第九章 拉普拉斯变换,卷积积分,状态方程主要内容,
(1) 拉氏变换的定义及基本性质 ;
(2) 拉氏反变换方法 (分解定理 );
(3) 运算电路及初始条件的转换 ;
(4) 网络函数及零极点分析 ;
(5) 卷积积分 ;
(6) 状态方程的建立,
R 3
R 3
R ZC 1 C 2
L 1 L 2
u s ( t)
u ( t)
1) 直流激励源,直流稳态解,
2) 正弦交流激励源,正弦交流稳态解,(复数变换 )
稳态电路,
3) 任意激励源,电路全响应 (动态电路 ),
动态电路,
(时域解微分方程 )
(拉氏变换 )
( ) s i nsU t U t
( ) s i n ( )i t I t
s in s in ( )
c o s ( )
u t R I t
L I t
s i n ( )i I t
正弦交流电路三角函数计算设直接计算反变换
0sUU
sII
SU R I j L I
SUII
R j L
相量电路变换复数计算
1）变换域求解电路问题的讨论,
在正弦交流电路中，相量计算是变换域求解的方法。
i
L
R
L
u s ( t)
9.1 拉氏变换及其应用概述利用变换域解电路问题是为了简化电路计算！！
0(0 )
L
s
L
di
U R i L
dt
ii?
( ) [ ( 0 ) ]SS
tUU
i t i eRR
电路微分方程时域
（解微分方程）
拉氏正变换拉氏逆变换
( ) ( )
( ) (0 )
SU S R I S
L S I S L i?
( ) ( 0 )() SU S LiIS
R s L
S域象函数频域运算电路
（解代数方程）
( S )
R
LU s I S
( S )
用拉氏变换解动态电路的三个要点：
① 激励函数的变换 （ 正变换 ）
② 电路元件的变换 （ 运算电路 ）
③ 频域响应的逆变换 （ 逆变换 ）
拉氏变换解动态电路的内容,
(1) 拉氏变换原函数和象函数的转换 ;
(2) 运算电路的建立及初始条件表示 ;
(3) 运算结果 (象函数 )转换为时域表达式 (分解定理 ).
一个定义在 的函数,
0,? ()ft
sj 为复数。其中拉氏正变换为,
( ) [ ( ) ]F s f t? L
记作,
0
( ) ( ) stF s f t e d t
9.2 拉氏变换定义及基本性质
()
()
(),
()
Fs
Fs
ft
ft
为 的象函数为 的原函数.
拉氏反变换为,
1( ) ( )
2
cj st
cj
f t F s e d s
j?
1( ) [ ( ) ]f t F s L记作,
常见函数的拉氏变换：
① 单位阶跃函数 1( )t
11( ) 1 ( ) s t s t
ooF s t e d t esS
()t?
( ) ( ) d ( ) d 1ostooF s t e t t t
② 单位冲击函数
()t?
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 )t f t d t t f t d t f
式中利用了 的筛分性质，即：
③ 指数函数 e t?
( ) ( )1( ) e d e de es t s t s t
ooo
tF s t t
s
1
s
e t 1s
()t?
1(t)
1
1
S
拉氏变换的主要性质
① 线性性质
1 1 2 2( ) ( ),( ) ( )L f t F s L f t F s
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( s )L a f t b f t a F s b F
设,
则有
c o s 1 ( )tt s in 1 ( )tt
s i n 1 ( )tt
例 9-2-1 求,和的拉氏变换。
j t - j tee
( ) e d (s i n ( ) e d
2j
) s t s t
oo
F s tt t
- ( s - j ) t - (
2
t
2
s + j )1 1 1 1
( e e ) d ( )
22o
t
jj
s
s j s j
e t 1s
22
1 ( ) [ s in ( ) c o s c os in ( )
co
s s i
s s in
n ] 1 ( )L t L t t
s
s
tt
同理：
j t - j te + e
( ) e d (co ) e d
2
s ( ) s t s t
oo
tF s t t
- ( s- j ) t - ( s+ j ) t
22
1 1 1 1
( e e ) d ( )
22o
t
s j s j
S
S
( ) e
d
( ) ( ) e d
d
( ) ( ) e d ( ) ( )
st t
to
st
o
st
o
d
L f t f t t
dt t
Sf SF St fottf
证：
(分步积分 )
② 微分定理
( ) ( )L f t F s? d ( ) ( ) ( 0 )dL f t S F s ft
设 则
ft
11 00
n
nnnd f t s F s s f f
dt
L
高阶导数 的拉氏变换式：
11Lt s,L t L t
例 9-2-2 已知,求 。
1dt t
dt
01 11tL t s ts
解：由于,由 微分定理 得：
01 tL t s t S
同理：
1( ) d ( )toL f t t F ss
③ 积分定理
( ) ( )L f t F s?
设 则
21 1 11 ( )L t t s s s
由于得
1L t t1tt?例 9-2-3 求斜坡函数解：
的拉氏变换,
111 ( ) st st
oo t e dt esS
1( )tt?
2
1
s
例 9-2-4 求图示函数的拉普拉斯变换式 。
解：由图可知：
011f t t t t
0
0
0
1
11
1
1
st
st
e
f t t t t
ss
e
s
LL
t
ft
t 0
( ) ( )L f t F s?
11 1( ) 1 ( ) ( )stL f t t t t F se
④ 时域位移定理设则：
f ( t)
t
f ( t- t 1 )
t
t 1
22s in ()tLt se
例,求 的拉氏变换,s int te
解：由频域位移定理
sin t?
22s
( ) ( )L f t F s?
( ) ( )tL f t e F s
⑤ 频域位移定理设则：
1 1 2 2( ) ( ),( ) ( ),L f t F s L f t F s
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t
o
t
o
L f t f t L f t f d
L f f t d F s F s
⑥ 卷积定理设则卷积积分提供了二个象函数相乘的反变换公式 。
1
1 2 1 2( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )
t
of t L F s F s f f t d
卷积积分是信号处理中一个十分重要的公式,
2
1()
()Fs s
11 11( ) ( ) [ ]f t L F s L
ss
( ) ( )1 ( ) 1 ( )tt tt
ooe e t d e e d
1 ( )tt o tte ted
例：求 的原函数,
解,
1
1
()nS
2
1
()s 1( )
tte t
1
!
ntte
n
注意：当 为周期函数时,终值定理不可用 。
( 0 ) l im ( )sf s F s
()ft
⑦ 初值定理与终值定理
0( ) l im ( )sf sF s
( ) ( )L f t F s?设初值定理,
终值定理,
11 tf t e t
1 1 111Fs s s s s
1 0 l i m l i m 01
Ss
f s F s s
00 1 0fe
例 9-2-7．设,验证初值定理。
解：
又 得证常用拉氏变换表
()Fs
1
S
1
S 1
1
()nS
22S
22
S
S
()t? 1( )t te 1
!
ntte
n
sin t? cos t?
22()S
22()
S
S
()ft
s i ntet c o stet
1
()Fs
()ft
2
1
S
t
利用拉普拉斯反变换的定义式，将象函数代入式中进行积分，即可求出相应的原函数
1( ) ( )
2
cj st
cj
f t F s e d s
j?
但实际计算时,直接利用 拉普拉斯变换的公式,
把象函数 (频域响应 )利用部分分式展开的方法，
将之展开成简单分式之和。简单分式的反变换，可直接查表获得。
9.3 拉氏逆变换的展开定理
(从频域到时域的转换 )
实际计算时,分母多项式的因式分解是重要一环 。
1 2 1
( ) ( )()
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn
Q s Q SFs
P S S S S S S S S S
对分母因式分解：
1
1 1 0
1
1 1 0
()()
()
mm
mm
nn
nn
b S b s b s bQSFs
P S Q S Q S Q S a
()nm?
设 有理分式函数,
线性电路的频域响应结果一般为 实系数多项式,
2
32()
32
SFS
SS
2
3 2 3 2()
3 2 ( 2 ) ( 1 )
SSFS
S S S S
求系数 时,两边同乘,得,
1K 1SS?
112
11
2
()()( ) ( ) n
n
S S KS S KS S F s K
S S S S
令,得,
1SS
11 1( ) ( ) SSK s s F s
()ps
12
12
() n
n
KKKFs
S S S S S S
（ 1）当 均为 不等实根,原式可展开为：
( ) ( )ii issK s s F s
同理,可求得各系数,
分解时系数计算公式 !
逆变换式为：
1
()
n
i
i
istf t K e
12
12
() n
n
KKKFs
S S S S S S
e t 1s
2
32
35()
6 1 1 6
ssFs
s s s
求 的逆变换。
2
1 11
3 5 3( 1 ) ( )
( 2 ) ( 3 ) 2ss
ssK s F s
ss
2
31235
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
kkkss
s s s s s s
解：原式
2
2 22
35( 2 ) ( ) 3
( 1 ) ( 3 )SS
ssK s F s
ss
(三个单实根 )例 9-3-1：
35
322
()
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
FS
s s s
2335( ) 3 1 ( )
22
t t tf t e e e t
原函数,
原式
2
3 3 3
3 5 5( 3 ) ( )
( 2 ) ( 1 ) 2ss
ssK s F s
ss
2
31235
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
kkkss
s s s s s s
1
S
te
6 1 32 4 5ssFs s s s s
例 9-3-2 求的拉普拉斯反变换式。
Fs
03 1
0
2
1
00
22
6 1 3 9
2 4 5 2 0
6 1 3
24
5
5
1
2
42
SS
SS
ss
K s F s
sss
s
KKKK
Fs
ss
s
K s F s
ss
ss
s
2
9
4K?
3
16
5K
解,的部分分式展开式为：
同理可得：
1 2 4 59 1 9 1 6 12 0 2 4 5t t tL F s e e e t
于是：
()Ps
34
()()
( ) ( ) ( )[ ( ) ][ ( ) ] ns
QsFs
s s s s ssj j s
1 312
3
1
()() ()
n
n
KKFs K
sj ss s
K
ssj
(2) 当 存在 共轭复根展开为：
1,2Sj
共轭复根,
2
1 1 1 2
13
22
1 3 1 3 1 3( ) ( )
2 2 2 2
11()
1 ()
2
(
2
)
KFS
SS S
K
jj j jS S S
1,2
13
22jS
11
12
[ ( ) ] ( )
[ ( ) ] ( )
Sj
Sj
K S j F s K
K S j F s K
1 312
3
1
()() ()
n
n
KKFs K
sj ss s
K
ssj
系数计算,
0
11
3 90
313 13
222
11
2
3() j j
K
j?
13
22
1()
() 3
2
)1
2
(
FS
SS jj
0
12
3 90
313 13
222
11
2
3() j j
K
j?
1,2Sj
( ) ( ) ( ) ( )1 () j j t j j t t j t j tf t K e e K e e K e e e
[ ( ) ] ( ) sjK s j F s
式中系数：
1 ()(() )
jj
sj
K e K eF
sjs
共轭复根,
1 2 c o s ( )() tKf ett
0
11
3 90
3K13
22
1()
() 3
2
)1
2
(
FS
SS jj
1
022 c o s ( ) 2 3 3c o s ( 9 0 )
32()
ttK e t tft e
2
3()
25
sFs
ss
例 9-3-3,求 的原函数,
1
2
,225
2 4 2 0 12
2SS jS
2 2 5 ( 1 2 ) ( 1 2 ),S s S j s j
解：
共轭复根 1,2
11 12
3[ ( 1 2 ) ]
( 1 2 ) ( 1 2 ) Sj
SK S j
S j SK j
1 2 3 2 2 4
244
2 5jj 2
,4 52K
2 c o s (( ) 2 c o s ( 2 4 5 ) 1 ( )) ttK e tf t e t t
得：
22 22 22 2
3 1 2()
2 5 ( 1
1
(
2
( 1 )2 1 2) )2
ssF ss
ss ss s
( ) [ c o s 2 s i n 2 ] 1 ( )ttf t e t e t t
22 c o s()
ts et
s
22 s i n()
tet
s
另解：
则：
上述方法可简化计算。
利用 频域位移定理,
2512 2sFs s s s
00
12
11 1
5 1 1
1 1,
2,5
1,7 7
7 7 1 3 5
1 1 1
135
s
Sj
K s F s
j
K s j
jj
K
Fs
j
例 9-3-4 求 的原函数。
0 1 1 1 251 1 111 sF KKss ss jsj s j jK s
解：
2.5 3.5 4 c o s 135 1tf t e t t原函数为：
2 c o s ( )tK e t
()()
()
QSFS
PS?
()PS
3
11
()()
( ) ( )
QSFS
S S P S
11 12
2
1
1
2
3
3
11
( ) ((( ) ))
n
i
i i
K KKFS
SS SS
K
S SS S
（ 3）当 中,存在 重根
（三重根）
展开为：
设,
1
3
1 3 1( ) ( ) SSK S S F S
1
3
1 2 1( ) ( ) SS
dK S S F S
ds
系数计算,
1
2
3
1 1 12
1 ( ) ( )
2! SS
dK S S F S
dS
反变换为,
11 1
1
2
1311 2
1
2
()A S S St ttKt Ktf t K e e e
1
1
()nS
1
!
ntte
n
12
2
13
1 1
11
3
1()
() ()A KSSK SS K SFS S
重根部分为,
2
1()
( 1 ) ( 2 )FS SS
()ft例：,求原函数,
1 1 1 2 2
2() 1 ( 1 ) 2
K K KFS
S S S
212
1( 1 ) ( ) 1SK S F S
22( 2 ) ( ) 1SK S F S
2
1 1 1()
( 1 ) 1 2FS S S S
2( ) 1 ( )t t tf t te e e t
解：
得：
2
11 211
1( 1 ) ( ) 1
( 2 )SS
dK S F S
d s S
35
12
Fs
ss
例 9-3-6．求 的原函数。
312 115 sdK s F sds
313 115 sK s F s
Fs
12 3 311 12 2
1 1
K KFs
sss
K
s
K
解,的部分分式展开式为：
2225 sK s F s
2
3
1 1 12
1 15
2! s
dK s F s
ds
2 3
55
211
5
1
5F
ss
s
ss
ftFs
225 5 2.5 5 1t t t tf t e t e t e e t
于是 的原函数 为：
1
1
()nS
1
!
ntte
n
9-4 动态线性电路的拉氏变换求解
① 列出电路方程 （ 微分方程 ） ；
②对微分方程取拉氏变换，初始条件包含在变换中；
③ 求解 域的代数方程,得 或 ；
④ 求拉氏逆变换 。
S ()US ()IS
1） 变换方程法
i
L
(t)
R
L
U s
例：
1 ( )S t tU e
求
()L ti
L
L
tRdL
dt e
i i ( ) 0Lio解,
12()
L
KK
IS
R SS
L
由展开定理：
11()
LIS R L S S
1 1 1( ) ( ) ( )
LIS RLS
S
L
LdL
dt
i ) (( )LLSS LiLI o
Li
()LIS
te 1S
d ( ) ( ) ( 0 )
dL f t S F s ft
( ) ( )) 1(LLLL SI S L i o RI SS
1 1 1( ) [ ]
LIS RR L S
S
L
1( ) [ ] 1 ( )
L
R
t L ti t e e t
RL
i
L
(t)
R
L
U s
1
1 1 1( ) ( )
LR S
L
RK S I S
RL L L R
L
2
1 1 1( ) ( )
LSK S I S RL R L
L
12()
L
KK
IS
R SS
L
1 1 1( ) ( ) ( )
LIS RLS
S
L
12KK
( ) ( )() ()u t i t R U S R I S
2）运算电路法 时域电路转换为对应的运算电路
① 电阻元件
R
u
i R
U ( s )
I ( s )
运算阻抗,R
( ) ( ) ( )CCI S S C U S C u o
11( ) ( ) ( 0 )
CCU S I s uSC S
② 电容元件时域电容元件转换为频域电容元件加附加电压源（ 初始条件 ）。
i
C
C
u
C
1
SC
()
C
IS
()
C
US
( 0 )
C
U
S
()() Cd u ti t C
dt?
()Cuo?
等效电路运算阻抗,1SC
④ 受控源电路
R
i R
r i
R
R
()IS
r ()IS
()( ) ( )L
LL
d i tU t L i o
dt
( ) ( ) ( )L L LU s L S I s L i o
③ 电感元件时域电感元件转换为频域电感元件加附加电压源（ 初始条件 ） !
LiL
u L
SL()
L
IS
()LUS
( 0 )LL i?
运算阻抗,SL
12
11
d i d iu L M
d t d t
21
22
di diu L M
dt dt
12( 0 ),( 0 )ii
1 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
U s L S I s L i o M S I s M i o
U s L S I s L i o M S I s M i o
⑤ 互感电路
i
1
i
2M
L 1 L 2u 1 u 2
1
SL
1
()IS
1
()US
11
( 0 )L i
2
SL
SM 2
()IS
2
()US
22
( 0 )L i
1
( 0 )M i
2
( 0 )M i
直流电路计算的规律均可应用于运算电路 ！
运算电路仍遵守 KCL和 KVL规律,
用运算电路解过渡过程问题,
( ) 0IS
( ) 0US
1),画运算电路 ;
2),激励电源拉氏变换 ;
3),利用 KVL和 KCL计算电路响应 ;
4),利用分解定理解反变换,
,1,( ) 1 ( ) )1 ( 2,1CSU UCF Vtt R o
()Cit ()CUt
例 1：
求 和 。
1()
SUs S?
解：运算电路如图 i C (t)
R
U s
C u C
()
()
()
1
C
S
Uo
Us
SIS
R
SC
11 1
2 2()
1 1
1
SSIS
S
S
1( ) 1 ( )
2C
ti t e t
()
C
IS
u
C
(0-)
R
U s ( S )
SC
1
U c ( S )
s
注意：电容电压应包含初始值部分！
1( ) [ 1 ] 1 ( )
2C
tU t e t
()1( ) ( ) C
C
UoU S I S
S C S
1 1 1
112 2 2()
( 1 ) ( 1 )C
US
S S S S S
()
C
IS
u
C
(0-)
R
U s ( S )
SC
1
U c ( S )
s
( ) ( ),( 0 ) 0SLU t t i
( ),( ),LLu t i t
例 2,求,
R
u
L
i
L
L
()t?
解：运算电路如图
R
()
L
IS
1
SL
U L ( S )
() 1 1 1() SUsIS
RR S L R S L L S
L
1( ) 1 ( )
L
R t
Li t e t
L
（冲击激励情况）
( ) ( ) 1L S L RU s I s S L R S L S L R
1
( ) 1,( ) ( ) 1 ( )
R
t
L
LL
R
U t t e t
L
R
US
RL
S
L
R
()
L
IS
1
SL
U L ( S )
K
U s
R
i
R
u
C2
u
C1
C 1 C 2
1 2 2
1 0,1
0,1,( ) 2
S
C
U V R
C C F U o V?
1()CUt ( ).Rit
例 3：
求 K闭合后的 及
1 ()CSU o U
解：运算电路 （跳变情况）
1 1 2 2
1
12
1 1 0
( ) ( )
()
1
CC
C
C U o C U o
RSUs
S C S C
R
由节点电位法的 齐尔曼定理
1 0 5 0
1,2 6 6 5 0
0,2 1 5 ( 5 )
sSs
S s s s
R
1
1
SC
2
1
SC
1
()
C
US
1
( 0 )
C
U
S
10
S
I R ( S )
2
( 0 )
C
U
S
0t讨论：跳变情况下，用运算电路计算无需求 情况,
R
1
1
SC
2
1
SC
1
()
C
US
1
( 0 )
C
U
S
10
S
I R ( S )
2
( 0 )
C
U
S
1
6 5 0 1 0 4()
( 5 ) 5C
sUs
s s S S
51 ( ) [ 1 0 4 ] 1 ( )tCU t e t
1 5
10 ()
10 6 50 4
( ),( ) 4
( 5 ) 5
1(
C
R R
t
US S
SI S t
R S S S S
ei?
t)
11 0( ) l i m ( ) 10CC sU S U S V
0( ) l i m ( ) 0RRsi S I s A
欲求稳态值（终值定理）,
K
U s
R
i
R
u
C2
u
C1
C 1 C 2
11
6 5 0( 0 ) l im ( ) l im 6
5CC ss
SU S U S V
S
4( 0 ) l im ( ) 4
5RR s
si s I s A
s
欲求 值,可由初值定理计算0t
1
6 5 0()
( 5 )C
sUs
ss
4()
5RIS S
( 0 ) l im ( )sf s F s
0( ) l im ( )sf sF s
（无需反变换）,
1()it
1,1,1,1sU V R L H C F
例 4,如图电路,K打开已久，求 K闭合后的电流 。
已知 。
( 0 ) 0,( 0 )L C Si u U
解：初始值运算电路如图，用回路电流法解
K
R L
i
1
U s
C
R
1
SC
()
S
US
( 0 )
C
U
S
I 1 ( S )
R SL
R
I 2 ( S )
12
21
( 0 )11
( ) [ ] ( ) ( )
( 0 )11
( ) [ ] ( )
C
S
C
U
I s R s L I s U s
s c s c S
U
I s R I s
S C s c S
代入数据
12
21
11
( 1 ) ( ) ( ) 0
1 1 1
( 1 ) ( ) ( )
s I S I s
ss
I s I s
s s S
1
SC
()
S
US
( 0 )
C
U
S
I 1 ( S )
R SL
R
I 2 ( S )
2
12
21
( 1 ) ( ) ( )
( 1 ) ( ) ( ) 1
S S I S I S
S I S I S
2 11( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 ( )S S S I S I S
2 1 2
1
1
2
2
3 2 2
1
22
1()
( 222 2 )IS S S S
K S K
S S S S
K
S S
得：
1
1
2K?
由展开定理：
2
2 1 2 2
2 1 2
2
1 2
2
2( 2
11 ( 2 2)
( 2)2
2
2
2)
S K S K SK S K
S
IS
S S SS S
S
比较系数,得,
21
1
2K
22 1K
1
SC
()
S
US
( 0 )
C
U
S
I 1 ( S )
R SL
R
I 2 ( S )
21 22
1 1 11 ( 1 )
2 2 2
22
11
22
( 1 )
(
1 ( 1 ) 1
)
SS
I
SSS S S S
S
或
1
11 c os( sin
22
1) [ ] 1 (
2 )
ttei e ttt t
1
1( ) [ 1 2 c o s( 4 5 ) ] 1 ( )
2
ti t e t t
1 0 1 ( ),,2 ( )SS t ItUe At
1 0,0,1,( 0 ) 5,CR C F U V()CUt
例 5,电路如图，
求？
10( ),( ) 2
1 SU s I ss
解：运算电路如图
i
S
R
C
R
U s
()
C
Ut
()
( ) 2
()
2
S
C
ab
Us
C U o
RUs
SC
R
1 1 0
0,5 2 2 5
2 5 3 511
()
1 2 ( 1 ) ( 2 )
0,1
5
ab
sss
Us
s s ss
由节点电位法
1
SC
()
S
US
( 0 )
C
U
S
R
I s ( S )
R
a
b
电路响应的分量包含 与外加电源变化规律相同 的部分（强制分量）与 由电路结构决定 的变化部分（自由分量）。
在冲激电流源作用下,电容电压有跳变。
10 15()
12abUs ss
2( ) ( ) )1 110 (5t tab eut e t
1
SC
()
S
US
( 0 )
C
U
S
R
I s ( S )
R
a
b
122 5 3 5()
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )ab
KKsUs
s s s s
11
1
12
12
() 1
()
1 1 1 1 18,5 1
12
L
ab
L i o
SL S
Us
S L S L R S
S
2
11
() 6 33()
( 1 8 ) 1 8
ab
L
UsIs
S L S S S S
181( ) ( 1 ) 1 ( )
3
t
Li t e t
121,2,1 2,1 2SL H L H R U V
()Lit
例 6,如图电路，
求：开关从 1到 2后电流 。
R
① ②
U s
R
R
L 1 L 2
i
L
1 ( 0 ) 1,( 0 ) 0,SL L
UiA
R i
解：初始条件
R SL 2
a
b
SL 1
11
( 0 )
L
Li
运算电路讨论：电感中存在稳态电流。
K
L 1 L 2
R 1
R 2
U s
i
1
i
2
M
0,0 5,1,SM H U V 2()it
例 7,图示电路，
1 2 1 21,0,1,R R L L H
K闭合后 。
12( 0 ) ( 0 ) 0LLii
解：,运算电路如图
1
()IS
U s(S )
SL 1 SL 2
R 1
R 2
SM
2
()IS
1 1 1 2
2 2 2 1
( ) [ ] ( ) ( )
( ) [ ] ( ) 0
sI S R s L S M I s U s
I S R s L S M I s
代入数据
12
21
1
(0,1 1 ) ( ) 0,0 5 ( )
(0,1 1 ) ( ) 0,0 5 ( ) 0
S I S S I s
S
S I S S I s
1
()IS
U s(S )
SL 1 SL 2
R 1
R 2
SM
2
()IS
2 22
1
0.0 5 0.0 5
()
( 0.1 1 ) ( 0.0 5 ) ( 0.1 5 1 ) ( 0.0 5 1 )
s
sIs
s s s s
2
11
2 0 1 22
()
2 0 2 03 2 0
( 2 0 ) ( )
33
Is
ss s s
20
203
2
1( ) [ ]1 ( )
2
t t
i t e e t
（二阶电路）
例 8,图示电路,开关闭合前处于零状态，试求电流 。
解：因为电路原处于零状态，画出其运算电路如图所示，采用戴维南定理，
求 AB以左电路的戴维南等效电压：
10 S S
100
S
10
10
I ( S)
等效运算阻抗,
100
10 1000
1 0 1 0 2 0d
sUs
s s s
1 0 1 0 1 0 1 01 0 1 0 2 0d ssZs ss
1it
10?
10?
10?
1H 1H
100V
i
1
a
b
1
32
2
1 0 0 0 1
1 0 1 020
( 1 0 )
20
1000
4 0 3 0 0
d
d
Us
Is
sZ s R s L s s
s
s
s s s
3,3 3 5 1,6 71 0 3 0s s s
故电流的象函数：
1 1 0 3 011 3.3 3 5 1.6 7 1tti t I s e e t AL
最后求原函数：
10 S S
100
S
10
10
I ( S)
()()
()
RSHs
ES?
9.5 网络函数
()rt
()RS ()et ()Es
()Hs
网络函数的定义,电路在单一的独立源激励下，其 零状态响应 的象函数与激励源 的象函数 之比定义为该电路的网络函数,即有
H( S )E(S ) R (S )
网络函数是信号处理和控制系统中一个十分重要的概念,
网络函数 完全决定了 系统的输出响应 特性和 系统的稳定性,
注意,1） 网络函数是指电路中特定的输入输出量之间的关系,
同一电路当定义不同输入输出时,网络函数不同；
2） 网络函数是 输入输出量拉氏变换象函数之比 ；
3） 网络函数反映了输入输出量之间 动态的关系 （ 时域 ） 。
H( S )E(S ) R (S )Pe ( t) r ( t)
H ( S )
U
1
( S )
U
2
( S )
I
1
( S )
i
1
u
1
u
2N
1()ut
1()it
1
1
()()
()
ISHs
US?
例：设输入为电压,输出响应为电流,则网络函数为即为 入端导纳 函数；
1()Ut 2()Ut
2
1
()()
()
USHs
US?
若设输入为,输出为则网络函数为即 为 电压传递比 。
，
网络函数可分为,
策动电阻抗 (导纳 )
转移阻抗 (导纳 )
电压 (电流 )转移函数
1()ut 2()ut
2
1
1
() 11
()
11()
US SC
Hs
U S R CRS
S C R C
例 1：设 为输入,为输出，
图示电路网络函数为
U
1
(S ) U
2
(S )
R
1
SC
()t?
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )R S H S E S H S H S
1）由网络函数定义知，网络函数等于当激励（输入）为单位冲击源 时，输出响应的象函数。
2） 已知网络函数 时,任意激励的响应象函数可直接写出,
()HS
( ) ( ) ( )R S H S E S
（经拉氏逆变换可求出响应值）,
()Hs sj3）推论 1：网络函数 中令,则网络函数表示了正弦交流稳态电路的输入输出相量关系。 （ 频率特性 ）
讨论：网络函数完整反映系统的输入输出关系,包含了稳态和暂态二部分响应特征 。
()Hs 0s?4）推论 2：当 中 令 时,反映了直流稳态关系。
2
1
() 11
()
1()
11
1
US
Hs
U S SC
R
SC
RC
S
RC
U
1
(S ) U
2
(S )
R
1
SC
1i 0()ut
1 2 31,2,4,1,2,R R R L H C F
例 2：求图示电路的网络函数，设输入,输出,
i
1
R 3
R 1 C
LU s
R 2 U 0
3
0 1 2 1
32
28( ) ( ) ( )
11 6
2
R S L SU s I s R I S
R R S L S
S C S
解：运算电路如图
2
12
4 1 6 ()
2 1 2 1
ss Is
ss
2
0
2
1
() 4 1 6()
( ) 2 1 2 1
US SSHS
I S S S
U ( S )
U
0
( S )
I
1
( S )
1
SC
R 3
R 1
SL
R 2
2
1
()()
()
USHs
US?
1,1,1,L H C F R
例 3：求图示低通滤波器的网络函数,设
1
1
()
()
1
()
1
US
Is
SL R
SCSL
SL R
SC
解：
1
()Ut
R
L L
C
2
()Ut
i
1
i
2
1
1
2
1
()
()
()
1
( ) ( )
1
RUSC
Is
S
U s R
S L S C S L R S L R
S
S L R
SC C
32
1()
21HS S S S
由 RLC及受控源组成的线性网络,其网络函数的分子和分母多项式的根为实数或复数。
0 ()()
()i
USHS
US?
1 2 3 1 21,1R R R C C F
例 4：求图示有源滤波器电路的网络函数,设
。
1 ( ) 1,CUs?
1 1 1 1( ) ( )cCI s S C U S S C
1
2
33
() 1() C
C
USIS
RR
32
2
22
1
23
1
() 1) 1
(
1(
)
C
R
CUS
SC
U
R S CIS
RR
S
R
12 1
3
32
12
2
(
1
1
)
1
()( ) ( )R C CI S S C
R S C
II S I S
R
S
R
解：令 则 R 1 R 2
R 3
C 1
C 2
i
R2
i
c1
i
c2
u
i u
o
1 1 1
1 1 1 1 1
2 3 2 3 2
1( ) ( ) ( ) 1
iC
R R RU S R I S U S S C R
R R R R S C
02
2
11( ) ( )
CU S I S S C S
0
2
1
() 1
()
1( ) 3 1
3i
US S
HS
U S S SS
S
R 1
R 2
R 3
C 1
C 2
i
R2
i
c1
i
c2
u
i u
o
13 S
S
解,
1()
1ES S 22
1 0 ( 1 )()
( 1 ) 4
SRS
S
网络函数
22
()()
()
10
( 1 ) 4
RS
E SHS S
冲击响应
2 2 2 2
1 0 5 4
( 1 ) 4 2 ( 1( ) ( ) ( ) )4R S H SS E S S
5( ) s i n 4 1 ( )
2
tr t t te
22()S
s intet
已知线性系统在 激励下输出响应为
，求系统的网络函数和冲击响应,( ) 1 0 c o s 4 1 ( )tr t t te
( ) 1 ( )te t te例 5：
( ) 1 0 ( )i t t A
6 1 0 0( ) 1 0 tabu t e V
1000R ( ) 5 1 ( )u t t?
()it
例 6：图示电路,P为无源网络。在零初始状态下，若对 P
施加电流,其端口电压
P
R
u ( t)
()it
a
b
，现将 P串联电阻
，外加电压试求电流 。
65( ) 1 0 1 1 0
()
( ) 1 0 0 1 0 1 0 0
USZS
I S S S
解：由题条件知,P的入端运算阻抗为串入电阻后,
100 0( 200 )'( ) 100 0 ( )
100
sZ s z s
s
()'( )
()
UsZs
Is
5()Us
S?
5 1 0 0 1 1 0 0()
1 0 0 0 ( 2 0 0 ) 2 0 0 ( 2 0 0 )
SSIS
S S S S
11
4 0 0 4 0 0()
200
IS
SS
2001( ) [ 1 ] 1 ( )
400
ti t e t
P
R
u ( t)
()it
a
b
即有得：
P
1
1'
2
2?
1 ( t)
u o ( t)
()it
P
1
1'
2
2?
()t?
50( ) 5 ti t e A
40( ) 5,tSU t e V ()it
例 7：如图电路，
1000 ( ) ( 1 ) 1 ( ),tU t e t V
，若 30R
求电阻上电流 。
()
S
Ut
()it
P
1
1'
2
2?
R
1()
SUS S?
0
1 1 1 0 0()
1 0 0 ( 1 0 0 )
Us
s s s s
0 () 100()
( ) 1 0 0S
USHS
U S S
解：由图（ a）知,时，
电压转移比
5()
40SUS S
01
500( ) ( ) ( )
( 1 0 0 ) ( 4 0 )sU s H s U s ss
则 当 时,开路电压为
()it
P
1
1'
2
2?
()t?
入端运算阻抗为
0 ()()
()S
USHS
US?
( ) 1SUS?
0
100()
100US S ( ) 1SUS?
5()
50DIS S
0 () 2 0 ( 5 0 )()
( ) 1 0 0D
US SZS
I S S
又由 知，当 时,开路电压由图（ b） 时，短路电流
01 500
( 1 0 0 ) ( 4 0 2
1(
0 ( 5 0 )() 30)
100
) U
SSZS
IS S
R
S
则在图（ c）时输出电流
()
S
Ut
()it
P
1
1'
2
2?
R
5 0 0 5 0 0()
( 4 0 ) [ 3 0 3 0 0 0 2 0 1 0 0 0 ] ( 4 0 ) ( 5 0 4 0 0 0 )IS S S S S S
11
44()
4 0 8 0
IS
SS
40 801( ) ( ) 1 ( )
4
tti s e e t A
10
( 4 0 ) ( 8 0 )SS
1 ( ) 1 ( )ti t e t
2 ( ) ( ) 1 ( ),tu t t e t2 ( ) ( ) 1 ( )
ti t t e t
55 1 ( )tsu e t
2()it
例 8：如图电路,P为无独立源和受控源网络，已知
。若试求 。
P
1
1'
2
2?
()t?
i
1
u
2
a
P
1
1'
2
2?
()t? i
2
b
()
S
Ut
P
1
1'
2
2?
i
2
c
Z 1 Z 2
Z 31
13
1
()
()
Us ZZ
IS
2
3
1
(),
()
US Z
IS?
解：设 P的 S域 T型等效电路如图,由（ a） (b)图条件
（转为 S域分析）
开路时
1 1 2
11( ) 1,( ),( ) 1,
1 1 1
sU s I s U s
s s s
'
32
23
()
()S
ZIs
I s Z Z
，代入数据
Z 1 Z 2
Z 3
短路时
2( ) 1,( ) 1s
sI s I s
s
1
3 1 3 2
1
()( ),( ) 1,( ) 1
()
USZ S S Z s Z Z S
IS
2
1
5 22 5 5()
9 1 8
ttt e ei
得,
5()
5SUS S
2
()()
1
5
( 5 ) ( 21
1
1)
SUS SIS
S S
S
S
SS
2
5 2 5
5 1 8 9
( ),
1125
( ) ( 5 )
22
S
IS
SS S S
则在 激励下，有
( ) 1()
( ) 2
ISHS
U S S
( ) 1 0 1 ( )U t t (0 ) 2iA
()it
例 9：已知无源网络的网络函数
P
u ( t)
()it
，现在非零状态下外加电源
，电流响应初始值求 。
1 1 0 1 0 5 5( ) ( ) ( )
2 ( 2 ) 2SI s H S U S S S S S S S
解：端口电流响应可分为 零输入响应 （由初始条件决定）和零状态响应 （由外部激励引起），由条件知，外加电压的响应为 (零状态响应 ):
2( ) 5 (1 )ti t e
()t?
()ht
2( ) 1 ( )ti t k e t
P
u ( t)
()it
网络函数为外加 时的响应，
网络函数的原函数 反映了电路的暂态变化形式,由题知,零输入分量可写为 [时域中 ]，
全响应为
22( ) ( ) ( ) 5 ( 1 )tti t i t i t e k e
(0 ) 2i
22( ) [ 5 ( 1 ) 2 ] 1 ( )tti t e e t
由条件 得 K=2，全解为：
(1) 拉氏变换的定义及基本性质 ;
(2) 拉氏反变换方法 (分解定理 );
(3) 运算电路及初始条件的转换 ;
(4) 网络函数及零极点分析 ;
(5) 卷积积分 ;
(6) 状态方程的建立,
R 3
R 3
R ZC 1 C 2
L 1 L 2
u s ( t)
u ( t)
1) 直流激励源,直流稳态解,
2) 正弦交流激励源,正弦交流稳态解,(复数变换 )
稳态电路,
3) 任意激励源,电路全响应 (动态电路 ),
动态电路,
(时域解微分方程 )
(拉氏变换 )
( ) s i nsU t U t
( ) s i n ( )i t I t
s in s in ( )
c o s ( )
u t R I t
L I t
s i n ( )i I t
正弦交流电路三角函数计算设直接计算反变换
0sUU
sII
SU R I j L I
SUII
R j L
相量电路变换复数计算
1）变换域求解电路问题的讨论,
在正弦交流电路中，相量计算是变换域求解的方法。
i
L
R
L
u s ( t)
9.1 拉氏变换及其应用概述利用变换域解电路问题是为了简化电路计算！！
0(0 )
L
s
L
di
U R i L
dt
ii?
( ) [ ( 0 ) ]SS
tUU
i t i eRR
电路微分方程时域
（解微分方程）
拉氏正变换拉氏逆变换
( ) ( )
( ) (0 )
SU S R I S
L S I S L i?
( ) ( 0 )() SU S LiIS
R s L
S域象函数频域运算电路
（解代数方程）
( S )
R
LU s I S
( S )
用拉氏变换解动态电路的三个要点：
① 激励函数的变换 （ 正变换 ）
② 电路元件的变换 （ 运算电路 ）
③ 频域响应的逆变换 （ 逆变换 ）
拉氏变换解动态电路的内容,
(1) 拉氏变换原函数和象函数的转换 ;
(2) 运算电路的建立及初始条件表示 ;
(3) 运算结果 (象函数 )转换为时域表达式 (分解定理 ).
一个定义在 的函数,
0,? ()ft
sj 为复数。其中拉氏正变换为,
( ) [ ( ) ]F s f t? L
记作,
0
( ) ( ) stF s f t e d t
9.2 拉氏变换定义及基本性质
()
()
(),
()
Fs
Fs
ft
ft
为 的象函数为 的原函数.
拉氏反变换为,
1( ) ( )
2
cj st
cj
f t F s e d s
j?
1( ) [ ( ) ]f t F s L记作,
常见函数的拉氏变换：
① 单位阶跃函数 1( )t
11( ) 1 ( ) s t s t
ooF s t e d t esS
()t?
( ) ( ) d ( ) d 1ostooF s t e t t t
② 单位冲击函数
()t?
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 )t f t d t t f t d t f
式中利用了 的筛分性质，即：
③ 指数函数 e t?
( ) ( )1( ) e d e de es t s t s t
ooo
tF s t t
s
1
s
e t 1s
()t?
1(t)
1
1
S
拉氏变换的主要性质
① 线性性质
1 1 2 2( ) ( ),( ) ( )L f t F s L f t F s
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( s )L a f t b f t a F s b F
设,
则有
c o s 1 ( )tt s in 1 ( )tt
s i n 1 ( )tt
例 9-2-1 求,和的拉氏变换。
j t - j tee
( ) e d (s i n ( ) e d
2j
) s t s t
oo
F s tt t
- ( s - j ) t - (
2
t
2
s + j )1 1 1 1
( e e ) d ( )
22o
t
jj
s
s j s j
e t 1s
22
1 ( ) [ s in ( ) c o s c os in ( )
co
s s i
s s in
n ] 1 ( )L t L t t
s
s
tt
同理：
j t - j te + e
( ) e d (co ) e d
2
s ( ) s t s t
oo
tF s t t
- ( s- j ) t - ( s+ j ) t
22
1 1 1 1
( e e ) d ( )
22o
t
s j s j
S
S
( ) e
d
( ) ( ) e d
d
( ) ( ) e d ( ) ( )
st t
to
st
o
st
o
d
L f t f t t
dt t
Sf SF St fottf
证：
(分步积分 )
② 微分定理
( ) ( )L f t F s? d ( ) ( ) ( 0 )dL f t S F s ft
设 则
ft
11 00
n
nnnd f t s F s s f f
dt
L
高阶导数 的拉氏变换式：
11Lt s,L t L t
例 9-2-2 已知,求 。
1dt t
dt
01 11tL t s ts
解：由于,由 微分定理 得：
01 tL t s t S
同理：
1( ) d ( )toL f t t F ss
③ 积分定理
( ) ( )L f t F s?
设 则
21 1 11 ( )L t t s s s
由于得
1L t t1tt?例 9-2-3 求斜坡函数解：
的拉氏变换,
111 ( ) st st
oo t e dt esS
1( )tt?
2
1
s
例 9-2-4 求图示函数的拉普拉斯变换式 。
解：由图可知：
011f t t t t
0
0
0
1
11
1
1
st
st
e
f t t t t
ss
e
s
LL
t
ft
t 0
( ) ( )L f t F s?
11 1( ) 1 ( ) ( )stL f t t t t F se
④ 时域位移定理设则：
f ( t)
t
f ( t- t 1 )
t
t 1
22s in ()tLt se
例,求 的拉氏变换,s int te
解：由频域位移定理
sin t?
22s
( ) ( )L f t F s?
( ) ( )tL f t e F s
⑤ 频域位移定理设则：
1 1 2 2( ) ( ),( ) ( ),L f t F s L f t F s
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t
o
t
o
L f t f t L f t f d
L f f t d F s F s
⑥ 卷积定理设则卷积积分提供了二个象函数相乘的反变换公式 。
1
1 2 1 2( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )
t
of t L F s F s f f t d
卷积积分是信号处理中一个十分重要的公式,
2
1()
()Fs s
11 11( ) ( ) [ ]f t L F s L
ss
( ) ( )1 ( ) 1 ( )tt tt
ooe e t d e e d
1 ( )tt o tte ted
例：求 的原函数,
解,
1
1
()nS
2
1
()s 1( )
tte t
1
!
ntte
n
注意：当 为周期函数时,终值定理不可用 。
( 0 ) l im ( )sf s F s
()ft
⑦ 初值定理与终值定理
0( ) l im ( )sf sF s
( ) ( )L f t F s?设初值定理,
终值定理,
11 tf t e t
1 1 111Fs s s s s
1 0 l i m l i m 01
Ss
f s F s s
00 1 0fe
例 9-2-7．设,验证初值定理。
解：
又 得证常用拉氏变换表
()Fs
1
S
1
S 1
1
()nS
22S
22
S
S
()t? 1( )t te 1
!
ntte
n
sin t? cos t?
22()S
22()
S
S
()ft
s i ntet c o stet
1
()Fs
()ft
2
1
S
t
利用拉普拉斯反变换的定义式，将象函数代入式中进行积分，即可求出相应的原函数
1( ) ( )
2
cj st
cj
f t F s e d s
j?
但实际计算时,直接利用 拉普拉斯变换的公式,
把象函数 (频域响应 )利用部分分式展开的方法，
将之展开成简单分式之和。简单分式的反变换，可直接查表获得。
9.3 拉氏逆变换的展开定理
(从频域到时域的转换 )
实际计算时,分母多项式的因式分解是重要一环 。
1 2 1
( ) ( )()
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn
Q s Q SFs
P S S S S S S S S S
对分母因式分解：
1
1 1 0
1
1 1 0
()()
()
mm
mm
nn
nn
b S b s b s bQSFs
P S Q S Q S Q S a
()nm?
设 有理分式函数,
线性电路的频域响应结果一般为 实系数多项式,
2
32()
32
SFS
SS
2
3 2 3 2()
3 2 ( 2 ) ( 1 )
SSFS
S S S S
求系数 时,两边同乘,得,
1K 1SS?
112
11
2
()()( ) ( ) n
n
S S KS S KS S F s K
S S S S
令,得,
1SS
11 1( ) ( ) SSK s s F s
()ps
12
12
() n
n
KKKFs
S S S S S S
（ 1）当 均为 不等实根,原式可展开为：
( ) ( )ii issK s s F s
同理,可求得各系数,
分解时系数计算公式 !
逆变换式为：
1
()
n
i
i
istf t K e
12
12
() n
n
KKKFs
S S S S S S
e t 1s
2
32
35()
6 1 1 6
ssFs
s s s
求 的逆变换。
2
1 11
3 5 3( 1 ) ( )
( 2 ) ( 3 ) 2ss
ssK s F s
ss
2
31235
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
kkkss
s s s s s s
解：原式
2
2 22
35( 2 ) ( ) 3
( 1 ) ( 3 )SS
ssK s F s
ss
(三个单实根 )例 9-3-1：
35
322
()
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
FS
s s s
2335( ) 3 1 ( )
22
t t tf t e e e t
原函数,
原式
2
3 3 3
3 5 5( 3 ) ( )
( 2 ) ( 1 ) 2ss
ssK s F s
ss
2
31235
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
kkkss
s s s s s s
1
S
te
6 1 32 4 5ssFs s s s s
例 9-3-2 求的拉普拉斯反变换式。
Fs
03 1
0
2
1
00
22
6 1 3 9
2 4 5 2 0
6 1 3
24
5
5
1
2
42
SS
SS
ss
K s F s
sss
s
KKKK
Fs
ss
s
K s F s
ss
ss
s
2
9
4K?
3
16
5K
解,的部分分式展开式为：
同理可得：
1 2 4 59 1 9 1 6 12 0 2 4 5t t tL F s e e e t
于是：
()Ps
34
()()
( ) ( ) ( )[ ( ) ][ ( ) ] ns
QsFs
s s s s ssj j s
1 312
3
1
()() ()
n
n
KKFs K
sj ss s
K
ssj
(2) 当 存在 共轭复根展开为：
1,2Sj
共轭复根,
2
1 1 1 2
13
22
1 3 1 3 1 3( ) ( )
2 2 2 2
11()
1 ()
2
(
2
)
KFS
SS S
K
jj j jS S S
1,2
13
22jS
11
12
[ ( ) ] ( )
[ ( ) ] ( )
Sj
Sj
K S j F s K
K S j F s K
1 312
3
1
()() ()
n
n
KKFs K
sj ss s
K
ssj
系数计算,
0
11
3 90
313 13
222
11
2
3() j j
K
j?
13
22
1()
() 3
2
)1
2
(
FS
SS jj
0
12
3 90
313 13
222
11
2
3() j j
K
j?
1,2Sj
( ) ( ) ( ) ( )1 () j j t j j t t j t j tf t K e e K e e K e e e
[ ( ) ] ( ) sjK s j F s
式中系数：
1 ()(() )
jj
sj
K e K eF
sjs
共轭复根,
1 2 c o s ( )() tKf ett
0
11
3 90
3K13
22
1()
() 3
2
)1
2
(
FS
SS jj
1
022 c o s ( ) 2 3 3c o s ( 9 0 )
32()
ttK e t tft e
2
3()
25
sFs
ss
例 9-3-3,求 的原函数,
1
2
,225
2 4 2 0 12
2SS jS
2 2 5 ( 1 2 ) ( 1 2 ),S s S j s j
解：
共轭复根 1,2
11 12
3[ ( 1 2 ) ]
( 1 2 ) ( 1 2 ) Sj
SK S j
S j SK j
1 2 3 2 2 4
244
2 5jj 2
,4 52K
2 c o s (( ) 2 c o s ( 2 4 5 ) 1 ( )) ttK e tf t e t t
得：
22 22 22 2
3 1 2()
2 5 ( 1
1
(
2
( 1 )2 1 2) )2
ssF ss
ss ss s
( ) [ c o s 2 s i n 2 ] 1 ( )ttf t e t e t t
22 c o s()
ts et
s
22 s i n()
tet
s
另解：
则：
上述方法可简化计算。
利用 频域位移定理,
2512 2sFs s s s
00
12
11 1
5 1 1
1 1,
2,5
1,7 7
7 7 1 3 5
1 1 1
135
s
Sj
K s F s
j
K s j
jj
K
Fs
j
例 9-3-4 求 的原函数。
0 1 1 1 251 1 111 sF KKss ss jsj s j jK s
解：
2.5 3.5 4 c o s 135 1tf t e t t原函数为：
2 c o s ( )tK e t
()()
()
QSFS
PS?
()PS
3
11
()()
( ) ( )
QSFS
S S P S
11 12
2
1
1
2
3
3
11
( ) ((( ) ))
n
i
i i
K KKFS
SS SS
K
S SS S
（ 3）当 中,存在 重根
（三重根）
展开为：
设,
1
3
1 3 1( ) ( ) SSK S S F S
1
3
1 2 1( ) ( ) SS
dK S S F S
ds
系数计算,
1
2
3
1 1 12
1 ( ) ( )
2! SS
dK S S F S
dS
反变换为,
11 1
1
2
1311 2
1
2
()A S S St ttKt Ktf t K e e e
1
1
()nS
1
!
ntte
n
12
2
13
1 1
11
3
1()
() ()A KSSK SS K SFS S
重根部分为,
2
1()
( 1 ) ( 2 )FS SS
()ft例：,求原函数,
1 1 1 2 2
2() 1 ( 1 ) 2
K K KFS
S S S
212
1( 1 ) ( ) 1SK S F S
22( 2 ) ( ) 1SK S F S
2
1 1 1()
( 1 ) 1 2FS S S S
2( ) 1 ( )t t tf t te e e t
解：
得：
2
11 211
1( 1 ) ( ) 1
( 2 )SS
dK S F S
d s S
35
12
Fs
ss
例 9-3-6．求 的原函数。
312 115 sdK s F sds
313 115 sK s F s
Fs
12 3 311 12 2
1 1
K KFs
sss
K
s
K
解,的部分分式展开式为：
2225 sK s F s
2
3
1 1 12
1 15
2! s
dK s F s
ds
2 3
55
211
5
1
5F
ss
s
ss
ftFs
225 5 2.5 5 1t t t tf t e t e t e e t
于是 的原函数 为：
1
1
()nS
1
!
ntte
n
9-4 动态线性电路的拉氏变换求解
① 列出电路方程 （ 微分方程 ） ；
②对微分方程取拉氏变换，初始条件包含在变换中；
③ 求解 域的代数方程,得 或 ；
④ 求拉氏逆变换 。
S ()US ()IS
1） 变换方程法
i
L
(t)
R
L
U s
例：
1 ( )S t tU e
求
()L ti
L
L
tRdL
dt e
i i ( ) 0Lio解,
12()
L
KK
IS
R SS
L
由展开定理：
11()
LIS R L S S
1 1 1( ) ( ) ( )
LIS RLS
S
L
LdL
dt
i ) (( )LLSS LiLI o
Li
()LIS
te 1S
d ( ) ( ) ( 0 )
dL f t S F s ft
( ) ( )) 1(LLLL SI S L i o RI SS
1 1 1( ) [ ]
LIS RR L S
S
L
1( ) [ ] 1 ( )
L
R
t L ti t e e t
RL
i
L
(t)
R
L
U s
1
1 1 1( ) ( )
LR S
L
RK S I S
RL L L R
L
2
1 1 1( ) ( )
LSK S I S RL R L
L
12()
L
KK
IS
R SS
L
1 1 1( ) ( ) ( )
LIS RLS
S
L
12KK
( ) ( )() ()u t i t R U S R I S
2）运算电路法 时域电路转换为对应的运算电路
① 电阻元件
R
u
i R
U ( s )
I ( s )
运算阻抗,R
( ) ( ) ( )CCI S S C U S C u o
11( ) ( ) ( 0 )
CCU S I s uSC S
② 电容元件时域电容元件转换为频域电容元件加附加电压源（ 初始条件 ）。
i
C
C
u
C
1
SC
()
C
IS
()
C
US
( 0 )
C
U
S
()() Cd u ti t C
dt?
()Cuo?
等效电路运算阻抗,1SC
④ 受控源电路
R
i R
r i
R
R
()IS
r ()IS
()( ) ( )L
LL
d i tU t L i o
dt
( ) ( ) ( )L L LU s L S I s L i o
③ 电感元件时域电感元件转换为频域电感元件加附加电压源（ 初始条件 ） !
LiL
u L
SL()
L
IS
()LUS
( 0 )LL i?
运算阻抗,SL
12
11
d i d iu L M
d t d t
21
22
di diu L M
dt dt
12( 0 ),( 0 )ii
1 1 1 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
U s L S I s L i o M S I s M i o
U s L S I s L i o M S I s M i o
⑤ 互感电路
i
1
i
2M
L 1 L 2u 1 u 2
1
SL
1
()IS
1
()US
11
( 0 )L i
2
SL
SM 2
()IS
2
()US
22
( 0 )L i
1
( 0 )M i
2
( 0 )M i
直流电路计算的规律均可应用于运算电路 ！
运算电路仍遵守 KCL和 KVL规律,
用运算电路解过渡过程问题,
( ) 0IS
( ) 0US
1),画运算电路 ;
2),激励电源拉氏变换 ;
3),利用 KVL和 KCL计算电路响应 ;
4),利用分解定理解反变换,
,1,( ) 1 ( ) )1 ( 2,1CSU UCF Vtt R o
()Cit ()CUt
例 1：
求 和 。
1()
SUs S?
解：运算电路如图 i C (t)
R
U s
C u C
()
()
()
1
C
S
Uo
Us
SIS
R
SC
11 1
2 2()
1 1
1
SSIS
S
S
1( ) 1 ( )
2C
ti t e t
()
C
IS
u
C
(0-)
R
U s ( S )
SC
1
U c ( S )
s
注意：电容电压应包含初始值部分！
1( ) [ 1 ] 1 ( )
2C
tU t e t
()1( ) ( ) C
C
UoU S I S
S C S
1 1 1
112 2 2()
( 1 ) ( 1 )C
US
S S S S S
()
C
IS
u
C
(0-)
R
U s ( S )
SC
1
U c ( S )
s
( ) ( ),( 0 ) 0SLU t t i
( ),( ),LLu t i t
例 2,求,
R
u
L
i
L
L
()t?
解：运算电路如图
R
()
L
IS
1
SL
U L ( S )
() 1 1 1() SUsIS
RR S L R S L L S
L
1( ) 1 ( )
L
R t
Li t e t
L
（冲击激励情况）
( ) ( ) 1L S L RU s I s S L R S L S L R
1
( ) 1,( ) ( ) 1 ( )
R
t
L
LL
R
U t t e t
L
R
US
RL
S
L
R
()
L
IS
1
SL
U L ( S )
K
U s
R
i
R
u
C2
u
C1
C 1 C 2
1 2 2
1 0,1
0,1,( ) 2
S
C
U V R
C C F U o V?
1()CUt ( ).Rit
例 3：
求 K闭合后的 及
1 ()CSU o U
解：运算电路 （跳变情况）
1 1 2 2
1
12
1 1 0
( ) ( )
()
1
CC
C
C U o C U o
RSUs
S C S C
R
由节点电位法的 齐尔曼定理
1 0 5 0
1,2 6 6 5 0
0,2 1 5 ( 5 )
sSs
S s s s
R
1
1
SC
2
1
SC
1
()
C
US
1
( 0 )
C
U
S
10
S
I R ( S )
2
( 0 )
C
U
S
0t讨论：跳变情况下，用运算电路计算无需求 情况,
R
1
1
SC
2
1
SC
1
()
C
US
1
( 0 )
C
U
S
10
S
I R ( S )
2
( 0 )
C
U
S
1
6 5 0 1 0 4()
( 5 ) 5C
sUs
s s S S
51 ( ) [ 1 0 4 ] 1 ( )tCU t e t
1 5
10 ()
10 6 50 4
( ),( ) 4
( 5 ) 5
1(
C
R R
t
US S
SI S t
R S S S S
ei?
t)
11 0( ) l i m ( ) 10CC sU S U S V
0( ) l i m ( ) 0RRsi S I s A
欲求稳态值（终值定理）,
K
U s
R
i
R
u
C2
u
C1
C 1 C 2
11
6 5 0( 0 ) l im ( ) l im 6
5CC ss
SU S U S V
S
4( 0 ) l im ( ) 4
5RR s
si s I s A
s
欲求 值,可由初值定理计算0t
1
6 5 0()
( 5 )C
sUs
ss
4()
5RIS S
( 0 ) l im ( )sf s F s
0( ) l im ( )sf sF s
（无需反变换）,
1()it
1,1,1,1sU V R L H C F
例 4,如图电路,K打开已久，求 K闭合后的电流 。
已知 。
( 0 ) 0,( 0 )L C Si u U
解：初始值运算电路如图，用回路电流法解
K
R L
i
1
U s
C
R
1
SC
()
S
US
( 0 )
C
U
S
I 1 ( S )
R SL
R
I 2 ( S )
12
21
( 0 )11
( ) [ ] ( ) ( )
( 0 )11
( ) [ ] ( )
C
S
C
U
I s R s L I s U s
s c s c S
U
I s R I s
S C s c S
代入数据
12
21
11
( 1 ) ( ) ( ) 0
1 1 1
( 1 ) ( ) ( )
s I S I s
ss
I s I s
s s S
1
SC
()
S
US
( 0 )
C
U
S
I 1 ( S )
R SL
R
I 2 ( S )
2
12
21
( 1 ) ( ) ( )
( 1 ) ( ) ( ) 1
S S I S I S
S I S I S
2 11( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 ( )S S S I S I S
2 1 2
1
1
2
2
3 2 2
1
22
1()
( 222 2 )IS S S S
K S K
S S S S
K
S S
得：
1
1
2K?
由展开定理：
2
2 1 2 2
2 1 2
2
1 2
2
2( 2
11 ( 2 2)
( 2)2
2
2
2)
S K S K SK S K
S
IS
S S SS S
S
比较系数,得,
21
1
2K
22 1K
1
SC
()
S
US
( 0 )
C
U
S
I 1 ( S )
R SL
R
I 2 ( S )
21 22
1 1 11 ( 1 )
2 2 2
22
11
22
( 1 )
(
1 ( 1 ) 1
)
SS
I
SSS S S S
S
或
1
11 c os( sin
22
1) [ ] 1 (
2 )
ttei e ttt t
1
1( ) [ 1 2 c o s( 4 5 ) ] 1 ( )
2
ti t e t t
1 0 1 ( ),,2 ( )SS t ItUe At
1 0,0,1,( 0 ) 5,CR C F U V()CUt
例 5,电路如图，
求？
10( ),( ) 2
1 SU s I ss
解：运算电路如图
i
S
R
C
R
U s
()
C
Ut
()
( ) 2
()
2
S
C
ab
Us
C U o
RUs
SC
R
1 1 0
0,5 2 2 5
2 5 3 511
()
1 2 ( 1 ) ( 2 )
0,1
5
ab
sss
Us
s s ss
由节点电位法
1
SC
()
S
US
( 0 )
C
U
S
R
I s ( S )
R
a
b
电路响应的分量包含 与外加电源变化规律相同 的部分（强制分量）与 由电路结构决定 的变化部分（自由分量）。
在冲激电流源作用下,电容电压有跳变。
10 15()
12abUs ss
2( ) ( ) )1 110 (5t tab eut e t
1
SC
()
S
US
( 0 )
C
U
S
R
I s ( S )
R
a
b
122 5 3 5()
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )ab
KKsUs
s s s s
11
1
12
12
() 1
()
1 1 1 1 18,5 1
12
L
ab
L i o
SL S
Us
S L S L R S
S
2
11
() 6 33()
( 1 8 ) 1 8
ab
L
UsIs
S L S S S S
181( ) ( 1 ) 1 ( )
3
t
Li t e t
121,2,1 2,1 2SL H L H R U V
()Lit
例 6,如图电路，
求：开关从 1到 2后电流 。
R
① ②
U s
R
R
L 1 L 2
i
L
1 ( 0 ) 1,( 0 ) 0,SL L
UiA
R i
解：初始条件
R SL 2
a
b
SL 1
11
( 0 )
L
Li
运算电路讨论：电感中存在稳态电流。
K
L 1 L 2
R 1
R 2
U s
i
1
i
2
M
0,0 5,1,SM H U V 2()it
例 7,图示电路，
1 2 1 21,0,1,R R L L H
K闭合后 。
12( 0 ) ( 0 ) 0LLii
解：,运算电路如图
1
()IS
U s(S )
SL 1 SL 2
R 1
R 2
SM
2
()IS
1 1 1 2
2 2 2 1
( ) [ ] ( ) ( )
( ) [ ] ( ) 0
sI S R s L S M I s U s
I S R s L S M I s
代入数据
12
21
1
(0,1 1 ) ( ) 0,0 5 ( )
(0,1 1 ) ( ) 0,0 5 ( ) 0
S I S S I s
S
S I S S I s
1
()IS
U s(S )
SL 1 SL 2
R 1
R 2
SM
2
()IS
2 22
1
0.0 5 0.0 5
()
( 0.1 1 ) ( 0.0 5 ) ( 0.1 5 1 ) ( 0.0 5 1 )
s
sIs
s s s s
2
11
2 0 1 22
()
2 0 2 03 2 0
( 2 0 ) ( )
33
Is
ss s s
20
203
2
1( ) [ ]1 ( )
2
t t
i t e e t
（二阶电路）
例 8,图示电路,开关闭合前处于零状态，试求电流 。
解：因为电路原处于零状态，画出其运算电路如图所示，采用戴维南定理，
求 AB以左电路的戴维南等效电压：
10 S S
100
S
10
10
I ( S)
等效运算阻抗,
100
10 1000
1 0 1 0 2 0d
sUs
s s s
1 0 1 0 1 0 1 01 0 1 0 2 0d ssZs ss
1it
10?
10?
10?
1H 1H
100V
i
1
a
b
1
32
2
1 0 0 0 1
1 0 1 020
( 1 0 )
20
1000
4 0 3 0 0
d
d
Us
Is
sZ s R s L s s
s
s
s s s
3,3 3 5 1,6 71 0 3 0s s s
故电流的象函数：
1 1 0 3 011 3.3 3 5 1.6 7 1tti t I s e e t AL
最后求原函数：
10 S S
100
S
10
10
I ( S)
()()
()
RSHs
ES?
9.5 网络函数
()rt
()RS ()et ()Es
()Hs
网络函数的定义,电路在单一的独立源激励下，其 零状态响应 的象函数与激励源 的象函数 之比定义为该电路的网络函数,即有
H( S )E(S ) R (S )
网络函数是信号处理和控制系统中一个十分重要的概念,
网络函数 完全决定了 系统的输出响应 特性和 系统的稳定性,
注意,1） 网络函数是指电路中特定的输入输出量之间的关系,
同一电路当定义不同输入输出时,网络函数不同；
2） 网络函数是 输入输出量拉氏变换象函数之比 ；
3） 网络函数反映了输入输出量之间 动态的关系 （ 时域 ） 。
H( S )E(S ) R (S )Pe ( t) r ( t)
H ( S )
U
1
( S )
U
2
( S )
I
1
( S )
i
1
u
1
u
2N
1()ut
1()it
1
1
()()
()
ISHs
US?
例：设输入为电压,输出响应为电流,则网络函数为即为 入端导纳 函数；
1()Ut 2()Ut
2
1
()()
()
USHs
US?
若设输入为,输出为则网络函数为即 为 电压传递比 。
，
网络函数可分为,
策动电阻抗 (导纳 )
转移阻抗 (导纳 )
电压 (电流 )转移函数
1()ut 2()ut
2
1
1
() 11
()
11()
US SC
Hs
U S R CRS
S C R C
例 1：设 为输入,为输出，
图示电路网络函数为
U
1
(S ) U
2
(S )
R
1
SC
()t?
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )R S H S E S H S H S
1）由网络函数定义知，网络函数等于当激励（输入）为单位冲击源 时，输出响应的象函数。
2） 已知网络函数 时,任意激励的响应象函数可直接写出,
()HS
( ) ( ) ( )R S H S E S
（经拉氏逆变换可求出响应值）,
()Hs sj3）推论 1：网络函数 中令,则网络函数表示了正弦交流稳态电路的输入输出相量关系。 （ 频率特性 ）
讨论：网络函数完整反映系统的输入输出关系,包含了稳态和暂态二部分响应特征 。
()Hs 0s?4）推论 2：当 中 令 时,反映了直流稳态关系。
2
1
() 11
()
1()
11
1
US
Hs
U S SC
R
SC
RC
S
RC
U
1
(S ) U
2
(S )
R
1
SC
1i 0()ut
1 2 31,2,4,1,2,R R R L H C F
例 2：求图示电路的网络函数，设输入,输出,
i
1
R 3
R 1 C
LU s
R 2 U 0
3
0 1 2 1
32
28( ) ( ) ( )
11 6
2
R S L SU s I s R I S
R R S L S
S C S
解：运算电路如图
2
12
4 1 6 ()
2 1 2 1
ss Is
ss
2
0
2
1
() 4 1 6()
( ) 2 1 2 1
US SSHS
I S S S
U ( S )
U
0
( S )
I
1
( S )
1
SC
R 3
R 1
SL
R 2
2
1
()()
()
USHs
US?
1,1,1,L H C F R
例 3：求图示低通滤波器的网络函数,设
1
1
()
()
1
()
1
US
Is
SL R
SCSL
SL R
SC
解：
1
()Ut
R
L L
C
2
()Ut
i
1
i
2
1
1
2
1
()
()
()
1
( ) ( )
1
RUSC
Is
S
U s R
S L S C S L R S L R
S
S L R
SC C
32
1()
21HS S S S
由 RLC及受控源组成的线性网络,其网络函数的分子和分母多项式的根为实数或复数。
0 ()()
()i
USHS
US?
1 2 3 1 21,1R R R C C F
例 4：求图示有源滤波器电路的网络函数,设
。
1 ( ) 1,CUs?
1 1 1 1( ) ( )cCI s S C U S S C
1
2
33
() 1() C
C
USIS
RR
32
2
22
1
23
1
() 1) 1
(
1(
)
C
R
CUS
SC
U
R S CIS
RR
S
R
12 1
3
32
12
2
(
1
1
)
1
()( ) ( )R C CI S S C
R S C
II S I S
R
S
R
解：令 则 R 1 R 2
R 3
C 1
C 2
i
R2
i
c1
i
c2
u
i u
o
1 1 1
1 1 1 1 1
2 3 2 3 2
1( ) ( ) ( ) 1
iC
R R RU S R I S U S S C R
R R R R S C
02
2
11( ) ( )
CU S I S S C S
0
2
1
() 1
()
1( ) 3 1
3i
US S
HS
U S S SS
S
R 1
R 2
R 3
C 1
C 2
i
R2
i
c1
i
c2
u
i u
o
13 S
S
解,
1()
1ES S 22
1 0 ( 1 )()
( 1 ) 4
SRS
S
网络函数
22
()()
()
10
( 1 ) 4
RS
E SHS S
冲击响应
2 2 2 2
1 0 5 4
( 1 ) 4 2 ( 1( ) ( ) ( ) )4R S H SS E S S
5( ) s i n 4 1 ( )
2
tr t t te
22()S
s intet
已知线性系统在 激励下输出响应为
，求系统的网络函数和冲击响应,( ) 1 0 c o s 4 1 ( )tr t t te
( ) 1 ( )te t te例 5：
( ) 1 0 ( )i t t A
6 1 0 0( ) 1 0 tabu t e V
1000R ( ) 5 1 ( )u t t?
()it
例 6：图示电路,P为无源网络。在零初始状态下，若对 P
施加电流,其端口电压
P
R
u ( t)
()it
a
b
，现将 P串联电阻
，外加电压试求电流 。
65( ) 1 0 1 1 0
()
( ) 1 0 0 1 0 1 0 0
USZS
I S S S
解：由题条件知,P的入端运算阻抗为串入电阻后,
100 0( 200 )'( ) 100 0 ( )
100
sZ s z s
s
()'( )
()
UsZs
Is
5()Us
S?
5 1 0 0 1 1 0 0()
1 0 0 0 ( 2 0 0 ) 2 0 0 ( 2 0 0 )
SSIS
S S S S
11
4 0 0 4 0 0()
200
IS
SS
2001( ) [ 1 ] 1 ( )
400
ti t e t
P
R
u ( t)
()it
a
b
即有得：
P
1
1'
2
2?
1 ( t)
u o ( t)
()it
P
1
1'
2
2?
()t?
50( ) 5 ti t e A
40( ) 5,tSU t e V ()it
例 7：如图电路，
1000 ( ) ( 1 ) 1 ( ),tU t e t V
，若 30R
求电阻上电流 。
()
S
Ut
()it
P
1
1'
2
2?
R
1()
SUS S?
0
1 1 1 0 0()
1 0 0 ( 1 0 0 )
Us
s s s s
0 () 100()
( ) 1 0 0S
USHS
U S S
解：由图（ a）知,时，
电压转移比
5()
40SUS S
01
500( ) ( ) ( )
( 1 0 0 ) ( 4 0 )sU s H s U s ss
则 当 时,开路电压为
()it
P
1
1'
2
2?
()t?
入端运算阻抗为
0 ()()
()S
USHS
US?
( ) 1SUS?
0
100()
100US S ( ) 1SUS?
5()
50DIS S
0 () 2 0 ( 5 0 )()
( ) 1 0 0D
US SZS
I S S
又由 知，当 时,开路电压由图（ b） 时，短路电流
01 500
( 1 0 0 ) ( 4 0 2
1(
0 ( 5 0 )() 30)
100
) U
SSZS
IS S
R
S
则在图（ c）时输出电流
()
S
Ut
()it
P
1
1'
2
2?
R
5 0 0 5 0 0()
( 4 0 ) [ 3 0 3 0 0 0 2 0 1 0 0 0 ] ( 4 0 ) ( 5 0 4 0 0 0 )IS S S S S S
11
44()
4 0 8 0
IS
SS
40 801( ) ( ) 1 ( )
4
tti s e e t A
10
( 4 0 ) ( 8 0 )SS
1 ( ) 1 ( )ti t e t
2 ( ) ( ) 1 ( ),tu t t e t2 ( ) ( ) 1 ( )
ti t t e t
55 1 ( )tsu e t
2()it
例 8：如图电路,P为无独立源和受控源网络，已知
。若试求 。
P
1
1'
2
2?
()t?
i
1
u
2
a
P
1
1'
2
2?
()t? i
2
b
()
S
Ut
P
1
1'
2
2?
i
2
c
Z 1 Z 2
Z 31
13
1
()
()
Us ZZ
IS
2
3
1
(),
()
US Z
IS?
解：设 P的 S域 T型等效电路如图,由（ a） (b)图条件
（转为 S域分析）
开路时
1 1 2
11( ) 1,( ),( ) 1,
1 1 1
sU s I s U s
s s s
'
32
23
()
()S
ZIs
I s Z Z
，代入数据
Z 1 Z 2
Z 3
短路时
2( ) 1,( ) 1s
sI s I s
s
1
3 1 3 2
1
()( ),( ) 1,( ) 1
()
USZ S S Z s Z Z S
IS
2
1
5 22 5 5()
9 1 8
ttt e ei
得,
5()
5SUS S
2
()()
1
5
( 5 ) ( 21
1
1)
SUS SIS
S S
S
S
SS
2
5 2 5
5 1 8 9
( ),
1125
( ) ( 5 )
22
S
IS
SS S S
则在 激励下，有
( ) 1()
( ) 2
ISHS
U S S
( ) 1 0 1 ( )U t t (0 ) 2iA
()it
例 9：已知无源网络的网络函数
P
u ( t)
()it
，现在非零状态下外加电源
，电流响应初始值求 。
1 1 0 1 0 5 5( ) ( ) ( )
2 ( 2 ) 2SI s H S U S S S S S S S
解：端口电流响应可分为 零输入响应 （由初始条件决定）和零状态响应 （由外部激励引起），由条件知，外加电压的响应为 (零状态响应 ):
2( ) 5 (1 )ti t e
()t?
()ht
2( ) 1 ( )ti t k e t
P
u ( t)
()it
网络函数为外加 时的响应，
网络函数的原函数 反映了电路的暂态变化形式,由题知,零输入分量可写为 [时域中 ]，
全响应为
22( ) ( ) ( ) 5 ( 1 )tti t i t i t e k e
(0 ) 2i
22( ) [ 5 ( 1 ) 2 ] 1 ( )tti t e e t
由条件 得 K=2，全解为：
