例,非均匀分布立体的质量设有空间立体?,当?的质量是均匀分布时,
则?的质量 M=?的体密度 ×?的体积,
若?的质量不是均匀分布的,则不能上述方式算质量 M,
设空间立体?,其质量非均匀分布,体密度
(x,y,z)连续,求?的质量 M.
第二节 三重积分一、三重积分的概念及性质
(i) 将?分成 n 个小立体?1,?2,…,?n,
记?Vi 表示的?i 的体积,i = 1,2,…,n,
由于? (x,y,z)连续,从而当?i很小时,
在?i上? (x,y,z) 的变化不大,可近似看作不变,
(ii) 即,?(? i,?i,?i)? Di,以? (? i,? i,?i )作为? i
的体 密度,从而,? i的质量
mi (? i,?i,?i)?V i
(iii) 因此,?的质量?
n
i
iiii VM
1
),,(
(iv) },{m a x
1 的直径若记 ini
.),,(l i m
10
n
i
iiii VM则设R3为有界闭区域,f (x,y,z)是定义在?上的有界函数,将?任意分成 n 个无公共内点的小区域
i,(i =1,2,…,n),用?Vi表示?i的体积,并记
}.{ma x1 的直径ini,),,(,),,(
1
i
n
i
iiiiiii Vzyxfzyx
作和如果对任意的分法和任意的取法,当0时,和式
.),,(
1
IVzyxf i
n
i
iii 的极限都存在且为
则称 f (x,y,z)在
上可积,记为 f (x,y,z)?R(?),
定义 1
并称此极限值 I为 f (x,y,z)在?上的三重积分,记作
n
i
iiii Vzyxfdvzyxf
10
),,(lim),,(
其中,,称为三重积分号,?称为积分区域,f
(x,y,z)称为被积函数,dv称为体积元素,三重积分也记为
.),,( dx dy dzzyxf
,),,(
dvzyxf
即三重积分的性质与二重积分性质完全类似,
比如若 f (x,y,z)在?上连续,则 f (x,y,z)在?上可积 ; 常数因子可从积分号中提出来 ; 和的积分等于积分之和 ;积分的可加性 ;
积分的保号性 ; 积分中值定理等,;的体积
dv
1.直角坐标系 下 三重积分的计算,
类似于二重积分,三重积分可化为三个定积分计算 (三次积分 ).
设?是 R3中一母线平行于 z 轴,上,下底分别为 z = z2(x,y),z =
z1(x,y)的柱体,?在 xy
面上的投影区域记为
Dxy,如图
0 y
z
x
z2 = z2(x,y)
Dxy
b
a
z1 = z1 (x,y)
二、三重积分的计算
xyD
yxz
yxz
d x d ydzzyxfdVzyxf,),,(),,( ),(
),(
2
1
则
)),(),(( 21 yxzyxz?其中
,),()(:( 21 bxaxyyxyD xy若 为 x— 型区域 )
.),,(),( ),()( )( 2
1
2
1
yxz yxzxy xyba dzzyxfdydx
0 y
z
x
z2 = z2(x,y)
Dxyb
a
z1 = z1(x,y)
y=y1(x)
y=y2(x)
,),()(,21 dycyxxyxD xy若 即为 y— 型区域,
dVzyxf ),,(
则
.),,(),( ),()( )( 2
1
2
1
yxz yxzyx yxdc dzzyxfdxdy
应用时先画出?的草图,看 z 是从哪一曲面变到哪一曲面,确定最里层积分上,下限,然后到 Dxy上作二重口诀,从里到外,面 — 面,线 — 线,点 — 点,
积分,
注,1,当?是一柱体,但侧面的母线平行于 y 轴,
它在 xz面上的投影区域为 Dxz,则可选择先对 y 积分,然后到 Dxz上作二重积分,
2,当?是一柱体,但侧面的母线平行于 x 轴,
它在 yz面上的投影区域为 Dyz,则可选择先对 x 积分,然后到 Dyz上作二重积分,
3,当?的母线退缩成一点时,此时?不是柱体,
比如,
但作三重积分时,仍可将其当作前面情形的特殊情形来处理,
,x2 + y2 + z2?1,则 Dxy,x2 + y2?1,
xyD
yx
yx
d x d ydzzyxfdvzyxf,),,(),,(
22
22
1
1
例 1.
,0,)(
xd x d y d zzyx 是由平面其中
y = 0,z = 0 和 x+y+z =1所围成的四面体,
解,
.
x dx dy dz考虑
在 xy面上的投影区域为
Dxy,0? y?1?x,0? x?1.
沿 z 轴方向,下方曲面,z=0,
上方曲面,z = 1? x? y,
y
0
z
x
1
1
1
Dxy
x+ y=1
x+ y+z=1
yxx x d zdydxx d x d y d z 1
0
1
0
1
0
x dyyxxdx 1010 )1( dxyxx
x
1
0
21
0
)1(
2
1
dxxx 21
0
)1(21,241?
类似,
24
1
z d xd yd zyd xd yd z
8
1?原式例 2.
.
1,
22
222
所围成的区域与锥面是由平面其中计算
zxy
zyxy d x d y d z
解,若先对 z 积分,
由于沿 z 轴方向的下方曲面和上方曲面均由两片曲面组成,且
在 xy面上投影区域相对复杂,积分较繁,
改为先对 y 积分,
y0
z
x
1
22 zxy
1222 zyx
沿 y 轴方向,:,:
22 右边曲面左方曲面 zxy
.1 22 zxy 求?在 xz面上的投影区域 Dxz,
,
1
:
222
22
zyx
zxy
交线消去 y,
2
122
zx
xz
为面上的投影曲线在得故 Dxz,
,
2
2
2
22
zx
y0
z
x
1
22 zxy
221 zxy
22
22
1 zx
zx
D
y dydx dzy dx dy dz
xz
xzD
dx dzzx )(
2
1 22 )s i n,c os( rzrx令
2
2
0
22
0 2
1 r drrd
.
42
12 2 2
0
2
r drr
注意,由于先对 x,再对 y,再对 z 的积分
,),,(),,( ),(
),(
)(
)(
2
1
2
1
2
1
zyx
zyx
zy
zy
C
C
dxzyxfdydzvdzyxf
里面的两个定积分 (二次积分 )本质上就是一个二重积分,因此,在很多情形下可先做一个二重积分,再做一个定积分,称为“先二后一”的积分,
相应地称前面的方法为“先一后二”的积分,
设空间有界闭区域? 满足 C1? z? C2,并且以平行于 xy 面的平面 z = 常数 (z) 截? 所得平面区域为 Dz,
则
Vdzyxf
),,(
.),,(2
1
zD
C
C
d xd yzyxfdz
(特别,若 f (x,y,z) = g (z))
2
1
)(
C
C
D
dzd xd yzg
z
0 y
z
x
C1
C2
z Dz
例 3.
.0,,,
1,
2
2
2
2
2
2
2
大于所围成的空间区域是由椭球面其中计算
cba
c
z
b
y
a
x
d x d y d zz
解,?,?c? z? c,(x,y)?Dz,
.1,2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xD
z
zD
c
c
d xd yzdzdvz 22
zD
c
c
d xd ydzz 2
y
z
x
0
c
c Dz?
椭圆面积为?ab.
,1,2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xD
z
,1,1,2
2
2
2
c
zb
c
za半短轴分别为半长轴
,1 2
2
c
zab?面积为
dz
c
zabzc
c?
2
2
2 1?原式,
15
4 3a b c
关于利用对称性积分,设有界闭区域?的形状关于 xy面对称,且 f (x,y,?z) =? f (x,y,z),
.0),,(
dvzyxf则若 f (x,y,?z) = f (x,y,z),
,),,(2),,(
1
dvzyxfdvzyxf则其中?1是?中处于 xy面上方部分,
类似可得?关于 xz面对称,而 f (x,y,z) 关于 y
是奇,偶函数的结论,以及? 关于 yz 面对称,而
f (x,y,z) 关于 x 是奇,偶函数的结论,
(1)若? 关于平面 y=x 对称,则 f (x,y,z) 满足什么条件时,有上述两个结论?
(2)不积分,
.s i n,,3
y d vx d vdvz求其中?为单位球 x2+ y2 + z2?1.
2.三重积分换元法,
设变换 T,x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)
将?*变到?,且函数 x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,
w)?C1(?*),雅可比行列式
,0),,( ),,( wvu zyx
dvzyxf ),,(则
.
),,(
),,()),,(),,,(),,,((
*
dudv dw
wvu
zyxwvuzwvuywvuxf
定理 1
问,是否有
dvydvxdvz 222
我们知道,在定积分中,.)()()( dzzfdyyfdxxf b
a
b
a
b
a
但在二,三重积分中,这一结论一般不对,
不过,当?满足某些条件时,结论成立。
例 4.设?,x2+y2+z2?1,z? 0,?1是?中在第一
1
.4 22 dvxdvz
卦限中的部分,证明证,由对称性知
1
.4 22 dvzdvz
则
.1
001
100
010
),,(
),,(
xzy
zyx
1*,y2+z2+x2?1,y? 0,z? 0,x? 0,即?1*＝?1
故
.
11 *1
222
dvxd x d y d zxdvz
1,x2+y2+z2≦ 1,x≧ 0,y≧ 0,z≧ 0.
.
1
2 dvz
作变量代换,令 x=y,y=z,z=x.
故
.4
1
22
dvxdvz
一般,若在?的表达式中,以 y代 x,以 z代 y,以 x
代 z后,?的表达式不变 (即具有“轮换性” ),
则
.),,(),,(
dvxzyfdvzyxf
(教材 P89,第三行结论可由此证明 )
3.利用柱面坐标求三重积分,
设点 M = (x,y,z)
R3,它在 xy面上的投影点为 P=(x,y,o)
显然,任给一点 M,可唯一确定点 P和竖坐标 z,
反之,在 xy面上任给点 P和数 z,可唯一确定 M,因点
P可用其极坐标确定,故 M可由 P的极坐标 r,?以及 z唯一确定,称为柱面坐标,
z
x
yo
P=(x,y,o)
M＝ (x,y,z)
r
所以在柱面坐标中 r = 常数,则在直角坐标系中的图形为圆柱面,
点 M的直角坐标 (x,y,z)和它的柱面坐标 (r,?,z)
的关系为,x=r cos?,y=r sin?,z=z,其中 0? r <+?,
0 2? (或)<z<+?.
易见,在柱面坐标中,x2+y2=a2 化为 r=a (a>0)
y = kx 化为 tg? = k 即,? = 常数,
而? =常数,则在直角坐标系中的图形为过 z轴的平面,z=常数为平行于 xy面的平面,
设变换 T,x= rcos?,y= r sin?,z=z将柱面坐标系中的区域?*变成直角坐标系中的区域?,
易算得
,
),,(
),,( r
zr
zyx?
从而
.),s i n,c o s(),,(
*
dzr d r dzrrfdvzyxf
一般,若?是一母线平行于 z 轴的柱面,z1(x,
y)? z? z2(x,y),(x,y)? Dxy,?在 xy 面上的投影区域 Dxy 适合用极坐标处理 (如圆,曲边扇形等 ),
则可考虑用柱面坐标求三重积分,并可将其化为先对 z,再对 r,再对?的三次积分 (即先对 z积分,
然后在 Dxy上用极坐标做二重积分 ).
例 5.计算
,z dx dy dz
其中?,x2+y2+z2? 1,且 z?0.
解,?是上半球体,它在 xy面上的投影区域是单位圆 x2+y2 ≦ 1.
令 x=rcos?,y=rsin?,z=z,则平面 z = 0 和球面即 0? z?
.1 2r?
且 0? r? 1,0 2?,
10 1020
2r
r d zzdrdz d xd yd z?
.4)1(212 1
0
2 drrr
,101 222 rzzyxz 和的柱面坐标方程分别为其中?由 x2+y2=2z
及 z=2所围成,
例 6.求
,)( 22 dx dy dzyx
解,一般,若?的表达式中含有 x2+y2,则可考虑用柱面坐标积分,
令 x=rcos?,y=rsin?,z=z,
,21 2rz?
且
2
2
1r? z? 2,0? r? 2,0 2?.
,2
)(
2
1
,2 22
z
yxzz
的柱面坐标方程分别为则
x
z
y
x2+y2=2z
x2+y2=4 或 r=2
o
2
2
2
1 rz?或
2
0
2
0
2
2
1
222
2)( r r d zrdrdd x d y d zyx
drrr )212(2 22
0
3
3
16)
12
1
2
12
2
0
64?
drrr
注,常用的二次曲面有,球面,椭球面,柱面,a(x2+y2)=z(旋转抛物面 ),ax2+by2=z(椭圆抛物面 ),a2(x2+y2)=z2(圆锥面 ).
为确定 OM的方向,记? 为 OM在 xy面上的投影与 x轴正向的夹角 (与柱面坐标中? 相同 ),
4,利用球面坐标计算三重积分,
为 OM与 z轴正向夹角,
而 OM又是由其长度和其方向唯一确定,
记 ||OM||=?,
R3中的点 M =(x,y,
z)与向量 OM一一对应,
则当 OM的方向确定时,?,? 唯一确定,反之亦然,故 M与数组 (?,?,?)一一对应,
z
x
y
o
P=(x,y,o)
M＝ (x,y,z)
r
称 (?,?,?)为点 M的球面坐标,
规定 0 < +?,0,
02? (或 )
由图知,直角坐标与球面坐标的关系为 x=rcos?=
sin? cos?,
y= rsin? =? sin? sin?,
z=?cos?.
用球面坐标,可将 x2+y2+z2=a2化为?=a(a>0)，
将圆锥面 a(x2+y2)= z2化为?=常数,
将 y=kx化为? =常数,
即?=常数,?=常数?=常数分别表球面,圆锥面,过
z轴的半平面,
z
x
y
o
P=(x,y,o)
M＝ (x,y,z)
r
若变换 T,x=rsin?cos?,y=rsin?sin?,z=rcos?将?*
变到?,易算得
,s i n,,
,,2?
rr
zyx?
从而
dvzyxf ),,(
右端一般化为先对 r,再对?,再对? 的三次积分,
注,本教材用字母 r表示?.即 x=rsin?cos?,y=r
sin?sin?,z= rcso?.(此处 r与柱面坐标中的 r意义不同 ).
.s i n)c os,s i ns i n,c oss i n(
*
2 ddr drrrrf
确定 r,?,?的变化范围的方法 (与用极坐标算二重积分类似 )
(1) 若?由两曲面围成,其球面坐标方程为 r=r1(?,?),
r=r2(?,?),以原点为起点作向量穿过?,先遇到的曲面为 r=r1(?,?),后遇到的曲面为 r=r2(?,
),则 r1(?,?)? r?r2(?,?).?,? 的变化范围要由其几何意义视具体情况确定,
(2)若原点在?的边界上,以原点为起点所作的穿过?的向量只遇到一片曲面,其球面坐标方程为 r = r (?,?),
(3)若?包含原点,围成?的曲面方程为 r = r (?,?),
则 0? r?r(?,?),0,02?.
,? 的变化范围可根据它们的几何意义,视具体情况确定,
则 0? r? r(?,?),
例 7.求由半径 R的球面 x2+y2+z2?2Rz=0和半顶角为?的圆锥面 ctg2(x2+y2)=z2围成的立体?的体积 V,其中?位于圆锥面上方,球面下方,
解,的体积 V,用球面坐标求这个三重积分,
dv
令 x=rsin?cos?,y=rsin?sin?,
z= rcos?,则
,s i n,,
,,2?
r
r
zyx?
0
y
z
x
x2+y2+z2?2Rz=0的球面坐标方程为 r2?2Rrcos? =0,
即,r=2Rcos?,
ctg2(x2+y2)=z2的球面方程为
ctg2(r2sin2?cos2?+ r2sin2?sin2?)
=r2cos2?,
即,? =?.
由前面的 (2)及?的形状知,0?r?2Rcos?,0,
因?在 xy面投影区域为圆,故 02?..
0 y
z
x
的体积
c os2
0
2
0
2
0
s i nR drrdddvV
dr
R
0
c o s2
0
3
3
1s i n2
dR
0
33 c o ss i n
3
16
0 33 c o sc o s316 dR
)c o s1(34 43 R
一般,若?的表达式中含 x2+y2+z2,则可考虑用球面坐标,
例 8.计算
由两个半球面,)( 22 d x d y d zyxI
.0
)0(,222222
围成平面及
z
bayxazyxbz
解,?的表达式中含 x2+y2+z2,
可用球面坐标求积分,
令 x = r sin? cos?,
y=rsin?sin?,z=rcos?.
则
,s i n,,
,,2?
rr
zyx?
且两球面方程分别为 r=b和 r=a,(a<b).
0 a
r=a
z
y
x
b
r=b
0 a
r=a
z
y
x
b
r=b
由上面的 (1)及?的形状知,a?r?b,0,02?.
dvyxI )( 22
20 20 222 s i ns i nba drrrdd
ba drrd 420 3s i n2
co s)co s1()(52 2
0
255 dab
)(154 55 ab
2
例 9.求椭圆球体?,的体积 V,a,b,c,大于 0.
12
2
2
2
2
2
czbyax
解,
,dvV
令
.s i ns i n,c o ss i n rbyrax
,c o s rz (广义球面坐标 )
可得
.s i n),,( ),,( 2 abc rzyx
椭圆球面方程为 r=1
且 0? r?1,0,02?..
y
x
z
0
10 2020 s i n dra b c rddV体积
10 20 s i n2 drrdabc
abc?34?
一般,(1)若?的表达式中含 x2+y2,可考虑用柱面坐标积分,
比如,球面与圆柱面,球面与旋转抛物面,但不绝对,
(2)若?的表达式中含 x2+y2+z2,可考虑用球面坐标,
比如,球面与圆锥面,但不绝对,
例 10.设 f (u)可导,且 f (0) = 0,求
.0,:
,)(
1
lim
2222
222
40
ttzyx
d x d y d zzyxf
tt
其中
解,这是一个极限问题,分母趋于 0,另外,当?
(球 )的半径 t?0时,分子也是趋于 0的,因此它是一个型的极限问题,可用罗必塔法则求,
”,00
注意到分子是一个三重积分,在一定的条件下可化为三个是积分之积,故先化三重积分,
.:,)( 2222222 tzyxd x d y d zzyxf
,c os,s i ns i n,c oss i n rzryrx令
,s i n),,( ),,( 2 rr zyx则,20,0,0 tr且
t drrrfddd x d y d zzyxf
0
2
0
2
0
222 s i n)()(
t drrrfd 0 20 )(s i n2
t drrrf0 2)(4?
故 原式 =
tt drrrft 0 240 )(41lim
(罗彼塔法则 )
3
2
0
)(lim
t
tft
t?
t
tf
t
)(lim
0?
(注意 f (0) = 0)
t
ftf
t
)0()(lim
0
)0(f
例 11.设 f (u) 连续,证明
1
1
2,)()1()( dukufud x d y d zczbyaxf?
.0,,,,1,222222 大于其中 cbacbakzyx
证,).(1 czbyax
ku令 ),,,(
1 cba
kn?
记
.,),,( XnuzyxX T则即以平面 ax+by+cz = 0的单位法向量 作 u轴,
以平面 ax+by+cz = 0上两个互相垂直的单位向量分别作 v轴和 w轴,对 xyz坐标系作正交变换,
n?
),,,(1,,,21 cbaknXnwXnvXnu 其中令
),,,(),,,( 22221111 cbancban
.1||||||||||||.,,212121 nnnnnnnnn且
1:*
1:
222
222
wvu
zyx 在上述正交变换下变为则
).(1
),,(
),,(
),,(
),,( 对值正交矩阵的行列式的绝?
1
zyx
wvu
wvu
zyx
),1:*(
.)()(
222
*
用“先二后一”法积分其中
wvu
du dv dwkufdx d y dzczbyaxf
)1):()( 22221
1
uwvDd v d wdukuf u
D u
其中
1 1 2 )1)(( duukuf?
1 1 2 )1()( duufkuf?
则?的质量 M=?的体密度 ×?的体积,
若?的质量不是均匀分布的,则不能上述方式算质量 M,
设空间立体?,其质量非均匀分布,体密度
(x,y,z)连续,求?的质量 M.
第二节 三重积分一、三重积分的概念及性质
(i) 将?分成 n 个小立体?1,?2,…,?n,
记?Vi 表示的?i 的体积,i = 1,2,…,n,
由于? (x,y,z)连续,从而当?i很小时,
在?i上? (x,y,z) 的变化不大,可近似看作不变,
(ii) 即,?(? i,?i,?i)? Di,以? (? i,? i,?i )作为? i
的体 密度,从而,? i的质量
mi (? i,?i,?i)?V i
(iii) 因此,?的质量?
n
i
iiii VM
1
),,(
(iv) },{m a x
1 的直径若记 ini
.),,(l i m
10
n
i
iiii VM则设R3为有界闭区域,f (x,y,z)是定义在?上的有界函数,将?任意分成 n 个无公共内点的小区域
i,(i =1,2,…,n),用?Vi表示?i的体积,并记
}.{ma x1 的直径ini,),,(,),,(
1
i
n
i
iiiiiii Vzyxfzyx
作和如果对任意的分法和任意的取法,当0时,和式
.),,(
1
IVzyxf i
n
i
iii 的极限都存在且为
则称 f (x,y,z)在
上可积,记为 f (x,y,z)?R(?),
定义 1
并称此极限值 I为 f (x,y,z)在?上的三重积分,记作
n
i
iiii Vzyxfdvzyxf
10
),,(lim),,(
其中,,称为三重积分号,?称为积分区域,f
(x,y,z)称为被积函数,dv称为体积元素,三重积分也记为
.),,( dx dy dzzyxf
,),,(
dvzyxf
即三重积分的性质与二重积分性质完全类似,
比如若 f (x,y,z)在?上连续,则 f (x,y,z)在?上可积 ; 常数因子可从积分号中提出来 ; 和的积分等于积分之和 ;积分的可加性 ;
积分的保号性 ; 积分中值定理等,;的体积
dv
1.直角坐标系 下 三重积分的计算,
类似于二重积分,三重积分可化为三个定积分计算 (三次积分 ).
设?是 R3中一母线平行于 z 轴,上,下底分别为 z = z2(x,y),z =
z1(x,y)的柱体,?在 xy
面上的投影区域记为
Dxy,如图
0 y
z
x
z2 = z2(x,y)
Dxy
b
a
z1 = z1 (x,y)
二、三重积分的计算
xyD
yxz
yxz
d x d ydzzyxfdVzyxf,),,(),,( ),(
),(
2
1
则
)),(),(( 21 yxzyxz?其中
,),()(:( 21 bxaxyyxyD xy若 为 x— 型区域 )
.),,(),( ),()( )( 2
1
2
1
yxz yxzxy xyba dzzyxfdydx
0 y
z
x
z2 = z2(x,y)
Dxyb
a
z1 = z1(x,y)
y=y1(x)
y=y2(x)
,),()(,21 dycyxxyxD xy若 即为 y— 型区域,
dVzyxf ),,(
则
.),,(),( ),()( )( 2
1
2
1
yxz yxzyx yxdc dzzyxfdxdy
应用时先画出?的草图,看 z 是从哪一曲面变到哪一曲面,确定最里层积分上,下限,然后到 Dxy上作二重口诀,从里到外,面 — 面,线 — 线,点 — 点,
积分,
注,1,当?是一柱体,但侧面的母线平行于 y 轴,
它在 xz面上的投影区域为 Dxz,则可选择先对 y 积分,然后到 Dxz上作二重积分,
2,当?是一柱体,但侧面的母线平行于 x 轴,
它在 yz面上的投影区域为 Dyz,则可选择先对 x 积分,然后到 Dyz上作二重积分,
3,当?的母线退缩成一点时,此时?不是柱体,
比如,
但作三重积分时,仍可将其当作前面情形的特殊情形来处理,
,x2 + y2 + z2?1,则 Dxy,x2 + y2?1,
xyD
yx
yx
d x d ydzzyxfdvzyxf,),,(),,(
22
22
1
1
例 1.
,0,)(
xd x d y d zzyx 是由平面其中
y = 0,z = 0 和 x+y+z =1所围成的四面体,
解,
.
x dx dy dz考虑
在 xy面上的投影区域为
Dxy,0? y?1?x,0? x?1.
沿 z 轴方向,下方曲面,z=0,
上方曲面,z = 1? x? y,
y
0
z
x
1
1
1
Dxy
x+ y=1
x+ y+z=1
yxx x d zdydxx d x d y d z 1
0
1
0
1
0
x dyyxxdx 1010 )1( dxyxx
x
1
0
21
0
)1(
2
1
dxxx 21
0
)1(21,241?
类似,
24
1
z d xd yd zyd xd yd z
8
1?原式例 2.
.
1,
22
222
所围成的区域与锥面是由平面其中计算
zxy
zyxy d x d y d z
解,若先对 z 积分,
由于沿 z 轴方向的下方曲面和上方曲面均由两片曲面组成,且
在 xy面上投影区域相对复杂,积分较繁,
改为先对 y 积分,
y0
z
x
1
22 zxy
1222 zyx
沿 y 轴方向,:,:
22 右边曲面左方曲面 zxy
.1 22 zxy 求?在 xz面上的投影区域 Dxz,
,
1
:
222
22
zyx
zxy
交线消去 y,
2
122
zx
xz
为面上的投影曲线在得故 Dxz,
,
2
2
2
22
zx
y0
z
x
1
22 zxy
221 zxy
22
22
1 zx
zx
D
y dydx dzy dx dy dz
xz
xzD
dx dzzx )(
2
1 22 )s i n,c os( rzrx令
2
2
0
22
0 2
1 r drrd
.
42
12 2 2
0
2
r drr
注意,由于先对 x,再对 y,再对 z 的积分
,),,(),,( ),(
),(
)(
)(
2
1
2
1
2
1
zyx
zyx
zy
zy
C
C
dxzyxfdydzvdzyxf
里面的两个定积分 (二次积分 )本质上就是一个二重积分,因此,在很多情形下可先做一个二重积分,再做一个定积分,称为“先二后一”的积分,
相应地称前面的方法为“先一后二”的积分,
设空间有界闭区域? 满足 C1? z? C2,并且以平行于 xy 面的平面 z = 常数 (z) 截? 所得平面区域为 Dz,
则
Vdzyxf
),,(
.),,(2
1
zD
C
C
d xd yzyxfdz
(特别,若 f (x,y,z) = g (z))
2
1
)(
C
C
D
dzd xd yzg
z
0 y
z
x
C1
C2
z Dz
例 3.
.0,,,
1,
2
2
2
2
2
2
2
大于所围成的空间区域是由椭球面其中计算
cba
c
z
b
y
a
x
d x d y d zz
解,?,?c? z? c,(x,y)?Dz,
.1,2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xD
z
zD
c
c
d xd yzdzdvz 22
zD
c
c
d xd ydzz 2
y
z
x
0
c
c Dz?
椭圆面积为?ab.
,1,2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xD
z
,1,1,2
2
2
2
c
zb
c
za半短轴分别为半长轴
,1 2
2
c
zab?面积为
dz
c
zabzc
c?
2
2
2 1?原式,
15
4 3a b c
关于利用对称性积分,设有界闭区域?的形状关于 xy面对称,且 f (x,y,?z) =? f (x,y,z),
.0),,(
dvzyxf则若 f (x,y,?z) = f (x,y,z),
,),,(2),,(
1
dvzyxfdvzyxf则其中?1是?中处于 xy面上方部分,
类似可得?关于 xz面对称,而 f (x,y,z) 关于 y
是奇,偶函数的结论,以及? 关于 yz 面对称,而
f (x,y,z) 关于 x 是奇,偶函数的结论,
(1)若? 关于平面 y=x 对称,则 f (x,y,z) 满足什么条件时,有上述两个结论?
(2)不积分,
.s i n,,3
y d vx d vdvz求其中?为单位球 x2+ y2 + z2?1.
2.三重积分换元法,
设变换 T,x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)
将?*变到?,且函数 x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,
w)?C1(?*),雅可比行列式
,0),,( ),,( wvu zyx
dvzyxf ),,(则
.
),,(
),,()),,(),,,(),,,((
*
dudv dw
wvu
zyxwvuzwvuywvuxf
定理 1
问,是否有
dvydvxdvz 222
我们知道,在定积分中,.)()()( dzzfdyyfdxxf b
a
b
a
b
a
但在二,三重积分中,这一结论一般不对,
不过,当?满足某些条件时,结论成立。
例 4.设?,x2+y2+z2?1,z? 0,?1是?中在第一
1
.4 22 dvxdvz
卦限中的部分,证明证,由对称性知
1
.4 22 dvzdvz
则
.1
001
100
010
),,(
),,(
xzy
zyx
1*,y2+z2+x2?1,y? 0,z? 0,x? 0,即?1*＝?1
故
.
11 *1
222
dvxd x d y d zxdvz
1,x2+y2+z2≦ 1,x≧ 0,y≧ 0,z≧ 0.
.
1
2 dvz
作变量代换,令 x=y,y=z,z=x.
故
.4
1
22
dvxdvz
一般,若在?的表达式中,以 y代 x,以 z代 y,以 x
代 z后,?的表达式不变 (即具有“轮换性” ),
则
.),,(),,(
dvxzyfdvzyxf
(教材 P89,第三行结论可由此证明 )
3.利用柱面坐标求三重积分,
设点 M = (x,y,z)
R3,它在 xy面上的投影点为 P=(x,y,o)
显然,任给一点 M,可唯一确定点 P和竖坐标 z,
反之,在 xy面上任给点 P和数 z,可唯一确定 M,因点
P可用其极坐标确定,故 M可由 P的极坐标 r,?以及 z唯一确定,称为柱面坐标,
z
x
yo
P=(x,y,o)
M＝ (x,y,z)
r
所以在柱面坐标中 r = 常数,则在直角坐标系中的图形为圆柱面,
点 M的直角坐标 (x,y,z)和它的柱面坐标 (r,?,z)
的关系为,x=r cos?,y=r sin?,z=z,其中 0? r <+?,
0 2? (或)<z<+?.
易见,在柱面坐标中,x2+y2=a2 化为 r=a (a>0)
y = kx 化为 tg? = k 即,? = 常数,
而? =常数,则在直角坐标系中的图形为过 z轴的平面,z=常数为平行于 xy面的平面,
设变换 T,x= rcos?,y= r sin?,z=z将柱面坐标系中的区域?*变成直角坐标系中的区域?,
易算得
,
),,(
),,( r
zr
zyx?
从而
.),s i n,c o s(),,(
*
dzr d r dzrrfdvzyxf
一般,若?是一母线平行于 z 轴的柱面,z1(x,
y)? z? z2(x,y),(x,y)? Dxy,?在 xy 面上的投影区域 Dxy 适合用极坐标处理 (如圆,曲边扇形等 ),
则可考虑用柱面坐标求三重积分,并可将其化为先对 z,再对 r,再对?的三次积分 (即先对 z积分,
然后在 Dxy上用极坐标做二重积分 ).
例 5.计算
,z dx dy dz
其中?,x2+y2+z2? 1,且 z?0.
解,?是上半球体,它在 xy面上的投影区域是单位圆 x2+y2 ≦ 1.
令 x=rcos?,y=rsin?,z=z,则平面 z = 0 和球面即 0? z?
.1 2r?
且 0? r? 1,0 2?,
10 1020
2r
r d zzdrdz d xd yd z?
.4)1(212 1
0
2 drrr
,101 222 rzzyxz 和的柱面坐标方程分别为其中?由 x2+y2=2z
及 z=2所围成,
例 6.求
,)( 22 dx dy dzyx
解,一般,若?的表达式中含有 x2+y2,则可考虑用柱面坐标积分,
令 x=rcos?,y=rsin?,z=z,
,21 2rz?
且
2
2
1r? z? 2,0? r? 2,0 2?.
,2
)(
2
1
,2 22
z
yxzz
的柱面坐标方程分别为则
x
z
y
x2+y2=2z
x2+y2=4 或 r=2
o
2
2
2
1 rz?或
2
0
2
0
2
2
1
222
2)( r r d zrdrdd x d y d zyx
drrr )212(2 22
0
3
3
16)
12
1
2
12
2
0
64?
drrr
注,常用的二次曲面有,球面,椭球面,柱面,a(x2+y2)=z(旋转抛物面 ),ax2+by2=z(椭圆抛物面 ),a2(x2+y2)=z2(圆锥面 ).
为确定 OM的方向,记? 为 OM在 xy面上的投影与 x轴正向的夹角 (与柱面坐标中? 相同 ),
4,利用球面坐标计算三重积分,
为 OM与 z轴正向夹角,
而 OM又是由其长度和其方向唯一确定,
记 ||OM||=?,
R3中的点 M =(x,y,
z)与向量 OM一一对应,
则当 OM的方向确定时,?,? 唯一确定,反之亦然,故 M与数组 (?,?,?)一一对应,
z
x
y
o
P=(x,y,o)
M＝ (x,y,z)
r
称 (?,?,?)为点 M的球面坐标,
规定 0 < +?,0,
02? (或 )
由图知,直角坐标与球面坐标的关系为 x=rcos?=
sin? cos?,
y= rsin? =? sin? sin?,
z=?cos?.
用球面坐标,可将 x2+y2+z2=a2化为?=a(a>0)，
将圆锥面 a(x2+y2)= z2化为?=常数,
将 y=kx化为? =常数,
即?=常数,?=常数?=常数分别表球面,圆锥面,过
z轴的半平面,
z
x
y
o
P=(x,y,o)
M＝ (x,y,z)
r
若变换 T,x=rsin?cos?,y=rsin?sin?,z=rcos?将?*
变到?,易算得
,s i n,,
,,2?
rr
zyx?
从而
dvzyxf ),,(
右端一般化为先对 r,再对?,再对? 的三次积分,
注,本教材用字母 r表示?.即 x=rsin?cos?,y=r
sin?sin?,z= rcso?.(此处 r与柱面坐标中的 r意义不同 ).
.s i n)c os,s i ns i n,c oss i n(
*
2 ddr drrrrf
确定 r,?,?的变化范围的方法 (与用极坐标算二重积分类似 )
(1) 若?由两曲面围成,其球面坐标方程为 r=r1(?,?),
r=r2(?,?),以原点为起点作向量穿过?,先遇到的曲面为 r=r1(?,?),后遇到的曲面为 r=r2(?,
),则 r1(?,?)? r?r2(?,?).?,? 的变化范围要由其几何意义视具体情况确定,
(2)若原点在?的边界上,以原点为起点所作的穿过?的向量只遇到一片曲面,其球面坐标方程为 r = r (?,?),
(3)若?包含原点,围成?的曲面方程为 r = r (?,?),
则 0? r?r(?,?),0,02?.
,? 的变化范围可根据它们的几何意义,视具体情况确定,
则 0? r? r(?,?),
例 7.求由半径 R的球面 x2+y2+z2?2Rz=0和半顶角为?的圆锥面 ctg2(x2+y2)=z2围成的立体?的体积 V,其中?位于圆锥面上方,球面下方,
解,的体积 V,用球面坐标求这个三重积分,
dv
令 x=rsin?cos?,y=rsin?sin?,
z= rcos?,则
,s i n,,
,,2?
r
r
zyx?
0
y
z
x
x2+y2+z2?2Rz=0的球面坐标方程为 r2?2Rrcos? =0,
即,r=2Rcos?,
ctg2(x2+y2)=z2的球面方程为
ctg2(r2sin2?cos2?+ r2sin2?sin2?)
=r2cos2?,
即,? =?.
由前面的 (2)及?的形状知,0?r?2Rcos?,0,
因?在 xy面投影区域为圆,故 02?..
0 y
z
x
的体积
c os2
0
2
0
2
0
s i nR drrdddvV
dr
R
0
c o s2
0
3
3
1s i n2
dR
0
33 c o ss i n
3
16
0 33 c o sc o s316 dR
)c o s1(34 43 R
一般,若?的表达式中含 x2+y2+z2,则可考虑用球面坐标,
例 8.计算
由两个半球面,)( 22 d x d y d zyxI
.0
)0(,222222
围成平面及
z
bayxazyxbz
解,?的表达式中含 x2+y2+z2,
可用球面坐标求积分,
令 x = r sin? cos?,
y=rsin?sin?,z=rcos?.
则
,s i n,,
,,2?
rr
zyx?
且两球面方程分别为 r=b和 r=a,(a<b).
0 a
r=a
z
y
x
b
r=b
0 a
r=a
z
y
x
b
r=b
由上面的 (1)及?的形状知,a?r?b,0,02?.
dvyxI )( 22
20 20 222 s i ns i nba drrrdd
ba drrd 420 3s i n2
co s)co s1()(52 2
0
255 dab
)(154 55 ab
2
例 9.求椭圆球体?,的体积 V,a,b,c,大于 0.
12
2
2
2
2
2
czbyax
解,
,dvV
令
.s i ns i n,c o ss i n rbyrax
,c o s rz (广义球面坐标 )
可得
.s i n),,( ),,( 2 abc rzyx
椭圆球面方程为 r=1
且 0? r?1,0,02?..
y
x
z
0
10 2020 s i n dra b c rddV体积
10 20 s i n2 drrdabc
abc?34?
一般,(1)若?的表达式中含 x2+y2,可考虑用柱面坐标积分,
比如,球面与圆柱面,球面与旋转抛物面,但不绝对,
(2)若?的表达式中含 x2+y2+z2,可考虑用球面坐标,
比如,球面与圆锥面,但不绝对,
例 10.设 f (u)可导,且 f (0) = 0,求
.0,:
,)(
1
lim
2222
222
40
ttzyx
d x d y d zzyxf
tt
其中
解,这是一个极限问题,分母趋于 0,另外,当?
(球 )的半径 t?0时,分子也是趋于 0的,因此它是一个型的极限问题,可用罗必塔法则求,
”,00
注意到分子是一个三重积分,在一定的条件下可化为三个是积分之积,故先化三重积分,
.:,)( 2222222 tzyxd x d y d zzyxf
,c os,s i ns i n,c oss i n rzryrx令
,s i n),,( ),,( 2 rr zyx则,20,0,0 tr且
t drrrfddd x d y d zzyxf
0
2
0
2
0
222 s i n)()(
t drrrfd 0 20 )(s i n2
t drrrf0 2)(4?
故 原式 =
tt drrrft 0 240 )(41lim
(罗彼塔法则 )
3
2
0
)(lim
t
tft
t?
t
tf
t
)(lim
0?
(注意 f (0) = 0)
t
ftf
t
)0()(lim
0
)0(f
例 11.设 f (u) 连续,证明
1
1
2,)()1()( dukufud x d y d zczbyaxf?
.0,,,,1,222222 大于其中 cbacbakzyx
证,).(1 czbyax
ku令 ),,,(
1 cba
kn?
记
.,),,( XnuzyxX T则即以平面 ax+by+cz = 0的单位法向量 作 u轴,
以平面 ax+by+cz = 0上两个互相垂直的单位向量分别作 v轴和 w轴,对 xyz坐标系作正交变换,
n?
),,,(1,,,21 cbaknXnwXnvXnu 其中令
),,,(),,,( 22221111 cbancban
.1||||||||||||.,,212121 nnnnnnnnn且
1:*
1:
222
222
wvu
zyx 在上述正交变换下变为则
).(1
),,(
),,(
),,(
),,( 对值正交矩阵的行列式的绝?
1
zyx
wvu
wvu
zyx
),1:*(
.)()(
222
*
用“先二后一”法积分其中
wvu
du dv dwkufdx d y dzczbyaxf
)1):()( 22221
1
uwvDd v d wdukuf u
D u
其中
1 1 2 )1)(( duukuf?
1 1 2 )1()( duufkuf?
