8.4 RL电路（一阶电路）过渡过程
0(0 )LiI
0L LdiL R idt
1）零输入响应方程初始条件
U s
R
KR
L
i
L
为时间常数,
.
tR t
L
Li k e k e
L
R
0
t
Li I e
方程解由初始条件解得,
i
L
t
I o
U s
K R
i
L
(0 ) 0Li
( ) ( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]LL LL
t
i t i t i i e稳稳
() SSL
R t
LUUi t e
RR
2）零状态响应用三要素法直接导出
C RC
L
L
R
讨论,RC电路与 RL电路结构参数对过渡过程影响的分析。
R
C U c
R
L
iL
i L
t
I o R
1
R 2
R 1R 2
u L
t
U o R
1
R 2
R 1 R 2
R 2
i
L
L
R 1
5ms
5ms
Us
解：三极管导通和截止时的等效电路如图所示，并联续流二极管的作用是防止电感产生过
R 2
i
1
L
R 1 U s
L
R 1
i
2
三极管导通时
(5ms)
三极管截止时
(5ms)
大反电势。
10,1,1 0,L H R
()Lit
例 1：图示为开关驱动线路，
2 990R,控制信号开通和关断持续时间为 5ms，设系统运行已久，
？
10SUV?，
试求
0
12
11
0,1 0,1 )
1000 (
L T
RR ms
对于导通时期,
时间常数,
R 2
i
1
L
R 1 U s
12
1
10 0,0 1
1000
S
LP
U A
RRi
1(0 )i?
1
41 10(0( ) 0.0 1 [ 0.0 1 ]) e tt ii
应用三要素法，
（稳态值）
开通初始值 即为关断时期的最后值，
.
L
R 1
i
2
对于关断时期,
20
1
2
0,1 1 0 ( 2 )
10
L m s T
R
稳态值 2 0LPi?
初始值
2(0 )i?
即为开通 5ms 后的值。
注意：
01 T?
开通 5ms，即经过 后，可以认为系统已达稳态，即
2
12
1 ( 5 ) 0,0 1 (0 )
sUm s A i
RR
i
5?
2
1002
2 ( ) ( 0 ) 0,0 1
t
tt i e e Ai
得：
1
22 ( 5 ) 0,0 1 0,0 0 6 1m s e Ai
12( 0 ) ( 5 ) 0,0 0 6 1i i m s A
410
1 ( ) 0,0 1 0,0 0 3 9 ttei
当关断 5ms后，
此值即为开通时初始值开通时电流表达式电流波形如图导通 截止
i
L
t
解,闭合后左侧电路方程
1 ()
SL
LS
ddL R u t M
dt dt
ii i
0,1 1 0 2 1 0 sinL Ld tdti i代入已知数据,得电路稳态解 (特解 )为
0
1
2 0 5 2 9 0 2 0,5 4 5
1 0 1 0
S
L
SU j M I jI
R j L j
02 0,5 s i n ( 1 0 0 4 5 )L ti特求,K闭合后 。
例 2：图示电路,已知
( ) 2 2 0 s i n 1 0 0,SU t t?
()tu
12 0,1,L L H
02 2 s i n ( 1 0 0 9 0 ),0,0 5,S t A M Hi
10,R ()s tu
()s ti
R
R
()tuL 1 L 2
M
i
1
电路暂态解 (特解 )为 1 ()L RL tit e k
1 0 0 02 0,5 s i n ( 1 0 0 4 5( ))L tit etk
全响应：
有初始条件,得 0.5?k=
0 1 0 02 0,5 s i n ( 1 0 0 )) 5( 4L tteit -0.5
()s tu
()s ti
R
R
()tuL 1 L 2
M
i
1
2
() ()( ) ( ) S L
S
dt dtu t R t L M
d t d t
i iiK闭合后
00
0 10 0
2 20 c os( 90 )
2 2.5 c os(
2 20 sin( 90
4)
)
5 2.5 t
t
t
t
e?
0 3 0 9
L
LRL
1 1'
L
U s P u ( t)
0,3,L H P?
30( ) 3 7,5 tu t e
1
90CF?
()Ut
例 3,为电阻网络，开关闭合后，
零状态响应现把 L换为,则零状态响应为多少？
0
0
1,
30L
L R
R
11解,L时间常数 为 端入端电阻。
0
1
10C RC
换为电容后 。
11
11讨论,L时的稳态值等于 C 时初始值（ 短路） 。
L时的初始值等于 C时的稳态值（ 开路）。
得：
( ) [ ( 0 ) ] c
t
U t U U U e稳稳
10
(0 )
( ) 4,5 7,5
(0 ) 4,5,3
t
UU
Ue
U
t
稳设,C时例 4,如图电路,1
10,,0.01,0.5,242 SR C F L H U V
开关闭合已久,求开关
()KUt 。 K
R R
R
L
U c
i
L
i
i?
C
U s
U K
打开后的解,开关打开后电路分成为 RC和 RL电路。
电路初始值：
(1 )SU IR IR
( 0 )t
1,6( 2 )SUIAR
( 0 ) 8CUV ( 0 ) 0,8L Ai
电容电压：
Ri
C
U s
U c
( ) [ ( 0 ) ]CC
t
u t u u u e稳稳
10( ) 2 4 [ 8 2 4 ]
C
tut e
0,1RC
10( ) 1.6C tdui t C
dt e
电感电流：
R
R
L
i
L
i?0 10( ) 1 6 tu t R i e
（指数激励源）
R
L
i
L
u o ( t)
1016L
L
tdiRi L
dt e
102 tLi A e
1 0 1 0 1 05 1 0 1 6t t tA e A e e
特解代入原式特解为得 3,2A
102 3,2 tLie
通解 20
1
R t
tL
Li k e k e
( 0 ) ( 0 ) 0,8LLi i A 4k?
全解由 得有
2 0 1 0( ) 3,2ttLi t k e e
2 0 1 0( ) 4 3,2ttLi t e e
K
R R
R
L
U c
i
L
i
i?
C
U s
U K
开关两端电压,( ) ( ) L
kC
diu t u t i R L
dt
1 0 2 0( ) 2 4 2 4 4 0ttku t e e
()s tu
R
Lu
L
例 5,如图电路,02 1 0 4 5 3,1 )( ) s i n (
S ttu
当 t=0时开关闭合,测得电感电压为
02( ) 8 s i n (4 9 0 )L ttu,试求电阻和电感的值,
解,稳态电感电压为
0 0 1
221 0 ( 5 3,1 9 0 )()LS
Lg
R
j L LUU
R j L RL t
0 0 1
22( ) 2 1 0 s i n ( 4 5 3,1 9 0 )()Lp
Lg
R
Lu t t
RL
t
电感电压,
( ) ( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]
R
LL L p L L p tu t u t u u e
()s tu
R
Lu
L
2
22
2
00
0 0
1
1
1 0 2
()
1 0 2 1 0 2
(
s
4
5 )
9 53,1
5.
0
9 310
( ) sin( 4 )
[ in( ) ]
L
L
g
L
L
R
RR
g
RL
L
L
u t t t
t
+
由题意可知,
01 53,1Lg
R
t
22
4
5()
L
RL
(无过渡过程 )
得,
3R
4L 4
1LH
A
R
R
R
C
Li
L
U s
c
u
a解：
() RCC S S tt U Uu e
() CS RCC
td u U
tC d t Ri e RCCSa
t
Ru Ui e
L RC
LS
td
L R Udti i e
1
R
LL tkei
,特解通解
2 RCL
tAei
例 6,如图电路,，
求开 关闭合后电感电流 。
Li
(0 ) 0Cu (0 ) 0Li
A
R
R
R
C
Li
L
U s
c
u
a
2
SRCUA
LR
代入原式：,得特解为：
RC
S
R C R C
tt tA
e A eL RURC e
2 2
RC
L
S
tR C U
LR ei
全解：
2
S RCL
L
R tt RC
eUk Le Ri
( 0 ) ( 0 ) 0LLii由得有
2
SRCUk
RL
2 ()
R
L
L
S RC t
t
e eR C ULRi
8.6 阶跃响应和冲激响应
0 01 ( )
1 0
tt
t
1）单位阶跃函数
t1
1(t)
0
0
0
0 1 ( )
1
tttt
tt
t
1
1(t-t o )
t o
单位阶跃函数相当于一开关函数。
() tft e ( )1 ( ) 1 ( )tf t t te ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 )tf t t te
t t
t o
t
00( )1 ( )f t t t t
t
00
( ) 1 ( )f t t t t
t o
0( )1 ( )f t t t? t
t o
0
( ) 1 ( )f t t t?
注意：
( )1( )f t t
t
( ) 1 ( )f t t
0( ) [ 1 ( ) 1 ( ) ]s t U t t tu方波信号,t
t o
U
u s ( t)
0( ) 1 ( )SU t U t t
()CUt
例：,( 0 ) 0,
CU
求 。
R
CU cU s
( ) 1 ( )SU t U t? ( ) ( 0 )tRCC S SU t U U e t当 时，
t
t
0( ) 1 ( )SU t U t t 0t 0t
0
1 ()
0( ) e ( )
ttRC
C S SU t U U t t
0
1 ()
0( ) [ e ] 1 ( )
ttRC
C S SU t U U t t
当,激励延迟,响应也退后或 t o
t
t
t o
0 0
()
( ) d 1
t
t
tt
2) 单位冲击函数
t
()t?
0
0( ) ( ) d ( 0) ( ) d ( 0)f t t t f t t f
常用作取样函数
0
0
0 0
()
( ) d 1
t
tt
t t t
t
to
()Ott
0物理意义,矩形脉冲 当时转化为冲击函数
t
1
()t?
) (d( )LL diiRt tt L t
例,RL电路在冲击电压源下的响应
()t?
R
L
i
L
0t (0 )
Li?
0 0 0
0 0 0d ( ) ( ) dLLR dt L i t t ti?
两边积分求 时
()Lit
()
d
Ldi t
t ()t?
为有限值因为 与应为同阶无穷大,
[ ( 0 ) ( 0 ) ] 1LLL i i
1(0 )
L Li
1( ) (0 )e e ( 0 )RRLL
LL
tttt
Lii
有则
(初始值有跳变 )
()t?
R
C
U c
2
d 1,e ( 0 )
d
C
t
RCcc UCt
t R Cii
电容电流,
0t 0t
(0 ) (0 ) 1 ( ),CC
C
to UU
Ct tRi?
在 到 期间,
d ( ).
d
C
C
URC U t
t
例,RC电路在冲击电压源后的响应,
( 0 ) 0 CU
0 0 0
0 0 0
d ( ) ( ) d ( ) dCCRC U t U t t t t?
()CUt
1( ) e ( 0 )tRC
CU t tRC
为有限值 ( 0 ) 1
CR C U 1 ( 0 ),
CU RC
2
11( ) ( 0 )tRC
c t e tR R Ci
总电流响应为,
d ()
d
CCUUCt
Rt
1( 0 )
CU C
讨论,
()t?
R U c
d ()
d
L
L
iL it
Rt
(0 )L RLi
()t?
R
L
i L
1
2
dd( ) ( )
dd
LL
L
iiLR i L t
R t t
2
12
1(0 )
L
Ri
R R L
()t? L
i
L
R 1
R 2
0t 0t (0 )
CU?
(0 )Li?
方法,列电路方程 → 两边在 到 积分 → 求和 。
d( ) 1 ( )
dttt
冲激函数是阶跃函数的导数：
求电路的冲激响应时,可先求电路的阶跃响应,然后对阶跃响应求导,得电路的冲激响应。
()t?
R
C
U c
例,求 RC电路在冲击电压源后的响应
( 0 ) 0 CU
( ).Cut
由三要素法直接写出电路的 阶跃响应，
1 ( ) 1C
t
RCu t e
1 ( ) e ( 0 )tRC
CU t tRC?
冲激响应：
1 () 1() C
C
t
RCd u tu t e
d t R C?
即
0( 0 ),( 0 ) 0CLU U i
()CUt
2
2
d,,
d
C C CL
RL
U d U d Udii C u R i R C u L L C
t d t d t d t
2
2
d 0CC
C
d U ULC R C U
d t d t
8.7 RLC电路零输入响应 (二阶电路 )
例,
k
R
C L
U c
i
电路方程 (KVL),以 为变量,
得,
齐次方程的特征根,
2 10L C s R C s
2
1
2
2
()
(
1
2
22
1
2
)
S
S
RR
LL
RR
L
C
CL
L
L
电路方程为二阶齐次方程,电路包含二个动态元件,故称为 二阶电路,
齐次方程根：
2 10L C s R C s
2
1,2
( ) 4
2
R C R C L Cs
LC
二阶电路根据电路参数不同,其电容电压过渡过程 (输出响应 )也不同,
2 LR C? 2 1( ) 02RL L C 12,SS1) 当,即,特征根为二个不等负实根
0 1 2
1 1 2 20
U A A
A S A S
2
10
21
1
20
21
S
AU
SS
S
AU
SS
代入上式 得,
1212(),C s t s tU t A e A e
0( 0 )CUU
0
d(0 ) 0
d
C
L
t
UiC
t?
0
0C
t
dU
dt
初始条件,
,即过阻尼
1
12
2
12
0
21
0
21
21
( ) (
d
(e
d
)
e
ee
)
S t S tC
S t S t
C
U SS
iC
U
U t S S
SS
CU
t S S
有
120
12
21
d ( e e )
d
S t S tc
L
iUu L S S
t S S
过渡过程单调衰减,电路无振荡,
t
U
0 u
C
u
L
i
L
U
0
t1 t2
R
LC
K
i
L
U s
U c
1 2
( 0 ) ( 0 ) 1 0CCU U V
0
(0 ) 0CL
t
dUiC
dt?
解,
2
1,2
1
22
RRS
L L L C
122 6 8,3 7 3 2SS
12
12
2 1 2 1
( 0 )( 0 ) 1 0,7 7,0,7 7C
C
SUSA U A
S S S S
2 6 8 3 7 3 2( ) ( 1 0,7 7 e 0,7 7 e )ttCU t V
1 0,1,4,SU V C F R K
12? ()CUt
例 1:
K从,求,1,LH?
2
1,2 d
1
22 ()
R j
L L CLS
R
2
R
L
2 2 2
0
1 ()
2d
R
L C L
0?
齐次方程特征根,
式中,—— 衰减系数，
—— 振荡角频率
—— 谐振角频率式中 为待定系数,由初始条件而定
.
( ) s i n ( )C dtU t e tA
,A?
过渡过程一般形式,
2 LR C?
2 1
2
R
L L C
2
0CC Cd U d ULC R C Ud t d t
2),即 (振荡放电过程 )
R
LC i
U c方程欠阻尼
1
0
0
0
s in
0 s in c o s
d
d
d
tg
UA
AU
0( 0 ),CUU
由 得
0
0C
t
dU
dt
d
o
10
0( ) s i n ( )
t d
Cd
d
U t U e t t g
te
电容电压衰减振荡，衰减由决定。
t
u
C
U
0
波形图电流最大值出现时间,
1
0 sin( ) c os( ) 0
1
d d d
d
d
di
tt
dt
t tg
电容电感元件之间有周期性的能量交换。
00e s i n ( ) e s i n ( )ttC
dd
dd
d U U UC t t
d t L Li
t
()ti
m ax
i
41 5,1 7 0 0,6 1 0SU K V C F R
96 1 0LH ()it
maxi
例 2：脉冲磁场电流产生。
R
LC
K
i
L
U s
U c
,求 及,
9
43
6
6 1 06 1 0 2 2 3,7 5 1 0
1 7 0 0 1 0
LR
C
251 3 1 0
d LC
650 45 1 0s i n 8,3 1 0 s i n ( 3 1 0 )
d
d
ttU e t e t A
Li
解：二阶电路，
振荡过程：
45 1 0,
2
R
L
1 1 6
5
11 6 4,6 1 0
3 1 0
d
d
t t g t g
6 5 6
m a x
465 10 4,6 108.3 10 si n( 3 10 4.6 10 )ei
6m a x 6,3 1 0iA
当 秒
0R? 00,d
00( ) s i n ( 9 0 )cu t U t
讨论,当 时,无衰减振荡,
t
t
e
()
C
Ut ()
C
Ut
t
0R?0R?
1,1,1,1SR L H C F U V
Li
()CUt
例 3:
K闭合已久,求 K打开后 和,
U C
C
R R
L
i
L
K
U s22 LRR
C
12RL
解,判别电路状态临界阻尼
2 LR C?
2 1
02RL L C
12 2
RSS
L
12( ) ( ) eC tU t A A t
3>.,即方程为重根
(单调衰减 )
临界阻尼
U C
C
R R
L
i
L
代入得,11
2 1 2
10 AA
A A A
( ) e,e CC ttL dUU t V C Adti
12,( ) ( ) e tCU t A A t
( 0 ) ( 0 ) 1CCUU
方程解,
初始条件,
0
(0 ) (0 ) 1,CLL
t
dUi i C
dt?
( 0 ) 1CdU
dt
即
2
2
d dd
d d d
CC
L
L UU LU L L C
t t R t
i
例 4,判别电路响应形式,
U C C
R L
i L
建立电路方程 d,
d
CC
L
UUC
Rti
0LCUU 2
2 0.
CC
C
d U d ULL C U
d t R d t
回路方程,
22
1,2
4 1 1 1
2 2 2
b b acS
a RC RC L C
特征根讨论,RLC 串联时,增大 R可抑制振荡,
RLC并联时,减小 R可抑制振荡,
1 ~2 C
RL
1 2 C
RL?
判别式,,当 时,二个负实根,无振荡,
R
LC
K
i
L
U s
U c
1 2
例,建立电感电流为变量的二阶电路方程。
1( ) ( )
CLu t i t d tC
( ) 0L LCdiL R i u tdt
求导：
2
2 0
LL
L
d i d iL C R C i
d t d t
初始条件,( 0 ) 0
Li
( 0 ) 1 ( 0 )L
C
di u
d t L
8.8 RLC电路阶跃响应
V cc
主控机控制信号位置反馈驱动信号工件控制系统实例
() 1 ( )S SU t U t?
U s( t )
R L
C U c
数学模型：
电容电压阶跃响应
CSUU
2
2
dd
dd
CC
CS
UUL C R C U U
tt
解,电路方程 (二阶非齐次方程 ).
方程解 =特解 +通解方程特解 (稳态解 ):
通解,1>,当 3,2 2LRR
C
22
1,2
1( ) 1,5 ( 1,5 ) 1
22
RRS
L L L C
(过阻尼 )
( 0 ) 0,( 0 ) 0,CLUi
()CUt
例,
U s( t )
R L
C U c
求,() 1 ( )
S SU t U t?
1,CF? 1,2,3,设,1,LH? 分别为R
2,2 2LRR C 12 12RSS L
0 1 2( ) ( ) tCU t U A A t e
2>.当 临界阻尼,
0
d(0 ) 0,0
d
C
C
t
UU
t
由初始条件,
得,
00( ) ( 1 )C tU t U U t e
1 0,3 8,S
0,3 8 2,6 212() ttCSU t U K e K e
0
(0 ) 0,0CC
t
dUU
dt?
00 0,3 8 2,6 2( ) 1,1 7 0,1 7C ttU t U U e U e
初始条件,代入解出得,
2 2,6 2S
1 2 2LRR C
2
1
2
0
3
( ) s in (
1 1 3
,
2 2 2
),
2
C
d
t
Ut
R
L LC
U A e t?
3>.当,欠阻尼振荡
3
23t
4
2,4133ts 0( 2,4 1 )CUU?
当 即 时,
1
0
0
0 s i n 3 6 0
213
0 s i n c o s
322
UA tg
AU
00
223( ) s i n ( 6 0 )
23C
t
U t U U e t
0
(0 ) 0,0CC dUU dt
随着 R减小,系统出现振荡,R越小,超调量越大,
响应速度与超调量是互相关联的,在系统设计时应考虑二者之间的关 。
波形图
0 2,4 1ts?
1,;CSR U U
2,R 0,6 9 ;
CSUU?
3,0,5 3CSR U U
讨论,减小 R可使系统响应加快,在时,
.
t
U C
t O
R 1
R 3
例 5,如图电路,
121 0,2,RR
R 1
R 2
C
L
U c
i
L
U s 1
U s 2
k
1
2
C=0.25F,L=2H,
126,1 2,SSU V U V
开关 K在 1已久,求 K打至 2后电感电流和电容电压,
解,初始值 ( 0 )t
1
12
( 0 ) 0,5SL UiARR 2( 0 ) ( 0 ) 1CLU R i V
开关切换后,取电容电压为求解变量,
CC
L
d u uiC
d t R
12
L
L C S
diL R i u U
dt
CC
L
d u uiC
d t R
2
1
122
22
( ) ( 1 )CC CSd u d u RLL C R C u Ud t R d t R
R 1
R 2
C
L
U c
i
L
U s 2
代入数字 2
2 7 1 2 2 4
CC
C
d u d u u
d t d t
方程特解 ( ) 2
CPu t V?
R 1
R 2
C
L
U c
i
L
U s 2
2
2 7 1 2 0
CC
C
d u d u u
d t d t
齐次方程根
2 7 1 2 0ss
123,4ss
齐次方程通解 34
12() ttchu t K e K e
方程全解,34
12( ) ( ) ( ) 2ttC c h c pu t u t u t K e K e
初始条件,
( 0 ) 0,5LiA( 0 ) ( 0 ) 1CCU U V
0
2
(0 )(0 ) 0CC L
t
d u ui
d t C R C?
R 1
R 2
C
L
U c
i
L
U s 2
1212KK
120 3 4KK
解得,
1
2
4
3
K
K
34( ) 2 4 3ttCu t e e
8.9 RLC电路的冲击响应
0 0 0 0
0 0 0 0
() ()C
CC
d U tL C d R C d U U d t t d t
dt?
0
000
( 0 ) ( 0 ) 1CC C C C
tt
d U d UL C R C U U U d t
d t d t
2
2
0
()
( 0 ) 0,( 0 ) 0 0
CC
C
C
CL
t
d U d U
L C R C U t
d t d t
dU
Ui
dt
即例,零初始条件下冲击电压响应
R L
C U c
i
L
()t?
0? 0? (0 )
CU? (0 )Li?
冲击响应只在 到 作用，应先求出 和 的值。
0t?当 时，电路等于在上述初始条件下的零输入响应。
CU CdU
dt
( 0 ) ( 0 )CCUU
0
1C
t
dULC
dt
00
0
0
( 0 ) ( 0 1)CC
t
CCC
t
L C R Cd U d Udt UdU tdt U
由式二边比较 应为连续函数,否则 为冲激函数。
即,
0
( 0 ) ( 0 ) 0
1
CC
C
t
UU
dU
dt L C
初始条件为,
RLC串联时,冲击电压能量全部降落在电感上 ！
8-10 高阶电路过渡过程的经典法求解介绍例,如图电路，
1 2 31 2,2,1,1,SU V R R R C F
12 1,L L H
开关打开已久，求开关闭合后
12( ),( ),( ),Ci t i t u t和
i
1
i
2
R 1
L 1
L 2
R 3
R 2
C
u c ( t)
U s
k
解,建立电路方程
1
1 1 1 3 1 2() S
diR i L R i i U
dt
2
2 2 2 2 3 1 2
0
1 ( ) ( ) 0tdiL i d R i R i i
d t C
……,1
……,2
3式代入 4式
32
2 3 1 1 3 21 2 1 1
33
( ) ( )[]L R R L R RL L d i d i
R d t R d t
3 1 3 2 1 311
31
3 3 3 3
( ) ( )[] SR R R R R R UL d iRi
R R C d t R C R C
……,5
由 1式得,
1
1 3 1 1
2
3
() SdiR R i L U
dti
R
……,3
对 2式求导
2
2 2 1
2 3 2 3 22
1( ) 0d i d i d iL R R R i
d t d t d t C
……,4
代入数据 32
1 1 1
1326 9 3 1 2
d i d i d i i
d t d t d t
特解
1 4pi?
32
1 1 1
1326 9 3 0
d i d i d i i
d t d t d t
通解
326 9 3 0s s s
21 31,6 53,8 8 0,4 7,,ss s
3,8 8 1,6 5 0,4 71 1 2 3t t thi k e k e k e
全解
3,8 8 1,6 5 0,4 71 1 2 34 t t ti k e k e k e
初始条件,
11( 0 ) ( 0 ) 0ii 2 ( 0 ) 0,( 0 ) 1 2Ciu
(1)
1
1 1 1 3 1 2() S
diR i L R i i U
dt
由
3 1 2 1 11
1
()SU R i i R idi
d t L
,得
(2)
1 ( 0 ) 12
S
di U
dt
2
2 2 2 3 1 2( ) 0C
diL u R i R i i
dt
同理由 得
2 12di
dt
1
1 1 1 3 1 2() S
diR i L R i i U
dt
对 求导得
2
1 1 1 2
1 1 32 ( ) 0
d i d i d i d iR L R
d t d t d t d t
(3) 2
1
2
( 0 ) 24di
dt
由三个初始条件解得,
3,8 8 1,6 5 0,4 71 ( ) 4 3,3 7 1,1 4 1,7 7t t ti t e e e
0(0 )LiI
0L LdiL R idt
1）零输入响应方程初始条件
U s
R
KR
L
i
L
为时间常数,
.
tR t
L
Li k e k e
L
R
0
t
Li I e
方程解由初始条件解得,
i
L
t
I o
U s
K R
i
L
(0 ) 0Li
( ) ( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]LL LL
t
i t i t i i e稳稳
() SSL
R t
LUUi t e
RR
2）零状态响应用三要素法直接导出
C RC
L
L
R
讨论,RC电路与 RL电路结构参数对过渡过程影响的分析。
R
C U c
R
L
iL
i L
t
I o R
1
R 2
R 1R 2
u L
t
U o R
1
R 2
R 1 R 2
R 2
i
L
L
R 1
5ms
5ms
Us
解：三极管导通和截止时的等效电路如图所示，并联续流二极管的作用是防止电感产生过
R 2
i
1
L
R 1 U s
L
R 1
i
2
三极管导通时
(5ms)
三极管截止时
(5ms)
大反电势。
10,1,1 0,L H R
()Lit
例 1：图示为开关驱动线路，
2 990R,控制信号开通和关断持续时间为 5ms，设系统运行已久，
？
10SUV?，
试求
0
12
11
0,1 0,1 )
1000 (
L T
RR ms
对于导通时期,
时间常数,
R 2
i
1
L
R 1 U s
12
1
10 0,0 1
1000
S
LP
U A
RRi
1(0 )i?
1
41 10(0( ) 0.0 1 [ 0.0 1 ]) e tt ii
应用三要素法，
（稳态值）
开通初始值 即为关断时期的最后值，
.
L
R 1
i
2
对于关断时期,
20
1
2
0,1 1 0 ( 2 )
10
L m s T
R
稳态值 2 0LPi?
初始值
2(0 )i?
即为开通 5ms 后的值。
注意：
01 T?
开通 5ms，即经过 后，可以认为系统已达稳态，即
2
12
1 ( 5 ) 0,0 1 (0 )
sUm s A i
RR
i
5?
2
1002
2 ( ) ( 0 ) 0,0 1
t
tt i e e Ai
得：
1
22 ( 5 ) 0,0 1 0,0 0 6 1m s e Ai
12( 0 ) ( 5 ) 0,0 0 6 1i i m s A
410
1 ( ) 0,0 1 0,0 0 3 9 ttei
当关断 5ms后，
此值即为开通时初始值开通时电流表达式电流波形如图导通 截止
i
L
t
解,闭合后左侧电路方程
1 ()
SL
LS
ddL R u t M
dt dt
ii i
0,1 1 0 2 1 0 sinL Ld tdti i代入已知数据,得电路稳态解 (特解 )为
0
1
2 0 5 2 9 0 2 0,5 4 5
1 0 1 0
S
L
SU j M I jI
R j L j
02 0,5 s i n ( 1 0 0 4 5 )L ti特求,K闭合后 。
例 2：图示电路,已知
( ) 2 2 0 s i n 1 0 0,SU t t?
()tu
12 0,1,L L H
02 2 s i n ( 1 0 0 9 0 ),0,0 5,S t A M Hi
10,R ()s tu
()s ti
R
R
()tuL 1 L 2
M
i
1
电路暂态解 (特解 )为 1 ()L RL tit e k
1 0 0 02 0,5 s i n ( 1 0 0 4 5( ))L tit etk
全响应：
有初始条件,得 0.5?k=
0 1 0 02 0,5 s i n ( 1 0 0 )) 5( 4L tteit -0.5
()s tu
()s ti
R
R
()tuL 1 L 2
M
i
1
2
() ()( ) ( ) S L
S
dt dtu t R t L M
d t d t
i iiK闭合后
00
0 10 0
2 20 c os( 90 )
2 2.5 c os(
2 20 sin( 90
4)
)
5 2.5 t
t
t
t
e?
0 3 0 9
L
LRL
1 1'
L
U s P u ( t)
0,3,L H P?
30( ) 3 7,5 tu t e
1
90CF?
()Ut
例 3,为电阻网络，开关闭合后，
零状态响应现把 L换为,则零状态响应为多少？
0
0
1,
30L
L R
R
11解,L时间常数 为 端入端电阻。
0
1
10C RC
换为电容后 。
11
11讨论,L时的稳态值等于 C 时初始值（ 短路） 。
L时的初始值等于 C时的稳态值（ 开路）。
得：
( ) [ ( 0 ) ] c
t
U t U U U e稳稳
10
(0 )
( ) 4,5 7,5
(0 ) 4,5,3
t
UU
Ue
U
t
稳设,C时例 4,如图电路,1
10,,0.01,0.5,242 SR C F L H U V
开关闭合已久,求开关
()KUt 。 K
R R
R
L
U c
i
L
i
i?
C
U s
U K
打开后的解,开关打开后电路分成为 RC和 RL电路。
电路初始值：
(1 )SU IR IR
( 0 )t
1,6( 2 )SUIAR
( 0 ) 8CUV ( 0 ) 0,8L Ai
电容电压：
Ri
C
U s
U c
( ) [ ( 0 ) ]CC
t
u t u u u e稳稳
10( ) 2 4 [ 8 2 4 ]
C
tut e
0,1RC
10( ) 1.6C tdui t C
dt e
电感电流：
R
R
L
i
L
i?0 10( ) 1 6 tu t R i e
（指数激励源）
R
L
i
L
u o ( t)
1016L
L
tdiRi L
dt e
102 tLi A e
1 0 1 0 1 05 1 0 1 6t t tA e A e e
特解代入原式特解为得 3,2A
102 3,2 tLie
通解 20
1
R t
tL
Li k e k e
( 0 ) ( 0 ) 0,8LLi i A 4k?
全解由 得有
2 0 1 0( ) 3,2ttLi t k e e
2 0 1 0( ) 4 3,2ttLi t e e
K
R R
R
L
U c
i
L
i
i?
C
U s
U K
开关两端电压,( ) ( ) L
kC
diu t u t i R L
dt
1 0 2 0( ) 2 4 2 4 4 0ttku t e e
()s tu
R
Lu
L
例 5,如图电路,02 1 0 4 5 3,1 )( ) s i n (
S ttu
当 t=0时开关闭合,测得电感电压为
02( ) 8 s i n (4 9 0 )L ttu,试求电阻和电感的值,
解,稳态电感电压为
0 0 1
221 0 ( 5 3,1 9 0 )()LS
Lg
R
j L LUU
R j L RL t
0 0 1
22( ) 2 1 0 s i n ( 4 5 3,1 9 0 )()Lp
Lg
R
Lu t t
RL
t
电感电压,
( ) ( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]
R
LL L p L L p tu t u t u u e
()s tu
R
Lu
L
2
22
2
00
0 0
1
1
1 0 2
()
1 0 2 1 0 2
(
s
4
5 )
9 53,1
5.
0
9 310
( ) sin( 4 )
[ in( ) ]
L
L
g
L
L
R
RR
g
RL
L
L
u t t t
t
+
由题意可知,
01 53,1Lg
R
t
22
4
5()
L
RL
(无过渡过程 )
得,
3R
4L 4
1LH
A
R
R
R
C
Li
L
U s
c
u
a解：
() RCC S S tt U Uu e
() CS RCC
td u U
tC d t Ri e RCCSa
t
Ru Ui e
L RC
LS
td
L R Udti i e
1
R
LL tkei
,特解通解
2 RCL
tAei
例 6,如图电路,，
求开 关闭合后电感电流 。
Li
(0 ) 0Cu (0 ) 0Li
A
R
R
R
C
Li
L
U s
c
u
a
2
SRCUA
LR
代入原式：,得特解为：
RC
S
R C R C
tt tA
e A eL RURC e
2 2
RC
L
S
tR C U
LR ei
全解：
2
S RCL
L
R tt RC
eUk Le Ri
( 0 ) ( 0 ) 0LLii由得有
2
SRCUk
RL
2 ()
R
L
L
S RC t
t
e eR C ULRi
8.6 阶跃响应和冲激响应
0 01 ( )
1 0
tt
t
1）单位阶跃函数
t1
1(t)
0
0
0
0 1 ( )
1
tttt
tt
t
1
1(t-t o )
t o
单位阶跃函数相当于一开关函数。
() tft e ( )1 ( ) 1 ( )tf t t te ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 )tf t t te
t t
t o
t
00( )1 ( )f t t t t
t
00
( ) 1 ( )f t t t t
t o
0( )1 ( )f t t t? t
t o
0
( ) 1 ( )f t t t?
注意：
( )1( )f t t
t
( ) 1 ( )f t t
0( ) [ 1 ( ) 1 ( ) ]s t U t t tu方波信号,t
t o
U
u s ( t)
0( ) 1 ( )SU t U t t
()CUt
例：,( 0 ) 0,
CU
求 。
R
CU cU s
( ) 1 ( )SU t U t? ( ) ( 0 )tRCC S SU t U U e t当 时，
t
t
0( ) 1 ( )SU t U t t 0t 0t
0
1 ()
0( ) e ( )
ttRC
C S SU t U U t t
0
1 ()
0( ) [ e ] 1 ( )
ttRC
C S SU t U U t t
当,激励延迟,响应也退后或 t o
t
t
t o
0 0
()
( ) d 1
t
t
tt
2) 单位冲击函数
t
()t?
0
0( ) ( ) d ( 0) ( ) d ( 0)f t t t f t t f
常用作取样函数
0
0
0 0
()
( ) d 1
t
tt
t t t
t
to
()Ott
0物理意义,矩形脉冲 当时转化为冲击函数
t
1
()t?
) (d( )LL diiRt tt L t
例,RL电路在冲击电压源下的响应
()t?
R
L
i
L
0t (0 )
Li?
0 0 0
0 0 0d ( ) ( ) dLLR dt L i t t ti?
两边积分求 时
()Lit
()
d
Ldi t
t ()t?
为有限值因为 与应为同阶无穷大,
[ ( 0 ) ( 0 ) ] 1LLL i i
1(0 )
L Li
1( ) (0 )e e ( 0 )RRLL
LL
tttt
Lii
有则
(初始值有跳变 )
()t?
R
C
U c
2
d 1,e ( 0 )
d
C
t
RCcc UCt
t R Cii
电容电流,
0t 0t
(0 ) (0 ) 1 ( ),CC
C
to UU
Ct tRi?
在 到 期间,
d ( ).
d
C
C
URC U t
t
例,RC电路在冲击电压源后的响应,
( 0 ) 0 CU
0 0 0
0 0 0
d ( ) ( ) d ( ) dCCRC U t U t t t t?
()CUt
1( ) e ( 0 )tRC
CU t tRC
为有限值 ( 0 ) 1
CR C U 1 ( 0 ),
CU RC
2
11( ) ( 0 )tRC
c t e tR R Ci
总电流响应为,
d ()
d
CCUUCt
Rt
1( 0 )
CU C
讨论,
()t?
R U c
d ()
d
L
L
iL it
Rt
(0 )L RLi
()t?
R
L
i L
1
2
dd( ) ( )
dd
LL
L
iiLR i L t
R t t
2
12
1(0 )
L
Ri
R R L
()t? L
i
L
R 1
R 2
0t 0t (0 )
CU?
(0 )Li?
方法,列电路方程 → 两边在 到 积分 → 求和 。
d( ) 1 ( )
dttt
冲激函数是阶跃函数的导数：
求电路的冲激响应时,可先求电路的阶跃响应,然后对阶跃响应求导,得电路的冲激响应。
()t?
R
C
U c
例,求 RC电路在冲击电压源后的响应
( 0 ) 0 CU
( ).Cut
由三要素法直接写出电路的 阶跃响应，
1 ( ) 1C
t
RCu t e
1 ( ) e ( 0 )tRC
CU t tRC?
冲激响应：
1 () 1() C
C
t
RCd u tu t e
d t R C?
即
0( 0 ),( 0 ) 0CLU U i
()CUt
2
2
d,,
d
C C CL
RL
U d U d Udii C u R i R C u L L C
t d t d t d t
2
2
d 0CC
C
d U ULC R C U
d t d t
8.7 RLC电路零输入响应 (二阶电路 )
例,
k
R
C L
U c
i
电路方程 (KVL),以 为变量,
得,
齐次方程的特征根,
2 10L C s R C s
2
1
2
2
()
(
1
2
22
1
2
)
S
S
RR
LL
RR
L
C
CL
L
L
电路方程为二阶齐次方程,电路包含二个动态元件,故称为 二阶电路,
齐次方程根：
2 10L C s R C s
2
1,2
( ) 4
2
R C R C L Cs
LC
二阶电路根据电路参数不同,其电容电压过渡过程 (输出响应 )也不同,
2 LR C? 2 1( ) 02RL L C 12,SS1) 当,即,特征根为二个不等负实根
0 1 2
1 1 2 20
U A A
A S A S
2
10
21
1
20
21
S
AU
SS
S
AU
SS
代入上式 得,
1212(),C s t s tU t A e A e
0( 0 )CUU
0
d(0 ) 0
d
C
L
t
UiC
t?
0
0C
t
dU
dt
初始条件,
,即过阻尼
1
12
2
12
0
21
0
21
21
( ) (
d
(e
d
)
e
ee
)
S t S tC
S t S t
C
U SS
iC
U
U t S S
SS
CU
t S S
有
120
12
21
d ( e e )
d
S t S tc
L
iUu L S S
t S S
过渡过程单调衰减,电路无振荡,
t
U
0 u
C
u
L
i
L
U
0
t1 t2
R
LC
K
i
L
U s
U c
1 2
( 0 ) ( 0 ) 1 0CCU U V
0
(0 ) 0CL
t
dUiC
dt?
解,
2
1,2
1
22
RRS
L L L C
122 6 8,3 7 3 2SS
12
12
2 1 2 1
( 0 )( 0 ) 1 0,7 7,0,7 7C
C
SUSA U A
S S S S
2 6 8 3 7 3 2( ) ( 1 0,7 7 e 0,7 7 e )ttCU t V
1 0,1,4,SU V C F R K
12? ()CUt
例 1:
K从,求,1,LH?
2
1,2 d
1
22 ()
R j
L L CLS
R
2
R
L
2 2 2
0
1 ()
2d
R
L C L
0?
齐次方程特征根,
式中,—— 衰减系数，
—— 振荡角频率
—— 谐振角频率式中 为待定系数,由初始条件而定
.
( ) s i n ( )C dtU t e tA
,A?
过渡过程一般形式,
2 LR C?
2 1
2
R
L L C
2
0CC Cd U d ULC R C Ud t d t
2),即 (振荡放电过程 )
R
LC i
U c方程欠阻尼
1
0
0
0
s in
0 s in c o s
d
d
d
tg
UA
AU
0( 0 ),CUU
由 得
0
0C
t
dU
dt
d
o
10
0( ) s i n ( )
t d
Cd
d
U t U e t t g
te
电容电压衰减振荡，衰减由决定。
t
u
C
U
0
波形图电流最大值出现时间,
1
0 sin( ) c os( ) 0
1
d d d
d
d
di
tt
dt
t tg
电容电感元件之间有周期性的能量交换。
00e s i n ( ) e s i n ( )ttC
dd
dd
d U U UC t t
d t L Li
t
()ti
m ax
i
41 5,1 7 0 0,6 1 0SU K V C F R
96 1 0LH ()it
maxi
例 2：脉冲磁场电流产生。
R
LC
K
i
L
U s
U c
,求 及,
9
43
6
6 1 06 1 0 2 2 3,7 5 1 0
1 7 0 0 1 0
LR
C
251 3 1 0
d LC
650 45 1 0s i n 8,3 1 0 s i n ( 3 1 0 )
d
d
ttU e t e t A
Li
解：二阶电路，
振荡过程：
45 1 0,
2
R
L
1 1 6
5
11 6 4,6 1 0
3 1 0
d
d
t t g t g
6 5 6
m a x
465 10 4,6 108.3 10 si n( 3 10 4.6 10 )ei
6m a x 6,3 1 0iA
当 秒
0R? 00,d
00( ) s i n ( 9 0 )cu t U t
讨论,当 时,无衰减振荡,
t
t
e
()
C
Ut ()
C
Ut
t
0R?0R?
1,1,1,1SR L H C F U V
Li
()CUt
例 3:
K闭合已久,求 K打开后 和,
U C
C
R R
L
i
L
K
U s22 LRR
C
12RL
解,判别电路状态临界阻尼
2 LR C?
2 1
02RL L C
12 2
RSS
L
12( ) ( ) eC tU t A A t
3>.,即方程为重根
(单调衰减 )
临界阻尼
U C
C
R R
L
i
L
代入得,11
2 1 2
10 AA
A A A
( ) e,e CC ttL dUU t V C Adti
12,( ) ( ) e tCU t A A t
( 0 ) ( 0 ) 1CCUU
方程解,
初始条件,
0
(0 ) (0 ) 1,CLL
t
dUi i C
dt?
( 0 ) 1CdU
dt
即
2
2
d dd
d d d
CC
L
L UU LU L L C
t t R t
i
例 4,判别电路响应形式,
U C C
R L
i L
建立电路方程 d,
d
CC
L
UUC
Rti
0LCUU 2
2 0.
CC
C
d U d ULL C U
d t R d t
回路方程,
22
1,2
4 1 1 1
2 2 2
b b acS
a RC RC L C
特征根讨论,RLC 串联时,增大 R可抑制振荡,
RLC并联时,减小 R可抑制振荡,
1 ~2 C
RL
1 2 C
RL?
判别式,,当 时,二个负实根,无振荡,
R
LC
K
i
L
U s
U c
1 2
例,建立电感电流为变量的二阶电路方程。
1( ) ( )
CLu t i t d tC
( ) 0L LCdiL R i u tdt
求导：
2
2 0
LL
L
d i d iL C R C i
d t d t
初始条件,( 0 ) 0
Li
( 0 ) 1 ( 0 )L
C
di u
d t L
8.8 RLC电路阶跃响应
V cc
主控机控制信号位置反馈驱动信号工件控制系统实例
() 1 ( )S SU t U t?
U s( t )
R L
C U c
数学模型：
电容电压阶跃响应
CSUU
2
2
dd
dd
CC
CS
UUL C R C U U
tt
解,电路方程 (二阶非齐次方程 ).
方程解 =特解 +通解方程特解 (稳态解 ):
通解,1>,当 3,2 2LRR
C
22
1,2
1( ) 1,5 ( 1,5 ) 1
22
RRS
L L L C
(过阻尼 )
( 0 ) 0,( 0 ) 0,CLUi
()CUt
例,
U s( t )
R L
C U c
求,() 1 ( )
S SU t U t?
1,CF? 1,2,3,设,1,LH? 分别为R
2,2 2LRR C 12 12RSS L
0 1 2( ) ( ) tCU t U A A t e
2>.当 临界阻尼,
0
d(0 ) 0,0
d
C
C
t
UU
t
由初始条件,
得,
00( ) ( 1 )C tU t U U t e
1 0,3 8,S
0,3 8 2,6 212() ttCSU t U K e K e
0
(0 ) 0,0CC
t
dUU
dt?
00 0,3 8 2,6 2( ) 1,1 7 0,1 7C ttU t U U e U e
初始条件,代入解出得,
2 2,6 2S
1 2 2LRR C
2
1
2
0
3
( ) s in (
1 1 3
,
2 2 2
),
2
C
d
t
Ut
R
L LC
U A e t?
3>.当,欠阻尼振荡
3
23t
4
2,4133ts 0( 2,4 1 )CUU?
当 即 时,
1
0
0
0 s i n 3 6 0
213
0 s i n c o s
322
UA tg
AU
00
223( ) s i n ( 6 0 )
23C
t
U t U U e t
0
(0 ) 0,0CC dUU dt
随着 R减小,系统出现振荡,R越小,超调量越大,
响应速度与超调量是互相关联的,在系统设计时应考虑二者之间的关 。
波形图
0 2,4 1ts?
1,;CSR U U
2,R 0,6 9 ;
CSUU?
3,0,5 3CSR U U
讨论,减小 R可使系统响应加快,在时,
.
t
U C
t O
R 1
R 3
例 5,如图电路,
121 0,2,RR
R 1
R 2
C
L
U c
i
L
U s 1
U s 2
k
1
2
C=0.25F,L=2H,
126,1 2,SSU V U V
开关 K在 1已久,求 K打至 2后电感电流和电容电压,
解,初始值 ( 0 )t
1
12
( 0 ) 0,5SL UiARR 2( 0 ) ( 0 ) 1CLU R i V
开关切换后,取电容电压为求解变量,
CC
L
d u uiC
d t R
12
L
L C S
diL R i u U
dt
CC
L
d u uiC
d t R
2
1
122
22
( ) ( 1 )CC CSd u d u RLL C R C u Ud t R d t R
R 1
R 2
C
L
U c
i
L
U s 2
代入数字 2
2 7 1 2 2 4
CC
C
d u d u u
d t d t
方程特解 ( ) 2
CPu t V?
R 1
R 2
C
L
U c
i
L
U s 2
2
2 7 1 2 0
CC
C
d u d u u
d t d t
齐次方程根
2 7 1 2 0ss
123,4ss
齐次方程通解 34
12() ttchu t K e K e
方程全解,34
12( ) ( ) ( ) 2ttC c h c pu t u t u t K e K e
初始条件,
( 0 ) 0,5LiA( 0 ) ( 0 ) 1CCU U V
0
2
(0 )(0 ) 0CC L
t
d u ui
d t C R C?
R 1
R 2
C
L
U c
i
L
U s 2
1212KK
120 3 4KK
解得,
1
2
4
3
K
K
34( ) 2 4 3ttCu t e e
8.9 RLC电路的冲击响应
0 0 0 0
0 0 0 0
() ()C
CC
d U tL C d R C d U U d t t d t
dt?
0
000
( 0 ) ( 0 ) 1CC C C C
tt
d U d UL C R C U U U d t
d t d t
2
2
0
()
( 0 ) 0,( 0 ) 0 0
CC
C
C
CL
t
d U d U
L C R C U t
d t d t
dU
Ui
dt
即例,零初始条件下冲击电压响应
R L
C U c
i
L
()t?
0? 0? (0 )
CU? (0 )Li?
冲击响应只在 到 作用，应先求出 和 的值。
0t?当 时，电路等于在上述初始条件下的零输入响应。
CU CdU
dt
( 0 ) ( 0 )CCUU
0
1C
t
dULC
dt
00
0
0
( 0 ) ( 0 1)CC
t
CCC
t
L C R Cd U d Udt UdU tdt U
由式二边比较 应为连续函数,否则 为冲激函数。
即,
0
( 0 ) ( 0 ) 0
1
CC
C
t
UU
dU
dt L C
初始条件为,
RLC串联时,冲击电压能量全部降落在电感上 ！
8-10 高阶电路过渡过程的经典法求解介绍例,如图电路，
1 2 31 2,2,1,1,SU V R R R C F
12 1,L L H
开关打开已久，求开关闭合后
12( ),( ),( ),Ci t i t u t和
i
1
i
2
R 1
L 1
L 2
R 3
R 2
C
u c ( t)
U s
k
解,建立电路方程
1
1 1 1 3 1 2() S
diR i L R i i U
dt
2
2 2 2 2 3 1 2
0
1 ( ) ( ) 0tdiL i d R i R i i
d t C
……,1
……,2
3式代入 4式
32
2 3 1 1 3 21 2 1 1
33
( ) ( )[]L R R L R RL L d i d i
R d t R d t
3 1 3 2 1 311
31
3 3 3 3
( ) ( )[] SR R R R R R UL d iRi
R R C d t R C R C
……,5
由 1式得,
1
1 3 1 1
2
3
() SdiR R i L U
dti
R
……,3
对 2式求导
2
2 2 1
2 3 2 3 22
1( ) 0d i d i d iL R R R i
d t d t d t C
……,4
代入数据 32
1 1 1
1326 9 3 1 2
d i d i d i i
d t d t d t
特解
1 4pi?
32
1 1 1
1326 9 3 0
d i d i d i i
d t d t d t
通解
326 9 3 0s s s
21 31,6 53,8 8 0,4 7,,ss s
3,8 8 1,6 5 0,4 71 1 2 3t t thi k e k e k e
全解
3,8 8 1,6 5 0,4 71 1 2 34 t t ti k e k e k e
初始条件,
11( 0 ) ( 0 ) 0ii 2 ( 0 ) 0,( 0 ) 1 2Ciu
(1)
1
1 1 1 3 1 2() S
diR i L R i i U
dt
由
3 1 2 1 11
1
()SU R i i R idi
d t L
,得
(2)
1 ( 0 ) 12
S
di U
dt
2
2 2 2 3 1 2( ) 0C
diL u R i R i i
dt
同理由 得
2 12di
dt
1
1 1 1 3 1 2() S
diR i L R i i U
dt
对 求导得
2
1 1 1 2
1 1 32 ( ) 0
d i d i d i d iR L R
d t d t d t d t
(3) 2
1
2
( 0 ) 24di
dt
由三个初始条件解得,
3,8 8 1,6 5 0,4 71 ( ) 4 3,3 7 1,1 4 1,7 7t t ti t e e e
