第四章 谐振、互感及三相交流电路本章主要内容,
1)谐振电路分析 ;
2)互感耦和电路分析 ;
3)对称正弦三相电路分析 ;
4)不对称三相电路概念 ;
5)三相电路的功率及测量方法,
谐振现象 是交流电路中的一种特殊现象,当电源频率和电路参数满足一定条件时,会产生谐振 。 对谐振现象的研究在电力系统,信号处理,无线通信等领域有着重要意义 。
4.1 电路的谐振现象分析串联谐振
Z=R （ 入端阻抗为纯电阻 ）
当 1
L c
即 1
LC
U L
.
U C
.
U R
.
I
.
外加电压全部降在电阻上，
U R I?gg RUU?gg此时,
端口电压与端口电流同相。
电路外施正弦电压 U,角频率?
11 ()Z R j L j R j L
CC
1） RLC串联谐振 R
L
C
U L
.
U C
.
U R
.
U
.
U L
.
U C
.
U R
.
I
.
0
1
LC
0
UI
R
记 —— 电路谐振频率谐振时 Z=R,阻抗最小，
谐振电流最大 。
电感电压与电容电压幅值相同,
0
0
1
L cU j I jL C IU
g g g g
相位差 180°（反相）。
R
L
C
U L
.
U C
.
U R
.
U
.
0
0
1 LL
CC
2） 串联谐振品质因素谐振时，电抗和容抗称为谐振电路 特性阻抗
0
0
1LQ
R R R C
串联谐振电路品质因数 为特性阻抗与电阻之比
00 cL
RR
L LI UUQ
R R I U U
也可以写为电阻电压与电感电压之比串联谐振时，电容与电感储能随时间周期性交换，总能量不变。
3） 当 R=0时,串联谐振电路 Z=0，
jL?
1
jC?
等于短路情况。
,LRR U Q U UUU Q gg
oLQ
R
电路谐振时电感电压是 Q倍外加电压,当在电感（电容）上会产生比外加 电压大得多的电压。
电压谐振 。这一特点在无线通信中获广泛应用。串联谐振又称为很大时，
问：当 C为多大时发生串联谐振,并求谐振时电容电压,品质因数 Q。
52 2 5 1 0,( ) s i n,Vu t t
21 0 0 4 1 0R L H
例：已知
，
50 2,5 1 0
0
1
LC
10
2
0
1 4 1 0CF
L
解：
由 得
0 1 0 0,L
R
特性阻抗 100cU Q U V
R
L
C
U C
.
U
.
1ΩR? 10000
cUV
讨论,当 时
11()Y j C
RL
并联谐振
1） RLC并联谐振：
入端导纳：
1 c
L
1Y
R?
0
1
LC
当 时,最小，
谐振频率：
外加电流全流过 R。
0
0
1 1 1[ ( ) ]
RU j c U IR L R
g g g
R LcI I I I
g g g g
R L C
I R
.
I L
.
I C
.
I
.
U
.
I C
.
I L
.
I R
.
U
.
0
0
1( ) ( )
L CI U j C U IjL
g g g g
电感电流与电容电流幅值相同，相位差 180°
谐振时电阻电流与电感电流之比 。
0 0
1
1 1
1
L
R
L
R
U
U
R
L I C
QR
IL
2）并联谐振品质因数
0
RQ
L
当 很大时，电感中会产生比外加电流大得多的电流值。
并联谐振又称为电流谐振。
相当于开路情况 。
R
3）当 （移去电阻），
并联谐振时 Y=0,Z=,L C
讨论,串联谐振与并联谐振的区别与特点？
实际应用时,为把一信号源通过谐振方法捡出,应根据信号源特性采用串联或并联谐振 。
0 L
S
L UQ
RU
串对于电压源：采用串联谐振方法。
减小电阻或增大电感可使 UL变大。电压放大。
0
L
S
IRQ
LI并对于电流源：采用并联谐振方法 。
增大电阻或减小电感可使 IL变大。电流放大。
4）一般电路谐振分析
L
C
R
Y
a
b
22
2 2 2 2
1
()
( )
( ) ( )
λ
Y j c
R j L
R j L
jc
RL
RL
jc
R L R L
2
022
1
()
LLCR
LCRL
谐振特征,阻抗或导纳虚部为零
2L R
C?
LR
C?
当 即 时，电路始终无谐振。
2
1
2
1
()
1ab
jL
jc
Z j L
j L j
c
4）电路串联谐振及滤波概念
R L 1
L 2
C
a
b
U R
,c
U a b
.
U c b
.
21
2
11L
c LC
当时,电路并联谐振
abZ
2
1
2
/
1
LcL
L
c
2
12
1 1 1()
L L C
当 即
,电路串联谐振。
0abZ?
31 322 s i n 1 0 2 s i n 2 1( 0) Ut UtU s t
410CF
12,LL
例：
，欲通过串并联谐振使二个电压分量在电路上分离，求 之值。 R L 1
L 2
C
a
b
c
()Us t
频率的电流。
31 10
cbZ
2
2 2
1 10LH
c
1?
解：选择 使得在时，电路发生并联谐振，即此时电路中无
2L
目的,电阻 R上无
1?
频率的电压分量。
R L 1
L 2
C
a
b
U R
,c
U a b
.
32 2 1 0
0abZ?
1
22
22
2
1 1/
1 03
LCL
L
H
C
使 时，
电路发生串联谐振，
得：
混频信号可分别捡出。
32( ) 2 s i n 2 1 0,RU t U t
31( ) 2 s i n 1 0abU t U t?
可得,
2?
此时 a-b 端无 电压分量。目的,
R L 1
L 2
C
a
b
U R
,c
U a b
.
混频信号
()Uj?g
()
()
1
()
Uj
Ij
R j L
C
g
g
5）谐振电路与信号选择分析设有一系列等幅不同频率的电压加在 RLC串联电路上，响应电流
R
L
C
U
,I
.
电流幅值为：
22
()
1
()
U
I
RL
c
最大。
0
1
LC
0() UI R
当 时（串联谐振），
图中曲线反映了电流与频率的关系。品质因数 Q变大时，曲线越尖锐，电路对信号的选择性越好。
220 2200
0
22 0
0
( ) 1
() 1
() 1 ( ) ( )
1
1 ( )
IR
I L
RL
c R
Q
不同频率的电流分量与谐振电流之比
0
0
()
()
I
I
Q 1
Q 2
（假设信号从 R上取出，则 I（ ） 正比于电阻电压，反映了不同频率信号与谐振接收信号的比值关系。）
0 22 0
0
( ) 1
()
1 ( )
I
I
Q
10Q?
100Q?
1Q?
0? 1?
0
()
()
I
I
电流与频率的关系
0?
0
2
2II?
电路的通频带是指偏离的频率范围。
使
0
0
()
()
I
I
1
2
2
1? 2?0 22 0
0
( ) 1
()
1(
1
) 2
I
I
Q
通频带的计算,
220
0
( ) 1Q 0
0
( ) 1Q 2
00
( ) 0QQm
2
0
1 1 4
2
Q
Q
2
0
1 1 4
2
Q
Q
2
0
1 1 4
2
Q
Q
2
2
0
0
1 4 1
2
1 4 1
2
Q
Q
Q
Q
讨论：为保证一定频带宽度，同时又有较好的选择性
（接收灵敏度），则需提高工作频率。提高品质因数。
00,Δ fBf
QQ
通频带
0
21Δ
ωωω
Q
记为
*调幅方式,
载波信号调制信号
*调频方式,
载波信号调制信号
*串联谐振电路的频率响应特性
R
L
C
U
,I
.
11( ) ( )Z j R j L j R j L
CC
串联谐振电路的阻抗,
1) 阻抗模与频率关系
22 1( ) ( )z R L
C
2) 阻抗角与频率关系
1
1
()
L
Ctg
R
1 0,2 5 0R L H
例：某一电台信号频率 f=990KHz,幅值 U=100mV,欲通过 RLC
串联谐振进行接收，,问：应调节电容 C
为多大？电路品质因数 Q为多少？若接收信号附近有 950KHz，
100mV 夹杂信号，试分析对接收的影响。
R L
CU
.
22
0
11
( 2 )
C
L L f
0 155LQ
R
31 0 0 1 0 1 5 5 1 5,5LU U Q V
解：对接收信号产生的谐振（调谐）
63
1 103
2 5 0 1 0 ( 2 9 9 0 1 0 ) 2
PF
品质因素,电感二端电压
3
0 9 9 0 1 0 6,4
155
ff K H z
Q
0 0,0 1
UIA
R
通频带,谐振电流
R L
CU
.
夹杂信号对接收影响不大 。
0
00
22 0
0
0,07 8 7,8%
1 ( )
I
I I I
Q
夹杂信号电流
4.2 互感耦合电路
1）互感现象邻近线圈间由于磁通的交链，一个线圈电流的变化会在另一线圈产生感应电势（ 互感电势 ），这一现象为 互感偶合 。
1 1'
i1
u
11
u
21
11
1?
21
2 2'
1i σ
线圈 1中通以电流,产生磁通其中部分磁通 穿过线圈 2。
，
221
1
NM
i
互感自感
11
1
NL
i
1
1
1
σNL
i
，
漏感，
2,σi
同理当线圈 2通以电流
2
2
NL
i
自感
1
12
NM
i
2
2
σ
σ
NL
i
互感,漏感
1 2 2 1M M M
一般有,互感系数 M反映了互感磁链与电流之间关系。
1 1'
i1
u
11
u
21
11
1?
21
2 2'
1
1 1 1
dieL
dt
1
1 1 1 1 1
diU e L
dt
1i
2）互感电压当 变化时，引起 的变化,二个线圈中产生感应电势，
线圈 1 的自感电势用电压降表示
121 dieM
dt
1
2 1 2 1
diU e M
dt
线圈 2 的互感电势用电压降表示互感电压参考方向
i
1
u
11
u
21
2
12
dieM
dt
21 2 1 2 diUM
dte
线圈 1 的互感电势用电压降表示
22
2
2
dieL
dt
2
2 2 2 2 2
diU e L
dt
2i当 变化时，引起 的变化,二个线圈中产生感应电势，
线圈 2 的自感电势,
用电压降表示,
同理：
i
2
u
12
u
22
二个线圈间绕向不同时，产生的互感电压方向不同。
3）同名端图 1
i
1
u
1
u
2
1 2
1' 2?
图 1：当 增加时,
线圈 2互感电压方向为 。
1i 1 0didt?
22
1
2 M
diu
dt?
i
1
u
1
u
2
1 2
1' 2?
图 2
图 2：当 增加时,
线圈 2互感电压方向为 。
1i 1 0di
dt?
22
1
2 M
diu
dt?
同名端,当二个电流分别流入二个耦合线圈的某一端，其产生的磁通相加时，这二个端部称为同名端。二个同名端用 *号来标记。
2
1'
1
2?
1
2
1' 2?
三相变压器同名端判别,多线圈耦合电路，各对线圈之间的同名端用不同符号表示。
2
2?
1'
1 3
3'
4）互感电势方向与同名端关系电流（参考方向）流入同名端时，另一线圈互感电压 实际方向 为同名端高，非同名端低。
1 2
1
' 2
U 21
.
I 1
.
互感电路用符号代替，同名端反映了二绕组的实际绕向关系 。
1
2
1'
2?
I 1
.
U 21
.
121U j M I
gg
1
21
diUM
dt?
在图示参考方向下，有同理，对于另一种绕向的互感电路有
121U j M I
gg
1 2
1'
2?
I 1
.
U 21
.
I?g1) 激励电流
j M I? g?2)（实际）互感电压 方向
j M I? g?3) 电压参考方向确定 的 号。
U 21
.1
2
1'
2?
I 1
.
互感电压表达式,
5）互感同名端实际判别
1）开关闭合时，直流电压表正向偏转。
则 1-2端为同各端。
K
V
U s
1
1'
2
2?
2）大功率变压器同各端判别，如图当交流电压表读数近似为 U1
－ U2时，电压表二端为同各端，当读数近似为 U1+U2时，电压表二端为非同各端。
V
1
1'
2
2?
U S
.
I 1
.
U 1
.
U 2
.
V
1
1'
2
2?
U S
.
I 1
.
U 1
.
U 2
.
6）具有互感电路的计算
Rx 1
Rx 1
jL?
jL?
jM?
U
.
U 1
.
U 2
.
I
.
1 2 1 2( ) ( 2 )R R I j L L M I
12U U U
支路电压表达式：
1 2 1 2( ) ( 2 )Z R R j L L M
支路阻抗：
a） 互感线圈串联
1 1 1U I R j L I j M I
2 2 2U R I j L I j M I
(顺向串联 )
Rx 1
Rx 1
jL?
jL?
jM?
U
.
U 1
.
U 2
.
I
.
12U U U
总电压：
1 2 1 2( ) / ( 2 )R R I j L L M I
1 2 1 2( 2 )Z R R j L L M
等效阻抗
1 1 1U R I j L I j M I
2 2 2U R I j L I j M I
(反向串联 )
b） 互感线圈并联
1 1 1 2 1 1 2() MU I R j L j M I Z I Z I
2 2 2 1 2 2 1() MU I R j L j M I Z I Z I
R 1 R 2
1
jL? 2jL?
jM?
I
.
U
.
I 1
,I 2
.
21
12 22
1 2 1 2
,MMZ Z Z ZI U I U
Z Z Z Z Z Z
解方程得,
12
12 2
12
2 M
M
Z Z ZI I I U
Z Z Z
总电流,
2
12
12 2
M
M
Z Z ZUZ
I Z Z Z
等效入端阻抗,
c） 耦合变压器电路计算（空心变压器） R 1 R 2
Z
L 2L 1
M
U s (t)
i
1 i 2
求原边电流，变压器输入和输出功率，传输效率。
12 4,8,L M m H L m H
( 1 0 0 0 8 0 0 ) Ω,Zj
例 1，图示电路，
1250 Ω,2 0 0 ΩRR
，
负载阻抗
52 1 0 0 1 0( ) s i n,su e tV?
解,解互感电路时，一般采用回路电流法！
列网孔方程：
1211
2122
()
0 ( )
SU R j L I j M I
R j L z I j M I
g g g
gg
解得
12 4 0 0,8 0 0,L M L
12
21
1 0 0 ( 5 0 4 0 0 ) 4 0 0
0 ( 1 2 0 0 1 6 0 0 ) 4 0 0
j I j I
j I j I
gg
gg
已知 代入数据得
1 10,2 5 3 6 9,0 2 5 3,IAIA
g o
2 0,0 8 2,6IA?
g o
11 1 0 0 0,2 5 3 6 9 9,0 7c o s c o ss WP U I o
222 6,4P I R Wg
2
1
70,6 %P
P
变压器输入功率,
输出功率,(式中 R为负载电阻 )
变压器传输效率,
例 2，图示电路，试列出支路电流法解题方程。
解：
1 2 3
1 1 2 2 11 1 2
3 3 2 132
0
1
0
s
I I I
I R j L I j M I j L I j M I U
I R I j L I j M I
jc
g g g
g g g g g g
g g g g
注意：在列回路电压方程时,按每一元件 (电阻，电感 )分别写出，电感元件的互感项电压不能遗漏。
jM?
1jL?R 1
R 2
1
jC?
U S
.
2jL?
I 1
.
I 2
.
I 3
.
解：选用网孔回路列电压方程,选取回路电流变量,逐一写出各个元件的电压表达式 。
22 2 2 2 1 1
1 ( ) 0R I I j L I I j M I
jc
11111 2()j L I j M I IRI
1 s12 2 1()j L I I j M I U
jM?
1jL?R 1
R 2
1
jC?
U S
.
2jL?
I 1
.
I 2
.
例 3，图示电路，试列出回路电流法解题方程。
5） 互感电路的去耦方法
a） 互感关系可用一等效电流控制电压源来代替
1Lj?
jM?
2Lj?
1Lj? 2Lj?
jM?jM? I 2
.
I 2
.
I 2
,I 1
.
I 1
.
I 1
.
1 1 1 2U j L I j M I
2 2 2 1U j L I j M I
b） 具有公共端的互感电路去偶如果具有互感耦合的两个线圈有一端相连接，则这种电路可用一个无互感耦合的等效电路来替代。
L 1 L 2
M
L 1 - M L 2 - M
M
1 2
3
1 2
3
I 1
.
I 2
.
I 3
.
I 1
.
I 2
.
I 3
.
第一种情况,
3 1 2I I I
考虑到 则上两式可改写为,
1 3 1 13 1311 ()()U I j L I I j M j j M MILI j
2 3 2 23 2322 ()()U I j L I I j M j j M MILI j
1 3 1 1 2U I j L I j M 2 3 2 2 1U I j L I j M
证明,
L 1 L 2
M
L 1 + M L 2 + M
-M
1 2
3
1 2
3
I 1
.
I 2
.
I 3
.
I 1
.
I 2
.
I 3
.
第二种情况,
21 1 0,4 0,5 0 0,1 0 0,L M m H L m H R U V
41 0 1 / s
例 4,图示电路当 时,C的大小使电路发生并联谐振。 求电容 C和各电流表读数。
32
10,2,,
1 3
UUA A A A
R
C?
电流表读数
1
1
1
( ) 3
UAA
LM
A1
A2
A3
C
L 1
L 2
R
M
A1
A2
A3
C
L 1 -M
R
M
L 2 -M
解：电路去耦如图,
12
4
1
( ) ( ) 0
1
3 0 0 1 0 0
j L M j L M j
C
jj
C
61110
33C F F?
得：
并联谐振时例 5 如图为收音机接收电路,已知
u ( t)
,RLM
C
波段选择开关
K
天线
12 2 0,L L H 1 5,MH
调谐电容 C 的变化范围为 1 0 0 ~ 0,0 1,p F F?
试计算该收音机的接收频率范围。
0
1
2f LC 接收频率范围
01 6 1 2
1 1900
2 7 0 1 0 1 0 0 1 0
f K H z
02 190f K H z
u ( t)
R
L 1 L 2
M
C
解：当波段开关在左侧时，电路如图 b所示，等效电感为
12 2 7 0L L L M H
(b)
0
1
2f LC
接收频率范围
01 6 1 2
1 5,0 3
2 1 0 1 0 1 0 0 1 0
f M H z
02 0,5 0 3f M H z
当波段开关在右侧时，电路如图 c所示，等效电感为
u ( t)
R
L 1 L 2
M
C
u ( t)
,RLM
C
波段选择开关
K
天线
12 2 1 0L L L M H
(c)
a),理想条件
1.没有漏磁 K=1
2.无损耗,线损为零，即线圈绕组电阻为零 ；
铁芯损耗为零，即铁芯没有涡流损耗和磁滞损耗。
3.磁芯导磁率
理想变压器是对实际耦合变压器的一种抽象。
i
1
1
2
1' 2?
i
2
6）理想变压器理想变压器，原副边匝数分别为 N1和 N2,电压电流正方向如图,1和 2产生磁通相加，由假设无漏磁，耦合系数 k=1,与 N1和 N2全部交链，磁通表达式,
I? I?
b),磁路特性和电压关系
1
2
1'
2?
N 1 N 2
I 1
.
U 1
.
U 2
.
I 2
.?
得 11
22
UN
UN
n 原边与副边电压之比为二线圈匝数比,
( ) s i n ( )mtt
原、副边电压分别为
11 NjU?
22 NjU?
11N
du
dt
22N
du
dt
C) 电流关系在理想条件下,
MLL 21
1
2
1'
2?
W 1 W 2
I 1
.
U 1
.
U 2
.
I 2
.?
原边电流与付边电流之比为二线圈匝数比的到数，且二个电流反相,d),理想变压器符号
N1:N 2N1:N2
02211 iNiN
21
1 i
n
i
12
1II
n
1
2
Nn
N?
由安匝平衡条件可得
N 1,N 2
Z L U 2
.
I 2
.
U 1
.
I 1
.
理想变压器应用 （阻抗变换）
付边接阻抗,原边等效阻抗为
LZ
1
2
1'2 21
2 2
1 2
1
()LL
N
U
NNU
ZZ
N N
I I
N
原边等效阻抗为原阻抗的 倍,2n
'
1
2
1
3
L
L
NR
NR
0 10R 3soUV?
90LR
例 5 图示电路，信号源内阻,电压,
负载,为使负载获最大功率,
问：理想变压器匝数比应为多少？
' ' 21
0
2
1 0,( ),L L LNR R R RN
解：
N 1,N 2
U s 0 R L
R 0
'LR
理想变压器不消耗功率,一边的输入功率即为另一边的输出功率,
例 6 图示电路，理想变压器原边和副边的匝数分别为 N1和 N2,
求 a-b端的入端电阻,
解,
i
UZ
I
入端电阻 R
N 1 N 2
a
b
U 1 U 2
U
I
I 1
I 2
1 1
22
NU
NU?
12
1
2
IN
NI
12 1 2
2
( 1 )NU U U UN
21
2
22 1
21
2
NUUII
RN
N UII
NRR
2
1
2
1
1
UI
N R
N
1
2
221
2
2
1
2
( 1 )
( 1 )
1
1
i
N
U
NNU
ZR
N
IU
N R
N
例 7 图示电路,0
121 0 0 3 6,9,5,1 6 0,9 0,Z R L L M
01 0 0,SUV 为使负载 Z获得最大有功功率,问电容容抗 XC和理想变压器的匝数 比为多少,并求最大功率 P。
12:NN
R
Z
12:NN
C
L 1
L 2M
Us
.
R
12:NN
C
L 1
L 2M
图 b
解：负载端看进去的等效阻抗电路如图 b所示，
2
0
12
21 11(
() () 2) CLY M
N
N LR j
011 36,1
12
3
50090 510YjZ
要获得最大功率,Y与 YO共扼。
2
0
12
21 11(
() () 2) CLY M
N
N LR j 0
11 36,1
12
3
50090 510YjZ
1
2
5 0,2
125
N
N
1 1 3()
5 0 0 5 0 0CX 125CX?
R
C
L 1
L 2MUs
.
'
'
Y
开路电压,'
02
1
5 0 0S SNUUN
最大功率：
22
m a x
50 5
4 4 1 2 5Z
UPW
R
1）三相供电系统的概念按正弦规律变化,频率相同,相位不同的三个电源以一定方式联接称 三相电源 。 三相电源中的每一个电源,称为一相 。 若相位差均为 120度,且幅值相同,则称为对称三相电源 。
第三节 对称三相正弦交流电路三相发电机原理图
N
S
u a ( t)
u b ( t)
u c ( t)
u a b cu u
u a
t
u b u c
写成瞬时式,则分别为
2 sin
2 sin( 12 0 )
2 sin( 24 0 )
A
B
C
u U t
u U t
u U t
写成相量形式,为
0
00
00
0
1 2 0 1 2 0
2 4 0 1 2 0
A
BA
CA
UU
U U U
U U U
Y连接 连接?
对称三相电源联接方式,
U a
.
U b
.
U c
,U a
.
U b
.
U c
.
Z A
Z B
Z CZ A
Z B
Z C
三相负载 Y连接,连接?
相序：各相到达最大值的次序正序,A-B-C
负序,A-C-B
相量图
u a
t
u b u c
U a
.
U b
.
U c
.
2) 三相电路系统的联接方式
a),三相四线制 Yo/Yo
线,相,相电压,相电流,
线电压,线电流,中点,
中线线相中点中线
U sa
.
U sb
.
U sc
,Z A
Z B
Z C
U a
.
U b
.
U c
.
.
I A,
I a
A
B
C
.
I 0
b),三相三线制 Y/Y
U sa
.
U sb
.
U sc
,Z A
Z B
Z C
U a
.
U b
.
U c
.
.
I A,
I a
A
B
C
c),三相三线制 Y/?
U sa
.
U sb
.
U sc
.
.
I A
A
B
C
Z A
Z B
Z C.
I ab
U ab
.
3),三相电路相电压,线电压,相电流,线电流的关系
a),Y连接负载 相电流 = 线电流aI?
AI
相电压与线电压关系
A
BA
C B A
0
120
1 2 0 2 4 0
UU
UU
U U U
A B A B A A A
B C B C B B B
C A C A C C C
1 2 0 3 3 0
1 2 0 3 3 0
1 2 0 3 3 0
U U U U U U
U U U U U U
U U U U U U
U a
.
U b
.
U c
.
U AB
.
电压相量图03 30UU线 相
3线电压有效值是相电压有效值的 倍，
相位超前角 30
Z A
Z B
Z C
U a
.
U b
.
U c
.
.
I A,
I a
A
B
C
U AB
.
U BC
.
I C
.
I B
.
U CA
.
b),连接负载?
.
I A
A
B
C
Z A
Z B
Z C
.
I ab
U a
.
U AB
.
.
I bc
.
I ca
I C
.
.
I B
负载相电流为一组对称三相电流,
AB
AB
BC
B C A B
CA
C A B C
120
120
U
I
Z
U
II
Z
U
II
Z
线电流与相电流,
A A B C A A B
B B C A B B C
C C A B C C A
3 3 0
3 3 0
3 3 0
I I I I
I I I I
I I I I
30 3
线电流也为一组对称三相电流，线电流滞后相电流,其有效值为相电流的 倍。
03 3 0II线 相相电压 = 线电压 ABUAU
I A
.
I ab
.
I
bc
.
I
ca
.
3）对称三相电路计算方法及特点以三相四线制为例,三相电源与三相负载中点间电压
CAB
A B C
NN
00
0
1 1 1 1
3
EEE
E E EZ Z Z
U
Z
Z Z Z Z Z
E A
.
E B
.
E c
,Z
Z
Z
.
I a A
B
C
.
I 0
N
N’
Z 0负载各相电流
AA EI
Z?
BBA 120EII
Z
CCA 120EII
Z
中线电流
0 0A B CI I I I
0
A
0
B
0
C
0
120
120
EE
EE
EE
由上面分析可得 对称三相电路特点：
下面用具体例子来说明对称三相电路的计算特点,
a） Y型联接中点为等电位，中线电流恒为另。 中线阻抗不影响三相对称电路 ；
b） 电路计算时，可任取一相电路单独计算，把某相电路及中性点相连组成 单相图 计算；
c） 电路其余二相可由对称性直接写出；
d） 对于 型电源和负载，计算时应先转化为 Y型联接。
AB 3 8 0 0 VE A 2 2 0 0 VE 1 4Zj 2 3Zj
( 9 0 6 0 )Zj Z?
例 6 图示为由两组对称三相电源供电的三相电路,已知
，,,,
,试求负载 上的相电压与相电流。
E AB
.
E a
.
E BC
.
E CA
.
Z 1 Z 2
Z
E b
.
E c
.
解：为画出单相图，需将△形联结的电源与△形联结的负载转换为 Y形联结，由△－ Y转换的相电压线电压关系，可知△
形联结的电源等效转换为 Y形联结的相电势为
ABA 3 0 2 2 0 3 0 V
3
EE
由 △ 形联结负载转换为 Y形联结后其等效阻抗为,
1
3YZZ
( 3 0 2 0 )YZj E a
.
Z 1 Z 2
E b
.
E c
.
A
E?
Y
Z
I
.
取 A相电路，并把各中性点联结，则得到如图所示的 单相图 。
E a
.
Z 1 Z 2
AE
YZ
I AY
.
a
N
此为 Y形联结的相电流，也为线电流值。则△形联结的实际相电流为,
AY
AB 3 0 3,3 2 1 8,7 A3
II
相电压为,
A B A B 3 5 9 1 5 VU I Z
A 1 A 1 2
aN
12
2 2 0 3 0 2 2 0 0
// j 4 j 3
V
1 1 1 1 1 1
j 4 j 3 3 0 j 2 0Y
E Z E Z
U
Z Z Z
2 0 7 1 5 V
则 aN
AY
Y
2 0 7 1 5 A 5,7 5 4 8,7 A
3 0 j 2 0
UI
Z
设 N为参考点，则列节点方程为例 7,三相对称负载和单相负载时的计算对称三相系统与单相负载的组合电路
U a
.
U b
.
U c
,Z A
Z BZ C
I C
.
I A
.
I
.
A1
I B
.
I R
.
R
+
U a
.
U b
.
U c
,Z A
Z BZ C
I C
.
I A
.
I B
.
I R
.
RU a
.
I R
.
I A
.
I
.
A1
第四节 不对称三相电路概念当三相电路中存在不对称电源或者三相不对称电抗，此时成为三相不对称电路。
E a
.
E b
.
E c
,Z A
Z B
Z C
U a
.
U b
.
U c
.
.
I A,
I a
A
B
C
.
I 0
1)三相四线制不对称电路
,,CABA B C
A B C
EEEIII
Z Z Z
0 0A B CI I I I
中线电流三相对称电源,幅值相同,相位各差 120°,
三相对称负载,三相负载相同,
2） 三相三线制不对称电路负载各相电压,
' ( 0,2 0,6 ) ( 1,2 0,6 )A N A N NU E U E j E j E
1,3 4AUE?
A相：
有效值,
E a
.
E b
.
E c
.
R
R
I A
A
B C
N
N’
1
jc?
鉴相器电路实例
(不对称负载 )
'
1 1 1
1 1 1
A B C
NN
EEE
j c R R
U
j C R R
1,0
AR E Ec
( 0,2 0,6 )NNU j E
设,
有中点间电压
' 1 2 0 ( 0,2 0,6 )B N B N NU E U E j E
1,5BUE?
' 2 4 0 ( 0,2 0,6 )C N C N NU E U E j E
0,4CUE?
B相：
有效值
C相：
有效值结论：由于负载不对称,引起 负载各相电压不均匀 !
低压民用电网为三相四线制，中线无开关。
相序判别器：用一只电容和二只灯泡组成鉴相器。
设电容所接相 A相，则灯泡较亮的为 B相，
较暗的为 C相。
第五节 三相电路的功率及测量
1.对称三相电路 瞬时功率
Z
.
U A
I A
.
I B
.
I C
.
U B
.
U C
设 Z
相电压瞬时值为,
2 s i n ( )Auu U t
1202 s i n ( )Buu U t
1202 s i n ( )Cuu U t
相电流瞬时值为,
)ts i n(I2i iA
)1 20ts i n (I2i iB
)1 20ts i n (I2i iC
则 A,B,C三相的瞬时功率分别为
2 s in ( ) 2 s in ( )
c o s ( c o s ( 2 ))
A A A u i
u uii
p u i U t I t
U UI It?
240c o s ( c o s (2 ))C C C u ui iUp u i U I It
240c o s ( c o s (2 ))B B B u ui iUp u i U I It
将三相瞬时功率相加，
3 c o s ( )
A B C
ui
p p p p
UI
相相三相瞬时功率为常值。
Z
.
U A
I A
.
I B
.
I C
.
U B
.
U C
设 Z
2.对称三相电路 有功功率、无功功率和视在功率三相电路有功功率为,
c o s c o s c o
3 c o
s3
s
c o sA A A B B B C C cP U I U I U I U
P
I
UI
线线相 相 相相或,
三相无功功率 3 s i nQ U I
线 线 相
22S P Q三相视在功率定义三相负载的功率因数为,
c o s PS
若为对称三相电路，则 c o s c o s
3,三相电路功率测量
1)对称或不对称三相四线制,三表法
W
W
W
Z A
Z B
Z C
A
B
C
2)对称三相四线制,一表法
W
Z A
Z B
Z C
A
B
C(总功率为三倍功率表读数,)
3)对称或不对称三相三线制,二表法
W1
W2
Z A
Z B
Z C
A
B
C
I C
.
I A
.
I B
,U a
.
U b
.
U c
.三相功率等于二功率表读数之和 。（ 注意：功率表读数有正负 ）
12P P P
证：设
0
120
240
A
B
C
UU
UU
UU
3 3 0
3 9 0
3 2 1 0
AB
BC
CA
UU
UU
UU
线电压,
120
240
A
A
B
C
U U
II
Z
II
II
线电流,
2:P
功率表
2 3 9 0 1 2 0
3 3 0
c o s ( ) c o s ( )
c o s ( )
B C B U B C I B
PP
P U I U I
UI
二表功率：
12 3 [ c o s ( 3 0 ) c o s ( 3 0 ) ]
3 c o s 3 c o s
PP
PP
P P P U I
U I U I
线 线 相实际测量时应注意二表连接及同各端方向！
1
210
30
3
3
3
03 c os( )
A
C
PP
A CA
U
U
pU
U
I
U
I
I
功率表
1:P 1 c o s ( )A C A U A C I AP U I
W1
W2
Z A
Z B
Z C
A
B
C
I C
.
I A
.
I B
,U a
.
U b
.
U c
.
W1
W2
Z A
Z B
Z C
A
B
C
I C
.
I A
.
I B
,U a
.
U b
.
U c
.例 1：三相对称电路连接如图，已知 试求各功率表读数及三相负载总功率,
0 0,1 0 0 0 1 0 3 0aU V Z
解,
1 0 0 0
1 0 0 1 2 0
1 0 0 2 4 0
A
B
C
U
U
U
相电压相电流
0
0
0
0
100
1 0 3 0
1 0 3 0
1 0 1 5 0
1 0 2 7 0
A
A
B
C
U
I
Z
I
I
W1
W2
Z A
Z B
Z C
A
B
C
I C
.
I A
.
I B
,U a
.
U b
.
U c
.
相电流
0
0
0
0
100
1 0 3 0
1 0 3 0
1 0 1 5 0
1 0 2 7 0
A
A
B
C
U
I
Z
I
I
0
0
0
3 3 0 1 0 0 3 3 0
1 0 0 3 9 0
1 0 0 3 2 1 0
AB
BC
CA
UU
U
U
线电压,
功率表
1:P 1 c o s ( )A C A U A C I AP U I
01 0 0 3 3 0A C C AUU
01 c o s ( ) 1 0 0 3 1 0 c o s 0 1 0 0 0 3A C A U A C I AP U I
W1
W2
Z A
Z B
Z C
A
B
C
I C
.
I A
.
I B
,U a
.
U b
.
U c
.
相电流
0
0
0
0
100
1 0 3 0
1 0 3 0
1 0 1 5 0
1 0 2 7 0
A
A
B
C
U
I
Z
I
I
0
0
0
3 3 0 1 0 0 3 3 0
1 0 0 3 9 0
1 0 0 3 2 1 0
AB
BC
CA
UU
U
U
线电压,
功率表
2:P 2 c o s ( )B C B U B C I BP U I
02 c o s ( ) 1 0 0 3 1 0 c o s 6 0 5 0 0 3B C B U B C I BP U I
三相负载总功率,
12 1 5 0 0 3P P P W
例 2：三相对称电路连接如图，试求各瓦特表读数,
0A B eUU?
0240C A eUU
解：设线电压
120B C eUU
相电流,ABAB eUUI ZzABII相
01 2 0 2 4 0,B C C AI I I I相相线电流：
3 30 3 30 30
120 150
120 90
A AB
BA
CA
I I I I
I I I
I I I
线相线线
Z
Z
Z
w 2
w 1
I A
.
I AB
.
A
C
B
功率表 P1：
1 c o s ( )
c o s ( 3 0 )
A B A U A B I AP U I
UI
线线功率表 P2：
2
60
c o s ( ) c o s ( 3 0 )
C B B C
C B C V C B I C
U U U
P U I U I
线线线二表总功率：
12 c o s ( 3 0 ) c o s ( 3 0 ) ]
3
c o s ] 3 c o s
2
P P P U I
U I U I
线线线 线 线 线
[
[ 2
Z
Z
Z
w 2
w 1
I A
.
I AB
.
A
C
B
单表法测 对称三相电路 无功功率
c o s ( )B C AB C A UIUP I
090c o s ( )
s i n
UI
UI
线线线线
3 s i n 3Q U I线线 功率表读数
4.对称三相电路无功功率测量
U C
.
U B
.
U A
.
U AB
.
U BC
.
U CA
.
I A
.
30
Z
w 1
I A
.A
C
B
903BCUU
0AUU? 303ABUU?
AII
1)谐振电路分析 ;
2)互感耦和电路分析 ;
3)对称正弦三相电路分析 ;
4)不对称三相电路概念 ;
5)三相电路的功率及测量方法,
谐振现象 是交流电路中的一种特殊现象,当电源频率和电路参数满足一定条件时,会产生谐振 。 对谐振现象的研究在电力系统,信号处理,无线通信等领域有着重要意义 。
4.1 电路的谐振现象分析串联谐振
Z=R （ 入端阻抗为纯电阻 ）
当 1
L c
即 1
LC
U L
.
U C
.
U R
.
I
.
外加电压全部降在电阻上，
U R I?gg RUU?gg此时,
端口电压与端口电流同相。
电路外施正弦电压 U,角频率?
11 ()Z R j L j R j L
CC
1） RLC串联谐振 R
L
C
U L
.
U C
.
U R
.
U
.
U L
.
U C
.
U R
.
I
.
0
1
LC
0
UI
R
记 —— 电路谐振频率谐振时 Z=R,阻抗最小，
谐振电流最大 。
电感电压与电容电压幅值相同,
0
0
1
L cU j I jL C IU
g g g g
相位差 180°（反相）。
R
L
C
U L
.
U C
.
U R
.
U
.
0
0
1 LL
CC
2） 串联谐振品质因素谐振时，电抗和容抗称为谐振电路 特性阻抗
0
0
1LQ
R R R C
串联谐振电路品质因数 为特性阻抗与电阻之比
00 cL
RR
L LI UUQ
R R I U U
也可以写为电阻电压与电感电压之比串联谐振时，电容与电感储能随时间周期性交换，总能量不变。
3） 当 R=0时,串联谐振电路 Z=0，
jL?
1
jC?
等于短路情况。
,LRR U Q U UUU Q gg
oLQ
R
电路谐振时电感电压是 Q倍外加电压,当在电感（电容）上会产生比外加 电压大得多的电压。
电压谐振 。这一特点在无线通信中获广泛应用。串联谐振又称为很大时，
问：当 C为多大时发生串联谐振,并求谐振时电容电压,品质因数 Q。
52 2 5 1 0,( ) s i n,Vu t t
21 0 0 4 1 0R L H
例：已知
，
50 2,5 1 0
0
1
LC
10
2
0
1 4 1 0CF
L
解：
由 得
0 1 0 0,L
R
特性阻抗 100cU Q U V
R
L
C
U C
.
U
.
1ΩR? 10000
cUV
讨论,当 时
11()Y j C
RL
并联谐振
1） RLC并联谐振：
入端导纳：
1 c
L
1Y
R?
0
1
LC
当 时,最小，
谐振频率：
外加电流全流过 R。
0
0
1 1 1[ ( ) ]
RU j c U IR L R
g g g
R LcI I I I
g g g g
R L C
I R
.
I L
.
I C
.
I
.
U
.
I C
.
I L
.
I R
.
U
.
0
0
1( ) ( )
L CI U j C U IjL
g g g g
电感电流与电容电流幅值相同，相位差 180°
谐振时电阻电流与电感电流之比 。
0 0
1
1 1
1
L
R
L
R
U
U
R
L I C
QR
IL
2）并联谐振品质因数
0
RQ
L
当 很大时，电感中会产生比外加电流大得多的电流值。
并联谐振又称为电流谐振。
相当于开路情况 。
R
3）当 （移去电阻），
并联谐振时 Y=0,Z=,L C
讨论,串联谐振与并联谐振的区别与特点？
实际应用时,为把一信号源通过谐振方法捡出,应根据信号源特性采用串联或并联谐振 。
0 L
S
L UQ
RU
串对于电压源：采用串联谐振方法。
减小电阻或增大电感可使 UL变大。电压放大。
0
L
S
IRQ
LI并对于电流源：采用并联谐振方法 。
增大电阻或减小电感可使 IL变大。电流放大。
4）一般电路谐振分析
L
C
R
Y
a
b
22
2 2 2 2
1
()
( )
( ) ( )
λ
Y j c
R j L
R j L
jc
RL
RL
jc
R L R L
2
022
1
()
LLCR
LCRL
谐振特征,阻抗或导纳虚部为零
2L R
C?
LR
C?
当 即 时，电路始终无谐振。
2
1
2
1
()
1ab
jL
jc
Z j L
j L j
c
4）电路串联谐振及滤波概念
R L 1
L 2
C
a
b
U R
,c
U a b
.
U c b
.
21
2
11L
c LC
当时,电路并联谐振
abZ
2
1
2
/
1
LcL
L
c
2
12
1 1 1()
L L C
当 即
,电路串联谐振。
0abZ?
31 322 s i n 1 0 2 s i n 2 1( 0) Ut UtU s t
410CF
12,LL
例：
，欲通过串并联谐振使二个电压分量在电路上分离，求 之值。 R L 1
L 2
C
a
b
c
()Us t
频率的电流。
31 10
cbZ
2
2 2
1 10LH
c
1?
解：选择 使得在时，电路发生并联谐振，即此时电路中无
2L
目的,电阻 R上无
1?
频率的电压分量。
R L 1
L 2
C
a
b
U R
,c
U a b
.
32 2 1 0
0abZ?
1
22
22
2
1 1/
1 03
LCL
L
H
C
使 时，
电路发生串联谐振，
得：
混频信号可分别捡出。
32( ) 2 s i n 2 1 0,RU t U t
31( ) 2 s i n 1 0abU t U t?
可得,
2?
此时 a-b 端无 电压分量。目的,
R L 1
L 2
C
a
b
U R
,c
U a b
.
混频信号
()Uj?g
()
()
1
()
Uj
Ij
R j L
C
g
g
5）谐振电路与信号选择分析设有一系列等幅不同频率的电压加在 RLC串联电路上，响应电流
R
L
C
U
,I
.
电流幅值为：
22
()
1
()
U
I
RL
c
最大。
0
1
LC
0() UI R
当 时（串联谐振），
图中曲线反映了电流与频率的关系。品质因数 Q变大时，曲线越尖锐，电路对信号的选择性越好。
220 2200
0
22 0
0
( ) 1
() 1
() 1 ( ) ( )
1
1 ( )
IR
I L
RL
c R
Q
不同频率的电流分量与谐振电流之比
0
0
()
()
I
I
Q 1
Q 2
（假设信号从 R上取出，则 I（ ） 正比于电阻电压，反映了不同频率信号与谐振接收信号的比值关系。）
0 22 0
0
( ) 1
()
1 ( )
I
I
Q
10Q?
100Q?
1Q?
0? 1?
0
()
()
I
I
电流与频率的关系
0?
0
2
2II?
电路的通频带是指偏离的频率范围。
使
0
0
()
()
I
I
1
2
2
1? 2?0 22 0
0
( ) 1
()
1(
1
) 2
I
I
Q
通频带的计算,
220
0
( ) 1Q 0
0
( ) 1Q 2
00
( ) 0QQm
2
0
1 1 4
2
Q
Q
2
0
1 1 4
2
Q
Q
2
0
1 1 4
2
Q
Q
2
2
0
0
1 4 1
2
1 4 1
2
Q
Q
Q
Q
讨论：为保证一定频带宽度，同时又有较好的选择性
（接收灵敏度），则需提高工作频率。提高品质因数。
00,Δ fBf
通频带
0
21Δ
ωωω
Q
记为
*调幅方式,
载波信号调制信号
*调频方式,
载波信号调制信号
*串联谐振电路的频率响应特性
R
L
C
U
,I
.
11( ) ( )Z j R j L j R j L
CC
串联谐振电路的阻抗,
1) 阻抗模与频率关系
22 1( ) ( )z R L
C
2) 阻抗角与频率关系
1
1
()
L
Ctg
R
1 0,2 5 0R L H
例：某一电台信号频率 f=990KHz,幅值 U=100mV,欲通过 RLC
串联谐振进行接收，,问：应调节电容 C
为多大？电路品质因数 Q为多少？若接收信号附近有 950KHz，
100mV 夹杂信号，试分析对接收的影响。
R L
CU
.
22
0
11
( 2 )
C
L L f
0 155LQ
R
31 0 0 1 0 1 5 5 1 5,5LU U Q V
解：对接收信号产生的谐振（调谐）
63
1 103
2 5 0 1 0 ( 2 9 9 0 1 0 ) 2
PF
品质因素,电感二端电压
3
0 9 9 0 1 0 6,4
155
ff K H z
Q
0 0,0 1
UIA
R
通频带,谐振电流
R L
CU
.
夹杂信号对接收影响不大 。
0
00
22 0
0
0,07 8 7,8%
1 ( )
I
I I I
Q
夹杂信号电流
4.2 互感耦合电路
1）互感现象邻近线圈间由于磁通的交链，一个线圈电流的变化会在另一线圈产生感应电势（ 互感电势 ），这一现象为 互感偶合 。
1 1'
i1
u
11
u
21
11
1?
21
2 2'
1i σ
线圈 1中通以电流,产生磁通其中部分磁通 穿过线圈 2。
，
221
1
NM
i
互感自感
11
1
NL
i
1
1
1
σNL
i
，
漏感，
2,σi
同理当线圈 2通以电流
2
2
NL
i
自感
1
12
NM
i
2
2
σ
σ
NL
i
互感,漏感
1 2 2 1M M M
一般有,互感系数 M反映了互感磁链与电流之间关系。
1 1'
i1
u
11
u
21
11
1?
21
2 2'
1
1 1 1
dieL
dt
1
1 1 1 1 1
diU e L
dt
1i
2）互感电压当 变化时，引起 的变化,二个线圈中产生感应电势，
线圈 1 的自感电势用电压降表示
121 dieM
dt
1
2 1 2 1
diU e M
dt
线圈 2 的互感电势用电压降表示互感电压参考方向
i
1
u
11
u
21
2
12
dieM
dt
21 2 1 2 diUM
dte
线圈 1 的互感电势用电压降表示
22
2
2
dieL
dt
2
2 2 2 2 2
diU e L
dt
2i当 变化时，引起 的变化,二个线圈中产生感应电势，
线圈 2 的自感电势,
用电压降表示,
同理：
i
2
u
12
u
22
二个线圈间绕向不同时，产生的互感电压方向不同。
3）同名端图 1
i
1
u
1
u
2
1 2
1' 2?
图 1：当 增加时,
线圈 2互感电压方向为 。
1i 1 0didt?
22
1
2 M
diu
dt?
i
1
u
1
u
2
1 2
1' 2?
图 2
图 2：当 增加时,
线圈 2互感电压方向为 。
1i 1 0di
dt?
22
1
2 M
diu
dt?
同名端,当二个电流分别流入二个耦合线圈的某一端，其产生的磁通相加时，这二个端部称为同名端。二个同名端用 *号来标记。
2
1'
1
2?
1
2
1' 2?
三相变压器同名端判别,多线圈耦合电路，各对线圈之间的同名端用不同符号表示。
2
2?
1'
1 3
3'
4）互感电势方向与同名端关系电流（参考方向）流入同名端时，另一线圈互感电压 实际方向 为同名端高，非同名端低。
1 2
1
' 2
U 21
.
I 1
.
互感电路用符号代替，同名端反映了二绕组的实际绕向关系 。
1
2
1'
2?
I 1
.
U 21
.
121U j M I
gg
1
21
diUM
dt?
在图示参考方向下，有同理，对于另一种绕向的互感电路有
121U j M I
gg
1 2
1'
2?
I 1
.
U 21
.
I?g1) 激励电流
j M I? g?2)（实际）互感电压 方向
j M I? g?3) 电压参考方向确定 的 号。
U 21
.1
2
1'
2?
I 1
.
互感电压表达式,
5）互感同名端实际判别
1）开关闭合时，直流电压表正向偏转。
则 1-2端为同各端。
K
V
U s
1
1'
2
2?
2）大功率变压器同各端判别，如图当交流电压表读数近似为 U1
－ U2时，电压表二端为同各端，当读数近似为 U1+U2时，电压表二端为非同各端。
V
1
1'
2
2?
U S
.
I 1
.
U 1
.
U 2
.
V
1
1'
2
2?
U S
.
I 1
.
U 1
.
U 2
.
6）具有互感电路的计算
Rx 1
Rx 1
jL?
jL?
jM?
U
.
U 1
.
U 2
.
I
.
1 2 1 2( ) ( 2 )R R I j L L M I
12U U U
支路电压表达式：
1 2 1 2( ) ( 2 )Z R R j L L M
支路阻抗：
a） 互感线圈串联
1 1 1U I R j L I j M I
2 2 2U R I j L I j M I
(顺向串联 )
Rx 1
Rx 1
jL?
jL?
jM?
U
.
U 1
.
U 2
.
I
.
12U U U
总电压：
1 2 1 2( ) / ( 2 )R R I j L L M I
1 2 1 2( 2 )Z R R j L L M
等效阻抗
1 1 1U R I j L I j M I
2 2 2U R I j L I j M I
(反向串联 )
b） 互感线圈并联
1 1 1 2 1 1 2() MU I R j L j M I Z I Z I
2 2 2 1 2 2 1() MU I R j L j M I Z I Z I
R 1 R 2
1
jL? 2jL?
jM?
I
.
U
.
I 1
,I 2
.
21
12 22
1 2 1 2
,MMZ Z Z ZI U I U
Z Z Z Z Z Z
解方程得,
12
12 2
12
2 M
M
Z Z ZI I I U
Z Z Z
总电流,
2
12
12 2
M
M
Z Z ZUZ
I Z Z Z
等效入端阻抗,
c） 耦合变压器电路计算（空心变压器） R 1 R 2
Z
L 2L 1
M
U s (t)
i
1 i 2
求原边电流，变压器输入和输出功率，传输效率。
12 4,8,L M m H L m H
( 1 0 0 0 8 0 0 ) Ω,Zj
例 1，图示电路，
1250 Ω,2 0 0 ΩRR
，
负载阻抗
52 1 0 0 1 0( ) s i n,su e tV?
解,解互感电路时，一般采用回路电流法！
列网孔方程：
1211
2122
()
0 ( )
SU R j L I j M I
R j L z I j M I
g g g
gg
解得
12 4 0 0,8 0 0,L M L
12
21
1 0 0 ( 5 0 4 0 0 ) 4 0 0
0 ( 1 2 0 0 1 6 0 0 ) 4 0 0
j I j I
j I j I
gg
gg
已知 代入数据得
1 10,2 5 3 6 9,0 2 5 3,IAIA
g o
2 0,0 8 2,6IA?
g o
11 1 0 0 0,2 5 3 6 9 9,0 7c o s c o ss WP U I o
222 6,4P I R Wg
2
1
70,6 %P
P
变压器输入功率,
输出功率,(式中 R为负载电阻 )
变压器传输效率,
例 2，图示电路，试列出支路电流法解题方程。
解：
1 2 3
1 1 2 2 11 1 2
3 3 2 132
0
1
0
s
I I I
I R j L I j M I j L I j M I U
I R I j L I j M I
jc
g g g
g g g g g g
g g g g
注意：在列回路电压方程时,按每一元件 (电阻，电感 )分别写出，电感元件的互感项电压不能遗漏。
jM?
1jL?R 1
R 2
1
jC?
U S
.
2jL?
I 1
.
I 2
.
I 3
.
解：选用网孔回路列电压方程,选取回路电流变量,逐一写出各个元件的电压表达式 。
22 2 2 2 1 1
1 ( ) 0R I I j L I I j M I
jc
11111 2()j L I j M I IRI
1 s12 2 1()j L I I j M I U
jM?
1jL?R 1
R 2
1
jC?
U S
.
2jL?
I 1
.
I 2
.
例 3，图示电路，试列出回路电流法解题方程。
5） 互感电路的去耦方法
a） 互感关系可用一等效电流控制电压源来代替
1Lj?
jM?
2Lj?
1Lj? 2Lj?
jM?jM? I 2
.
I 2
.
I 2
,I 1
.
I 1
.
I 1
.
1 1 1 2U j L I j M I
2 2 2 1U j L I j M I
b） 具有公共端的互感电路去偶如果具有互感耦合的两个线圈有一端相连接，则这种电路可用一个无互感耦合的等效电路来替代。
L 1 L 2
M
L 1 - M L 2 - M
M
1 2
3
1 2
3
I 1
.
I 2
.
I 3
.
I 1
.
I 2
.
I 3
.
第一种情况,
3 1 2I I I
考虑到 则上两式可改写为,
1 3 1 13 1311 ()()U I j L I I j M j j M MILI j
2 3 2 23 2322 ()()U I j L I I j M j j M MILI j
1 3 1 1 2U I j L I j M 2 3 2 2 1U I j L I j M
证明,
L 1 L 2
M
L 1 + M L 2 + M
-M
1 2
3
1 2
3
I 1
.
I 2
.
I 3
.
I 1
.
I 2
.
I 3
.
第二种情况,
21 1 0,4 0,5 0 0,1 0 0,L M m H L m H R U V
41 0 1 / s
例 4,图示电路当 时,C的大小使电路发生并联谐振。 求电容 C和各电流表读数。
32
10,2,,
1 3
UUA A A A
R
C?
电流表读数
1
1
1
( ) 3
UAA
LM
A1
A2
A3
C
L 1
L 2
R
M
A1
A2
A3
C
L 1 -M
R
M
L 2 -M
解：电路去耦如图,
12
4
1
( ) ( ) 0
1
3 0 0 1 0 0
j L M j L M j
C
jj
C
61110
33C F F?
得：
并联谐振时例 5 如图为收音机接收电路,已知
u ( t)
,RLM
C
波段选择开关
K
天线
12 2 0,L L H 1 5,MH
调谐电容 C 的变化范围为 1 0 0 ~ 0,0 1,p F F?
试计算该收音机的接收频率范围。
0
1
2f LC 接收频率范围
01 6 1 2
1 1900
2 7 0 1 0 1 0 0 1 0
f K H z
02 190f K H z
u ( t)
R
L 1 L 2
M
C
解：当波段开关在左侧时，电路如图 b所示，等效电感为
12 2 7 0L L L M H
(b)
0
1
2f LC
接收频率范围
01 6 1 2
1 5,0 3
2 1 0 1 0 1 0 0 1 0
f M H z
02 0,5 0 3f M H z
当波段开关在右侧时，电路如图 c所示，等效电感为
u ( t)
R
L 1 L 2
M
C
u ( t)
,RLM
C
波段选择开关
K
天线
12 2 1 0L L L M H
(c)
a),理想条件
1.没有漏磁 K=1
2.无损耗,线损为零，即线圈绕组电阻为零 ；
铁芯损耗为零，即铁芯没有涡流损耗和磁滞损耗。
3.磁芯导磁率
理想变压器是对实际耦合变压器的一种抽象。
i
1
1
2
1' 2?
i
2
6）理想变压器理想变压器，原副边匝数分别为 N1和 N2,电压电流正方向如图,1和 2产生磁通相加，由假设无漏磁，耦合系数 k=1,与 N1和 N2全部交链，磁通表达式,
I? I?
b),磁路特性和电压关系
1
2
1'
2?
N 1 N 2
I 1
.
U 1
.
U 2
.
I 2
.?
得 11
22
UN
UN
n 原边与副边电压之比为二线圈匝数比,
( ) s i n ( )mtt
原、副边电压分别为
11 NjU?
22 NjU?
11N
du
dt
22N
du
dt
C) 电流关系在理想条件下,
MLL 21
1
2
1'
2?
W 1 W 2
I 1
.
U 1
.
U 2
.
I 2
.?
原边电流与付边电流之比为二线圈匝数比的到数，且二个电流反相,d),理想变压器符号
N1:N 2N1:N2
02211 iNiN
21
1 i
n
i
12
1II
n
1
2
Nn
N?
由安匝平衡条件可得
N 1,N 2
Z L U 2
.
I 2
.
U 1
.
I 1
.
理想变压器应用 （阻抗变换）
付边接阻抗,原边等效阻抗为
LZ
1
2
1'2 21
2 2
1 2
1
()LL
N
U
NNU
ZZ
N N
I I
N
原边等效阻抗为原阻抗的 倍,2n
'
1
2
1
3
L
L
NR
NR
0 10R 3soUV?
90LR
例 5 图示电路，信号源内阻,电压,
负载,为使负载获最大功率,
问：理想变压器匝数比应为多少？
' ' 21
0
2
1 0,( ),L L LNR R R RN
解：
N 1,N 2
U s 0 R L
R 0
'LR
理想变压器不消耗功率,一边的输入功率即为另一边的输出功率,
例 6 图示电路，理想变压器原边和副边的匝数分别为 N1和 N2,
求 a-b端的入端电阻,
解,
i
UZ
I
入端电阻 R
N 1 N 2
a
b
U 1 U 2
U
I
I 1
I 2
1 1
22
NU
NU?
12
1
2
IN
NI
12 1 2
2
( 1 )NU U U UN
21
2
22 1
21
2
NUUII
RN
N UII
NRR
2
1
2
1
1
UI
N R
N
1
2
221
2
2
1
2
( 1 )
( 1 )
1
1
i
N
U
NNU
ZR
N
IU
N R
N
例 7 图示电路,0
121 0 0 3 6,9,5,1 6 0,9 0,Z R L L M
01 0 0,SUV 为使负载 Z获得最大有功功率,问电容容抗 XC和理想变压器的匝数 比为多少,并求最大功率 P。
12:NN
R
Z
12:NN
C
L 1
L 2M
Us
.
R
12:NN
C
L 1
L 2M
图 b
解：负载端看进去的等效阻抗电路如图 b所示，
2
0
12
21 11(
() () 2) CLY M
N
N LR j
011 36,1
12
3
50090 510YjZ
要获得最大功率,Y与 YO共扼。
2
0
12
21 11(
() () 2) CLY M
N
N LR j 0
11 36,1
12
3
50090 510YjZ
1
2
5 0,2
125
N
N
1 1 3()
5 0 0 5 0 0CX 125CX?
R
C
L 1
L 2MUs
.
'
'
Y
开路电压,'
02
1
5 0 0S SNUUN
最大功率：
22
m a x
50 5
4 4 1 2 5Z
UPW
R
1）三相供电系统的概念按正弦规律变化,频率相同,相位不同的三个电源以一定方式联接称 三相电源 。 三相电源中的每一个电源,称为一相 。 若相位差均为 120度,且幅值相同,则称为对称三相电源 。
第三节 对称三相正弦交流电路三相发电机原理图
N
S
u a ( t)
u b ( t)
u c ( t)
u a b cu u
u a
t
u b u c
写成瞬时式,则分别为
2 sin
2 sin( 12 0 )
2 sin( 24 0 )
A
B
C
u U t
u U t
u U t
写成相量形式,为
0
00
00
0
1 2 0 1 2 0
2 4 0 1 2 0
A
BA
CA
UU
U U U
U U U
Y连接 连接?
对称三相电源联接方式,
U a
.
U b
.
U c
,U a
.
U b
.
U c
.
Z A
Z B
Z CZ A
Z B
Z C
三相负载 Y连接,连接?
相序：各相到达最大值的次序正序,A-B-C
负序,A-C-B
相量图
u a
t
u b u c
U a
.
U b
.
U c
.
2) 三相电路系统的联接方式
a),三相四线制 Yo/Yo
线,相,相电压,相电流,
线电压,线电流,中点,
中线线相中点中线
U sa
.
U sb
.
U sc
,Z A
Z B
Z C
U a
.
U b
.
U c
.
.
I A,
I a
A
B
C
.
I 0
b),三相三线制 Y/Y
U sa
.
U sb
.
U sc
,Z A
Z B
Z C
U a
.
U b
.
U c
.
.
I A,
I a
A
B
C
c),三相三线制 Y/?
U sa
.
U sb
.
U sc
.
.
I A
A
B
C
Z A
Z B
Z C.
I ab
U ab
.
3),三相电路相电压,线电压,相电流,线电流的关系
a),Y连接负载 相电流 = 线电流aI?
AI
相电压与线电压关系
A
BA
C B A
0
120
1 2 0 2 4 0
UU
UU
U U U
A B A B A A A
B C B C B B B
C A C A C C C
1 2 0 3 3 0
1 2 0 3 3 0
1 2 0 3 3 0
U U U U U U
U U U U U U
U U U U U U
U a
.
U b
.
U c
.
U AB
.
电压相量图03 30UU线 相
3线电压有效值是相电压有效值的 倍，
相位超前角 30
Z A
Z B
Z C
U a
.
U b
.
U c
.
.
I A,
I a
A
B
C
U AB
.
U BC
.
I C
.
I B
.
U CA
.
b),连接负载?
.
I A
A
B
C
Z A
Z B
Z C
.
I ab
U a
.
U AB
.
.
I bc
.
I ca
I C
.
.
I B
负载相电流为一组对称三相电流,
AB
AB
BC
B C A B
CA
C A B C
120
120
U
I
Z
U
II
Z
U
II
Z
线电流与相电流,
A A B C A A B
B B C A B B C
C C A B C C A
3 3 0
3 3 0
3 3 0
I I I I
I I I I
I I I I
30 3
线电流也为一组对称三相电流，线电流滞后相电流,其有效值为相电流的 倍。
03 3 0II线 相相电压 = 线电压 ABUAU
I A
.
I ab
.
I
bc
.
I
ca
.
3）对称三相电路计算方法及特点以三相四线制为例,三相电源与三相负载中点间电压
CAB
A B C
NN
00
0
1 1 1 1
3
EEE
E E EZ Z Z
U
Z
Z Z Z Z Z
E A
.
E B
.
E c
,Z
Z
Z
.
I a A
B
C
.
I 0
N
N’
Z 0负载各相电流
AA EI
Z?
BBA 120EII
Z
CCA 120EII
Z
中线电流
0 0A B CI I I I
0
A
0
B
0
C
0
120
120
EE
EE
EE
由上面分析可得 对称三相电路特点：
下面用具体例子来说明对称三相电路的计算特点,
a） Y型联接中点为等电位，中线电流恒为另。 中线阻抗不影响三相对称电路 ；
b） 电路计算时，可任取一相电路单独计算，把某相电路及中性点相连组成 单相图 计算；
c） 电路其余二相可由对称性直接写出；
d） 对于 型电源和负载，计算时应先转化为 Y型联接。
AB 3 8 0 0 VE A 2 2 0 0 VE 1 4Zj 2 3Zj
( 9 0 6 0 )Zj Z?
例 6 图示为由两组对称三相电源供电的三相电路,已知
，,,,
,试求负载 上的相电压与相电流。
E AB
.
E a
.
E BC
.
E CA
.
Z 1 Z 2
Z
E b
.
E c
.
解：为画出单相图，需将△形联结的电源与△形联结的负载转换为 Y形联结，由△－ Y转换的相电压线电压关系，可知△
形联结的电源等效转换为 Y形联结的相电势为
ABA 3 0 2 2 0 3 0 V
3
EE
由 △ 形联结负载转换为 Y形联结后其等效阻抗为,
1
3YZZ
( 3 0 2 0 )YZj E a
.
Z 1 Z 2
E b
.
E c
.
A
E?
Y
Z
I
.
取 A相电路，并把各中性点联结，则得到如图所示的 单相图 。
E a
.
Z 1 Z 2
AE
YZ
I AY
.
a
N
此为 Y形联结的相电流，也为线电流值。则△形联结的实际相电流为,
AY
AB 3 0 3,3 2 1 8,7 A3
II
相电压为,
A B A B 3 5 9 1 5 VU I Z
A 1 A 1 2
aN
12
2 2 0 3 0 2 2 0 0
// j 4 j 3
V
1 1 1 1 1 1
j 4 j 3 3 0 j 2 0Y
E Z E Z
U
Z Z Z
2 0 7 1 5 V
则 aN
AY
Y
2 0 7 1 5 A 5,7 5 4 8,7 A
3 0 j 2 0
UI
Z
设 N为参考点，则列节点方程为例 7,三相对称负载和单相负载时的计算对称三相系统与单相负载的组合电路
U a
.
U b
.
U c
,Z A
Z BZ C
I C
.
I A
.
I
.
A1
I B
.
I R
.
R
+
U a
.
U b
.
U c
,Z A
Z BZ C
I C
.
I A
.
I B
.
I R
.
RU a
.
I R
.
I A
.
I
.
A1
第四节 不对称三相电路概念当三相电路中存在不对称电源或者三相不对称电抗，此时成为三相不对称电路。
E a
.
E b
.
E c
,Z A
Z B
Z C
U a
.
U b
.
U c
.
.
I A,
I a
A
B
C
.
I 0
1)三相四线制不对称电路
,,CABA B C
A B C
EEEIII
Z Z Z
0 0A B CI I I I
中线电流三相对称电源,幅值相同,相位各差 120°,
三相对称负载,三相负载相同,
2） 三相三线制不对称电路负载各相电压,
' ( 0,2 0,6 ) ( 1,2 0,6 )A N A N NU E U E j E j E
1,3 4AUE?
A相：
有效值,
E a
.
E b
.
E c
.
R
R
I A
A
B C
N
N’
1
jc?
鉴相器电路实例
(不对称负载 )
'
1 1 1
1 1 1
A B C
NN
EEE
j c R R
U
j C R R
1,0
AR E Ec
( 0,2 0,6 )NNU j E
设,
有中点间电压
' 1 2 0 ( 0,2 0,6 )B N B N NU E U E j E
1,5BUE?
' 2 4 0 ( 0,2 0,6 )C N C N NU E U E j E
0,4CUE?
B相：
有效值
C相：
有效值结论：由于负载不对称,引起 负载各相电压不均匀 !
低压民用电网为三相四线制，中线无开关。
相序判别器：用一只电容和二只灯泡组成鉴相器。
设电容所接相 A相，则灯泡较亮的为 B相，
较暗的为 C相。
第五节 三相电路的功率及测量
1.对称三相电路 瞬时功率
Z
.
U A
I A
.
I B
.
I C
.
U B
.
U C
设 Z
相电压瞬时值为,
2 s i n ( )Auu U t
1202 s i n ( )Buu U t
1202 s i n ( )Cuu U t
相电流瞬时值为,
)ts i n(I2i iA
)1 20ts i n (I2i iB
)1 20ts i n (I2i iC
则 A,B,C三相的瞬时功率分别为
2 s in ( ) 2 s in ( )
c o s ( c o s ( 2 ))
A A A u i
u uii
p u i U t I t
U UI It?
240c o s ( c o s (2 ))C C C u ui iUp u i U I It
240c o s ( c o s (2 ))B B B u ui iUp u i U I It
将三相瞬时功率相加，
3 c o s ( )
A B C
ui
p p p p
UI
相相三相瞬时功率为常值。
Z
.
U A
I A
.
I B
.
I C
.
U B
.
U C
设 Z
2.对称三相电路 有功功率、无功功率和视在功率三相电路有功功率为,
c o s c o s c o
3 c o
s3
s
c o sA A A B B B C C cP U I U I U I U
P
I
UI
线线相 相 相相或,
三相无功功率 3 s i nQ U I
线 线 相
22S P Q三相视在功率定义三相负载的功率因数为,
c o s PS
若为对称三相电路，则 c o s c o s
3,三相电路功率测量
1)对称或不对称三相四线制,三表法
W
W
W
Z A
Z B
Z C
A
B
C
2)对称三相四线制,一表法
W
Z A
Z B
Z C
A
B
C(总功率为三倍功率表读数,)
3)对称或不对称三相三线制,二表法
W1
W2
Z A
Z B
Z C
A
B
C
I C
.
I A
.
I B
,U a
.
U b
.
U c
.三相功率等于二功率表读数之和 。（ 注意：功率表读数有正负 ）
12P P P
证：设
0
120
240
A
B
C
UU
UU
UU
3 3 0
3 9 0
3 2 1 0
AB
BC
CA
UU
UU
UU
线电压,
120
240
A
A
B
C
U U
II
Z
II
II
线电流,
2:P
功率表
2 3 9 0 1 2 0
3 3 0
c o s ( ) c o s ( )
c o s ( )
B C B U B C I B
PP
P U I U I
UI
二表功率：
12 3 [ c o s ( 3 0 ) c o s ( 3 0 ) ]
3 c o s 3 c o s
PP
PP
P P P U I
U I U I
线 线 相实际测量时应注意二表连接及同各端方向！
1
210
30
3
3
3
03 c os( )
A
C
PP
A CA
U
U
pU
U
I
U
I
I
功率表
1:P 1 c o s ( )A C A U A C I AP U I
W1
W2
Z A
Z B
Z C
A
B
C
I C
.
I A
.
I B
,U a
.
U b
.
U c
.
W1
W2
Z A
Z B
Z C
A
B
C
I C
.
I A
.
I B
,U a
.
U b
.
U c
.例 1：三相对称电路连接如图，已知 试求各功率表读数及三相负载总功率,
0 0,1 0 0 0 1 0 3 0aU V Z
解,
1 0 0 0
1 0 0 1 2 0
1 0 0 2 4 0
A
B
C
U
U
U
相电压相电流
0
0
0
0
100
1 0 3 0
1 0 3 0
1 0 1 5 0
1 0 2 7 0
A
A
B
C
U
I
Z
I
I
W1
W2
Z A
Z B
Z C
A
B
C
I C
.
I A
.
I B
,U a
.
U b
.
U c
.
相电流
0
0
0
0
100
1 0 3 0
1 0 3 0
1 0 1 5 0
1 0 2 7 0
A
A
B
C
U
I
Z
I
I
0
0
0
3 3 0 1 0 0 3 3 0
1 0 0 3 9 0
1 0 0 3 2 1 0
AB
BC
CA
UU
U
U
线电压,
功率表
1:P 1 c o s ( )A C A U A C I AP U I
01 0 0 3 3 0A C C AUU
01 c o s ( ) 1 0 0 3 1 0 c o s 0 1 0 0 0 3A C A U A C I AP U I
W1
W2
Z A
Z B
Z C
A
B
C
I C
.
I A
.
I B
,U a
.
U b
.
U c
.
相电流
0
0
0
0
100
1 0 3 0
1 0 3 0
1 0 1 5 0
1 0 2 7 0
A
A
B
C
U
I
Z
I
I
0
0
0
3 3 0 1 0 0 3 3 0
1 0 0 3 9 0
1 0 0 3 2 1 0
AB
BC
CA
UU
U
U
线电压,
功率表
2:P 2 c o s ( )B C B U B C I BP U I
02 c o s ( ) 1 0 0 3 1 0 c o s 6 0 5 0 0 3B C B U B C I BP U I
三相负载总功率,
12 1 5 0 0 3P P P W
例 2：三相对称电路连接如图，试求各瓦特表读数,
0A B eUU?
0240C A eUU
解：设线电压
120B C eUU
相电流,ABAB eUUI ZzABII相
01 2 0 2 4 0,B C C AI I I I相相线电流：
3 30 3 30 30
120 150
120 90
A AB
BA
CA
I I I I
I I I
I I I
线相线线
Z
Z
Z
w 2
w 1
I A
.
I AB
.
A
C
B
功率表 P1：
1 c o s ( )
c o s ( 3 0 )
A B A U A B I AP U I
UI
线线功率表 P2：
2
60
c o s ( ) c o s ( 3 0 )
C B B C
C B C V C B I C
U U U
P U I U I
线线线二表总功率：
12 c o s ( 3 0 ) c o s ( 3 0 ) ]
3
c o s ] 3 c o s
2
P P P U I
U I U I
线线线 线 线 线
[
[ 2
Z
Z
Z
w 2
w 1
I A
.
I AB
.
A
C
B
单表法测 对称三相电路 无功功率
c o s ( )B C AB C A UIUP I
090c o s ( )
s i n
UI
UI
线线线线
3 s i n 3Q U I线线 功率表读数
4.对称三相电路无功功率测量
U C
.
U B
.
U A
.
U AB
.
U BC
.
U CA
.
I A
.
30
Z
w 1
I A
.A
C
B
903BCUU
0AUU? 303ABUU?
AII
