主 要 内 容
1) 换路定则与初始条件 ;
2) RC电路过渡过程 ;
3) RL电路过渡过程 ;
4) RLC 电路过渡过程 ;
5) 阶跃响应与冲击响应 ;
6) 高阶电路过渡过程,
第八章 线性动态电路的时域分析电路结构，参数或电源的突然改变，称为 换路 。
电路从一种定状态转为另一种稳定状态的过程，称为过渡过程 。
1,对于电阻电路,电路中电压和电流的变化是,立即,完成的 。
K闭合,K打开,
1
1
sUI
R?
1 0I?
K
R 1
R 2
R 3
U s
I 1
8.1 过渡过程概述
2,对于存在电容和电感的电路，电容元件的电压（电荷）和电感元件的电流（磁链）变化一般需要时间。（过渡过程时间）。
例：如果电容原来不带电,在开关闭合时,电容电压从 0
变为 。 电容电流
sU
00
0l im l im,cs
ttC
d u UuC C C
d t t ti
K
C U c
R
U s
若电容电压能,瞬间,从 0升到,则必需有,sU
0S
c
UC
ti
电容电压上升需要时间！
Li s
U
R
若电感电流 能“瞬时”从 0升到,
则需一个无穷大端电压。
0
0l i mLL
L t
diU L L
dt t
i
电感电流上升需要时间！
0Li?
.sL Ui R?
L
L
diUL
dt?
KR
U s
i
L
L
，
K闭合稳态时对于电感电路，设原来过渡过程经典解法,由 KCL,KVL及元件电压电流关系
（ ） 列出电路 微分方程,然后解出方程 。
,,CcR Udiu c dti LL L
diu
dt?
3,过渡过程时域求解 (经典法 ) 概述
()C C sR i U u t
()C CSdUR C U U tdt
C U c
R i
C
()
S
tu
例：
一阶微分方程初始条件,
0( ) ( 0 )CCtU t U
()C CSdUR C U U tdt
0( ) ( 0 )CCtU t U
从方程解出电容电压 ()
CUt
的一般解 (一阶微分方程解 )
再由初始条件确定各系数。
C U c
R i
C
()
S
tu
8.3 换路定则与初始条件由
00
(0 ) (0 )l im l imC C C C
C tt
d U U U Ui C C C
d t t t
当,而 为有限值，则有0t
Ci ( 0 ) ( 0 )CCUU
8.3.1 换路定则,（ 一般情况 ）
1）,电容电压在换路前后的值不变 K (t=0)
C U c
R
U s
( 0 ) ( 0 )CCUU
2）,电感电流在换路前后的值不变
( 0 ) ( 0 )LLii
K (t=0)R
U s
L
i L
由
00
(0 ) (0 )l im l imL L L L
L tt
d i i i iU L L L
d t t t
当,而 为有限值时,则有 。0t
LU ( 0 ) ( 0 )LLii
实际现象讨论：
（ 1）当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击电流。
K
U s 1
（ 2）当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。
K
U s 1
R
i
L
u
L
例 1：发电机励磁线圈,L=0.4H,R=2Ω,直流电压 US=4V，
伏特表量程 50V,内阻 RV=50KΩ,开关闭合已久达稳态,求开关 K断开瞬时伏特表电压？
Us
+
u V
V
K
i V
R
L
i L 解：
( 0 ) 2SL UiAR
( 0 ) ( 0 ) 2LLi i A
5( 0 ) ( 0 ) 2 5 0 1 0V V Vu R i k V
瞬间高压会损坏电压表 !
采用二极管并联续流方式可防止冲击电压。
K
R 1
L 1
R V
i
1US
二极管并联续流电路广泛应用于开关电路 (开关管 )的保护。
()
i
tu
L
R
()
s
tu
由换路定则,( 0 ) ( 0 ),( 0 ) ( 0 )
C C L LU U i i
_(0 )CU
(0 )Li?
2
1 2 1 2
(0 ),(0 ) SC S L URU U iR R R R
解：开关 打开 前的电容电压与电感电流 为
8.3.2 利用换路定则计算 换路后瞬间 (t=0+)电路状态
K
U s
R 1 R 2
L
C
i
L
u
c
例 2,图示电路，开关闭合已久,求开关 打开瞬间的 电容电压和电流
(0 )ci?
(0 )LU? 2 (0 )RU?
，电感电压和电流
,电阻电压 。
(0 ),Li?
(0 ),CU?
(0 )CU?
计算 电路时，电容电压不变，因此0t
电容等效于一直流电压源，数值为 。(0 )
CU?
(0 )CU?
（ 1）
电感等效于一直流电流源，数值为 。(0 )
Li?
计算 电路时，电感电流不变，因此0t（ 2）
(0 )Li?(0 )
Li?
12
( 0 ) ( 0 ),SCL Uii RR
2
22
12
2
(0 ) (0 )
(0 ) (0 ) 0
R l S
L R C
R
U i R U
RR
U U U
等效电路如图
K
U s
R 1 R 2
L
C
i
L
u
c
U s
R 1
R 2
i
L
u
c
u
L
i
Cu
R2
(0 )
(0 )
由原电路画出 t=0-时的等效电路，得：
R
R
i
C
i
L
(0 )
u
c
(0 )
u
L
U s
例 3,图示电路，开关 打开 已久,已知
(0 )Cdu
dt
,。
(0 ),Li?(0 ),CU?
(0 )Ld
dt
i?
R
R
i
L
u
C
C
LU s1,1,1,R L H C F
求开关闭合 瞬间的
1,SUV?
_(0 )CU
(0 )Li?
( 0 ) 0,( 0 ) 0CLU V i A
解：开关 闭合 前的电容电压与电感电流 为由换路定则,得
( 0 ) ( 0 ) 0,CCU U V
( 0 ) ( 0 ) 0,LLi i A
R
R
i
L
u
C C
L
i
C
u
LU s
R
R
i
C
i
L
(0 )
u
c
(0 )
u
L
U s
( 0 ) ( 0 )CCdu
d t C
i
由
C
C
dC
dt
ui?
( 0 )( 0 ) ( 0 ) 2SC
CL
Uu A
Rii
( 0 ) ( 0 ) (/2 )CCd Vu
tC Sd
i
同理,由
L
L
diL
dtu?
( 0 ) ( 0 )LLdu
d t L
i
(0 ) (0 ) (0 ) 0L C LRuu i
( 0 ) ( 0 ) 0LLdu
d t L
i
124,2SI A R R
1 (0 )Ri
例 4 图示电路，,开关闭合已久，
求开关打开瞬间电阻 R1上的电流 。
K
i
R1
R 1
I S
C 1
C 2
L
R 2
2 1 2
1( 0 ) 0,( 0 ) 4
2c C SU U I R V
解：开关闭合时有
1( 0 ) 2,
2LSi I A
1R
1 ( 0 ) 1RiA
电阻 电流
i
R1
R 1
I S
R 2
4V
2A
0V
开关打开后等效电路如图
8.3.3 电容电压电感电流有跳变情况当电路存在由 电压源和电容组成的回路时,电容电压有突变。
此时 ( 0 ) ( 0 )
CCUU与不一定相同,但节点电荷守恒
( 0 ) ( 0 )qq
121 2,2,4,SU C F C F
12( 0 ),( 0 )CCUU
例,设
K
u
C1
u
C2
U s a
C 1
C 2
12( 0 ) 4,( 0 ) 2,CCU V U V
开关原来打开，问 K闭合后瞬间
。
解：电路闭合后，应满足 KVL，即有
12( 0 ) ( 0 )S C CU U U
节点 a电荷变换前后应保持一致 ( 0 ) ( 0 )
aaqq
即,
1 1 2 2 1 1 2 2( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )C C C CC U C U C U C U
K
u
C1
u
C2
U s a
C 1
C 2
代入数据
121 2 ( 0 ) ( 0 )CCUU
122 ( 0 ) 4 ( 0 ) 8 8CCUU
得：
12( 0 ) 8,( 0 ) 4CCU V U V
0
( 0 ) ( 0 )
K V L t
qq
由 列 时回路电压方程 ；
列电容连接处节点电荷守恒方程解题要点：
例 2 电路如图，
12( 0 ),( 0 ) 0C O CU U U V
，求开关闭合
12( 0 ),( 0 )CCUU 的值。
R
C 1
U c 1
K
C 2
U c 2
解：闭合后电容电压应相等
12( 0 ) ( 0 )CCUU
R
C 1
U c 1
K
C 2
U c 2
a
闭合前后节点 a 的电荷不变
（ 电阻电路在换路瞬间无电荷流过 ）
12( 0 ) ( 0 )CCUU
（ 1）
1 1 2 2 1 1 2 2( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )C C C CC U C U C U C U
（ 2）
由（ 1）和（ 2）式，得
1 1 2 2
12
12
(0 ) (0 )(0 ) (0 ) CC
CC
C U C UUU
CC
K
R 1 R 2
R 3
I S
L 1 L 2
i
L1
i
L2
a
b
当电路存在由 电流源和电感 组成的割集时，电感电流有突变。
但回路磁链的值在换路前后保持不变
11
(0 ) (0 ) (0 ) (0 )K k K k
KK
nn
LLii
解：
12( 0 ) ( 0 ) 23
S
LL
Ii i A
1 2 3 10R R R1 2LH?
2 1,6,SL H I A K
12(0 ),(0 )LLii
例：,
原来闭合，
求,K打开后 。
K
R 1 R 2 R
3
I S
L 1 L 2
i
L1
i
L2
a
b
0t
12( 0 ) ( 0 )S L LI i i
由 KCL，开关打开后 时
_( 0 ) ( 0 )
1 1 2 2 1 1 2 2( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )L L L LL i L i L i L i
回路磁链守恒：
（磁链方向与回路方向一致）
0K C L t
由 列 节点电流方程列电感回路磁链守恒方程解题要点：
126 ( 0 ) ( 0 )LLii 122 ( 0 ) ( 0 ) 4 2LLii
12
10( 0 ) 8 / 3,( 0 )
3LLi A i A
代入数据得：
，
电路无外加激励源,只存在电容初始值,零输入响应 。
U s
R
C
i
C
u C ( t)
( ) 0CcRtui
C
C
diC
dt
u? 0C
C
dRC
dt
u u
电路方程建立：（ KVL）
得：
0( 0 ) ( 0 )CCU U U
电路为一阶微分方程，故又称为一阶电路，初始条件：
1） RC电路零输入响应
8.3 RC电路（一阶电路）过渡过程
R
C
i
C
u C ( t)
RC
C
tt
k e k eu
电路方程解：
RC
式中：
为电路 时间常数,单位为秒。
0( 0 )CUU 0Uk?
由初始条件 得
0( ) ( 0 )C
t
U t U e t 电容电压响应（变化规律）：
电压波形为
t
u C
0 2
U
0
0,3 6 8 U
0
0,1 3 5 U
0
U 0
u c ( t)
t
2
1?
12RR?
t R C
00
1( ) 0,3 6 8
CU U Ue
讨论：当 时，
反映了电容电压下降为原值 0.368时所需时间。
改变电阻会改变电容电压的下降速度。
利用 RC电路可做成简易延时电路。 A
V cc R 1
R 2
C
定时电路
C
CS
dUR C U U
dt
(0 ) 0CU
( 0 ) ( 0 ) 0CCUU
电路方程,初始条件：
电路中电容电压初始值为另
U s
R
Cu C ( t)
i
C电路状态 指电路储能元件的状态
（ 电压,电流值 ） 。
2>,RC 电路零状态响应零状态响应,电路 储能元件状态为零,响应由外加激励引起。
电路解：
()CS
t
U t U k e
()C S S
t
U t U U e RC
式中由初始条件，得波形图
U s
t
u c ( t)
t
i
C
d( ) e
d
CS
C
tUU
i t C tR
电容电流
22
0
1( ) d
2R c sW Ri t t C U
21
2CSW C U?
充电过程电阻耗能电容最终储能充电过程有一半能量消耗在电阻。
讨论：微电子记忆单元中功耗问题研究。
U c
1
0
V c c
R
Cu C ( t)
u s ( t)
sin( )Cd U cR C U U tdt
t
RC
cu k e
电路方程：
一阶非齐次方程的通解为
s i n ( )cmu U t
c o s ( ) s i n ( ) s i nmmR C U t U t U t
设特解形式,代入原方程：
( ) s i n ( )SU t U t ( 0 ) 0CU
例,RC电路接通正弦交流电源
，
为了解出
mU
和?,设
22
1
s in
1
()
C
R
C
22
c o s
1
()
R
R
C
m
UU
zc
由上式解得：
101 90tg
RC
[ c o s ( ) ] s i nmU z c t U t得：
0[ s i n ( 9 0 ) ] s i nmU z c t U t
221()zR
C
[ c o s c o s ( ) s i n s i n ( ) ] s i nmU z c t z c t U t
原式改为：
1 1tg
RC
101sin[ ( ) 90 ]
C
UU t tg
z C R C
特解为正弦稳态电路响应。
求正弦电源激励的电路特解时，可采用稳态相量法求解
R
Cu C ( t)
u s ( t)
jC?
1
U c
.
R
Us
.
1
22
1
1
1 1
()
1
()
C S S
jC
U U U
j C R
R
jC
U
tg C R
CR
C
101sin[ ( ) 90 ]
C
UU t tg
z C R C
特解
1 0 1 1( ) 90 ( )t g R C t g
RC
[ ]
电容电压：
s in ( )
t
RC
C C C
UU U U t k e
zc
(0 ) 0CU si nUk
zc
( ) s i n ( ) s i n
t
RC
C
UUU t t e
z c z c
由 确定通解中系数 k
最后得：
R
Cu C ( t)
u s ( t)
R
u C ( t)
U s
0 SU U k
0 Sk U U
由初始条件
0( 0 )CUU
3> RC电路全响应既有初始状态值，
又有外部激励 。
S U
C
CS
dUR C U U
dt
()
t
RCCSU t U k e
方程：
解方程得特解 通解
R
u C ( t)
U s
0
0
( 1 )
() ()
t
RC
tt
R C C
S
SSC
RU
U U U e
eU
Ut
e
t
RCke?
讨论：电路全响应 =稳态分量 +暂态分量 =零输入响应 +零状态响应稳态分量形式与激励源相同，对应方程的特解。
暂态分量形式 决定于电路结构参数。
全响应：
4> 一阶电路的三要素法 （公式法）
( ) ( )
t
f t f t k e稳
(0 )f? ( 0 ) ( 0 )k f f
稳
( ) ( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]
t
f t f t f f e稳稳电路响应（解）一般形式由初始条件 可解出有由上式可直接写出电路响应，只要知道三个要素：
（ 1）稳态解；（ 2）初始值；（ 3）时间常数直流电源激励正弦交流电源激励
R
Cu C ( t)
U s
( ) ( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]
t
RC
CC CcU t U t U U e
稳稳解：由 三要素公式
SCUU?稳 ( 0 ) SCUU稳
0( 0 ) ( 0 )CCU U U
得：
0( ) [ ]
t
RC
C S SU t U U U e
0( 0 )CUU
()CUt
例 1
求 K闭合后已知
,SUR和
。
1( ) 2 2 0 sin 1 0 0,,2 0,( 0 ) 1 0
1000SCU t t C F R U
()CUt
例 2：
求,K闭合后 。
K
R
R
C 1u s ( t )
u c ( t )C
U
12 0 0,1 0
SU C
a.> 的稳态值可用相量法求出。
1
() 1 0 1 0
2 2 5 4 5
1 1 0 1 0
2
C
SU j
jC
U
R j
j
C
1 0 s i n ( 1 0 0 4 5 )CUt稳
R o
Uo
,jC?
1
I C
.
b.> 时间常数,确定时间常数需简化电路为 R--C形式。
电容以外的电路去掉独立电源后简化为一个等效电阻。 （无源网络简化）
// 1 0R R R 1
100RC
故电容电压：
1002]( ) 1 0 s i n ( 1 0 0 4 5 ) [ 1 0 5C tU t t e
K
R
R
C 1
u s ( t)
u c ( t)
R
R
c.> 初始值：
( 0 ) ( 0 ) 1 0CCUU
K
R
R
R i R C
U s
13 0,1 0 0,,( 0 ) 0,
1500SCU V R C F U
()Rit
例 3:
求 K闭合后 。
( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]RR RR
t
i t i i i e稳稳解：
0.152 SR U ARi稳 311 5 0,2 1 0R R R C
( 0 ) ( 0 ) 0RRii注意：
除电容电压和电感电流外，其它量跳变前后一般不相等。
(0 )Ri? 0t求,由 时电路状态来计算。
得,1 0,1,
3 2
2
(0 ) SRi U A
R
10( ) 0,1 5 [ 0,1 0,1 5 ]R tit e
R
R
R
i
R (0 + )
U s U c (0 -)
例 4,RC电路对电压波形的影响研究。
U s 1
RC U o
U o
t
U o
t
U s
tT
T RC
T RC
微分电路
01S
t
U U e
(0 )tT
01 ( 1 )S
T t T
U U e e
()tT?
U s 1
R
C U o
U s
tT
t
U o
t
U o
T RC
T RC
积分电路
01 ( 1 )S
t
U U e (0 )tT
01 ( 1 )S
T t T
U U e e
()tT?
()S tU t U e (0 ) 0CU
U s
R
C
U c
K
例 5 （指数激励），
注意,三要素法应用于直流或正弦电源激励电路，其余激励源一般需解非齐次方程。
求 K(t=0时 )闭合后的 ()
CUt
。
t t tR C A e A e U e
1
UA
RC
1
t
C
UUe
RC
代入原式,得特解为
tC
C
dUR C U U e
dt
C
tRC
U ke tCU Ae，
特解通解
U s
R
C
U c
K
( 0 ) ( 0 ) 0CCUU
1
Uk
RC?
( ) [ ]1
t
t RC
C
UU t e e
RC
由 得有全解
1
t
RC
C C C
tUU U U e k e
RC
例 6,如图电路,R=1?,C=1F,IS=1A,?=0.5，电路已达稳态。求当?突变为 1.5后的电容电压。
I S
i
i
R
R
R
u
c
C解：用三要素法求解
1） 电容电压初始值 (0 )
CU?
( 0.5)
2SI I I I 0,4
3
SIIA
( 0 ) 0,4CU R I V
2） 电容电压稳态值 ( 1,5 )
2SI I I I 2
33
SIIA
2
3CPU R I V
i
i
R
R
(a)
i
i
R
R
R
(b)
3）时间常数图 (a)电路的入端电阻
' ( 2 ) 0,5RR
图 (b)电路的入端电阻
0
'1
'3
RRR
RR
0
1
3CR
电容电压为
322( ) [ 0,4 ]
33C
tUt e
解：用三要素法求解
1）求初始值 0t 电容电压跳变
12( 0 ) 5,( 0 ) 02
S
CC
UU V U
12( 0 ) ( 0 )S C CU U U
1 1 2 2 1 1 2 2( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )C C C CC U C U C U C U
R
R
U c 1
U c 2
C 1
C 2
U s
例 7,如图电路,1 0,0,0 1RF
1 C
0,0 2,F?2C 10,SUV?
开关打开已 久。求开关闭合后
12( ) ( )CCU t U t和 。
2 ( 0 ) 0CU
1 1 2 2 1
2
12
( 0 ) ( 0 )( 0 ) C C S
C
C U C U C UU
CC
R
R
U c 1
U c 2
C 1
C 2
U s
5
3V?
12
25( 0 ) ( 0 )
3C S CU U U V
2）电容电压稳态值
12( ) ( ) 52
S
CC
UU U V
R
R
C 1
C 23）电路时间常数
''
12
3()
2 2 0
RR C C C
1 1 1 1( ) ( ) [ ( 0 ) ( ) ]C C C C
t
U t U U U e
1
20
325( ) 5 [ 5 ]
3C
t
Ut e
2
20
35( ) 5 [ 5 ]
3C
t
Ut e
例 8,如图电路,1 0,0,0 1RF C
2,10,SUV?
求开关闭合后 。()
CUt
i
1? i 1
()o tu
cu
R
R
R
U s
U s
K开关打开已久。
解：用三要素法求解
1）求初始值 0t
( 0 ) ( 0 ) 1 0C C SU U U V
电容电压
2）求稳态值 t 电容电压
() 2 52C SSS UUU U R R V
i
1? i 1
()o tu
cu
R
R
R
U s
U s
K
i
1? i 1
()o tu
R
R
R
I
U
等效电阻
0
()2 2 2
2 2 0
I I IRR
URR
II
0( ) ( ) [ ( 0 ) ( ) ]C C C C
tRC
U t U U U e?
555 te
1) 换路定则与初始条件 ;
2) RC电路过渡过程 ;
3) RL电路过渡过程 ;
4) RLC 电路过渡过程 ;
5) 阶跃响应与冲击响应 ;
6) 高阶电路过渡过程,
第八章 线性动态电路的时域分析电路结构，参数或电源的突然改变，称为 换路 。
电路从一种定状态转为另一种稳定状态的过程，称为过渡过程 。
1,对于电阻电路,电路中电压和电流的变化是,立即,完成的 。
K闭合,K打开,
1
1
sUI
R?
1 0I?
K
R 1
R 2
R 3
U s
I 1
8.1 过渡过程概述
2,对于存在电容和电感的电路，电容元件的电压（电荷）和电感元件的电流（磁链）变化一般需要时间。（过渡过程时间）。
例：如果电容原来不带电,在开关闭合时,电容电压从 0
变为 。 电容电流
sU
00
0l im l im,cs
ttC
d u UuC C C
d t t ti
K
C U c
R
U s
若电容电压能,瞬间,从 0升到,则必需有,sU
0S
c
UC
ti
电容电压上升需要时间！
Li s
U
R
若电感电流 能“瞬时”从 0升到,
则需一个无穷大端电压。
0
0l i mLL
L t
diU L L
dt t
i
电感电流上升需要时间！
0Li?
.sL Ui R?
L
L
diUL
dt?
KR
U s
i
L
L
，
K闭合稳态时对于电感电路，设原来过渡过程经典解法,由 KCL,KVL及元件电压电流关系
（ ） 列出电路 微分方程,然后解出方程 。
,,CcR Udiu c dti LL L
diu
dt?
3,过渡过程时域求解 (经典法 ) 概述
()C C sR i U u t
()C CSdUR C U U tdt
C U c
R i
C
()
S
tu
例：
一阶微分方程初始条件,
0( ) ( 0 )CCtU t U
()C CSdUR C U U tdt
0( ) ( 0 )CCtU t U
从方程解出电容电压 ()
CUt
的一般解 (一阶微分方程解 )
再由初始条件确定各系数。
C U c
R i
C
()
S
tu
8.3 换路定则与初始条件由
00
(0 ) (0 )l im l imC C C C
C tt
d U U U Ui C C C
d t t t
当,而 为有限值，则有0t
Ci ( 0 ) ( 0 )CCUU
8.3.1 换路定则,（ 一般情况 ）
1）,电容电压在换路前后的值不变 K (t=0)
C U c
R
U s
( 0 ) ( 0 )CCUU
2）,电感电流在换路前后的值不变
( 0 ) ( 0 )LLii
K (t=0)R
U s
L
i L
由
00
(0 ) (0 )l im l imL L L L
L tt
d i i i iU L L L
d t t t
当,而 为有限值时,则有 。0t
LU ( 0 ) ( 0 )LLii
实际现象讨论：
（ 1）当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击电流。
K
U s 1
（ 2）当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。
K
U s 1
R
i
L
u
L
例 1：发电机励磁线圈,L=0.4H,R=2Ω,直流电压 US=4V，
伏特表量程 50V,内阻 RV=50KΩ,开关闭合已久达稳态,求开关 K断开瞬时伏特表电压？
Us
+
u V
V
K
i V
R
L
i L 解：
( 0 ) 2SL UiAR
( 0 ) ( 0 ) 2LLi i A
5( 0 ) ( 0 ) 2 5 0 1 0V V Vu R i k V
瞬间高压会损坏电压表 !
采用二极管并联续流方式可防止冲击电压。
K
R 1
L 1
R V
i
1US
二极管并联续流电路广泛应用于开关电路 (开关管 )的保护。
()
i
tu
L
R
()
s
tu
由换路定则,( 0 ) ( 0 ),( 0 ) ( 0 )
C C L LU U i i
_(0 )CU
(0 )Li?
2
1 2 1 2
(0 ),(0 ) SC S L URU U iR R R R
解：开关 打开 前的电容电压与电感电流 为
8.3.2 利用换路定则计算 换路后瞬间 (t=0+)电路状态
K
U s
R 1 R 2
L
C
i
L
u
c
例 2,图示电路，开关闭合已久,求开关 打开瞬间的 电容电压和电流
(0 )ci?
(0 )LU? 2 (0 )RU?
，电感电压和电流
,电阻电压 。
(0 ),Li?
(0 ),CU?
(0 )CU?
计算 电路时，电容电压不变，因此0t
电容等效于一直流电压源，数值为 。(0 )
CU?
(0 )CU?
（ 1）
电感等效于一直流电流源，数值为 。(0 )
Li?
计算 电路时，电感电流不变，因此0t（ 2）
(0 )Li?(0 )
Li?
12
( 0 ) ( 0 ),SCL Uii RR
2
22
12
2
(0 ) (0 )
(0 ) (0 ) 0
R l S
L R C
R
U i R U
RR
U U U
等效电路如图
K
U s
R 1 R 2
L
C
i
L
u
c
U s
R 1
R 2
i
L
u
c
u
L
i
Cu
R2
(0 )
(0 )
由原电路画出 t=0-时的等效电路，得：
R
R
i
C
i
L
(0 )
u
c
(0 )
u
L
U s
例 3,图示电路，开关 打开 已久,已知
(0 )Cdu
dt
,。
(0 ),Li?(0 ),CU?
(0 )Ld
dt
i?
R
R
i
L
u
C
C
LU s1,1,1,R L H C F
求开关闭合 瞬间的
1,SUV?
_(0 )CU
(0 )Li?
( 0 ) 0,( 0 ) 0CLU V i A
解：开关 闭合 前的电容电压与电感电流 为由换路定则,得
( 0 ) ( 0 ) 0,CCU U V
( 0 ) ( 0 ) 0,LLi i A
R
R
i
L
u
C C
L
i
C
u
LU s
R
R
i
C
i
L
(0 )
u
c
(0 )
u
L
U s
( 0 ) ( 0 )CCdu
d t C
i
由
C
C
dC
dt
ui?
( 0 )( 0 ) ( 0 ) 2SC
CL
Uu A
Rii
( 0 ) ( 0 ) (/2 )CCd Vu
tC Sd
i
同理,由
L
L
diL
dtu?
( 0 ) ( 0 )LLdu
d t L
i
(0 ) (0 ) (0 ) 0L C LRuu i
( 0 ) ( 0 ) 0LLdu
d t L
i
124,2SI A R R
1 (0 )Ri
例 4 图示电路，,开关闭合已久，
求开关打开瞬间电阻 R1上的电流 。
K
i
R1
R 1
I S
C 1
C 2
L
R 2
2 1 2
1( 0 ) 0,( 0 ) 4
2c C SU U I R V
解：开关闭合时有
1( 0 ) 2,
2LSi I A
1R
1 ( 0 ) 1RiA
电阻 电流
i
R1
R 1
I S
R 2
4V
2A
0V
开关打开后等效电路如图
8.3.3 电容电压电感电流有跳变情况当电路存在由 电压源和电容组成的回路时,电容电压有突变。
此时 ( 0 ) ( 0 )
CCUU与不一定相同,但节点电荷守恒
( 0 ) ( 0 )qq
121 2,2,4,SU C F C F
12( 0 ),( 0 )CCUU
例,设
K
u
C1
u
C2
U s a
C 1
C 2
12( 0 ) 4,( 0 ) 2,CCU V U V
开关原来打开，问 K闭合后瞬间
。
解：电路闭合后，应满足 KVL，即有
12( 0 ) ( 0 )S C CU U U
节点 a电荷变换前后应保持一致 ( 0 ) ( 0 )
aaqq
即,
1 1 2 2 1 1 2 2( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )C C C CC U C U C U C U
K
u
C1
u
C2
U s a
C 1
C 2
代入数据
121 2 ( 0 ) ( 0 )CCUU
122 ( 0 ) 4 ( 0 ) 8 8CCUU
得：
12( 0 ) 8,( 0 ) 4CCU V U V
0
( 0 ) ( 0 )
K V L t
由 列 时回路电压方程 ；
列电容连接处节点电荷守恒方程解题要点：
例 2 电路如图，
12( 0 ),( 0 ) 0C O CU U U V
，求开关闭合
12( 0 ),( 0 )CCUU 的值。
R
C 1
U c 1
K
C 2
U c 2
解：闭合后电容电压应相等
12( 0 ) ( 0 )CCUU
R
C 1
U c 1
K
C 2
U c 2
a
闭合前后节点 a 的电荷不变
（ 电阻电路在换路瞬间无电荷流过 ）
12( 0 ) ( 0 )CCUU
（ 1）
1 1 2 2 1 1 2 2( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )C C C CC U C U C U C U
（ 2）
由（ 1）和（ 2）式，得
1 1 2 2
12
12
(0 ) (0 )(0 ) (0 ) CC
CC
C U C UUU
CC
K
R 1 R 2
R 3
I S
L 1 L 2
i
L1
i
L2
a
b
当电路存在由 电流源和电感 组成的割集时，电感电流有突变。
但回路磁链的值在换路前后保持不变
11
(0 ) (0 ) (0 ) (0 )K k K k
KK
nn
LLii
解：
12( 0 ) ( 0 ) 23
S
LL
Ii i A
1 2 3 10R R R1 2LH?
2 1,6,SL H I A K
12(0 ),(0 )LLii
例：,
原来闭合，
求,K打开后 。
K
R 1 R 2 R
3
I S
L 1 L 2
i
L1
i
L2
a
b
0t
12( 0 ) ( 0 )S L LI i i
由 KCL，开关打开后 时
_( 0 ) ( 0 )
1 1 2 2 1 1 2 2( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )L L L LL i L i L i L i
回路磁链守恒：
（磁链方向与回路方向一致）
0K C L t
由 列 节点电流方程列电感回路磁链守恒方程解题要点：
126 ( 0 ) ( 0 )LLii 122 ( 0 ) ( 0 ) 4 2LLii
12
10( 0 ) 8 / 3,( 0 )
3LLi A i A
代入数据得：
，
电路无外加激励源,只存在电容初始值,零输入响应 。
U s
R
C
i
C
u C ( t)
( ) 0CcRtui
C
C
diC
dt
u? 0C
C
dRC
dt
u u
电路方程建立：（ KVL）
得：
0( 0 ) ( 0 )CCU U U
电路为一阶微分方程，故又称为一阶电路，初始条件：
1） RC电路零输入响应
8.3 RC电路（一阶电路）过渡过程
R
C
i
C
u C ( t)
RC
C
tt
k e k eu
电路方程解：
RC
式中：
为电路 时间常数,单位为秒。
0( 0 )CUU 0Uk?
由初始条件 得
0( ) ( 0 )C
t
U t U e t 电容电压响应（变化规律）：
电压波形为
t
u C
0 2
U
0
0,3 6 8 U
0
0,1 3 5 U
0
U 0
u c ( t)
t
2
1?
12RR?
t R C
00
1( ) 0,3 6 8
CU U Ue
讨论：当 时，
反映了电容电压下降为原值 0.368时所需时间。
改变电阻会改变电容电压的下降速度。
利用 RC电路可做成简易延时电路。 A
V cc R 1
R 2
C
定时电路
C
CS
dUR C U U
dt
(0 ) 0CU
( 0 ) ( 0 ) 0CCUU
电路方程,初始条件：
电路中电容电压初始值为另
U s
R
Cu C ( t)
i
C电路状态 指电路储能元件的状态
（ 电压,电流值 ） 。
2>,RC 电路零状态响应零状态响应,电路 储能元件状态为零,响应由外加激励引起。
电路解：
()CS
t
U t U k e
()C S S
t
U t U U e RC
式中由初始条件，得波形图
U s
t
u c ( t)
t
i
C
d( ) e
d
CS
C
tUU
i t C tR
电容电流
22
0
1( ) d
2R c sW Ri t t C U
21
2CSW C U?
充电过程电阻耗能电容最终储能充电过程有一半能量消耗在电阻。
讨论：微电子记忆单元中功耗问题研究。
U c
1
0
V c c
R
Cu C ( t)
u s ( t)
sin( )Cd U cR C U U tdt
t
RC
cu k e
电路方程：
一阶非齐次方程的通解为
s i n ( )cmu U t
c o s ( ) s i n ( ) s i nmmR C U t U t U t
设特解形式,代入原方程：
( ) s i n ( )SU t U t ( 0 ) 0CU
例,RC电路接通正弦交流电源
，
为了解出
mU
和?,设
22
1
s in
1
()
C
R
C
22
c o s
1
()
R
R
C
m
UU
zc
由上式解得：
101 90tg
RC
[ c o s ( ) ] s i nmU z c t U t得：
0[ s i n ( 9 0 ) ] s i nmU z c t U t
221()zR
C
[ c o s c o s ( ) s i n s i n ( ) ] s i nmU z c t z c t U t
原式改为：
1 1tg
RC
101sin[ ( ) 90 ]
C
UU t tg
z C R C
特解为正弦稳态电路响应。
求正弦电源激励的电路特解时，可采用稳态相量法求解
R
Cu C ( t)
u s ( t)
jC?
1
U c
.
R
Us
.
1
22
1
1
1 1
()
1
()
C S S
jC
U U U
j C R
R
jC
U
tg C R
CR
C
101sin[ ( ) 90 ]
C
UU t tg
z C R C
特解
1 0 1 1( ) 90 ( )t g R C t g
RC
[ ]
电容电压：
s in ( )
t
RC
C C C
UU U U t k e
zc
(0 ) 0CU si nUk
zc
( ) s i n ( ) s i n
t
RC
C
UUU t t e
z c z c
由 确定通解中系数 k
最后得：
R
Cu C ( t)
u s ( t)
R
u C ( t)
U s
0 SU U k
0 Sk U U
由初始条件
0( 0 )CUU
3> RC电路全响应既有初始状态值，
又有外部激励 。
S U
C
CS
dUR C U U
dt
()
t
RCCSU t U k e
方程：
解方程得特解 通解
R
u C ( t)
U s
0
0
( 1 )
() ()
t
RC
tt
R C C
S
SSC
RU
U U U e
eU
Ut
e
t
RCke?
讨论：电路全响应 =稳态分量 +暂态分量 =零输入响应 +零状态响应稳态分量形式与激励源相同，对应方程的特解。
暂态分量形式 决定于电路结构参数。
全响应：
4> 一阶电路的三要素法 （公式法）
( ) ( )
t
f t f t k e稳
(0 )f? ( 0 ) ( 0 )k f f
稳
( ) ( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]
t
f t f t f f e稳稳电路响应（解）一般形式由初始条件 可解出有由上式可直接写出电路响应，只要知道三个要素：
（ 1）稳态解；（ 2）初始值；（ 3）时间常数直流电源激励正弦交流电源激励
R
Cu C ( t)
U s
( ) ( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]
t
RC
CC CcU t U t U U e
稳稳解：由 三要素公式
SCUU?稳 ( 0 ) SCUU稳
0( 0 ) ( 0 )CCU U U
得：
0( ) [ ]
t
RC
C S SU t U U U e
0( 0 )CUU
()CUt
例 1
求 K闭合后已知
,SUR和
。
1( ) 2 2 0 sin 1 0 0,,2 0,( 0 ) 1 0
1000SCU t t C F R U
()CUt
例 2：
求,K闭合后 。
K
R
R
C 1u s ( t )
u c ( t )C
U
12 0 0,1 0
SU C
a.> 的稳态值可用相量法求出。
1
() 1 0 1 0
2 2 5 4 5
1 1 0 1 0
2
C
SU j
jC
U
R j
j
C
1 0 s i n ( 1 0 0 4 5 )CUt稳
R o
Uo
,jC?
1
I C
.
b.> 时间常数,确定时间常数需简化电路为 R--C形式。
电容以外的电路去掉独立电源后简化为一个等效电阻。 （无源网络简化）
// 1 0R R R 1
100RC
故电容电压：
1002]( ) 1 0 s i n ( 1 0 0 4 5 ) [ 1 0 5C tU t t e
K
R
R
C 1
u s ( t)
u c ( t)
R
R
c.> 初始值：
( 0 ) ( 0 ) 1 0CCUU
K
R
R
R i R C
U s
13 0,1 0 0,,( 0 ) 0,
1500SCU V R C F U
()Rit
例 3:
求 K闭合后 。
( ) [ ( 0 ) ( 0 ) ]RR RR
t
i t i i i e稳稳解：
0.152 SR U ARi稳 311 5 0,2 1 0R R R C
( 0 ) ( 0 ) 0RRii注意：
除电容电压和电感电流外，其它量跳变前后一般不相等。
(0 )Ri? 0t求,由 时电路状态来计算。
得,1 0,1,
3 2
2
(0 ) SRi U A
R
10( ) 0,1 5 [ 0,1 0,1 5 ]R tit e
R
R
R
i
R (0 + )
U s U c (0 -)
例 4,RC电路对电压波形的影响研究。
U s 1
RC U o
U o
t
U o
t
U s
tT
T RC
T RC
微分电路
01S
t
U U e
(0 )tT
01 ( 1 )S
T t T
U U e e
()tT?
U s 1
R
C U o
U s
tT
t
U o
t
U o
T RC
T RC
积分电路
01 ( 1 )S
t
U U e (0 )tT
01 ( 1 )S
T t T
U U e e
()tT?
()S tU t U e (0 ) 0CU
U s
R
C
U c
K
例 5 （指数激励），
注意,三要素法应用于直流或正弦电源激励电路，其余激励源一般需解非齐次方程。
求 K(t=0时 )闭合后的 ()
CUt
。
t t tR C A e A e U e
1
UA
RC
1
t
C
UUe
RC
代入原式,得特解为
tC
C
dUR C U U e
dt
C
tRC
U ke tCU Ae，
特解通解
U s
R
C
U c
K
( 0 ) ( 0 ) 0CCUU
1
Uk
RC?
( ) [ ]1
t
t RC
C
UU t e e
RC
由 得有全解
1
t
RC
C C C
tUU U U e k e
RC
例 6,如图电路,R=1?,C=1F,IS=1A,?=0.5，电路已达稳态。求当?突变为 1.5后的电容电压。
I S
i
i
R
R
R
u
c
C解：用三要素法求解
1） 电容电压初始值 (0 )
CU?
( 0.5)
2SI I I I 0,4
3
SIIA
( 0 ) 0,4CU R I V
2） 电容电压稳态值 ( 1,5 )
2SI I I I 2
33
SIIA
2
3CPU R I V
i
i
R
R
(a)
i
i
R
R
R
(b)
3）时间常数图 (a)电路的入端电阻
' ( 2 ) 0,5RR
图 (b)电路的入端电阻
0
'1
'3
RRR
RR
0
1
3CR
电容电压为
322( ) [ 0,4 ]
33C
tUt e
解：用三要素法求解
1）求初始值 0t 电容电压跳变
12( 0 ) 5,( 0 ) 02
S
CC
UU V U
12( 0 ) ( 0 )S C CU U U
1 1 2 2 1 1 2 2( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )C C C CC U C U C U C U
R
R
U c 1
U c 2
C 1
C 2
U s
例 7,如图电路,1 0,0,0 1RF
1 C
0,0 2,F?2C 10,SUV?
开关打开已 久。求开关闭合后
12( ) ( )CCU t U t和 。
2 ( 0 ) 0CU
1 1 2 2 1
2
12
( 0 ) ( 0 )( 0 ) C C S
C
C U C U C UU
CC
R
R
U c 1
U c 2
C 1
C 2
U s
5
3V?
12
25( 0 ) ( 0 )
3C S CU U U V
2）电容电压稳态值
12( ) ( ) 52
S
CC
UU U V
R
R
C 1
C 23）电路时间常数
''
12
3()
2 2 0
RR C C C
1 1 1 1( ) ( ) [ ( 0 ) ( ) ]C C C C
t
U t U U U e
1
20
325( ) 5 [ 5 ]
3C
t
Ut e
2
20
35( ) 5 [ 5 ]
3C
t
Ut e
例 8,如图电路,1 0,0,0 1RF C
2,10,SUV?
求开关闭合后 。()
CUt
i
1? i 1
()o tu
cu
R
R
R
U s
U s
K开关打开已久。
解：用三要素法求解
1）求初始值 0t
( 0 ) ( 0 ) 1 0C C SU U U V
电容电压
2）求稳态值 t 电容电压
() 2 52C SSS UUU U R R V
i
1? i 1
()o tu
cu
R
R
R
U s
U s
K
i
1? i 1
()o tu
R
R
R
I
U
等效电阻
0
()2 2 2
2 2 0
I I IRR
URR
II
0( ) ( ) [ ( 0 ) ( ) ]C C C C
tRC
U t U U U e?
555 te
