,y)在 M0连续,
也就是连续这是因为所谓曲面在,0M
换句话说,当 X 从任何方向,沿任何曲线趋于 X0时,f (X)的极限都是
f (X0),
显然,上边两个条件都不能保证它成立,
).()(l i m 0
0
XfXfXX
例, ),( yxfz,),(,1 轴上时轴或不在当 yxyx
,),(,0 轴上时轴或在当 yxyx
易知,f (x,y)
在 (0,0)的两个偏导都存在,且为 0.
但它在 (0,0)不连续,
如图
y
x
z
o
§ 1－ 4 多元函数的微分一般说来,算这个改变量较麻烦,希望找计算它的近似公式,
该近似公式应满足 (1)好算,(2)有起码的精度,
在实际中,常需计算当两个自变量都改变时,二元函数 z = f (X) = f (x,y)的改变量
f (x0+?x,y0 +?y) – f (x0,y0).
一,全微分的概念类似一元函数的微分概念,引进记号和定义,
记?z = f (x0+?x,y0 +?y) – f (x0,y0).
= f ( X+?X ) – f (X0).
其中 X0 = (x0,y0),?X = (?x,?y)
称为 z = f (X) = f (x,y)在点 X0 = (x0,y0) 的全增量,
设 z = f (X) = f (x,y)在 U(x0)内有定义,
若 z = f (x,y)在点 (x0,y0) 的全增量?z = f
(x0+?x,y0 +?y) – f (x0,y0)能表成
z = a?x +b?y + 0 (||?X ||) )(0 22 yxybxa
其中 a,b是只与 x0,y0有关,而与?x,?y无关的常数,
).0
,0( )(0 2222
y
xyxyx 的高阶无穷小表示定义称 a?x +b?y 为 z= f (x,y)在点 (x0,y0)处的全微分,
则称 z = f (x,y)在点 (x0,y0)可微,
ybxazz XXXX 00 d,d 即记作
)(0 22 yxybxaz
1.按定义,z = f (x,y)在点 (x0,y0)可微?
)(0 22 yxybxaz
0)(0l i m 22
22
0
0
yx
yx
y
x
其中注
2.若 z 在点 X0 = (x0,y0)可微
,d 0 zybxaz XX 近似代替则以
.|||| 22 的高阶无穷小所产生的误差是 yxX
即?z –( a?x +b?y ) = 0 (||?X ||)
)(0 22 yx
3.若 z = f (x,y)在区域 D 内处处可微,则称 z = f (x,y)在 D 内可微,z 在 (x,y)?D 处的全微分记作 dz.
即 dz = a (x,y)?x + b (x,y)?y
它实际上是一个以 x,y,?x,?y为自变量的四元函数,
对照一元函数的微分,z = f (x),若?z = a?x +0
(?x) 则 dz = a?x = f ' (x) ·?x,自然会提出以下问题,
(1)若 z = f (x,y)在点 (x0,y0)可微,微分式 dz =
a?x +b?y中系数 a,b 如何求,是否与 z的偏导有关?
(2)在一元函数中,可微与可导是等价的,在二元函数中,可微与存在两个偏导是否也等价?
(3)在一元函数中,可微?连续,对二元函数是否也对?
设 z = f (x,y)在点 (x0,y0)可微,要证 z 在 (x0,y0)连续,
则?z = f (x0+?x,y0+?y) – f (x0,y0)
)(0 22 yxybxa
令?x? 0,?y? 0,由最后一式知,?z? 0.
0)],(),([li m 0000
0
0
yxfyyxxf
y
x
即
),(),(lim 0000
0
0
yxfyyxxf
y
x
故结论,对二元函数 z = f (x,y),
z 在 (x0,y0)可微 (不是存在两个偏导 )? z 在 (x0,y0)连续,
若 z = f (x,y)在点 X =(x,y)处可微,则 z =
f (x,y)在点 (x,y)处两个偏导,,存在yzxz
yyzxxzzd
证,因 z 在 (x,y)处可微,由定义,z 的全增量,
)(0
),(),(
22 yxybxa
yxfyyxxfz
此式对任何充分小的?x,?y 都成立,
且 z 在 (x,y)处的全微分为定理 1
|)(|0),(),( xxayxfyxxfz
特别,当?y =0时,有同除以?x (? 0),并令?x? 0,得
x
z
x?
0
lim x yxfyxxf
x?
),(),(lim
0
x
xa
x
||l i m
0
x
x
x
xa
x?
||
||
|)(|0l i m
0= a
x
za
即
.,yzb可得类似
.d,,yyzxxzzyzxz 且存在故定理 1回答了问题 1,并指出二元函数 z = f (x,y)
yyzxxzzd 且可微? 存在两个偏导,
反之不对,,,存在时这是因为当 yzxz
右端式子也可写出,yyzxxz但这时右端可能不是全微分,
220 yxyyzxxzz
即从而?z 不能写成定义中的形式,故不可微,
例 1,
00
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxfz设证明 z 在 (0,0)处的两个偏导存在,但 z 在
(0,0)不可微,
证,由偏导定义
x
fxff
xx?
)0,0()0,0(lim)0,0(
0
= 0
y
fyff
yy?
)0,0()0,0(lim)0,0(
0
= 0
])0,0()0,0([ yfxfz yx但而
z
22 yx
yx
2
3
220
022
0
0
)(
limlim
yx
yx
yx
z
y
x
y
x
0?
故 z 在 (0,0) 不可微,
若 z = f (X) = f (x,y)的两个偏导数 f 'x
(x,y),f 'y (x,y)在 X0 = (x0,y0)的某邻域 U(x0)
内存在,且它们都在 X0 = (x0,y0)连续,则 z
= f (x,y)在 (x0,y0)可微,
定理 2
因 f 'x (x,y),f 'y (x,y)在 U(x0)内存在,证,
由偏导数的定义,以及一元函数可导与连续的关系知,
对于固定的 y,以 x为自变量的一元函数 z = f (x,y) 在该邻域所对应的 x 的区间上连续,可导,
从而它们都满足拉格朗日中值定理条件 (在相应区间上 ).
以 y为自变量的一元函数 z = f (x,y)在该邻域所对应的 y 的区间上连续,可导,
对于固定的 x,
z = f (x0+?x,y0+?y) – f (x0,y0)
= [ f (x0+?x,y0+?y) – f (x0,y0+?y)]
+[ f (x0,y0+?y) – f (x0,y0)]
在上式第一括号中,将 y0+?y 固定,
则它是以 x 为 自变量的一元函数 f (x,y0+?y)
在 [x0,x0+?x]上的改变量,因 f (x,y0+?y)在 [x0,
x0+?x]上满足拉格朗日中值定理条件,从而,
取 (x0+?x,y0+?y)? U (X0)
f (x0+?x,y0+?y) – f (x0,y0+?y)
= f 'x(x0+?1?x,y0 +?y]x,其中 0<?1<1
同理 f (x0,y0+?y) – f (x0,y0) = f 'y(x0,y0 +?2?y]y,
0<?2<1
故?z = f 'x(x0+?1?x,y0 +?y]x + f 'x(x0,y0 +?2?y]y
因 f 'x (x,y),f 'y (x,y)都在 (x0,y0)连续,
),(),(lim 00010
0
0
yxfyyxxf xx
y
x
由极限与无穷小量的关系,
其中?1?0,(?x?0,?y?0时 )
有
f 'x(x0+?1?x,y0 +?y) = f 'x(x0,y0)+?1
有,f 'y(x0,y0 +?2?y) = f 'y(x0,y0)+?2
其中?2?0,(?x?0,?y?0时 )
),(),(lim 00200
0
0
yxfyyxf yy
y
x
同理因此,?z = f 'x(x0,y0)?x +f 'y(x0,y0)?y +(?1?x +?2?y)
由于?z = f 'x(x0+?1?x,y0 +?y]x + f 'x(x0,y0 +?2?y]y
f 'x(x0+?1?x,y0 +?y) = f 'x(x0,y0)+?1
易见
22
210
yx
yx
22
2
22
1 ||||
yx
y
yx
x
|?1 |+|?2 |?0,(?x?0,?y?0时 )
由全微分的定义知,z = f (x,y)在 (x0,y0)可微,
2221 0 yxyx即
)()(,)()(.1 XfzyXfxXfXJ f
称为记在点 X 处 雅可比向量 (矩阵 ),也记作?(z).
2.若 z = f (X)在区域 D 内有一阶连续偏导,
则记 f (X)?C1(D)
3.和一元函数微分一样,自变量 x,y 的微分就等于它们的改变量,即 dx =?x,dy =?y,
且记 dX = (dx,dy)
XXJyyzxxzz f d)(ddd
最后一式表数量积,
4,全微分的概念可推广到三元以上的函数中去,
且,若 u = f (x,y,z)可微,则
zzfyyfxxfu dddd
因此,全微分公式可写为例 2,求 z = x2 cos xy 的全微分,
解,
yxyxxyxz x )s i n(co s2 2
xyyxxyx s i nco s2 2
故 dz = (2xcosxy? x2ysinxy)dx? x3sinxydy
xyxyxyxz y s i n)s i n( 32
例 3.求 z = exy 在点 (2,1)处的全微分,
解,,yexz xy xeyz xy
故 dz = yexydx + xexydy
zexez yx d2dd 2212
例 4.求 u = xyz 的全微分,
解,,1 yzyz xxu,ln xzxyu yz
故 du = yzxyz–1 dx + zxyz lnxdy + yxyz lnxdy
,ln xyxzu yz
= xyz–1 (yzdx + xzlnxdy + xylnxdy)
设多元函数 f (X),g(X)在点 X 可微,则
(1) d(f (X)? g(X)) = df (X)? dg(X)
(2) d( kf (X)) = kd f (X),k为常数,
(3) d(f (X) g(X)) = g(X)d f (X) + f (X)dg(X)
(4),)( )(d)()(d)()( )(d 2 Xg XgXfXfXgXg Xf
其中,g(X)? 0.
定理 3
设 z = f (X) = f (x,y)在 X0 = (x0,y0)的某邻域 U(X0)内存在偏导数 f 'x 和 f 'y,则对任意的
X = (x,y)?U(X0),至少存在两点 X1 = (?1,?1),
X2 = (?2,?2)?U(X0),使得
),(),()()( 000 yxfyxfXfXf
))(())(( 0201 yyXfxxXf yx
证,回忆一元函数拉格朗日中值定理,
.,),)(()()( 000 之间介于 xxxxxx
二、微分中值定理定理 4
),(),( 00 yxfyxf?
)],(),([)],(),([ 0000 yxfyxfyxfyxf
由于 f 'x 和 f 'y 在 U(X0)内存在,而对于固定的 y,
f (x,y) 是以 x 为自变量的一元函数,在对应的 x
的区间上连续,可导,满足拉格朗日中值定理条件,
有 ),)(,(),(),(
010 xxyfyxfyxf x
),)(,(),(),( 020000 yyxfyxfyxf y同理,
其中,?1介于 x0,x 之间,?2 介于 y0,y 之间,
(x0,y)
X=(x,y)
X2
X0 = (x0,y0)
U(X0)
X1
记?1 = y,?2 = x0,有
),(),()()( 000 yxfyxfXfXf
),(),(),(),( 0000 yxfyxfyxfyxf
))(,())(,( 022011 yyfxxf yx
))(())(( 0201 yyXfxxXf yx
一般,若 n元函数 z = f (X)在点 X0
的某邻域 U ( X0 )内存在对各变量的偏导,则对任意的 X = (x1,x2,…,xn)∈ U (X0),存在 n 个点
),,,( 00201 nxxx
使得,,,2,1),,,,( 21 nixxxX iniii
))(()()( 0
1
0 iii
n
i
x xxXfXfXf i
设 z= f (X)= f (x,y) 在闭区域 D?R2上连续,
在开区域 D 内存在连续偏导数 f 'x 和 f 'y,
),,(
,
222
1010
X
XXDXX 上至少存在一点则在若点 X0 = (x0,y0),X1 = (x1,y1)?D,直线段
))(())((
),(),(
)()(
012012
0011
01
yyXfxxXf
yxfyxf
XfXf
yx?
X1
X2
X0
D
如图使得定理 5
证,如图,
作垂直过 10 XX
,?面的平面于 xy
它与曲面 z= f (x,y)
有蛟线?,?是平面?
上的曲线,对应的函数将满足拉格朗日中值定理条件,进而可证得结果,
x
z
y
X1
X0
o
0101,yyyxxx记
0:
00
10
z
y
yy
x
xxXX?
的方程
.10,0,,00 tzytyyxtxx或平面 (柱面 )?的方程,x = x0 + t?x,y = y0 + t?y.
的方程,x = x0 + t?x
z = f (x,y)
y = y0 + t?y
即,
z = f ( x0 + t?x,y0 + t?y)是 t的一元函数,0? t? 1.
记 F(t) = f (x0 + t?x,y0 + t?y),
由条件 f (x,
y) 在 D内有连续偏导,可得 F(t) 在 0 < t < 1 内可导,
从而满足拉格朗日中值定理条件,
又 F(1) = f (x0 +?x,y0 +?y) = f (x1,y1),F(0) = f (x0,y0),
故由条件 f (x,y) 在闭区域 D上连续,知 F(t)在 0? t? 1上连续,
f (x1,y1)? f (x0,y0) = F(1)? F(0) = F'(?),0 <? <1.
又因 F(t) = f (x0 + t?x,y0 + t?y),
从而 F'(t) = f 'x (x0 + t?x,y0 + t?y)?x
+ f 'y (x0 + t?x,y0 + t?y)?y
故 f (X1)? f (X2) = f (x1,y1)? f (x0,y0)
= F'(?)
= f 'x (x0+x,y0+y)?x+ f 'y (x0+x,y0+y)?y
= f 'x (X2) (x1? x0) + f 'y (X2) (y1? y0)
其中 0 <? <1,x2 = (x0 +x,y0 +y)
利用定理 5,易证,若 D是开区域,z = f (x,
y) 在 D内恒有 f 'x = f 'y = 0,则 f (x,y) = 常数,
只须注意 D是连通的,并逐次利用定理 5即可,
则 z 成为一元函数 z = f (x,y0),我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数,称为偏导数,
一、偏导数的定义设 z = f (X) = f (x,y) 在 X0 = (x0,y0) 的某邻域 U(X0)内有定义,固定 y = y0,在 x0
给 x 以增量?x,相应函数增量记作
),(),( 0000 yxfyxxfzx
称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量,
定义
.),(),(l i ml i m 0000
00
存在如果极限 x yxfyxxfx z
x
x
x?
则称这个极限值为 z = f (x,y) 在 (x0,y0) 处对 x 的偏导数,),,( 00 yxf x?记作即 x yxfyxxfyxf
xx?
),(),(l i m),( 0000
000
此时也称 f (x,y)在 (x0,y0) 处对 x 的偏导数存在,否则称 f (x,y)在 (x0,y0) 处对 x的偏导数不存在,
,
0
0yy xxx
z
x
yxf
x
f
yy
xx?
),( 00
0
0
或类似,若固 定 x = x0,而让 y 变,z = f (x0,y)成为 y 的一元函数,
.),(),(limlim 0000
00
存在若极限 x yxfyyxfx z
y
y
y?
则称它为 z = f (x,y) 在 (x0,y0) 处对 y 的偏导数,
y
yxf
y
f
y
zyxf y
yy
xx
yy
xxy
),(,),,( 00
00
0
0
0
0
或记作即 y yxfyyxfyxf
yy?
),(),(lim),( 0000
000
若 z = f (x,y) 在区域 D 内每一点 (x,y) 处时 x的偏导数都存在,即?(x,y)?D,
x
yxfyxxf
x?
),(),(lim
0
存在,此时,它是 x,y的二元函数,称为 z 对 x 的偏导函数,简称偏导数,
.),(,,),,( x yxfxzxzyxf xx记作类似定义 z 对 y 的偏导函数,
x
yxfyxxfyxf
xx?
),(),(l i m),(
0
即
1.由偏导数定义知,所谓 f (x,y) 对 x 的偏导数,就是将 y 看作常数,将 f (x,y) 看作一元函数来定义的,
注因此,在实际计算时,求 f 'x (x,y)时,只须将
y 看作常数,用一元函数求导公式求即可,
求 f 'y (x,y)时,只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可,
2.f 'x (x0,y0) 就是 f 'x (x,y)
在点 (x0,y0)的值,算 f 'x (x0,y0)
可用 3种方法,
f 'y (x0,y0) f 'y (x,y)
f 'y (x0,y0)
(1) 用定义算,
(2) 先算 f 'x (x,y),再算 f 'x (x0,y0) f 'y (x,y),
f 'y (x0,y0).
(3)先算 f (x,y0),再算 f 'x (x,y0)
再算 f 'x (x0,y0)
f (x0,y),
f 'y (x0,y),f 'y (x0,y0).
例 1.,)2,1(3 22 处的偏导数在求 yxyxz
解,,862,32
2
1
y
xx
zyx
x
z 从而
.743,23
2
1
y
xy
zyx
y
z 从而或 f (x,2) = x2 + 6x + 4,f 'x(x,2) = 2x + 6,
故 f 'x(1,2) = 2+ 6 = 8.
例 2.,2s in2 的偏导数求 yxz?
解,,2s i n2 yx
x
z?
22c os2 yxyz yx 2c o s2 2?
例 3.,),1,0( 求偏导数设 xxxz y
解,,1 yyxxz,ln xxyz y
偏导数的概念可推广到三元以上函数中去,
比如,设 u = f (x,y,z),
x
zyxfzyxxfu
xx?
),,(),,(lim
0
它的求法,就是将 y,z 均看作常数来求即可,
例 4.,222 的偏导数求 zyxu
解,2222
2
zyx
xu
x u
x?
2222
2
zyx
yu
y u
y?
2222
2
zyx
zu
z u
z?
由一元函数的导数的几何意义,可以得到偏导数的几何意义,设 z = f (x,y) 在点 X0=(x0,y0)
处的偏导存在,记 z0 = f (x0,y0 ),点 M0(x0,y0,z0)则二、偏导数的几何意义
f 'x (x0,y0)就是以平面 y = y0与曲面 z = f (x,y)
相截,得到截线?1,?1 上点 M0(x0,y0,z0)处切线对 x 轴的斜率,
而 f 'y (x0,y0)就是以 就是以平面 x = x0与曲面
z = f (x,y) 相截,得到截线?2,?2 上点 M0(x0,y0,z0)
处切线 对 y 轴的斜率,
,),(d d),(,
0
000
xx
x yxfxyxf
由于事实上故只须搞清一元函数 f (x,y0)的几何意义,就可得到 f 'x (x0,y0)的几何意义,
以平面 y = y0与曲面 z = f (x,y)相截,得截线
1,
z = f (x,y)
y = y0
也就是 z = f (x,y0),且 M0 (x0,y0,z0)在?1 上,
即 z = f (x,y0)表示 平面 y = y0与曲面 z = f (x,y)
的交线?1.
表示曲线从而
0
),(d d),(,000
xx
x yxfxyxf
z = f (x,y0)上点 M0处的切线对 x的斜率,如图
y
x
z
o
z = f (x,y)
X0
M0
即 f 'x (x0,y0) 表示 y = y0
与 z = f (x,y)的交线 在 M0处的切线对 x 的斜率,
T1
1,z = f (x,y0)
1
y0
y
x
z
o
z = f (x,y)M
0
X0
2
2,z = f (x0,y)
类似得 f 'y (x0,y0)的几何意义,如图即 f 'y (x0,y0) 表示 x = x0 与 z = f (x,y)的交线 在 M0处的切线对 y 的斜率,
x0
T2
在一元函数中,可导必连续,但对多元函数不适用,即,对多元函数 f (X)而言,即使它在 X0
的对各个自变量的偏导数都存在,也不能保证 f
(X)在 X0 连续,
三,偏导与连续的关系例 5,设
),( yxfz
,0,2222 时当 yxyx xy
,0,0 22 时当 yx
证明 z = f (x,y)在 (0,0)的两个偏导都存在,但它在 (0,0)不连续,
证,
前边已证 z = f (x,y)在 (0,0)的极限不存在,因此它在 (0,0)不连续,
x
fxff
xx?
)0,0()0,0(l i m)0,0(
0 x
x
x
x?
0
0
0
lim
22
0 = 0
y
fyff
yy?
)0,0()0,0(l i m)0,0(
0y
y
y
y?
0
0
0
lim
22
0 = 0
故 z = f (x,y)在 (0,0)的两个偏导都存在,但它在 (0,0)不连续,
下证 z = f (x,y)在 (0,0)的两个偏导都存在,
从几何上看,f 'x (x0,y0)存在,只保证了一元函数 f (x,y0)在 x0 连续,也即 y = y0 与 z = f (x,
y)的截线?1 在 M0= (x0,y0,z0)是连续的,
同理,f 'y (x0,y0)存在,只保证了 x = x0 与 z =
f (x,y)的截线?2 在 M0连续,
但都不能保证曲面 z = f (x,y)在 M0连续,
也就是连续这是因为所谓曲面在,0M
换句话说,当 X 从任何方向,沿任何曲线趋于 X0时,f (X)的极限都是
f (X0),
显然,上边两个条件都不能保证它成立,
).()(l i m 0
0
XfXfXX
例, ),( yxfz,),(,1 轴上时轴或不在当 yxyx
,),(,0 轴上时轴或在当 yxyx
易知,f (x,y)
在 (0,0)的两个偏导都存在,且为 0.
但它在 (0,0)不连续,
如图
y
x
z
o
§ 1－ 4 多元函数的微分一般说来,算这个改变量较麻烦,希望找计算它的近似公式,
该近似公式应满足 (1)好算,(2)有起码的精度,
在实际中,常需计算当两个自变量都改变时,二元函数 z = f (X) = f (x,y)的改变量
f (x0+?x,y0 +?y) – f (x0,y0).
一,全微分的概念类似一元函数的微分概念,引进记号和定义,
记?z = f (x0+?x,y0 +?y) – f (x0,y0).
= f ( X+?X ) – f (X0).
其中 X0 = (x0,y0),?X = (?x,?y)
称为 z = f (X) = f (x,y)在点 X0 = (x0,y0) 的全增量,
设 z = f (X) = f (x,y)在 U(x0)内有定义,
若 z = f (x,y)在点 (x0,y0) 的全增量?z = f
(x0+?x,y0 +?y) – f (x0,y0)能表成
z = a?x +b?y + 0 (||?X ||) )(0 22 yxybxa
其中 a,b是只与 x0,y0有关,而与?x,?y无关的常数,
).0
,0( )(0 2222
y
xyxyx 的高阶无穷小表示定义称 a?x +b?y 为 z= f (x,y)在点 (x0,y0)处的全微分,
则称 z = f (x,y)在点 (x0,y0)可微,
ybxazz XXXX 00 d,d 即记作
)(0 22 yxybxaz
1.按定义,z = f (x,y)在点 (x0,y0)可微?
)(0 22 yxybxaz
0)(0l i m 22
22
0
0
yx
yx
y
x
其中注
2.若 z 在点 X0 = (x0,y0)可微
,d 0 zybxaz XX 近似代替则以
.|||| 22 的高阶无穷小所产生的误差是 yxX
即?z –( a?x +b?y ) = 0 (||?X ||)
)(0 22 yx
3.若 z = f (x,y)在区域 D 内处处可微,则称 z = f (x,y)在 D 内可微,z 在 (x,y)?D 处的全微分记作 dz.
即 dz = a (x,y)?x + b (x,y)?y
它实际上是一个以 x,y,?x,?y为自变量的四元函数,
对照一元函数的微分,z = f (x),若?z = a?x +0
(?x) 则 dz = a?x = f ' (x) ·?x,自然会提出以下问题,
(1)若 z = f (x,y)在点 (x0,y0)可微,微分式 dz =
a?x +b?y中系数 a,b 如何求,是否与 z的偏导有关?
(2)在一元函数中,可微与可导是等价的,在二元函数中,可微与存在两个偏导是否也等价?
(3)在一元函数中,可微?连续,对二元函数是否也对?
设 z = f (x,y)在点 (x0,y0)可微,要证 z 在 (x0,y0)连续,
则?z = f (x0+?x,y0+?y) – f (x0,y0)
)(0 22 yxybxa
令?x? 0,?y? 0,由最后一式知,?z? 0.
0)],(),([li m 0000
0
0
yxfyyxxf
y
x
即
),(),(lim 0000
0
0
yxfyyxxf
y
x
故结论,对二元函数 z = f (x,y),
z 在 (x0,y0)可微 (不是存在两个偏导 )? z 在 (x0,y0)连续,
若 z = f (x,y)在点 X =(x,y)处可微,则 z =
f (x,y)在点 (x,y)处两个偏导,,存在yzxz
yyzxxzzd
证,因 z 在 (x,y)处可微,由定义,z 的全增量,
)(0
),(),(
22 yxybxa
yxfyyxxfz
此式对任何充分小的?x,?y 都成立,
且 z 在 (x,y)处的全微分为定理 1
|)(|0),(),( xxayxfyxxfz
特别,当?y =0时,有同除以?x (? 0),并令?x? 0,得
x
z
x?
0
lim x yxfyxxf
x?
),(),(lim
0
x
xa
x
||l i m
0
x
x
x
xa
x?
||
||
|)(|0l i m
0= a
x
za
即
.,yzb可得类似
.d,,yyzxxzzyzxz 且存在故定理 1回答了问题 1,并指出二元函数 z = f (x,y)
yyzxxzzd 且可微? 存在两个偏导,
反之不对,,,存在时这是因为当 yzxz
右端式子也可写出,yyzxxz但这时右端可能不是全微分,
220 yxyyzxxzz
即从而?z 不能写成定义中的形式,故不可微,
例 1,
00
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxfz设证明 z 在 (0,0)处的两个偏导存在,但 z 在
(0,0)不可微,
证,由偏导定义
x
fxff
xx?
)0,0()0,0(lim)0,0(
0
= 0
y
fyff
yy?
)0,0()0,0(lim)0,0(
0
= 0
])0,0()0,0([ yfxfz yx但而
z
22 yx
yx
2
3
220
022
0
0
)(
limlim
yx
yx
yx
z
y
x
y
x
0?
故 z 在 (0,0) 不可微,
若 z = f (X) = f (x,y)的两个偏导数 f 'x
(x,y),f 'y (x,y)在 X0 = (x0,y0)的某邻域 U(x0)
内存在,且它们都在 X0 = (x0,y0)连续,则 z
= f (x,y)在 (x0,y0)可微,
定理 2
因 f 'x (x,y),f 'y (x,y)在 U(x0)内存在,证,
由偏导数的定义,以及一元函数可导与连续的关系知,
对于固定的 y,以 x为自变量的一元函数 z = f (x,y) 在该邻域所对应的 x 的区间上连续,可导,
从而它们都满足拉格朗日中值定理条件 (在相应区间上 ).
以 y为自变量的一元函数 z = f (x,y)在该邻域所对应的 y 的区间上连续,可导,
对于固定的 x,
z = f (x0+?x,y0+?y) – f (x0,y0)
= [ f (x0+?x,y0+?y) – f (x0,y0+?y)]
+[ f (x0,y0+?y) – f (x0,y0)]
在上式第一括号中,将 y0+?y 固定,
则它是以 x 为 自变量的一元函数 f (x,y0+?y)
在 [x0,x0+?x]上的改变量,因 f (x,y0+?y)在 [x0,
x0+?x]上满足拉格朗日中值定理条件,从而,
取 (x0+?x,y0+?y)? U (X0)
f (x0+?x,y0+?y) – f (x0,y0+?y)
= f 'x(x0+?1?x,y0 +?y]x,其中 0<?1<1
同理 f (x0,y0+?y) – f (x0,y0) = f 'y(x0,y0 +?2?y]y,
0<?2<1
故?z = f 'x(x0+?1?x,y0 +?y]x + f 'x(x0,y0 +?2?y]y
因 f 'x (x,y),f 'y (x,y)都在 (x0,y0)连续,
),(),(lim 00010
0
0
yxfyyxxf xx
y
x
由极限与无穷小量的关系,
其中?1?0,(?x?0,?y?0时 )
有
f 'x(x0+?1?x,y0 +?y) = f 'x(x0,y0)+?1
有,f 'y(x0,y0 +?2?y) = f 'y(x0,y0)+?2
其中?2?0,(?x?0,?y?0时 )
),(),(lim 00200
0
0
yxfyyxf yy
y
x
同理因此,?z = f 'x(x0,y0)?x +f 'y(x0,y0)?y +(?1?x +?2?y)
由于?z = f 'x(x0+?1?x,y0 +?y]x + f 'x(x0,y0 +?2?y]y
f 'x(x0+?1?x,y0 +?y) = f 'x(x0,y0)+?1
易见
22
210
yx
yx
22
2
22
1 ||||
yx
y
yx
x
|?1 |+|?2 |?0,(?x?0,?y?0时 )
由全微分的定义知,z = f (x,y)在 (x0,y0)可微,
2221 0 yxyx即
)()(,)()(.1 XfzyXfxXfXJ f
称为记在点 X 处 雅可比向量 (矩阵 ),也记作?(z).
2.若 z = f (X)在区域 D 内有一阶连续偏导,
则记 f (X)?C1(D)
3.和一元函数微分一样,自变量 x,y 的微分就等于它们的改变量,即 dx =?x,dy =?y,
且记 dX = (dx,dy)
XXJyyzxxzz f d)(ddd
最后一式表数量积,
4,全微分的概念可推广到三元以上的函数中去,
且,若 u = f (x,y,z)可微,则
zzfyyfxxfu dddd
因此,全微分公式可写为例 2,求 z = x2 cos xy 的全微分,
解,
yxyxxyxz x )s i n(co s2 2
xyyxxyx s i nco s2 2
故 dz = (2xcosxy? x2ysinxy)dx? x3sinxydy
xyxyxyxz y s i n)s i n( 32
例 3.求 z = exy 在点 (2,1)处的全微分,
解,,yexz xy xeyz xy
故 dz = yexydx + xexydy
zexez yx d2dd 2212
例 4.求 u = xyz 的全微分,
解,,1 yzyz xxu,ln xzxyu yz
故 du = yzxyz–1 dx + zxyz lnxdy + yxyz lnxdy
,ln xyxzu yz
= xyz–1 (yzdx + xzlnxdy + xylnxdy)
设多元函数 f (X),g(X)在点 X 可微,则
(1) d(f (X)? g(X)) = df (X)? dg(X)
(2) d( kf (X)) = kd f (X),k为常数,
(3) d(f (X) g(X)) = g(X)d f (X) + f (X)dg(X)
(4),)( )(d)()(d)()( )(d 2 Xg XgXfXfXgXg Xf
其中,g(X)? 0.
定理 3
设 z = f (X) = f (x,y)在 X0 = (x0,y0)的某邻域 U(X0)内存在偏导数 f 'x 和 f 'y,则对任意的
X = (x,y)?U(X0),至少存在两点 X1 = (?1,?1),
X2 = (?2,?2)?U(X0),使得
),(),()()( 000 yxfyxfXfXf
))(())(( 0201 yyXfxxXf yx
证,回忆一元函数拉格朗日中值定理,
.,),)(()()( 000 之间介于 xxxxxx
二、微分中值定理定理 4
),(),( 00 yxfyxf?
)],(),([)],(),([ 0000 yxfyxfyxfyxf
由于 f 'x 和 f 'y 在 U(X0)内存在,而对于固定的 y,
f (x,y) 是以 x 为自变量的一元函数,在对应的 x
的区间上连续,可导,满足拉格朗日中值定理条件,
有 ),)(,(),(),(
010 xxyfyxfyxf x
),)(,(),(),( 020000 yyxfyxfyxf y同理,
其中,?1介于 x0,x 之间,?2 介于 y0,y 之间,
(x0,y)
X=(x,y)
X2
X0 = (x0,y0)
U(X0)
X1
记?1 = y,?2 = x0,有
),(),()()( 000 yxfyxfXfXf
),(),(),(),( 0000 yxfyxfyxfyxf
))(,())(,( 022011 yyfxxf yx
))(())(( 0201 yyXfxxXf yx
一般,若 n元函数 z = f (X)在点 X0
的某邻域 U ( X0 )内存在对各变量的偏导,则对任意的 X = (x1,x2,…,xn)∈ U (X0),存在 n 个点
),,,( 00201 nxxx
使得,,,2,1),,,,( 21 nixxxX iniii
))(()()( 0
1
0 iii
n
i
x xxXfXfXf i
设 z= f (X)= f (x,y) 在闭区域 D?R2上连续,
在开区域 D 内存在连续偏导数 f 'x 和 f 'y,
),,(
,
222
1010
X
XXDXX 上至少存在一点则在若点 X0 = (x0,y0),X1 = (x1,y1)?D,直线段
))(())((
),(),(
)()(
012012
0011
01
yyXfxxXf
yxfyxf
XfXf
yx?
X1
X2
X0
D
如图使得定理 5
证,如图,
作垂直过 10 XX
,?面的平面于 xy
它与曲面 z= f (x,y)
有蛟线?,?是平面?
上的曲线,对应的函数将满足拉格朗日中值定理条件,进而可证得结果,
x
z
y
X1
X0
o
0101,yyyxxx记
0:
00
10
z
y
yy
x
xxXX?
的方程
.10,0,,00 tzytyyxtxx或平面 (柱面 )?的方程,x = x0 + t?x,y = y0 + t?y.
的方程,x = x0 + t?x
z = f (x,y)
y = y0 + t?y
即,
z = f ( x0 + t?x,y0 + t?y)是 t的一元函数,0? t? 1.
记 F(t) = f (x0 + t?x,y0 + t?y),
由条件 f (x,
y) 在 D内有连续偏导,可得 F(t) 在 0 < t < 1 内可导,
从而满足拉格朗日中值定理条件,
又 F(1) = f (x0 +?x,y0 +?y) = f (x1,y1),F(0) = f (x0,y0),
故由条件 f (x,y) 在闭区域 D上连续,知 F(t)在 0? t? 1上连续,
f (x1,y1)? f (x0,y0) = F(1)? F(0) = F'(?),0 <? <1.
又因 F(t) = f (x0 + t?x,y0 + t?y),
从而 F'(t) = f 'x (x0 + t?x,y0 + t?y)?x
+ f 'y (x0 + t?x,y0 + t?y)?y
故 f (X1)? f (X2) = f (x1,y1)? f (x0,y0)
= F'(?)
= f 'x (x0+x,y0+y)?x+ f 'y (x0+x,y0+y)?y
= f 'x (X2) (x1? x0) + f 'y (X2) (y1? y0)
其中 0 <? <1,x2 = (x0 +x,y0 +y)
利用定理 5,易证,若 D是开区域,z = f (x,
y) 在 D内恒有 f 'x = f 'y = 0,则 f (x,y) = 常数,
只须注意 D是连通的,并逐次利用定理 5即可,
